数值分析在振动中的应用

数值计算方法在机械振动学中的应用综述

机械工程学院11级研究生吴泳龙

摘要：通过适当的数值算法，对机械零部件的运动特征和结构特性进行分析和研究。选取机械工程领域常见的运动学和结构力学实例，分析和对比常用数值算法的稳定性及计算精度等问题，进而确定广义雅可比法和加权余量法两种数值方法来分别进行数值计算，分析系统的频率特性和稳定性

关键字：数值分析机械振动模型

基于这一学期由沈老师精心授课的计算机数值计算并结合由李老师辛勤授课的机械动力学课程，阐述这两门课程对我所在研究方向机械振动及噪声控制研究的应用。

1、数值方法及数值求解简介

振动现象普遍存在于弹性连接的运动系统中，在分析振动特征时，通常的方法是建立有质量、弹簧、阻尼单元元件组成的系统，然后通过求微分方程，得到振动系统运动特征的解析关系。这种方法存在一个很大的缺点，就是简单的质量、弹簧模型无法描述振动系统全部的动力学关系。例如在结构的局部出现的弹性变形。因此在利用这样的分析方法研究振动过程的时候，随着系统复杂程度的提高，计算分析结果与实际情况的差别将显著增加，从而使分析结果失去意义。

针对这个问题，我将介绍几种采用计算机数值计算的方法进行数学建模，从而在模型中保留尽可能多的信息。从而使分析结果更加详细。本文将介绍加权余量法和广义雅克比法对振动过程中系统的任意指点在任意时刻力学参数的求解，利用模型中的几何星系，边界条件与初值条件来模拟系统的运动规律，建立一个数字化的振动系统，使其模拟的与实际的振动完全一致，设计人员可以在设计初段分析设计方案的动力学特性，了解结构振动过程中的各个细节。

2、常用数值方法原理

加权余量法或称加权残值法是一种直接从所需求解的微分方程及边界条件出发，寻求边值问题近似解的数学方法。加权余量法在结构振动分析领域的应用

已从静力发展到动力、稳定、材料非线性和几何非线性等各方面。大量的结构分析问题，如杆的系结构分析，二维和三维弹性变形分析，都可归结为在一定边界条件下求解微分方程的解。加权余量法特点变形体域内和边界上任意一点在任意时刻均近似满足运动微分方程。

在数值线性代数中，雅可比法（Jacobi Method）是一种解对角元素几乎都是各行和各列的绝对值最大的值的线性方程组的算法。求解出每个对角元素并插入近似值。不断迭代直至收敛。方法的名字来源于德国数学家卡尔〃雅可比。雅克比法如的描述如下：

给定一个n×n的线性方程组

其中:

A可以分解成对角部分D和剩余部分R:

线性方程组可以重写为:

雅可比法是一种迭代方法。在每一次迭代中，上一次算出的x被用在右侧，用来算出左侧的新的x。这个过程可以如下表示：

对每个元素可以用以下公式：

3实例分析

为了更好的说明数值方法在机械工程振动领域的应用，以及如何使用数

值方法对机械运动进行仿真和对结构力学问题进行求解，我将分别举例介绍上述所讲的两种方法应用。

用加权余量法计算图示弹性基础梁的挠度

弹性基础梁的基本微分方程和边界条件为

44

114

4

d 10[1,1]

d 0 (14)

021616x x w

w x x w w x E I k l

x w w

l

p l

E I

αα=-=⎧++=∈-⎪⎪⎪

=⎨⎪

=⎪⎪⎩=

=

=

取试探解为无弹性基础时的精确解

2

2

1(5)(1)

(15)24

x x φ--=-

则近似解可表示为

2

2

1111(5)(1)

(16)24

a x x w a φ--==-

残差方程为

22

11(5)(1)1 1 (17)24x x R a α⎡⎤

--=-++⎢⎥⎣⎦

广义雅克比法实例如下：

p

z

用雅可比法求解图示系统的固有频率：

经广义雅克比变换得到后

11

00.7070

30.707

0.7070.7072-⎡⎤

⎢⎥

=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦K 2cos 0sin 0

10sin 0

cos θ

θθθ-⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

P

20.6340.3250

0.325

30.628

00.628 2.366-⎡⎤⎢

⎥

=--⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦K 3cos sin 0sin cos 000

1θθθ

θ-⎡⎤

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 30.590100.0830

3.04380.622

0.083

0.622

2.366-⎡⎤

⎢⎥

=-⎢⎥

⎢⎥--⎣⎦K 410

cos sin 0

sin cos θθθ

θ⎡⎤⎢⎥

=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

P

40.5901

0.04290.0720.0429

3.413600.0720

1.9963-⎡⎤

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

K 得到精确解为：

T

0.5858

00

3.414200

2.000⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ΦK Φ 从以上结果可以看出数值方法能够精确计算多自由度系统的固有频率等精确解。

4结论

本文介绍了基于数值计算方法在机械工程领域的应用。介绍了相关数值方法

2101

210

1

2-⎡⎤

⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦K 2

1

1f f

=4=f f

3

4

π

θ=

1cos sin 0sin cos 00

1θ

θθ

θ-⎡⎤

⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

P 0.4777

θ=0.1341

θ=-0.5361

θ=