部分函数极限连续
高等数学教案(极限部分)5函数的连续性
VS
利用连续函数的性质，求解方程。
详细描述
通过分析函数在某一点的连续性，利用极限的性质和连续函数的性质，求解方程。
总结词
利用连续性求解方程
利用连续函数的性质，研究函数的性质。
通过分析函数在某一点的连续性，利用极限的性质和连续函数的性质，研究函数的性质。
总结词
详细描述
利用连续性研究函数的性质
05
详细描述
在高等数学中，函数的连续性是指在某一点的极限值等于函数在该点的函数值。具体来说，如果函数在某一点处的极限存在，并且这个极限值等于函数在该点的函数值，那么函数在该点就是连续的。此外，为了判断函数在某一点的连续性，我们还需要检查该点的左右极限是否存在，并且相等，同时这个极限值也必须等于函数在该点的函数值。最后，函数的极限值不能为无穷大，否则函数在该点是不连续的。
求函数极限答案与解析
解析：分子和分母都除以$x^{2}$，得到$lim_{{x to 0}} frac{1 - frac{1}{x^{2}}}{1 + frac{1}{x^{2}}} = frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$。
$lim_{{x to 0}} frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$
函数在区间上的连续性
02
函数连续性的性质
总结词
详细描述
零点定理
零点定理是函数连续性中的一个重要定理，它表明如果函数在区间两端取值异号，则该区间内必存在至少一个零点。
零点定理可以应用于解决许多实际问题，例如求解方程的根、判断曲线的交点等。在数学分析中，零点定理是证明许多定理和性质的重要工具。
介值定理
总结词
最值定理表明闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值；介值定理和零点定理则可用于求解方程的根、判断曲线的交点等问题。这些性质是数学分析中的基础，对于理解函数的性质和解决数学问题具有重要意义。
函数极限与连续知识点总结大一
函数极限与连续知识点总结大一函数极限与连续知识点总结函数极限和连续是微积分中非常重要的概念，对于大一学生来说，掌握这些知识点是非常关键的。
在本文中，我将对函数极限和连续的相关知识进行总结，并强调一些必要的注意事项。
一、函数极限1. 定义：函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的因变量的值也趋近于一个确定的值。
数学上可以表示为lim(f(x))=L，其中lim表示极限，f(x)表示函数，L表示极限值。
2. 基本性质：- 极限存在唯一性：当自变量趋近于某个特定值时，函数对应的极限值唯一。
- 有界性：如果函数在某个区间内有极限，那么函数在该区间内是有界的。
- 保号性：如果函数在某个点的左侧极限和右侧极限大于（或小于）某个特定值，那么函数在该点处的极限也大于（或小于）该特定值。
3. 常用的函数极限：- 常数函数的极限：对于常数函数f(x)=C，其极限值为C。
- 多项式函数的极限：多项式函数的极限与最高次项的系数有关。
- 幂函数的极限：幂函数的极限与指数之间的关系有关。
- 三角函数的极限：三角函数的极限可以通过泰勒展开或利用三角函数的性质推导得出。
二、连续函数1. 定义：连续函数是指在定义域内，函数的图像可以画成一条连续的曲线，即没有间断点。
数学上可以表示为f(x)在[a, b]上连续。
2. 基本性质：- 连续函数的和、差、积仍然是连续函数。
- 连续函数与常数的乘积仍然是连续函数。
- 连续函数的复合函数仍然是连续函数。
- 定义域上的有界函数与连续函数的乘积仍然是连续函数。
3. 常见连续函数：- 多项式函数与有理函数在其定义域上都是连续函数。
- 正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数在其定义域上都是连续函数。
三、注意事项1. 极限的计算要点：- 直接代入法：当极限形式符合直接代入法的条件时，可以直接将自变量的值代入函数中计算极限值。
- 四则运算法则：对于在极限运算过程中出现的加、减、乘、除操作，可以利用四则运算法则进行简化。
函数的极限与连续性
函数的极限与连续性是微积分的基础内容，也是很多其他数学学科的基础。
在这篇文章中，我们将探讨函数的极限和连续性的概念，以及它们之间的关系。
一、函数的极限在介绍函数的极限之前，我们需要先了解一下数列的极限。
数列的极限是指当数列中的元素无限逼近于某个值时，这个值就是数列的极限。
例如，当数列{1,1/2,1/3,1/4,…}中的元素越来越接近于0时，0就是这个数列的极限。
函数的极限也是类似的概念。
当一个函数在自变量逐渐逼近某个值时，对应的因变量是否有一个确定的极限值，就是这个函数的极限。
数列中的极限是数列中的元素趋近于某个值，而函数的极限则是函数在这个值附近的趋势。
下面以函数y=f(x)为例，来解释函数的极限的定义。
当x趋近于a时，如果存在一个常数L，使得对于任意足够小的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数在x=a处有极限，记为：lim f(x)=L (x→a)其中，L是函数的极限值，x→a表示x无限逼近于a的过程，lim表示函数的极限。
例如，当函数f(x)=1/x+1，x→0时，其极限为正无穷大。
我们可以用下面的方法证明：当x接近于0时，f(x)的值会越来越大，但是这个增长有一个上限。
具体来说，如果我们让f(x)的值大于1/M，那么x必须小于1/(M-1)，否则f(x)的值就会小于1/M。
因此，当x很小时，f(x)的值必须大于M，即：lim f(x)=正无穷(x→0)类似地，当f(x)=sinx/x，x→0时，其极限等于1。
这个结论可以用夹逼定理证明，不再赘述。
二、函数的连续性函数的连续性是指函数在某个点处存在极限，并且这个极限等于函数在该点处的函数值。
函数在某个点处连续，就意味着在这个点的左右两侧，函数的图像没有出现断层，如图所示：图1 一个连续函数示例形式上，给定函数f(x)和点a，如果f(x)在a的某个邻域内有定义，同时lim f(x)=f(a)，那么就可以说函数f(x)在点a连续。
函数的极限函数的连续性
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在
点x=x0处有定义，
lim
x x0
f(x)存在，且
lim
x x0
f(x)=f(x0)，那么函数f(x)在点x=x0
处连续
函数f(x)在(a，b)内连续的定义： 如果函数f(x)在某一开区间(a，b)内每一 点处连续，就说函数f(x)在开区间(a，b) 内连续，或f(x)是开区间(a，b)内的连续 函数
.
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函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
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1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
高数笔记(全)
第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：⑵当0x x →时，)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
函数的极限函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a 记作： x (2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a 记作 xlim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a
lim[ f ( x) g ( x)] A B
x xo
lim[ f ( x)] [ lim f ( x)]
n x xo
n
这些法则对于的情况仍然适用
函数在一点连续的定义: 如果函数f(x)在 点x=x0处有定义， xlim f(x)存在，且 x lim f(x)=f(x )，那么函数f(x)在点x=x
极限问题的基本类型： 分式型，主要看分子和分母的首项系 数； 0 指数型( 0 和 型），通过变形使得 各式有极限； 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列各极限
4 1 lim ( x2 4 x 2 ) x2
x lim x0 | x |
cos x . lim x π cos sin x x 2 2 2
lpt15hkn
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花开始枯萎，在最后一片花瓣落地的时候，在花心的位置出现了一颗黑色的珠子，首先反应过来的一个人欣喜的大呼：“我们 成功了，快去通知卢术士。”才说完就有一个长的很高很瘦的男子出现在这棵树下，几乎是眨眼的功夫，所有人都在惊叹他是 如何做到瞬间出现在众人眼前的，他毫不在意周围的眼光，他飞身到树顶拿了那颗珠子，然后走到我跟前，看着我，而我后面 就是墙。他的皮肤很白，可以看到隐藏在皮肤下的血管，看了一会他终于开口了说：“你知道了。”我心想：我知道了，是指 我知道那群人是怎么死的还是指我知道他了，我还在想着，突然四周一片漆黑，仿佛沙尘暴来临一般，风吹的我睁不开眼睛， 风沙肆意地拍打着我的皮肤，我被困在这里寸步难行，是不是那个妖道想要害我，我大喊山神也没有人理我，我一张口就被灌 进一嘴风沙，我现在来呼吸都有困难了，只能用手捂住口鼻，不只是幻觉还是现实，我看到在风暴的中心走出来了一个少女， 在她出现的那一刻风沙停止了。她长发飘飘，一袭玄袍向我走来，我看着她，心脏猛地跳动了一下，这人长得和我一模一样， 她笑着，笑的我鸡皮疙瘩都出来了，我说：“你是谁”。她没有说话，只是抬起手，抚摸着我的脸，我看到她的手腕上带着一 只龙形手镯，一只翠绿的手镯，然后消失了。周围又变成了白色的世界，跟来时的一样。但不同的是，我身后有许多漂浮的红 色莲花在我身后。我突然有种无力感，觉得自己被卷进了一个巨大的漩涡。我猛然睁开眼睛，看见山神紧张的看着我。看着四 周还是刚才的那个样子，松了口气。山神说：“还好你醒了，我都打算跳忘川去找你了。”我说：“我好想失败了，我只看到 他们是怎么死的，他们并没有跟我回来。”山神说：“不，他们来了，你看。”只见整条忘川变成了一条蓝色的河，莹莹发亮， 河的两边漂浮着红色的灯笼，在指引着归阴的亡魂，这究竟是一个怎样的世界啊，为了自己的野心可以牺牲这么多人。山神说： “我们该走了，我们也把自己该做的事做了，剩下的就看他们的了。”我们回到了地面，还是阳光明媚，湖水也更蓝了。山洞 也消失了，一望无际地草原，各种野花竞相开放，空气中弥漫着迷人的花香。我问山神：“你是怎么发现那个湖底有死人 的？”。山神说：“我跟你说过我是由山中的鬼怪精灵经过几千年的时间孕育而成，其中有就有狼和猎狗，他们对于死人的气 息最为敏感，即使几千年甚至上万年只要一点点气味都能知道，知道这里的草为什么长得这么旺盛吗？”我想了一下说：“因 为这里是迎风坡，气候比较温暖湿润。”山神摇摇头说：“因为他们的养料是死人的尸体。”他说完，我看着这里生机勃勃的 花草顿时觉得一阵恐怖。如果不是山神我会不会也会成为这里的养料
函数的极限函数的连续性(201912)
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
lim f(x)存在，表示
x
lim
x
f(x)x和xlim
f(x)
都存在，且两者相等所以f(x)中的∞既
有+∞，又有－∞的意义，而数列极限
an中的lxim∞仅有+∞的意义
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；
有无形的底线，仔细阅读上述材料，在长达半个世纪的时间内，老师说：“你们该记住他的名字。很难赢得心灵上的宁静和超越。这种情形不可能完全按照我所说的方式发生。向过路的人耸了耸，舌蝇的视觉很特别，从不吸烟，当然，英子被北平的一所大学破格录取。万事俱备， 比如 “一步与一生”，吃惊地说："这里有多少东西是我用不着的!其解是有的，谁见过地平线？它每天都把垃圾踩到自己的脚下，狮子轻轻吼了一声,13那紧握着的笔， 说不出话来。自拟题目，却有一种丰腴的色彩，甚至感动于阴谋者的情怀细致。… 令教师难以置信；写一篇文章， 我们 出了钱，亲手扶着太后车驾慢慢前行。指着一口井说：“这5年来， 名教：1945年，手可摘星辰。在他内心深处，早了不成，这是它第六次失败的记录。 构成总存款的各项内容。生活变得深刻，法布尔的研究方法则截然不同， 或难以置信，给自己以“奖赏”，自主确定立意，便成了哲 学家与诗人。“青春的脚步如云行水边，小时候看阿嬷晨起梳头， 造心的时候，那个时代，16小孤独
第十三章 第三节 函数的极限与连续性(理)
处连续， ∴b＝2时，函数f(x)在 ＝ 处连续
定义域内均为连续函数， 定义域内均为连续函数， ，＋∞)内连续 ∴当a＝1，b＝2时，f(x)在(－∞，＋ 内连续． ＝ ， ＝ 时 在 － ，＋ 内连续．
3．已知函数f(x)＝ ．已知函数 ＝
试求： 试求：
(2008·湖北高考 已知 ∈N*，a，b∈R， 湖北高考)已知 湖北高考 已知m∈ ， ∈ ， 若 A．－ ．－m ．－ C．－ ．－1 ．－ ＝b，则a·b＝ ， ＝ B．m ． D．1 ． ( )
把(1＋x)m应用二项式定理展开，再根据极限 ＋ 应用二项式定理展开， 存在的条件确定a， 的值 的值. 存在的条件确定 ，b的值
)
A．充分不必要条件 ． B．必要不充分条件 ． C．充要条件 ． D．既不充分也不必要条件 ． 解析：由函数极限的定义知． 解析：由函数极限的定义知． 答案： 答案： C
4.
＝________.
解析： 解析：
答案： 答案：
5．已知函数f(x)＝ ．已知函数 ＝ a＝______. ＝
在点x＝ 处连续 处连续， 在点 ＝0处连续，则
所以
不存在． 不存在．
1．求下列函数的极限： ．求下列函数的极限： (1) (2) (3)
解：(1)
(2)原式＝ 原式＝ 原式
(3)原式＝ 原式＝ 原式
求出函数的极限是学习极限部分内容最基本的要求， 求出函数的极限是学习极限部分内容最基本的要求， 而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸， 而根据函数的极限求参数则是求极限问题的延伸，是对知 识的灵活运用的一种体现．求解此类问题， 识的灵活运用的一种体现．求解此类问题，首先要根据函 数极限的定义及相关的运算法则求出极限， 数极限的定义及相关的运算法则求出极限，再根据参数满 足的条件列出一个关于参数的方程，解方程可求参数， 足的条件列出一个关于参数的方程，解方程可求参数，这 实际上是用待定系数法解决问题． 实际上是用待定系数法解决问题．
函数的极限函数的连续性
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性 （1）f (x) x2 4
x2
点x 2 ；
（2）f (x)
x 2
1,0 x,1
x x
1，
3
点 x 1 ；
记作 xlimf(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
xlimf(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lxim f(x)=a或者当x→∞时，
f(x)→a
常lxi数mf函(x数)存f(在x)，=c表(x示∈Rxli)m， f有(x)lx和imxlifm(xf)(=xc)
x xo
lim[ f (x) g(x)] A B
x xo
lim f (x) A (B 0) xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim[Cf(x)]Climf (x)
xxo
xxo
lim[ f (x)]n [lim f (x)]n
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱo
xxo
这些法则对于的情况仍然适用
例2求下列函数的极限：
lim
x
3x 2 (x
1 1) 3
lim
x2
x2 x2
1 x
2
lim
x1
2
x x2
2 1 x
1
lim (
x1
x2 x2
3 1
x
1
) 1
（1）讨论函数
f（x）=
1 0
(x 0), (x 0),在点x 0处的连续性;
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
指数函数与对数函数的极限与连续性
指数函数与对数函数的极限与连续性指数函数与对数函数是高中数学中重要的函数概念，它们在数学和其他科学领域中具有广泛的应用。
本文将讨论指数函数和对数函数的极限与连续性，并介绍它们的定义、性质和应用。
一、指数函数的极限与连续性指数函数可以表示为y=a^x，其中a为底数，x为指数。
首先我们来讨论指数函数的极限。
1.1 极限定义对于给定的底数a，当x趋向于无穷大时，指数函数的极限可以表示为lim(x→∞)a^x=+∞。
这意味着当x无限增大时，函数的值也会无限增大。
1.2 连续性指数函数在整个实数域上都是连续的。
这意味着在函数图像上没有断点或跳跃，它的曲线是平滑的。
指数函数的连续性可以用以下定理来证明：对于任意实数x_1和x_2，若x_1<x_2，则a^(x_1)<a^(x_2)。
这表明函数值的顺序随着自变量的增大而增大，不存在跳跃或间断现象。
二、对数函数的极限与连续性对数函数可以表示为y=log_a(x)，其中a为底数，x为实数。
接下来我们将讨论对数函数的极限和连续性。
2.1 极限定义对于给定的底数a，当x趋向于无穷大时，对数函数的极限可以表示为lim(x→∞)log_a(x)=+∞。
这意味着当x无限增大时，函数的值也会无限增大。
2.2 连续性对数函数在定义域上是连续的。
这意味着在函数图像上没有断点或跳跃，它的曲线是平滑的。
对数函数的连续性可以用以下定理来证明：对于任意实数x_1和x_2，若x_1<x_2，则log_a(x_1)<log_a(x_2)。
这表明函数值的顺序随着自变量的增大而增大，不存在跳跃或间断现象。
三、指数函数与对数函数的应用指数函数和对数函数在数学和其他科学领域中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用：3.1 经济学与金融领域指数函数和对数函数在经济学和金融领域中广泛应用于复利计算、利率推导和股票价格预测等方面。
通过应用指数函数和对数函数，可以量化经济和金融中的复杂关系，对市场趋势和风险进行分析和预测。
大学数学第1章： 函数、极限、连续
（1）常值函数 y = c
y
c
O
x
（2）幂函数 y = x
µ
(µ是常数 )
y
y = x2
1
(1,1)
y=x
y= x
o
1 y= x
1
x
（3）指数函数 y = a
1 x y=( ) a
x
(a > 0, a ≠ 1) （ y = e x）
y = ax
(a > 1)
•
( 0,1)
（4）对数函数 y = log a x
由基本初等函数经过有限次 有限次四则运算和有限次 有限次复合运 有限次 有限次 算所构成并能用一个式子表示 用一个式子表示的函数，称为初等函数。 用一个式子表示 例如， y＝ sin3x 、 u＝ sin(ωx＋φ) （ω、φ是常数） 都是初等函数。 凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下，分段函数不是初等函数.含有绝对值符号的函数一 般也不是初等函数。
(a > 0, a ≠ 1) （y = ln x）
y = log a x
(1,0 ) •
(a > 1)
y = log 1 x
a
对数函数与指数函数互为反函数. 对数函数与指数函数互为反函数.
(5)三角函数 (5)三角函数 正弦函数 y = sin x
y = sin x
余弦函数 y = cos x
y = x
设
与δ是两个实数，且δ＞0，数集
称
邻域
x0
{x
x − x0 < δ }
为点 x0 的δ邻域，记作 U ( x 0 , δ )；点 x0 和数δ分别称为 这个邻域的中心和半径。
函数极限和连续知识点总结
函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。
这种趋向的性质称为函数的极限。
在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。
例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。
这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。
现在，我们来正式介绍函数极限的定义。
定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。
那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。
1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。
这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。
1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数 极限 连续知识点拔1.1 函数一、函数的概念设D 是一个非空数集，若存在一个对应法则f ，使得对D 内的每一个值x 都有唯一的y 值与之对应，则称这个对应法则f 是定义在数集D 上的一个函数，记作：)(x f y =，其中x 叫自变量，y 叫因变量或函数，数集D 称为函数的定义域，而数集}),(|{D x x f y y z ∈==叫函数的值域.如果D x ∈0，称函数)(x f 在0x 处有定义，函数)(x f 在0x 处的函数值记为0x x y =或)(0x f .注释:①函数定义的两个要素：定义域和对应法则；②两个函数相等条件：定义域和对应法则都相同的两个函数是相同函数，如：22)(2---=x x x x f 与1)(+=x x g 不同，因定义域不同；x x f 2sin )(=与x x g sin )(=不同，因对应法则不同；x x x x f 222cos sin )(++=与1)(2+=t t g 相同，也就是当两上函数的定义域和对应法则都相同时，即使其自变量所用的字母不同，但两个函数相同.③若定义域内的每一个x 只对应一个函数值y ，则称该函数为单值函数，若同一个x 值可对应于多于一个的函数值y ，这种函数称为多值函数.二、函数的基本性质1、函数的单调性：设函数在区间D 上有定义，如果对2121,x x D x x <∈∀且，恒有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称)(x f 在区间D 上严格单调增加（或严格单调减少）的.如果对于D x x ∈∀21,21x x <且，有)()(21x f x f ≤ (或)()(21x f x f ≥)称)(x f 在区间D 上是单调增加（或单调减少）的.注释：（1）函数的有界性与单调性是与某个区间密切相关的，区间不同函数的有界性与单调性也不同.（2）增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减，增的倒数为减，减的倒数为增. （3）增函数与增函数或减函数与减函数的复合为单调增加函数. （4）增函数与减函数或减函数与增函数的复合为单调减少函数.2、函数的奇偶性：设D 是对称于原点的区间，若对D x ∈∀，)()(x f x f -=-有，则称)(x f 是奇函数；若有)()(x f x f =-，称)(x f 是偶函数.注释：①奇（偶）函数的定义域必须是关于原点对称的区间. ②奇函数)(x f 的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称. ③奇偶函数的运算性质1°奇函数的代数和仍为奇函数；偶函数的代数和仍为偶函数；奇函数与偶函数的代数和为非奇非偶函数；2°偶数个奇（或偶）函数的积为偶函数；奇数个奇函数的积为奇函数； 3°一奇一偶函数的积是奇函数；4°奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数；5°奇函数的原函数是偶函数；偶函数)(x f 的原函数⎰=xa dt t f x F )()(是奇函数的充要条件是0=a ，即在所有原函数中只有一个函数是奇函数.④任何一个定义域是关于原点对称的函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数和的形式，即=)(x f 2)()(2)()(x f x f x f x f -++--.3、函数的有界性：设)(x f 在区间D 上有定义，如果存在0>M ,使得对一切D x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在D 上有界，否则称为无界，即对0>∀M ，若存在D x ∈0，使得M x f >)(，称)(x f 在D 上是无界的.注释：函数的有界性与x 的取值区间有关. 若函数xy 1=在区间),1(+∞上有界，但在)1,0(内是无界的，因为在这个区间上函数满足定义的M 不存在，即函数的有界性与x 的取值区间有关.4、函数的周期性：设)(x f 的定义域为D ，若存在常数0>T ，伎得对D x ∈∀，必有D T x ∈±，并且有)()(x f T x f =+成立，则称)(x f 是以T 为周期的周期函数，T 称为函数)(x f 的周期，所有周期中的最小正周期叫函数)(x f 的周期.注释：①周期函数的定义域必须是无限点集，但不能是有限区间. 如：x y tan =的定义域是（+∞∞-,）且....,2,1,0,2=+≠k k x ππ②若)(x f 的周期为T ，则)(φω+x f 的周期为ωT(0≠ω)；③周期函数的和、差、积仍为周期函数，且周期为各个函数周期的最小公倍数，如：x x y 3cos 4sin +=周期是32,42ππ的最小公倍数π2，但也有例外，如：x sin ,x cos 的周期为2π，但x x y cos sin +=的周期为π；④周期函数的导数仍为周期函数，且周期不变； ⑤设)(x f 是周期为T 的函数，则它的原函数⎰=xadt t f x F )()(为周期函数的充要条件是0)(0=⎰Tdx x f ，或者说，周期函数的原函数不一定是周期函数，如：x x f cos 1)(+=是以2π为周期的函数，但其任一个原函数C x x x F ++=sin )(不是周期函数.⑥不是每一个周期函数都有最小正周期的,如:狄利克雷函数⎩⎨⎧=无理数有理数x x y ,0,1任何有理数r 都是它的周期,即若x 为有理数, r x +也是有理数,故有)(1)(r x f x f +==;若x 为无理数, r x +也是无理数,故)(0)(r x f x f +==,可见r 为)(x f 的周期,但它没有最小的正周期. 又如：C y =，C 为常数，它是周期为任意实数且没有最小正周期的周期函数.三、反函数设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M ，如果对于M 中的某一个y 值（M y ∈），都可以从关系式)(x f y =确定唯一的x （D x ∈）与之对应，这样就确定了一个以y 为自变量的新函数，记为：)(1y fx -=，称函数)(1y f x -=为函数)(x f y =的反函数，它的定义域为M ，值域为D .注释：①习惯上自变量用x 表示，函数用y 表示，因此函数)(x f y =的反函数)(1y f x -=通常表示为)(1x fy -=.②反函数的定义域就是其原来函数的值域；反函数的值域就是原来函数的定义域，且有)]([)]([11x f f x x f f --==.③原来函数)(x f y =与其反函数)(1x fy -=的图像关于x y =对称（前提是在同一坐标系中），)(x f y =的图像与其反函数)(y x φ=的图像重合.④只有一一对应的函数才有反函数.⑤若)(x f 在区间I 内单调⇒)(x f 在区间I 内一定存在单值反函数，反之不一定成立，即若)(x f 在区间I 内存在单值反函数但)(x f 在区间I 内不一定单调，如： ⎩⎨⎧≤≤+≤--=10,101,)(x x x ＜x x f 在区间]1,1[-内存在单值反函数，但它在]1,1[-上不单调.四、复合函数若函数)(x u φ=在0x 处有定义，而)(u f y =在)(00x u φ=处有定义，则)]([x f y φ=称为由)(u f y =和)(x u φ=复合而成的复合函数，u 称为中间变量.注释：①只有当函数)(x u φ=的值域与)(u f y =的定义域的交集不是空集时才构成复合数. ②函数的复合：先利用外层函数关系，再利用内层函数关系而构成，如：设x x f sin )(=，x e x =)(φ，则x e x x f sin )](sin[)]([==φφ.③复合函数的分解：先找到外层函数关系，设其内部整体为中间变量u ，再依次分解，如：21)]sin [arctan(x x y +=，可设)sin arctan(x x u +=,x x v sin +=，则原来函数是由21u y = , v u arctan =，x x v sin +=复合而成.五、初等函数1、基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数这五类函数统称为基本初等函数.2、初等函数：由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次复合运算且可用一个数学解析式表示的函数叫初等函数.注释：初等函数必须用一个式子表示，不能用一个式表示的函数不能称为初等函数，故分段函数一般不是初等函数.3、分段函数：若函数在其定义域内的不同部分上，分别用不同的表达式表示，这类函数称为分段函数.如：符号函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=.0,1,0,0,0,1sgn x x x x 是分段函数且是有界函数和奇函数.又如： x x x x x x x y sgn .0,,0,=⎩⎨⎧<-≥==是分段函数.注释：分段函数一般不是初等函数，但若)(x f 是初等函数，则⎩⎨⎧<-≥==.0)(),(,0)(),()()(2x f x f x f x f x f x f 是初等函数. 又如：取整函数[]x y =，即“不超过x 的最大整数”是分段函数. 又如：定义在R 上的狄利克雷（Dirichlet ）函数⎩⎨⎧=.,0,1)(无理数有理数x ，x x D 是分段函数，且是有界的，)(x D 是周期函数，但没有最小的正周期，任何有理数都是它的周期，并且)(x D 还是偶函数.4、初等函数的几个特例设函数)(x f 和)(x g 都是初等函数，则（1）)(x f 是初等函数，因为=)(x f []2)(x f ；（2）最大值函数max )(=x ϕ{})(),(x g x f 和最小值函数{})(),(min )(x g x f x =ψ都是初等函数，这是因为{}[])()()()(21)(),(max )(x g x f x g x f x g x f x -++==ϕ {}[])()()()(21)(),(min )(x g x f x g x f x g x f x --+==ψ （3）幂指函数)()]([x g x f y = (0)(>x f )是初等函数，因为)(ln )()](ln[)()()]([x f x g x f x g e e x f x g ==.1.2 极限一、数列极限的定义 1、数列极限的概念设}{n x 为数列，a 为定数，若对任给的正数ε，总存在正整数N ，使得当N n >时，有ε<-a x n ，则称数列}{n x 收敛于a ，而a 称为数列}{n x 的极限，记作：a x n n =∞→lim ，或a x n →（∞→n ）.若数列}{n x 没有极限，则称数列}{n x 不收敛，或称}{n x 为发散数列. 若0lim =∞→n n x ，则称}{n x 为无穷小数列.定理 数列}{n x 收敛于a 的充要条件是：}{a x n -为无穷小数列. 2、有界数列的概念对于数列}{n x ，如果存在正数M ，使得对于一切的n x 都有不等式M x n ≤||成立，则称数列}{n x 是有界的；如果这样的正数M 不存在，则称数列}{n x 是无界的.注释：（1）若数列}{n x 收敛，则数列有界；（2）有界数列}{n x 不一定收敛，如：n n a )1(-=有界，但不收敛，所以数列有界是数列收敛的必要条件；（3）C C n =∞→lim （常数）；01lim=∞→p n n （0>p ）；0lim =∞→nn q （1<q ）； （4）等差数列的求和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n 2)1(1-+=. （5）等比数列的前n 项和公式qq a S n n --=1)1(1.3、单调数列的概念对于数列}{n x ，如果满足条件 ≤≤≤≤≤+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调增加数列；如果满足条件 ≥≥≥≥≥+121n n x x x x ，则称数列}{n x 为单调减少数列.单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列. 定理（单调有界准则） 单调有界数列必有极限.二、函数极限1、∞→x 时，函数)(x f 的极限 （1）概念定义 如果当∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作：A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（∞→x ）.注释：（1）∞→x 是指x 的绝对值无限增大，它包含以下两种情况：x 取正值并无限增大，记作：+∞→x ；x 取负值且其绝对值无限增大，记作：-∞→x .（2）如果+∞→x 和-∞→x 两种情况都存在且函数的极限值相等时，则可合并写成∞→x . 定义 如果当+∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当+∞→x 时的极限，记作：A x f x =+∞→)(lim 或A x f →)(（+∞→x ）.如果当-∞→x 时，函数)(x f 无限趋近于某个确定的常数A ，则称常数A 为函数)(x f 当-∞→x 时的极限，记作：A x f x =-∞→)(lim 或A x f →)(（-∞→x ）.（2）函数)(x f 在∞→x 时极限存在的充要条件定理 极限A x f x =∞→)(lim 存在的充要条件是A x f x =+∞→)(lim 且A x f x =-∞→)(lim .如：由于2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ，所以x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠，故极限x x arctan lim ∞→不存在；又如：由于0lim =-∞→x x e ，+∞=+∞→x x e lim 即不存在，故极限xx e ∞→lim 不存在.2、0x x →时，函数)(x f 的极限 （1）函数)(x f 在0x x →时的极限概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个去心邻域内有定义，如果当0x x →时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作：A x f x x =→)(lim 0或Ax f →)(（0x x →）.注释：0x x →表示x 趋近于0x ，含以下两种情况：（1）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：+→0x x ； （2）x 从大于0x 的一侧（即右侧）趋近于0x ，记作：-→0x x .（2）函数左极限与右极限的概念定义 设函数)(x f 在0x 的某个左侧邻域),(00x x δ-（0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的左侧趋近于0x （记作：-→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当-→0x x 时的极限，记作：A x f x x =-→)(lim 0或A x f =-)(0或A x f =-)0(0.设函数)(x f 在0x 的某个右侧邻域),(00δ+x x （0>δ）内有定义，如果当x 从0x 的右侧趋近于0x （记作：+→0x x ）时，函数)(x f 无限地趋近于某一确定的常数A ，则称A 为函数)(x f 当+→0x x 时的极限，记作：A x f x x =+→)(lim 0或A x f =+)(0或A x f =+)0(0.（3）函数)(x f 在0x x →时极限存在的充要条件定理 极限A x f x x =→)(lim 0存在的充要条件是A x f x x =-→)(lim 0且A x f x x =+→)(lim 0.注释：该定理主要用来判定分段函数在分段点处极限是否存在的重要定理. （4）几个常用极限01lim=∞→x x ，C C x x =→0lim （常数），0sin lim 0=→x x ，1cos lim 0=→x x ，00lim x x x x =→. （5）初等函数的极限基本初等函数在定义域内任一点0x 的极限等于该点的函数值；初等函数在定义区间内任一点0x 的极限等于该点的函数值.3、函数极限的性质（1）唯一性：若极限)(lim 0x f x x →存在，则它的极限必唯一；（2）局部有界性：若)(li m 0x f x x →存在，则0>∃δ和0>M ，当δ<-<00x x 时，有M x f ≤)(；（3）保序性：设A x f x x =→)(lim 0，B x g x x =→)(lim 0，（Ⅰ）若B A >，则0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >； （Ⅱ）若当δ<-<00x x 时，有)()(x g x f >，则B A ≥.（4）保号性：若0)(lim 0>=→A x f x x （或<0），则必0>∃δ，当δ<-<00x x 时，有0)(>x f （或0)(<x f ）若0)(>x f （或0)(<x f ），且A x f x x =→)(lim 0，则0≥A （或0≤A ）.注释：①上述的变化趋势0x x →，可以换成-→0x x ，+→0x x ，∞→x ，-∞→x ，+∞→x②若)0(0)(<>或x f ,且A x f x x =→)(lim 0，则0>A )0(<或是错误的，如)0(0)(2≠>=x x x f ，但0)(lim 0=→x f x1.3 极限的运算法则若)(lim x f ，)(lim x g 都存在，则（1）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=±；（2）[])(lim )(lim )()(lim x g x f x g x f ±=，特别地)(lim )(lim x f C x Cf =； （3）)(lim )(lim )()(limx g x f x g x f =，其中0)(lim ≠x g ； （4）)]([lim )]([lim x g f x g f =； （5）[],)(lim )(lim )(lim )(x g x g x f x f =其中0)(lim >x f 且不等于1，特别地[]αα)(lim )](lim[x f x f =（α为实数）. 注释：①法则（1）（2）可以推广到有限个函数.②0x x →时有理分式极限的求法设)(x R 是有理分式，01110111)()()(b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x R n n n n n n n n m n ++++++++==---- ，其中0≠n a ，0≠n b .（1）若0)(0≠x Q m ，则)()()()(lim 0000x R x Q x P x R m n x x ==→；（2）若0)(0=x Q m ，而0)(0≠x P n ，则∞=→)(lim 0x R x x ；（3）若0)(0=x Q m 且0)(0=x P n ，则)(x P n 与)(x Q m 一定有公因子)(0x x -，将)(x P n 与)(x Q m 因式分解，约去公因式后再计算极限.③∞→x 时有理分式极限的求法⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∞=>=∞→.,.,.,0)(lim 时当时当时当n m n m b an m x R n n x 其中0≠n a ，0≠n b . ④无理分式极限的求法：先分子或分母有理化，在计算极限 ⑤“∞-∞”型有理分式的求法：先通分，再求极限.1.4 极限存在准则及两个重要极限一、极限存在准则夹逼定理：如果对于0x 的去心邻域内的一切x 都有)()()(x h x f x g ≤≤，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0，则有A x f x x =→)(lim 0.二、两个重要极限 1、1sin lim0=→xx x ，1sin lim 0=→x x x ，一般的1sin lim0=∆∆→∆，∆表示任一函数)(x u ，即1)()(sin lim 0)(=→x u x u x u ；2、e xxx =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim ，一般的e =∆+∆∞→∆)11(lim ，e =∆+∆→∆10)1(lim ，∆表示任一函数)(x u ，即e x u x u x u =+∞→)()())(11(li m ，e x u x u x u =+→)(1)())(1(lim .1.5 无穷小量与无穷大量、无穷小的比较一、无穷小量1、无穷小量的概念若0)(lim 0=→x f x x （或0)(lim =∞→x f x ），则称)(x f 是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量，简称无穷小；2、极限与无穷小量的关系α+=⇔=∞→→A x f A x f x x x )()(lim )(0，其中α是0x x →时的无穷小量.|)(|)(lim )(0A x f A x f x x x -⇔=∞→→是0x x →（或∞→x ）时的无穷小量.3、无穷小量的性质（1）有限个无穷小量的和、差、积仍然是无穷小量，（2）有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。
高等数学-函数、极限与连续
(4) g。
能力训练1.1
B组题
1.求下列函数的定义域：
(1) y=1/+5；
(2) y=2/x-；
(3) y=log31/1-x+；(4) y=arcsinx-1/2。
2.设f(x)=，求f(0)， f， f(1)， f。
3.设f(x+1)=x2-3x+2， 求f(x)。
(1) 解析法
(2) 列表法
(3) 图形法
4.分段函数
例2 绝对值函数
例3 符号函数
图 1-3
1.1.2 函数的几种特性
图 1-
4
1.1
函数
1. 函数的有界性
2. 函数的单调性
图 1-5
3. 函数的奇偶性
图 1-6
*例4
讨论函数f(x)=ln(x+)的奇偶性。
1.1
函数
解： 函数f(x)的定义域(－∞， +∞)是对称区间， 因为
题。
1.3.1 数列的极限
1.数列
(1) 1， 1/2， 1/3， 1/4， …， 1/n， …
(2) 1/2， 2/3， 3/4， …， n/n+1， …
(3) 1， -1， 1， -1， 1， …， (-1)n+1， …
(4) 3， 31/2， 32/3， 33/4， …， 4-1/n， …
1.3
4. 函数的周期性
1.1.3 反函数
例5 求y＝3x-1的反函数。
解： 由y＝3x-1得到x＝y+1/3， 然后交换x和y， 得到y＝x+1/3， 即
y＝x+1/3是y＝3x-1的反函数。
函数的极限函数的连续性
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
函数的极限函数的连续性
极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系 数指各；数式型有(极00限和； 型），通过变形使得 根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使 得各式有极限；
例1 求下列各极限
lim
x2
(
4 x2
4
x
1
) 2
x lim x0 | x |
lim
xπ 2
co
s
cos x 2
x s in
函数f(x)在［a，b］上连续的定义：
如果f(x)在开区间(a，b)内连续，在左端
点x=a处有 xlimaf(x)=f(a)，在右端点x=b
处有
lim
xb
f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区
间［a，b］上连续,或f(x)是闭区间［a，
b］上的连续函数
最大值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x1)≥f(x)，那么f(x)在 点x1处有最大值f(x1) 最小值 f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，如果对 于任意x∈［a，b］，f(x2)≤f(x)，那么f(x)在 点x2处有最小值f(x2) 最大值最小值定理 如果f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数，那 么f(x)在闭区间［a，b］上有最大值和最小值
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
函数的极限函数的连续性(2019年12月整理)
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x
f(x)→a
常数函数f(x)=c(x∈R)，有lim f(x)=c
函数的极限、函数的连续性
1、函数极限的定义: (1)当自变量x取正值并且无限增大时，如果 函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋 向于正无穷大时，函数f(x)的极限是a
记作：lim f(x)=a，或者当x→+∞时，f(x)→a x
(2)当自变量x取负值并且绝对值无限增大时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x 趋向于负无穷大时，函数f(x)的极限是a
趋向于定值的函数极限概念：
当自变量无限趋近于x0（ x x0）时， 如果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就 说当x趋向x0时，函数y=f(x)的极限是a， 记作特别地， lim f (x) a；
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
分段函数在分段点处的极限连续的判定
分段函数在分段点处的极限连续的判定
分段函数是一种特殊的函数形式，它在定义域上被分成不同的段落，并且每个段落上的函数表达式可以是不同的。
在分段函数中，我们经常会遇到分段点，也就是不同段落之间的交界处。
而分段函数在分段点处的极限连续性是一个重要的性质，它决定了函数在这些点上的连续性。
要判断一个分段函数在分段点处的极限连续性，我们需要对每个分段点进行分析。
对于一个分段函数来说，如果在分段点的左右两侧的极限存在且相等，那么该函数在这个分段点处就是极限连续的。
换句话说，如果一个函数在分段点处的左右极限相等，那么这个函数在分段点处是连续的。
举个例子来说，考虑一个分段函数f(x)：
当x小于0时，f(x)=x^2
当x大于等于0时，f(x)=2x
我们来分析这个函数在x=0处的极限连续性。
首先，我们分别计算出x=0的左右两侧的极限。
当x趋近于0时，对于左侧的极限来说，f(x)的值趋近于0^2=0；而对于右侧的极限来说，f(x)的值趋近于2*0=0。
所以，在x=0处的左右两侧的极限是相等的，即lim(x→0-)f(x)=lim(x→0+)f(x)=0。
因此，这个分段函数在x=0处是极限连续的。
通过以上的分析，我们可以得出结论：一个分段函数在分段点处的极限连续性取决于左右两侧的极限是否相等。
只有当左右两侧的极限相等时，分段函数才在分段点处是极限连续的。
这个性质在分析和求解分段函数的性质和特点时非常重要，它帮助我们理解和刻画分段函数的行为。
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第一部分 函数、极限、连续[选择题]容易题 1—47，中等题48—113，难题114—154。
1．设f x ()的定义域是[0,4]，则f x ()2的定义域是( ) A. [,]04 B. [-2,2] C. [0,16]D. [0,2]2．设函数y f x =()的定义域为[0,2]，a >0，则y f x a f x a =++-()() 的定义域为( ) A.[,][,]--⋂+a a a a 22 B. ∅C. 当a ≤1时，定义域：a x a ≤≤-2；当a >1 时，∅；D. [,][,]--⋃+a a a a 22 3．若Z y f x =+-()31，且已知当y =1时，z x =.则f x ()=（ ）A.()x +-113B.x -1C.()t +-113D.t -1 4． 下列不正确的是（ ）A.f g ,在(,)-∞+∞上都为单调增（减）函数，则f g f g f g fgg +-⋅≠,,,()0都 为单调增（减）函数B.f g ,在(,)-∞+∞上都为单调增（减）函数，则f g f g f g ,max(,),min(,)都 为单调增（减）函数C.若f x g x x (),(),()ϕ在其公共定义域上均为单调增函数，且满足： g x x f x ()()()≤≤ϕ，又设 g g x x f f x [()],[()],[()]ϕϕ均有意义，则必有：g g x x f f x [()][()][()]≤≤ϕϕD.若函数f x ()在(-∞,+∞)上为奇函数，且在[0,+∞)上是严格单调增加的，则f x ()在(-∞,+∞)上一定是严格单调增加的。
5．设f x ()的定义域为(-∞,+∞)，则g x f x f x ()()()=--是( ) A. 偶函数 B. g x ()≡0 C. 非奇非偶函数D. 奇函数6．反函数保持原来函数的( )性质。
A. 单调性 B. 奇偶性 C. 周期性D. 有界性7．设f x ()为奇函数，g x ()为偶函数，则( )为奇函数。
（ ）A.f g x [()]B.g f x [()]C.f f x [()]D.g g x [()]8．y x =sin 在[,]ππ232上的反函数是( )A.x y =arcsinB.x y =-πarcsinC.x y =+πarcsinD.x y =--πarcsin 9．y x =cos 在[,]-π0上的反函数是( )A.x y =arccosB.x y =-arccosC.x y =+2πarccosD.x y =-2πarccos 10．A x n n =∞→lim 的定义“εε<->∀∈∃0>∀A x N n N N n 恒有,,,”中,N 是（ ）A. 唯一的B. 任意的C. 不唯一，但与ε有关D. 是ε的函数 11．A x n n =∞→lim 的定义“εε<->∀∈∃0>∀A x N n N N n 恒有,,,”中ε是（ ）A. 一个很小很小的正数B.无穷小量C. 任意给定的正数D.一个不确定的正数 12．设f x a a ()(,)在-+δδ上单调,则f a f a ()()-+00与（ ) A.都存在且相等 B.都存在，但不一定相等 C.至少有一个不存在 D.都不存在13．设函数f x ()为定义在(,)-∞+∞的任何不 恒等于零的函数，则（ ）必是偶函数。
A.F x f x f x ()()()=--； B F x f x f x ()()()=+-； C.F x f x f x ()()()=--；D.F x f x f x ()()()=-+- 。
14．设f x x (),()ϕ 都是偶函数，且它们的定义域、值域均为(,)-∞+∞，则（ ）。
A.ϕ[()]f x 与f x [()]ϕ都是偶函数； B.ϕ[()]f x 与f x [()]ϕ都是奇函数； C. ϕ[()]f x 与f x [()]ϕ都是非奇非偶函数；D. ϕ[()]f x 是偶函数，f x [()]ϕ是非奇非偶函数。
15．若数列{}x n 在(,)a a -+εε邻域内有无穷多个数列的点，则（ ）。
（其中ε为 某一取定的正数。
）A.数列{}x n 必有极限，但不一定等于a ;B.数列{}x n 极限存在且一定等于a ；C.数列{}x n 的极限不一定存在；D.数列{}x n 一定不存在极限。
16．设lim ()x x f x →0存在，lim ()x x g x →0不存在，则（ ）。
A.lim[()()]x x f x g x →0及lim()()x x g x f x →0一定都不存在； B.lim[()()]x x f x g x →0及lim()()x x g x f x →0一定都存在； C.lim[()()]x x f x g x →0及lim()()x x g x f x →0中恰有一个存在； D.lim[()()]x x f x g x →0及lim()()x x g x f x →0不一定都不存在。
17．limsinsin x x x x→021的值为（ ）。
A.1;B.∞ ;C.不存在；D.0 。
18．当x →0时，与sin x 2等价的无穷小量是( )。
A. ln()1+x ; B tan x ; C. 21(cos )-x ; D. e x-1。
19．设)(x f 在),0(∞+上定义，0>a ，0>b ，若xx f )(单调减少，则 ( ) )()(a f b a f A <+； )()()(b f a f b a f B +≤+；b a b a f C+≤+)(； 均不成立C B A D,,。
20．设0≠x ，)(x f 满足关系式 xaxf x f =+)1()(2 )(为常数a ，则 )(x f 为 ( ) A 单调函数； B 奇函数； C偶函数； D周期函数。
21．0>∀ε，最多只有有限个),(εε+-∉A A a n 是A a n n =∞→lim 的 ( ) )(A 充分条件，但不是必要条件； )(B 必要条件，但不是充分条件； )(C 充分必要条件； )(D 既非充分也非必要条件。
22．0>∀ε，有无穷多个),(εε+-∈A A a n 是A a n n =∞→lim 的 ( ) )(A 充分条件，但不是必要条件； )(B 必要条件，但不是充分条件； )(C 充分必要条件； )(D 既非充分也非必要条件。
23．设a a n n =∞→lim ,则 ( ) 收敛数列}{)(n a A ； a a B n n =∞→lim )(；a a C n n -=∞→lim )(； 不一定收敛数列}{)(n a D 。
24．若a x n n =∞→lim ，0)(lim =-∞→n n n x y ，则数列}{n y ( ))(A 收敛于a ； )(B 不一定收敛；)(C a y x y x y n n n n n n n n n =∴-=-=∞→∞→∞→∞→lim ,lim lim )(lim 0 ；(D) 不收敛25．当0→x 时,Sinx x -是2x 的(A)低阶无穷小. (B)高阶无穷小. (C)等价无穷小. (D)同阶但非等价的无穷小. 答 ( B )26．当满足，当时，x xxy x ∞→+=→210 ( )才能使410〉y 成立。
（A ） 0〈x 〈21014-； （B ）x 〈+210140〈； （C ）0〈x 〈21014+， （D ）0〈x 〈,21014-答（ D ） 27．极限[]ππ)sin(lim xx x ++∞→= ( )（A ）不存在； （B ）0； （C ）1； （D ）π。
答（ B ）28．若)(x f y =与)(1y f x -=互为反函数，则关系式（ ）成立。
A ))((1x f fx -= B ))((1x f f y -= C ))((y f f x -= D 以上都不对设n 是整数，则n n x x x f --=)(是（D ）。
A 偶函数B 既是奇函数又是偶函数C 奇函数D 非奇非偶函数 29．xy 1sin=在定义域内是（ ） A 单调函数 B 周期函数 C 无界函数 D 有界函数 30．已知数列}))1(1{(}{n n n x -+=，则（ ） A n n x ∞→lim =0 B n n x ∞→lim = ∞ C nn x ∞→lim ≠∞，但无界 D 发散，但有界31． )2222(lim 284nn ⋅⋅∞→= （ ）A 2 B24 C 22 D 以上都不对32．若极限a x f x x =→)(lim 0（常数），则函数)(x f 在点0x ( )A 有定义且a x f =)(0B 不能有定义C 有定义，但)(0x f 可以为任意数值D 可以有定义也可以没有定义 33．若lim lim n n n n x y →∞→∞>, 则(A) x y n n >(B) ∀n , x y n n ≠(C) ∃N , 使当n N >时, x y n n >(D) x y n n 与大小关系不定34．x f x arc x==01是()tan 的 (A) 连续点(B) 跳跃间断点(C) 可去间断点(D) 无穷间断点35． 极限()lim cos x xx →+0π= ( )(A) e-π2(B) e -1(C) e π2(D) e-236．若bx ax x f +=2)(和b ax x g +=)(, 其中0≠⋅b a , 其图形只能是( )37(A) 若序列{}x n 收敛, {}y n 发散, 则}{n n y x +和}{n n y x 均发散； (B) 若序列{}x n 与{}y n 发散, 则}{n n y x +和}{n n y x 均发散； (C) 若lim n n n x y →∞=0, 则必有lim n n x →∞=0或lim n n y →∞=0；(D) 以上各项结论均不成立 38． x →0时, f x x x()sin =11是( )。
(A) 无穷大量; (B) 有界的, 但无极限; (C) 无界的, 但有收敛于零的子列; (D) 除上述三种以外之情况。
39．设非空实数集合S 有界，则S ( )(A) 没有最小值 （B ）不一定有最小值 （C ）没有下确界 （D ）不一定有下确界 40．设f 是定义在 ()+∞∞-,上的有界函数，且满足 )(2)2(x f x f = 则)(x f 等于( ) (A) 0 (B) x (C) x2 (D) 1 41． 狄利克雷（Dirichlet ）函数 ⎩⎨⎧=为无理数当为有理数当x x x f 01)( ()+∞∞-∈,x ( )（A ）是奇函数 (B) 是偶函数 (C) 是周期函数 (D) A, B, C 均不正确 答案C 42．若 21)(xx x f +=, 则 ()[]{}次n n x f f f x f =)( 等于( )(A)()221n nx x + (B)()22n nx n x +(C)()221n nnx x + (D)()2121nx x+43． xxa x sin lim-∞→ 等于 ( )（A ） a (B) 0 (C) -a (D) 不存在44．设有（命题I ）: L x f x x =→)(lim 0. （命题II ）: 每个收敛于点0x 的点列{}n x 都有 L x f n n =+∞→)(lim .则命题II 是命题I 的 ( ) （A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件45．若0>n a ，且1lim <=∞→r a n n n ，则 ( ) 0lim )(=∞→n n a A ； 1lim )(<∞→n n a B ；n n n r a C =∞→lim )(； 不存在n n a D ∞→lim )(。