人大版,贾俊平,第五版,统计学 第7章 参数估计
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
x, p, s
2
分别是 , ,
P( X )
2
的无偏估计量
无偏 有偏
A
C
X
2.有效性
对同一总体参数的两个无偏估计量，有 更小标准差的估计量更有效。 与其他估计量相比 ，样本均值是一个更 有效的估计量
P(X )
均值的抽样分布
B A
中位数的抽样分布
X
3.一致性 随着样本量的增大，点估计量的值越来 越接近被估总体参数。
3. 常用的显著性水平值有 99%, 95%, 90%
– 相应的 为0.01，0.05，0.10
区间与置信水平
均值的抽样分布
/2
x
1-
/2
x
X
(1 - ) % 区间包含了
% 的区间未包含
7.1.3 评价估计量的标准 1.无偏性 估计量抽样分布的数学期望等于被估计 E 的总体参数， 。 则称 为 的无偏估计量。
z p
1
~ N n
0 ,1
，
p 1 p
2
总体比例 p 的置信区间为 p Z
n
【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业 前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进 行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不 能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正 比例构造95%的置信区间。 p p 解：已知 n=200 ， ＝0.7 , n =140>5, n(1- )=60>5，= 0.95，Ｚ/2=1.96
x t s n 1
2
n
, x t 8 25
2
s n 1 n 8 25
50 2.0639 46.69,53.3
,50 2.0639
7.2.2 总体比例的区间估计 总体服从二项分布，样本量足够大，样 本比例的抽样分布可用正态分布近似时，对 总体比例的区间估计，使用统计量
z
x
1
x2 1 2
1
2
2
n2
2
~ N 0 ,1
n1
当两个总体的方差已知时， 两个总体均值之差在 1-α 置信 水平下的置信区间为： x
1
x 2 z
1
2
2
2
n2
2
n1
当两个总体的方差未知时， 两个总体均值之差在 1-α 置信 水平下的置信区间为： x
点估计没有给出估计值接近总体未知参 数程度的信息
2.区间估计 在点估计的基础上，给出总体参数估计 的一个区间范围，该区间通常由样本统计量 加减估计误差得到。对样本统计量与总体参 数的接近程度给出一个概率度量。
例如: 总体均值落在50~70之间，置信度为95%
置信区间 样本统计量 (点估计)
置信下限
10 10 2
4.2
1- 2置信度为95%的置信区间为
22.2 28.5 (2.1)( 4.2)
( 10.2,2.4) 1 10 1 10
3）当两个总体方差未知且不相等 使用的统计量为
t ( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) s1
2
~ t (v )
用于估计的 样本统计量
x
ˆ p s
2
PFra Baidu bibliotek
2
1 2
P P 1 2
x1 x2 ˆ ˆ p1 p2
s1 s2
2 2
1 2
2
2
7.1.2 点估计与区间估计 1.点估计 用样本统计量 的某个取值直接作为总 体参数 的估计值。
例如: 用样本均值 x 作为总体未知均值 的估 计值就是一个点估计
的X1-X2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
所有可能样本 的X1-X2
抽样分布
1 2
1.两个总体均值之差的估计：独立样本
如果两个样本是从两个总体中独立抽取 的，即一个样本中的元素与另一个样本中的 元素相互独立，则称为独立样本
（1）大样本的估计
如果两个都是正态分布，或两个都是大样本（n≥30） ，则 有
2 s2 s 1 2 n n 2 1
s2
2
n1
n2
v
2
2 s 1
n 1
2
2 s 2 n 2
n
2
2
n 1 1
1
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平 下的置信区间为
较大的样本容量
P(X )
B A
较小的样本容量
X
7.2 一个总体参数的区间估计
7.2.1 总体均值的区间估计
1.正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本
总体服从正态分布,且总体方差（ ）已知 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n≥30) 使用正态分布统计量 总体均值 在 1-
x Z
2
n
, x Z
2
n
0.15 0.15 21.4 1.96 , 21.4 1.96 9 9 21.302, 21.498
【例】某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到 他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以 95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加 体育锻炼的时间（已知总体方差为36小时） 解：已知 x＝26, =6,n=100,1- = 0.95,Ｚα/2=1.96
ˆ p Z ˆ ˆ p (1 p )
2
n 0.7(1 0.7) 200
0.7 1.96
0.636, 0.764
7.2.3 总体方差的区间估计
对于正态总体方差的估计，可以用
=
2
n 1 s
2
2
~
2
n 1 统计量进行估计
总体方差在 1-α 置信水平下的置信区
n 1 s 2 n 1 s 2 , 2 2 2 1 2 间为
【例】对某种金属的10个样品组成的一个随 机样本作抗拉强度试验。从实验数据算出 的方差为4。试求2的95%的置信区间。
解:已知n＝10，s2 ＝4，1-＝95% 2置信度为95%的置信区间为
z x
２
n
~ N 0,1
进行估计
2
置信水平下的置信区间为 x Z
n ；
如果方差未知，或总体不服从正态分布的情况下，只要满足大样
x Z 本条件，可以用样本方差代替总体方差，即
2
s n
【例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中 随机抽取９件，测得其平均长度为21.4 mm。已知总 体标准差0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信 区间，给定置信水平为0.95。 解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14, n=9, 1- = 0.95， Ｚ/2=1.96 总体均值的置信区间为
x Z
2
n
, x Z 6 100
2
n 100 6
26 1.96
,26 1.96
24.824,27.176
2.正态总体、方差未知、小样本 用样本方差代替总体方差，这时用 t 统 计量进行估计。
t x s n ~ t n 1
10 14 10 14 , 19.0228 2.7004 .8925, 13.3314 1
7.3 两个总体参数的区间估计
7.3.1 两个总体均值之差的区间估计
总体1
1 1
2 2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算 X1
计算每一对样本
总体均值 在 1- 置信水平下的置信
x t 区间 s n 1
2
n
, x t
2
s n 1 n
【例】从一个正态总体中抽取一个随机样本，n = 25 ，其均值x = 50 ，标准差 s = 8。 建立总体均值 的95%的置信区间。 解：已知Ｘ~N(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。
解:已知 X1~N(1,2) X2 ~N(2,2) x1=22.2， x2=28.5， s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 1 2 = 1 2
sp
n1 1s12
n 2 1s 2
2
n1 n 2 2
10 116.36 10 118.92
(2) A- B置信度为99%的置信区间为
2500 25 = 1209.7 , 1290.3 3600 25
(4500 3250) 2.58
2）总体方差未知但相等 使用 t 分布统计量
t
x
1
x2 1 2 sp 1 n1 1 n2
t n1 n 2 2
建立两所学校高考英语平均分之 差95%的置信区间
x
1
x 2 z
s1
2
2
s2
2
n1
n2 5 .8 46
2
8 6 7 8 z 0 .0 2 5 8 1 .9 6 1 .5 2
7 .2 33
2
（2）小样本的估计
在两个样本都是小样本的情况下，为估 计两个总体的均值之差，需要做出以下假定 两个总体都服从正态分布 两个随机样本独立的分别抽自两个总体 则两个样本均值之差必定服从正态分布
置信上限
X = Zx
_ x
- 2.58x
-1.65 x
+1.65x
+ 2.58x
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本
99% 的样本
置信水平：
1. 置信区间中包含总体参数真值的次数所占 比例 2. 表示为 (1 -
– 为显著性水平，是总体参数未在区间内的 概率
sp
2
n 1 1 s1 n 2 1 s 2
2
2
n1 n 2 2
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平 下的置信区间为
x1 x2 t 2 n1 n2 2s p
1 n1
1 n2
【例】为比较两位银行职员为新顾客办理个 人结算账目的平均时间长度，分别给两位职 员随机安排了10位顾客，并记录下为每位顾 客办理账单所需的时间（单位：分钟），相 应的样本均值和方差分别为：x1=22.2， s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位职 员办理账单所需时间均服从正态分布，且方 差相等。试求两位职员办理账单的服务时间 之差的95%的区间估计。
第7章 参数估计
7.1 参数估计的基本原理
7.1.1 估计量与估计值 参数估计就是用样本统计量去估计总体参 数。 用于估计总体参数的统计量称为估计量， 根据样本计算出来的估计量的数值称为估 计值。
被估计的总体参数
总体参数 均值 一个总体 比例 方差 均值之差 两个总体 比例之差 方差比 符号表示
1
x 2 z
s1
2
2
s2
2
n1
n2
某地区教育管理部门想估计两所中学的学生 高考时的英语平均分数之差，为此在两所学 校独立抽取两个随机样本，有关数据如下：
n 1 4 6 n 2 3 3 x 1 8 6 x 2 7 8 s1 5 .8 s 2 7 .2
1）总体方差已知 使用正态分布统计量Z
Z ( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
1
2
2
n2
~ N (0,1)
2
n1
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平 下的置信区间为
( x1 x 2 ) Z
1
2
2
2
n2
2
n1
【例】一个银行负责人想知道储户存入两家 银行的钱数。他从两家银行各抽取了一个由 25个储户组成的随机样本，样本均值如下： 银行A：4500元；银行B:3250元。设已知两个 总体服从方差分别为A2=2500和B2=3600的正 态分布。试求A- B的区间估计 （1）置信度为95% （2）置信度为99%
解:已知 XA~N(A,2500) XB ~N(B,3600) xA=4500， xB=3250， A2 =2500 B2 =3600 nA= nB =25
(1) A- B置信度为95%的置信区间为
(4500 3250) 1.96 = 1219.78 , 1280.62 2500 25 3600 25
2
分别是 , ,
P( X )
2
的无偏估计量
无偏 有偏
A
C
X
2.有效性
对同一总体参数的两个无偏估计量，有 更小标准差的估计量更有效。 与其他估计量相比 ，样本均值是一个更 有效的估计量
P(X )
均值的抽样分布
B A
中位数的抽样分布
X
3.一致性 随着样本量的增大，点估计量的值越来 越接近被估总体参数。
3. 常用的显著性水平值有 99%, 95%, 90%
– 相应的 为0.01，0.05，0.10
区间与置信水平
均值的抽样分布
/2
x
1-
/2
x
X
(1 - ) % 区间包含了
% 的区间未包含
7.1.3 评价估计量的标准 1.无偏性 估计量抽样分布的数学期望等于被估计 E 的总体参数， 。 则称 为 的无偏估计量。
z p
1
~ N n
0 ,1
，
p 1 p
2
总体比例 p 的置信区间为 p Z
n
【例】某企业在一项关于职工流动原因的研究中，从该企业 前职工的总体中随机选取了200人组成一个样本。在对其进 行访问时，有140人说他们离开该企业是由于同管理人员不 能融洽相处。试对由于这种原因而离开该企业的人员的真正 比例构造95%的置信区间。 p p 解：已知 n=200 ， ＝0.7 , n =140>5, n(1- )=60>5，= 0.95，Ｚ/2=1.96
x t s n 1
2
n
, x t 8 25
2
s n 1 n 8 25
50 2.0639 46.69,53.3
,50 2.0639
7.2.2 总体比例的区间估计 总体服从二项分布，样本量足够大，样 本比例的抽样分布可用正态分布近似时，对 总体比例的区间估计，使用统计量
z
x
1
x2 1 2
1
2
2
n2
2
~ N 0 ,1
n1
当两个总体的方差已知时， 两个总体均值之差在 1-α 置信 水平下的置信区间为： x
1
x 2 z
1
2
2
2
n2
2
n1
当两个总体的方差未知时， 两个总体均值之差在 1-α 置信 水平下的置信区间为： x
点估计没有给出估计值接近总体未知参 数程度的信息
2.区间估计 在点估计的基础上，给出总体参数估计 的一个区间范围，该区间通常由样本统计量 加减估计误差得到。对样本统计量与总体参 数的接近程度给出一个概率度量。
例如: 总体均值落在50~70之间，置信度为95%
置信区间 样本统计量 (点估计)
置信下限
10 10 2
4.2
1- 2置信度为95%的置信区间为
22.2 28.5 (2.1)( 4.2)
( 10.2,2.4) 1 10 1 10
3）当两个总体方差未知且不相等 使用的统计量为
t ( X 1 X 2 ) ( 1 2 ) s1
2
~ t (v )
用于估计的 样本统计量
x
ˆ p s
2
PFra Baidu bibliotek
2
1 2
P P 1 2
x1 x2 ˆ ˆ p1 p2
s1 s2
2 2
1 2
2
2
7.1.2 点估计与区间估计 1.点估计 用样本统计量 的某个取值直接作为总 体参数 的估计值。
例如: 用样本均值 x 作为总体未知均值 的估 计值就是一个点估计
的X1-X2
抽取简单随机样 样本容量 n2 计算X2
所有可能样本 的X1-X2
抽样分布
1 2
1.两个总体均值之差的估计：独立样本
如果两个样本是从两个总体中独立抽取 的，即一个样本中的元素与另一个样本中的 元素相互独立，则称为独立样本
（1）大样本的估计
如果两个都是正态分布，或两个都是大样本（n≥30） ，则 有
2 s2 s 1 2 n n 2 1
s2
2
n1
n2
v
2
2 s 1
n 1
2
2 s 2 n 2
n
2
2
n 1 1
1
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平 下的置信区间为
较大的样本容量
P(X )
B A
较小的样本容量
X
7.2 一个总体参数的区间估计
7.2.1 总体均值的区间估计
1.正态总体、方差已知，或非正态总体、大样本
总体服从正态分布,且总体方差（ ）已知 如果不是正态分布，可以由正态分布来近似 (n≥30) 使用正态分布统计量 总体均值 在 1-
x Z
2
n
, x Z
2
n
0.15 0.15 21.4 1.96 , 21.4 1.96 9 9 21.302, 21.498
【例】某大学从该校学生中随机抽取100人，调查到 他们平均每天参加体育锻炼的时间为26分钟。试以 95％的置信水平估计该大学全体学生平均每天参加 体育锻炼的时间（已知总体方差为36小时） 解：已知 x＝26, =6,n=100,1- = 0.95,Ｚα/2=1.96
ˆ p Z ˆ ˆ p (1 p )
2
n 0.7(1 0.7) 200
0.7 1.96
0.636, 0.764
7.2.3 总体方差的区间估计
对于正态总体方差的估计，可以用
=
2
n 1 s
2
2
~
2
n 1 统计量进行估计
总体方差在 1-α 置信水平下的置信区
n 1 s 2 n 1 s 2 , 2 2 2 1 2 间为
【例】对某种金属的10个样品组成的一个随 机样本作抗拉强度试验。从实验数据算出 的方差为4。试求2的95%的置信区间。
解:已知n＝10，s2 ＝4，1-＝95% 2置信度为95%的置信区间为
z x
２
n
~ N 0,1
进行估计
2
置信水平下的置信区间为 x Z
n ；
如果方差未知，或总体不服从正态分布的情况下，只要满足大样
x Z 本条件，可以用样本方差代替总体方差，即
2
s n
【例】某种零件长度服从正态分布，从该批产品中 随机抽取９件，测得其平均长度为21.4 mm。已知总 体标准差0.15mm，试建立该种零件平均长度的置信 区间，给定置信水平为0.95。 解：已知Ｘ~N(，0.152)，x＝2.14, n=9, 1- = 0.95， Ｚ/2=1.96 总体均值的置信区间为
x Z
2
n
, x Z 6 100
2
n 100 6
26 1.96
,26 1.96
24.824,27.176
2.正态总体、方差未知、小样本 用样本方差代替总体方差，这时用 t 统 计量进行估计。
t x s n ~ t n 1
10 14 10 14 , 19.0228 2.7004 .8925, 13.3314 1
7.3 两个总体参数的区间估计
7.3.1 两个总体均值之差的区间估计
总体1
1 1
2 2
总体2
抽取简单随机样 样本容量 n1 计算 X1
计算每一对样本
总体均值 在 1- 置信水平下的置信
x t 区间 s n 1
2
n
, x t
2
s n 1 n
【例】从一个正态总体中抽取一个随机样本，n = 25 ，其均值x = 50 ，标准差 s = 8。 建立总体均值 的95%的置信区间。 解：已知Ｘ~N(，2)，x=50, s=8， n=25, 1- = 0.95，t/2=2.0639。
解:已知 X1~N(1,2) X2 ~N(2,2) x1=22.2， x2=28.5， s12=16.63 s22=18.92 n1= n2=10 1 2 = 1 2
sp
n1 1s12
n 2 1s 2
2
n1 n 2 2
10 116.36 10 118.92
(2) A- B置信度为99%的置信区间为
2500 25 = 1209.7 , 1290.3 3600 25
(4500 3250) 2.58
2）总体方差未知但相等 使用 t 分布统计量
t
x
1
x2 1 2 sp 1 n1 1 n2
t n1 n 2 2
建立两所学校高考英语平均分之 差95%的置信区间
x
1
x 2 z
s1
2
2
s2
2
n1
n2 5 .8 46
2
8 6 7 8 z 0 .0 2 5 8 1 .9 6 1 .5 2
7 .2 33
2
（2）小样本的估计
在两个样本都是小样本的情况下，为估 计两个总体的均值之差，需要做出以下假定 两个总体都服从正态分布 两个随机样本独立的分别抽自两个总体 则两个样本均值之差必定服从正态分布
置信上限
X = Zx
_ x
- 2.58x
-1.65 x
+1.65x
+ 2.58x
X
-1.96 x
+1.96x
90%的样本 95% 的样本
99% 的样本
置信水平：
1. 置信区间中包含总体参数真值的次数所占 比例 2. 表示为 (1 -
– 为显著性水平，是总体参数未在区间内的 概率
sp
2
n 1 1 s1 n 2 1 s 2
2
2
n1 n 2 2
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平 下的置信区间为
x1 x2 t 2 n1 n2 2s p
1 n1
1 n2
【例】为比较两位银行职员为新顾客办理个 人结算账目的平均时间长度，分别给两位职 员随机安排了10位顾客，并记录下为每位顾 客办理账单所需的时间（单位：分钟），相 应的样本均值和方差分别为：x1=22.2， s12=16.63，x2=28.5，s22=18.92。假定每位职 员办理账单所需时间均服从正态分布，且方 差相等。试求两位职员办理账单的服务时间 之差的95%的区间估计。
第7章 参数估计
7.1 参数估计的基本原理
7.1.1 估计量与估计值 参数估计就是用样本统计量去估计总体参 数。 用于估计总体参数的统计量称为估计量， 根据样本计算出来的估计量的数值称为估 计值。
被估计的总体参数
总体参数 均值 一个总体 比例 方差 均值之差 两个总体 比例之差 方差比 符号表示
1
x 2 z
s1
2
2
s2
2
n1
n2
某地区教育管理部门想估计两所中学的学生 高考时的英语平均分数之差，为此在两所学 校独立抽取两个随机样本，有关数据如下：
n 1 4 6 n 2 3 3 x 1 8 6 x 2 7 8 s1 5 .8 s 2 7 .2
1）总体方差已知 使用正态分布统计量Z
Z ( X 1 X 2 ) ( 1 2 )
1
2
2
n2
~ N (0,1)
2
n1
两个总体均值之差1-2在1- 置信水平 下的置信区间为
( x1 x 2 ) Z
1
2
2
2
n2
2
n1
【例】一个银行负责人想知道储户存入两家 银行的钱数。他从两家银行各抽取了一个由 25个储户组成的随机样本，样本均值如下： 银行A：4500元；银行B:3250元。设已知两个 总体服从方差分别为A2=2500和B2=3600的正 态分布。试求A- B的区间估计 （1）置信度为95% （2）置信度为99%
解:已知 XA~N(A,2500) XB ~N(B,3600) xA=4500， xB=3250， A2 =2500 B2 =3600 nA= nB =25
(1) A- B置信度为95%的置信区间为
(4500 3250) 1.96 = 1219.78 , 1280.62 2500 25 3600 25