走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱

走出含参变量的线性规划问题的解题陷阱
一、约束条件中的参变量
例1 已知实数,x y 满足01
240
y x y x y x my n ≥⎧⎪-≥⎪⎨
+≤⎪⎪++≥⎩ ，若该不等式组所表示的平面区域是一个面积为54
的直角三角形，则n 的值是 .
例2 设变量,x y 满足约束条件0
37x y x
x ay ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩
，其中1a >若目标函数z x y =+的最大值为4，则a 的值为 .
例3 在平面直角坐标系中，设不等式组()003x y y n x >⎧⎪
>⎨⎪≤--⎩
所表示的平面
区域为n D ，记n D 内的整点（即横、纵都为正整数的点）的个数为n a ，则n a = .
例4 若实数,x y 满足不等式330
23010x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
，且x y +的最大值为9，则
实数m = .
例5 实数,,x y k 满足30
10x y x y x k +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩
，
若22z x y =+的最大值为13，则k = .
例6 已知由不等式组00
240
x y y kx y x ≤⎧⎪≥⎪⎨
-≤⎪⎪--≤⎩，确定的平面区域Ω的面积为7，则k = .
例7 已知点(,)P x y 满足条件0
20x y x
x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩
，若3z x y =+的最大值为8，则k = .
例8 已知2z x y =+，,x y 满足2y x
x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，且z 的最大值是最小值的4
倍，则a = .
例9 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件0
230x y x y x m +≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩
，则实数
m 的最大值为 .
例10 若不等式组0220x y x y y x y a
-≥⎧⎪+≤⎪
⎨≥⎪⎪+≤⎩表示的平面区域的形状是三角形，则a
的取值范围为 .
二、目标式中设置的参数值
例1 已知实数,x y 满足约束条件20
220220x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩
，若z y ax =-取得最大
值的最优解不唯一，则实数a = .
例2 设,x y 满足约束条件3602000
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数
z ax by =+()0,0a b >>的最大值为12，则23a
b
+的最小值为 .
例3 已知区域D ：10
10330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩
，的面积为S ，点集
(){},1T x y D y kx =∈≥+在坐标系中对应区域的面积为1
2
S ，则k = .
例4 已知,x y 满足约束条件0
20x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则
a = .
例5 已知变量,x y 满足约束条件230
33010x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数
z ax y =+(0)a >其中仅在点()1,1处取得最大值，则a 的取值范围
为 .
例6 设实数,x y 满足约束条件36020
00
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪⎨
≥⎪⎪≥⎩，若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为10，则22
a b +的最小值为 .
例7 设,x y 满足不等式组60
210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩
，若z ax y =+当且仅当在点
()2,4处取最大值，在点()1,1处取最小值，则实数a 的取值范围
为 .
例8 已知实数,x y 满足1
122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩
，
若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为7，则34a b
+的最小值为 .
三、其他类
例1 在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l
上的投影.由区域20
340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩
，中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段AB ，则AB = .
例2 在平面直角系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足
OA OB =2OA OB ==，则点集{}
,1,,P OP OA OB λμλμλμ=++≤∈R 所表
示的区域的面积为 .
例3 若两个正数,a b 满足24a b +<，则2
22
b z a +=-的取值范围为 .
例4 若实数,x y 满足不等式组523010y x y x y ≤⎧⎪-+≤⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =+的最大值为
.
例5 若不等式组1010102
x y x y y ⎧
⎪+-≤⎪
-+≥⎨⎪⎪+≥⎩，表示的区域为Ω，不等式
2
2
1124x y ⎛⎫-+≤ ⎪
⎝
⎭表示的区域为Γ，在Ω中任取一点P ，则点P 落在区域Γ中的概率为
.
例6 已知正数,,a b c 满足：534,ln ln c a b c a c b a c c -≤≤-≥+，则b a
的取值范围是 .
例7 已知实数,x y 满足()21
y x
x y a a x ≥⎧⎪
+≤>⎨⎪≥⎩
，222
23y xy x x -+的最大值为6，则实数a = .
例8 已知实数,x y 满足约束条件10
4312020
x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨
⎪-≥⎩
，则211x y z x -+=+的最大值为 .
例9 已知不等式组34100
4
3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
，表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆221x y +=的两条切线，切点分别为A B 、，当APB ∠最大时，
cos APB ∠= .
例10 设变量,x y 满足约束条件20
30230x x y x y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩
，
则目标函数6z x y =+的最大值为 .
例11 设,x y 满足约束条件1
x y a
x y +≥⎧⎨
-≤-⎩，且z x ay =+的最小值为7，则
a = .
答案
一、 1.3
2
- 2.2 3.3n 4.1 5.2
6.1-
7.6-
8.1
49.1-10.(]4
0,1,
3
⎡⎫
+∞⎪
⎢⎣⎭
二、 1.12
-或 2.25
63.1
3
4.2
5.10,
3
⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
6.25
137.(]2,0
-8.7
三、 1. 2. 3.()3,1
- 4.14 5.32
36
π+
6.[],7e
7.4
8.4
59.1
2
10.18
11.3。