2019-2020学年高中数学 2.3 幂函数公开课教案 新人教A版必修1.doc

2019-2020学年高中数学 2.3 幂函数公开课教案 新人教A 版必修1

【教学目标】

知识与技能：理解幂函数的概念，会求幂函数的解析式；掌握幂函数的性质与图像并能简单

应用。

过程与方法：通过研究性质培养学生分析归纳的思维能力，体会从特殊到一般的研究问题的

数学方法和数形结合的数学思想。

情感态度与价值观：体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，培养学生积极探究的学习

品质。

【教学重点】从五个具体幂函数中认识幂函数的概念，掌握幂函数的性质与图像。

【教学难点】幂函数性质与图像特征的归纳，体会图象的变化规律．

【教学过程】

一、复习引入

1.我们前面学过哪些基本初等函数，说出并写出解析式：

（正比例函数；反比例函数；一次函数；二次函数；常数函数；指数函数；对数函数）

2．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不同的函数有不同的作用和性质。阅读教材P 77的具体实例（1）~（5），思考下列问题：

（1）这五个函数是指数函数吗？

（2）这五个函数又具有什么共同特征？

① 指数 是常数 ；② 底数 是变量；③ 系数是 1 ； ④ 都是 （幂）的形式 若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是y=a

x 的形式。

二． 幂函数定义

一般地，形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 例1 判断下列函数是否为幂函数？

（1）y=x 3.0 （2）y=21

_x （3）y=3x +1 (4) y=23

x (5) 0x y = 思考：1.你能说出幂函数与指数函数的联系和区别吗? （1）在幂的形式中，随自变量的对象不同而得到了不同的函数。

（2）判断一个函数是幂函数还是指数函数关键点：看自变量x 是指数还是底数

2. 函数0x y =与1=y 相同吗？

幂函数要注意其定义域，它是随着a 值的变化而变化。

例2 已知函数()()

2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ： （1）是幂函数；（2）是正比例函数；

（3）是幂函数，且是偶函数； （4）是幂函数，且在()0,+∞上是减函数；

析：运用定义得（1）2m =或1m =- （2）45

m =-

（3）1m =- （4）2m = 练习：（79页教材习题）

已知幂函数()x f y =的图象经过点（2，2），求出这个函数的解析式。

析：待定系数法

三、 研究特殊的幂函数的图像与性质

对于幂函数，我们只讨论1,2

1,3,2,1-=a 时的情形，函数图象是理解和研究函数的直观工具。

分别作出图象，思考：

1.在第一象限单调性如何？

2.有无公共点?

3.图像与坐标轴的位置关系？

4.图像的象限分布有何特点？特点由什么确定？ !

总结常见幂函数的某些共同性质：

（1）所有的幂函数在()∞+，0都有定义，并且图象都过点（1，1）

； （2）13,,-===x y x y x y 是奇函数，2x y =是偶函数

（3）在区间（0，+∞）上函数2132,,,x y x y x y x y ====是增函数，1-=x y 是减函数。

（4）在第一象限中，函数1-=x y 的图像向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近。 例3（教材P 78例题）证明幂函数x x f =)(在(0,+∞)上是增函数

析：1. 证明单调性的方法；

2.重点分析分子有理化的理由，化简的方向和最后的化简结果形式。

例4（导学案例2）比较指数幂的大小：

（1）21)52(，21)3

1(；（2）3)32-（，3)53-（；（3）1.08.0，3.08.0；（4）43)21(，21)43( 析：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：

（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的中间数作为桥梁来比较大小．

四． 课堂小结 今天的学习内容和方法有哪些？你有哪些收获？

1.幂函数的定义；

2. 幂函数的图象和性质；

3.数形结合、特殊到一般、分类讨论、类比思想、待定系数法、构造函数等数学思想方法。

五． 布置作业：课本79页：习题2.3；作业案