2001川大高等代数及答案

四川大学2001年攻读硕士学位研究生入学考试题

一(每小题8分，共16分)

（1）计算行列式

n n

n n n

n n n n n n n n n n n

n

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

3

2

111312113333231223

22

2

13

2

11111--------

解：补一行和一列构成范德蒙德行列式

有

∏∏≤<≤=--------+-⋅-==n

j i i j n

k k n

n n n

n n n n n n n n n x x x y y x x x y x x x y x x x y x x x y x x x D 11

3

2

11131211223

222

12

23

22

2

13

2

11)

()(1111

1+n D 按第1+n 列展开，有n n n n n n n n n n n n y A y A y A y A A D 1,111,21,11,21,11++-+-+-++++++++= 2-n y 的系数为 n n n n n n D D A =-=++-+-)1()1(1,1)1(

由∏∏≤<≤=-⋅

-n

j i i j

n

k k x x

x y 11)()(，得2-n y 的系数为∏∑≤<≤=-⋅

n

j i i j

n

l k l k x x

x x 11

,)( （l k ≠）

故原行列式∏∑≤<≤=-⋅=n

j i i j

n l k l

k n x x

x x D 11

,)(

（2）设⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=54

32A ，求n

A （1≥n ）

解：)2)(1(5

43

2

--=--+=

-λλλλλA E ，A 的特征值为1，2 当1=λ时，0

03

34433=--=-A E ，基础解系由1)(=--A E r n 个向量构成

1=λ对应的特征向量为)'1,1(-

当2=λ时，0

03

434342=--=-A E ，基础解系由1)2(=--A E r n 个向量构成；

2=λ对应的特征向量为)'4,3(-

两个特征值分别对应两个线性无关的特征向量，则A 可对角化

有可逆矩阵⎥

⎦

⎤⎢⎣⎡--=4131P ，使得Λ=-AP P 1，有1

-Λ=P P A n n ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅+-⋅+-⋅-⋅-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n n n

n n n

A 243244233234113420014131

二（每小题6分，共12分）.

（1）请找出两个n n ⨯矩阵A 、B ，使得A 和B 的特征值全为零，但AB 的特征值不全为零.

解：令⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01010 A ，⎥

⎥⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01010 B 有⎥

⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎣⎡=011 AB ，则A 、B 为所求矩阵.

（2）设A 是n 维线性空间V 的线性变换，A 的核为)(1

θ-A .A 的值域为)(V A ，举例说

明V 不一定等于)()(1

V A +A -θ

解：取V 的一组基n ααα,,,21 ，定义⎩⎨⎧=A 3

)(αθ

αi n i i ,,4,32,1 ==

则有V V ≠A +A -)()(1

θ

三（每小题6分，共12分）

（1）证明：不存在n n ⨯矩阵X 、Y ，使n E YX XY =-（n E 为单位矩阵） 证明：反证法，设存在这样的矩阵X 、Y . 由n E YX XY =-，得n E tr YX XY tr n ==-)()( ①

由YX XY =，得)()(YX tr XY tr =，有0)(=-YX XY tr ② 由①、②，得矛盾，则假设不成立，即不存在n n ⨯矩阵X 、Y .

（2）n n ⨯矩阵A 为幂零矩阵（即有正整数k ，使O A k

=）的充要条件是A 的特征值全

为零.

证明：必要性：

由O A k =，有k

A 的特征值全为零

则0)0()(=-=k k A E r A r ，那么特征值0对应n A E r n k

=--)0(个线性无关的特征向量，

则k

A 可对角化，即存在可逆矩阵P ，使得O P A P k =-1，有O POP A k

==-1

1)(

有A 的特征值全为零 充分性：

由A 的特征值全为零，则0)0()(=-=A E r A r

有特征值0对应n A E r n =--)0(个线性无关的特征向量

则A 可对角化，即存在可逆矩阵Q ，使得O AQ Q =-1，有O QOQ A k

k ==-)(1

四（10分）设A 是n n ⨯实正定矩阵，证明：对于任何正整数k ，存在正定矩阵B ，使k

B A = 证明：A 的特征值为0,,,21>n λλλ

令Ax x X f ')(=，存在可逆矩阵P ，使得)(X f 标准化

有2

222211)(n n y y y X f λλλ+++= ，即PY X =

把P 的列向量正交单位化后，得正交矩阵Q 有Λ=AQ Q '，即'Q Q A Λ=（Λ为正定的对角阵）

令'1Q Q B k

Λ=，有A Q Q Q Q B k

k

k =Λ=Λ=')'(1，即证

五（12分）用正交变换将实二次型

3231212

32221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=

化为标准形.请写出相应的正交变换和标准形.

解：二次型矩阵为⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=542452222

A )10()1(54

2

45

2

2

22

2--=-----=-λλλλλλA E 当1=λ时，有0

000

2

214424422

2

1--=-----=-A E 基础解系由2)(=--A E r n 个线性无关的向量构成，)'1,1,4(1-=α、)'1,1,0(2=α