九年级数学圆中常见辅助线作法
有关圆的七种辅助线的作法
有关圆的七种辅助线的作法作者：来源：《语数外学习》2015年第10期圆是初中几何的重要内容之一，与圆有关的大部分几何题都需要添加辅助线来解答.只要添上合适的辅助线，就可以化繁为简、化难为易. 下面举例说明有关圆的几种辅助线的作法.一、有关直径问题，常作直径上的圆周角例1 ; 如图1，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB 于点M，交BC于点N.（1）求证：BA·BM=BC·BN;（2）如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值.图1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图2（1）证明：如图2，连结MN，则∠BMN=90°=∠ACB，∴△ACB∽△NMB，∴ ;= ;，∴AB·BM=BC·BN;（2）解：如图2，联结OM，则∠OMC=90°，∵N为OC中点，∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°，∵OM=OB，∴∠B= ;∠MON=30°，∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6.说明：若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”，从而得到90°的角或直角三角形来证明问题.二、有关弦的问题，常作其弦心距例2 ; 如图3，AB是⊙O的直径，PO⊥AB交⊙O于点P，弦PN与AB相交于点M，求证：PM·PN=2PO2.图3 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图4证明：如图4，过O作OC⊥NP于点C，则PC= ;PN，∵OC⊥NP，PO⊥AB，∴∠POM=∠PCO= 90°，又∵∠OPM=∠CPO，∴△OPM∽△CPO，∴ ;= ;，∴PO2=PM·PC=PM·（ ;PN），即PM·PN= 2PO2.说明：求解圆中与弦有关的问题，常需作弦心距，其目的是构造以半径、弦心距、弦为边的直角三角形，并利用垂径定理来将弦、弧、弦心距联系起来.三、对于直线与圆相切的问题，常连结过切点的半径例3 ; 如图5，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦ED分别交⊙O于点E，交AB于点H，交AC于点F，过点C的切线交ED的延长线于P.（1）若PC=PF，求证：AB⊥ED.（2）点D在劣弧的什么位置时，才能使AD2=DE·DF，为什么？图 5 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图6证明：（1）如图6，连接OC.∵PC=PF，∴∠4=∠5，∵∠4=∠3，∴∠3=∠5.∵OA=OC，∴∠1=∠2，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°.∴∠AHF=90°，即AB⊥DE.（2）当D在劣弧AC的中点时，才能使AD2=DE·DF.如图6，连接AE，∵ ;= ;，∵∠ADF=∠ADE，∴△ADF∽△EDA，∴ ;= ;.即AD2=DE·DF.说明：命题的条件中含有圆的切线，解题时往往连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题.四、对于相切两圆，常添公切线作辅助线例4 ; 如图7，已知⊙O1、⊙O2外切于点P，A是⊙O1上一点，直线AC切⊙O2于点C，交⊙O1一点B，直线AP交⊙O2于点D .（1）求证：PC平分∠BPD;（2）将“⊙O1与⊙O2外切于点P”改为“⊙O1、⊙O2内切于点P”，其它条件不变，①中的结论是否仍然成立？画出图形并证明你的结论.图7证明：（1）如图8，过P点作两圆公切线PQ，∵∠QPC=∠PCQ，∠QPB=∠A，∠CPD=∠A+∠QCP，∴∠CPD=∠CPB，即PC平分∠BPD.图8 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图9（2）上述结论仍然成立.如图9，过点P作两圆公切线PM，则∠MPB=∠A，∴∠BPC=∠MPC-∠MPB=∠BCP-∠A=∠CPA，说明：在解答有关两圆相切的问题时，作辅助线的方法是作两圆的公切线.公切线是连接两圆的桥梁，可使两圆的圆周角产生联系，运用弦切角定理.五、两圆相交，常连结公共弦或连心线例5 ;已知⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A点作⊙O1的切线交⊙O2于点E，连结EB并延长交⊙O1于点C，直线CA交⊙O2于点D.（1）如图10，当点D与点A不重合时，试猜想线段EA=ED是否成立，证明你的结论.（2）当点D与点A重合时，直线AC与⊙O2有怎样的位置关系？此时若BC=2，CE=8，求⊙O1的直径.图10 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图11（1）EA=ED成立.证明：如图11，联结AB，在EA延长线上取点F，∵AE是⊙O1的切线，切点为A，∴∠FAC=∠ABC，∵∠FAC=∠DAE， ;∴∠ABC=∠DAE，而∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角∴∠ABC=∠D，∴∠DAE=∠D，∴EA=ED;（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，所以直线CA与⊙O2相切.解：如图12，由弦切角定理知：∠PAC=∠ABC，∠MAE=∠ABE，∴∠ABC=∠ABE=90°，∴AC与AE分别为⊙O1和O2的直径， ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图12∴由切割线定理知：AC2=CB·CE，而CB=2，CE=8 ;∴AC2=2×8=16，AC=4，故⊙O1直径为4.说明：在解两圆相交问题时，常作两圆的公共弦，构成圆内接四边形，再利用圆内接四边形定理，架设两圆之间的”桥梁”，从而寻找两圆之间的等量关系.六、圆中有相交弦，常作线段构造相似三角形例5 ;如图13，已知⊙O的两条弦AB、CD交于P点，求证：AP·BP=CP·DP.图13 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;图14证明：如图14，连结AC，BD，∵∠C和∠B都是⊙O中弧 ;所对的圆周角，∴∠C=∠B，同理可得∠A=∠D，∴△ACP∽△DBP，∴ ;= ;，即AP·BP=CP·DP.说明：在求解圆中与线段有关的等积式（或比例式）问题时，通常需要连结两条相交弦的两组端点，利用相似三角形的有关性质来帮助求解;若两条相交弦均是直径，则连线后可以构成全等的等腰三角形.七、圆中有特殊角，常作直径构造直角三角形例6 ; 如图15，点A、B、C在⊙O上（AC不过O点），若∠ACB=60°，AB=6，求⊙O 半径的长.图15 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 图16解：如图16，作直径AD，连结BD.∵∠ACB与∠D都是 ;所对的圆周角，∴∠D=∠ACB=60°，又∵AD是直径，∴∠ABD=90°，∴∠DAB=30°，∴BD= ;AD，设BD=x，则AD=2x，∴AB= ;= ;= ;x，∴x= ;= ;=2 ;，∴r= ;AD=x=2 ;.说明：当题设中未告诉有直角三角形但却含有30°、45°、60°、90°等特殊角时，通常需要作直径构造直角三角形，以利用特殊三角形的边长关系及勾股定理来帮助求解.《轴对称》拓展精练参考答案1.C;2.B;3.B;4.C;5.18;6.108°;7.60°;8.309087;9.15°;10.480m2或768 m211. 解：（1）图略，∠ABC=90°时，PR=7.证明如下：连接PB、RB，∵P、R为O分别以直线AB、直线BC为对称轴的对称点，∴PB=OB=3 ;，RB=OB=3 ;，∵∠ABC=90°，∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=90°，∴点P、B、R三点共线，∴PR=2×3 ;=7;（2）PR的长度是小于7，理由如下：∠A BC≠90°，则点P、B、R三点不在同一直线上，∴PB+BR>PR，∵PB+BR=2OB=2×3 ;=7，∴PR图形的平移与旋转强化练习参考答案1.C;2.A;3.D;4.45;5. ;;6.5;7. ;+1;8. （1）△ABC扫过面积即S梯形ABFD=32;（2）a=5或a=6.9.（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形.（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形.∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°，∵∠α=150°，∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°-∠α-∠AOB-∠COD=360°-150°-110°-60°=40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形.（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠ADO=α-60°，∴190°-α=α-60°，∴α=125°;②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，∵∠OAD=180°-（∠AOD+∠ADO）=180°-（190°-α+α-60°）=50°，∴α-60°=50°，∴α=110°;③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD.∵∠OAD=360°-110°-60°-α=190°-α，∠AOD= ;=120°- ;，∴190°-α=120°- ;，解得α=140°.综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形.。
九年级数学与圆有关辅助线作法专题讲解
与圆有关的协助线的做法一、造直角三角形法1.组成Rt△,常连结半径例1.过⊙O内一点M,最长弦AB=26cm,最短弦CD=10cm,求AM长;2.遇有直径,常作直径上的圆周角例是⊙O的直径,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,过D作⊙O的切线,交AC于E.求证:CE=AE;3.遇有切线,常作过切点的半径例3.割线AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求证:∠OAE=∠OBF;4.遇有公切线,常结构Rt△(斜边长为圆心距,向来角边为两半径的差,另向来角边为公切线长)例4.小⊙O1与大⊙O2外切于点A,外公切线BC、DE分别和⊙O1、⊙O2切于点B、C和D、E，并订交于P，∠P=60°。
求证：⊙O1与⊙O2的半径之比为1：3；5．正多边形有关计算常结构Rt△例5.⊙O的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH的公共局部的面积.二、欲用垂径定理常作弦的垂线段例是⊙O的直径,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求证:EC=DF;(2)假定AE=2,CD=BF=6,求⊙O的面积;三、变换割线与弦订交的角，常组成圆的内接四边形例是⊙O直径,弦CD⊥AB,M是上一点,AM延伸线交DC延伸线于F.求证:∠F=∠ACM;四、切线的综合运用1．过圆上的点，常 _________________例8.如图，：⊙O1与⊙O2外切于P，AC是过P点的割线交⊙O1于A，交⊙O2于C，过点O1的直线AB⊥BC于B.求证：BC与⊙O2相切.1/2例9.如图，AB是⊙O的直径，AE均分∠BAF交⊙O于E，过E点作直线与AF垂直交AF延伸线于D点，且交AB于C 点．求证：CD与⊙O相切于点E．2.两个条件都没有,常___________________例10.如图，AB是半圆的直径，AM⊥MN，BN⊥MN，假如AM+BN＝AB，求证:直线MN与半圆相切；例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底边中点D为圆心的圆切AB边于E点.求证:AC与⊙D相切;例12．菱形ABCD两对角线交于点O，⊙O与AB相切。
圆内辅助线方法
圆内辅助线方法
在圆内作辅助线的方法有以下几种：
1. 直径：通过圆心作直径，将圆分成两个相等的半圆，可以用于确定圆上某点的位置或者进行圆的对称性证明。
2. 弦：连接圆上的两个点，形成一条弦。
弦可以用来测量圆的直径、找到圆上的中点以及确定圆弧的长度和角度。
3. 切线：从圆外一点引切线与圆相切，切点即为切线与圆的交点。
切线与半径垂直，并且切线和半径的夹角等于相应弧的夹角。
4. 弧：圆上两点之间的曲线部分称为弧。
可以通过连接弧上的两点和圆心，构成一个扇形。
通过测量弧长和圆心角可以计算出圆的周长和面积。
5. 径向线：连接圆心与圆上的任意一点，称为径向线。
径向线可以用来分析圆上的几何性质，如角度和长度。
这些辅助线方法在解决圆相关的问题时非常有用，能够帮助我们理解圆的性质、推导定理以及进行计算和证明。
1。
圆中常用的作辅助线的八种方法
证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
初中数学圆的辅助线八种作法教学内容
中考数学圆的辅助线在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本文只通过分析探索归纳几种圆中常见的辅助线的作法。
下面以几道题目为例加以说明。
1.有弦，可作弦心距在解决与弦、弧有关的问题时，常常需要作出弦心距、半径等辅助线，以便应用于垂径定理和勾股定理解决问题。
例1 如图1, ⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ， 且AC=BD 。
求证：PO 平分∠APD 。
分析1：由等弦AC=BD 可得出等弧 = 进一步得出 = ，从而可证等弦AB=CD ，由同圆中 等弦上的弦心距相等且分别垂直于它们所对应的弦，因此可作辅助线OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，易证△OPE ≌△OPF ，得出PO 平分∠APD 。
证法1：作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于FAC=BD => = => ==> AB=CD => OE=OF∠OEP=∠OFP=90° => △OPE ≌△OPF0OP=OP=>∠OPE=∠OPF => PO 平分∠APD 分析2：如图1-1，欲证PO 平分∠APD ，即证AB(BD ， (CD (D 图 1AC(AC (BD (AB (CD(∠OPA=∠OPD ，可把∠OPA 与∠OPD 构造在两个 三角形中，证三角形全等，于是不妨作辅助线即半径OA ，OD ，因此易证△ACP ≌△DBP ，得AP=DP ，从而易证△OPA ≌△OPD 。
证法2：连结OA ，OD 。
∠CAP=∠BDP∠APC=∠DPB =>△ACP ≌△DBP AC=BD=>AP=DPOA=OD =>△OPA ≌△OPD =>∠OPA=∠OPD =>PO 平分∠APD OP=OP2.有直径，可作直径上的圆周角对于关系到直径的有关问题时，可作直径上的圆周角，以便利用直径所对的圆周角是直角这个性质。
湘教版九年级数学下册练习：小专题(八) 圆中常见辅助线的作法
小专题(八) 圆中常见辅助线的作法圆中常见辅助线的添加口诀及技巧半径与弦长计算，弦心距来中间站．圆上若有一切线，切点圆心半径连．要想证明是切线，半径垂线仔细辨．是直径，成半圆，想成直角径连弦．弧有中点圆心连，垂径定理要记全．圆周角边两条弦，直径和弦端点连．还要作个内切圆，内角平分线梦圆．三角形与扇形联姻，巧妙阴影部分算．一、连半径——构造等腰三角形1．如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C，D是直线AB上的两点，且AC＝BD.求证：△OCD是等腰三角形．证明：连接OA，OB.∵OA，OB是⊙O的半径，∴OA＝OB.∴∠OAB＝∠OBA.∴∠OAC＝∠OBD.在△AOC和△BOD中，⎩⎪⎨⎪⎧OA＝OB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，∴△AOC≌△BOD(SAS)．∴OC＝OD，即△OCD是等腰三角形．二、半径与弦长计算，弦心距来中间站在圆中，求弦长、半径或圆心到弦的距离时，常过圆心作弦的垂线段，再连接半径构成直角三角形，利用勾股定理进行计算．在弦长、弦心距、半径三个量中，已知任意两个可求另一个．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m，其中水面的宽AB为0.8m，求排水管内水的深度．解：过点O作OC⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，E，连接OA.OA＝0.5 m，AB＝0.8 m.∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝0.4 m.在Rt△AOC中，OA 2＝AC 2＋OC 2，∴OC＝0.3 m，则CE＝0.3＋0.5＝0.8(m)．答：排水管内水的深度为0.8m.三、见到直径——构造直径所对的圆周角构造直径所对的圆周角，这是圆中常用的辅助线作法，可充分利用“半圆(或直径)所对的圆周角是直角”这一性质．3．如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E.∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数． 解：连接BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.又∵∠ADC＝50°，∴∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝40°.∵BC ︵＝BC ︵∴∠CDB＝∠CAB＝40°.∴∠CEB＝∠CAB＋∠ACD＝40°＋60°＝100°.四、有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直于半径已知圆的切线时，常把切点与圆心连接起来，得半径与切线垂直，构造直角三角形，再利用直角三角形的有关性质解题．4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于点F，切点为G，连接AG交CD于点K.求证：KE＝GE.证明：连接OG.∵FE切⊙O于点G，∴∠OGE＝90°.∴∠OGA＋∠AGE＝90°.∵CD⊥AB，∴∠OAK＋∠AKH＝90°.又∵∠AKH＝∠GKE，∴∠OAK＋∠GKE＝90°.∵OG＝OA，∴∠OGA＝∠OAG.∴∠KGE＝∠GKE.∴KE＝GE.五、“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切证明一条直线是圆的切线，当直线与圆有公共点时，只需“连半径、证垂直”即可；当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时，常运用“d＝r”进行判断，辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线，证明垂线段的长等于半径．5．如图，点A，B，C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.求证：AP是⊙O的切线．证明：连接OA. ∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC，∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP，∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP.又∵OA为⊙O的半径，∴AP是⊙O的切线．6．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O 相切．证明：连接OD，过点O作OE⊥AC于点E，则∠OEC＝90°.∵AB切⊙O于点D，∴OD⊥AB.∴∠ODB＝90°.∴∠ODB＝∠OEC.又∵O是BC的中点，∴OB＝OC.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∴△OBD≌△OCE(AAS)．∴OE＝OD，即OE是⊙O的半径．∴AC与⊙O相切．六、内切圆，连接内角平分线把梦圆利用内心与顶点的连线平分这个内角以及三角形的外角，同弧所对的圆周角相等进行角的转换．7．如图，在△ABC中，E是内心，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D.求证：DE＝DB.证明：连接BE.∵E为△ABC的内心，∴∠ABE＝∠CBE，∠BAD＝∠DAC.∵∠DEB＝∠ABE＋∠BAD，∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，而∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，∴∠DEB＝∠DBE.∴DE＝DB.七、构造扇形与三角形，化不规则图形的面积为规则图形的面积通过等积替换化不规则图形为规则图形，在等积转化中，(1)可以根据平移、旋转或轴对称等图形变换；(2)可根据同底(等底)同高(等高)的三角形面积相等进行转化．8．如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4，AB是⊙O的切线，B为切点，弦BC∥OA，连接AC，求阴影部分的面积．解：连接OB，OC.∵BC∥OA，∴△OBC和△ABC同底等高． ∴S △ABC ＝S △OBC .∴S 阴影＝S 扇形OBC .∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB. ∵OA＝4，OB＝2，∴∠AOB＝60°. ∵BC∥OA，∴∠AOB＝∠OBC＝60°. ∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形． ∴∠COB＝60°.∴S 阴影＝S 扇形OBC ＝60π×22360＝2π3.。
(完整版)圆中常见辅助线作法分类大全
1．碰到弦时（解决相关弦的问题时）经常增添弦心距，或许作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
或许连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用： 1 、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径构成直角三角形，依据勾股定理求相关量。
4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。
例：如图，ＡＢ是⊙ O 的直径 ,PO⊥ AB 交⊙ O 于 P 点，弦 PN 与 AB 订交于点 M ，求证：PM ?PN=2PO 2.剖析：要证明PM?PN=2PO2，即证明 PM ?PC =PO 2，过 O 点作 OC⊥PN 于 C，依据垂经定理 NC=PC ，只需证明PM?PC=PO2，要证明 PM?PC=PO2只需证明 Rt△ POC∽Rt △ PMO.1证明 : 过圆心 O 作 OC⊥ PN 于 C，∴ PC=PN2∵PO⊥ AB, OC ⊥PN ，∴∠ MOP= ∠ OCP=90° .又∵∠ OPC=∠ MPO ，∴ Rt△POC∽ Rt△PMO.∴ PO PC即∴ PO2 = PM?PC.∴ PO2= PM ?1PN，∴ PM ?PN=2PO2.PM PO2【例 1】如图，已知△ ABC内接于⊙ O，∠ A=45°， BC=2，求⊙ O的面积。
AOB C【例 2】如图，⊙ O的直径为10，弦 AB＝8， P 是弦 AB 上一个动点，那么 OP的长的取值范围是 _________ ．【例 3】如图，弦AB的长等于⊙ O的半径，点 C 在弧 AMB上，则∠ C的度数是 ________.2． 碰到有直径时经常增添（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，获得直角或直角三角形。
例 如图，在△ ABC 中，∠ C=90°，以 BC 上一点 O 为圆心，以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M ，交 BC 于点 N ．（ 1） 求证： BA · BM=BC · BN ；（ 2） 假如 CM 是⊙ O 的切线， N 为 OC 的中点，当 AC=3 时，求 AB 的值．剖析：要证 BA · BM=BC · BN ，需证△ ACB ∽△ NMB ，而∠ C=90°，因此需要△ NMB 中有个直角，而BN 是圆 O 的直径，因此连结 MN 可得∠ BMN=90 °。
初三 圆中常见作辅助线的方法
圆中常见作辅助线的方法一．遇到弦时（解决有关弦的问题时）1.常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦端点的半径。
作用：①利用垂径定理；②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2.常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
(1)作弦心距 例1 如图1，AB 为⊙Ｏ的直径，PQ 切⊙Ｏ于T ，AC ⊥PQ 于C ，交⊙Ｏ于D ，AD=2，TC=3.求⊙Ｏ的半径。
(2)连半径例2 如图2，⊙O 的直径CD=20cm ，直线l ⊥CO ，垂足为H ，交⊙O 于A 、B 两点，AB=16 cm ，直线l 平移多少厘米时能于⊙O 相切？二．遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）作用：利用切线的性质定理可得OA ⊥AB ，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
例3 （荆州市）如图3，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上一点，PD 切⊙O 于点C ，BC 和AD 的延长线相交于点E ，且AD ⊥PD ，求证：AB=AE 。
图3例4（2012湖北孝感）如图，AB 是⊙O 的直径，AM 、BN 分别与⊙O 相切于点A 、B ，CD交AM 、BN 于点D 、C ，DO 平分∠ADC ． (1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若AD ＝4，BC ＝9，求⊙O 的半径R ．图1AB D O MC ·H A B l图2DO例5 （2011四川绵阳）如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，∠BAD =90°，以AD 为直径的半圆O 与BC 相切.(1)求证：OB 丄OC ;(2)若AD = 12，∠ BCD =60°，⊙O 1与半⊙O 外切，并与BC 、CD 相切，求⊙O 1的面积.三、既作弦心距又连半径（与半径和弦都有关的计算时，常作辅助线的方法是既作弦心距又连半径，利用勾股定理来解决）例6 直径为52厘米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图5，若油最大深度为16厘米.那么油面宽度AB 的长是多少厘米？四、遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。
初中数学《圆》常用辅助线构造技巧
初中数学《圆》常用辅助线构造技巧圆是初中数学中的重要内容，常常会涉及到圆的基本性质、切线、切点、弦、弦长、弧、弧长等概念。
为了更好地解题，我们可以使用一些常用的辅助线构造技巧。
下面，我将介绍几种常用的辅助线构造技巧。
1.直径是圆的特殊弦，通过任意两点连接圆心，可以得到直径。
在解题中，如果涉及到圆心和两点的位置关系，可以考虑构造直径。
2.过圆心的直线与圆的切线垂直。
当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过圆心的直径，使其与需要垂直的线段或角度相交。
3.过圆心的直线将弧等分为两个等长的弧。
当我们需要将一个弧等分为两个等长的弧时，可以考虑构造一条过圆心的直线，将这个弧分割为两个等长的弧。
1.过切点的切线与圆的半径垂直。
当我们需要求解两个垂直的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与需要垂直的线段或角度相交。
2.过切点的切线等于切点至圆心的半径。
当我们需要求解两个等长的线段或角度时，可以考虑构造一条过切点的切线，并将其延伸至圆心，使其与另一条需要等长的线段或角度相交。
1.弦的中点与圆心以及两个端点可以构成一个等腰三角形。
当我们需要求解与等腰三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与圆心以及两个端点的直线。
2.以弦的中点为顶点的直角三角形。
当我们需要求解与直角三角形相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的中点与两个端点的直线，并通过调整弦的位置，使其与这条直线构成一个直角。
1.弦的垂直平分线同时也是弦的中垂线。
在解题中，如果需要求解弦的垂直平分线或者弦的中垂线，可以考虑构造一条连接弦的两个端点的直线，并将其垂直平分或中垂。
2.连接弦的两个端点与圆心的线段是一个等角二段线。
当我们需要求解与等角二段线相关的线段或角度时，可以考虑构造一条连接弦的两个端点与圆心的直线。
以上是一些常用的圆的辅助线构造技巧，通过合理地运用这些技巧，可以帮助我们更好地理解和解题。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十四章 圆 专题(十) 圆中常见辅助线的作法
解：(1)证明：如图，连接OC，∵DC切⊙O于C，∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD，∴AE∥OC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B，∵AE∥OC， ∴∠E＝∠OCB，∴∠E＝∠B，∴AE＝AB (2)如图，连接 AC，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ ACB＝90°，即 AC⊥BE，由(1)知 AB＝AE，∴ EC＝BC，∵BC＝16，∴EC＝16，在 Rt△ACB 中，由勾股定理，得 AC＝ AB2－BC2 ＝
二、遇直径添加直径所对的圆周角 5．(2020·阜新)如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若 ∠ABC＝38°，则锐角∠BDC的度数为( B ) A．57° B．52° C．38° D．26°
6．如图，△ABC 内接于⊙O，∠ACB＝90°，∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D.若 AC＝6，BD＝5 2 ，则 BC 的长为___8_____．
A．π－1
B．π2 －1
C．π－21
D．π2 －12
14．(2020·重庆 B 卷)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，∠ABC＝120°，AB＝2 3 ，以点 O 为圆心，OB 长为半径画弧， 分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为_3__3__－__π__.(结果保留π)
202－162 ＝12，在 Rt△ACE 中，S△ACE＝21 ×
AC×CE＝12 ×AE×CD，∵AE＝AB＝20，∴21
×12×16＝21 ×20×CD，解得 CD＝9.6
五、添加辅助线进行扇形面积的有关计算 13．(2020·苏州)如图，在扇形 OAB 中，已知∠AOB＝90°，OA＝ 2 ， 过 AB 的中点 C 作 CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D，E，则图中阴 影部分的面积为( B )
圆中常作哪些辅助线
CM O N 圆中常作哪些辅助线?通过作辅助线能使复杂问题简单化，圆问题中常用的辅助线是哪些呢？现把一些规律总结如下：弦与弦心距，密切紧相连. 直径对直角，圆心作半径. 已知有两圆，常画连心线. 遇到相交圆，连接公共弦. 遇到相切圆，作条公切线. “有点连圆心，无点作垂线.” 切线证明法，规律记心间.一、作弦心距.在解决有关弦的问题时，常常作弦心距，以利用垂经定理或圆心角、弦、弦心距之间的关系定理及推论.因此“弦与弦心距，密切紧相连.”.例 1.如图，ＡＢ是⊙O 的直径,PO⊥AB 交⊙O 于 P 点，弦 PN 与 AB 相交于点 M，求P证：PM•PN=2PO2.1分析：要证明PM•P N=2PO²，即证明PM•PN =POA B2²，1过 O 点作 OC⊥PN 于 C，根据垂经定理PN =PC，只需证明2。
⨯。
∆PMOPM•PC=PO²，由PO = P M，“三点定型”法可判断需证明 Rt△POC∽Rt△PMO.。
⨯ ∆POCPC PO1证明: 过圆心 O 作 OC⊥PN 于 C，∴PC= PN2∵PO⊥AB, OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=900.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴ PO = PC PM，即∴PO2= PM•PC. PO1∴PO2= PM•PN，∴PM•PN=2PO2.2二、连结半径圆的半径是圆的重要元素，圆中的许多性质如：“同圆的半径相等”和“过切点的半径与切线相互垂直”都与圆的半径有关.连结半径是常用的方法之一.例 2．已知：△ABC 中，∠B=900，O 是 AB 上一点，以 O 为圆心，以 OB 为半径的圆切 AC 与 D 点，交 AB 与 E 点，AD=2，AE=1.求证:CD 的长. CD 分析：D 为切点，连结 DO，∠ODA=900.根据切线长定理AE O BCD=CB.DO=EO= 半径r，在Rt△ADO 中根据勾股定理或Rt△ADO~ Rt△ABC，求出CD.证明: 连结DO∴OD⊥AC 于 D, ∴∠OCP=900.∵AB 过 O 点, ∠B=900.∴BC 为⊙O 的切线, ∴CD=CB设 CD=CB=x,DO=EO=y在Rt△ADO 中，AO2 =AD2+ DO2，AD=2，AE=13∴(1+y)2=22+y2, ∴ y=23 3在Rt△ABC 中，AC2 =AB2+ BC2，即(2+x)2=(1+ + )2+x2, ∴x=32 2∴CD=3.三、连结公共弦D 在处理有关两圆相交的问题时，公共弦像一把AEBPAE“钥匙”，常常可以打开相应的“锁”，因此“遇到相交圆，连接公共弦.”。
圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)(解析版)
圆中的重要模型之辅助线模型(八大类)在平面几何中，与圆有关的许多题目需要添加辅助线来解决。
百思不得其解的题目，添上合适的辅助线，问题就会迎刃而解，思路畅通，从而有效地培养学生的创造性思维。
添加辅助线的方法有很多，本专题通过分析探索归纳八类圆中常见的辅助线的作法。
模型1、遇弦连半径(构造等腰三角形)【模型解读】已知AB 是⊙O 的一条弦，连接OA ，OB ，则∠A =∠B ．在圆的相关题目中，不要忽略隐含的已知条件。
当我们要解决有关角度、长度问题时，通常可以连接半径构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质、勾股定理及圆中的相关定理，还可连接圆周上一点和弦的两个端点，根据圆周角的性质可得相等的圆周角，解决角度或长度的计算问题1(2022·山东聊城·统考中考真题)如图，AB ，CD 是⊙O 的弦，延长AB ，CD 相交于点P ．已知∠P =30°，∠AOC =80°，则BD 的度数是()A.30°B.25°C.20°D.10°【答案】C【分析】如图，连接OB ，OD ，AC ，先求解∠OAC +∠OCA =100°，再求解∠PAO +∠PCO =50°，从而可得∠BOA +∠COD =260°，再利用周角的含义可得∠BOD =360°-80°-260°=20°，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OB ，OD ，AC ，∵∠AOC =80°，∴∠OAC +∠OCA =100°，∵∠P =30°，∴∠PAO +∠PCO =50°，∵OA =OB ，OC =OD ，∴∠OBA =∠OAB ，∠OCD =∠ODC ，∴∠OBA +∠ODC =50°，∴∠BOA +∠COD =260°，∴∠BOD =360°-80°-260°=20°．∴BD的度数20°．故选：C ．【点睛】本题考查的是圆心角与弧的度数的关系，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，掌握“圆心角与弧的度数的关系”是解本题的关键．2(2023•南召县中考模拟)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 的延长线交于点E ，若DE =OB ，∠AOC =84°，则∠E 等于()A.42°B.28°C.21°D.20°【分析】利用OB =DE ，OB =OD 得到DO =DE ，则∠E =∠DOE ，根据三角形外角性质得∠1=∠DOE+∠E ，所以∠1=2∠E ，同理得到∠AOC =∠C +∠E =3∠E ，然后利用∠E =13∠AOC 进行计算即可．【解答】解：连结OD ，如图，∵OB =DE ，OB =OD ，∴DO =DE ，∴∠E =∠DOE ，∵∠1=∠DOE +∠E ，∴∠1=2∠E ，而OC =OD ，∴∠C =∠1，∴∠C =2∠E ，∴∠AOC =∠C +∠E =3∠E ，∴∠E =13∠AOC =13×84°=28°．故选：B ．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念(弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等)．也考查了等腰三角形的性质．3(2023·江苏沭阳初三月考)如图，已知点C 是⊙O 的直径AB 上的一点，过点C 作弦DE ，使CD =CO ．若AD 的度数为35°，则BE 的度数是．【答案】105°．【分析】连接OD 、OE ，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD =35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【解析】解：连接OD 、OE ，∵AD的度数为35°，∴∠AOD =35°，∵CD =CO ，∴∠ODC =∠AOD =35°，∵OD =OE ，∴∠ODC =∠E =35°，∴∠DOE =180°-∠ODC -∠E =180°-35°-35°=110°，∴∠AOE =∠DOE -∠AOD =110°-35°=75°，∴∠BOE =180°-∠AOE =180°-75°=105°，∴BE 的度数是105°．故答案为105°．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．4(2023年山东省淄博市中考数学真题)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，∠BAC=120°，D 是BC边上一点，连接AD并延长交⊙O于点E．若AD=2，DE=3，则⊙O的半径为()A.10B.3210 C.210 D.310【答案】A【分析】连接OA,OC,CE, 根据等腰三角形的性质得到∠B=∠ACB=30°, 根据等边三角形的性质得到AC=OA，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【详解】连接OA,OC,CE,∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠ACB=30°∴∠AOC=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA,∵∠AEC=∠ACB=30°，∠CAD=∠EAC,∴△ACD∽△AEC,∴ACAD =AEAC，∴AC2=AD·AE,∵AD=2,DE=3,∴AC=AD×AE=2×2+3=10，∴OA=AC=10，即⊙O的半径为10，故选:A.【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质度量是解题的关键.模型2、遇弦作弦心距(解决有关弦长的问题)【模型解读】已知AB是⊙O的一条弦，过点OE⊥AB，则AE=BE，OE2+AE2=OA2。
中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法
中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法中考数学答题技巧：圆与圆位置关系中常见辅助线的作法圆与圆位置关系是初中几何的一个重要内容，也是学习中的难点，本文介绍圆与圆的位置关系中常见的五种辅助线的作法。
1. 作相交两圆的公共弦利用圆内接四边形的性质或公共圆周角，沟通两圆的角的关系。
例1. 如图1，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，过A、B分别作直线C D、EF，且CD//EF，与两圆相交于C、D、E、F。
求证：CE=DF。
图1分析：CE和DF分别是⊙O1和⊙O2的两条弦，难以直截了当证明它们相等，但通过连结AB，则可得圆内接四边形ABEC和ABFD，利用圆内接四边形的性质，则易证明。
证明：连结AB因为又因此即CE//DF又CD//EF因此四边形CEFD为平行四边形即CE=DF2. 作两相交圆的连心线利用过交点的半径、公共弦、圆心距构造直角三角形，解决有关的运算问题。
例2. ⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，两圆的半径分别为和，公共弦长为12。
求的度数。
图2分析：公共弦AB可位于圆心O1、O2同侧或异侧，要求的度数，可利用角的和或差来求解。
解：当AB位于O1、O2异侧时，如图2。
连结O1、O2，交AB于C，则。
分别在和中，利用锐角三角函数可求得故当AB位于O1、O2同侧时，如图3图3则综上可知或3. 两圆相切，作过切点的公切线利用弦切角定理沟通两圆中角的关系例3. 如图4，⊙O1和⊙O2外切于点P，A是⊙O1上的一点，直线A C切⊙O2于C，交⊙O1于B，直线AP交⊙O2于D。
求证PC平分。
图4分析：要证PC平分，即证而的边分布在两个圆中，难以直截了当证明。
若过P作两圆的公切线PT，与AC交于T易知由弦切角定理，得又是的一个外角因此又从而有即PC平分4. 两圆相切，作连心线利用连心线通过切点的性质，解决有关运算问题。
例4. 如图5，⊙O1与半径为4的⊙O2内切于点A，⊙O1通过圆心O 2，作⊙O2的直径BC，交⊙O1于点D，EF为过点A的公切线，若，求的度数。
圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线的常见添法
圆的辅助线是画圆过程中常用的技巧，可以帮助我们更准确地画出所需的图形。
下面介绍几种常见的圆的辅助线添法。
一、正方形法
正方形法是最基本、最简单的圆的辅助线添法之一。
具体步骤如下：
1. 画一个正方形，边长等于所需圆的直径。
2. 将正方形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。
3. 在垂线上取一个点作为圆心，以垂线长度为半径画出所需圆。
二、三角形法
三角形法也是常用的一种圆的辅助线添法。
具体步骤如下：
1. 画一个等腰直角三角形，底边等于所需圆的直径。
2. 将底边中点与顶点相连，并做垂线。
3. 在垂足处作为圆心，以底边长度为半径画出所需圆。
三、六边形法
六边形法同样是一种常用的添法。
具体步骤如下：
1. 画一个正六边形，外接于所需圆上。
2. 连接相邻两个顶点，形成一个正三角形。
3. 在正三角形的垂心处作为圆心，以正六边形边长为半径画出所需圆。
四、四边形法
四边形法也是一种常用的添法。
具体步骤如下：
1. 画一个矩形，长宽分别等于所需圆的直径。
2. 将矩形对角线画出来，并在对角线交点处做垂线。
3. 在垂线上取一个点作为圆心，以矩形长或宽的一半为半径画出所需圆。
以上就是几种常见的圆的辅助线添法。
通过这些方法可以更加准确地
画出所需图形，并且在实际应用中也有很大的帮助。
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圆中常见辅助线的作法 典型例题：
例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上
任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________
例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。
求证：直线L 与⊙O 相切。
例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ，
交AB•的延长线于D ，求证：AC=CD ．
例题4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，
那么OP 的长的取值范围是_________．
A B C
D
E P O
O C
B
A
O C
B A
1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）
1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。
作用：①利用垂径定理；
②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；
③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。
2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周
上一点和弦的两个端点。
作用：①可得等腰三角形；
②据圆周角的性质可得相等的圆周角。
2．遇到有直径时
常常添加（画）直径所对的圆周角。
作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形
3．遇到90°的圆周角时
常常连结两条弦没有公共点的另一端点。
作用：利用圆周角的性质，可得到直径。
4．遇到有切线时
（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点
作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。
（2）常常添加连结圆上一点和切点
作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
5．遇到证明某一直线是圆的切线时
（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。
（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），
再证其与直线垂直。
O
C B
A
6．遇到两相交切线时（切线长）
常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。
作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；
②垂直关系；③全等、相似三角形。
7．遇到三角形的内切圆时
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。
作用：利用内心的性质，可得：
①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；
②内心到三角形三条边的距离相等
8．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点
作用：外心到三角形各顶点的距离相等。
A
B
C
D
E
P O
O
C
B
A
O
C
B
A
O
C
B
A
例题讲解
例题1、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。
例题2、如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，
则∠C 的度数是________.
例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B= 例题4、如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，
AB=6，AC=8，⊙O 的半径是
例题5、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC⊙L 于C ，BD⊙L 于D ，且AC+BD=AB 。
求证：直线L 与⊙O 相切。
例题7、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是弧AB 上任意一点，过C
作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________
例题8、如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=
例题9、如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于D ，E ，F ，求Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离．
A B C D E
O
课后练习
1、已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D 且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．
2、如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.
3、已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.
4、如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？
A
B
C
D
O
E
N
5、如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.
6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.
7、如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．
8、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.
A
A C D O 1 O 2 B
. .。