走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱

走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱

一、约束条件中的参变量

例1 已知实数,x y 满足01

240

y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨

+≤⎪⎪++≥⎩ ，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54

的直角三角形，则n 的值是 .

例2 设变量,x y 满足约束条件0

37x y x

x ay ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩

，其中1a >若目标函数z x y =+的最大值为4，则a 的值为 .

例3 在平面直角坐标系中，设不等式组()003x y y n x >⎧⎪

>⎨⎪≤--⎩

所表示的平面

区域为n D ，记n D 内的整点（即横、纵都为正整数的点）的个数为n a ，则n a = .

例4 若实数,x y 满足不等式330

23010x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩

，且x y +的最大值为9，则

实数m = .

例5 实数,,x y k 满足30

10x y x y x k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩

，

若22z x y =+的最大值为13，则k = .

例6 已知由不等式组00

240

x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨

-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，则k = .

例7 已知点(,)P x y 满足条件0

20x y x

x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩

，若3z x y =+的最大值为8，则k = .

例8 已知2z x y =+，,x y 满足2y x

x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩

，且z 的最大值是最小值的4

倍，则a = .

例9 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件0

230x y x y x m +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩

，则实数

m 的最大值为 .

例10 若不等式组0220x y x y y x y a

-≥⎧⎪+≤⎪

⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的形状是三角形，则a

的取值范围为 .

二、目标式中设置的参数值

例1 已知实数,x y 满足约束条件20

220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩

，若z y ax =-取得最大

值的最优解不唯一，则实数a = .

例2 设,x y 满足约束条件3602000

x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪

⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数

z ax by =+()0,0a b >>的最大值为12，则23a

b

+的最小值为 .

例3 已知区域D ：10

10330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩

，的面积为S ，点集

(){},1T x y D y kx =∈≥+在坐标系中对应区域的面积为1

2

S ，则k = .

例4 已知,x y 满足约束条件0

20x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩

，若z ax y =+的最大值为4，则

a = .

例5 已知变量,x y 满足约束条件230

33010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数

z ax y =+(0)a >其中仅在点()1,1处取得最大值，则a 的取值范围

为 .

例6 设实数,x y 满足约束条件36020

00

x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨

≥⎪⎪≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则22

a b +的最小值为 .

例7 设,x y 满足不等式组60

210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩

，若z ax y =+当且仅当在点

()2,4处取最大值，在点()1,1处取最小值，则实数a 的取值范围

为 .

例8 已知实数,x y 满足1

122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩

，

若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b

+的最小值为 .

三、其他类

例1 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l

上的投影.由区域20

340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩

，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段AB ，则AB = .

例2 在平面直角系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足

OA OB =2OA OB ==，则点集{}

,1,,P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R 所表

示的区域的面积为 .

例3 若两个正数,a b 满足24a b +<，则2

22

b z a +=-的取值范围为 .

例4 若实数,x y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩

，则2z x y =+的最大值为

.

例5 若不等式组1010102

x y x y y ⎧

⎪+-≤⎪

-+≥⎨⎪⎪+≥⎩，表示的区域为Ω，不等式

2

2

1124x y ⎛⎫-+≤ ⎪

⎝

⎭表示的区域为Γ，在Ω中任取一点P ，则点P 落在区域Γ中的概率为

.

例6 已知正数,,a b c 满足：534,ln ln c a b c a c b a c c -≤≤-≥+，则b a

的取值范围是 .

例7 已知实数,x y 满足()21

y x

x y a a x ≥⎧⎪

+≤>⎨⎪≥⎩

，222

23y xy x x -+的最大值为6，则实数a = .

例8 已知实数,x y 满足约束条件10

4312020

x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨

⎪-≥⎩

，则211x y z x -+=+的最大值为 .

例9 已知不等式组34100

4

3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩

，表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A B 、，当APB ∠最大时，