复化Simpson公式的收敛速度
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收稿 日期 ：２ ０ —０２ ． ０ ９１ —０
基金项 目：国家自然科学基金资助项 目 （０ ７１２ １８１３ ）
一
２二０ ４Ｊ （ ， ∈ （ ’ ） ８ ） （ ＼ ， ８ ’ ， ｃ６ 口， ‘
（） Ｊ ５ ，
１０ １
华 北 电 力 大 学 学 报
２１ ０ ０年
Ａ 嘲 ：Ｔｈｓｐ ｐ ｒｄ ａｓ ｔ ｈ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ａｅ ｆｔｅｃ ｐ ｓｔ ｉ ｓ ｎ’ ｇ Ｏａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｈ ｅ ｎ ｉ ａ ｅ ｅｌ ｈｔ ｅｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅｒｔｓｏ ｈ ￣ｎ ｏ ｉ Ｓｍｐ ｏ ｓｎ ｅｔ ｐ ｒｘｍａｅｔｅＲｉｍａ ｎ ｅ
ｉ ｔｇ ａｓｗｈ ｎ ｔ ｅ ｉ ｔ ｇ ａ ｄ ｆ ｎ ｔ ｎ ａ ｅ ｒ ｓ ｅ ｔ ｅｙ ２ ｈ ａ ｄ ３ ｈ ａｎ ｔ ｅ ｅ ｙ ｅ ｅ ｅ ｎ ｉ ｕ ｕ ｎ ｏ ｎ ｅ ｎ ｅ ｒ ｌ ｅ ｈ ｎ ｅ ｒ ｎ ｕ ｃｉ ｓ ｈ ｖ ｅ ｐ ｃ ｉ ｌ ｔ ｎ ｔ ｉ ． ｖ ｒ ｗｈ ｒ ｏ ｔ ｏ ｓ ａ ｄ ｂ ｕ ｄ ｄ ｏ ｖ ｎ ｄ ｒ ａ ｉｅ ． ｅｉ ｔ ｓ ｖ ｖ Ｋｅ ｒ ｓ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｔ ；ｃ ｙ ｗｏ ｄ ：ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅｒ ｅ ｏｎｔ￣ ｔ ｉ ｓ ｎ’ ｌ ；Ｒｉ ａ ｘ ｅ Ｓ ｍｐ ０ Ｓｒ ｅ ｕ ｅ ￣ｍｎ ｔｇ ａ ｎ ｉ ｅ ｒｌ ｎ
从式（） （） ， ３ ～ ５ 看 复化 Ｓｍ ｓｎ ｉ ｐ 公式收敛速 ｏ 度的阶与被积函数可导的阶数是一致的。
最 近 Ｈ．ａａ ｉ 献 ［］ 讨论 了“ Ｔ ｓｋ（ 文 ６） 梯形 和 ” 逼 近 Ｒｉ ｎ 分 的收 敛 速 度 ， 明 了当 ｆ（ ｅ ｎ积 ｍａ 证 ｘ）在 ［ ｂ 上存 在二 阶有界 、 乎处处 连续导 数时 ： ａ， ］ 几
姜 ㈩ ㈩』 ｝ ｛ ＋ ㈩ ㈩＝
∑（ ） ＋
由 Ｒ—ｓ积分 的定义 ，对 区间 ［ 任一分 法 Ｔ：．－１： ￡＜ ｉ 。 ，
（ ６ ）
］的
，
ｌｎｆ（ 一 （ ｉ２ ｚ ｚ ｍ｛ ）
导数 时 ，文 献 ［ ］ 给 出 了复 化 Ｓｍｐｏ 式 的 ２ ｉ ｓｎ公 误差估 计 ：
ｆ ＇ ｂ
为 Ｓ ｐｏ 公式 。将 区间 ［ ，ｂ ｉ ｓｎ ｍ ａ ］进行 等分，
令 ｚ ｎ＋ ，
Ｌ。 ）
０ ，… ，，称 ’１ ｌ
Ｉ ．ｘ ｄ ｆ ）ｘ—Ｊ 厂 Ｉ １（ （ ）
州 州
作为计算定积分ｌ （ ）ｘ近似值的 ｘｄ ｆ ＿ 公式， 称
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】
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（ ＝ 厂） （ ） ６）
（ （ 口） ＋ ４ （ ｆ
） ＋ｆ （） １
其中常数 是最佳的。 当 （ ）在 ［ ，ｂ ａ ］上存在三阶分段连续
） （ ｉ｝ （） ＋ Ｘ） ２
蚓 蚓
｛ （ １ ＋４ （ （ 年 ） 生
ｓ Ｉ ‘ ｌ ｕ Ｉ 广 ｐ 训
］
－百度文库
（ ４ ４ ）
为复 化 Ｓｍｐｏ ｉ ｓｎ公 式 ，一 般 统 称 （ ） （ ）为 １， ２ Ｓｍｐｏ ｉ ｓｎ型公 式也 叫抛物线 型公 式 。由于 Ｓｍｐｏ ｉ ｓｎ 型公 式计算 的有效 性 和实 用性 ，关 于 其 逼近 误差 其 中常数
当ｆ（ ｚ）在 ［ ， ｂ ａ ］上 存 在 二 阶分 段 连 续
０ 引 言
设 函数 ｆ ｘ 在区间［ ， ］ Ｒｅ ａｎ （） 口 ｂ 上 ｉ ｎ 可积 ， ｍ
导数时，文献 ［ ］给 出了复化 Ｓ ｐｏ １ ｉ ｓｎ公式的 ｍ 误差估 计 ：
Ｉ ｆｘ ｄ 。 ｌ （ ）ｘ— ） Ｉ （
是最佳 的 。
的估计 问题 已有许 多文献进行 了讨论 （ 见文 献
［］ ～ ［］ 。 １ ５ ）
当 ｆ ｘ） ａ， ］ （ 在 ｂ 上存 在 四阶连续导数 时 ， 文
献［］ ３ 给出了复化 Ｓ ｐｏ 公式的误差估计 ： ｉ ｓｎ ｍ
Ｉ （） ｘｄ ｆ ｆ ＝ ｆ ｘ—Ｊ ） （
Ｌ Ｕ ａ －ｕｎ Ｉ Ｇ ｎｊ ｌ Ｙｕ ｎｙ ａ ，ＪＡＮ Ｙａ －ｅ ｉ
（ ｃｏｌ ｆ ｔｅ ｔｓａｄＰ ｙｉ ， ｏｔ ｈｎ ｌ ｔｃＰ ｗ ｒ ｉ ｒｔ，Ｂ ｏ ｉ ０ １０ ， ｈｎ） Ｓｈｏ ｈｍａｉ ｈｓ ｓ Ｎ ｒｈＣ ｉａＥｅ ｒ ｏ ｅ ｖ ｓ ｙ ａｄｎ ７０ ３ Ｃ ｉａ ｏ Ｍａ ｃ ｎ ｃ ｃｉ Ｕｎ ｅ ｉ ｇ
中图分类号：０ ７ ．１ １４ ４
文献标识码 ：Ａ
文章编 号：１０ ０７—２ ９ ｆ０ ０ ２～０ ０ —０ ６ １ ２ １ ）０ １９ ４
Ｔｈ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ａ ｅ ｆ ｔ ｏ ｐ ｓ ｔ ｉ ｐ ｏ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｒ ｔ ｓ ｏ ｈｅ ｃ ｍ ｏ ｉｅ Ｓ ｍ ｓ ｎ’Ｓ ｒ ｌ ｕｅ
刘 园园，蒋艳 杰
（ 华北电力大学 数理学院 ， 保定 ０ １０ ７ ０ ３） 摘要 ：分另 讨论 了当被积 函数具有二阶 、三阶几乎处处连续有界 导数 时 ，复化 Ｓｍｐｏ 公 式逼近 Ｒ ｅ ｎ ｑ ｉ ｓｎ ｉ ｎ积 ｍａ
分 的收 敛 速 度 。
关 键 词 ：收 敛速 度 ；复 化 Ｓｍｐｏ 式 ；Ｒｏ ￣ ｎ积 分 ｉ ｓｎ公 ｉＴ ｎ
第 ３ 卷第 ２期 ７ ２１ ０ ０年 ３ 月
华 北 电 力 大 学 学 报
Ｊ ｒａ ｏ Ｎｏ ￣ ｎ ｌ ｆ ａｈＣ ｉａＥｌ ｔｉ ｏ ｒＵｎｖ ｒｉｙ ｈｎ ｃ ｅ ｒｃＰ ｗｅ ｉｅｓｔ
Ｖｏ ． ７， Ｎｏ ２ １３ ．
Ｍａ． ２ ０ ｒ ， ０１
复 化 Ｓｍｐｏ ｉ ｓｎ公 式 的收 敛 速 度
基金项 目：国家自然科学基金资助项 目 （０ ７１２ １８１３ ）
一
２二０ ４Ｊ （ ， ∈ （ ’ ） ８ ） （ ＼ ， ８ ’ ， ｃ６ 口， ‘
（） Ｊ ５ ，
１０ １
华 北 电 力 大 学 学 报
２１ ０ ０年
Ａ 嘲 ：Ｔｈｓｐ ｐ ｒｄ ａｓ ｔ ｈ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ａｅ ｆｔｅｃ ｐ ｓｔ ｉ ｓ ｎ’ ｇ Ｏａ ｐ ｏ ｉ ｔ ｈ ｅ ｎ ｉ ａ ｅ ｅｌ ｈｔ ｅｃ ｎ ｅｇ ｎ ｅｒｔｓｏ ｈ ￣ｎ ｏ ｉ Ｓｍｐ ｏ ｓｎ ｅｔ ｐ ｒｘｍａｅｔｅＲｉｍａ ｎ ｅ
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从式（） （） ， ３ ～ ５ 看 复化 Ｓｍ ｓｎ ｉ ｐ 公式收敛速 ｏ 度的阶与被积函数可导的阶数是一致的。
最 近 Ｈ．ａａ ｉ 献 ［］ 讨论 了“ Ｔ ｓｋ（ 文 ６） 梯形 和 ” 逼 近 Ｒｉ ｎ 分 的收 敛 速 度 ， 明 了当 ｆ（ ｅ ｎ积 ｍａ 证 ｘ）在 ［ ｂ 上存 在二 阶有界 、 乎处处 连续导 数时 ： ａ， ］ 几
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导数 时 ，文 献 ［ ］ 给 出 了复 化 Ｓｍｐｏ 式 的 ２ ｉ ｓｎ公 误差估 计 ：
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为 Ｓ ｐｏ 公式 。将 区间 ［ ，ｂ ｉ ｓｎ ｍ ａ ］进行 等分，
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Ｌ。 ）
０ ，… ，，称 ’１ ｌ
Ｉ ．ｘ ｄ ｆ ）ｘ—Ｊ 厂 Ｉ １（ （ ）
州 州
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（ ＝ 厂） （ ） ６）
（ （ 口） ＋ ４ （ ｆ
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其中常数 是最佳的。 当 （ ）在 ［ ，ｂ ａ ］上存在三阶分段连续
） （ ｉ｝ （） ＋ Ｘ） ２
蚓 蚓
｛ （ １ ＋４ （ （ 年 ） 生
ｓ Ｉ ‘ ｌ ｕ Ｉ 广 ｐ 训
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－百度文库
（ ４ ４ ）
为复 化 Ｓｍｐｏ ｉ ｓｎ公 式 ，一 般 统 称 （ ） （ ）为 １， ２ Ｓｍｐｏ ｉ ｓｎ型公 式也 叫抛物线 型公 式 。由于 Ｓｍｐｏ ｉ ｓｎ 型公 式计算 的有效 性 和实 用性 ，关 于 其 逼近 误差 其 中常数
当ｆ（ ｚ）在 ［ ， ｂ ａ ］上 存 在 二 阶分 段 连 续
０ 引 言
设 函数 ｆ ｘ 在区间［ ， ］ Ｒｅ ａｎ （） 口 ｂ 上 ｉ ｎ 可积 ， ｍ
导数时，文献 ［ ］给 出了复化 Ｓ ｐｏ １ ｉ ｓｎ公式的 ｍ 误差估 计 ：
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是最佳 的 。
的估计 问题 已有许 多文献进行 了讨论 （ 见文 献
［］ ～ ［］ 。 １ ５ ）
当 ｆ ｘ） ａ， ］ （ 在 ｂ 上存 在 四阶连续导数 时 ， 文
献［］ ３ 给出了复化 Ｓ ｐｏ 公式的误差估计 ： ｉ ｓｎ ｍ
Ｉ （） ｘｄ ｆ ｆ ＝ ｆ ｘ—Ｊ ） （
Ｌ Ｕ ａ －ｕｎ Ｉ Ｇ ｎｊ ｌ Ｙｕ ｎｙ ａ ，ＪＡＮ Ｙａ －ｅ ｉ
（ ｃｏｌ ｆ ｔｅ ｔｓａｄＰ ｙｉ ， ｏｔ ｈｎ ｌ ｔｃＰ ｗ ｒ ｉ ｒｔ，Ｂ ｏ ｉ ０ １０ ， ｈｎ） Ｓｈｏ ｈｍａｉ ｈｓ ｓ Ｎ ｒｈＣ ｉａＥｅ ｒ ｏ ｅ ｖ ｓ ｙ ａｄｎ ７０ ３ Ｃ ｉａ ｏ Ｍａ ｃ ｎ ｃ ｃｉ Ｕｎ ｅ ｉ ｇ
中图分类号：０ ７ ．１ １４ ４
文献标识码 ：Ａ
文章编 号：１０ ０７—２ ９ ｆ０ ０ ２～０ ０ —０ ６ １ ２ １ ）０ １９ ４
Ｔｈ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ａ ｅ ｆ ｔ ｏ ｐ ｓ ｔ ｉ ｐ ｏ ｅ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｒ ｔ ｓ ｏ ｈｅ ｃ ｍ ｏ ｉｅ Ｓ ｍ ｓ ｎ’Ｓ ｒ ｌ ｕｅ
刘 园园，蒋艳 杰
（ 华北电力大学 数理学院 ， 保定 ０ １０ ７ ０ ３） 摘要 ：分另 讨论 了当被积 函数具有二阶 、三阶几乎处处连续有界 导数 时 ，复化 Ｓｍｐｏ 公 式逼近 Ｒ ｅ ｎ ｑ ｉ ｓｎ ｉ ｎ积 ｍａ
分 的收 敛 速 度 。
关 键 词 ：收 敛速 度 ；复 化 Ｓｍｐｏ 式 ；Ｒｏ ￣ ｎ积 分 ｉ ｓｎ公 ｉＴ ｎ
第 ３ 卷第 ２期 ７ ２１ ０ ０年 ３ 月
华 北 电 力 大 学 学 报
Ｊ ｒａ ｏ Ｎｏ ￣ ｎ ｌ ｆ ａｈＣ ｉａＥｌ ｔｉ ｏ ｒＵｎｖ ｒｉｙ ｈｎ ｃ ｅ ｒｃＰ ｗｅ ｉｅｓｔ
Ｖｏ ． ７， Ｎｏ ２ １３ ．
Ｍａ． ２ ０ ｒ ， ０１
复 化 Ｓｍｐｏ ｉ ｓｎ公 式 的收 敛 速 度