九年级数学圆中常见辅助线作法

圆中常见辅助线的作法 典型例题：

例题1、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是 弧AB 上

任意一点，过C 作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________

例题2、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC ⊥L 于C ，BD ⊥L 于D ，且AC+BD=AB 。

求证：直线L 与⊙O 相切。

例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，弦AC 与AB 成30°角，CD 与⊙O 切于C ，

交AB•的延长线于D ，求证：AC=CD ．

例题4、如图，⊙O 的直径为10，弦AB ＝8，P 是弦AB 上一个动点，

那么OP 的长的取值范围是_________．

A B C

D

E P O

O C

B

A

O C

B A

1．遇到弦时（解决有关弦的问题时）

1)、常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。

作用：①利用垂径定理；

②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；

③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。

2）、常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周

上一点和弦的两个端点。

作用：①可得等腰三角形；

②据圆周角的性质可得相等的圆周角。

2．遇到有直径时

常常添加（画）直径所对的圆周角。

作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形

3．遇到90°的圆周角时

常常连结两条弦没有公共点的另一端点。

作用：利用圆周角的性质，可得到直径。

4．遇到有切线时

（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点

作用：利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。（2）常常添加连结圆上一点和切点

作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。

5．遇到证明某一直线是圆的切线时

（1）若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段，再证垂足到圆心的距离等于半径。

（2）若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径），

再证其与直线垂直。

O

C B

A

6．遇到两相交切线时（切线长）

常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；

②垂直关系；③全等、相似三角形。

7．遇到三角形的内切圆时

连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：

①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；

②内心到三角形三条边的距离相等

8．遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点

作用：外心到三角形各顶点的距离相等。

A

B

C

D

E

P O

O

C

B

A

O

C

B

A

O

C

B

A

例题讲解

例题1、如图，已知△ABC 内接于⊙O ，∠A=45°，BC=2，求⊙O 的面积。

例题2、如图，弦AB 的长等于⊙O 的半径，点C 在弧AMB 上，

则∠C 的度数是________.

例题3、如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，弦BC=2,∠B= 例题4、如图，AB 、AC 是⊙O 的的两条弦，∠BAC=90°，

AB=6，AC=8，⊙O 的半径是

例题5、如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，AC⊙L 于C ，BD⊙L 于D ，且AC+BD=AB 。

求证：直线L 与⊙O 相切。

例题7、如图，P 是⊙O 外一点，PA 、PB 分别和⊙O 切于A 、B ，C 是弧AB 上任意一点，过C

作⊙O 的切线分别交PA 、PB 于D 、E ，若△PDE 的周长为12，则PA 长为______________

例题8、如图，△ABC 中，∠A=45°，I 是内心，则∠BIC=

例题9、如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于D ，E ，F ，求Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离．

A B C D E

O

课后练习

1、已知：P 是⊙O 外一点，PB ，PD 分别交⊙O 于A 、B 和C 、D 且AB=CD.求证：PO 平分∠BPD ．

2、如图，ΔABC 中，∠C=90°，圆O 分别与AC 、BC 相切于M 、N ，点O 在AB 上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O 的半径.

3、已知：□ABCD 的对角线AC 、BD 交于O 点，BC 切⊙O 于E 点.求证：AD 也和⊙O 相切.

4、如图，学校A 附近有一公路MN ，一拖拉机从P 点出发向PN 方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A 周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？

A

B

C

D

O

E

N

5、如图，A 是半径为1的圆O 外的一点，OA=2，AB 是圆O 的切线，B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积.

6、如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD ，垂足为E,BF ⊥CD ，垂足为F.求证：DE=CF.

7、如图，O 2是⊙O 1 上的一点，以O 2为圆心，O 1O 2为半径作一个圆交⊙O 1 于C ，D ．直线O 1O 2分别交⊙O 1 于延长线和⊙O 1 ，⊙O 2于点A 与点B ．连结AC ，BC ．⑴求证：AC=BC ；⑵设⊙O 1 的半径为r ，求AC 的长．⑶连AD ，BD ，求证：四边形ADBC 是菱形；⑷当r=2时，求菱形ADBC 的面积．

8、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，连AC 交⊙O 于D ，过D 作⊙O 的切线EF ，交BC 于E 点.求证：OE //AC.

A

A C D O 1 O 2 B

. .