武汉大学07数值分析研究生试卷(A)
武汉大学近二十年数学分析考研真题
其中 N > 0 为一常数，且逐点有 fn (x) → f (x) （当 n → +∞ ）。证明： （1） f (x) 在[a,b] 上连续。
（2） fn (x)→ f (x) 。
6．设
f
(x,
y)
=
⎪⎪⎧ g ( x, ⎨
y ) sin
⎪0,
⎪⎩
1, x2 + y2
(x, y) ≠ (0,0)
，证明
+
1 32
−
1 4
+
1 52
+"+
1 (2n −1)2
−
1 2n
+ " 是否收敛？为什么？
∑ 3．求级数 ∞ ⎜⎛1 + 1 ⎟⎞n(n+1) x n 的收敛区域。
n=1 ⎝ n ⎠ 4．求函数 f (x, y, z) = xyz 在条件 x + y = 1 及 x − y + z 2 = 1下的极值。
∫+∞⎡
lim
n→+∞
−∞⎢⎣
f
⎜⎛ ⎝
y
+
1 n
⎟⎞ − ⎠
f
⎤ ( y)⎥⎦dy
=
0。
3．设 f (x, y) 为连续函数，且当 (x, y) ≠ (0,0) 时，f (x, y) > 0 ，及满足 f (cx,cy) = cf (x, y) ，
∀c > 0 。证明存在α , β > 0 ，使得α x2 + y 2 ≤ f (x, y) ≤ β x2 + y 2 。
其中
∆u
=
∂2u ∂x 2
+
数值分析2007第二学期期末考试试题与答案(A)
期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。
（ ）2. 为了减少误差, （ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。
（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。
（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。
（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。
5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。
武汉大学2007年数学分析考研试题解答
1
八．计算曲面积分 I = ∫∫ xydydz + yzdzdx + z x 2 + y 2 dxdy ，
∑
其中 ∑ 是由 x 2 + y 2 + z 2 = a 2 ， x 2 + y 2 + z 2 = 4a 2 ， ( a > 0 ) ， z = x 2 + y 2 所围立体 的边界曲面的外侧.
n →∞
n π f ( x ) dx = f ( 0 ) . 2 2 0 1+ n x 2
1
武汉大学 2007 年数学分析考研试题解答
一、简略。 二、解 由对称性，只需考虑第一卦限的情形。
x0 x y0 y z0 z + + = 1， a b c
设切点为 C ( x0 , y0 , z0 ) ，则过点 C 的切平面的方程为：
1 11 1π 1 = 2π [(2a ) 4 − a 4 ]( + − ) 4 22 24 4 = 15π a 4 。 16
九、证明设
un ( x) = an cos nx + bn sin nx
，显然它是连续可微的函数；
1 由条件，可知 | un ( x) |≤| an | + | bn |= (nα | an | + nα | bn |) 1 ≤ 2M α ， α n n
≤ 2M
n
α −1
1 ，
当 α > 2 时， ∑ 2 M
n =1 ∞
∞
1 nα −1
收敛，于是 ∑ un′ ( x ) 在
n =1
∞
(−∞, +∞)
上一致收敛，
故有 S ′( x) = ∑ un′ ( x ) ，且在
数值分析试题(卷)和答案解析
【试题__2009___年~__2010___年第 一学期课程名称： 数值分析 专业年级： 2009级（研究生） 考生学号： 考生姓名： 试卷类型： A 卷 √ B 卷 □ 考试方式: 开卷 √ 闭卷 □………………………………………………………………………………………………………一. 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.设有节点012,,x x x ，其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ，则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。
-2.设()2f x x =，则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。
3.设110111011A -⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，233x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则1A ＝ ，1x = 。
4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。
二．简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）1. 哪种线性方程组可用平方根法求解为什么说平方根法计算稳定2. 什么是不动点迭代法()x ϕ满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ϕ的不动点3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥，请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。
三．求一个次数不高于3的多项式()3P x ，满足下列插值条件：。
i x 1 2 3i y2 4 12 <3i y '并估计误差。
（10分）四．试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1011I dx x=+⎰。
（10分） 五．用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。
（10分） 六．试用Doolittle 分解法求解方程组： ，12325610413191963630x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦（10分）七．请写出雅可比迭代法求解线性方程组123123123202324812231530x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩ 的迭代格式，并判断其是否收敛（10分）八．就初值问题0(0)y yy y λ'=⎧⎨=⎩考察欧拉显式格式的收敛性。
武汉大学《数学分析》《高等代数》历年考研真题(2009-2018汇总)
4
8! ( K 14 ©) lim an = +∞, y²:
n→∞
Ô! ( K 14 ©) ¼ê
1n
lim n→∞ n
ak = +∞.
k=1
(x2 + y2) sin f (x, y) =
0,
1 , x2 + y2 = 0; x2 + y2
x2 + y2 = 0.
1. ¦ fx(0, 0), fy(0, 0); 2. y²: fx(0, 0), fy(0, 0) 3 (0, 0) ØëY; 3. y²: f (x, y) 3 (0, 0) Œ‡, ¿¦ df (0, 0).
l! ( K 15 ©) z(x, y) ëY
Œ‡, 釩•§
1
∂2z
∂2z ∂2z
1
∂z ∂z
(x2 + y2)2
∂x2
+
2 ∂x∂y
+
∂y2
− (x2 + y2)3
+ ∂x ∂y
= 0.
ŠCþ“† u = xy, v = x − y. 1. ¦“† •§; 2. •ÑCþ“†” :8, ¿`²”
4. OŽ F (α), Ù¥:
eα
x+3α
F (α) = dx
f (x, y)dδ.
D
¦ f (x, y).
Ê! ( K 14 ©) f (x) ´ {(x, y)|x2 + y2 1} þ gëYŒ‡¼ê, …÷v
∂2f ∂x2
+
∂2f ∂y2
= (x2 + y2)2,
Á¦È©
x2+y2 1
x ∂f
[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷.doc
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[考研类试卷]2007年工程硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷
1 给定非线性方程e-x-2x=0． 1)判断该方程存在几个实根； 2)用适当的迭代法求出上述方程的根，精确至3位有效数字； 3)验证所用迭代法满足的收敛性条件，说明所用迭代格式是收敛的．
2 用列主元Gauss 消去法解线性方程组
3 给定线性方程组 1)写出Gauss-Seidel迭代格式；2)分析此迭代格式的收敛性
4 设f(x)=x4—3x3+x2-10，x0=1，x1=3，x2=-2，x3=0． 1)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Lagrange插值多项式L3(x)； 2)求f(x)以x0，x1，x2，x3为节点的3次Newton插值多项式N3(x)； 3)给出以上插值多项式的插值余项表达式．
5 求方程组的最小二乘解．
6 考虑积分I(f)= 1)写出计算I(f)的Simpson公式S(f)； 2)用多项式插值的思想推导出S(f). 3)写出复化梯形公式和复化Simpson公式之间的关系式．
7 给定常微分方程初值问题取正整数n，并记h=(b—a)／
n，x i=a+ih，f i=f(x i，y i)，0≤i≤n．证明求解公式y i+1=y i +(55f i-59f i-1+37f i-2-9f i-3)是一个4阶公式，并给出局部截断误差的表达式．
答案见麦多课文库。
武汉大学研究生课程数值分析期末考试
武汉大学研究生课程《数值分析》半开卷考试资料
姓名： 学号： 第 1 章 绪论 1.1 误差的基本概念 绝对误差：∆ ������ = ������ ∗ − ������ ; ∆f(x) = ������������(������) = ������ ′ (������)������������ ; 绝对误差：∆������ ������ = 有效数字：������ = (0. ������1 ������2 … ������������ × 10−������ ) × 10������ ,则有 n 位有效数字。 1 1 误差限：|∆ ������| = |������ ∗ − ������| ≤ × 10������−������ ; |∆������ ������| ≤ × 10−(������−1)
|������ ∗ −������������+1 | ������→∞ |������ ∗ −������������|������
= C (对于收敛的迭代格式，当|������′(������)| = 0，则是线性收敛)
������(������ )
������
若碰到求收敛阶：迭代公式是个方程，准确解带进去是个方程，两方程相减，然后适当变形利用微分中值定理。 3.3 Newton 法 (二阶收敛)：������������+1 = ������������ − ������′(������������ ) ; 假设������ ∗ 是 f(x) = 0 的单根, f(x)在������ ∗ 的邻域内具有连续的二阶导数且 f ′(������ ∗ ) ≠ 0 , 则牛顿公式具有局部收敛性；若 f′′(������ ∗ ) ≠ 0 且������0 ≠ ������ ∗ , 则序列{������������ }是平方收敛。 第 4 章 矩阵特征值特征向量 (略) Householder 变换（H=I-2wwT） 、 Givens 变换、幂法 第 5 章 插值与逼近 5.1 插值多项式的唯一性 Pn (x) = ������0 + ������1 ������ + ������2 ������ 2 + ⋯ + ������������ ������ ������ ; |������| = ∏(������������ − ������������ ) ≠ 0
武汉大学考研试题
武汉大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题与答案解析（满分值150分）科目名称：汉语基础科目代码：840注意：所有答题内容必须写在答题纸上，凡写在试题或草稿纸上的一律无效。
一、标点、翻译下列古文(21分)景公举兵欲伐鲁以问晏子晏子对曰不可鲁好义而民戴之好义者安民戴者和伯禽之治存焉故不可攻攻义者不祥危安者必困且婴闻之伐人者德足以安其国政足以和其民国安民和然后可以举兵而征暴今君好酒而辟德无以安国厚藉敛急使令无以和民德无以安之则危政无以和之则乱未免乎危乱之理而欲伐安和之国不可不若修政而待其君之乱也民离其君上怨其下然后伐之则义厚而利多义厚则敌寡利多则民欢公曰善遂不果伐鲁二、辨析下列各组句子中带点词的词性、意义或用法（共20分，每小题2分）1.丞相亮其悉朕意。
2.魏武帝崩，文帝悉取武帝宫人自待。
3.道二，仁与不仁而已矣。
4.舜其大知也与！5.故先王有所取有所与。
6.来，予与尔言。
7.余观夫巴陵胜状，在洞庭一湖。
8.逝者如斯夫！不舍昼夜。
9.虎因喜，计之曰：“技止此耳！”10.高山仰止，景行行止。
三、指出下列句子中带点词的意义（共20分，每小题2分）1.祸将作矣。
齐将罚晋，不可以不惧。
2.偪阳人启门，诸侯之士门焉。
3.驱诸婢妾数十人出路，任其所之。
4.使子路去其危冠，解其长剑。
5.在中庭晒头，神奇傲迈，了无相酬意。
6.每一令出，平伐其功。
7.梗阳人有狱，魏戊不能断，以狱上。
8.古之明王，奉此六者以牧万民，民用而不失。
9.齐桓公置射钩，而使管仲相。
10.夏六月，齐师、宋师次于郎。
四、指出下列句子中特殊的语法现象（共14分，每小题2分）1.既入焉，而示之璧，曰：“活我，吾与女璧”。
2.今郑人贪赖其田，而不我与。
我若求之，其与我乎？3.今政荒民弊，覆亡是惧。
4.鲍先入晋地，士鲂御之，少秦师而弗设备。
5.齐景公谓子贡曰：“子谁师？”曰：“臣师仲尼。
”6.此子也才，吾受子之赐；不才。
吾唯子之怨。
7.亶父亡走岐下，而豳人悉从亶父而邑焉。
2007年秋季工学硕士研究生学位课程(数值分析)真题试卷.doc
2007年秋季工学硕士研究生学位课程（数值分析）真题试卷(总分：32.00，做题时间：90分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.填空题请完成下列各题，在各题的空处填入恰当的答案。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 2.设x 1=0．2008和2=0．1809是具有4位有效数字的近似值，则x 1x 2至少具有______位有效数字．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 3.给定方程x=1+sin2x，求该方程根的Newton迭代格式是_______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________4.设 2.00）__________________________________________________________________________________________ 5.设f(x)=x(x-1)(x-2)，则[0，1，2，3]=______．（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________6.设f(x)在[0，1]上2 2.00）__________________________________________________________________________________________7. 2.00）__________________________________________________________________________________________8. 2.00）__________________________________________________________________________________________ 二、计算题(总题数：2，分数：4.00)9. 2.00）__________________________________________________________________________________________10. 2.00）__________________________________________________________________________________________ 三、证明题(总题数：2，分数：4.00)11.给定线性方程组Ax=b，其中A∈R n×n可逆，b∈R n为非零向量，x∈R n．设x *和程组的精确解和近似解，证明： 2.00）__________________________________________________________________________________________ 12.用插值法求一个二次多项式p 2 (x)，使得曲线y=p 2 (x)在x=0处与曲线y=cosx相切，在x=兀／2处与y=cosx相交，并证明： 2.00）__________________________________________________________________________________________四、综合题(总题数：4，分数：8.00)13.求函数f(x)=xe x在区间[0，1]上的1次最佳平方逼近多项式p 1 (x)=ax+b（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________14.给定求积公式求A，x 0，x 1，使得求积公式具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的最高代数精度的次数； 2)设f(x)在[0，2]上充分光滑，求由1)所确定的求积公式的截断误差，并将其表示为 2.00）__________________________________________________________________________________________15.n, 2.00）__________________________________________________________________________________________16.给定初边值问题 2.00）__________________________________________________________________________________________。
武汉大学06-10年(缺08-09)研究生数值分析考试试卷
武 汉 大 学2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（12分）设方程组b Ax =为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛37111221x x （1） 用Doolittle 分解法求解方程组； （2） 求矩阵A 的条件数∞)(A Cond二、（12分）设A 为n 阶对称正定矩阵，A 的n 个特征值为n λλλ≤≤≤ 21，为求解方程组b Ax =，建立迭代格式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω，求出常数ω的取值范围，使迭代格式收敛。
三、（12分）已知数据试用二次多项式c bx ax x p ++=2)(拟合这些数据。
四、（14分）已知 )(x f y = 的数据如下：（1）求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ；（2）为求⎰31)(dx x f 的值，采用算法：R dx x H dx x f +=⎰⎰31331)()(试导出截断误差R五、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分dx e b ax b a I x 210)(),(⎰-+=取得最小值。
六、（12）确定常数i A ，使求积公式)2()1()0()(32120f A f A f A dx x f ++≈⎰的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss 型公式。
七、（12分）设)(x ϕ导数连续，迭代格式)(1k k x x ϕ=+一阶局部收敛到点*x 。
对于常数λ，构造新的迭代格式：)(1111k k k x x x ϕλλλ+++=+问如何选取λ，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛。
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y t y y t f dt dy的单步法：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==+=+)21,21(),(12121hk y h t f k y t f k hk y y n n n n n n （1） 验证它是二阶方法；（2） 确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学真题2007年
武汉大学真题2007年(总分：100.00，做题时间：90分钟)一、{{B}}Part Ⅰ Reading Comprehension{{/B}}(总题数：5，分数：40.00){{B}}Directions:{{/B}} There are 4 reading passages in this part. Each passage is followed by some questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C, and D. You should decide on the best choice and mark your answer on the ANSWER SHEET by blackening the corresponding letter in the brackets.What is so special about intuitive talent? Extensive research on brain skills indicates that those who score as highly intuitively on such test instruments as the Myers-Briggs Type Indicator tend to be the most innovative in strategic planning and decisionmaking. They tend to be more insightful and better at finding new ways of doing things. In business, they are the people who can sense whether a new product idea will "fly" in the marketplace. They are the people who will generate ingenious new solutions to old problems that may have festered for years. These are the executives that all organizations would love to find.But, surprisingly, organizations often thwart, block, or drive out this talent--the very talent they require for their future survival! At the very least, most organizations lack well- established human-capital programs designed to search for and consciously use their employees' intuitive talent in the strategic-planning process. As a result, this talent is either not used, suppressed, or lost altogether.Typically, highly intuitive managers work in an organizational climate that is the opposite of that which would enable them to flourish and to readily use their skills for strategic decisionmaking. This climate can be characterized as follows: New ideas are not readily encouraged. Higher managers choose others who think much as they do for support staff. Unconventional approaches to problemsolving encounter enormous resistance. Before long, the intuitive executive begins to emotionally withdraw, slowly but surely reducing his or her input and often leaving the organization altogether.To achieve higher productivity in the strategic-planning and decisionmaking process, clearly what is needed is an organizational climate in which intuitive brain skills and styles can flourish and be integrated with more-traditional management techniques. The organization's leadership must have a special sensitivity to the value of intuitive input in strategic decisionmaking and understand how to create an environment in which the use of intuition will grow, integrating it into the mainstream of the organization's strategic-planning process. （分数：8.00）(1).Which of the following does NOT describe intuitive talents?（分数：2.00）A.They are innovative in strategic planning.B.They are good at finding new approaches to old problems.C.They are the executives that all organizations would love to find.D.They are fully utilized. √解析：D(他们受到重用。
数值分析试题及答案
数值分析试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列关于数值分析的说法，错误的是（）。
A. 数值分析是研究数值方法的科学B. 数值分析是研究数值方法的数学理论C. 数值分析是研究数值方法的误差分析D. 数值分析是研究数值方法的数学理论、误差分析及数值方法的实现答案：B2. 在数值分析中，插值法主要用于（）。
A. 求解微分方程B. 求解积分方程C. 求解线性方程组D. 通过已知数据点构造一个多项式答案：D3. 线性方程组的解法中，高斯消元法属于（）。
A. 直接方法B. 迭代方法C. 矩阵分解方法D. 特征值方法答案：A4. 牛顿法（Newton's method）是一种（）。
A. 插值方法B. 拟合方法C. 迭代方法D. 优化方法答案：C5. 在数值分析中，下列哪种方法用于求解非线性方程的根？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比方法D. 斯托尔-温格尔方法答案：B6. 下列关于误差的说法，正确的是（）。
A. 绝对误差总是大于相对误差B. 相对误差总是小于绝对误差C. 误差是不可避免的D. 误差总是可以消除的答案：C7. 在数值分析中，下列哪个概念与数值稳定性无关？A. 条件数B. 截断误差C. 舍入误差D. 插值多项式的阶数答案：D8. 用泰勒级数展开函数f(x)=e^x，下列哪一项是正确的？A. f(x) = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. f(x) = 1 - x + x^2/2! - x^3/3! + ...C. f(x) = x + x^2/2 + x^3/6 + ...D. f(x) = x - x^2/2 + x^3/6 - ...答案：A9. 插值多项式的次数最多为（）。
A. n-1B. nC. n+1D. 2n答案：B10. 下列关于数值积分的说法，错误的是（）。
A. 梯形法则是一种数值积分方法B. 辛普森法则是一种数值积分方法C. 龙格法则是数值积分方法中的一种D. 数值积分方法总是精确的答案：D二、填空题（每题3分，共15分）1. 在数值分析中，条件数是衡量问题的______。
060708研究生数值分析试卷(A).doc
武汉大学2006〜2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题(A 卷)科H 名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、(12分)设方程组Ax = 0为■1、 (1\J 1>(1)用Doolittle 分解法求解方程组;(2) 求矩阵A 的条件数Cwd(A)g 二、(12分)设A 为n 阶对称正定矩阵，A的n 个特征值为山 < 心< .•. V 九，为 求解方程组Ax = b,建立迭代格式求出常数s 的取 值范围，使迭代格式收敛。
三、(12分)已知数据试用二次多项式p ⑴=ax 1 2+hx + c 拟合这些数据。
四、(14分)已知y = /(x)的数据如下：取得最小值。
六、 (12)确定常数片，使求积公式1求f (x)的Hermite 插值多项式W 3(x)；2 为求\\f{x)dx 的值，采用算法：•⑴必:=「久3)击+ R 试导出截断误差R五、(12分)确定常数。
，b 的值，使积分r I.2I(a,b) = J 0(czx + /?-/) dxc 2^f{x)dx a A/(0) + A2/(l) + A3/(2)的代数精度尽可能高，并问是否是Gauss型公式。
七、(12分)设伊⑴导数连续，迭代格式x M =(p{x k)—阶局部收敛到点x*。
对于常数人，构造新的迭代格式：A 1 ,、队=一从+ 一心)1 +2 1 + 人问如何选取人，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是儿阶收敛。
八、(14分)对于下面求解常微分方程初值问题」方= 的单步法：Mo) = JoA)'〃+】=儿 + hk2< k、=(1)验证它是二阶方法；(2)确定此单步法的绝对稳定区域。
武汉大学2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题科目名称：数值分析学生所在院：学号：姓名：注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
武汉大学数值分析
（2 分）
（2 分） （1 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 5 页）
八．证明题（本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分） 1. 证：该问题的精确解为 y( x) y0e
i
2 k 1 ik
l 可知对任意 k i 有 | lik | aii 。即 L 的元素不
（4 分） （2 分）
会增大，误差可控，不需选主元，所以稳定。 2. 解： （1）若 x
*
x* ，则称 x* 为函数 x 的不动点。
（2） x 必须满足下列三个条件，才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于
n 0,1,......
（4 分）
4
得，
x1 0.73936133;
x2 0.739085178
x3 0.739085133 x4 0.739085133
（3 分）
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考 生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。 （第 4 页）
故取 x* x4 0.739085133 六．解：对系数矩阵做三角分解：
（1 分）
2 5 6 1 0 4 13 19 l 21 1 6 3 6 l31 l32
0 u11 u12 0 u22 1
x 的不动点：
1） x 是在其定义域内是连续函数； 2） x 的值域是定义域的子集； 3） x 在其定义域内满足李普希兹条件。 3.解：参照幂法求解主特征值的流程 步 1：输入矩阵 A，初始向量 v0，误差限 ，最大迭代次数 N; 步 2：置 k:=1,μ:=0，u0=v0/||v0||∞; 步 3：计算 vk=Auk-1; 步 4：计算 （2 分） （2 分） （2 分） （8 分）
《数值分析》考试试卷(2007)(A)
课程名称数值分析拟题老师签名教研室主任签名《数值分析》考试试卷（A ）参考答案一、（12分） 1（×）；2（×）；3（√）；4（√） 二、解由表可知 可选三个节点 （1分）=)(2x L （3分）56464.0)7.06.0)(5.06.0()7.0)(5.0(47943.0)7.05.0)(6.05.0()7.0)(6.0(⨯----+⨯----=x x x x 6422.0)6.07.0)(5.07.0()6.0)(5.0(⨯----+x x =… 7分则 54714.0)57891.0()57891.0s i n (2=≈L 10分……… 12分三、由梯形公式])(2)()([21∑-=++=n i i n x f b f a f hT （2分）333.11== T ， 167.12== T ， 6分117.14== T ， ==8T ， 10分四、（1）取直角坐标系，描点，由图可知，这些点位于一条双曲线附近。
取 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=Φx span 1,11，即1)(0=x ϕ，xx 1)(1=ϕ 2分 （2） 4),(00=ϕϕ，∑===3001101),(),(i ix ϕϕϕϕ=1.842857, ∑==302111),(i ix ϕϕ=1.310408，∑==300),(i i y f ϕ=16，∑==301),(i ii x yf ϕ=11.542857 5分(3) 解方程组⎩⎨⎧=+=+542857.11310408.1842857.116842857.141010a a a a 得解165433.0*0-=a ，041247.9*1=a 8分 xx 041247.9165433.0)(*+-=ϕ 10分()=-∑=*302)(i ii y x ϕ12分五、 设13)(3+-=x x x f ，因 1)0(=f ，375.0)5.0(-=f且 033)(2<-='x x f ，对]5.0,0[∈∀x ，所以方程0133=+-x x 在[0，0.5]上有唯一正根 （4分） 迭代函数 )1(31)(3+=x x g ， （6分） 因 125.0)(2<≤='x x g ，]5.0,0[∈∀x ，]5.0,0[)(∈x g ，]5.0,0[∈∀x 所以结论成立。
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2007~2008学年第一学期硕士研究生期末考试试题 科目名称：数值分析 学生所在院： 学号： 姓名： 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。
一、（15分）给定方程 01)1()(=--=x e x x f
(1) 分析该方程存在几个根；
(2) 用迭代法求出这些根，精确至2位有效数；
(3) 说明所用的迭代格式是收敛的.
二、（15分）设线性方程组为
0,,221122221211212111≠⎩⎨⎧=+=+a a b x a x a b x a x a
(1)证明用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法解此方程组要么同时收敛,要么同时发散.
(2) 当同时收敛时比较其收敛速度.
三、（10分）设A 为非奇异矩阵，方程组b Ax =的系数矩阵A 有扰动A ∆，受扰动后的方程组为b x x A A =∆+∆+))((，若1||||||||1<∆⋅-A A ，试证：
||||||||1||
||||||||||||
||11A A A A x x ∆⋅-∆⋅≤∆--
四、（15
求)(x f 的Hermite 插值多项式)(3x H ，并给出截断误差)()()(3x H x f x R -=。
五、（10分）已知数据
设2)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得 ∑==-30
2min ])([i i i y x f
六、（15分）定义内积 ⎰-=11)()(),(dx x g x f g f 在},,1{2x x Span H =中求
||)(x x f =的最佳平方逼近元素. 七、（10分）给定求积公式
⎰-++-≈h
h h Cf Bf h Af dx x f 22)()0()()(
试确定C B A ,,,使此求积公式的代数精度尽可能高,并问是否是Gauss 型公式.
八、（10分）给定微分方程初值问题
⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤=2)0(102y x y dx
dy
用一个二阶方法计算)(x y 在0.1 , 0.2 处的近似值. 取 1.0=h 计算结果保留5位有效数字。