数值分析试B卷答案

上海海事大学2018---2018学年第2学期

研究生数值分析课程考试试卷B <答案）

学生姓名：学号：专业：

一．填空题<每小格3分共33分）

1.以线性迭代求解Ax=b时，迭代收敛的充要条

件是

迭代矩阵

2.已知，是以整数点0,1,2,…n为节点的

Lagrange插值基函数，则：= x ，

3.设则差商5

4.对于求解非线性方程，Newton法的迭代公式是

5.Newton-Cotes数值求积公式

的代数精度至少具有n___次，当n为偶数时，求积公式代数精度至少具有n_+1__次,且1

6. QR法是计算非奇异矩阵的所有特征值和特征向量的计

算方法

7．求解常微分方程初值问题

的Euler二步法公式为，它是2阶方法。

二．用基函数构造法，求一个次数不高于4次的Hermite插值多项式，使它满足：，，。

<7分）

解：解：

；

插值余项：，，

三．假设已知矩阵A的某个特征值的近似值，即有

，。试分析用什么方法可以修正特征值的

近似值，并得到相应于特征值的特征向量。 <6分）

解：设，故是B的按模最小特征值。由反幂法可得：

，作，即得，则对充分大的，

<即为特征值对应的特征向量）且：

四．设有方程组Ax=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式

试证明：当时，迭代序列收敛。<其中是A的最大特征值）<6分）

证明：可以得

迭代矩阵，特征值为

如，则，故

时，，成立，所以迭代收敛。

五．设，其中A是，当取何范围值时A为正定。

又取何范围值时，Jacobi迭代为是收敛的。

<6分）

证：

因为A正定，所以各阶顺序主子式>0, ,,得

。

如2D-A也正定，则Jacobi迭代收敛，所以

,, 得

六．给定求积公式

①

试决定A、B和C使其具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的代数精度的次数 <7分）

解当f(x>=1 时左＝＝２，右=A+B+C

当f(x>=x 时左＝＝０，右=<－A+C）

当f(x>=x２时左＝，右=

要使求积公式至少具有２次代数精度，其充分必要条件是Ａ，Ｂ，Ｃ满足如

下方程组：

解得

，，

代入①得

②当f(x>=x３时②的左＝０，右＝０，左＝右

当f(x>=x４时左＝，右＝左≠右

综上，当求积公式①中求积系数取，，时

得到求积

公式②，其代数精度取到最高，此时代数精度为３

七.求在[-1,1] 上的最佳二次逼近多项式。已知

。<5分）

解因所以

八．证明用单步法求解初值问题

，可以给出准确解。 <7分）

解：因：

又由taylor展开得：

由此：，故当时，该法可得准确

解。

九．试用关于互异节点和的插值多项式和构

造出关于节点的不超过n-1次的多项式。<7分）

解：因为，，且都为不超过n-

2次的多项式，故

，所以为不超n-1次多项式

有得到

所以

十．证明：左矩形求积公式。

设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公

式

是

收

敛

的

。

<

8

分

）解：因为：；

故：

=

又：分划[a,b]得：，k=1,2,…n

得复合公式：

所以：=

其中：，且

有：

十一．对于初值问题，若函数在区域，

满足条件，试说明二阶Runge-

Kutta方法在条件下是收敛的。并

用该方法求解初值问题，讨论绝对稳定性对步

长的限制。 <8分）

解：因为：

所以：，其中

由收敛定理得：二阶Runge-Kutta方法是收敛的。

另：

由，得。