年全国大学生数学建模竞赛—B题—碎纸片的拼接复原
数学建模B题论文
碎纸片的拼接复原模型摘要本文主要问题是将附件中的所给的碎纸片按照一定的方法拼接复原。
通过一定的方法把碎纸片进行分组：题目给了四种类型的碎片，有长条形的，即全是竖切的中英文碎片，也有横竖都切的中文碎片，有横竖都切的单面英文碎片和横竖都切的双面英文碎片。
对于中英文长碎纸片分组拼接的问题，我们直接通过观察法，按照文字和字母的结构很容易完成了拼接。
对与中文横竖碎纸片拼接的问题，我们利用Matlab 编程并加入人工干预。
本文的主要拼接过程都是通过Matlab 软件实现的，通过Matlab 软件读取图片的信息，根据图像灰度的原理，图片包含着灰度信息，碎纸片左右的文字在纵切面上的灰度应该是完全对应的。
但把所有图片的灰度拿出来匹配是很不现实的。
于是我们想到可以通过灰度赋值，由于碎片中间文字的信息对于拼接是没有太大用途的，我们更关心左右切面的文字信息，即灰度信息。
因此将纵切面上的灰度矩阵的第一列和最后一列单独抽出，形成矩阵，然后设定一定的算法，通过Matlab 进行编程，相邻的两张碎纸片左右边缘信息匹配度非常高，其差值接近于0。
,,|p(i)p(j)|m n m n ρ=-编写的程序完全可以对所分的各组碎纸片进行拼接，而且效果非常明显。
对于英文碎纸片问题，我们采用了同样方法的分组，只是按照上下切掉的英文部分所占四线格的比例进行分组，此分组方法分组快且相对准确。
我们第二问中所编程序对英文碎纸片的拼接也完全适用。
对于双面英文的情况，也是按照上述思想方法进行分组，只是工作量稍微大些。
分组后我们也通过所编程序实现了双面英文的拼接复原。
关键词：碎纸片；拼接；图像灰度；灰度矩阵；分组1、问题重述论题给出了5个附件——反应了几种不同纸片破碎的情况，要求我们构建相应的碎纸片复原模型，以解决实际生活中出现的需要我们进行碎纸片复原的问题。
首先进行简单情况的碎纸片复原，即附件1中和附件2中的仅纵切的中英文19个碎纸片。
构建一个可以操作的拼接模型，将附件中的纵切纸片拼接。
2013全国数学建模竞赛B题优秀论文
基于最小二乘法的碎纸片拼接复原数学模型摘要首先对图片进行灰度化处理,然后转化为0-1二值矩阵，利用矩阵行（列）偏差函数，建立了基于最小二乘法的碎纸片拼接数学模型，并利用模型对图片进行拼接复原。
针对问题一，当两个数字矩阵列向量的偏差函数最小时，对应两张图片可以左右拼接。
经计算，得到附件1的拼接结果为：08,14,12,15,03,10,02,16,01,04,05,09,13,18,11,07,17,00,06。
附件2的拼接结果为:03,06,02,07,15,18,11,00,05,01 ,09,13, 10,08,12,14,17,16,04。
针对问题二，首先根据每张纸片内容的不同特性，对图片进行聚类分析，将209张图片分为11类；对于每一类图片，按照问题一的模型与算法，即列偏差函数最小则进行左右拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预，我们得到了11组碎纸片拼接而成的图片；对于拼接好的11张图片，按照问题一的模型与算法，即行偏差函数最小则进行上下拼接,对于没有拼接到组合里的碎纸片进行人工干预。
我们最终经计算，附件3的拼接结果见表9，附件4的拼接结果见表10。
针对问题三，由于图片区分正反两面，在问题二的基础上，增加图片从下到上的裁截距信息，然后进行两次聚类，从而将所有图片进行分类，利用计算机自动拼接与人工干预相结合，对所有图片进行拼接复原。
经计算，附件5的拼接结果见表14和表15该模型的优点是将图片分为具体的几类，大大的减少了工作量，缺点是针对英文文章的误差比较大。
关键字：灰度处理，图像二值化，最小二乘法，聚类分析，碎纸片拼接一、问题重述碎纸片的拼接复原技术在司法鉴定、历史文献修复与研究、军事情报获取以及故障分析等领域都有着广泛的应用。
近年来，随着德国“斯塔西”文件的恢复工程的公布，碎纸文件复原技术的研究引起了人们的广泛关注。
传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。
特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。
碎纸片的拼接复原2013全国数学建模竞赛——碎纸片拼接复原
碎纸片的拼接复原 2013全国数学建模竞赛——碎纸片拼接复原导读：就爱阅读网友为您分享以下“2013全国数学建模竞赛——碎纸片拼接复原”的资讯，希望对您有所帮助，感谢您对的支持!2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛重庆工商大学姜木北小组作品编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）碎纸片的拼接复原摘要目前，“碎片拼接复原”技术在司法物证复原、历史文物修复及社会生活各项领域扮演着重要角色，对于碎片数量特别巨大而人工又难以在短时间内完成碎片拼接时，要找到一种高效快捷的自动拼接方法已变得尤为重要。
本文针对只有中英文的碎片拼接问题，综合分析了从单一的纵切到纵横切以及纵横切双面碎片这三个不同的情况，提出了碎片拼接复原的解决方案.在问题一中，对于仅有“纵切”且数量相对较少的碎纸片，我们基于边缘去噪和采用构建碎纸图片的左右边缘二值矩阵提取相似度分析的方法，再通过两张图片左右相似度匹配排序，得到附件1和附件2中的碎纸排序（见表2和表3），并运用Matlab的图像处理工具箱，按排列顺序导入碎纸片得到相应拼接结果（见附录附件一）.在问题二中，由于碎纸片数量相对较多，同时存在横切和纵切的情况，在问题一的基础上增加了碎纸片的上下边缘相似度匹配。
在进行人工干预，找到第一张起始碎纸片作为匹配起点后，我们基于索贝尔算子的原理，对碎纸片灰度值进行边缘相似度的旋转检测和比较匹配，最后进行二叉树搜索排序（见表4和表5）。
对附件3和4的碎纸图片拼接出的结果详见附录中的附件二.在问题三中，由于碎纸片是两面的并且碎纸片数量更多，若采用第二问的求解方案则加大了求解难度同时也存在较大误差。
因此，我们基于蚁群算法（ACA）的SIFT特征点匹配原理来求解。
先提取碎纸图片特征点，然后基于蚁群算法的最优化快速比对匹配，最后基于ACA的搜索排序对碎纸片拼接。
2013 数模国赛 B题 碎纸片的拼接复原
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛B题碎纸片的拼接复原首先分析问题：对于第一问分析如下对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。
求matlab图像拼接程序clear;I=imread('xingshi32.bmp');if(isgray(I)==0)disp('请输入灰度图像,本程序用来处理128 *128的灰度图像!');elseif (size(I)~=[128,128])disp('图像的大小不合程序要求!');elseH.color=[1 1 1]; %设置白的画布figure(H);imshow(I);title('原图像');zeroImage=repmat(uint8(0),[128 128]);figure(H); %为分裂合并后显示的图设置画布meansImageHandle=imshow(zeroImage);title('块均值图像');%%%%%设置分裂后图像的大小由于本图采用了128像素的图blockSize=[128 64 32 16 8 4 2];%%设置一个S稀疏矩阵用于四叉树分解后存诸数据S=uint8(128);S(128,128)=0;threshold=input('请输入分裂的阈值(0--1):');%阈值threshold=round(255*threshold);M=128;dim=128;%%%%%%%%%%%%%%%%% 分裂主程序%%%%%%%%%%%while (dim>1)[M,N] = size(I);Sind = find(S == dim);numBlocks = length(Sind);if (numBlocks == 0)%已完成break;endrows = (0:dim-1)';cols = 0:M:(dim-1)*M;rows = rows(:,ones(1,dim));cols = cols(ones(dim,1),:);ind = rows + cols;ind = ind(:);tmp = repmat(Sind', length(ind), 1);ind = ind(:, ones(1,numBlocks));ind = ind + tmp;blockValues= I(ind);blockValues = reshape(blockValues, [dim dim numBlocks]);if(isempty(Sind))%已完成break;end[i,j]=find(S);set(meansImageHandle,'CData',ComputeMeans(I,S));maxValues=max(max(blockValues,[],1),[],2);minValues=min(min(blockValues,[],1),[],2);doSplit=(double(maxValues)-double(minValues))>threshold;dim=dim/2;Sind=Sind(doSplit);Sind=[Sind;Sind+dim;(Sind+M*dim);(Sind+(M+1)*dim)];S(Sind)=dim;end对于第二问于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
2013关于数学建模B题,碎纸片拼接技术
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2013 年 9 月 16 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：碎纸片的拼接复原摘要本文主要结合司法鉴定这一应用背景，对于给定的来自同一页印刷文字的碎纸机破碎纸片，建立模型，并对其进行拼接复原。
针对问题一：首先，拼接碎片前对碎片图像要进行灰度处理。
其次，利用Matlab编程获取碎纸片边界特征，进而获取碎纸片内文字行方向、间距等文字行特征。
再次，利用最小二乘原理对碎纸片边界进行差值处理，同时，对处理后的数据进行了筛选，剔除异常数据，筛选出最小数据。
最后，对所筛选出的数据进行人工干预。
针对问题二：对于碎纸机既纵切又横切的情形，碎片内文字图像的个数是获取文字行方向的关键。
全国大学生数学建模大赛安徽赛区二等奖
摘要
碎纸片自动拼接技术是碎纸片处理与模式识别领域中一个较新的且典型的应用。 本 文为了解决碎纸片的拼接复原问题，建立了相似度匹配、图像灰度的数值化角点匹配和 SIFT 特征的拼接等三种碎纸片拼接复原模型及相应的算法，得出了附件中碎纸片的拼 接复原碎纸片与对应碎纸片的编号顺序。 对于问题一，首先对碎纸片进行二值化处理，使碎纸片转化为各像素值为 0 或 1 的 矩阵。人工干预选出即将复原碎纸片的第一列，依次计算剩余碎纸片与该列碎纸片的相 似性度量，将相似性度量最大的碎纸片与其拼接。然后，建立基于相似性度量的相似度 匹配模型，并利用序列相似度检验方法对该模型进行了验证，通过快速匹配迭代，找到 基于下一幅二值碎纸片的像素矩阵与上一幅二值碎纸片的像素矩阵的最佳匹配碎纸片。 利用回溯搜索算法对此模型进行求解，得到中文碎纸片的顺序为(复原图片见附录 1)： 008 014 012 015 003 010 002 016 001 004 005 009 013 018 011 007 017 000 006； 英文碎纸片的顺序为(复原图片见附录 1)： 004 003 006 002 007 015 018 011 000 005 001 009 013 010 008 012 014 017 016。 对于问题二，利用问题一中对碎纸片的二值化处理以及碎纸片匹配相似程度，初始 化每列碎纸片的相似性度量，并以此作为匹配依据，在选出第一列的碎纸片（无序） 的 基础上， 根据行相似性度量和二值碎纸片的像素矩阵来建立图像灰度的数值化角点匹配 模型和算法分析。依据每张碎纸片中每两行文字之间的距离相等为约束条件，筛选出可 进行匹配的碎纸片，同问题一，通过列相似性度量将各行纸片进行拼接。最后，人工干 预选出第一行图片，依据行相似性度量对各行纸片进行拼接，所有的二值碎纸片依次进 行迭代，最终输出完整的匹配碎纸片。 （中文、英文的复原碎纸片见附录 2） 对于问题三，首先需要对碎纸片进行二值化处理，依据尺度不变特征变换原理， 找 出各碎纸片的特征点，并依照此原理，将具有相同特征点的碎纸片进行两两匹配，配对 的结果放入特征匹配的集合中。 然后利用随机一致性抽样算法， 使用采样和验证的方法， 得到大部分特征点都能满足的数学模型的参数。 不断找出特征匹配集合的各匹配结果的 内点，内点数量最大的匹配即为此匹配的最优解，并将结果进行同样组合，不断匹配直 至所有碎纸片拼接完成。 最后，对本文模型的算法进行改进，并对模型进行评价与推广。
2013国赛 碎纸片的拼接复原数学建模B解题思路分析
2， 图片为文字，所以可以确认文字的形状，但大多为残字，故 可以补全剩余部分。 #根据残字，进行文字预算，找到字体可能是的字，补全字体，找图 片能补全的部分。 3， 图片文字都为从左到右书写，有固定的行。 #文字又从左到右书写，故可以对字的上下画线，从而将文字的拼接， 改为图形线性的匹配。 4，图片可能正反双面，也就是说可以双向确定但是，由于不知道什 么是正面，什么是反面，所以无法确定，故可以将其当做一副。 #广范围查询。 ￥还可以计算他的下一个或上一个字的位置。
பைடு நூலகம்
故可以对字的上下画线从而将文字的拼接4图片可能正反双面也就是说可以双向确定但是由于不知道什么是正面什么是反面所以无法确定故可以将其当做一副
残纸碎片平拼接
图片信息：
1， 图片边缘完整，语言不是普通话，故无法用语法辨别。 2， 图片为文字，所以可以确认文字的形状，但大多为残 字，故可以补全剩余部分。 3， 图片文字都为从左到右书写，有固定的行。 4，图片可能正反双面，也就是说可以双向确定但是，由 于不知道什么是正面，什么是反面，所以无法确定，故可 以将其当做一副。
教高社杯全国大学生数学建模竞赛 碎纸片的拼接复原
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对于问题2中既纵切又横切的碎纸片，在问题一的基础上，充分考虑横向匹配和纵向匹配的要求，运用Matlab程序筛选最左列碎片成分，经过适当的人工干预根据文字行特征将所剩碎片进行行分类，大大提高拼接效率，得到意想的效果.例如文字文件的拼接结果如下表所示：
考虑到使用计算机的拼接过程应该与人工拼接过程是相类似的，即拼接时不但考虑碎片边缘是否匹配，还要判断碎片内字迹断线和文字内容是否匹配.然而根据现在已有的技术，实现计算机智能识字是几乎不可能的.但是我们可以获取图片所提供的像素信息，将其转化为矩阵，根据图像的像素矩阵值进行碎片拼接，用计算机去运行处理数据，可以想象其拼接效率无疑比单纯利用边界特征的方法好很多.
二 问题的分析
破碎文件的复原，最直接及最精确的就是人工拼接，但是当碎片的数量巨大时，人工方式就显得效率低下，所以就考虑把破碎文件运用计算机技术来帮助人们进行破碎文件的复原，让计算机在这个过程中发挥主要作用，但是用计算机处理，又不是百分之一百完美，因此在适当的时候也需要进行人工干预.
本文运用碎纸片的自动拼接技术，对每个附件给出的碎片文字材料进行分析，尽可能减少人工干预，本文给出的图像数据均为形状、大小一样的规则长四边形，由于形状的一致性，所以在拼接时如果只考虑利用碎片的边界特征，直接拼接，显然效果不理想.
2021全国大学生数学建模比赛B题 答案
如图2，当图片出现倒置情况时，正常情况下应是左边矩阵的第二列元素与右边矩阵的第一列元素进展两两匹配，假设倒置后，那么应该是左边矩阵的第二列元素与右边矩阵的第二列元素倒置顺序进展比拟，同样记录一样元素的个数并计算匹配度。
图2中左边矩阵第一列元素与右边矩阵第一列元素的匹配原那么与上述一样，不再重述。
日期：2021年9月13日
赛区评阅编号〔由赛区组委会评阅前进展编号〕：
2021高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号〔由赛区组委会送交全国前编号〕：
全国评阅编号〔由全国组委会评阅前进展编号〕：
针对问题三考虑到双面问题以及问题二中英文碎纸片的情况，我们把碎纸片两面匹配度之和作为判断碎纸片是否连接的评价标准，在问题一方法的根底上，在计算机每一步的匹配结果加以人工选择与判断，这样再次处理得到的结果，可以得到同问题二中一样的横行碎纸片，在根据新的横行碎纸片的两面边缘匹配度之和进展同样的操作处理可以将原纸张拼接复原。
两张图片匹配的原那么可以根据下面的图1、图2来表示。
如图1，当图片未出现倒置情况时，即题目中的图片均是正常摆放，将左边矩阵的第二列元素与右边矩阵的第一列元素进展两两匹配。记录元素一样的个数，个数除以1980为左边矩阵第二列对右边矩阵第一列的边缘匹配度，记为：
将所有碎纸片的二值化矩阵做如上匹配可依次选取与其匹配的碎纸片。
观察下面的图3可以发现，通过查阅资料分析[2]基于文字特征的文档碎纸片半自动拼接，每一行的绝大多数中文文字均可认为拥有同一上界、同一下界〔图3最右端出现了“一〞字，但是同行还存在其他文字，可以认为同一行文字有同一上界与同一下的碎纸片归类为一组。方法为：搜索每一张碎纸片转化后二值化矩阵 的每一行，假设矩阵该行中存在数值1，那么将该行全部赋值为1，假设这一行元素全为0，那么将该行全部赋值为0，其中1表示本行存在灰度小于255的像素，0表示不存在灰度小于255的像素，这样将209张碎纸片做出[4]新的二值化矩阵 ，之后同4.1的分析取边缘做边缘匹配得修改后的[6]边缘匹配度矩阵 ，匹配度高那么说明碎纸片的文字信息处于同一程度位置，见下列图图4，之后再人工干预，得到较优的结果。
2013全国大学生数学建模竞赛B题
将008代表的矩阵C8的第二列元素与其它矩 阵的第一列元素进行两两匹配。记录元素相 同的个数，个数除以1980为C8矩阵第二列对 其它矩阵第一列的边缘匹配度，记为：
比较这18个数据，最大的即为与008匹配的 碎纸片。然后以所找到的碎纸片的第二列开 始，求出它与其它矩阵第一列的边缘匹配度， 找出最大的，以此类推把19张碎纸片拼接完 成。
三.问题2的分析
英文碎纸片的分析 通过观察可以发现英文字母的主要的 部分拥有同一上界和同一下界，例如：
将图片中每一行中黑色像素数少于13的及 字母的次要部分转变为二值化矩阵中的0， 将每一行中黑色像素大于等于13的及字母 的主要部分转化为二值化矩阵中的1，这样 得到的新的二值化矩阵 。例如图像转变为 如下图的方式：
二.问题1的分析
步骤一：使用matlab中的imread函数 可以做出图片的灰度矩阵 ，读取每 张图片文件的数据，其目的是将附件 中给的 bmp 格式的碎纸片图以灰度 值矩阵的形式存储。再将灰度值矩阵 转化为 0-1 矩阵，来得到模型的数 据基础；
由于该像素图片转换后为
的矩阵，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
论文中无法放置，所以仅简单举例说明:
以纸片000与001为例，匹配方式可能为：
将①②的边缘匹配度相加得到边缘匹配度 之和，将③④的边缘匹配度相加得边缘匹 配度之和，两者的和做出比较。若仅有一 个大于等于1.9，则计算机输出该匹配度， 人工判断是否碎纸片是否匹配；若两者均 大于等于1.9，计算机把两个匹配度之和输 出，人工选择判断碎纸片应是否匹配与如 何匹配；若两者均小于1.9，则计算输出最 大者，人工判断碎纸片是否匹配。这样可 以得到一些在同一横行的碎纸片的拼接。
总体思路
三步走：分行，行内排序，行间排序
数学建模中的碎纸片拼接复原要点研究
数学建模中的碎纸片拼接复原要点研究基于模拟退火算法与系统聚类法，文章首先依次介绍了仅纵切、既有横切又有纵切、双面打印三种情形下的碎纸片拼接复原要点，然后对全文进行了总结与展望。
标签：碎片；拼接；复原；模拟退火算法；系统聚类法碎纸片拼接复原工作在诸多领域中有着极其重要的应用，如历史文物的考证、司法鉴定以及情报获取等。
在计算机技术发展起来之后，传统的人工复原方式导致效率低下的弊端日益凸显，因此，通过数学建模的方法得到碎纸片自动拼接复原模型以提高拼接效率显得尤为重要，已有文献对此做了一些研究[1-3]。
文章以2013年全国大学生数学建模竞赛B题为例，基于模拟退火算法与系统聚类分析，依次介绍仅纵切、既有横切又有纵切、双面打印三种情形下的碎纸片拼接复原要点。
1 仅纵切的碎纸片拼接复原要点步骤6：降温。
选定降温系数θ（一般取为接近1的数）进行降温，即用θT 取代T，从而得到新的温度。
步骤7：算法终止条件。
用选定的终止温度Te，判断退火过程是否结束。
若T<Te，算法结束并输出当前的状态。
这样，由于碎纸片较大，图片信息较明显，因此不需要人工干预，复原率可达100%。
附件2中的英文图片可类似处理。
2 有横、纵切的碎纸片拼接复原要点对于既有横切又有纵切的碎纸片拼接复原，若利用上一问的方法直接对全部的209张图片进行拼接，一方面必然会导致算法运行效率大大降低；另一方面，由于区分各图片间边界差异的灰度值信息较少，易导致拼接时重码率高而复原率低。
因此，我们采用的方法是，首先提取出所有图片的行特征；然后对209张图片建立行聚类模型，对各行聚类依据上一问的方法将其中图片重排；最后对排好序的各行类似的作横向排序即可将碎片拼接复原。
具体的步骤如下：第一步，提取图片的行特征。
利用Matlab读入图片，将每张图片转化为一个180*72的灰度值矩阵；再用Matlab可计算出中文字符高为40像素点，行间距为31像素点。
第二步，建立行聚类模型。
碎纸片拼接问题(2013B)
方法2：聚类算法：主要方法，效果好。
• 计算 Ai 的行和，得到一个特征向量 ri 。定义适当的 向量相似度指标，对 ri 进行相似度计算，然后对所有 碎片进行聚类，得到分行结果。
几种相似度度量指标：
1 欧式距离倒数： d ij || ri r j ||
夹角余弦： cos ij || r || || r || i j 相关系数： ij
规划方法：将每一行的碎片依次编号为 1, 2, , N . 定义两碎片之间的有向距离为 cij 。
令 xi ,k 1, 第 i 块碎片在第 k 个位置上 否则 0,
ห้องสมุดไป่ตู้
min z
N 1 N
c
k 1 i 1 j 1 , j i
N
ij
x i ,k x j ,k 1
c
MN
k ,l
x i , j , k x i , j 1 ,l
M 1 N MN
i 1 j 1 k 1 l 1 , l k
d
MN
k ,l
x i , j ,k x i 1 , j ,l
约束条件： （1）每个碎片只能放在一个位置上。
x
i 1 j 1
（1）整体的文字拼接正确度；
不易衡量。
（2）纸片两两之间的拼接正确度。
•如何计算纸片两两之间的拼接正确度？ 分析：假设纸片 i 和 j 拼接在一起，i 左 j 右，则 应该可以计算出一个相关的正确度指标。 怎么计算？
• 利用什么信息计算？ 利用Matlab 软件读取碎片，生成相对应的灰度值 数字矩阵 Ai 。
如何确定碎纸片的位置？
方法一：一次性确定所有碎纸片的位置。 方法二：分组确定碎纸片的位置。 方法三：逐一确定碎纸片的位置。
基于数字图像的碎纸复原模型与算法--2013年全国大学生数学建模B题碎纸片的拼接复原问题
基于数字图像的碎纸复原模型与算法--2013年全国大学生数学建模B题碎纸片的拼接复原问题
刘铁
【期刊名称】《重庆理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2015(000)003
【摘要】传统的拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。
针对该问题，借助数字图像处理技术，建立了关于图片匹配度函数的优化模型，依据穷举思想设计了求解算法，可大幅提高复原效率，但在处理复杂问题时，准确性有所下降，需要一定的人工介入。
通过对复原后图片的验证结果可知，碎纸片复原拼接模型具有可行性。
【总页数】6页(P83-88)
【作者】刘铁
【作者单位】安康学院数学与统计系数学与应用数学研究所，陕西安康 725000【正文语种】中文
【中图分类】TP393;O221
【相关文献】
1.基于数学模型的碎纸片拼接复原问题研究 [J], 周千;李文胜;朱熙
2.基于数字图像的碎纸复原模型与算法——2013年全国大学生数学建模B题碎纸片的拼接复原问题 [J], 刘铁;
3.基于SACO算法的碎纸片拼接复原模型 [J], 杨凌;王琳琳;刘冲冲;苏思美
4.基于数学模型的碎纸片拼接复原问题研究 [J], 周千;李文胜;朱熙;
5.基于量子算法的碎纸片拼接复原问题 [J], 王彦超;刘鑫磊;武良隆;刘晓东;范兴奎因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
2013全国大学生数学建模比赛B题-答案
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：重庆邮电大学参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2013 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：碎纸片的拼接复原摘要本文研究的是碎纸片的拼接复原问题。
由于人工做残片复原虽然准确度高，但有着效率低的缺点，仅由计算机处理复原，会由于各类条件的限制造成误差与错误，所以为了解决题目中给定的碎纸片复原问题，我们采用人机结合的方法建立碎纸片的计算机复原模型解决残片复原问题，并把计算机通过算法复原的结果优劣情况作为评价复原模型好坏的标准，通过人工后期的处理得到最佳结果。
面对题目中给出的BMP格式的黑白文字图片，我们使用matlab软件的图像处理功能把图像转化为矩阵形式，矩阵中的元素表示图中该位置像素的灰度值，再对元素进行二值化处理得到新的矩阵。
题目每一个附件中的碎纸片均为来自同一页的文件，所以不需考虑残片中含有未知纸张的残片以及残片中不会含有公共部分。
2013年数学建模b题
精心整理碎纸片的拼接复原【摘要】：碎纸片拼接技术是数字图像处理领域的一个重要研究方向，把计算机视觉和程序识别应用于碎纸片的复原，在考古、司法、古生物学等方面具有广泛的应用，具有重要的现实意义。
本文主要结合各种实际应用背景，针对碎纸机绞碎的碎纸片，基于计算机辅助对碎纸片进行自动拼接复原研究。
针对问题1，依据图像预处理理论，通过matlab程序处理图像，将图像转化成适合于计算机处理的数字图像，进行灰度分析，提取灰度矩阵。
对于仅纵切的碎纸片，根据矩阵的行提取理论，将每个灰度矩阵的第一列提取，作为新矩阵，提取每个灰度矩阵的最后一列，生成新矩阵。
建立碎纸片匹配模型:将矩阵中的任一列与矩阵中的每一列带入模型，所得p值对应的值，即为所拼接的碎片序列号。
将程序进行循环操作，得到最终的碎片自动拼接结果。
针对问题2，首先将图像信息进行灰度分析，提取灰度矩阵。
基于既纵切又横切的碎纸片，根据矩阵的行列提取理论，分别提取每个灰度矩阵的第一列和最后一列，分别生成新矩阵、；提取所有灰度矩阵的第一行和最后一行，分别作为新生成的矩阵、。
由于纸质文件边缘空白处的灰度值为常量，通过对灰度矩阵的检验提取，确定最左列的碎纸片排序。
在此基础上，采用从局部到整体，从左到右的方法，建立匹配筛选模型：，将矩阵中的任一列分别与矩阵中每一列代入模型，所得p值对应的值即为横排序；将矩阵中的任一行分别于矩阵中的任一行代入模型，所得q值对应的值即为列排序。
循环进行此程序，得计算机的最终运行结果。
所得结果有少许误差，需人工调制，更正排列顺序，得最终拼接结果。
针对问题3，基于碎纸片的文字行列特征，采用遗传算法，将所有的可能性拼接进行比较，进行择优性选择。
反面的排序结果用于对正面排序的检验，发现结果有误差，此时，进行人工干预，调换碎纸片的排序。
【关键词】:灰度矩阵欧式距离图像匹配自动拼接人工干预一、问题重述破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。
碎纸片的拼接复原_数学建模二等奖论文
碎纸片的拼接复原摘要破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。
但是人工完成效率很低，所以引入计算机复原，计算机虽然准确率不及人工高，但是可以大大减轻工作强度。
本论文主要是对纸张形状为矩形切割规范并且纸张上的文字标准的碎纸片的拼接复原的研究。
问题一：首先根据图片的灰度矩阵找出第一张（最左侧）图片，根据小差值优先匹配依次排出相邻图片。
碎纸片复原后的顺序如附件一、二所示。
问题二：首先根据图片的灰度矩阵最左侧n列灰度值求和最大，可找出第一列（最左侧）图片，共11张。
根据“行间”的位置特征作为凝聚点进行聚类分析，将所有图片分为11类，即11行。
应用小差值优先匹配将这每行的图片进行拼接，得到11个行图片，再次应用小差值优先匹配把这11个行图片拼接成完整的图片。
碎纸片复原后的顺序如附件三、四所示。
问题三：同问题二方法一致，找出第一列（最左侧）图片（正反两面共有22张图片），将这些“行间”的位置特征作为凝聚点进行聚类分析，所有的图片分为11“大行”，将这些图片配对的正反面进行上边缘“粘接”处理，按照小差值优先匹配将这每行的粘接形成的19图片（如图一所示）进行拼接，得到11个行图片之后，再次应用小差值优先匹配把这11个行图片拼接成完整的图片。
碎纸片复原后的顺序如附件五所示。
观察上述三个问题的处理方法可知，三个问题的解决办法主干思想完全相同，都是小差值优先匹配解决，并且清晰简练。
但是由于问题的逐渐深入和复杂程度的增加，仅靠这一个简单的方法并不能在实际中解决问题，于是增加约束条件减小搜索范围，如：找出“行间”位置，并作为凝聚点进行聚类分析，然后就可以很大程度上减小出错的概率。
关键词：聚类分析、MATLAB R2012a、小差值优先匹配、灰度矩阵1、问题重述破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。
传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。
碎纸片拼接复原的数学方法
碎纸片拼接复原的数学方法
薛毅
【期刊名称】《数学建模及其应用》
【年(卷),期】2013(002)005
【摘要】就2013年“高教社杯”全国大学生数学建模竞赛B题“碎纸片的拼接复原”提出了一种用“纯数学手段”完成拼接复原的方法,可概括为3步:TSP,聚类分析和双面信息的利用.根据题目要求给出了3个步骤中人工干预的方式与时间节点.
【总页数】5页(P9-13)
【作者】薛毅
【作者单位】北京工业大学应用数理学院,北京100124
【正文语种】中文
【中图分类】O221.7;O212.4;TP391.41
【相关文献】
1.基于数字图像的碎纸复原模型与算法--2013年全国大学生数学建模B题碎纸片的拼接复原问题 [J], 刘铁
2.基于数字图像的碎纸复原模型与算法——2013年全国大学生数学建模B题碎纸片的拼接复原问题 [J], 刘铁;
3.碎纸片拼接复原的数学方法 [J], 薛毅;
4.基于MATLAB的碎纸片拼接复原技术研究 [J], 唐巧玲;陈佳
5.基于量子算法的碎纸片拼接复原问题 [J], 王彦超;刘鑫磊;武良隆;刘晓东;范兴奎
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13年全国大学生数学建模竞赛—B题—碎纸片的拼接复原
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括、电子、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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以上容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
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）日期：2013 年09 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：碎纸片的拼接复原摘要本文通过分析题中相关要求及条件，建立数学模型解决了各种规则碎纸片的拼接复原问题。
针对问题一，首先将题中所给图片导入matlab软件，利用imread函数得到每图片的文字灰度像素矩阵，再取出所有矩阵左、右列，建立像素绝对差拟配模型，得到拟配程度最高的两幅图片，进行拼接，出现不合理拼接情况则进行人工干预，最后重复上述过程，完成全部拼接并导出图像。
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）日期： 2013 年 09 月 15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：碎纸片的拼接复原摘要本文通过分析题中相关要求及条件，建立数学模型解决了各种规则碎纸片的拼接复原问题。
针对问题一，首先将题中所给图片导入matlab软件，利用imread函数得到每张图片的文字灰度像素矩阵，再取出所有矩阵左、右列，建立像素绝对差拟配模型，得到拟配程度最高的两幅图片，进行拼接，出现不合理拼接情况则进行人工干预，最后重复上述过程，完成全部拼接并导出图像。
针对问题二，首先将全部碎片导入matlab软件，经过处理得到每张碎片中符号距离碎片上下端的像素位，再根据分类聚类思想，利用excel表格处理，将所有具有“相同”像素位的图片分为一组，得到11个分组，然后在每一个分组中建立左右连接点数目最匹配模型，再配合人工干预，将所有碎片拼接为一行图像，最后将这11行图像利用问题一中模型拼接为最终图像并打印结果。
针对问题三，首先建立一种基于K-Means局部最优性的高效聚类模型，然后根据模型利用matlab，将所给图片全部导入分类，分好类并人工调整补充后再利用matlab在每一组分类中利用问题二模型在人工干预情况下得出原始图像并打印结果。
关键词：像素绝对差拟配模型左右连接点数目最匹配模型人工干预一、问题重述破碎文件的拼接在司法物证复原、历史文献修复以及军事情报获取等领域都有着重要的应用。
传统上，拼接复原工作需由人工完成，准确率较高，但效率很低。
特别是当碎片数量巨大，人工拼接很难在短时间内完成任务。
随着计算机技术的发展，人们试图开发碎纸片的自动拼接技术，以提高拼接复原效率。
请讨论以下问题：1. 对于给定的来自同一页印刷文字文件的碎纸机破碎纸片（仅纵切），建立碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件1、附件2给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。
复原结果以图片形式及表格形式表达（见【结果表达格式说明】）。
2. 对于碎纸机既纵切又横切的情形，请设计碎纸片拼接复原模型和算法，并针对附件3、附件4给出的中、英文各一页文件的碎片数据进行拼接复原。
如果复原过程需要人工干预，请写出干预方式及干预的时间节点。
复原结果表达要求同上。
3. 上述所给碎片数据均为单面打印文件，从现实情形出发，还可能有双面打印文件的碎纸片拼接复原问题需要解决。
附件5给出的是一页英文印刷文字双面打印文件的碎片数据。
请尝试设计相应的碎纸片拼接复原模型与算法，并就附件5的碎片数据给出拼接复原结果，结果表达要求同上。
二、模型假设1、假设全部碎纸片边缘光滑2、假设字符色调一致3、假设字符间距相同，没有特殊情况4、假设除字符外，页面没有其他地方具有任何色彩5、假设英文字符书写标准，大小写字号均相同三、符号说明a表示灰色像素矩阵in表示灰色像素矩阵的列数m表示灰色像素矩阵的行数i表示第几个碎片ia表示某个像素点m nb表示某灰度像素点为黑色还是白色right表示灰色像素矩阵最右边列)(i(kleft表示灰色像素矩阵最左边列)w表示某个碎片灰色像素矩阵最左列与另一个碎片灰色像素矩阵最右列的差的绝对值的和四、模型建立与求解4.1问题一4.1.1问题分析整体来看，本问题要求利用数学模型，改原有手动拼接技术为自动或半自动拼接技术，完成题中所给的相应碎纸片的拼接复原工作。
具体操作，考虑所给碎纸片内容仅有汉字或英文，而没有颜色、大小、字形之分。
因此，只能利用碎纸片中相应的文字特征进行操作，考虑碎纸片扫描进入在计算机后是以图片的形式存在，而图片又是以像素的情况组成。
所以，首先可将图片导入matlab 中，以其像素为基点，得到每个图片的像素矩阵，每一像素矩阵即可表示该图片的特征。
为了利用图片像素矩阵完成图片的拼接，考虑问题一只是将原图分为了19列，每一列具有1980像素，首先可根据左端全为空白，找出原图最左一列碎片，然后利用拼接好的图片最右列像素点去匹配未拼接图片的最左列像素点，使得拼接最为吻合的即为需要拼接的图片，然后拼接，再重复上述过程，直到拼接完成。
具体操作流程如下：Array图1 问题一解答流程图4.1.2数据处理将图片导入matlab中，然后编写程序（具体代码见附录1），可得每个碎纸片灰度像素矩阵（碎片000局部像素点如下）。
图2 碎片000局部灰度像素点列4.1.3像素绝对差拟配模型建立令碎片导入matlab 编程计算所得的灰色像素矩阵为：由于碎片像素为72*1980，因此矩阵i a 也是72*1980的，矩阵每一列数据即为碎片相应列像素值，其中每个像素点im n a 表示此处为黑色或白色，用b 表示某灰度像素点为黑色还是白色，即：令)(i right 表示灰色像素矩阵最右边列，那么令)(k left 表示灰色像素矩阵最左边列，则令w 表示某个碎片灰色像素矩阵最左列与另一个碎片灰色像素矩阵最右列的差的绝对值的和。
那么有根据上述模型即可确定某一碎片灰度像素矩阵最右边列与其余未拼接碎片最左边列的绝对差值，下面讨论因差值不同而产生的匹配问题。
1、最左列的确定：当出现某一碎片灰度像素矩阵最左列均为255时，那么说明该碎片为原始图像的最左列。
2、假设出现k w w w w >>>> 321情况，那么首先将k w 对应的碎片与该基准碎片进行拼接，若拼接不合适，这时就需要人工干预，换1-k w 对应的碎片与基准碎片进行拼接。
情况如下：这是不确定的，而进行人工干预选择1-k w 对应的碎片后，将会出现下面情况：这样就能正确的完成两个碎片的拼接。
3、假设出现k w w w w ==== 321情况，这与上述情况相同。
因此，人工干预方式及时间选择也相同。
4.1.4像素绝对差拟配模型求解对于附件一中碎片复原，根据上述模型，利用matlab 软件，求解可得008碎片最左端矩阵列与006碎片最右端矩阵列均为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛255255 ，因此，可知008碎片为复原图最左一个碎片，006碎片为复原图最右端碎片。
其余求得所有最小的距离w 的值，根据w 的对于附录二英文复原，与上求解过程雷同，利用matlab 可得复原结果如下表，复原图4.1.5问题一综合分析综上所述，对于问题一的求解过程，未使用人工干预。
本文除使用对问题所给的碎片进行复原外，同时对具有相同属性的其他图形碎片也进行了复原，效果良好，模型稳定，可推广到所有只进行竖切的文档恢复。
4.2问题二——中文碎片复原4.2.1问题分析综合分析。
由于考虑问题二在问题一的基础上将碎片分的更加的细小，那么碎片的灰色像素矩阵数据在原有的基础上将会变得少很多，考虑使用问题一方法及模型，那么首先就要构造出与问题一相同的19个竖碎片，因此考虑将所有碎片分为19组，但经过试验分为19组后，由于空白出现太多，在每组中将11个碎片拼接在一起是相当困难的。
因此，转变思想，考虑将所给所有碎片分为11个组，在每个分组中将19张碎片拼接在一起，然后在将11个分组拼接在一起完成最后解答。
具体操作。
要想将11*19张图片分为11组，考虑文字具有行高的性质，分组中所拼接的19张碎片，所有文字具有的行高应该都是相同的。
根据这一思想，可将所有碎片导入matlab中，编程计算可得每张碎片符号距离碎片上下端的像素位，并将所有结果导入excel中，然后根据分类与聚类思想，利用excel表格处理，将碎片符号距离碎片上下端的像素位“相同”（不是绝对相等，允许误差前后波动两个像素）的点分为一组，对于出现空白位置误差较大的点可根据单边距离进行分类与聚类，若根据单边无法确定具体分入那组，那么就同时分入可能的分组中。
分组完成后那么每个分组中的图片定能拼接为一行图片，那么我们可建立左右连接点数目最匹配模型，结合人工干预，将每个分组中图片拼接在一起。
最后利用问题一中模型可将11个分组拼接在一起得到原图。
具体流程如下图：图3 问题二解答流程图4.2.2数据处理将209张碎片导入matlab中，编程得到每张碎片灰色像素矩阵，然后在利用矩阵编写程序得到每张碎片字符距离上下边界的像素位，并将其导入excel中（具体代码见得到像素位上下边缘距离后可根据上下距离“相等”（不是绝对相等，允许误差前后波动两个像素）原则，利用excel表格处理将所给数据分为11组。
其中距上边缘距离为0，在每一分组内，再利用matlab编程计算每张碎片左端与右端具有的可连接点数目（采用四舍五入原则） (具体代码见附录7) ，下表为上一分组数据的左右连接点数目：（其4.2.3 左右连接点数目最匹配模型]1[本模型属于半自动模型，需人工干预，具体步骤如下：1、选取任一分组左右连接点数目情况表，观察左右连接点数；2、选取左端连接点数目为0的碎片作为最左端碎片，并将该图片作为基准图片；3、观察基准图片右端连接点数目，从未拼接图片左端连接点数目中找寻与该数目最接近的碎片，人工控制，观察是否可连接。
若可连接则拼接上，并将新拼接上碎片作为基本图片，若不可连接，则重新找寻符合要求的碎片，观察是否可连接；4、重复3步骤，直到将图片全部连接完成。