从《数学原则》到《数学原理》的命题逻辑(伯纳德 林斯基)

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20173一、引言

人们有时会说，尽管罗素和怀特海（1910）的《数学原理》（Principia Mathematica ，下文简写为

PM ）是早期分析哲学的奠基性著作之一，但它很少被阅读甚至被认为是“难以读懂的”①。除了PM 第14章中定性的讨论之外，当代哲学家已经不会再去研究PM 了。其部分原因既在于其过时的观点，

也在于它已经被逻辑学的后续进展所取代。当代逻辑学家可能把关于命题逻辑的前几章（2-5章）看作是从公理中毫无目的地选择出来的近两百条基本定理的堆砌。PM 第一卷于1910年出版之后，亨利·谢费（Henry Sheffer ，1913）和珍·尼可德（Jean

Nicod ，1917）已经表明，命题逻辑可以由一个连接

词（“谢费竖”）和使用这个连接词的公理进行形式化②。尼可德和谢费是罗素的学生，他们的成就主

要反映在1925年的PM 第二版《导言》里，《导言》给人的印象是：罗素早期曾经否定过PM 中的初等逻辑系统。到了20世纪20年代中期，人们已经知道如何使用真值表证明命题逻辑的任意一个公理系统在语义上是完全的③。研究早期分析哲学的学者们发现，维特根斯坦在《逻辑哲学论》中最先提出：命题逻辑的公理形式是不必要的。而且，重言式的概念可以取代定理的概念成为逻辑真的解释。因此，在PM 出版时，其中的命题逻辑就被认为已经过时并且与哲学几乎无关。然而，探寻PM 在皮亚诺逻辑和罗素早期研究的踪迹，将帮助我们理解PM 之后的逻辑学中许多看似困惑的特征。

罗素于1900年在巴黎数学大会听到朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano ）和他学生的报告，他把这个报告描述为在“我理智生命的最重要一年中的最重要的事件”（罗素，1944）。正是这次与新符号逻辑

从《数学原则》到《数学原理》的命题逻辑

伯纳德·林斯基著[摘要]《数学原理》（Principia Mathematica ）是罗素和怀特海的著作，也是早期分析哲学的基石，它的

公理系统与《数学原则》（Principles of Mathematics ）的公理系统不同。通过研究罗素如何在《数学原理》中找

到证明方法的过程，可以发现经典命题逻辑公理形式化证明的一般方法。《数学原理》改变了《数学原则》中的初始命题，带来了新的证明，一些定理和引理随着论题的发展而被删除了，但《数学原则》中尽量多的结果还是被保留下来。《数学原理》中的命题逻辑系统是一个逐步演化的结果。

[关键词]《数学原则》；《数学原理》；《蕴含理论》；皮亚诺，皮尔士

[作者简介]伯纳德·林斯基，加拿大阿尔伯特大学哲学系教授，加拿大埃德蒙顿；陈磊，北京师范大

学哲学学院副教授；王秀娟，北京师范大学哲学学院硕士研究生，北京100875

［中图分类号］B81［文献标识码］A ［文章编号］1004-4434(2017)03-0032-09

[基金项目]国家社科基金一般项目“相对论的一阶逻辑基础研究”（14BZX078）资助

①见格里芬和林斯基（2013）在XViii 页引述了这个观点。②谢费尔（1913）和尼可德（1917）。

③伯纳斯（1926）的工作中包含了PM 的一条公理是多余的以及公理的完备性这两个结果。这两个结果都没有在PM 的第二版中出现。见林斯基（2011）。

陈

磊，王秀娟

译

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的邂逅，使得罗素几乎重写了《数学原则》（Princi-ples of Mathematics，下文简写为PoM）（罗素，1993）。皮亚诺对罗素的数学基础研究最重要的影响是引导罗素发展了关系的逻辑，进而采用“弗雷格-罗素”法将数定义为等势类的类（罗素，1901）。罗素需要根据数的逻辑观念找到数学观念的定义，然后仅从逻辑的角度证明它们。他获得灵感将皮亚诺符号逻辑模型衍生出来的逻辑进行形式化。罗素不仅从皮亚诺逻辑中学到了符号论的元素，比如，用人们熟悉的“马蹄铁型”（‘劢’）表示实质蕴含，用圆点表示标点符号，如何表示关系符号；而且，他还学到了许多公理和定理，并将它们重纳入了PM中。下面我们要说明，PM的前几章内容是对皮亚诺最初观点的缓慢而艰辛的发展，这样的发展不仅产生了对逻辑学家重建数学工作至关重要的类和关系的逻辑，而且慢慢地产生了贯穿整个PM 的初等命题逻辑和量词逻辑。我们将通过研究PM 前几章中没被证明的一个定理来阐述这个发展。

“皮尔士定律”是初等命题逻辑中的一个有效公式①：[(p劢q)劢p]劢p

尽管这个“定律”是PoM（罗素1903）中的一条公理并且罗素在他的论文《蕴含理论》（Theory of Implication，下文简写为TI）（罗素，1906）中也给出了证明，但它并不是PM中的定理。虽然“皮尔士定律”在PM中没有被证明，但在TI中证明它的两个引理均在PM中，即定理2.43和定理2.69。皮尔士定律，作为紧接下来的定理2.7，可能已经同样被证明了。因此，作为定理2.7的皮尔士定律似乎确实曾经存在于PM早期的草稿中，但是后来被删掉了，因为怀特海和罗素裁减了后续研究中不需要的定理。

通过早期命题逻辑的公式化来追溯这个消失的定理的历史，有助于我们解释PM中命题逻辑的表述特点，这些特点在当代逻辑学家看来似乎是不同寻常的。这个系统的许多方面——

—从初始联接词的选择到公理的选择，再到最终证明哪些定理——

—都没有解释。令人惊讶的是，PM中的五条公理都是用‘V’（‘....或....’）和‘劢’（‘实质蕴含：如果.....那么.....’）来进行陈述的。而PM中的初始连接词是~（‘否定’）和‘∨’，p劢q在PM的命题1.01中被定义为~p∨q，蕴含号是一个被定义的联接词。这个系统的另一个特别之处出现在符号逻辑系统的下一个定理——

—第一“初始命题”或公理：一个真的基本命题所蕴含的任意结论都是真的。这一定理在本著作的余下部分被用作演绎推理的推理规则。尽管被称为“初始的命题”或定理，但是它是用文字而不是用PM中的其他符号来陈述的。那么，我们怎样能够解释PM前几部分中被证明的那些特殊定理是如何选取出来的呢？没有任何线索能够暗示这些证明是怎样被发现的或者其他定理的证明是如何被想出来的。这些公理似乎是随意排列的，尤其是当人们发现这些公理中的一个是多余的时候。怀特海和罗素当初是怎样提出这些“初始命题”的呢？

对PoM、TI和PM三个命题逻辑的历史研究表明，罗素关于初等逻辑的观点是逐步发展而来的。罗素在皮亚诺的命题逻辑基础上证明了多个定理，他修改系统甚至更改初始的联接词时保留了一些证明。这种方法需要注意命题逻辑中的证明细节，近些年来，也仅有相关的逻辑学家利用这种方法在不同系统中寻找证明特殊结论所需要的确切公理②。所以，保留曾经发现的证明是一个切实可行的方法，而不是再一次从连接词和公理的选择开始。在写作PM的时候，怀特海和罗素只保留了那些在后来的包含量词推演证明中实际使用到的来之不易的证明③。

作为对PoM系统的考察，TI回溯了皮亚士定律的历史，这有助于我们呈现PM和PoM之间的命题逻辑变化上这样和那样的特点。

二、《数学原则》（Principles of Mathe-matics）

第14节“命题演算”一开始就明确说明，这部分的逻辑处理命题间的蕴含关系。

§14.命题逻辑的特点是，所有命题都是作为实质蕴含的假设和推论。通常地，假设具有诸如“p蕴含q”此类的形式，在（§16）中，这种形式的假设等同于论断：出现在推论中的字母是命题。因此，推

①皮尔士（1885）的工作介绍了这条公理。但没有证据表明罗素从皮尔士那里学到这个公理。

②见安德森和贝尔纳普（1975）的《相干逻辑》第一章中的介绍。

③安德烈·特德（个人通信）公布了*2-*5的证明。在早期的证明中，*2-*5或者是完备的（“无间隙的”）或者仅仅跳过了容易再现的步骤，因为跳过的这些步骤在更早的证明中已经详细地出现过了。定理几乎都是曾经的公理或TI中的定理，或者后来在PM中被使用（到目前为止，我们已经不能把*2中的66条定理归为4类）。*3中的27条定理和*4中的59条定理分属于这两类中的一种。*5的38条定理只有3条没有出现在TI中或后来被使用过。

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