复化Simpson公式的收敛速度

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simpson法

simpson法Simpson法是一种常用的数值积分方法。

其基本思想是通过对被积函数进行二次插值来逼近积分结果。

我们可以将被积函数在区间$[a,b]$内等分为$n$个小区间，将每个小区间用一个二次多项式来逼近，然后对这些二次多项式的积分进行求和，就可以得到整个区间$[a,b]$内被积函数的积分近似值。

具体来说，假设我们要对连续函数$f(x)$在区间$[a,b]$内进行数值积分，且等分成$n$个小区间，那么小区间长度就为$h=\frac{b-a}{n}$。

在第$i$个小区间内，我们可以用一个二次多项式来逼近$f(x)$，这个多项式可以写成如下的形式：$$p_i(x)=a_i+b_i(x-x_i)+c_i(x-x_i)^2$$其中$x_i=a+ih$表示小区间的左端点，$a_i=f(x_i)$表示$f(x)$在$x_i$处的函数值，$b_i$和$c_i$是待求的系数。

为了求出这些系数，我们需要再在每个小区间内找到两个点$x_{i-1}$和$x_{i+1}$，然后根据这三个点的函数值，我们可以构造出如下的二次多项式：$$q_i(x)=\frac{(x-x_{i+1})^2}{(x_i-x_{i+1})^2}f(x_i)+\frac{(x-x_i)(x-x_{i+1})}{(x_{i-1}-x_i)(x_{i-1}-x_{i+1})}f(x_{i-1})+\frac{(x-x_i)^2}{(x_{i-1}-x_i)^2}f(x_{i+1})$$当$x=x_i$时，$q_i(x_i)=f(x_i)$，当$x=x_{i-1}$时，$q_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})$，当$x=x_{i+1}$时，$q_i(x_{i+1})=f(x_{i+1})$。

因此，$q_i(x)$可以很好地近似$f(x)$在小区间$[x_{i-1},x_{i+1}]$内的函数值。

接下来，我们可以将$p_i(x)$和$q_i(x)$相减，得到一个误差项$E_i(x)$：$$E_i(x)=f(x)-q_i(x)=\frac{f''(\xi_i)}{2}(x-x_i)(x-x_{i+1})$$其中，$\xi_i$是$x_i$和$x_{i+1}$之间某个点，$f''(\xi_i)$表示$f(x)$在$\xi_i$处的二阶导数。

复化梯形公式和复化辛普生公式

return result;
}
void simpson::integration()//实现积分
{
cout<<"输入上限和下限";
cin>>b>>a;
cout<<"输入你要使用simposn法则的数目(即等分数)";
cin>>n;
h=(b-a)/n;
sum_even_terms=0.0;
sum_odd_terms=0.0;
for(k=1;k<n;k++)
{
sum_even_terms+=sine(k*h);
}
for(k=0;k<n;k++)
{
sum_odd_terms+=sine((2*k+1)*h/2);
}
integral=(2.0*sum_even_terms+4.0*sum_odd_terms+sine(b)+1)*h/6.0;
《数值分析》实验报告
姓名
学号
日期
2012．11.20
实验室
设备编号
实验题目
用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx
一实验目的
1．了解复化梯形公式和复化辛普生公式。
2.用复化梯形公式和复化辛普生公式求I=∫01sinx/xdx。
二实验内容
算法：复化梯形公式是Tn=∑h/2[f(xi)+ f(xi+1)]=(b-a)/2n[f(a)+2∑f(xi)+f(b)]记子段[xi,xi+1]的中点为xi+1/2,则复化Simpson公式为Sn=∑h/6[f(xi)+4f(xi+1/2)+ f(xi+1)]=b-a/6n[f(a)+4∑f(xi+1/2)+2f(xi)+f(b)]

复化Simpson公式在r-重积分Wiener空间下的平均误差

假设Ｆ是一个集合，Ｇ是一个范数为ｌｌ・ｌＩ的
线性赋范空间，是定义在Ｆ的Ｂｏｒｅｌ子集上的概
率测度，５是Ｆ到Ｇ的可测映照，称为解算子；Ｎ是Ｆ到的一个可测映射，称为信息算子；是到Ｇ的一个可测映射，称为算法．当１ ≤ｐ＜＋ ∞时，信息基逼近。Ｎ相应于测度的ｐ一平均误差为【ｅ（Ｓ，。Ｎ，ｌｌ・ｌｌ，，Ｆ）＝
第３３卷
第４期
天津师范大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｒｎａｌｏｆＴｉａｎｊｉｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
ｒ－ｆｏｌｄｉｎｔｅｇｒａｔｅｄＷｉｅｎｅｒｓｐａｃｅ
ＷＡＮＧＲｕ，ＸＵＧｕｉｑｉａｏ
（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＳｃｉｅｎｃｅ，ＴｉａｎｊｉｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｔｉａｎｊｉｎ３００３８７，Ｃｈｉｎａ）
１
考虑复化Ｓｉｍｐｓｏｎ公式在ｒ一重积分Ｗｉｅｎｅｒ空间下的平均误差，得到相应情形下的饱和阶为１／ｎ．记Ｆｏ＝｛厂 ∈ ｑｏ，１】：Ｏ）＝ｏ】．Ｖ ∈ Ｆ０，定义１Ｉｆｌｌｃ：＝ｍａｘｔ）ｌ，则（Ｆｏ，ｌＪ．１Ｉ）成为一个可分的Ｂａｎａｃｈ空间．（，ｌＩ）上的Ｂｏｒｅｌ集记为Ｂ（Ｆ０），Ｂ（Ｆ０）上的Ｗｉｅｎｅｒ测度记为ｔｏｏｔ￣．定义Ｆ０上的ｒ一重积分算子，

计算方法模拟试题及参考答案

1 的误差不超过 × 10 − 4 。 2
7．（10 分）取步长 h = 0.1 ，求如下常微分方程初值问题
dy = x + y2, dx y(0) = 1 x>0
的解函数在 x = 0.2 处的近似值．要求：每步用 Euler 法进行预估，用梯形法进行一次校正，结果保留四位小数． 8．（10 分）设 x =
2 xy ,0 < x ≤ 1 y′ = 1 − 1+ x2 y (0) = 0
的数值解，要求取步长 h＝0.5。 5 1 5. 用乘幂法计算矩阵 A = （小的按摸最大的特征值和对应的特征向量。 2 6 数点后保留四位）二、（15 分）已知方程 ( x − 1)e x = 1 在[1,2]内有惟一实根 α 。（1）试建立迭代格式 x k +1 = ϕ ( x k ) , k = 0,1, ，论证其关于初值 x0 ∈ (1, 2) 的收敛性；（2）求根 α 的近似值 xk +1 ，使 xk +1 − xk < 10−3 。
____________；（3）数值求积公式
∫
1 0
f ( x )dx ≈
1 3 2 f (0) + f ( ) 的代数精确度为 4 4 3
；
（4）因为矩阵 B 的谱半径 ρ ( B ) > 0 ，所以对任意初始向量 x ( 0 ) ，迭代格式； x ( k +1) = Bx ( k ) + g , k = 0,1,2, 不收敛_________（错或对）（5）如果求解线性方程组的 Jacobi 迭代法不是对任意初始向量 x ( 0 ) 收敛，则相应的 Gauss-Seidel 迭代法（JGS）不是对任意初始向量 x ( 0 ) 收敛______ （错或对）。 2．（10 分）用迭代法（非牛顿法）求方程 3 x 2 − e x = 0 在（0 ，1）内的根的近似值 x n+1 。要求：（1）说明所用方法为什么收敛；（2） x n +1 − x n ≤ 10 −3 时迭代结束。

数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学

数值分析智慧树知到课后章节答案2023年下长安大学长安大学第一章测试1.算法效率就是指算法的快慢（）答案:错2.数值分析的任务就是：根据要求解的数学问题去设计算法（）答案:错3.用3.14近似π的有效数字位数是( )答案:34.真值经‘四舍五入’得到的近似数一定是有效数 ( )答案:对5.自然底数e=2.718281828的近似数2.7，2.71，2.718，2.7182中，有效数有（）个答案:2第二章测试1.n+1个互异节点，能够构造多少个拉格朗日插值基函数？（）答案:n+12.插值条件越多，拉格朗日插值多项式和原函数之间的误差越小（）答案:错3.通过牛顿插值法构造插值多项式时，首先需要建立什么？（）答案:差商表4.相同插值条件下，牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式的次数是一样的（）答案:对5.埃尔米特插值相比于拉格朗日插值的区别在哪？（）答案:多了一些与导数相关的插值条件6.分段插值主要解决了什么问题？（）答案:插值次数过高7.分段插值的本质就是在多个区间上做了多次的拉格朗日插值（）答案:对第三章测试1.在C[a, b]中，是范数（）答案:对2.在C[a,b]中，内积诱导范数与函数的2-范数相等（）答案:对3.可以利用相邻三项的关系确定一个正交多项式系，且结果唯一（）答案:错4.连续函数最佳平方逼近法中涉及的范数是连续函数空间中哪种范数（）答案:2-范数5.内积空间中线性无关元素确定的Gram矩阵是实对称正定矩阵（）答案:对6.函数，则 ( )答案:7.连续函数最佳平方逼近法中，平方误差一定是一个（）答案:非负数8.在对一组离散数据进行函数近似时，可以选用的方法有（）答案:曲线拟合;Lagrange插值;Newton插值9.在离散数据最小二乘曲线拟合问题中，所涉及的范数是（）答案:实向量空间2-范数10.线性矛盾方程组的最小二乘解是存在且唯一的 ( )答案:错11.下面是Newton-Cotes公式中Cotes系数特点的是（）答案:全为正（时）;和为1;对称性第四章测试1.含有n+1个互异求积节点，代数精确度至少为n的数值求积公式是（）答案:存在且唯一2.具有n次代数精确度的数值求积公式是插值型求积公式 ( )答案:对3.含有n+1个求积节点的插值型求积公式至少具有n次代数精确度 ( )答案:对4.Simpson公式的代数精确度为（）答案:3次5.积分区间为[a, b]，Simpson公式的Cotes系数为（）答案:1/6 4/6 1/66.用相同的求积节点对同一定积分进行近似求解，通常复化Simpson比复化梯形公式更准确 ( )答案:对7.被积函数足够光滑，复化Simpson公式的收敛阶数是 ( )答案:错8.被积函数足够光滑，复化梯形公式的收敛阶数是 ( )答案:对9.被积函数足够光滑，复化Simpson公式的收敛阶数是（）答案:第五章测试1.为什么在消元前要选择主元？（）答案:增强算法稳定性2.当线性方程组Ax=b的系数矩阵A是（）时，可用回代法求解.答案:上三角矩阵3.用高斯顺序消去法解线性方程组时，消元能进行到底的充分必要条件是（）.答案:系数矩阵A的前n-1阶顺序主子式非零4.矩阵A的哪种分解对应着高斯顺序消去法？（）答案:Doolittle5.n阶三对角矩阵A能够进行三角分解的充要条件为（）.答案:A的前n-1阶顺序主子式都非零第六章测试1.向量序列还是矩阵序列，也不管是定义中的按范数收敛还是按分量收敛，不可转化为数列的收敛。

复化simpson公式

复化simpson公式
Simpson公式是一种有助于解决微积分计算问题的数学方法，它可以帮助我们计算定积分的大小。

Simpson公式也叫Simpson积分公式，它是由英国数学家Thomas Simpson在18th世纪提出的。

Simpson公式主要用于计算定积分，它将一个积分拆分成n个等距小段，然后用几何技巧计算每一小段的定积分值。

具体地说，Simpson公式分成两部分，一部分用于计算较小的积分，另一部分则用于计算较大的积分。

这两部分积分分别称为Simpson公式上半部分和Simpson公式下半部分。

Simpson公式的优点在于它可以更准确地计算定积分的大小，而且它的计算速度比传统的计算方法更快。

此外，Simpson公式还可以计算非定义积分，这在一些更复杂的问题中是非常有用的。

Simpson公式也可以用于求解更复杂的问题，比如拟合多项式，解决微分方程和求解微分方程组，以及求解复杂函数的极值问题。

总之，Simpson公式是一种非常有用的数学工具，它可以帮助我们计算定积分的大小，并且可以用于解决更复杂的数学问题。

复化Simpson公式

2012-2013（1）专业课程实践论文复化Simpson公式肖云龙，0818180214，R数学08-2班Simpson 公式是一个数值积分公式，在计算一些多项式函数（三次或三次一下）的定积分时会得出精确值。

但容易验证它对于)(x f =4x 通常是不准确的，因此，Simpson 公式实际上具有三次代数精度。

提高阶的途径并不总能取得满意的效果。

为了改善求积的精度，通常采用复化求积法。

Simpson 公式)]()2(4)([6b f ba f a f ab S +++-= 将定积分⎰=ba dx x f I )(的积分区间],[b a 分隔为n 等分，各节点为n j jh a x j ,,1,0, =+= nab h -=复化梯形公式的形式])()(2)([211∑-=++=n j j n b f x f a f hT记子区间[1,+j j x x ] 的中点为21+j x则复化Simpson 公式：n S ])(4)(2)()((6102111∑∑-=+-=+++=n j j n j j x f x f b f a f h#include<iostream.h>#include<math.h>double function(double x){ double s;s=x/(4+x*x);return s;}double ReiterationOfSimpson(double a,double b,double n,double f(double x)) { double h,fa,fb,xk,xj;h=(b-a)/n;fa=f(a);fb=f(b);double s1=0.0;double s2=0.0;for(int k=1;k<n;k++){ xk=a+k*h;s1=s1+f(xk);}for(int j=0;j<n;j++){ xj=a+(j+0.5)*h;s2=s2+f(xj);}double sn;sn=h/6*(fa+fb+2*s1+4*s2);return sn;}main(){double a,b,Result,n;cout<<"请输入积分下限："<<endl;cin>>a;cout<<"请输入积分上限："<<endl;cin>>b;cout<<"请输入分割区间数n："<<endl;cin>>n;cout<<"复化Simpson公式计算结果：";Result=ReiterationOfSimpson(a,b,n,function);cout<<Result<<endl;return 0;}例1．用Simpson 公式求积分⎰+1024x x解：运行程序(1) 请输入积分下限：输入a 的值为0，回车。

Du-Y.P.2008 改进Simpson公式及误差分析

28
高师理科学刊
第 28 卷
a+b ，由泰勒中值定理知 2 f ′( x 0 ) f ′′( x 0 ) f ′′′( x 0 ) F ( x) = F ( x 0 ) + f ( x 0 )( x − x 0 ) + ( x − x0 ) 4 + ( x − x0 ) 3 + ( x − x0 ) 2 + 4! 3! 2! f ( 4) ( x0 ) f (5) ( x 0 ) f ( 6) (ξ ) ( x − x0 ) 6 + ( x − x0 ) 7 ( x − x0 ) 5 + 6! 7! 5! 其中 ξ 介于 x 和 x 0 之间，故
证明设 F ( x) = ∫ f (t )dt ，记 x0 =
a x
∫a
b
1 ⎛b−a⎞ ⎛a +b⎞ 1 ⎛a +b⎞ f ( x)dx = F (b) − F (a) = (b − a) f ⎜ ⎟ + f ′′⎜ ⎟⋅2⋅⎜ ⎟ + f 5! ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ 3! ⎝ 2 ⎠ 1 ⎛b−a⎞ ⎜ ⎟ 7! ⎝ 2 ⎠
7
3
( 4)
⎛a +b⎞ ⎛b− a⎞ ⎜ ⎟⋅2⋅⎜ ⎟ + ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
（3）
5
(f
( 6)
(ξ1 ) +
f
(6)
(ξ 2 ))
其中： ξ1 介于
a+b a+b 和 b 之间； ξ 2 介于 a 和之间． 2 2
f ′′( x 0 )
2! ( x − x0 ) 2 +
对 f ( x) 应用泰勒中值定理，有 f ( x) = f ( x 0 ) + f ′( x 0 )( x − x 0 ) +

复合辛普森公式

复合辛普森公式
复合辛普森公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。

它是基于辛普森公式的扩展，在辛普森公式中，将积分区间平均分成一系列小区间，然后在每个小区间中用二次多项式逼近被积函数。

在复合辛普森公式中，我们进一步将每个小区间再次细分，得到更多的子区间。

然后，对于每个子区间，我们使用辛普森公式来近似计算该子区间上的定积分值。

最后，将所有子区间的定积分值相加，就得到了整个积分区间上的近似值。

复合辛普森公式的具体计算步骤如下：
1. 将积分区间[a, b]平均划分为n个子区间，每个子区间的宽度为h =
(b - a) / n。

2. 对于每个子区间，计算其两个端点处的函数值f(a), f(b)，以及中点处的函数值f((a + b) / 2)。

3. 使用辛普森公式，在每个子区间上计算定积分的近似值：
I_i ≈(h / 6) * [f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b)]
其中，I_i表示第i个子区间上的定积分近似值。

4. 将所有子区间的定积分近似值相加，即可得到整个积分区间上的近似值：
I ≈I_1 + I_2 + ... + I_n。

复合辛普森公式通过使用更多的子区间，可以提高积分的精度。

通常情况下，选择合适的子区间数量n，可以使得近似值更接近实际的定积分值。

需要注意的是，复合辛普森公式对于被积函数具有足够光滑性质时效果较好，对于具有突变或不连续性的函数可能不适用。

此外，在选择子区间数量时，需要在计算精度和计算复杂度之间进行权衡，以便在保证精度的前提下，尽可能减少计算所需的时间和资源。

数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序

数值分析第五次程序作业PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson 积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分： I (f )=∫sin (x )dx 40取节点x i ， i =0,…,N,N 为2k ,k =0,1,…,12，并分析误差；简单分析你得到的数据。

【复化Simpson 积分公式】Simpson 法则：∫f (x )dx ≈b −a 6[f (a )+4f (a +b 2)+f (b )]b a 使用偶数个子区间上的复合Simpson 法则：设n 是偶数，x i =a +ih , h =b−a n ,(0≤i ≤n) 则有∫f (x )dx =∫f (x )dx +∫f (x )dx +⋯+∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x 2i x 2i−2n 2i=1x n x n−2x 4x 2x 2x 0b a 将Simpson 法则应用于每一个区间，得到复合Simpson 法则：∫f (x )dx ≈h 3b a [f (x 0)+2∑f (x 2i−2)n 2i=2+4∑f (x 2i−1)n 2i=1+f (x n )] 公式的误差项为：−1180(b −a )h 4f (4)(δ) 其中δ∈(a,b)【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：∫f (x )dx ≈b −a 2b a [f (a )+f (b )] 如果划分区间[a,b]为：a =x 0<x 1<⋯<x n =b那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：∫f (x )dx =∑∫f (x )dx x i x i−1n i=1b a ≈12∑(x i −x i−1)[f (x i−1)+f (x i )]ni=1 对等间距h=(b-a)/n 及节点x i =a +ih ，复合梯形法则具有形式：∫f (x )dx ≈h 2[f (a )+2∑f (a +ih )n−1i=1+f (b )]b a 误差项为：−112(b −a )h 2f ′′(δ)【算法分析】复合Simpson 法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。

复化梯形公式和复化Simpson公式

数值计算方法上机题目3一、计算定积分的近似值：221x e xe dx =⎰ 要求：（1）若用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算，要求误差限71021-⨯=ε，分别利用他们的余项估计对每种算法做出步长的事前估计；（2）分别利用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算定积分；（3）将计算结果与精确解比较，并比较两种算法的计算量。

1.复化梯形公式程序：程序1（求f （x ）的n 阶导数：syms xf=x*exp(x) %定义函数f （x ）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n 阶导数结果1输入n=2f2 =2*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(2*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。

f3='-(2*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，以便求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的二阶导数的最小值点，也就是求二阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hTn1=0for k=1:n-1 %求连加和xk=a+k*hTn1=Tn1+f(xk)endTn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))z=exp(2)R=Tn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用复化梯形算法计算的结果 Tn=')disp(Tn)fprintf('等分数 n=')disp(n) %输出等分数fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用复化梯形算法计算的结果Tn= 7.3891等分数n=7019已知值与计算值的误差R= 2.8300e-0082. Simpson公式程序：程序1：（求f（x）的n阶导数）：syms xf=x*exp(x) %定义函数f（x）n=input('输入所求导数阶数:')f2=diff(f,x,n) %求f(x)的n阶导数结果1输入n=4f2 =4*exp(x) + x*exp(x)程序2：clcclearsyms x%定义自变量xf=inline('x*exp(x)','x') %定义函数f(x)=x*exp(x)，换函数时只需换该函数表达式即可f2=inline('(4*exp(x) + x*exp(x))','x') %定义f(x)的四阶导数，输入程序1里求出的f2即可f3='-(4*exp(x) + x*exp(x))'%因fminbnd（）函数求的是表达式的最小值，且要求表达式带引号，故取负号，一边求最大值e=5*10^(-8) %精度要求值a=1 %积分下限b=2 %积分上限x1=fminbnd(f3,1,2) %求负的四阶导数的最小值点，也就是求四阶导数的最大值点对应的x值for n=2:1000000 %求等分数nRn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1) %计算余项if abs(Rn)<e %用余项进行判断break% 符合要求时结束endendh=(b-a)/n %求hSn1=0Sn2=0for k=0:n-1 %求两组连加和xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)endSn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b)) %因Sn2多加了k=0时的值，故减去f(a)z=exp(2)R=Sn-z %求已知值与计算值的差fprintf('用Simpson公式计算的结果 Sn=')disp(Sn)fprintf('等分数 n=')disp(n)fprintf('已知值与计算值的误差 R=')disp(R)输出结果显示：用Simpson公式计算的结果Sn= 7.3891等分数n=24已知值与计算值的误差R= 2.7284e-008用复化梯形公式计算的结果为：7.3891，与精确解的误差为：2.8300e-008。

c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容

c.2数值积分中复化simpson公式和变步长梯形法内容1. 引言1.1 概述数值积分是数学领域中重要的计算方法之一，广泛应用于工程、物理、经济学等多个学科。

它通过近似求解定积分来解决无法进行解析求解的复杂函数问题。

在数值积分方法中，复化Simpson公式和变步长梯形法都是常见且有效的技术手段。

1.2 文章结构本文将围绕复化Simpson公式和变步长梯形法展开讨论，并对它们进行比较与选择。

文章主要分为引言、复化Simpson公式、变步长梯形法、两者比较与选择以及结论部分。

1.3 目的本文旨在介绍复化Simpson公式和变步长梯形法这两种数值积分方法，探讨它们的基本原理、方法步骤以及在实际应用中的优势和适用场景。

通过对比与选择这两种方法，可以为读者提供更好地理解和运用数值积分技术的指导，并为未来研究方向和改进空间提供一定参考。

2. 复化Simpson公式:2.1 基本原理:复化Simpson公式是一种数值积分方法，用于近似计算定积分的值。

它基于简单的Simpson公式，并将区间等分为若干子区间，在每个子区间上应用Simpson公式来进行积分计算。

2.2 方法步骤:下面是复化Simpson公式的具体步骤：1. 将要积分的区间[a, b]等分为n个子区间，每个子区间宽度为h。

2. 根据Simpson公式，计算每个子区间的积分值。

3. 将所有子区间的积分值相加，得到整个区间[a, b]上的近似积分值。

具体而言，对于每个子区间[x(i-1), x(i)], i从1到n，使用Simpson公式进行积分近似。

即将该子区间均匀地划分为两部分，并以梯形面积和抛物线面积来逼近曲线下面积。

然后将所有n个子区间的近似积分值相加，得到最终的数值积分结果。

2.3 应用和优势:复化Simpson公式在数学和工程领域中广泛应用于需要进行定积分计算的问题。

它的优势包括：1. 相比于简单的Simpson公式，复化Simpson公式可以更准确地近似计算定积分的值。

常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。

首先计算出所需各节点的函数值n8时125积分准确值i09460831这两种方法都需要提供9个点上的函数值计算量基本相同然而精度却差别较大同积分的准确值是指每一位数字都是有效数字的积分值比较复化梯形法只有三位有效数字tn21285取n213即将区间01分为213等份时用复化梯形公式计算误差不超过问区间01应分多少等份才能使误差不超过
0x
解:首先计算出所需各节点的函数值,n=8时，
h 1 0.125 8
由复化梯形公式可得如下计算公式：
T8

1 16

f
(0)

2
f
(0.125)

2
f
(0.25)

2
f
(0.375)

2
f
(0.5)
2 f (0.625) 2 f (0.75) 2 f (0.875) f (1)
4.3 复合求积公式
问题1：由梯形、辛普森和柯特斯求积公式余项，分析随着求积节点数的增加，对应公式的精度是怎样变化？
问题2：当n≥8时N—C求积公式还具有数值稳定性吗？可用增加求积节点数的方法来提高计算精度吗？
在实际应用中，通常将积分区间分成若干个小区间，在每个小区间上采用低阶求积公式，然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化辛普森公式。
由于Tn 的求积系数为正，由定理2知复合梯形公式是稳定的.
4.3.2 复化辛普森公式及其误差
将积分区间[a,b]划分为n等分,记子区间 xk , xk1 的中点
为
1
xk

1 2

xk

复合simpson算法

第1章复合simpson 算法研究问题阐述计算二重积分⎰⎰=b adcdxdy y x f I ),(------------------------------------(1-1)对工科生要求计算如下3个二重积分：算例1：1110()1I x y dxdy =+=⎰⎰算例2：/2200()I x y dxdy πππ=+=⎰⎰-----------------------(1-2)算例3： 1130sin()x y I dxdy x y+=+⎰⎰复化Simpson 求积公式将区间[a,b]分为n 等分，在每个子区间[x k ,x k+1]采用Simpson 公式，如果记x k+1/2 =x k + h/2，则得到(2-4)：111/201[()4()2()()]6n n n k k k k h S f a f x f x f a --+===+++∑∑---------------------(2-4)分析误差知道复化Simpson 公式具有O(h 4)的精度。

复化Simpson 求积公式本方法中同样采用了二重积分的简化为两个一重积分的方法进行，程序中用3个程序实现，其中包括了函数fxy.m ，Sny.m 函数，主程序simpson.m 文件。

function gy=Sny(x,y,n,a,b,w) %N=2n temp1=0;temp2=0; h1=(b-a)/n; for k=0:n-1temp1=temp1+fxy(x(2*k+1),y,w); if k==0 temp2=0; elsetemp2=temp2+fxy(x(2*k),y,w);end;end;gy=h1/6*(fxy(a,y,w)+4*temp1+2*temp2+fxy(b,y,w));函数Sny主要实现了对应一个已知的y值后进行内层积分，也就是实现(2-6)式中的g(y)。

最外层的积分处理放在主函数里实现，既是算出式子(2-6)中的I，在程序中主要是计算出各个节点的g(y k)，再按照simpson公式迭代算出I。

复化simpson公式余项

复化simpson公式余项复化 Simpson 公式余项，这可是数学分析里一个有点让人头疼但又十分重要的概念。

咱先来说说啥是复化 Simpson 公式。

简单来说，它就是一种用来计算定积分近似值的方法。

比如说，要计算一个函数在某个区间上的定积分，咱就可以用复化 Simpson 公式来给出一个比较接近准确值的近似结果。

那余项是啥呢？这就好比你去买水果，老板给了你一个大概的重量，但是实际重量和他说的总会有点差别，这个差别就是余项。

在复化Simpson 公式里，余项就是实际的准确值和用这个公式算出来的近似值之间的那个差距。

我给您举个例子吧。

就像有一次我帮邻居家的孩子辅导数学作业，那孩子遇到了一道用复化 Simpson 公式求积分近似值的题。

题目是计算函数$f(x) = x^2 + 3x + 2$在区间[0, 5]上的积分近似值。

我就一步一步地给他讲，先把区间分成若干个小段，然后用公式计算。

结果算出来一个值，但是这只是个近似的。

那真正的准确值和这个近似值之间的差，就是余项。

那怎么去研究这个余项呢？这可就需要一些比较高深的数学知识和技巧啦。

比如说，要用到函数的高阶导数，还得进行一些复杂的推导和计算。

这就像是搭积木，一块一块地往上搭，每一块都要放得稳稳当当的，不然整个结构就会垮掉。

在实际应用中，了解复化 Simpson 公式的余项是很重要的。

比如说在工程计算里，如果对计算结果的精度要求很高，那就得清楚这个余项的大小，看看这个近似值够不够准确，能不能满足实际的需求。

再比如说，在科学研究中，有时候一点点的误差都可能导致整个实验结果的偏差，所以对复化 Simpson 公式余项的研究和把握就显得尤为关键。

总之，复化 Simpson 公式余项虽然有点复杂，但是只要我们认真去研究，去理解，就能在数学的海洋里畅游得更自在。

就像我们在生活中遇到的各种难题一样，只要用心去面对，总能找到解决的办法。

希望通过我这番不太专业但还算通俗的讲解，能让您对复化Simpson 公式余项有个初步的认识和了解。

数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序培训讲学

数值分析复化S i m p s o n积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序数值分析第五次程序作业PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分：取节点并分析误差；简单分析你得到的数据。

【复化Simpson积分公式】Simpson法则：使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：设n是偶数，则有将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则：公式的误差项为：其中δ【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：如果划分区间[a,b]为：那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：对等间距h=(b-a)/n及节点，复合梯形法则具有形式：误差项为：【算法分析】复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。

【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：1.利用复化Simpson积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。

2.利用复化梯形积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。

【分析】通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。

Simpson校正公式_张和平

第39卷第5期2009年3月数学的实践与认识M A THEM A TICS IN PRAC TICE AND THEO RYV ol.39　N o.5　M arch,2009　Simpson 校正公式张和平1,　杜跃鹏2,　肖泽昌3(1.漯河职业技术学院基础部,河南漯河　462000)(2.南阳理工学院计算机系,河南南阳　473004)(3.南阳理工学院数学系,河南南阳　473004)摘要:　给出了Simpson 校正公式的截断误差,分析了复化Simps on 校正公式的收敛阶.数值算例验证了理论分析的正确性.关键词:　数值积分;代数精度;校正公式;截断误差;收敛阶1　引言收稿日期:2008-01-30 Simpso n 求积公式来源于Lag ra nge 插值多项式的应用[1-2],是计算定积分近似值的有效方法.但是Sim pso n 公式代数精度低,为达到一定的数值精度,需要更细的剖分和更多的求积节点.文[3]对数值积分的Sim pson 公式的余项的中介点的渐近性进行了研究,得到Sim pso n 积分校正公式.Sim pso n 校正公式具有5次代数精度,比Sim pson 公式的代数精度提高了2阶.文[4]给出Sim pso n 公式误差的最佳估计.文[5]利用代数精度的概念,对文[3]中的左矩形校正公式和梯形校正公式重新推导,简化了[1]的推理过程.本文利用熟知的Taylo r 中值定理,对文[3]中的Sim pson 校正公式重新推导,给出了Sim pson 校正公式的截断误差,分析了复化Simpson 校正公式的收敛阶,给出了数值算例.2　Simpson 校正公式及其误差分析记I (f )=∫ba f (x )d x .文[2]中得到Sim pson 公式I (f )=b -a 6f (a )+4f a +b 2+f (b )-(b -a )52880f (4)(a ),　a ∈(a ,b ) 文[3]给出Simpson 校正公式:Q S (f )=b -a 6f (a )+4f a +b 2+f (b )-(b -a )52880f (4)a +b2(1)Sim pso n 校正公式的代数精度是5.Simpso n 校正公式的截断误差记为E S (f ),即E S (f )=I (f )-Q S (f )=∫baf (x )d x -b -a 6f (a )+4f a +b2+f (b )+(b -a )52880f (4)a +b 2.(2) 我们利用Tay lor 中值定理,对(2)式重新推导.定理1　设f (x )在区间[a ,b ]上具有6阶连续导数,M 6=max a ≤x ≤b{|f (6)(x )|},则数值积分公式(1)具有5次代数精度,且有误差估计式|E S (f )|≤(b -a )796768M 6. 证明　设F (x )=∫xa f (t )d t ,记x 0=a +b2,由Tay lor 中值定理知F (x )=F (x 0)+f (x 0)(x -x 0)+f ′(x 0)2!(x -x 0)2+f ″(x 0)3!(x -x 0)3+f (x 0)4!(x -x 0)4+f (4)(x 0)5!(x -x 0)5+f (5)(x 0)6!(x -x 0)6+f (6)(a )7!(x -x 0)7,(3)其中a 介于x 和x 0之间.由a -x 0=-b -a 2,b -x 0=b -a 2及(3)式得∫ba f (x )d x =F (b )-F (a )=(b -a )f a +b 2+13!f ″a +b 2 2 b -a 23+15!f (4)a +b2 2 b -a25+17!b -a 27(f (6)(a 1)+f (6)(a 2)),(4)其中a 1介于a +b 2和b 之间,a 2介于a 和a +b2之间.对f (x )应用Taylo r 中值定理,我们有f (x )=f (x 0)+f ′(x 0)(x -x 0)+f ″(x 0)2!(x -x 0)2+f (x 0)3!(x -x 0)3+f (4)(x 0)4!(x -x 0)4+f (5)(x 0)5!(x -x 0)5+f (6)(Z )6!(x -x 0)6(5)其中Z 介于x 和x 0之间,注意到x 0=a +b2,有f (a )+f (b )=2f a +b 2+12!f ″a +b 2 2 b -a22+14!f (4)a +b 2 2b -a24+16!b -a 26(f (6)(a 3)+f (6)(a 4))(6)其中a3介于a 和a +b 2之间,a 4介于a +b 2和b 之间.(6)式中解出f ″a +b 2得f ″a +b 2=4(b -a )2f (a )+f (b )-2f a +b 2-(b -a )4192f(4)a +b 2-(b -a )62 6!(f (6)(a 3)+f (6)(a 4)(7)将(7)式代入到(4)式得∫ba f (x )d x =b -a 6f (a )+4f a +b 2+f (b )-(b -a )52880f (4)a +b2+(b -a )73 27 7![3f (6)(a 1)+3f (6)(a 2)-7f (6)(a 3)-7f (6)(a 4)].(8) 显然(4)、(6)式去掉余项对任意5次多项式精确成立,所以(8)式去掉余项也对任意5次多项式精确成立.可以验证(8)式去掉余项对f (x )=x 6不成立,所以,数值积分公式(1)具有5次代数精度,且Sim pson 校正公式的截断误差E S (f )=(b -a )73 277![3f (6)(a 1)+3f (6)(a 2)-7f (6)(a 3)-7f (6)(a 4)].2135期张和平,等:S impson 校正公式所以|E S (f )|≤(b -a )73 277!(3|f (6)(a 1)|+3|f (6)(a 2)|+7|f (6)(a 3)|+7|f (6)(a 4)|)≤(b -a )73 27 7! 20 M 6=(b -a )796768M 6.定理证毕.3　复化公式及收敛阶将积分区间[a ,b ]n 等分,记h =b -an,x k =a +kh ,k =0,1,2,…,n .在第k 个区间[x k ,x k +1]上应用Simpso n 校正公式.得∫x k +1xkf (x )d x ≈h6f (x k )+4f x k +h 2+f (x k +1)-h 52880f (4)x k +h2,故可得复化Simpso n 校正公式S n (f ).∫baf (x )d x =∑n -1k =0∫x k +1xkf (x )d x ≈S n (f )=∑n -1k =0h 6f (x k )+4f x k +h 2+f (x k +1)-h 52880f (4)x k +h2=h 6f (a )+2∑n -1k =1f (x k )+4∑n -1k =0f x k +h 2+f (b )-h 52880∑n -1k =0f (4)x k +h2 由定理1可知∫xk +1xkf (x )d x -h6f (x k )+4f x k +h 2+f (x k +1)+h 52880f (4)x k +h 2≤h796768M 6,由此可得复化Sim pson 校正公式的截断误差|I (f )-S n (f )|≤∑n -1k =0∫xk +1xkf (x )d x -h 6f (x k )+4f x k +h 2+f (x k +1)+h 52880f (4)x k +h 2≤n h 796768M 6=b -a 96768M 6h 6 这说明复化Simpso n 校正公式的收敛阶至少是6.4　数值算例例　计算积分∫1e xd x .用复化Simpso n 校正公式和复化Sim pso n 公式分别计算,计算结果如表1、表2所示.从计算结果可以看出复化Simpso n 校正公式的收敛阶是6,比复化Sim pson 公式提高了2阶.Sim pso n 校正公式的收敛速度比Simpso n 公式的收敛速度快得多.214数　学　的　实　践　与　认　识39卷表1　复化Simpso n 校正公式算例n 绝对误差收敛阶时间(秒)20.000000109974927—0.00018196570269540.000000001730109 5.9901677602129500.00005918784952680.000000000027079 5.9975444956439330.000053278313847160.000000000000423 6.0011479594793450.000056030597596320.0000000000000066.0368367681803720.000061297683753表2　复化Simpso n 公式算例n 绝对误差收敛阶时间(秒)20.000037013462701—0.00006771217975740.000002326240851 3.9919777282698380.00005028604895380.000000145592846 3.9979890992206240.000048053724350160.000000009102726 3.9994970216040660.000050326045811320.0000000005689703.9998747572959790.000052650863146参考文献:[1]　林成森.数值计算方法(上)[M ].北京:科学出版社,1998.[2]　孙志忠,袁慰平,闻震出.数值分析[M ].南京:东南大学出版社,2002.[3]　刘彬清.关于一些数值求积公式的渐近性[J ].应用数学与计算数学学报,2000,2:83-87.[4]　石艳霞,刘证.经典SIM PSON 求积公式的新证明[J ].数学的实践与认识,2005,35(6):245-247.[5]　赵庆华.数值积分校正公式[J].数学的实践与认识,2007,37(9):207-208.Corrector Formula for Simpson RuleZHAN G H e-ping 1,　DU Yue-peng 2,　X IAO Ze-chang3(1.Depa rtment o f Genera l Studies of Luohe V oca tina l T echno log yColleage ,L uo he H e nan 462000,China )(2.Co mputer Science a nd Technolog y Depa rtment o f Na ny angPolytechnic Colleg e,N anya ng Hena n 473004,China )(3.T he M athma tic Depa rtme nt o f Na ny ang Poly technic Colleg e,N anyang H e nan 473004,China )Abstract:　This paper presents tr uncatio n er ro rs amo ng Co r recto r For mula for Simpson rule .It also display s a n a nalysis o n o rder o f co nv er gence of compound co rr ec tor fo r mula fo r Simpso n r ule.Ex amples o f nume rical ca lcula tio n hav e v alida ted th eo r etical a naly sis.Keywords:　nume rical integ ration ;alg ebraic pr ecision ;co r recto r fo rmula ;t runcation er ro r ;o rder o f co nv er gence2155期张和平,等:S impson 校正公式。

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刘园园，蒋艳杰
（华北电力大学数理学院，保定０１０７０３）摘要：分另讨论了当被积函数具有二阶、三阶几乎处处连续有界导数时，复化Ｓｍｐｏ公式逼近Ｒｅｎｑｉｓｎｉｎ积ｍａ
分的收敛速度。
关键词：收敛速度；复化Ｓｍｐｏ式；Ｒｏ￣ｎ积分ｉｓｎ公ｉＴｎ
中图分类号：０７．１１４４
文献标识码：Ａ
文章编号：１００７—２９ｆ００２～００ —０６１２１）０１９４
ＴｈｏｖｒｅｃａｅｆｔｏｐｓｔｉｐｏｅｃｎｅｇｎｅｒｔｓｏｈｅｃｍｏｉｅＳｍｓｎ’Ｓｒｌｕｅ
当ｆ（ｚ）在［，ｂａ］上存在二阶分段连续
０引言
设函数ｆｘ在区间［，］Ｒｅａｎ（）口ｂ上ｉｎ可积，ｍ
导数时，文献［］给出了复化Ｓｐｏ１ｉｓｎ公式的ｍ误差估计：
Ｉｆｘｄ。ｌ（）ｘ— ）Ｉ（
从式（）（），３～５看复化Ｓｍｓｎｉｐ公式收敛速ｏ度的阶与被积函数可导的阶数是一致的。
最近Ｈ．ａａｉ献［］讨论了“ Ｔｓｋ（文６）梯形和 ” 逼近Ｒｉｎ分的收敛速度，明了当ｆ（ｅｎ积ｍａ证ｘ）在［ｂ上存在二阶有界、乎处处连续导数时：ａ，］几
州州
作为计算定积分ｌ（）ｘ近似值的ｘｄｆ＿公式，称
ｓ … Ｌｕｊ（Ｊｐｚ圳
】
Ｌ）（ｊ３
（＝厂）（）６）
（（口）＋４（ｆ
）＋ｆ（）１
其中常数是最佳的。当（）在［，ｂａ］上存在三阶分段连续
收稿日期：２０ —０２．０９１ —０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７１２１８１３）
一
２二０４Ｊ（， ∈ （ ’ ）８）（＼，８ ’ ，ｃ６口， ‘
（）Ｊ５，
１０１
华北电力大学学报
２１００年
是最佳的。
的估计问题已有许多文献进行了讨论（见文献
［］～［］。１５）
当ｆｘ）ａ，］（在ｂ上存在四阶连续导数时，文
献［］３给出了复化Ｓｐｏ公式的误差估计：ｉｓｎｍ
Ｉ（）ｘｄｆｆ＝ｆｘ—Ｊ）（
第３卷第２期７２１００年３月
华北电力大学学报
ＪｒａｏＮｏ￣ｎｌｆａｈＣｉａＥｌｔｉｏｒＵｎｖｒｉｙｈｎｃｅｒｃＰｗｅｉｅｓｔ
Ｖｏ．７，Ｎｏ２１３．
Ｍａ．２０ｒ，１
复化Ｓｍｐｏｉｓｎ公式的收敛速度
ＬＵａ－ｕｎＩＧｎｊｌＹｕｎｙａ，ＪＡＮＹａ－ｅｉ
（ｃｏｌｆｔｅｔｓａｄＰｙｉ，ｏｔｈｎｌｔｃＰｗｒｉｒｔ，Ｂｏｉ０１０，ｈｎ）ＳｈｏｈｍａｉｈｓｓＮｒｈＣｉａＥｅｒｏｅｖｓｙａｄｎ７０３ＣｉａｏＭａｃｎｃｃｉＵｎｅｉｇ
）（ｉ｝（）＋Ｘ）２
蚓蚓
｛（１＋４（（年）生
ｓＩ ‘ ｌｕＩ广ｐ训
］
－
（４４）
为复化Ｓｍｐｏｉｓｎ公式，一般统称（）（）为１，２Ｓｍｐｏｉｓｎ型公式也叫抛物线型公式。由于Ｓｍｐｏｉｓｎ型公式计算的有效性和实用性，关于其逼近误差其中常数
导数时，文献［］给出了复化Ｓｍｐｏ式的２ｉｓｎ公误差估计：
ｆ＇ｂ
为Ｓｐｏ公式。将区间［，ｂｉｓｎｍａ］进行等分，
令ｚｎ＋，
Ｌ。）
０，… ，，称 ’１ｌ
Ｉ．ｘｄｆ）ｘ—Ｊ厂Ｉ１（（）
Ａ嘲：Ｔｈｓｐｐｒｄａｓｔｈｏｖｒｅｃａｅｆｔｅｃｐｓｔｉｓｎ’ ｇＯａｐｏｉｔｈｅｎｉａｅｅｌｈｔｅｃｎｅｇｎｅｒｔｓｏｈ￣ｎｏｉＳｍｐｏｓｎｅｔｐｒｘｍａｅｔｅＲｉｍａｎｅ
ｉｔｇａｓｗｈｎｔｅｉｔｇａｄｆｎｔｎａｅｒｓｅｔｅｙ２ｈａｄ３ｈａｎｔｅｅｙｅｅｅｎｉｕｕｎｏｎｅｎｅｒｌｅｈｎｅｒｎｕｃｉｓｈｖｅｐｃｉｌｔｎｔｉ．ｖｒｗｈｒｏｔｏｓａｄｂｕｄｄｏｖｎｄｒａｉｅ．ｅｉｔｓｖｖＫｅｒｓｏｖｒｅｃｔ；ｃｙｗｏｄ：ｃｎｅｇｎｅｒｅｏｎｔ￣ｔｉｓｎ’ ｌ；ＲｉａｘｅＳｍｐ０Ｓｒｅｕｅ￣ｍｎｔｇａｎｉｅｒｌｎ
姜㈩㈩』｝｛＋㈩㈩＝
∑（）＋
由Ｒ—ｓ积分的定义，对区间［任一分法Ｔ：．－１：￡＜ｉ。，
（６）
］的
，
ｌｎｆ（一（ｉ２ｚｚｍ｛）