高三期末考试数学试题及答案

2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷

一、填空题：

1.设集合⎭⎬⎫⎩

⎨⎧∈==Z n n x x M ,3sin

π，则满足条件M P =⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-23,23 的集合P 的个数是___个

2.

若

cos 2π2sin 4αα=-

⎛⎫

- ⎪

⎝

⎭，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组⎪⎩

⎪

⎨⎧≥-≤+-≤-+010220

2534x y x y x ，则POQ ∠cos 的

最小值为__________

4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为10x y -+=，

则直线PB 的方程是_____________________ 5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则x

f x f x 2)

1()1(lim

-+→=___________

6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下列三个函

数：

()1sin cos ,f x x x =+ (

)2f x x =，()3sin f x x =则___________________为

“同形”函数 7.椭圆122

=+by ax

与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为

b

a

则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数

)(|

|1)(R x x x

x f ∈+=

，三位同学甲、乙、丙在研究此函数时分

别给出命题：

甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；

丙：若规定|

|1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意*

∈N n 恒成立.

你认为上述三个命题中正确的个数有__________个

9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则42

2a

b +的最小值为

10.若直线2y a =与函数|1|(0x

y a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围是 11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得m n S S =，则

0m n S +=。”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列，

12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((CE CA CD CA ∙∙的最大值为_________.

13.设A=),,(321a a a ，B=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛321b b b ，记A ☉B=max {}332211,,b a b a b a ，若A=)1,1,1(+-x x ，

B=⎪⎪⎪⎪

⎭⎫ ⎝⎛--121x x ，且A ☉B=1-x ，则x 的取值范围为 。 14.设A 为锐角三角形的内角，a 是大于0的正常数，函数A

a

A y cos 1cos 1-+

=

的最小值是9， 则a =___ _ 二、解答题

15.已知32()31f x ax x x =+-+，a R ∈． （1）当3a =-时，求证：()f x 在R 上是减函数；

（2）如果对x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，求实数a 的取值范围． 16.在△ABC 中，c b a ,,分别为角A 、B 、C 的对边，5

8222

bc

b c a -

=-，a =3, △ABC 的面积为6，D 为△ABC 内任一点，点D 到三边距离之和为d 。

⑴求角A 的正弦值； ⑵求边b 、c ； ⑶求d 的取值范围 17.已知：正方体1111ABCD-A B C D ，1AA =2，E 为棱1CC 的中点． (Ⅰ) 求证：11B D AE ⊥；(Ⅱ) 求证：//AC 平面1B DE ； （Ⅲ）求三棱锥A-BDE 的体积．

18.已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点

,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知圆2

2

:1O x y +=,直线:1l mx ny

+=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,

直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.

19.某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f(t)与时间t （单位：小时）之间的关系的函数模型：

1

()()2[0,24)3

f t

g t a a t =+-+∈，，其中，1()sin(18)224g t t π=-代表大气中某类随时间t 变化的典型污

染物质的含量；参数a 代表某个已测定的环境气象指标，且]4

3

,0[∈a 。 ⑴ 求g(t)的值域； ⑵ 求M （a ）的表达式；

⑶若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过 2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由。 20.已知函数)(3)(3

R a ax x x f ∈-=

A

1

1A E C