Riemann可积函数与连续函数

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复合函数的黎曼可积

复合函数的黎曼可积黎曼可积（Riemann integrable）是一个重要的数学概念，用来描述复合函数是否可积。

它及其应用最常用于计算无穷离散量的近似值。

黎曼可积性质是Rudolf Loren名字的由来，它在板块概念中很详细，表明函数是否可以精确表示无穷多离散量，而不用费力气计算这些量，从而识别函数的极限特性。

要理解黎曼可积，首先需要明白什么是可积的函数，也就是函数的一部分可以积分为一个定值，这样可以获得整个函数的值。

黎曼可积确保函数至少是在某种意义上可积，用积分的方法说明。

也就是说，如果把函数分成小段，然后用积分计算该函数在每个小段上的取值，就可以求出整个函数的值：下面来看一个例子，为了给函数f（x）= x2 + 2x +1在[0，2]上满足黎曼可积要求，可以表示为函数值单调连续，且满足黎曼可积要求的研究对象的函数形式：f(x)=[x2+2x+1]c[0,2]=[x2+2x+1]c[0,1]+[1+2+1]c[1,2]上面公式表示，根据黎曼可积的规则，在[0，2]上函数f（x）= x2 + 2x +1可以表示为两个小段，分别为[0，1]和[1，2]，积分结果分别为[x2+2x+1]c[0,1]=4/3和[1+2+1]c[1,2]=4，从而总积分值为8/3，也就是要求函数在[0，2]上的值。

可以看到，通过给定分段，以及该分段中函数的特定值，可以简单地求出可积函数的值，而不必逐一积分计算每一段函数的值，从而大大简化了工作繁琐度。

此外，黎曼可积还提供了另外一项很重要的功能，即限定函数分段表示，除此之外，还要求每一段函数在连续和单调方面是可行的，也就是要求函数要连续单调，不能有突变点等情况发生，而连续性也不能被乱搞。

如果函数满足了这些条件，就会成为一个黎曼可积函数。

总之，黎曼可积是一个重要的概念，可以帮助我们简化复杂的函数的积分计算，它的准确性对于函数的表示非常重要，而它的应用也进一步拓展了函数的可积研究和应用。

Riesz-Schauder定理在一类积分方程的应用

Riesz-Schauder 定理在一类积分方程的应用朱伟丰（重庆师范大学数学学院重庆市 404100）摘要：通过实例来对Riesz —Schauder 定理应用，找到一类积分方程，当1α，2α是)()(2211x f A A x =--ααφ的系数且],[b a x ∈，而且)()(2211x f A A x =--ααφ在],[b a C 有解的可能，它的充分必要条件，以及进一步推广到方程)()(1x f A x in n n =-∑=αφ，系数为i k k ,,2,1, =α，()()i k x x Fdy y y x K A nn n k kn k bak k ,,2,1,)()(,1=+=∑⎰=ϕϕ在],[b a C 有解的可能，它的充分必要条件。

关键字：伴随算子；有界变分函数；积分方程；1、引言在这篇论文主要对文献[2]中Kneser 类型的积分方程推广。

我使用的方法来自于文献[10]，Riesz —Schauder 定理应用一类Kneser 积分方程。

其中函数的相关性来自于文献[9]。

考虑下面积分方程)()(2211x f A A x =--ααφ ],[b a x ∈ （1）⎰∑⎰=-=b a nk k i k i i k bai i i i x x x F dydz z y z y x K A 1)()()()()(),,(βϕβϕ其中1K 、2K 、1k F 、2k F 、f 为已知函数；k x 是区间],[b a 中的点；],[,F ,2k 1b a C f F k ∈，),,(),,,(1z y x L z y x K 在区间],[],[],[b a b a b a ⨯⨯连续，],[b a C 表示在],[b a 内的实连续函数的集合。

在（1）中的),,()(),,,()(211k k k k k k k k x x x L x F x x x K x F με==且0,>k k εμ，那么对于如下表达式⎰⎰∑=+b a bank k kx F dydz z y F 1)(),(ε（2）其中连续函数F 是Riemann 可积函数。

可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释

可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分旨在介绍本文所讨论的主题——可导、可微、可积和连续之间的关系，并为读者提供一个全面的背景和引导。

本文将探讨这些数学概念之间的联系，以揭示它们之间的内在关联，以及它们在数学和物理学中的应用。

在数学分析中，我们经常遇到函数的性质和特征，而可导性、可微性、可积性和连续性是其中最基本也是最常见的一些性质。

它们描述了函数在不同方面的光滑程度和可测性。

理解这些概念之间的相互关系，对于深入研究微积分、实分析、复分析等领域的数学知识，以及在物理学和工程学中的应用是至关重要的。

本文将依次探讨可导和可微的关系、可微和可积的关系、可导和可积的关系、可微和连续的关系、可积和连续的关系、可导和连续的关系等六个方面。

通过分析这些关系，我们将揭示它们之间的数学联系和性质，并进一步讨论它们在实际应用中的意义和重要性。

对于初学者来说，理解和区分这些概念可能存在一定的难度。

因此，在本文中，我们将从简单到复杂，一步一步地引导读者理解这些概念的定义、性质和相互关系。

通过清晰的解释和具体的例子，我们将帮助读者建立起对这些数学概念的深入理解，并培养他们在实际问题中运用这些概念的能力。

最后，本文的结论部分将对可导、可微、可积和连续之间的关系进行总结，并提供一些对研究和应用的启示和展望。

我们将强调这些概念的重要性和广泛应用的前景，鼓励读者进一步探索和研究这些数学概念，以及它们在不同领域的应用。

通过理解和应用这些概念，我们可以更好地解释和预测自然界和科学现象，并在技术和工程领域中做出更精确的计算和推断。

总之，本文将为读者提供一个深入了解和探索可导、可微、可积和连续之间关系的机会。

通过解释这些概念的定义、性质和相互关系，我们将帮助读者理清思路、认识到它们的重要性，并为将来的研究和应用打下坚实的基础。

希望读者通过本文的阅读，能够对这些数学概念有更全面的认识和理解。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将围绕可导、可微、可积和连续这四个数学概念展开讨论，探讨它们之间的关系。

黎曼函数

黎曼函数（Riemann function）一、黎曼函数的定义二、黎曼函数是否连续？在哪些点连续？三、黎曼函数的可积性一、黎曼函数的定义为有理数且、互质为无理数R(x)={1px为有理数qp, p∈N+,q∈Z且p、q互质1x=00x为无理数，为什么定义R(0)=1？这样能使得R(x) 成为周期为 1 的周期函数（无理数+1后还是无理数，有理数+1后分母不变），当 x 为整数时，黎曼函数的值均为 1。

因此以下只讨论黎曼函数在区间[0,1] 上的性质。

二、黎曼函数的连续性讨论黎曼函数性质描述：黎曼函数对∀x0∈(−∞,+∞) 均有limx→x0R(x)=0 （也就是黎曼函数在数轴上一切无理点连续，有理点不连续）证明：只考虑[0,1] 上的情况；需要用到函数极限的ϵ−δ语言；对∀ϵ∈(0,1) ，令k=[1ϵ] ，则 k 是正整数；在[0,1] 上，设分母为p(p≥2) 的有理数的个数为np ，则np 是个有限的数字（不可能是无穷大，因为至多只能有1p,2p,3p,...,pp ，一共 p 个）；当 p=1 时，有两个分母为 1 的有理数：01,11 ，即n1=2 ；因此，我们得出：[0,1] 上分母不超过 k 的有理数的个数Nk=n1+n2+...+nk 是个有限的数字（不为无穷大），设这些有理数为r1,r2,...,rNk令且δ=min1≤i≤Nk且ri≠xo{|ri−x0|} （也就是这Nk 个点中离x0 最近的那个点与x0 间的距离；如果x0 正好与这Nk 个点中的某个点重合，则在剩下Nk−1 个点中重新计算离x0 的最小距离）；现在我们观察0<|x−x0|<δ中的所有数，这些数：（1）、要么是有理数但分母比 k 大；（2）、要么是无理数；对于（1）中的x ，我们有R(x)≤1k=1[1ϵ]≤21ϵ=2ϵ；对于（2）中的x ，很显然R(x)=0<2ϵ；综上，根据极限的ϵ−δ语言我们得出limx→x0R(x)=0 。

华东师范大学数学分析讲义单变量函数的 Riemann 积分理论

a b
∫ f (x)dx ⩽
a
b
g (x)dx.
特别地，如果 m ⩽ f (x) ⩽ M 分别是 Riemann 可积函数 f (x) ∈ Rie[a, b] 在 [a, b] 上的下界和上界，那么 ∫ b ∫ b ∫ b m(b − a) = mdx ⩽ f (x)dx ⩽ M dx = M (b − a).
n n ∑ ∑ (s(ti ) − s(ti−1 )) = v (ξi )∆ti . i=1 i=1
这个等式的仍然有问题，我们并没有办法来确定这些中值 ξi 。对于任意的 ηi ∈ [ti−1 , ti ]，都有 |ξi − ηi | ⩽ ∆ti 。如果我们假定 v (t) 在闭区间 [t0 , t] 上是连续的，那么它也是一致连续的。也就是说，对于任意的 ϵ > 0，存在 δ > 0，只要 |t∗ − t∗∗ | < δ ，就成立 |v (t∗ ) − v (t∗∗ )| < ϵ。如果 |∆| = max ∆ti < δ,
1⩽i⩽n
为分划的模，它所描写的是分化的粗细。进一步，如果我们在每一个小区间 ∆i 中取一个点 ξi ∈ ∆i ，向量 ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) 被称为是 ∆ 的一个标记。∆ 与它的标记 ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) 一起被称为一个标记分划。假设 f (x) 是 [a, b] 上定义的一个函数，对于一个标记分划 (∆, ξ )，和式 σ (f ; ∆, ξ ) = 叫做 f (x) 在标记分划 (∆, ξ ) 下的 Riemann 和。定义：f (x) 是区间 [a, b] 上的一个函数，A 是一个实数，假定对任意的 ϵ > 0，存在 δ > 0，对于任意的标记分划 (∆, ξ )，只要 ∆ 的模 |∆| < δ ，就有 |σ (f ; ∆, ξ ) − A| < ϵ, 我们称 f (x) 在 [a, b] 上 Riemann 可积。不难看出，定义中的 A 一定是唯一的。不然，如果存在 A < B 都满足定义的条件，我们取 A ϵ = B− 2 ，当分划 ∆ 的模足够小的时候，我们就有 B < σ (f ; ∆, ξ ) + ϵ < A + 2ϵ = B. 这样就得到一个矛盾。我们也称这个唯一的 A 为 f (x) 在 [a, b] 上的定积分，记作 ∫ b f (x)dx. 与不定积分时的情况一样，叫做积分号，f (x) 叫做被积函数，f (x)dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，而 [a, b] 叫做积分区间，a 和 b 分别被称为积分下限和积分上限。 [3◦ 最简单的例子] 如果 f (x) = c 是 [a, b] 上的常数函数，那么对于任意标记分划 ∆, ξ ，Riemann 和 σ (f ; ∆, ξ ) =

函数的原函数存在与黎曼可积的关系

第2"卷第1期2021年1月高等数学研究STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICSVol.2"，No.1Jan. , 2021doi：10.3969/j.i s s n.1008-1399. 2021. 01.023函数的原函数存在与黎曼可积的关系程磊，李静(信阳学院数学与统计学院，河南信阳"；"000%摘要本文讨论原函数存在与黎曼可积之间的联系与区别，通过列举具体的函数来说明函数的原函数存在与黎曼可积是相互独立的概念，两者之间是互不7含的关系.关键词原函数；牛顿-莱布尼兹公式；黎曼可积中图分类号〇13文献标识码 A文章编号 1008 - 1399(2021)01 - 0077 - 03Primitive Functions and Riemann IntegrabilityCHENG Lei and LI Jing(School o f Mathematics and S t a t i s t i c s，Xinyang College，Xinyang "6"000, China)A bstract The relation and difference between the existence of primitive functions and Riemann integrabiti-ty are discussed.By examples，w e show that the two concepts are different，independent of each other，and they don’t have implication relation.K eyw ords primitive function，Newton —Leibniz formula，Riemann integrable1引言在高等数学中，牛顿-莱布尼兹公式[1’2]将不定积分和定积分结合了起来，在连续的条件下，可以利用原函数来求定积分.因此，许多学生将原函数的存在性与黎曼可积等价起来.但实际上，二者的关系并非这样简单.文献[3]证明了“每一个具有第一类间断点的函数，其原函数一定不存在”，并举例说明了 “在区间[a，]上存在原函数的无界函数/(:r)不一定黎曼可积/文献["]重点讨论了“第二类间断点构成一个正测度集的有界函数必不黎曼可积”，文中运用了实变函数的知识来说明这一问题.本文中，我们首先列出原函数存在和关于黎曼可积的一些定理，然后通过具体的函数来论述二者的联系与区别，其中通过构造函数，重点讨论了在区间上存在原函数的有界函数不一定黎曼可积.2原函数存在和黎曼可积的基本结论为展示所论问题的方方面面，将有关原函数和收稿日期！ 2020 - 03 - 27 修改日期2020- 10 - 13作者筒介：程磊（1988 —)，男，河南信阳，硕士，助教，Ramsey理论，Email：chenglei2020@.黎曼可积的基本定理梳理如下，这些定理在《高等数学》和《数学分析》教材或辅导书中都有证明.2.1关于原函数的_些定理[12]定理1若/(；c)在[a , 6]上连续，则j/(:c)d:c在.定理2(达布定理）设f X：r)在[a，]上可微，且f(a) *圹（），则对r(a)，r(6)之间的任何实数A，存在6)(，6)，使得圹（）= A.推论1若/(：r)在[a，6]上具有第一类间断点，则J/(：r)d:r不存在•注意不连续的函数也可能有原函数.例如&]\#2sin — ,# * 0F i x) = 1 #，-0，x = 0其导数f2xsin — —cos1，# * 0/(x) = 1 x x，-0，x = 0可以看出/(x)在x 50处不连续，但有原函数F(x)，此时x = 0为/(x)的第二类间断点.78高等数学研究2021年1月2.2 关于黎曼可积的一些定理%u，5]定理3 若/(z)在[a，6]上连续，则p/(:c)drJ a存在.定理4 若/(：r)在&，]上有界，且只有有限个间断点，则「/(：r)d:r存在.J a定理5 若/(：r)是&，]上的单调函数（即使有无穷多个间断点），则f/(：r)d：r存在.J a定理6若/Or)在&，]上黎曼可积，则/(r)在[a，]上有界.推论2 若/(r)在[a，6]上无界，则f/(r)d:ra在.定理7 有界函数黎曼可积的充分必要条件是不连续点所组成的集合勒贝格测度为0.I r2sin r * 0F(x) = 1r2其导数为/(r)为当"％ w时，2rsin—cos ^r * 0r r■2槡"* cos("T t) = (—l)"^12槡"* ?所以/(r)在r =0处无界，由推论2}/(r)在含有 0的区间内黎曼不可积.43 函数有界，且有原函数，但未必黎曼可积3 函数的原函数存在与黎曼可积的联系原函数存在和黎曼可积在一定的条件下有某种联系，而牛顿-莱布尼兹公式恰恰反映了这种关系.定理8[1’2]若/(r)在[a，]上连续，且F(r)为/(r)的一个原函数，则/(x)d x =F(b') —F(a).注意若/(r)在[a，b]上黎曼可积，除有限个点外，F (r) = /(r)，且F(r)在[a J]上连续，贝[J/(,x)d x = F(b) —F(a).4 函数的原函数与黎曼可积的区别邹应编写的《数学分析》[6]中称：并不是每一个数的界数是积的!要构造出这样一个函数并非易事.下面我们构造一个这样的函数，分两个阶段：先构造[0，1]中一个无处稠密的子集A，然后构造一个[0，1]上的函数，处处可微，其导函数有界，但却在A上处处不连续.第一步:我们首先构造一个集合，从集合[0，1]中移去中间的1部分，剩余&，=]u[：，]，然后从 [0，=]中移去中间的1部分，并从[8，1]中移去中间的1部分，剩余[0，：] U [7,8] U [8,22] U面们的数在的情况下，函数的原函数与黎曼可积并无蕴含关系.4.1 函数在某_区间上黎曼可积，但原函数不_定例如0,0"r# 2/(r) = 1，1贝1 "r" 1可以求得[/(r)d:c = 1，但r = 1为/(r)的第一 J0 2 2类间断点，所以在[0，1]上J/(r)d:r不存在.4.2 函数无界，且有原函数，但未必黎曼可积例如[][12，1].反复进行下去，记得到的集合为a.集合A的勒贝格测度L(A) = 1 — ' ^ =n_ 02,且具有以下性质：()集合a无处稠密，不含区间.(i i)给定区间/1，2,…贝"，满足两两不交且U ^P[0，1]，只要L(U U〉1，则这些区间中4=14=12至少有一个含A中的值.第二步:使用集合A和函数fr2sin 1,r* 0/(x) =I r，构造函数 V(r).-0，x = 0将/(r)在区间[0，8]做一些改动，在[，1]第2"卷第1期程磊，李静：函数的原函数存在与黎曼可积的关系79的最后一个驻点后，保持此时的函数值直到1，如图 1所示.图i做关于I 5 1的镜面复制，不在[0，"'上的值定义为〇,得到图2所示的函数.记上面这个函数为/i(x)，不难发现/i(x)处处可导，但是@m/1(x)和lim/1(x)不存在.复制并移动整个函数/i(x)，使它的[0，"]部分恰好处于集合A中被去掉的所有长度为"的区间中（即第一次去除的区间（|，:）），保留区域外的值为0,如图3所示.这一^部分就是构造V(x)的第一^步.第三步:类似地，让/(x)在区间&，1]上使其在经过最后一个驻点后，保持函数值直到X 5 1，并相应地作关于X 5 1的镜面复制，不在[0，#]上的值32 1;定义为0，记这样得到的函数为/2 X)，如图4所示.复制并移动整个函数/2 (X)，使它的&，1]部分恰好处于集合A中被去除的所有长度为1的区16间中（即为（：，7)和（3：，2_2))，保留区间外的〇值，如图5所示.这一部分就是构造V(x)的第二步.第四步：不断利用/(x)在[0，"^]上的部分构造/…(X)，并作关于X 5 "2的镜面复制，并将未定义的部分定义为0，复制并平移人（X)，使它非恒为0 的部分恰好处于集合A中被去除的所有长度为4i 的区间，作为V(x)的一部分，最终就可以构造整个 V(x)函数.很显然V\x)在集合A的所有点处都不连续，而U A) 5 1，由定理7，f(X)黎曼不可积.(下转第90页）90高等数学研究2021年1月J.课尾穿插配有随堂小测题，供学生自查和自纠.例如，【§7.3-2随堂测验提示与答案】设总体o2)，其中o2未知，若样本容量《和置信水平1-«均不变，则对于不同的样本值，总体均值//的双侧置信区间的长度（）。

可微可导可积与连续之间的关系

可微可导可积与连续之间的关系在数学分析中，连续性、可微性、可导性和可积性是重要的概念。

本文将探讨这些概念之间的关系，并解释它们之间的联系和区别。

正文连续性是描述函数在某一点附近的行为的性质。

如果一个函数在某个点处的极限存在且与该点的函数值相等，那么我们说这个函数在该点是连续的。

连续性是一个最基本的性质，它保证了函数在某个区间上没有断裂或跳跃。

可微性是连续性的进一步要求。

如果一个函数在某个点处连续，并且在该点的导数存在，那么我们说这个函数在该点是可微的。

可微性意味着函数在该点处的切线存在，并且函数在该点的行为可以通过切线来近似。

可导性是可微性的推广。

如果一个函数在某个区间上的每一个点都可微，那么我们说这个函数在该区间上是可导的。

可导性是导数存在的充分条件。

可积性是描述函数在某个区间上的积分存在与否的性质。

如果一个函数在某个区间上的积分存在，那么我们说这个函数在该区间上是可积的。

可积性是Riemann积分存在的充分条件。

从定义上看，连续性是最基本的性质，它不需要任何导数或积分的概念。

而可微性和可导性则依赖于导数的概念，它们需要函数在某个点或某个区间上的导数存在。

可积性则依赖于积分的概念，它需要函数在某个区间上的积分存在。

在一定条件下，这些性质之间存在着联系。

例如，可微性是可导性的充分条件，即可微的函数一定是可导的。

而可导性是可积性的充分条件，即可导的函数一定是可积的。

这意味着，一个函数如果可微，则它一定可导；一个函数如果可导，则它一定可积。

但是需要注意的是，这些条件只是充分条件，并不是必要条件。

总结一下，连续性是最基本的性质，可微性和可导性是依赖于导数的概念，可积性则是依赖于积分的概念。

它们之间存在一定的联系和区别，但并不是完全相同的概念。

我们需要根据具体的问题和需求，选择适当的性质来描述函数的特性。

以上是关于可微可导可积与连续之间关系的讨论，希望对读者有所帮助。

实变函数论的产生、发展、意义及讨论

本科课程论文论文题目：实变函数论的产生、发展、意义及讨论院系：数学科学学院专业：数学姓名：*** 学号：*************指导教师：职称：2012 年 2 月24 日目录第一章实变函数的产生背景和发展历史 (3)第 1 节积分概念的第一次扩张：Stieltjes积分 (4)第 2 节容量理论 (4)第 3 节Lebesgue的工作 (6)第二章实分析和数学分析的比较及新理论取得的成果 (8)第 1 节实分析中一般的测度和积分 (8)第 2 节两种分析的比较 (9)第三章对Lebesgue不可测集的看法 (12)第四章实变函数产生的意义及总结 (14)实变函数论的产生、发展、意义及讨论****学号：******专业：数学类摘要：复分析，实分析和泛函分析构成了自微积分创立以来现代分析数学的三大分支。

本文对实变函数论做了较为系统的梳理，回顾了实变函数论的创立背景，发展历程，在某几个方面比较了实变函数和数学分析的区别，另外还讨论了Lebesgue不可测集存在的原因。

关键字：Lebesgue，测度理论，Riemann积分，Lebesgue积分，实分析，选择公理第一章实变函数的产生背景与发展历史微积分奠基于16,17世纪，它的扩张统治了18世纪，形成了数学分析这门基础分支。

至18世纪末19世纪初，黎曼积分意义下的微积分理论基本成熟，但是数学家逐渐发现一些奇怪的现象，揭示出了黎曼积分存在很大的缺陷。

这些奇怪的现象包括：连续而不可微的函数；具有有界的不是黎曼可积的导数的函数；可积函数列的极限函数不总是黎曼可积等等。

另一方面由Dirichlet,Riemann,Cantor,Ulisse Dini，Jordan和19世纪其他数学家建立起来的Fourier 级数理论已经成为应用数学满意的工具，但是对于追求完美的数学家而言，这种建立在数学分析基础上的级数理论存在诸多不理想的地方，离函数和级数关系的统一性，对称性和完备性有相当的差距。

第二讲函数的连续性中值定理积分

第二讲函数的连续性中值定理积分一．连续性定理：设()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，则(,)[,]()a b a b αβαβ∀⊂≤<≤，0(,)x αβ∃∈使()f x 在0x x =处连续。

证明：作分划010:n x x x x nβααβ-∆=<=+<<= 。

因()f x 在[,]a b 上Riemann 可积，取102βαε-=>，存在14n ≥，使1(1)(1)11()2n iii M m n βαβα=---<∑（其中1,1,(1)(1)[][]{()},inf {()}i i i i iix x x x x x M sup f x m f x --∈∈==，以下类似定义。

）所以1(1)(1)111()22n iii n M m n =-<≤-∑，因此至少有三个i ，使(1)(1)1iiM m -<。

取110,i n <<使11(1)(1)1iiM m -<。

作区间11111[,][,]ii x x αβ-=，则()f x 在11[,]αβ上Riemann可积。

取112202βαε-=>，存在24n ≥，使1(2)(2)111121()4n ii i M m n βαβα=---<∑于是2(2)(2)2212()42n ii i n n M m =--<≤∑，因此至少有三个i ，使(2)(2)12iiM m -<。

取220,i n <<使22(2)(2)12iiM m -<。

如此继续可以得到一个闭区间套11[,][,][,]n n αβαβαβ⊃⊃⊃使得（1）4n n nβαβα--≤；（2）()f x 在[,]n n αβ上的上下确界满足()()1n n iiM m n-<。

由闭区间套定理知01[,]{}n n n x αβ∞== 。

下证()f x 在0x x =处连续。

riemann可积的必要条件

riemann可积的必要条件
黎曼可积的必要条件：函数在闭区间有界。

1、黎曼创立的黎曼积分首次对函数在给定区间上的积分给出了一个精确定义，黎曼积分在技术上的某些不足之处可由后来的黎曼·斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。

黎曼积分的公式：S=f(x)dx。

定义：作为曲线与坐标轴所夹面积的黎曼积分对于一在区间[a,b]上之给定非负函数f(x)，我们想要确定f(x)所代表的曲线与X坐标轴所夹图形的面积，我们可以将此记为黎曼积分的核心思想就是试图通过无限逼近来确定这个积分值。

2、黎曼可积的充分条件：①函数在闭区间连续。

②函数在闭区间单调。

单调指f(x1) < f(x2) ，if x1 < x2 在整个区间内可以有不连续的点，但是函数在区间内都是有定义的。

③函数在整个区间内有有限个第一类间断点。

黎曼积分只定义在有界区间上，扩展到无界区间并不方便。

可能最简单的扩展是通过极限来定义积分，即如同瑕积分一样。

以上就是关于黎曼可积的相关内容。

Riemann函数性质及实数完备性的推导

147
科教之窗
科技·经济·市场
无穷多个点的函数值满足
。
因此 Riemann 函数在有理数点处极限均存在且为 0。
综上所述，Riemann 函数在定义域内任意点处的极
限均存在且为 0。
2.2 Riemann 函数的连续性及其间断点的类型
性质 2：Riemann 函数在（0，1）内任意无理点，0 和
1-T>0，T ，即
，有 R(x+T)=R(x)
①当 x 为（0，1）内任意有理数时
令，p，q 均为正整数，为既约真分数，q>p
则 x+T=
，则 R(x)=，R(x+T)=R
(
)= .
②当 x 为（0，1）内任意无理数时则有 R(x)=0，R(x+T)=0 Riemann 函数在（0，1）内以任意有理数为周期。 2.3.2 证明任何无理数均不是 Riemann 函数的周期我们通过反证法来证明：假设
1 Riemann 函数性质及其推导 Riemann 函数的表达式
②再证任意两个无理数之间必有一个无理数
图像
x ∈ [0,1]
③再证任意两个无理数之间必有一个有理数设则
由 a，b 的任意性得 a1，b1 为任意无理数，则两个无理数之间也必有一个有理数。
④最后再证明任意两个有理数之间必有一个无理数
使 a<c<b，a<d<b。证明：①先证明任何两个有理数之间必有一个有理数
由③得
故两个有理数之间必有一个无理数证毕。因此，任意两个无理数点之间必有一个有理数，回到 Riemann 函数，在 Riemann 函数每一个无理点的任意领域内，必存在一个有理数。因而要想 Riemann 函数的极限存在，它在有理数点的极限也必须全为 0，即 R(x)=0。下面证明 Riemann 函数在有理数点的极限也全为 0。证明：设 { }，{ } 分别为任意的无理数列和有理

数学分析(一)：一元微积分南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.3.1) Riemann积分的基本

a
b
f (x)g(x) dx
a
b
= [fn(x) − f (x)]g(x) dx
a
b
≤ M |fn(x) − f (x)| dx ≤ M/n,
a
这说明 (2) 式成立.
分段线形逼近
命题 4 (分段线性逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列连续的分段线性函数 fn, 使得 fn(a) = f (a), fn(b) = f (b),
一元微积分与数学分析
— Riemann 积分的基本性质
梅加强
南京大学数学系
积分的基本性质
推论 1
(1) 设 [α, β] ⊂ [a, b], 如果 f 在 [a, b] 中可积, 则 f 在 [α, β] 中也可积. (2) 设 c ∈ (a, b), 如果 f 在 [a, c] 及 [c, b] 中都可积, 则 f 在 [a, b] 中也可积, 且
b
lim
n→∞
a
|fn(x) − f (x)| dx = 0,
(1)
且每一个 fn 均介于 f 的上下确界之间. 此时, 任给 g ∈ R[a, b], 还有
b
b
lim
n→∞
a
fn(x)g(x) dx =
a
f (x)g(x) dx.
(2)
阶梯逼近
命题 3 (阶梯逼近) 设 f ∈ R[a, b], 则存在一列阶梯函数 fn, 使得
当 |g| 有正下界时, 不妨设 |g| ≥ m > 0. 此时, 由 1/g(x) − 1/g(y )
=
|g (x )−g (y )| |g (x )g (y )|
可
得 ωi (1/g) ≤ m−2ωi (g), 由此可知 1/g 可积, 于是 f /g = f · (1/g) 可积.

陕西师范大学数科院

陕西师范大学数科院2003年研究生各专业复试试题《数学分析》与《高等代数》部分为必做题，其它三门中任选一门。

一．数学分析部分(每题10分,共40分)1. 设)(2R M 是实数域R 上的全体２阶矩阵之集，对任一)(][2R M x X ij ∈=，记∑==21,2||j i ij x X . 对)(),(}{221R M A R M A n n ∈⊂∞=, 规定:A A n n =∞→lim 指)(0∞→→-n A A n . 证明: (1) )2,1,(lim lim )(==⇔=∞→∞→j i a a A A ij n ij n n n ,其中][],[)(ij n ij n a A a A ==; (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→n n n n n 111cos sin 1lim 存在且求其值; (3) AB B A B A B A B B A A n n n n n n n n n n =+=+⇒==∞→∞→∞→∞→lim ,)(lim lim ,lim . 2. 设],[],,[b a C b a R 分别表示],[b a 上的全体Riemann 可积函数与全体连续函数之集.（1）说明],[],[b a C b a R 与的关系;（2）说明],[],[b a C b a R 与关于函数的运算是R 上的线性空间；（3）定义⎰=xa dt t f x Tf )())((，说明：（a ）T 是从],[],[b a C b a R 到中的线性映射；（b ）],[b a R f ∈是T 的不动点（即f Tf =）当且仅当0=f .3. Let E be a dense subset of an interval ],[b a (i.e. every point of],[b a is the limit of a sequence in E ). Show that if g f , are continuous functions on ],[b a , then g f = if and only if ))(()(E x x g x f ∈∀=.4. 给出数学分析中你认为最重要最基本的五个定理的名称,并说明它们之间的关系及各自的意义.二．高等代数部分(共40分)1．（10分）已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100210321A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001012123B , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110111C 满足T T BC AXB )(=，求矩阵X .2. (15分)设m ααα,,,21 线性无关，问:113221,,,,,αααααααα+++++m i i是否也线性无关，试给予分析.3．（15分）设A 是一个反对称实矩阵, 证明：（1）A I +可逆；（2）1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.三．实变函数论部分(每题5分,共20分)1. 试述Lebesgue 积分与Riemann 积分的关系.2. 试述Lebesgue 积分的几何意义并举例说明.3. 设R b a f →],[ :为非负连续函数, 证明:曲边梯形)}(0 :),{()(x f y y x f G ≤≤=是2R 中的Lebesgue 可测集,并且⎰=ba dx x f f mG )()(. 4. 设],[b a F 为],[b a 上全体实值函数之集，],[b a C 为],[b a 上全体实值连续函数之集，用基数的观点说明],[b a F 远大于],[b a C .四．常微分方程部分(每题10分,共20分)1. 解方程.22d d 2d d 3222x y x y x xy x =+- 2. 试讨论方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=cy ty by ax t x d d d d 的奇点类型，其中c b a ,,为常数且0≠ac . 五．近世代数部分(共20分)设p 为素数，令R ={ p ba |不整除b }为有理数域的子环，证明：（1）R ba ∈为R 的单位（或可逆元）当且仅当p 不整除a ; （2）若I 为R 的理想，则存在非负整数k 使得)(k p I =；（3）R 有唯一的最大理想.。

riemann积分与lebesgue积分的区别

riemann积分与lebesgue积分的区别Riemann积分与Lebesgue积分是数学中两种不同的积分方法。

虽然它们都可以用于计算函数在一个区间上的面积，但它们的计算方式、适用范围和性质等方面有很大的不同。

本文将从定义、计算方式、适用范围和性质等方面详细介绍Riemann积分和Lebesgue积分的区别。

一、Riemann积分的定义及计算方式Riemann积分是一种用有限和的方式来逼近函数在一个区间上的面积的方法。

它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，将区间$[a,b]$分成$n$个小区间，即$a=x_0<x_1<x_2<cdots<x_n=b$，其中$Delta x_i=x_i-x_{i-1}$为第$i$个小区间的长度。

在每个小区间上取一点$x_i^*in[x_{i-1},x_i]$，则有$$int_a^bf(x)dx=lim_{Deltaxrightarrow0}sum_{i=1}^{n}f(x_i^*)Delta x_i$$其中$Delta x=max{Delta x_i}$为小区间长度的最大值。

Riemann积分的计算方式是将区间$[a,b]$分成许多小区间，然后在每个小区间上取一个代表点，求出每个小区间上的面积，最后将所有小区间上的面积相加即可得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。

二、Lebesgue积分的定义及计算方式Lebesgue积分是一种更加广义的积分方式，它的定义是：设$f(x)$是在$[a,b]$上的一个函数，$E$是$[a,b]$上的一个可测集合，定义$f(x)$在$E$上的积分为$$int_Ef(x)dx=int_a^bf(x)chi_E(x)dx$$其中$chi_E(x)$为$E$的特征函数，即$$chi_E(x)=begin{cases}1,xin E0,xotin Eend{cases}$$Lebesgue积分的计算方式是将函数$f(x)$在$[a,b]$上的值域分成许多小区间，然后将每个小区间上的面积相加，最终得到函数$f(x)$在$[a,b]$上的面积。

Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别

力Ｊ１．镌ｓＤｍ胁珊蹦如２００８年５月Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分的联系和本质区别张丽君（山西师范大学数计学院，山西临汾０４１００４）【摘要】Ｒｉｅｍａｎｎ在１９世纪中期引入了Ｒｉｅｍａｎｎ积分．比较完整深刻的提出定积分概念的实质。

２０世纪初，集合论的观点引起积分学的变革，ｋｂｅ８舭以集合测度为基础，对Ｒｉｅｎｍｎ积分的定义加以改造．建立‰舭积分的概念。

在一般的分析书中，揭示了Ｒｉｏ－１ｌｌＳＩＬｒｌ积分和ＩＪｅｂｅＢｇＩ埒积分的联系，指出了ｋｂｅ孵地积分是Ｒｉｅｍａｎｎ积分的一种推广，井为一般的有界函数的Ｒｉｅｍａｎｎ积分提出了简明的判别准则，并没有指出它们之间的本质区别。

本文将从Ｒｉｅｍａｒｍ积分和Ｌｅｂｅａｇｕｅ积分的定义和联系入手，去探讨它们之同的本质的区别：从Ｒｉｅｍａｎｎ积分推广到１．ｄａｅｓｇｕｅ积分的本质是从不完备空间Ｒ［ａ，ｂ］到完备空间Ｌ［ａ’ｂ】的扩充。

【关键词】Ｒｉｅｍａｒｍ积分；Ｉ，ｅｂｅｓｇｕｅ积分；完备空间；Ｌ［ａ，ｂ】Ｒ［ａ，ｂ】‘１．引言积分真正的发展要在１７世纪以后，经过半个世纪的酝酿，牛顿的＜流数简论＞标志着微积分的诞生，莱布尼茨对积分也作出了巨大的贡献。

进入１８世纪，数学的发展进入了分析的时代，欧拉对微积分的进步作出了巨大的贡献，但是积分的概念一直受面积观念的影响，直到柯西才真正的从分析的角度给出了积分的构造性定义，此外，柯西具有创造性的从“和式极限”这个观点出发，使积分作为一个独立的个体从微分中分离出来，并且积分作为“和式极限”的观点，为在数学分析中引入重积分，曲线和曲面积分创造了条件，为引进其他类型的积分，如Ｒ／ｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｃ积分创造了条件。

２．Ｒｉｅｍａｎｎ积分和Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分简介。

积分的发展和函数概念的发展是密不可分的。

积分理论一直和函数的连续性紧密的联系在一起。

随着傅立叶的不连续函数可以用三角级数和来表示，这样便提出了一个问题：是否可以将只适用于连续函数的积分推广到更为一般的函数上呢？２．１．彪ｅｍａｎｎ积分简介ｏＲ／ｅｍａｔｍｌ８２６年生于汉诺威的步雷斯伦茨，１８６６年卒于意大利的塞那斯加。

Riemann可积函数与连续函数

Riemann可积函数与连续函数江枫【摘要】Riemann可积函数与连续函数之间有着密切联系的,证明了闭区间[a,b]上Riemann可积函数在[a,b]的稠子集上是连续的.同时也举了相关的例子作为它的应用.【期刊名称】《宁德师范学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(022)003【总页数】3页(P288-290)【关键词】Riemann可积函数;连续函数;稠密集【作者】江枫【作者单位】宁德职业技术学院,福建,福安,355000【正文语种】中文【中图分类】O13随着教育改革的不断深化，大学《高等数学》教学不仅向学生传授基础数学知识，同时也为其它相关学科提供有力的计算工具，因此高等数学课在理科、工科、经济管理等学科中有着重要的作用．《高等数学》课程主要向学生讲授微分学与积分学的知识，极限理论与连续函数理论则是它们的桥梁．笔者发现，很多经典的《高等数学》教材[1－3]，甚至更为专业的《数学分析讲义》[4]教材，在定积分内容中，涉及Riemann可积函数与连续函数之间关系的内容甚少，有的只有一句话：闭区间上的连续函数一定是可积，反之不真．但是Riemann可积函数与连续函数在微积分的学习中，占有重要的地位，弄清两者之间的关系，不仅对学生学习《高等数学》课程有很大的帮助，而且对教师讲授《高等数学》课程也有很大的帮助，同时也可使很多《高等数学》教材内容得到很好的丰富与补充，这就是笔者写此文的目的所在．定义1.1设A，B⊂R，称A在B是稠密的，如果A⊃B，或等价的∀x∈B,∃{xn}⊂B，使得xn→x(n→∞)．性质1.2函数f（x）在闭区间[a，b]可积充分必要条件[S(T)－s(T)]=0，其中S(T)，s(T)为分法T的大积与和小和，l(T)=max{Δx1，Δx2，…，Δxn}．定义1.3若函数f（x）在区间I有界．设m=inf{f（x）∶x∈I}，M=sup{f （x）∶x∈I}，则=M－m称为数f（x）在区间I的振幅．性质1.4函数f（x）在闭区间[a，b]可积充分必要条件其中是函数f（x）在[Δxk－1，Δxk]的振幅，k=1，2…，n．连续函数一定是Riemann可积的，但反之不真．可积函数与连续函数不是没有联系的，相反它们有着密切的联系．下面定理说明了：闭区间[a，b]可积函数f（x）在[a，b]的稠子集上是连续的．定理2.1若函数f（x）在闭区间[a，b]可积，则f（x）在[a，b]的稠子集上是连续．证明由性质1.4可知，f（x）在闭区间[a，b]可积，则，∃[a，b]的分划T1，使从而必有属于分划T1的某个小区间[xk－1，xk]≡Ik上f（x）的振幅下面介绍一个可积的充要条件，虽然内容超出了《高等数学》课程，但是理解这个充要条件对教师理解可积函数与连续函数或可积函数与不连续点之间的本质联系有很大的帮助．定理3.1[5]设f（x）在[a，b]上是有界的函数，则设f（x）在[a，b]上Riemann可积的充要条件是它在[a，b]中不连续的点所构成的集合D的Lebesgue测度为0，即mD=0．上面的定理3.1是很有用的一个定理，它体现了可积函数与不连续点之间的一个关系，同时也给我们判别一个函数是否可积提供了一个有力的工具．回顾数学分析讲义中讲到三类函数可积：（1）在闭区间[a，b]上连续函数f（x）;（2）闭区间[a，b]上有界函数f（x），且有有限个点断点;（3）f（x）闭区间[a，b]上单调函数f （x），则这三类函数在闭区间[a，b]上可积．如果我们应用定理3.1，则这三个问题变得很简单，下面以（3）为例子．例3.2设f（x）在闭区间[a，b]上单调，则函数f（x）在闭区间[a，b]上可积．证明不妨设f（x）在闭区间[a，b]上单调增，记它不连续点的全体为D，则有：（1）∀x∈[a，b]，f（x+0）与f（x－0）都存在;（2）∀x∈D⇔f（x+0）＞f（x －0）;（3）若x1，x2∈D，x1，x2，则f（x1－0）＜f（x1+0）≤f（x2－0）＜f （x2+0）.因此，对于∀x∈D，对应于直线上的开区间（f（x－0），f（x+0）），且由（3）知D中对应的这样区间是互不相交的，因此它至多是可数的，从而mD=0，故由定理3.1，函数f（x）在闭区间[a，b]上可积．【相关文献】[1]樊映川.高等数学[M].北京：高等教育出版社，1964．[2]同济大学应用数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2004．[3]蔡光兴，李德宜.微积分[M].北京：科学出版社，2004．[4]刘玉琏，傳沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，2003．[5]江泽坚，吴智泉.实变函数论[M].北京：高等教育出版社，2005．。

论连续函数的Riemann可积性

作者：黄重器
作者机构：龙岩师专数学科
出版物刊名：龙岩学院学报
页码： 61-63页
主题词： Riemann;可积性;闭区间;开集;闭包;集列;Lebesgue;欧氏空间;零集;边界点
摘要：<正> 本文提到的积分都是Riemann(以下简作 R)意义的,测度都是Lebesgue意义的;记号m(Y)表示点集Y的测度,B(Y)表示Y的边界;E~v表示v-维欧氐空间,v=1,2,…,O(x,σ)表示E~v里以x为心σ为半径的开球。

设I是E~1里的有界闭区间,那么I上的连续函数必(在I上)R-可积。

这是大家熟知的事实。

注意有界闭区间就是E~1上的连通开集的闭包,当v≥2时,这个概念就是有界闭区域。

可是分析教科书上关于重积分(就是v≥2时E~v上的R-积分)的定义,却只考虑可度量的区域(参考〔1〕),然后断言有界闭区域上的连续函数的重积分都存在(有限),那么,一般的有界闭区域上的连续函数是否都R-可积?。

Riemann可积函数与连续函数

复合函数的黎曼可积

Riesz-Schauder定理在一类积分方程的应用

可导可微可积连续之间的关系-概述说明以及解释

黎曼 函数

华东师范大学数学分析讲义单变量函数的 Riemann 积分理论

函数的原函数存在与黎曼可积的关系

可微可导可积与连续之间的关系

实变函数论的产生、发展、意义及讨论

第二讲 函数的连续性 中值定理 积分

riemann可积的必要条件

Riemann函数性质及实数完备性的推导

数学分析(一)：一元微积分 南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.3.1) Riemann积分的基本

陕西师范大学数科院

riemann积分与lebesgue积分的区别

Riemann积分和Lebesgue积分的联系和本质区别

Riemann可积函数与连续函数

论连续函数的Riemann可积性

黎曼函数

第二讲函数的连续性中值定理积分

数学分析(一)：一元微积分南京大学 6 第六章积分的推广和应用 (6.3.1) Riemann积分的基本