2008-1中高数试卷(180)[1]

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2008年北京市高级中等学校招生统一考试数学试卷(课标卷)

2008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷考生须知： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷共2页，第Ⅱ卷共8页．全卷共九道大题，25道小题． 2．本试卷满分120分，考试时间120分钟． 3．在试卷（包括第Ⅰ卷和第Ⅱ卷）密封线内准确填写区（县）名称、毕业学校、姓名、报名号和准考证号．4．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷（机读卷共32分）考生须知：1．第Ⅰ卷从第1页到第2页，共2页，共一道大题，8道小题． 2．考生须将所选选项按要求填涂在答题卡上，在试卷上作答无效．一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．1．6-的绝对值等于（） A ．6B ．16C ．16-D ．6-2．截止到2008年5月19日，已有21 600名中外记者成为北京奥运会的注册记者，创历届奥运会之最．将21 600用科学记数法表示应为（） A ．50.21610⨯B ．321.610⨯C ．32.1610⨯D ．42.1610⨯3．若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离4．众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50，20，50，30，50，25，135．这组数据的众数和中位数分别是（） A ．50，20 B ．50，30 C ．50，50 D ．135，50 5．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．7D ．86．如图，有5张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有北京奥运会的会徽、吉祥物（福娃）、火炬和奖牌等四种不同的图案，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面图案恰好是吉祥物（福娃）的概率是（）A ．15B ．25C ．12D ．357．若230x y ++-=，则xy 的值为（）A ．8-B ．6-C ．5D ．68．已知O 为圆锥的顶点，M 为圆锥底面上一点，点P 在OM 上．一只蜗牛从P 点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P 点时所爬过的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OM 将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）2008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷第Ⅱ卷（非机读卷共88分）考生须知： 1．第Ⅱ卷从第1页到第8页，共8页，共八道大题，17道小题．2．除画图可以用铅笔外，答题必须用黑色或蓝色钢笔、圆珠笔或签字笔．二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数121y x =-中，自变量x 的取值范围是． 10．分解因式：32a ab -= ．11．如图，在ABC △中，D E ，分别是AB AC ，的中点，若2cm DE =，则BC = cm ．12．一组按规律排列的式子：2b a -，53b a ，83b a-，114b a ，…（0ab ≠），其中第7个式子是，第n个式子是（n 为正整数）．三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）计算：10182sin 45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭．解： 14．（本小题满分5分）解不等式5122(43)x x --≤，并把它的解集在数轴上表示出来．解：CA E D B1 2 30 1- 2- 3- O P M O M ' M P A ． O M ' M P B ． OM ' M P C ． O M ' M P D ．15．（本小题满分5分）已知：如图，C 为BE 上一点，点A D ，分别在BE 两侧．AB ED ∥，AB CE =，BC ED =．求证：AC CD =．证明：16．（本小题满分5分）如图，已知直线3y kx =-经过点M ，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．解： 17．（本小题满分5分）已知30x y -=，求222()2x yx y x xy y+--+的值．解：四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB AC ⊥，45B ∠=，2AD =，42BC =，求DC 的长．解：19．（本小题满分5分）已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠．（1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论；（2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长．解：（1）ACE DB 3y kx =- yxOM11 2- ABCDDCOABE（2）五、解答题（本题满分6分） 20．为减少环境污染，自2008年6月1日起，全国的商品零售场所开始实行“塑料购物袋有偿使用制度”（以下简称“限塑令”）．某班同学于6月上旬的一天，在某超市门口采用问卷调查的方式，随机调查了“限塑令”实施前后，顾客在该超市用购物袋的情况，以下是根据100位顾客的100份有效答卷画出的统计图表的一部分：“限塑令”实施后，塑料购物袋使用后的处理方式统计表处理方式直接丢弃直接做垃圾袋再次购物使用其它选该项的人数占总人数的百分比5%35%49%11%请你根据以上信息解答下列问题：（1）补全图1，“限塑令”实施前，如果每天约有2 000人次到该超市购物．根据这100位顾客平均一次购物使用塑料购物袋的平均数，估计这个超市每天需要为顾客提供多少个塑料购物袋？（2）补全图2，并根据统计图和统计表说明，购物时怎样选用购物袋，塑料购物袋使用后怎样处理，能对环境保护带来积极的影响．解：（1）（2）六、解答题（共2道小题，共9分） 21．（本小题满分5分）列方程或方程组解应用题：京津城际铁路将于2008年8月1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同．如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？解：22．（本小题满分4分）40 35 30 252015 10 5 0 图11 2 3 4 5 6 7 4 3 11 26 37 9 塑料袋数／个人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图 “限塑令”实施后，使用各种购物袋的人数分布统计图其它 5% 收费塑料购物袋 _______％自备袋 46%押金式环保袋24% 图2已知等边三角形纸片ABC 的边长为8，D 为AB 边上的点，过点D 作DG BC ∥交AC 于点G ．DE BC ⊥于点E ，过点G 作GF BC ⊥于点F ，把三角形纸片ABC 分别沿DG DE GF ，，按图1所示方式折叠，点A B C ，，分别落在点A '，B '，C '处．若点A '，B '，C '在矩形DEFG 内或其边上，且互不重合，此时我们称A B C '''△（即图中阴影部分）为“重叠三角形”．（1）若把三角形纸片ABC 放在等边三角形网格中（图中每个小三角形都是边长为1的等边三角形），点A B C D ，，，恰好落在网格图中的格点上．如图2所示，请直接写出此时重叠三角形A B C '''的面积；（2）实验探究：设AD 的长为m ，若重叠三角形A B C '''存在．试用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积，并写出m 的取值范围（直接写出结果，备用图供实验，探究使用）．解：（1）重叠三角形A B C '''的面积为；（2）用含m 的代数式表示重叠三角形A B C '''的面积为；m 的取值范围为．七、解答题（本题满分7分）23．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．（1）证明：（2）解：（3）解：A GCF B ' C 'E B DA '图1AGCFB 'C ' E BDA '图2A CB 备用图 AC B备用图1 2 3 44 3 2 1xy O -1 -2 -3 -4 -4-3 -2 -1八、解答题（本题满分7分）24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A B ，两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，点B 的坐标为(30)，，将直线y kx =沿y 轴向上平移3个单位长度后恰好经过B C ，两点．（1）求直线BC 及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标；（3）连结CD ，求OCA ∠与OCD ∠两角和的度数．解：（1）（2）（3）九、解答题（本题满分8分） 25．请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形ABCD 和菱形BEFG 中，点A B E ，，在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连结PG PC ，．若60ABC BEF ∠=∠=，探究PG 与PC 的位置关系及PGPC的值．小聪同学的思路是：延长GP 交DC 于点H ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段PG 与PC 的位置关系及PGPC的值；（2）将图1中的菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转，使菱形BEFG 的对角线BF 恰好与菱形ABCD 的边1 Oy x2 3 44 3 2 1 -1 -2 -2-1 D A BE F C P G 图1 D C G PA B E F图2AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）若图1中2(090)ABC BEF αα∠=∠=<<，将菱形BEFG 绕点B 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出PGPC的值（用含α的式子表示）．解：（1）线段PG 与PC 的位置关系是；PGPC= ．（2）2008年北京市高级中等学校招生考试数学试卷答案及评分参考阅卷须知：1．一律用红钢笔或红圆珠笔批阅，按要求签名． 2．第Ⅰ卷是选择题，机读阅卷．3．第Ⅱ卷包括填空题和解答题．为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可．若考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．第Ⅰ卷（机读卷共32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 ADCCBBBD第Ⅱ卷（非机读卷共88分）二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）题号 91011 12答案12x ≠()()a a b a b +-4207b a - 31(1)n nnb a --三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）解：10182sin 45(2π)3-⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭2222132=-⨯+- ·············································································································· 4分 22=-． ·································································································································· 5分 14．（本小题满分5分）解：去括号，得51286x x --≤． ························································································· 1分移项，得58612x x --+≤． ··································································································· 2分合并，得36x -≤． ··················································································································· 3分系数化为1，得2x -≥． ·········································································································· 4分不等式的解集在数轴上表示如下：······················································································································································· 5分15．（本小题满分5分）证明：AB ED ∥， B E ∴∠=∠． ···························································································································· 2分在ABC △和CED △中，AB CE B E BC ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ABC CED ∴△≌△． ·············································································································· 4分 AC CD ∴=． ···························································································································· 5分16．（本小题满分5分）解：由图象可知，点(21)M -，在直线3y kx =-上， ···························································· 1分 231k ∴--=．解得2k =-． ······························································································································ 2分∴直线的解析式为23y x =--． ····························································································· 3分令0y =，可得32x =-． ∴直线与x 轴的交点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ··················································································· 4分令0x =，可得3y =-．∴直线与y 轴的交点坐标为(03)-，． ····················································································· 5分 17．（本小题满分5分）解：222()2x yx y x xy y+--+ 22()()x yx y x y +=--······················································································································ 2分1 2 3 0 1- 2- 3-2x yx y+=-． ·································································································································· 3分当30x y -=时，3x y =． ······································································································· 4分原式677322y y y y y y +===-． ········································································································ 5分四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）解法一：如图1，分别过点A D ，作AE BC ⊥于点E ， DF BC ⊥于点F ． ·················································· 1分 ∴AE DF ∥．又AD BC ∥，∴四边形AEFD 是矩形．2EF AD ∴==． ················································· 2分 AB AC ⊥，45B ∠=，42BC =， AB AC ∴=．1222AE EC BC ∴===．22DF AE ∴==，2CF EC EF =-= ················································································································ 4分在Rt DFC △中，90DFC ∠=，2222(22)(2)10DC DF CF ∴=+=+=． ··························································· 5分解法二：如图2，过点D 作DF AB ∥，分别交AC BC ，于点E F ，． ·························· 1分AB AC ⊥，90AED BAC ∴∠=∠=． AD BC ∥，18045DAE B BAC ∴∠=-∠-∠=．在Rt ABC △中，90BAC ∠=，45B ∠=，42BC =，2sin 454242AC BC ∴==⨯= ······················································································ 2分在Rt ADE △中，90AED ∠=，45DAE ∠=，2AD =，1DE AE ∴==．3CE AC AE ∴=-=． ············································································································ 4分ABCDFE图2A BCDFE 图1在Rt DEC △中，90CED ∠=，22221310DC DE CE ∴=+=+=． ··········································································· 5分 19．（本小题满分5分）解：（1）直线BD 与O 相切． ······························································································· 1分证明：如图1，连结OD ． OA OD =， A ADO ∴∠=∠．90C ∠=， 90CBD CDB ∴∠+∠=．又CBD A ∠=∠，90ADO CDB ∴∠+∠=． 90ODB ∴∠=．∴直线BD 与O 相切． ··········································································································· 2分（2）解法一：如图1，连结DE ．AE 是O 的直径， 90ADE ∴∠=．:8:5AD AO =，4cos 5AD A AE ∴==． ················································································································· 3分90C ∠=，CBD A ∠=∠， 4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ······································································································· 4分 2BC =， 52BD ∴=． ···························································································· 5分解法二：如图2，过点O 作OH AD ⊥于点H ． 12AH DH AD ∴==．:8:5AD AO =，4cos 5AH A AO ∴==． ·························· 3分90C ∠=，CBD A ∠=∠，4cos 5BC CBD BD ∴∠==． ············································4分2BC =，52BD ∴=． ································································································································ 5分五、解答题（本题满分6分）解：（1）补全图1见下图． ······································································································· 1分DCOABE 图1DCO ABH图240 35 30 25 20 15 11 26 37 人数／位 “限塑令”实施前，平均一次购物使用不同数量塑料购物袋的人数统计图 10。

2008年高中、中专招生统一考试数学试题(含答案)

云南省2008年高中(中专)招生统一考试数学试题(全卷三个大题，共24个小题，共8页；满分120分，考试用时120分钟) 注意：1．本卷为试题卷；考生必须在答题卷上作答；答案应书写在答题卷相应位置；在试题卷、草稿纸上答题无效．2．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并交回．3．考生可将《2008年云南省高中（中专）招生考试说明与复习指导·数学手册》及科学计算器（品牌和型号不限）带入考场使用．一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列计算正确的是（）A ．B ．0( 3.14)1π-=C ．326a a a ⋅=11()22-=-D 3=±2．某几何体的三视图如左图所示，则此几何体是（） A ．正三棱柱 B ．圆柱 C ．长方体 D ．圆锥3. 不等式组233x x +⎧⎨-⎩≤≤ 的解集是（）A ．3x -≥B ．3x ≥C ．1x ≤D ．31x -≤≤4．已知，等腰三角形的一条边长等于6，另一条边长等于3，则此等腰三角形的周长是（）A ．9B ．12C ．15D ．12或155．彩云中学九年级（一）班同学举行“奥运在我心中”演讲比赛．第三小组的六名同学成绩如下（单位：分）： 9.1， 9.3， 9.5， 9.2， 9.4， 9.2．则这组数据的众数是（） A ．9.1 B. 9.2C. 9.3D. 9.56．2008年5月12日14时28分，四川省汶川地区发生里氏8.0级大地震，云南省各界积极捐款捐物，支援灾区．据统计，截止2008年5月23日，全省共向灾区捐款捐物共计50140.9万元，这个数用科学记数法可表示为（） A ．65.0140910⨯ B ．55.0140910⨯ C ．45.0140910⨯D ．350.140910⨯7．菱形的两条对角线的长分别是6和8 ，则这个菱形的周长是（）A ．24B ．20C ．10D ．58．一个圆锥侧面展开图的扇形的弧长为12π，则这个圆锥底面圆的半径为（）A ．6B ．12C ．24D．二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，满分21分） 9．2008-的相反数是．10．已知某地一天中的最高温度为10℃，最低温度为5-℃，则这天最高温度与最低温度的温差为 ___________________．11．如图，直线a 、b 被第三条直线c 所截，并且a ∥b ，若165∠=o ，则2∠= . 12．函数21y x =-中，自变量x 的取值范围是_________． 13．在ABC ∆中，:2:1A B ∠∠=，60C ∠=o ，则A ∠=_________． 14．分解因式：24x y y -= _______________________．15．已知，⊙1O 的半径为5，⊙2O 的半径为9，且⊙1O 与⊙2O 相切，则这两圆的圆心距为___________．b三、解答题（本大题共9个小题，满分75分）16．（本小题6分）已知25x=-，求225611xx x x x+⎛⎫-÷⎪--⎝⎭的值．17．（本小题8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB DC=，若点M为线段AD上任意一点（M与A、D不重合）．问：当点M在什么位置时，MB MC=，请说明理由．18．（本小题8分）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）图形ABCD与图形A B C D关于直线MN成轴对称，请在图中画出对称轴并标注上1111相应字母M、N；（2）以图中O点为位似中心，将图形ABCD放大，得到放大后的图形A B C D，则图形2222 ABCD与图形A B C D的对应边的比是多少？（注：只要写出对应边的比即可）2222（3）求图形A B C D的面积．222219．（本小题7分）苍洱中学九年级学生进行了五次体育模拟测试，甲同学．．．的测试成绩如表（一），乙同学．．．的测试成绩折线统计图如图（一）所示：表（一）（1）请根据甲、乙两同学五次体育模拟测试的成绩填写下表：（2）甲、乙两位同学在这五次体育模拟测试中，谁的成绩较为稳定？请说明理由．20．（本小题8分）云南省2006年至2007年茶叶种植面积．．．．情况如表所示，表格．．．．．．与产茶面积中的x、y分别为2006年和2007年全省茶叶种植面积：（1）请求出表格中x、y的值；（2）在2006年全省种植的产茶面积中，若平均每亩产茶52千克，为使我省2008年全省茶叶种植产茶总产量达到22万吨，求2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率（精确到0.01）．（说明：茶叶种植面积=产茶面积+未产茶面积）21．（本小题８分）如图，一个被等分成4个扇形的圆形转盘，其中3个扇形分别标有数字2，5，6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）．（1）求当转动这个转盘，转盘自由停止后，指针指向没有标数字的扇形的概率；（2）请在4，7，8，9这4个数字中选出一个数字．．．．填写在没有标数字的扇形内，使得分别转动转盘2次，转盘自由停止后指针所指扇形的数字．．的概．．与为偶数．．和．分别为奇数率相等，并说明理由．22．（本小题8分）已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5yx=与二次函数22y x x c=-++的图像交于点(1)A m-，．（1）求m、c的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.23．（本小题10分）如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60o 方向上，港口D在港口A北偏西60o方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30o的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75o方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．24．（本小题12分）如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC ，半圆圆心D 的坐标为(0,2)，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(60)，．（1）若过点0)P ，且与半圆D 相切于点F 的切线分别与y 轴和BC 边交于点H 与点E ，求切线PF 所在直线的解析式；（2）若过点A 和点B 的切线分别与半圆相切于点1P 和2P （点1P 、2P 与点O 、C 不重合），请求1P 、2P 点的坐标并说明理由．（注：第（2）问可利用备用图作答）备用图云南省2008年高中(中专)招生统一考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共8个小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分）1．B 2．A 3．D 4．C 5．B 6．C 7．B 8．A二、填空题（本大题共7个小题，每小题3分，满分21分）9． 2008 10． 15℃ 11．65° 12．1x ≠ 13．80° 14． (2)(2)y x x +-． 15． 4或14．三、解答题（本大题共9个小题，满分75分）16．（本小题6分）解：原式256(1)(1)x x x x x x x ⎡⎤+=-⋅⎢⎥--⎣⎦5(1)51x x x x -=⋅=--． ···································· 5分 ∴当25x =-时，原式25()25=-⨯-=． ···················································· 6分17．（本小题8分）解：当点M 是AD 的中点时，MB MC =． ·························································· 2分理由如下：如图，连结MB 、MC ，∵在梯形ABCD 中，AB DC =，∴梯形ABCD 是等腰梯形，从而A D ∠=∠． ·················································· 5分 ∵点M 是AD 的中点，∴MA MD =．又∵AB DC =，∴△MAB ≌△MDC ． ∴MB MC =． ························································································· 8分 18．（本小题8分）解：（1）如图所示：画出对称轴MN ； ·························································· 2分（2）对应边的比为1:2 ············································································· 5分（3）2222222211481622A B C D S B D A C =⨯⨯=⨯⨯=． ·············································· 8分19．（本小题7分）解：（1） ······················································· 5分（注：中位数2分、方差3分）（2）乙同学的成绩较为稳定，因为乙同学五次测试成绩的方差小于甲同学五次测试成绩的方差． ·································································································· 7分 20．（本小题8分）解：（1）据表格，可得792.7154.2298.6565.8x y y +=⎧⎨-+=⎩，解方程组，得371.3421.4.x y =⎧⎨=⎩，······························································· 3分（2）设2006年至2008年全省茶叶种植产茶年总产量的平均增长率为p ，∵2006年全省茶叶种植产茶面积为267.2万亩，从而2006年全省茶叶种植产茶的总产量为267.20.05213.8944⨯=（万吨）． ··································· 5分据题意，得213.8944(1)22p +=，解方程，得1 1.26p +±≈， ∴0.26p = 或 2.26p =-（舍去），从而增长率为26%p =．答：2006年至2008年全省年产茶总产量的平均增长率为26%． ·················· 8分21．（本小题8分）解：（1）∵没有标数字扇形的面积为整个圆盘面积的14，∴指针指向没有标数字扇形的概率为14P =． ···································· 3分（2）填入的数字为9时，两数和分别为奇数与为偶数的概率相等．理由如下：应满足2+x ，5+x ，6+x 三个数中有2个是奇数，一个是偶数．将所给的数字代入验算知， 9x =满足条件．∴填入的数字为9． ······································································ 8分（注：本题答案不惟一，填入数字7也满足条件；只填数字不说理由的不给分．）22．（本小题８分）解：（1）∵点A 在函数5y x =的图像上，∴551m ==--．········································ 2分 ∴点A 坐标为(1,5)--．∵点A 在二次函数图像上，∴125c --+=-，2c =-． ······························ 4分（2）∵二次函数的解析式为222y x x =-+-，∴2222(1)1y x x x =-+-=---．∴对称轴为直线1x =，顶点坐标为(11)-，． ········································· 8分23．（本小题10分）解：连结AC 、AD 、BT AT ⊥BT 交于点E ．过B 作BP AC ⊥于点P ．由已知得90BAD ∠=o ，30BAC ∠=o ，32575AB =⨯=（海里），在BEP ∆和AET ∆中，90BPE ATE ∠=∠=o ，AET BEP ∠=∠，∴30EBP EAT ∠=∠=o ．∵60BAT ∠=o ，∴30BAP ∠=o ，从而17537.52BP =⨯=（海里）． ··················· 4分 ∵港口C 在B 处的南偏东75o 方向上，∴45CBP ∠=o ．在等腰Rt CBP ∆中，BC ==，∴BC <AB． BAD ∆Q 是Rt ∆，∴BD AB >．综上，可得港口C离B 点位置最近．∴此船应转向南偏东75o 方向上直接驶向港口C ．设由B 驶向港口C 船的速度为每小时x 海里， ············································· 8分548)5÷⨯-<7，解不等式，得x >．答：此船应转向沿南偏东75o 的方向向港口C 航行，且航行速度至少不低于每小时 ··············································· 10分24．（本小题12分）解：（1）设切线PH 所在直线的解析式为y kx b =+． ····································· 1分解法一：设E 点的的坐标为(,4)E x ，过E 点作ET ⊥x 轴于点T ，连结DP 、DF ，则DF ⊥PE ，在R t △DOP 和R t △DFP 中，∵OP PF =， OD DF =，∴△DO P ≌△DFP ．在R t △DOP中，tan DPO ∠=． ∴30DPO ∠=o ，从而知60OPE ∠=o ．在R t △EPT中，可求得PT =，∴E点的坐标为4⎫⎪⎪⎝⎭，． ················· 4分 ∵直线过P 、E两点，∴0,4.b b ⎧+=+=解方程组，得 6.k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ∴切线PF所在直线的解析式为6y =+． ··········································· 6分解法二：∵点P的坐标为()0 ，且直线y kx b =+过点P ，∴0b +=，b =-．设E 点的的坐标为(4)E x ，，过E 点作ET ⊥x 轴于点T ．∵切线过E 点，∴4E kx b +=，1(4)E x b k=-． ∵EC EF =，PF PO =，∴PE EF FP =+． ····································································· 4分在Rt ETP △中，222PE ET PT =+，∴22211(4)4(4)b b k k ⎡⎡⎤-+=+-⎢⎢⎥⎣⎣⎦，解方程，得k =6b =． ∴切线PF所在直线的解析式为6y =+． ··········································· 6分（2）如备用图，（ⅰ）当0k <时，设过点A 且与半圆相切于1P 点的切线方程为11y k x b =+，1P点的坐标为11()x y ，，切线与边BC 交于点S ，过点S 作1ST ⊥x 轴于点1T ．同上理，可得116b k =-，222111111(4)646(4)b b k k ⎡⎤⎡⎤-+=+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，解方程，得134k =-，192b =． ····································································· 8分 ∵直线11y k x b =+与边BC 交于点2(4)S x ，， ∴239442x =-+，解方程，得223x =． ∵111ST SA P Ay =，∴126643y ⎛⎫+=⨯ ⎪⎝⎭，解得1185y =，代入3942y x =-+，解得165x =． ∴所求满足条件的1P 点的坐标为618()55，． ··················································· 10分（ⅱ）当0k >时，据圆的对称性知2P 点是1P 点关于直线2y =对称的点，从而可得2P 点的坐标为6255⎛⎫ ⎪⎝⎭，． ··························································································· 12分。

08级高等数学1试题及答案

华东交通大学2008—2009学年第一学期考试卷承诺：我将严格遵守考场纪律，知道考试违纪、作弊的严重性，还知道请他人代考或代他人考者将被开除学籍和因作弊受到记过及以上处分将不授予学士学位，愿承担由此引起的一切后果。

专业班级学号学生签名：试卷编号：（A ）卷《高等数学(A)Ⅰ》课程 (工科本科08级) 课程类别：必闭卷（√）考试时间：2009.1.10题号一二三四五总分12 3 4 5 6 7 1 2 分值 10 15 7 7777779 98阅卷人(全名)考生注意事项：1、本试卷共 6 页，总分 100 分，考试时间 120 分钟。

2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。

一、填空题(每题2分，共10分)_____ 00 0 2)( 1==⎩⎨⎧≥+<+=a x x x a x e x f x 则处连续，在，，设、_________)21()1( 3)1( 2lim=--='→xx f f f x 则，设、________]3 0[29)( 33=+-=ξ上满足罗尔定理的，在函数、x x x f ______)]([ ]1 1[)( 411 =+-⎰-dx x f x x x f 则上为偶函数，，在设、 ___________________cos 5的通解为微分方程、x y =''二、选择题(每题 3分，共15分)1D. 2 C. 3 B. 4 A.) C ()2sin 2sin(1lim=+∞→xxx x x 、)A (4 sin 1cos cos 22=⎩⎨⎧+=+=点处的法线斜率为上在对应曲线、πt t y t t x 得分评阅人得分评阅人3633221cos C x C x y ++-=Cx C x C x C x dx x x +-++-+=⎰22222cos 21D. cos 21 C. cos B. cos A.)D (sin 3不定积分、 32D. 31 C. 2 B. 5 A.)B (1 4ππ积为轴旋转一周所得立体体轴围成图形绕及直线、由曲线、y y y y x ==2 D. 1 C. 0 B. 1 A.)C ( 502lim--=⎰-→xdtext x 极限、三、解答题(每题 7分，共49分). 6)12( 12limb a b ax x xx x 、求，设、=---+∞→解)12(2limb ax x x x x ---+∞→1)1()2(2lim-+-++-=∞→x bx b a x a x6=⎩⎨⎧=-+=-61 02b a a3 2-==b a ，].)1ln(11[2lim+-→x x x 求极限、解)1ln()1ln(lim+-+=→x x x x x 原式1)1ln(111lim+++-+=→x xx x x22)1(111)1(1lim++++-=→x x x x1得分评阅人得分评阅人. )(cos 3sin dy x y x求，设、= 解两边取对数得x x y cos ln sin ln =x xxx x y ycos sin sin cos ln cos 1-+=' )tan sin cos ln (cos )(cos sin x x x x x y x -=' dx y dy '=dx x x x x x x)tan sin cos ln (cos )(cos sin -=.442dx x x ⎰-求不定积分、解 tdt t dx t x tan sec 2 sec 2==则，令tdt t t ttan sec 2sec 2tan 2⎰=原式dtt ⎰=2tan 2dtt )1(sec 22-=⎰C t t +-=)(tan 2Cx x +--=2arccos 242得分评阅人得分评阅人.ln 5 12dx x x e⎰求定积分、解31 ln 31dx x e ⎰=原式⎰-=e e xd x x x 1 313ln 31)ln (31dxx e e ⎰-= 1 233131e x e 1339131-=9123+=e.]2 1[ln 214 62上的长度，在区间求曲线、x x y -= 解x x y 212-='dxy s ⎰'+=2121dx x x )1(2121+=⎰212)ln 21(21x x +=2ln 2143+= 得分评阅人得分评阅人.ln 721的特解满足求微分方程、e y xyx y y x =='=解x yu =令dxx du u u 1)1(ln 1 =-则 dxx du u u ⎰⎰=-1)1(ln 1 C x u ln ln )1ln(ln +=-1+=Cx xe y 通解121===C e yx 得由1 +=x xe y 特解四、综合题(每题 9分，共18分).)( 12拐点的极值及该函数图形的求函数、xxe x f -= 解 xxxeex f 222)(---='210)(=='x x f 得令0)( 21 0)( 21<'>>'<x f x x f x 时，当，时，当121)21( )(21-==e f x f x 极小值为取极小值，时当x x xe e x f 2244)(--+-='' 1 0)(==''x x f 得令 0)( 1 0)( 1>''><''<x f x x f x 时，当，时，当) 1(2-e ，拐点为得分评阅人得分评阅人.)1(86 24的通解求微分方程、x e x y y y -=+'-''解 086 2=+-r r 特征方程为4 2 21==⇒r r ，x x e C e C Y y y y 4221086+==+'-''的通解的单根为08642=+-=r r λ x e b ax x y 4)(*+=可设1224 *-=++x b a ax y 代入原方程得把 ⎩⎨⎧-=+=122 14b a a43 41-==b a ， xex x y 4)4341(*-=xx x eC e C e x x y 42214)4341(++-=通解五、证明题(8分)dxx f dx x f x f ⎰⎰=22)(cos )(sin ]1 0[)( 1ππ证明：上连续，，在设、证dtdx t x -=-=则，令 2π证211limx x x -+→))((cos )(sin 0 22dt t f dx x f ⎰⎰--=ππ112lim++=→x xdxx f ⎰=20 )(cos π1= 得分评阅人得分评阅人.211 0 2等价与时，证明当、xx x -+→等价与故211 xx -+。

2008年高考理科数学全国一卷真题

第 4 页共 15 页
18．（本小题满分 12 分）
（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）
四棱锥 A BCDE 中，底面 BCDE 为矩形，侧面 ABC 底面 BCDE ， BC 2 ， CD 2 ， AB AC ．（Ⅰ）证明： AD CE ；（Ⅱ）设 CE 与平面 ABE 所成的角为45 ，求二面角C AD E 的大小．
9．设奇函数 f (x) 在 (0，) 上为增函数，且 f (1) 0 ，则不等式集为（） B． (，1) (0，1)
A． (1，0) ( 1， )
C． (，1) (1，)
D． (1，0) (0，1)
） D． 1 1 ≥1 a 2 b2
x y 10．若直线 1 通过点M (cos，sin) ，则（ a b A． a 2 b2 ≤1 B． a 2 b 2 ≥ 1 C． 1 1 ≤1 a 2 b2
2008 年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷 I)
理科数学
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分．第 I 卷，第 II 卷．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
参考公式：如果事件 A，B 互斥，那么 P( A B) P( A) P(B) 如果事件 A，B 相互独立，那么 P( AB) P( A ) P ( B ) 球的表面积公式 S 4πR2 其中 R 表示球的半径球的体积公式 4 V πR 3 3 其中 R 表示球的半径
A．138
B．135
C．95
D．23
6．若函数 y f (x 1) 的图像与函数 y ln x 1 的图像关于直线 y x 对称，则 f (x) （） A．e2x-1 7．设曲线 y A．2 B．e2x C．e2x+1 D． e2x+2 ）

2008年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ) 理科数学解析版

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第Ⅰ卷参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径()(1)(01,2)k k n kn n P k C P P k n -=-=，，，一、选择题 1．函数y ）A ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≥C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满足2BD DC =，则AD =（）A ．2133+b cB ．5233-c bC ．2133-b cD ．1233+b cA ．B ．C ．D ．4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2 B ．1 C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（）A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（） A ．21x e-B ．2xeC ．21x e+D ．22x e+7．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12-D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()f x f x x --<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b +≤ D ．22111a b +≥11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（）A ．13B． C． D ．2312．如图，一环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96B ．84C ．60D ．48第Ⅱ 卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．13．若x y ，满足约束条件03003x y x y x ⎧+⎪-+⎨⎪⎩，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最大值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．16．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C AB D --的余弦值为，M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3cos cos 5a B b A c-=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最大值． 18．（本小题满分12分）四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平面ABE 所成的角为45，求二面角C AD E --的大小．19．（本小题满分12分）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133⎛⎫--⎪⎝⎭，内是减函数，求a 的取值范围．20．（本小题满分12分）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．C DE AB21．（本小题满分12分）双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程． 22．（本小题满分12分）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥．证明：1k a b +>．答案与解析：1.C解析：由(1)x x x -≥≥0,0得0x x =≥1,或； 2.A解析：根据汽车加速行驶212s at =，匀速行驶s vt =，减速行驶212s at =-结合函数图象可知. 3. A解析：2(),322AD AB AC AD AD AB AC -=-=+=c +b ,1233AD =c +b4. D解析：222()(21)2(1)0,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=- 5.C解析：243511014,104,3,10454013595a a a a a d S a d +=+==-==+=-+=由得6. B解析：2(1)2(1)21,(1),()y x xy x e f x e f x e --=⇒=-==7. D解析：3212211,,11(1)2x x y y y x x x =+''==+=-=----,2,2a a -==-8.A解析：π55cos 2sin(2)sin 2()3612y x x x ππ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移5π12个单位得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像. 9.D解析：由奇函数()f x 可知()()2()0f x f x f x x x --=<，而(1)0f =，则(1)(1)0f f -=-=，当0x >时，()0(1)f x f <=；当0x <时，()0(1)f x f >=-，又()f x 在(0)+∞，上为增函数，则奇函数()f x 在(,0)-∞上为增函数，01,10x x <<-<<或. 10.D解析：由题意知直线1x ya b +=与圆221x y +=22111a b+1,≥.另解：设向量11(cos ,sin ),(,)a b ααm =n =，由题意知cos sin 1a b αα+=由⋅≤m n m n可得cos sin 1a b αα=+11.C解析：由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a，则1AB =，棱柱的高13AO a ==（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC所成角的正弦值为11AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为060长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133OA AA AB AC=--,11AB AB AA =+ 2111126,,333OA AB a OA AB ⋅===则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=.12.B解析：分三类：种两种花有24A 种种法；种三种花有342A 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=. 另解：按A B C D ---顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯= 13.答案：9解析：如图，作出可行域，作出直线0:20l x y -=，将0l 平移至过点A 处时，函数2z x y =-有最大值9. 14. 答案：2解析：由抛物线21y ax =-的焦点坐标为1(0,1)4a -为坐标原点得，14a =，则2114y x =-与坐标轴的交点为(0,1),(2,0),(2,0)--，则以这三点围成的三角形的面积为14122⨯⨯= 15.答案：38解析：设1AB BC ==，7cos 18B =-则222252cos 9AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=53AC =，582321,21,3328c a c e a =+====.16.答案：16解析：设2AB =，作CO ABDE ⊥面，OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D --cos 1CH OH CH CHO =⋅∠=，结合等边三角形ABC与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM CH ===11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12 故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMAN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,1111(,,(,,222222M N ---,则3121321(,,),(,,),,322222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===故EM AN ，所成角的余弦值16AN EMAN EM ⋅=.17.解析：（Ⅰ）在ABC △中，由正弦定理及3cos cos 5a B b A c-= 可得3333sin cos sin cos sin sin()sin cos cos sin 5555A B B A C A B A B A B-==+=+即sin cos 4cos sin A B A B =，则tan cot 4A B =；（Ⅱ）由tan cot 4A B =得tan 4tan 0A B =>2tan tan 3tan 3tan()1tan tan 14tan cot 4tan A B B A B A B B B B --===+++≤34当且仅当14tan cot ,tan ,tan 22B B B A ===时，等号成立，故当1tan 2,tan 2A B ==时，tan()A B -的最大值为34.18．解：（1）取BC 中点F ，连接DF 交CE 于点O ，AB AC =，∴AF BC ⊥，又面ABC ⊥面BCDE ，∴AF ⊥面BCDE ，∴AF CE ⊥．tan tan 2CED FDC ∠=∠=，∴90OED ODE ∠+∠=，90DOE ∴∠=，即CE DF ⊥，CE ∴⊥面ADF ，CE AD ∴⊥．（2）在面ACD 内过C 点作AD 的垂线，垂足为G ．CG AD ⊥，CE AD ⊥，AD ∴⊥面CEG ，EG AD ∴⊥，则CGE ∠即为所求二面角的平面角．23AC CD CG AD==，DG =，EG ==，CE =222cos 2CG GE CE CGE CG GE +-∠==，πarccos CGE ∴∠=-⎝⎭，即二面角C AD E --的大小πarccos -⎝⎭．19. 解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2()321f x x ax '=++ 当23a≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当23a >，()0f x '=求得两根为x =即()f x在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛--+ ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-++∞⎪ ⎪⎝⎭递增（2）2313--，且23a >解得：74a ≥20．解：（Ⅰ）对于甲：对于乙：0.20.40.20.80.210.210.64⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，ξ的期望为20.430.440.2 2.8E ξ=⨯+⨯+⨯=． 21. 解：（Ⅰ）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+ 由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+得：14d m =，tan b AOF a ∠=，4tan tan 23AB AOB AOF OA ∠=∠==由倍角公式∴22431ba b a =⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得12b a =,则离心率e =．（Ⅱ）过F 直线方程为()a y x c b =--,与双曲线方程22221x y a b -=联立将2a b =，c =代入，化简有22152104x x b b -+=124x =-=将数值代入，有4=解得3b = 故所求得双曲线方程为：221369x y -=．22. 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b -≥．证明：1k a b +>． 22.解析：（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-,()ln f x x '=-,当(01)x ∈，时，()ln 0f x x '=-> 故函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：（数学归纳法证明）（ⅰ）当1n =时，101a <<，11ln 0a a < 211111()ln a f a a a a a ==->由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得 1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==， 121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立.（Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得 k k k k a a b a b a ln 1--=-+11ln k i i i a b a a ==--∑ 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥0 若对任意i k ≤都有b a i >，则k k k k a a b a b a ln 1--=-+ 11ln k i i i a b a a ==--∑11ln k i i a b a b ==--∑11()ln k i i a b a b==--∑b ka b a ln 11--> b ka b a ln 11--≥)(11b a b a --->0=，即1k a b +>成立.。

2008普通高等学校招生全国统一考试数学试题及答案-江苏卷

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)(理科)试题

高中数学2008年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）（理科）试题 2019.091,如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成的区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点．若点()P x y ，、点()P x y '''，满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '．如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（）Ａ．AB B ．BC C ．CD D ．DA2,若数列 {}n a 是首项为1，公比为32a =的无穷等比数列，且{}n a 各项的和为a ，则a 的值是（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．12 Ｄ．543,给定空间中的直线l 及平面α．条件“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直”的（）Ａ．充分非必要条件Ｂ．必要非充分条件 C ．充要条件Ｄ．既非充分又非必要条件4,在平面直角坐标系中，从五个点：(00)(20)(11)(02)(22)A B C D E ，，，，，，，，，中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）．5,若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数a b ∈R ，）是偶函数，且它的值域为(]4-∞，，则该函数的解析式()f x = ．6,已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别．7,在平面直角坐标系中，点A B C ，，的坐标分别为(01)(42)(26)，，，，，．如果()P x y ，是ABC △围成的区域（含边界）上的点，那么当xy ω=取到最大值时，点P 的坐标是．8,设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（）A ．4B ．5C ．8D ．109,若z 是实系数方程220x x p ++=的一个虚根，且2z =，则p = ．10,若直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点，则实数a = ．11,若向量a ，b 满足12a b ==，且a 与b 的夹角为3π，则a b += ．12,若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x =．13,若函数()f x 的反函数为12()log f x x -=，则()f x = ．14,若集合{}|2A x x =≤，{}|B x x a =≥满足{2}A B =，则实数a= ．15,若复数z 满足(2)z i z =- (i 是虚数单位)，则z= ．16,不等式11x -＜的解集是．17,设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,3,4U A B ===，则()U A B =ð( ) （Ａ）{}2,3（Ｂ）{}1,4,5（Ｃ）{}4,5（Ｄ）{}1,5 18,复数()221i i +=( )（Ａ）4-（Ｂ）4（Ｃ）4i -（Ｄ）4i19,()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x20,直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( )（Ａ）1133y x =-+（Ｂ）113y x =-+（Ｃ）33y x =-（Ｄ）113y x =+试题答案1, D【解析】由题意知，若P 优于P ',则P 在P '的左上方, ∴当Q 在DA 上时, 左上的点不在圆上, ∴不存在其它优于Q 的点,∴Q 组成的集合是劣弧DA.2, B【解析】由11123121 22153||1||1222a a a a S a q a a q a ⎧=⎧⎪⎧==⎪=-+⎪⎪⎪-⇒⇒⇒=⎨⎨⎨⎪⎪⎪<<<⎩-<⎪⎪⎩⎩或3, C【解析】“直线l 与平面α内两条相交直线都垂直”⇔“直线l 与平面α垂直”.4, 【解析】由已知得 A C E B C D 、、三点共线,、、三点共线,所以五点中任选三点能构成三角形的概率为333524.5C C -=5, 【解析】22()()(2)(2)2f x x a bx a bx a ab x a =++=+++是偶函数，则其图象关于y 轴对称, 202,a ab b ∴+=⇒=-22()22,f x x a ∴=-+且值域为(]4-∞，，224,a ∴=2()2 4.f x x ∴=-+6, 【解析】中位数为10.521,a b ⇒+=根据均值不等式知，只需10.5a b ==时，总体方差最小.7, 【解析】作图知xy ω=取到最大值时，点P 在线段BC 上,:210,[2,4],BC y x x =-+∈(210),xy x x ω∴==-+故当5,52x y ==时, ω取到最大值.8, D【解析】由椭圆的第一定义知12210.PF PF a +==9, 【解析】设z a bi =+,则方程的另一个根为z a bi '=-,且22z ==，由韦达定理直线22,1,z z a a '+==-∴=-23,b b ∴==所以(1)(1) 4.p z z '=⋅=-+-=10, 【解析】直线10ax y -+=经过抛物线24y x =的焦点(1,0),F 则10 1.a a +=∴=-11, 【解析】2||()()2a b a b a b a a b b a b +=++=++ 22||||2||||cos73a b a b π=++=||7.a b ⇒+=12, 【解析】令2log (0),y x x =>则y R ∈且2,yx =()()2.x f x x R ∴=∈13, 【答案】()2x x R ∈14, 【解析】由{2}, 22A B A B a =⇒⇒=只有一个公共元素 15, 【解析】由22(1)(2)11(1)(1)i i i z i z z i i i i -=-⇒===+++-16, 【解析】由11102x x -<-<⇒<<.17, 【解】：∵{}{}1,2,3,2,3,4A B == ∴{}2,3A B = 又∵{}1,2,3,4,5U = ∴(){}1,4,5U A B =ð 故选B 18, 【解】：∵()()222121212244i i i i i i i +=+-=⨯==- 故选A19, 【解】：∵()22222sin cos sin cos tan cot cos cos cos cos sin sin cos x x x x x x x x x x x x x +⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭ cos cot sin xx x == 故选D20, 【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+故选A。

2008年全国卷ⅠⅠ高考理科数学真题及答案

2008年全国卷ⅠⅠ高考理科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷1至2页．第Ⅱ卷3至10页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试题卷上．3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式 A B ，()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件相互独立，那么其中表示球的半径 A B ，R球的体积公式()()()P A B P A P B = 如果事件在一次试验中发生的概率是，那么 A p 34π3V R =次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示球的半径n A k R()(1)(012)k kn k k n P k C p p k n -=-= ，，，，一、选择题1．设集合，（）{|32}M m m =∈-<<Z {|13}N n n M N =∈-=Z 则，≤≤A ． B ． C ．D ． {}01，{}101-，，{}012，，{}1012-，，，2．设且，若复数是实数，则（） a b ∈R ，0b ≠3()a bi +A ． B ．C ．D ．223b a =223a b =229b a =229a b =3．函数的图像关于（） 1()f x x x=-A ．轴对称B ．直线对称y x y -=C ．坐标原点对称 D ．直线对称x y =4．若，则（） 13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，A ．<<B ．<<C ． <<D ． <<a b c c a b b a c b c a 5．设变量满足约束条件：，则的最小值（）x y ，222y x x y x ⎧⎪+⎨⎪-⎩，，．≥≤≥y x z 3-=A ． B ． C ． D ．2-4-6-8-6．从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为（） A ．B ．C ．D ．9291029192920297．的展开式中的系数是（）64(1(1x A ．B ．C ．3D ．44-3-8．若动直线与函数和的图像分别交于两点，则x a =()sin f x x =()cos g x x =M N ，的最大值为（）MN A ．1BCD ．29．设，则双曲线的离心率的取值范围是（） 1a >22221(1)x y a a -=+e A ．B ．C ．D ．(25)，(210．已知正四棱锥的侧棱长与底面边长都相等，是的中点，则S ABCD -E SB AE SD，所成的角的余弦值为（） A ．B CD ．132311．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三20x y +-=740x y --=角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（） A ．3B ．2C ．D ． 13-12-12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（） A ．1B ．C ．D ．223 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设向量，若向量与向量共线，则(12)(23)==，，，a b λ+a b (47)=--，c ．=λ14．设曲线在点处的切线与直线垂直，则． axy e =(01)，210x y ++=a =15．已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设F 24C y x =：F C A B ，，则与的比值等于．FA FB >FA FB 16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件① ；充要条件② ．（写出你认为正确的两个充要条件）三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）在中，，． ABC △5cos 13B =-4cos 5C =（Ⅰ）求的值；sin A （Ⅱ）设的面积，求的长． ABC △332ABC S =△BC 18．（本小题满分12分）购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费元，若投保人在购买保险的一年度a 内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为．41010.999-（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率；p （Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）． 19．（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，，点在上且．1111ABCD A B C D -124AA AB ==E 1CC EC E C 31=（Ⅰ）证明：平面；1A C ⊥BED A 1B 1C 1D 1（Ⅱ）求二面角的大小． 1A DE B -- 20．（本小题满分12分）设数列的前项和为．已知，，．{}n a n n S 1a a =13nn n a S +=+*n ∈N （Ⅰ）设，求数列的通项公式；3nn n b S =-{}n b （Ⅱ）若，，求的取值范围．1n n a a +≥*n ∈N a 21．（本小题满分12分）设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB 相交(20)(01)A B ，，，)0(>=k kx y 于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．（Ⅰ）若，求的值；6ED DF =k （Ⅱ）求四边形面积的最大值． AEBF 22．（本小题满分12分）设函数．sin ()2cos xf x x=+（Ⅰ）求的单调区间；()f x （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 0x ≥()f x ax ≤a参考答案和评分参考评分说明： 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．A 12．C 二、填空题13．2 14．2 5．3+16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分．三、解答题 17．解：（Ⅰ）由，得， 5cos 13B =-12sin 13B =由，得．4cos 5C =3sin 5C =所以． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 33sin sin()sin cos cos sin 65A B C B C B C =+=+=（Ⅱ）由得 332ABC S =△， 133sin 22AB AC A ⨯⨯⨯=由（Ⅰ）知，33sin 65A =故， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分65AB AC ⨯=又， sin 20sin 13AB B AC AB C ⨯==故，． 2206513AB =132AB =所以． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙10分sin 11sin 2AB A BC C ⨯==18．解：各投保人是否出险互相独立，且出险的概率都是，记投保的10 000人中出险的人数为p ，ξ则．4~(10)B p ξ，（Ⅰ）记表示事件：保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金，则发生当且仅A A当， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分0ξ=()1()P A P A =-1(0)P ξ=-=，4101(1)p =--又，410()10.999P A =-故． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙5分 0.001p =（Ⅱ）该险种总收入为元，支出是赔偿金总额与成本的和． 10000a 支出，1000050000ξ+盈利，10000(1000050000)a ηξ=-+盈利的期望为， ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分 100001000050000E a E ηξ=--由知，，43~(1010)B ξ-，31000010E ξ-=⨯4441010510E a E ηξ=--⨯．4443410101010510a -=-⨯⨯-⨯0E η≥4441010105100a ⇔-⨯-⨯≥1050a ⇔--≥（元）． 15a ⇔≥故每位投保人应交纳的最低保费为15元． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分19．解法一：依题设知，．2AB =1CE =（Ⅰ）连结交于点，则．AC BD F BD AC ⊥由三垂线定理知，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 1BD A C ⊥在平面内，连结交于点，1A CA EF 1A C G 由于，1AA ACFC CE==故，，1Rt Rt A AC FCE △∽△1AA C CFE ∠=∠E A 1B 1C 1D 1H与互余．CFE ∠1FCA ∠于是．1A C EF ⊥与平面内两条相交直线都垂直，1A C BED BD EF ，所以平面． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 1A C ⊥BED （Ⅱ）作，垂足为，连结．由三垂线定理知，GH DE ⊥H 1A H 1A H DE ⊥故是二面角的平面角． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙8分1A HG ∠1A DE B --EF ==，CE CF CG EF ⨯==EG ==， 13EG EF=13EF FD GH DE ⨯=⨯=又，． 1A C ==11A G A C CG =-=．11tan A GA HG HG∠==所以二面角的大小为． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 1A DE B --arctan 解法二：以为坐标原点，射线为轴的正半轴， D DA x 建立如图所示直角坐标系．D xyz -依题设，． 1(220)(020)(021)(204)B CE A ，，，，，，，，，，，，(021)(220)DE DB == ，，，，，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙3分 11(224)(204)A C DA =--= ，，，，，（Ⅰ）因为，，10A C DB = 10A C DE =故，． 1A C BD ⊥1A C DE ⊥又，DB DE D = 所以平面． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分1A C⊥DBE x（Ⅱ）设向量是平面的法向量，则()x y z =，，n 1DA E ，．DE ⊥ n 1DA ⊥ n 故，．20y z +=240x z +=令，则，，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分1y =2z =-4x =(412)=-，，n 等于二面角的平面角， 1A C ，n 1A DE B --．111cos A C A C A C==，n n n 所以二面角的大小为∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 1A DE B --20．解：（Ⅰ）依题意，，即， 113nn n n n S S a S ++-==+123nn n S S +=+由此得． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙4分1132(3)n n n n S S ++-=-因此，所求通项公式为，．① ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分13(3)2n n n n b S a -=-=-*n ∈N （Ⅱ）由①知，，13(3)2nn n S a -=+-*n ∈N 于是，当时，2n ≥1n n n a S S -=- 1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯，1223(3)2n n a --=⨯+-12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-，22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=∙+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦当时，2n ≥21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔∙+- ⎪⎝⎭≥≥．9a ⇔-≥又．2113a a a =+>综上，所求的的取值范围是． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 a [)9-+∞，21．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，2214x y +=直线的方程分别为，． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 AB EF ，22x y +=(0)y kx k =>如图，设，其中， 001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，12x x <且满足方程， 12x x ，22(14)4k x +=故．①21x x =-=由知，得；6ED DF = 01206()x x x x -=-021215(6)77x x x x =+==由在上知，得． D AB 0022x kx +=0212x k=+所以， 212k =+化简得，2242560k k -+=解得或． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分 23k =38k =（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为E F ，AB1h ． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分2h 又，所以四边形的面积为AB ==AEBF 121()2S AB h h =+12===，≤当，即当时，上式取等号．所以的最大值为 ∙∙∙∙∙∙∙∙12分 21k =12k =S 解法二：由题设，，．1BO =2AO =设，，由①得，， 11y kx =22y kx =20x >210y y =->故四边形的面积为AEBFBEF AEF S S S =+△△ ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙9分222x y =+===当时，上式取等号．所以的最大值为． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 222x y =S 22．解：（Ⅰ）． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙2分 22(2cos )cos sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x f x x x +--+'==++当（）时，，即； 2π2π2π2π33k x k -<<+k ∈Z 1cos 2x >-()0f x '>当（）时，，即． 2π4π2π2π33k x k +<<+k ∈Z 1cos 2x <-()0f x '<因此在每一个区间（）是增函数， ()f x 2π2π2π2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z 在每一个区间（）是减函数． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙6分()f x 2π4π2π2π33k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z （Ⅱ）令，则()()g x ax f x =-第 11 页共 11 页22cos 1()(2cos )x g x a x +'=-+2232cos (2cos )a x x =-+++．211132cos 33a x ⎛⎫=-+- ⎪+⎝⎭故当时，．13a ≥()0g x '≥又，所以当时，，即． ∙∙∙∙∙∙∙∙9分 (0)0g =0x ≥()(0)0g x g =≥()f x ax ≤当时，令，则．103a <<()sin 3h x x ax =-()cos 3h x x a '=-故当时，．[)0arccos3x a ∈，()0h x '>因此在上单调增加．()h x [)0arccos3a ，故当时，，(0arccos3)x a ∈，()(0)0h x h >=即．sin 3x ax >于是，当时，．(0arccos3)x a ∈，sin sin ()2cos 3xxf x ax x =>>+当时，有．0a ≤π1π0222f a ⎛⎫=>∙ ⎪⎝⎭≥因此，的取值范围是． ∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙12分 a 13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，。

2008-1中高数试卷(180)

2008级第一学期《高等数学》期中考试试卷(180学时,A类)一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设函数()xf和()xg在()+∞∞-,上有定义，且()()xxfg=，则（）（A）()xf存在反函数；（B）()xg存在反函数；（C）()xf和()xg都存在反函数（D）()xf和()xg都不存在反函数.2.设数列{}nx⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=nnn1cos1cos2，则（）（A）{}nx为无穷大量；（B）{}n x为无穷小量；（C）{}nx非无穷大量但无界；（D）{}n x非无穷小量但有界.3.当0x+→（）（A）1-（B）ln；（.4.设函数()()f x C∈R，其导函数'()f x如右图所示，则()f x在R上有）（A）两个极小值点，一个极大值点；（B）两个极小值点，两个极大值点；（C）三个极小值点，一个极大值点；（D）一个极小值点，两个极大值点.5.设函数()xfy=在闭区间[]ba,上有定义. 对于命题（1）若()xfy=在[]ba,上无界，则()xf在[]ba,上必存在间断点；（2）若()xfy=在[]ba,上可导，则导函数()xf'在[]ba,上必有界；下列选项正确的是（）（A）仅（1）正确；（B）仅（2）正确；（C）都正确；（D）都错误.二、填空题（每小题3分，共15分）6.函数211--+-=xxxy的定义域是_____________.7.=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-∞→22211311211limnn_________.8.若函数(),,2≥<⎩⎨⎧++=xxebaxyx在0=x可导，则=a_____ ，=b______.9. 若⎩⎨⎧==t y e x t csc ，则=dx dy_________________.10.函数()()2221--=x x y （43≤≤-x ）的值域是：______________. 三、求极限（第11、12小题各6分，第13小题8分，共20分） 11.用极限定义证明：111lim 2-=+-→x x x .12.()22111limxxe x xx ++-→.13.()()31sin sin sin 1lim xx x x -+→.四、求导数（第14、15小题各8分，共16分）14. 设方程()22ln y x x y +=确定了一个二阶可导的隐函数()y y x =，且()01=y ，求221x d y dx=.15.设22π()(32)cos16nxf x x x =-+，求()(2)n f .五、（本题共8分） 16.抛物线y =x 轴、直线t x =（0≥t ）所围成的曲边三角形绕x 轴旋转所成旋转体的体积是t 的函数，记作()t V （如下图）.(1) 证明：当210t t <≤时，()()()()12212121t t t t V t V t t t -<-<-ππ；(2) 求()t V '. 六、（本题共10分） 17. 分析函数132+-=x x y 的性态，并作()y f x =的简图(()()32113'++=xx x f ，()()5221336''++--=xx x x f )七、（第18、19小题各8分，共16分）18.设函数()f x 在[,]a b 上二阶可导，且()()f a f b =. 证明：存在(,)a b ξ∈使得2008'()"()f f b ξξξ=-.19.（1）证明：对任意正整数n ，方程tan x x =在ππ,π2n n ⎛⎫+⎪⎝⎭内存在唯一实根n ξ；（2）求极限1lim ()n n n ξξ+→∞-.x。

2008-1末高数试卷_180A_解答

4x dx . (2 x + 1)3
(2 分) (5 分) (8 分)
∫ (2 x + 1)3 dx = ∫ t 3 dt
1 1 = −t −1 + t −2 + C = −(2 x + 1) −1 + (2 x + 1) −2 + C 2 2
π
4x
t −1
14. 计算定积分： ∫ 4π 5 cos x ⋅ arctan e x dx .
(6 分)
π
π
(8 分)
解2
原式 = ∫ 4π 5 cos( −t ) ⋅ arctan e −t dt
− 4
π
(3 分)
=
5 4 x −x ∫ π cos x (arctan e + arctan e ) dx − 2 4
π
π
(6 分)
5π 4 5 2π = ∫ π cos xdx = 4 −4 4
(2 分) (4 分)
(2) f ( x) = ∑
n
k =0
f ( k ) (0) k f ( n +1) (ξ ) n +1 x + x ， k! (n + 1)!
令 Tn ( x) = ∑
1
k =0
f ( k ) (0) k x ，则 k!
1 1
(A) ∫0 [ f ( x)]2 dx = ∫0 [ f ( x)Tn ( x)]dx + ∫0 (B) ∫0 [ f ( x) − Tn ( x)]2 dx = ∫0 [
+∞ 1 − x2 xe 2 dx
= 2008!!
(8 分)
五．求解下列各题（每题 8 分，共 16 分） 16. 将微分方程组

2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷-江西卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷l 至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式P (A ＋B)＝P (A)＋P (B) S ＝4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A·B)＝P (A)·P (B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 V ＝34πR 3 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 P n (k )＝C k n P k (1一P )k n -一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数z =sin 2＋i cos 2对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }．设A ＝{1，2}，B ＝{0，2}，则集合A *B 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数y ＝f (x )的值域是[21，3]，则函数F (x )＝f (x )＋)(1x f 的值域是 A ．[21，3] B ．[2，310] C ．[25，310] D ．[3，310] 4．123lim 1--+→x x x ＝A ．21B ．0C ．－21 D ．不存在5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋n1)，则a n ＝ A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n6．函数y ＝tan x ＋sin x －|tan x －sin x |在区间(2π，23π)内的图象大致是A B C D7．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点．满足1MF ·2MF＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0，1)B ．(0，21] C ．(0，22) D ．[22，1) 8．(1＋3x )6(1＋41x )10展开式中的常数项为A ．1B ．46C ．4245D ．42469．若0＜a 1＜a 2，0＜b 1＜b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是A ．a l b l ＋a 2b 2B ．a l a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b lD ．21 10．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于27、43，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB 、CD 可能相交于点M ②弦AB 、CD 可能相交于点N③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为l其中真命题的个数为A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00∶00到23∶59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为A ．1801B ．2881C ．3601D ．4801 12．已知函数f (x )＝2mx 2－2(4－m )x ＋l ，g (x )＝mx ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点A(1，2)、B(3，－2)、C(9，7)，若E 、F 为线段BC 的三等分点，则AE ·AF ＝．14．不等式132+-x x ≤21的解集为． 15．过抛物线x 2=2py (p >0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B 两点(点A 在y 轴左侧)，则FBAF ＝． 16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P (图2)．有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是．(写出所有真命题的代号) ．三．解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC 中．a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边长，a ＝23，tan 2B A +＋tan 2C ＝4，sin B sin C ＝cos 22A ．求A 、B 及b 、c ． 18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令ξi (i ＝1，2)表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）写出ξ1、ξ2的分布列；（2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大?（3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大?19．（本小题满分12分）等差数列{ a n }各项均为正整数，a 1＝3，前n 项和为S n ，等比数列{ b n }中，b 1＝1，且b 2S 2＝64，{ b n }是公比为64的等比数列．（1）求a n 与b n ；（2）证明：11S ＋21S ＋……＋n S 1＜43． 20．（本小题满分12分）正三棱锥O －ABC 的三条侧棱OA 、OB 、OC两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于A 1、B 1、C 1，已知OA 1＝23．（1）证明：B 1C 1⊥平面OAH ；（2）求二面角O －A 1B 1－C 1的大小．21．（本小题满分12分）设点P (x 0，y 0) 在直线x ＝m ( y ≠±m ，0＜m ＜1)上，过点P 作双曲线搿x 2－y 2＝1的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M(m1，0)．（1）过点A 作直线x －y ＝0的垂线，垂足为N ，试求△AMN 的重心G 所在的曲线方程；（2）求证：A 、M 、B 三点共线．22．（本小题满分14分）已知函数f (x )＝x +11＋a +11＋8+ax ax ，x ∈(0，＋∞)．（1）当a ＝8时，求f (x )的单调区间；（2）对任意正数a ，证明：l ＜f (x )＜2．。

2008年考研高数一真题(附答案)

2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3．【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)f x x x x x '=+⋅=+．显然()f x '在区间(,)-∞+∞上连续，且(1)(1)(2ln 3)(2ln 3)0f f ''-∙=-∙<，由零点定理，知()f x '至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xf x x x''=++>+，恒大于零，所以()f x '在(,)-∞+∞上是单调递增的．又因为(0)0f '=，根据其单调性可知，()f x '至多有一个零点．故()f x '有且只有一个零点．故应选(B).（2）函数(,)arctan x f x y y=在点(0,1)处的梯度等于【】(A) i (B) i -. (C) j . (D) j - . 【答案】应选(A).【详解】因为222211f y y x xx yy∂==∂++．222221x f x yx yx yy-∂-==∂++．所以(0,1)1f x∂=∂，(0,1)0f y∂=∂，于是(0,1)(,)i grad f x y =.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2xy C e C x C x =++（123,,C C C 为任意的常数）为通解的是【】(A) 440y y y y ''''''+--=. (B) 440y y y y ''''''+++=.(C) 440y y y y ''''''--+=. (D) 440y y y y ''''''-+-=. 【答案】应选(D).【详解】由123cos 2sin 2xy C e C x C x =++，可知其特征根为11λ=，2,32i λ=±，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)i i λλλλλ-+-=-+3244λλλ=+-- λλλ3244=-+-所以所求微分方程为440y y y y ''''''-+-=．应选(D).（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是【】．(A) 若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. 【答案】应选(B).【详解】若{}n x 单调，则由函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界知，若{()}n f x 单调有界，因此若{()}n f x 收敛．故应选(B).（5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵．若30A =，则【】则下列结论正确的是：(A) E A -不可逆，则E A +不可逆. (B) E A -不可逆，则E A +可逆.(C) E A -可逆，则E A +可逆. (D) E A -可逆，则E A +不可逆. 【答案】应选(C). 【详解】故应选(C).23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+=．故E A -，E A +均可逆．故应选(C).（6）设A 为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()1x xyz A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为【】(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3.【答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221x y z ac+-=．故A 的正特征值个数为1．故应选(B).（7）设随机变量,X Y 独立同分布且X 的分布函数为()F x ，则max{,}Z X Y =的分布函数为【】(A) 2()F x . (B) ()()F x F y . (C) 21[1()]F x --. (D) [1()][1()]F x F y --. 【答案】应选(A)．【详解】(){}()m ax{,}F z P Z z P X Y z =≤=≤()()2()()()P X z P Y z F z F z F z =≤≤==．故应选(A)．（8）设随机变量X N (0,1) , (1,4)Y N , 且相关系数1XY ρ=，则【】(A) {21}1P Y X =--= (B) {21}1P Y X =-= (C) {21}1P Y X =-+= (D) {21}1P Y X =+= 【答案】应选 (D)．【详解】用排除法．设Y aX b =+．由1XY ρ=，知X ，Y 正相关，得0a >．排除（A ）和（C ）．由(0,1)X N ，(1,4)Y N ，得0,1,()EX EY E aX b aEX b ==+=+．10a b =⨯+，1b =．从而排除(B).故应选 (D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.) （9）微分方程0xy y '+=满足条件(1)1y =的解是y = . 【答案】应填1y x =．【详解】由dy y dxx=-，得dy dx yx=-．两边积分，得ln ||ln ||y x C =-+．代入条件(1)1y =，得0C =．所以1y x=．（10）曲线sin()ln()xy y x x +-=在点(0,1)的切线方程为 . 【答案】应填1y x =+．【详解】设(,)sin()ln()F x y xy y x x =+--，则1(,)cos()1x F x y y xy y x-=+--，1(,)cos()x F x y x xy y x=+-，(0,1)1x F =-，(0,1)1y F =．于是斜率(0,1)1(0,1)x y F k F '=-='．故所求得切线方程为1y x =+．（11）已知幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(2)nnn ax ∞=-∑的收敛域为 .【答案】 (1,5]．【详解】由题意，知0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛域为(4,0]-，则0nn n a x ∞=∑的收敛域为(2,2]-．所以0(2)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5]．(12)设曲面∑是z =的上侧，则2xydydz xdzdx xdxdy ∑++=⎰⎰ .【答案】 4π．【详解】作辅助面1:0z ∑=取下侧．则由高斯公式，有2xydydz xdzdx xdxdy ∑++⎰⎰122xydydz xdzdx x dxdy xydydz xdzdx x dxdy ∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2224x y ydV x dxdy Ω+≤=+⎰⎰⎰⎰⎰．2222410()2x y x y dxdy +≤=++⎰⎰d r rdr πθππ222116424=∙==⎰⎰．(13) 设A 为2阶矩阵，12,αα为线性无关的2维列向量，10A α=，2122A ααα=+．则A 的非零特征值为___________. 【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭．记12(,)P αα=，因12,αα线性无关，故12(,)P αα=是可逆矩阵．因此 0201AP P ⎛⎫=⎪⎝⎭，从而10201P AP -⎛⎫= ⎪⎝⎭．记0201B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A 与B 相似，从而有相同的特征值．因为2||(1)01E B λλλλλ--==--，0λ=，1λ=．故A 的非零特征值为1．(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2P X EX ==____________．【答案】应填12e.【详解】因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1EX D X ==．从而由22()D X EX EX =-得22EX =．故{}{}22P X EX P X ====12e．三、解答题：(15－23小题，共94分. )(15)(本题满分10分) 求极限[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-【详解1】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]3sin sin(sin )limx x x x→-=＝2cos cos(sin )cos lim3x x x xx→-21cos(sin )lim3x x x→-= 0sin(sin )cos lim6x x xx→=(或221(sin )2lim 3x x x→=，或2221sin (sin )2lim 3x x o x x→+=)16=．【详解2】[]4sin sin(sin )sin limx x x xx→-[]4sin sin(sin )sin limsin x x x xx→-=＝3sin limt t t t→-201cos lim3t t t→-=2202lim 3t tt →=（或0sin lim 6t tt→=） 16=．（16）(本题满分9分)计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从(0,0)到(,0)π的一段．【详解1】按曲线积分的计算公式直接计算．2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰2[sin 22(1)sin cos ]xdx x x x dx π=+-⎰2sin 2x xdx π=⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．【详解2】添加辅助线，按照Green 公式进行计算．设1L 为x 轴上从点(,0)π到(0,0)的直线段．D 是1L 与L 围成的区域12sin 22(1)L L xdx x ydy ++-⎰2(2(1)sin 2D x y x dxdy x y ⎡⎤∂-∂=--⎢⎥∂∂⎣⎦⎰⎰4D xydxdy =-⎰⎰sin 04xxydydx π=-⎰⎰22sin x xdx π=-⎰0(1cos 2)x x dx π=--⎰2cos 22xx xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．因为12sin 22(1)sin 20L xdx x ydy xdx π+-==⎰⎰故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-【详解3】令2sin 22(1)LI xdx x ydy =+-⎰212sin 222Lxdx ydy x ydy I I =-+=+⎰对于1I ，记sin 2,2P x Q y ==-．因为0P P yx∂∂==∂∂，故1I 与积分路径无关．10sin 20I xdx π==⎰．对于2I ， 2222022sin cos sin 2LI x ydy x x xdx x xdx ππ===⎰⎰⎰2cos 2cos 22x xx xdx ππ=-+⎰2cos 22x xdx ππ=-+⎰2sin 2sin 2222x x x dx πππ=-+-⎰22π=-．故2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰22π=-17（本题满分11分）已知曲线22220,:35,x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点．【详解1】点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数2H z =在条件22220,x y z +-=35x y z ++=下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数2222(,,,,)(2)(35)L x y z z x y z x y z λμλμ=++-+++-，由222220,20,220,43.,350x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-++-=++==⎨⎪⎪⎪⎩ 得x y =，从而22220,23 5.x z x z -=+=⎧⎨⎩解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解2】点(,,)x y z 到xoy 面的距离为||z ，故求C 上距离xoy 面最远的点和最近的点的坐标等价于求函数22H x y =+在条件2225203x y x y +-⎛⎫+-= ⎪⎝⎭下的最大值点和最小值点．构造拉格朗日函数222222(,,,)(5)9L x y z x y x y x y λλ⎛⎫=+++-+- ⎪⎝⎭，由222520.422(5)0,9422(5)0,93x y L x x x y L y x x y y y y x λλ⎧⎛⎫'=+-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎛⎫'=+-+-=+-⎨⎪⎝⎭⎛⎫+-= ⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎩得x y =，从而2222(25)09x x --=．解得5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．【详解3】由22220x y z +-=得cos ,sin .x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩代入35x y z ++=，得5z =所以只要求()z z θ=的最值．令()2sin cos )()03sin )z θθθθθ-+'==++，得cos sin θθ=，解得5,44ππθ=．从而5,5,5.x y z ==-⎧⎪=-⎨⎪⎩或1.1,1,z x y =⎧=⎪=⎨⎪⎩根据几何意义，曲线C 上存在距离x o y 面最远的点和最近的点，故所求点依次为(5,5,5)--和(1,1,1)．（18）(本题满分10分)设()f x 是连续函数，（I ）利用定义证明函数0()()x F x f t dt =⎰可导，且()()F x f x '=；（II ）当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数2()2()()xG x f t dt x f t dt=-⎰⎰也是以2为周期的周期函数．（I ）【证明】000()()()()()limlimx x x x x f t dt f t dtF x x F x F x xx+∆∆→∆→-+∆-'==∆∆⎰⎰()limx x xx f t dtx+∆∆→=∆⎰()limlim ()()x x f x f f x xξξ∆→∆→∆===∆【注】不能利用L ’Hospital 法则得到0()()lim limx x xx x f t dtf x x xx+∆∆→∆→+∆=∆∆⎰．(II) 【证法1】根据题设，有222000(2)2()(2)()(2)()x G x f t dt x f t dt f x f t dt +'⎡⎤'+=-+=+-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰，22000()2()()2()()x G x f t dt x f t dt f x f t dt '⎡⎤'=-=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，(2)()f x f x +=．从而 (2)()G x G x ''+=．因而(2)()G x G x C +-=．取0x =得，(02)(0)0C G G =+-=，故 (2)()0G x G x +-=．即2()2()()xG x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数．【证法2】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，2222022()()()2()x f t dt x f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰．对于22()x f t dt +⎰，作换元2t u =+，并注意到(2)()f u f u +=，则有22()(2)()()x x x x f t dt f u du f u du f t dt +=+==⎰⎰⎰⎰，因而 2220()()0x x f t dt x f t dt +-=⎰⎰．于是2(2)2()()()xG x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数【证法3】根据题设，有 2200(2)2()(2)()x G x f t dt x f t dt ++=-+⎰⎰，222002()2()()2()xx xf t dt f t dt x f t dt f t dt +=+--⎰⎰⎰⎰2222()()2()2()x x xf t dt x f t dt f t dt f t dt +=-+-⎰⎰⎰⎰()220()2()()x xG x f t dt f t dt +=+-⎰⎰．当()f x 是以2为周期的周期函数时，必有220()()x xf t dt f t dt +=⎰⎰．事实上22(())(2)()0x d f t dt f x f x dx+=+-=⎰，所以22()x f t dt C +≡⎰．取0x =得，02222()()C f t dt f t dt +≡=⎰⎰．所以2(2)2()()()x G x f t dt x f t dt G x +=-=⎰⎰．即2()2()()x G x f t dt x f t dt =-⎰⎰是以2为周期的周期函数(19)(本题满分11分)将函数2()1(0)f x x x π=-≤≤展开成余弦级数，并求级数11(1)n n n-∞=-∑的和．【详解】将()f x 作偶周期延拓，则有0,1,2,n b n == ．0a =22(1)d x x ππ-⎰2213π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．2()cos n a f x nxdx ππ=⎰22cos cos nxdx x nxdx ππππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰220cos x nxdx πππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰22sin 2sin x nx x nxdx nnπππ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦⎰1222(1)n nππ--=124(1)n n--=．所以2101221()1cos (1)143cos 2n nn n a f x x nanx nx π-∞∞===-=+=--+∑∑，0x π≤≤．令x=0，有n n f nπ2121(1)(0)143-∞=-=-+∑又(0)1f =，所以n n nπ1221(1)12-∞=-=∑．（20）(本题满分10分)设,αβ为3维列向量，矩阵TTA ααββ=+，其中,TTαβ分别是,αβ得转置．证明：（I ）秩()2r A ≤；（II ）若,αβ线性相关，则秩()2r A <．【详解】（I ）【证法1】()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤．【证法2】因为T TA ααββ=+，A 为33⨯矩阵，所以()3r A ≤．因为,αβ为3维列向量，所以存在向量0ξ≠，使得0,0TTαξβξ==于是 0T T A ξααξββξ=+= 所以0A x =有非零解，从而()2r A ≤．【证法3】因为TTA ααββ=+，所以A 为33⨯矩阵．又因为()00TT TT A αααββαββ⎛⎫ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以|||0|00T TaA αββ==故 ()2r A ≤．（II ）【证法】由,αβ线性相关，不妨设k αβ=．于是()2()()(1)()12TTTr A r rk r ααβββββ=+=+≤≤<．(21) (本题满分12分)．设n 元线性方程组A x b =，其中2222212121212a a a aa A aa aa ⎛⎫ ⎪⎪⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，b 100⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ．（I ）证明行列式||(1)n A n a =+；（II ）当a 为何值时，该方程组有惟一解，并求1x ．（III ）当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解．【详解】（I ）【证法1】数学归纳法．记2222212121||212n na aa aa D A aa aa==以下用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第一行展开得n n n aa aa D aD aa aa2212211021212212--=-2122n n aD a D --=-1222(1)n n anaa n a--=--(1)nn a =+故 (1)nA n a =+．【注】本题（1）也可用递推法．由2122n n n D aD a D --==- 得，2211221()()n n n n n n n D aD a D aD aD aD a ------=-==-= ．于是(1)nn D n a =+（I ）【证法2】消元法．记2222212121||212na aa aa A aa aa=221222130121212212na aa a r ar aa aa-3222221301240123321212na aar ar a a aa aa-=n n na aan r ar nn an n an12130124011301110----+(1)nn a =+．（II ）【详解】当0a ≠时，方程组系数行列式0n D ≠，故方程组有惟一解．由克莱姆法则，将n D 得第一列换成b ，得行列式为22211222211121021212121212122n n nn aa a a aa aa D na aa aa aa aa---===所以，11(1)n nD a x D n a-==+．（III ）【详解】当0a =时，方程组为12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵得秩和增广矩阵得秩均为1n -，所以方程组有无穷多组解，其通解为 ()()010100TTx k =+，其中k 为任意常数．(22) (本题满分11分)设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度为1()(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为1,01,()0,Y y f y 其它.≤<⎧=⎨⎩记Z X Y =+．（I ）求102P Z X ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭；（II ）求Z 的概率密度)(z f Z . （I ）【详解】解法1．1100221110.222P Z X P X Y X P Y X P Y ⎛⎫⎛⎫≤==+≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫=≤==≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解法2．()()1,0120201,0112.022P X Y X P Z X P X P Y X P Y P X ⎛⎫+≤= ⎪⎛⎫⎝⎭≤==⎪=⎝⎭⎛⎫≤= ⎪⎛⎫⎝⎭==≤= ⎪=⎝⎭（II ）解法1．Z z P Z z P X Y z P F (){}{}=P {X+Y z,X=-1}+P {X+Y z,X=0}+P {X+Y z,X=1} =P {Y z+1,X=-1}+P {Y z,X=0}+P {Y z-1,X=1}=P {Y z+1}P {X=-1}+P {Y z}P {X=0}+P {Y z-1}P {X=1}1 =[{Y z+1}P {Y 3=≤=+≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤+≤Y Y Y z z Y Y Y F z F z F z f z F z z f z f z f z 'z}P {Y z-1}]1 =[(1)()(1)]3()()1,12;1(1)()(1)330,.其它+≤+++-=⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩解法2．11()()()1,12;1(1)()(1)330,.Z Y i Y Y Y f z P X i f z i z f z f z f z =-==-⎧-<<⎪=+++-=⎡⎤⎨⎣⎦⎪⎩∑其它（23）(本题满分11分)设n X X X 21,是来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==ni iXnX 11，2211()1ni i S X X n ==--∑，221T XS n=-．（1）证明T 是μ2的无偏估计量；（2）当μσ0,1==时，求.D T . 【详解1】（1）首先T 是统计量．其次 221()()E T E X ES n=-222222111()()D X EX ES nnnσμσ=+-=+-2μ=对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量．【详解2】（1）首先T 是统计量．其次()()22111111nnij k i j kn T XXX X n n n n n =≠=-=---∑∑，()()1njk j knET E X EX n ≠=-∑2μ=，对一切,μσ成立．因此T 是2ˆμ的无偏估计量．（2）解法2(0,1)N ，22(1)nXχ ，22(1)(1)n S n χ-- ．于是2()2D nX =，()2(1)2(1)D n S n -=-．所以221()D T D X S n ⎛⎫=-⎪⎝⎭()()()22222112()(1)11D nX D n Snn n nn =+-=--。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ

)()()A B P A P B =A 在一次试验中发生的概率是次独立重复试验中恰好发生k 次的概率(1)x x x -+的定义域为（}{}0．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶看作时间t 的函数，其图像可能是（中，AB =c ，AC =b ．若点满足2BD DC =，则AD =（ B ．5233-c b 13-b cD ．1233+b 2)a i i +为正实数，则）C ．0sO0)(1)+∞， 1)(01)，1)(1)-+∞，，0)(01)，，．若直线1x ya b+=通过点)α，则（ 21≤ B C ．211a b+．已知三棱柱ABC -的侧棱与底面边长都相等，45，求二面角1OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．满足01a <<，a f =像可知；由()2AD AB AC AD -=-，322AD AB AC c b =+=+，1233AD c b =+； ()()()22221210,1a i i a ai i a a i a +=+-=-+->=-；由243511014,104,3,104595a a a a a d S a d +=+=⇒=-==+=；由()()()()21212ln 1,1,y x x y x x ef x ef x e --=+⇒=-==；另解：设1,,AB AC AA 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA 的两两间的夹角为的法向量为111133OA AA AB AC =--,11AB AB AA =+ 所成角的正弦值为111123OA AB AO AB ⋅=. 种种法；种四种花有44A 种种法.共有234444284A A A ++=.顺序种花，可分A C 、同色与不同色有43(1322)84⨯⨯⨯+⨯=ABDE 11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-,11()()22AN EM AB AC AC AE ⋅=+⋅-=12故EM AN ，所成角的余弦值16AN EM AN EM⋅=另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系，则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)A B E C ----,2)2,则3121321(,,),(,,),,32222222AN EM AN EM AN EM ==-⋅===, 16题图（16题图（16AN EM AN EM⋅=. 中，由正弦定理及a 33sin sin(55C ==，则tan cot A B AB 90，90∴∠，即CE CE AD ⊥点作AD 的垂线，垂足为G CG AD ，∴CEG ，∴∠233AC CD AD =，则cos GE CE CGE CG GE -∠=πarccos =-，即二面角C AD -求导：()f x '()f x 在R4 31 533,( 5CP C=13 ),(5B P=21255⨯== m d=-，AB22)d m-+。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江西卷·理科)(附答案,完全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．考生注意：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨色签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回．参考公式：如果事件A B ，互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独立，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径 ()(1)k k n kn n P k C P P -=- 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．定义集合运算：{}|A B z z xy x A y B *==∈∈，，．设{}12A =，，{}02B =，，则集合A B *的所有元素之和为（）A ．0B ．2C ．3D ．63．若函数()y f x =的定义域是132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（） A ．132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．1023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．51023⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D ．1033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．1x →=（）A ．12B ．0C ．12-D ．不存在5．在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则n a =（） A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++6．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区是π3π22⎛⎫ ⎪⎝⎭，内的图象大致是（）7．已知12F F ，是椭圆的两个焦点，满足120MF MF =的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）A ．(01)，B ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，C．0⎛ ⎝⎭D．1⎫⎪⎪⎣⎭8．106(11⎛++ ⎝展开式中的常数项为（） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．42469．若120a a <<，120b b <<，且12121a a b b +=+=，则下列代数式中值最大的是（）A ．1122a b a b +B ．1212a a bb +C ．1221a b a b +D ．1210．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB CD ，的长度分别等于M N ，分别为AB CD ，的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：①弦AB CD ，可能相交于点M ②弦AB CD ，可能相交于点N ③MN 的最大值为5 ④MN 的最小值为1其中真命题的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为（）A ．B ．x C ．D ．A ．1180B ．1288C ．1360D ．148012．已知函数2()22(4)1f x mx m x =+-+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（）A ．(02)，B ．(08)，C ．(28)，D ．(0)-∞，2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把答案填在答题卡上．13．直角坐标平面内三点(12)(32)(97)A B C -，，，，，，若E F ，为线段BC 的三等分点，则AE AF =．14．不等式31122x x-+≤的解集为． 15．过抛物线22(0)x py p =>的焦点F 作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A B ，两点（点A 在y 轴左侧），则AF FB= ．16．如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P ．如果将容器倒置，水面也恰好过点P （图2）．图1图2有下列四个命题：A ．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半B ．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC ．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD ．若往容器内再注入a 升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）在ABC △中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对的边长，a =tan tan 422A B C++=，2sin sin cos 2AB C =．求A B ，及b c ，． 18．（本小题满分12分）因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果树的方案，每种方案都需分两年实施．若实施方案一，预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3，0.3，0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5，0.5．若实施方案二，预计第一年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2，0.3，0.5；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4，0.6．实施每种方案第一年与第二年相互独立，令1(12)i ξ=，表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．（1）写出12ξξ，的分布列；（1）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？（2）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到、恰好达到、超过灾前产量，预计利润分别为10万元、15万元、20万元．问实施哪种方案的平均利润更大？ 19．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264b S =，{}n a b 是公比为64的等比数列．（1）求n a 与n b ；（2）证明：12111n S S S +++34<．20．（本小题满分12分）如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA OB OC ，，两两垂直，且长度均为2．E F ，分别是AB AC ，的中点，H 是EF 的中点，过EF 的一个平面与侧棱OA OB OC ，，或其延长线分别相交于111A B C ，，，已知132OA =．（1）证明：11B C ⊥平面OAH ；（2）求二面角111O A B C --的大小．21．（本小题满分12分）设点00()P x y ，在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线PA PB ，，切点为A B ，，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，．（1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方程；（2）求证：A M B ，，三点共线．22．（本小题满分14分）已知函数()(0)f x x =∈+∞，．（1）当8a =时，求()f x 的单调区间；（2）对任意正数a ，证明：1()2f x <<．AB C H F O C 1A 1 EB 12008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（理科）试题参考答案一、选择题1．D 2．D 3．B 4．A 5．A 6．D 7．C 8．D 9．A 10．C 11．C 12．B 二、填空题13．22 14．(3](01]-∞- ，， 15．1316．B ，D 三、解答题 17．解：由tan tan 422A B C ++=得cot tan 422C C+= 化简得14sin cos22C C =所以1sin 2C =，又(0π)C ∈，即π6C =，或5π6C =由2sin sin cos 2A B C =得1sin sin [1cos()]2B C B C =-+即cos()1B C -= 所以π6B C ==2ππ()3A B C =-+=由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得1sin 2sin Bb c a A ==== 18．解：（1）1ξ的所有取值为0.8，0.9，1.0，1.125，1.252ξ的所有取值为0.8，0.96，1.0，1.2，1.44， 1ξ，2ξ的分布列分别为（2）令A B ，分别表示方案一、方案二两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，()0.150.150.3P A =+=，()0.240.080.32P B =+=．可见，方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大．（3）令i η表示方案i 的预计利润，则所以114.75E η=，214.1E η=，可见，方案一的预计利润更大．19．解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有13163(1)122642(6)64n n nd a d n d a b q q b q S b d q ++-+--⎧====⎪⎨⎪=+=⎩ ①由(6)64d q +=知q 为正有理数，又由62dq =知，d 为6的因子1，2，3，5之一．解①得2d =，8q =．故32(1)21n a n n =+-=+，18n n b -=．（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ 所以121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+ 1111111112324352n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪+⎝⎭11113122124n n ⎛⎫=+--< ⎪++⎝⎭． 20．解法一：（1）依题设，EF 是ABC △的中位线，所以EF BC ∥，则EF ∥平面OBC ，所以11EF B C ∥．又H 是EF 的中点，所以AH EF ⊥，则11AH B C ⊥．因为OA OB ⊥，OA OC ⊥，所以OA ⊥平面OBC ，则11OA B C ⊥．因此11B C ⊥平面OAH ．（2）作11ON A B ⊥于N ，连1C N ．因为1OC ⊥平面11OA B ．根据三垂线定理知，111C N A B ⊥，1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角，作1EM OB ⊥于M ，则EM OA ∥，则M 是OB 的中点．则1EM OM ==．设1OB x =，由111OB OA MB EM=得312x x =-．解得3x =．即113OB OC ==．在11Rt OA B △中，11A B ==，则1111OA OB ON A B ==所以11tan OC ONC ON∠== 故二面角111O A B C --的大小为解法二：（1）以直线OA OC OB ，，分别为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则11(200)(002)(020)(101)(110)122A B C E F H ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，，，，．A B C HF O C 1A 1E1N M所以11122AH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，11122OH ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，(022)BC =- ，，所以0AH BC = ，0OH BC =所以BC ⊥平面OAH 由EF BC ∥所以11B C BC ∥则11B C ⊥平面OAH ．（2）由已知13002A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，设1(00)B z ，，，则11012A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，1(101)EB z =-- ，，，由1A E 与1EB 共线得：存在λ∈R 使11A E EB λ=得121(1)z λλ⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩3z ⇒= 所以1(003)B ，，．同理：1(030)C ，，．所以113032A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，，113302AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，设1111()n x y z =，，是平面111A B C 的一个法向量，则11111100A B n A C n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 即111133023302x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令12x =得111y z == 所以1(211)n =，，．又2(010)n =，，是平面11OA B 的一个法向量所以121212cos6n nn nn n<>===，．由图可知，所求二面角的大小为arccos6．21．解：设1122()()A x yB x y，，，．由已知得到12y y≠，且22111x y-=，22221x y-=．（1）垂线AN的方程为：11y y x x-=-+，由11y y x xx y-=-+⎧⎨-=⎩得垂足112222x y x yN++⎛⎫⎪⎝⎭，，设重心()G x y，，所以1111111132132x yx xmx yy y⎧+⎛⎫=++⎪⎪⎪⎝⎭⎨+⎛⎫⎪=++⎪⎪⎝⎭⎩，解得1139341934x ymxy xmy⎧--⎪=⎪⎪⎨⎪-+⎪=⎪⎩由22111x y-=可得：1133332x y x ym m⎛⎫⎛⎫--+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭即221239x ym⎛⎫--=⎪⎝⎭为重心G所在曲线方程．（2）设切线PA的方程为：11()y y k x x-=-由1122()1y y k x xx y-=-⎧⎨-=⎩得2221111(1)2()()10k x k y kx x y kx------=从而2222211114()4(1)()4(1)0k y kx k y kx k∆=-+--+-=．解得11xky=．因此PA的方程为：111y y x x=-同理PB的方程为：221y y x x=-又1()P m y，在PA PB，上，所以1011y y mx=-，2021y y mx=-即点1122()()A x y B x y ，，，都在直线01y y mx =-上．又10M m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，也在直线01y y mx =-上，所以A M B ，，三点共线． 22．解：（1）当8a =时，1()3f x =+，求导得()f x '=．于是当(]01x ∈，时，()0f x '≥；而当[)1x ∈+∞，时，()0f x '≤．即()f x 在(]01，上单调递增，而在[)1+∞，上单调递减．（2）对任意给定的0a >，0x >．因()f x = 若令8b ax=，则8abx = ①．()f x =+② （一）先证()1f x >11x >+11a >+11b >+．又由2a b x +++≥8=≥，得6a b x ++≥．所以111()111f x x a b =>+++++ 32()()9()()(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b x ab ax bx a b x ab ax bx x a b x a b ++++++++++++=++++++≥ 1()()1(1)(1)(1)a b x ab ax bx abx x a b +++++++==+++．（二）再证()2f x <：由①，②式中关于x a b ，，的对称性，不妨设x a b ≥≥，则02b <≤．（1）当7a b +≥，则5a ≥，所以5x a ≥≥．1<1<，此时()2f x =<．（Ⅱ）当7a b +< ③，由①得，8xab == 因为222111114(1)2(1)b b b b b b b ⎡⎤<-+=-⎢⎥++++⎣⎦， 12(1)b b <-+ ④ 12(1)a a <-+ ⑤，于是1()2211a b f x a b ⎛<-+- ++⎝ ⑥今证明11a b a b +>++ ⑦，因为11a b a b +++≥ 只要证(1)(1)8ab ab a b ab >+++，即8(1)(1)ab a b +>++，也即7a b +<，据③，此为显然．因此⑦得证，故由⑥得()2f x <．综上所述，对任何正数a x ，，皆有1()2f x <<．。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)(附答案,完全word版)

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学本试卷分第I 卷（填空题）和第II 卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．5.作选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式: 样本数据1x ,2x ,,n x 的标准差s =其中x 为样本平均数柱体体积公式V Sh =其中S 为底面积，h 为高一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分． 1.()cos 6f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为5π，其中0ω>，则ω= ▲ ．【解析】本小题考查三角函数的周期公式.2105T ππωω==⇒=【答案】102．一个骰子连续投2 次，点数和为4 的概率 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6 个，点数和为4 的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3 个，故316612P ==⨯ 【答案】112锥体体积公式 13V Sh =其中S S 为底面积，h 为高球的表面积、体积公式24S R π=，343V R π=3.11ii+-表示为a bi +(),a b R ∈，则a b +== ▲ ．【解析】本小题考查复数的除法运算．∵()21112i i i i ++==- ，∴a ＝0，b ＝1，因此1a b += 【答案】14.A={()}2137x x x -<-，则AZ 的元素的个数 ▲ ．【解析】本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．由()}2137x x -<-得2580x x -+<,∵Δ＜0，∴集合A 为∅ ，因此A Z 的元素不存在．【答案】05.a ，b 的夹角为120︒，1a =，3b = 则5a b -= ▲ ．【解析】本小题考查向量的线性运算．()2222552510a b a b a a b b -=-=-+=22125110133492⎛⎫⨯-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，5a b -=7 【答案】76.在平面直角坐标系xoy 中，设D 是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2 的点构成的区域， E 是到原点的距离不大于1 的点构成的区域，向D 中随机投一点，则落入E 中的概率 ▲ ．【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D 表示边长为4 的正方形的内部（含边界），区域E 表示单位圆及其内部，因此．214416P ππ⨯==⨯【答案】16π7.算法与统计的题目8.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ▲ ．【解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法．'1y x = ，令112x =得2x =，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b ＝ln2－1．【答案】ln2－19在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C (c,0) ，点P （0，p ）在线段AO 上（异于端点），设a,b,c, p 均为非零实数，直线BP,CP 分别交AC , AB 于点E ,F ，一同学已正确算的OE 的方程：11110x y c b p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：（ ▲ ）110x y p a ⎛⎫+-=⎪⎝⎭.【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11c b-．事实上，由截距式可得直线AB ：1x y b a +=，直线CP ：1x y c p += ，两式相减得11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，显然直线AB 与CP 的交点F 满足此方程，又原点O 也满足此方程，故为所求直线OF 的方程．【答案】11b c- 10．将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10．．．．．．．按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ▲ ．【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n －1 行共有正整数1＋2＋…＋（n －1）个，即22n n -个，因此第n 行第3 个数是全体正整数中第22n n -＋3个，即为262n n -+．【答案】262n n -+11.已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ▲ ．【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230x y z -+=得32x z y +=，代入2y xz得229666344x z xz xz xzxz xz+++≥=，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．【答案】312.在平面直角坐标系中，椭圆2222x y a b+=1( a b >>0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径的圆，过点2,0a c ⎛⎫⎪⎝⎭作圆的两切线互相垂直，则离心率e = ▲ ． ? ?【解析】设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以△OAP 是等腰直角三角形，故2a c =，解得c e a ==【答案】213．若，则ABC S ∆的最大值 ▲ ． ?【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B = 2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==244x x-=，代入上式得ABC S ∆==由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABCS ∆最大值【答案】14.()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ▲ ．【解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=，所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，从而a ≥4；当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x -，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4【答案】4二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B的横坐标分别为105．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．【解析】本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．由条件的cos 105αβ==，因为α,β为锐角，所以sin α=,sin 105β=因此1tan 7,tan 2αβ== （Ⅰ）tan(αβ+)=tan tan 31tan tan αβαβ+=--（Ⅱ） 22tan 4tan 21tan 3βββ==-，所以()tan tan 2tan 211tan tan 2αβαβαβ++==-- ∵,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴2αβ+=34π16．在四面体ABCD 中，CB= CD, AD ⊥BD ，且E ,F 分别是AB,BD 的中点，求证：（Ⅰ）直线EF ∥面ACD ；（Ⅱ）面EFC ⊥面BCD ．【解析】本小题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系的判定．（Ⅰ）∵ E,F 分别是AB,BD 的中点， ∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄面ACD ，AD ⊂ 面ACD ，∴直线EF ∥面ACD ．（Ⅱ）∵ AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴ EF ⊥BD. ∵CB=CD, F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD.又EF CF=F ，∴BD ⊥面EFC ．∵BD ⊂面BCD ，∴面EFC ⊥面BCD ．17．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A,B 及CD 的中点P 处，已知AB=20km, CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且A,B 与等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP ，设排污管道的总长为y km ．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式； ②设OP x =(km) ，将y 表示成x x 的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．【解析】本小题主要考查函数最值的应用．CBPOAD（Ⅰ）①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO=θ(rad) ，则10cos cos AQ OA θθ==, 故 10cos OB θ=，又OP ＝1010tan θ-10－10ta θ，所以10101010tan cos cos y OA OB OP θθθ=++=++-，所求函数关系式为2010sin 10cos y θθ-=+04πθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭②若OP=x (km) ，则OQ ＝10－x ，所以=所求函数关系式为)010y x x =+<< （Ⅱ）选择函数模型①，()()()'2210cos cos 2010sin 102sin 1cos cos sin y θθθθθθθ-----==令'y =0 得sin 12θ=，因为04πθ<<，所以θ=6π，当0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'0y < ，y 是θ的减函数；当,64ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，'0y > ，y 是θ的增函数，所以当θ=6π时，min 10y =+。

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2008级第一学期《高等数学》期中考试试卷(180学时,A 类)
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1. 设函数和在(上有定义，且()x f ()x g )+∞∞−,()()x x f g =，则（）
（A ）存在反函数；（B ）()x f ()x g 存在反函数；
（C ）和()x f ()x g 都存在反函数（D ）()x f 和()x g 都不存在反函数.
2. 设数列{}n x ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=n n n 1cos 1cos 2，则（）（A ）{}n x 为无穷大量；（B ）{}n x 为无穷小量；
（C ）{}n x 非无穷大量但无界；（D ）{}n x 非无穷小量但有界.
3. 当0x +
→等价的无穷小量是（）
（A ）1− （B ）ln ；（. 4. 设函数，其导函数()()f x C ∈R '()f x 如右图所示，则()f x 在R 上有）（A ）两个极小值点，一个极大值点；（B ）两个极小值点，两个极大值点；（C ）三个极小值点，一个极大值点；（D ）一个极小值点，两个极大值点. 5. 设函数在闭区间[上有定义. 对于命题
()x f y =]b a ,（1）若()x f y =在[上无界，则]b a ,()x f 在[]b a ,上必存在间断点；
（2）若()x f y =在[上可导，则导函数]b a ,()x f '在[]b a ,上必有界；
下列选项正确的是（）（A ）仅（1）正确；（B ）仅（2）正确；（C ）都正确；（D ）都错误.
二、填空题（每小题3分，共15分）
6. 函数211−−+
−=x x x y 的定义域是_____________. 7. =⎟⎠
⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∞→22211311211lim n n "_________. 8. 若函数在()00,,2≥<⎩
⎨⎧++=x x e b a x y x 0=x 可导，则=a _____ ，______. =b
9. 若，则⎩⎨⎧==t
y e x t csc =dx dy _________________. 10.函数()()2
221−−=x x y （43≤≤−x ）的值域是：______________. 三、求极限（第11、12小题各6分，第13小题8分，共20分） 11.用极限定义证明：11
1lim 20−=+−→x x x . 12.()2
20111lim x x e x x x ++−→. 13.()()3
1
sin sin sin 1lim x x x x −+→. 四、求导数（第14、15小题各8分，共16分）
14. 设方程()22ln y x x y +=确定了一个二阶可导的隐函数()y y x =，且，求
()01=y 221
x d y
dx =. 15.设2
2π()(32)cos 16
n x f x x x =−+，求. ()(2)n f 五、（本题共8
分）
16. 抛物线y =与x 轴、直线t x =（）所围成的曲边三角形绕0≥t x 轴旋转所成旋转体的体积是t 的函数，记作()t V （如下图）.
(1) 证明：当210t t <≤时，()()()()12212121t t t t V t V t t t −<−<−ππ；(2) 求.
()t V '六、（本题共10分） 17. 分析函数132+−=x x y 的性态，并作()y f x =
(()()32113'++=x x x f ，()()52213
36''++−−=x x x x f ) x
七、（第18、19小题各8分，共16分）
18.设函数()f x 在上二阶可导，且[,]a b ()()f a f b =. 证明：存在(,)a b ξ∈使得
2008'()"()f f b ξξξ
=−. 19.（1）证明：对任意正整数n ，方程tan x x =在ππ,π2n n ⎛⎞+⎜⎝
⎠⎟内存在唯一实根n ξ；（2）求极限1lim()n n n ξξ+→∞−.。