高一数学必修一函数及其表示-函数的概念

1.2函数及其表示§1.2.1函数的概念【教学目的】1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素；2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域；3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号；4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。

【教学重点】在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值 对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义。

〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。

〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？问题2：y =x 与y =xx 2是同一函数吗？〖投影〗观察对应：〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。

其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。

函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。

函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A}注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射.如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解(1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有:(1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射B A f →:函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。

这里A ，B 为非空的数集。

（2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}⊆B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B（3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记)(x f〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R2、反比例函数)(x f =xk(k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0}3、二次函数)(x f =ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥ab ac 442-｝；当a ＜0时，｛y |y ≤abac 442-｝。

（三）函数的值：关于函数值)(a f 例析：若)(x f =x 2＋3x ＋1，求)2(f 。

解：)2(f =22＋3×2＋1=11〖注意〗（1）在y =)(x f 中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样； （2）)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”、“图象”；（3）)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数，)(a f 是)(x f 的一个特殊值。

（四）区间的概念〖投影〗设a 、b 是两个实数，而且a ＜b ，我们规定：（1）满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a ,b ]； （2）满足不等式a ＜x ＜b 的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a ,b ）；（3）满足不等式a ≤x ＜b 或者a ＜x ≤b 的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为),[b a 、],(b a ；（4）实数集R 可以用区间表示为（－∞,＋∞）；满足不等式x ≥a ，x ＞a ，x ≤b ，x ＜b 的实数x 的集合可以分别表示为[a ,＋∞)，（a ,＋∞），（－∞,b ]，（－∞,b ）。

〖注意〗注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如a ≤x ≤a 。

三、实例提升〖例析〗例1、设集合M={x |0≤x ≤2}，N={y |0≤y ≤2}，从M 到N 有4种对应如下图所示：其中能表示为M 到N 的函数关系的有 ② ③ 。

〖解析〗根据对应的含义和函数的概念，可以看出②③能表示M 到N 的函数关系。

〖例析〗例2、求下列函数的定义域： ①21)(-=x x f ； ②)(x f =23+x ； ③)(x f =1+x ＋x-21〖解析〗函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y =)(x f ，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x 的集合。

解：①∵x －2=0，即x =2时，分式21-x 无意义， 而x ≠2时，分式21-x 有意义 ∴这个函数的定义域是{x |x ≠2}。

②∵3x ＋2<0，即x ＜32-时，根式23+x 无意义 而3x ＋2≥0，即x ≥32-时，根式23+x 才有意义∴这个函数的定义域是{x |x ≥32-}。

③∵当x ＋1≥0且2－x ≠0，即x ≥－1且x ≠2时，根式1+x 和分式x-21同时有意义 ∴这个函数的定义域是{x |x ≥－1且x ≠2}另解：要使函数有意义，必须：x ＋1≥0且2－x ≠0⇒x ≥－1且x ≠2 ∴这个函数的定义域是：{x |x ≥－1且x ≠2}〖强调〗解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。

由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。

求函数的定义域的常见类型： （1）当)(x f 为整式时，定义域为R ；（2）当)(x f 为分式时，定义域为使分母不为0的x 的集合；（3）当)(x f 为n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x 的集合； （4）当)(x f 是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 的取值的集合。

〖例析〗例3、已知函数)(x f =3x 2－5x ＋2，求)3(f ，)2(-f ，)1(+a f 。

〖解析〗解：f (3)=3×32－5×3＋2=14；)2(-f =3×(－2)2－5×(－2)＋2=8＋52； )1(+a f =3(a ＋1)2－5(a ＋1)+2=3a 2＋a 。

〖例析〗例4、下列函数中哪个与函数y =x 是同一个函数？（1）2)(x y =； （2）33x y =； （3）2x y = 〖解析〗解：（1）y =x ，x ≥0，y ≥0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数； （2）y =x ，x ∈R ，y ∈R ，定义域值域都相同，是同一个函数； （3）y =|x |=⎩⎨⎧<-≥)0()0(x x x x ，y ≥0；值域不同，不是同一个函数。

〖例析〗例5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y （定义域不同）（2）111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y （定义域不同）（3）21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f （定义域、值域都不同） 〖注意〗两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。

四、演练反馈 1、函数)13lg(13)(2++-=x xx x f 的定义域是（ ）A ．),31(+∞- B ．)1,31(- C ．)31,31(- D ．)31,(--∞ 2、下列各组，函数)(x f 与)(x g 表示同一个函数的是（ ）A ．)(x f =1，)(x g =x 0B ．)(x f =x 0，)(x g =xx 2C ．)(x f =x 2， )(x g =4)(xD ．)(x f =x 3，)(x g =93)(x 3、已知函数)(x f =2x －3，求： （1）)0(f ，)2(f ，)5(f ；（2）)]([x f f ；（3）若x ∈{0，1，2，3}，求函数的值域。

4、若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个演练反馈答案：1、B 2、D 3、（1）)0(f =－3，)2(f =1，)5(f =7； （2）)]([x f f =4x －9；（3）值域为{－3，－1，1，3} 4、81,64,81五、课堂小结本节课学习了以下内容：函数是一种特殊的对应f ：A →B ，其中集合A ，B 必须是非空的数集；)(x f y =表示y 是x 的函数；函数的三要素是定义域、值域和对应法则，定义域和对应法则一经确定，值域随之确定；判断两个函数是否是同一函数，必须三要素完全一样，才是同一函数；)(a f 表示)(x f 在x =a 时的函数值，是常量；而)(x f 是x 的函数，通常是变量。