北师大版初三数学下册二次函数中的最短路径问题

合集下载

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》说课稿

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册2.4《二次函数的应用》这一节主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，通过学习，学生能够理解二次函数在实际生活中的意义，掌握二次函数解决实际问题的方法。

教材通过实例引导学生利用二次函数解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题抽象为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。

三. 说教学目标1.让学生理解二次函数在实际生活中的应用，体会数学与生活的联系。

2.培养学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题的能力。

3.提高学生的数学思维能力，培养学生的数学素养。

四. 说教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数解决实际问题的方法，培养学生的数学应用能力。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。

五.说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学问题，运用数学知识解决实际问题。

2.利用多媒体教学手段，展示二次函数在实际生活中的应用实例，增强学生的直观感受。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中思考，培养学生的团队合作能力。

六. 说教学过程1.导入：通过展示一些实际问题，如抛物线形的物体运动、最大利润问题等，引导学生发现这些问题都可以用二次函数来解决，激发学生的学习兴趣。

2.新课导入：介绍二次函数在实际生活中的应用，引导学生理解二次函数的实际意义。

3.实例讲解：通过具体实例，讲解如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数解决实际问题。

4.课堂练习：让学生尝试解决一些实际问题，巩固所学知识。

5.总结提升：引导学生总结二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学应用能力。

专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题(解析版)

专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题·最短路径思路点拨：1. 两点之间，线段最短；（1）单动点模型作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P 是x 轴上一动点，求P A +PB 的最小值的作图.OA 、OB 上动点，求作△PMN 周长最小值.作图方法：作已知点P 关于动点所在直线OA 、OB 的对称点P ’、P ’’，连接P ’P ’’与动点所在直线的交点M 、N 即为所求.2. 垂线段最短；3. 若A 、B 是平面直角坐标系内两定点，P 是某直线上一动点，当P 、A 、B 在一条直线上时，PA PB 最大，最大值为线段AB 的长（如下图所示）；O利用三角形面积计算方法（铅垂高水平宽法或底乘高法或割补法等）列出方程求解.·平行四边形存在性问题题型一、单动点周长最短及面积存在性问题（2019·四川凉山州中考）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0）、B （3，0）、C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△P AC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△P AC 的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得S △P AM ＝S △P AC ？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】见解析.【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），∴3930a b cca b c-+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得：123abc=-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3.（2）如图，连接PB、BC∵点P在抛物线对称轴直线x＝1上，点A、B关于对称轴对称，P A＝PB，∴C△P AC＝AC+PC+P A＝AC+PC+PB∴当C、P、B在同一直线上时，PC+PB＝CB最小，由勾股定理得：ACBC＝，∴C△P AC设直线BC解析式为y＝kx+3把点B代入得：3k+3＝0，解得：k＝﹣1∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，∴y P＝﹣1+3＝2∴点P（1，2）使△P AC（3）存在满足条件的点M，使得S△P AM＝S△P AC．∵S△P AM＝S△P AC∴点C和点M到直线P A距离相等∴CM∥P A，∵A（﹣1，0），P（1，2），可得直线AP的解析式为：y＝x+1，∴可得过点M 与直线AP 平行的直线解析式为：y ＝x +3或y =x －1，联立2323y x y x x =+⎧⎨=-++⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩（即点C ），14x y =⎧⎨=⎩∴点M 坐标为（1，4）.或联立2123y x y x x =-⎧⎨=-++⎩，解得：x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（在x 轴下方，舍去），x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 综上所述，点M 的坐标为：（1，4）. 2. （2019·四川达州中考）如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1（m 为常数）交y 轴于点A ，与x 轴的一个交点在2和3之间，顶点为B ．①抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点；②若点M （﹣2，y 1）、点N （12，y 2）、点P （2，y 3）在该函数图象上，则y 1＜y 2＜y 3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式为y ＝﹣（x +1）2+m ； ④点A 关于直线x ＝1的对称点为C ，点D 、E 分别在x 轴和y 轴上，当m ＝1时，四边形BCDE 周长+其中正确判断的序号是．【答案】①③④．【解析】解：①把y ＝m +2代入y ＝﹣x 2+2x +m +1中，得x 2﹣2x +1＝0，∵△＝4﹣4＝0，∴此方程两个相等的实数根，则抛物线y ＝﹣x 2+2x +m +1与直线y ＝m +2有且只有一个交点，所以①正确；②∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴点P（2，y3）关于x＝1的对称点为P′（0，y3），∵a＝﹣1＜0，∴当x＜1时，y随x增大而减小，∵﹣2＜0＜12，点M（﹣2，y1）、点N（12，y2）、点P′（0，y3）在该函数图象上，∴y2＜y3＜y1，所以②错误；③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：y＝﹣（x+2）2+2（x+2）x+m+1﹣2，即y＝﹣（x+1）2+m，所以③正确；④当m＝1时，抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+2，∴A（0，2），C（2，2），B（1，3），作点B关于y轴的对称点B′（﹣1，3），作C点关于x轴的对称点C′（2，﹣2），连接B′C′，与x轴、y轴分别交于D、E点，如图，则BE+ED+CD+BC＝B′E+ED+C′D+BC＝B′C′+BC，根据两点之间线段最短，知B′C′最短，而BC的长度一定，∴此时，四边形BCDE周长＝B′C′+BC=所以④正确；故答案为：①③④．3. （2019·山东潍坊中考）如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．【答案】125. 【解析】解：联立2145y x y x x =+⎧⎨=-+⎩，解得，12x y =⎧⎨=⎩或45x y =⎧⎨=⎩， ∴点A 的坐标为（1，2），点B 的坐标为（4，5），∴AB ＝，作点A 关于y 轴的对称点A ′，连接A ′B 与y 轴的交于P ，则此时△P AB 的周长最小，点A ′的坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（4，5），设直线A ′B 的函数解析式为y ＝kx +b ，245k b k b -+=⎧⎨+=⎩，得35135k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线A ′B 的函数解析式为y ＝35x +135，当x ＝0时，y ＝135，即点P 的坐标为（0，135），将x ＝0代入直线y ＝x +1中，得y ＝1，∵直线y ＝x +1与y 轴的夹角是45°，∴点P 到直线AB 的距离是：（135﹣1）×sin 45°，∴△P AB 的面积是：112255⨯，故答案为：125．题型二、利用特殊角将线段转化求解最短路径4. （2019·天津中考）已知抛物线2y x bx c =-+（b 、c 为常数，b >0）经过点A (－1,0)，点M (m ,0)是x 轴正半轴上的动点.（1）当b =2时，求抛物线的顶点坐标；（2）点D （b ，y D ）在抛物线上，当AM =AD ，m =5时，求b 的值；（3）点Q （1,2Q b y +2QM +的最小值为4时，求b 的值. 【答案】见解析.【解析】解：(1)∵2y x bx c =-+经过点A (－1,0)，∴1+b +c =0，即21y x bx b =---∵b =2，∴()2223=14y x x x =---- 即抛物线顶点坐标为（1，－4）.（2）∵点D （b ，y D ）在抛物线21y x bx b =---上，∴y D =－b －1，由b >0，知－b －1<0，∴点D 在第四象限，且在对称轴x =2b 的右侧，过D 作DE ⊥x 轴于E ，E (b ,0)，∴AE =b +1，BE =b +1，即AE =BE ，∴∠ADE =∠DAE =45°，∴AD AE ，由AM =AD ，m =5，得：5－（－1）（b +1），解得：b －1.（3）∵点Q （1,2Q b y +）在抛物线2y x bx c =-+上， ∴324Q b y =--，即13,224b Q b ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭， ∵b >0，∴Q 点在第四象限，222QM AM QM ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以只要构造出AM QM ⎫+⎪⎝⎭2QM +的最小值取N （1,0），连接AN ，过M 作MG ⊥AN 于G ，连接QM ，如图所示，△AGM 为等腰直角三角形，GM AM ，即当G 、M 、Q 三点共线时，GM +MQ 2QM +取最小值，此时△MQH 为等腰直角三角形，∴QM 324b ⎫+⎪⎭，GM AM )1m +)322=2124b QM AM QM m ⎫⎤⎫+=++++=⎪⎥⎪⎪⎭⎝⎭⎣⎦ ① ∵QH =MH ，∴324b +=12b m +-，解得：m =124b - ② 联立①②得：m =74，b =4.2QM +时，b =4. 题型三、最短路径与平行四边形存在性问题5. （2019·湖北荆州中考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形OABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（6，0），(4，3)，经过B ，C 两点的抛物线与x 轴的一个交点D 的坐标为(1，0).(1)求该抛物线的解析式；(2)若∠AOC 的平分线交BC 于点E ，交抛物线的对称轴于点F ，点P 是x 轴上一动点，当PE ＋PF 的值最小时，求点P 的坐标；(3)在(2)的条件下，过点A 作OE 的垂线交BC 于点H ，点M ，N 分别为抛物线及其对称轴上的动点，是否存在这样的点M ，N ，使得以点M ，N ，H ，E 为顶点的四边形为平行边形？若存在，直接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】见解析.【解析】解：（1）∵平行四边形OABC 中，A （6，0），C （4，3）∴BC ＝OA ＝6，BC ∥x 轴∴x B＝x C+6＝10，y B＝y C＝3，即B（10，3）设抛物线y＝ax2+bx+c经过点B、C、D（1，0）∴1001031643a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：19149139abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩∴抛物线解析式为y＝19-x2+149x139-.（2）如图，作点E关于x轴的对称点E'，连接E'F交x轴于点P，∵C（4，3）由勾股定理得：OC＝5，∵BC∥OA∴∠OEC＝∠AOE∵OE平分∠AOC∴∠AOE＝∠COE∴∠OEC＝∠COE∴CE＝OC＝5∴x E＝x C+5＝9，即E（9，3）∴直线OE解析式为y＝1 3 x∵直线OE交抛物线对称轴于点F，对称轴为直线：x＝7，∴F（7，73）∵点E与点E'关于x轴对称，点P在x轴上∴E'（9，﹣3），PE＝PE'∴当点F、P、E'在同一直线上时，PE+PF＝PE'+PF＝FE'最小设直线E'F解析式为y＝mx+n，∴93773m nm n+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：8321mn⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴直线E'F：y＝83-x+21，当83-x+21＝0时，解得：x＝638，∴当PE+PF的值最小时，点P坐标为（638，0）．（3）存在满足条件的点M，N，使得以点M，N，H，E为顶点的四边形为平行四边形．设AH与OE相交于点G（t，13t），如图所示，∵AH⊥OE于点G，A（6，0）∴∠AGO＝90°∴AG2+OG2＝OA2∴（6﹣t）2+（13t）2+t2+（13t）2＝62∴解得：t1＝0（舍去），t2＝275，∴G（275，95），设直线AG解析式为y＝dx+e可得：直线AG：y＝﹣3x+18，当y＝3时，﹣3x+18＝3，解得：x＝5∴H（5，3），E（9，3）设M(x，y)，N(7,s)，①当四边形HEMN为平行四边形时，有：5+x =9+7,解得：x =11，y =209； ②当四边形HENM 为平行四边形时，有：5+7=9+x ,解得：x =3，y =209； ③当四边形HNEM 为平行四边形时，有：5+9=x +7，解得：x =7，y =4，综上所述，点M 的坐标为：（11，209），（3，209），（7，4）. 题型四、面积最值问题及周长最值问题6. （2019·山东东营中考）已知抛物线y =ax 2+bx －4经过点A (2,0)，B (－4,0)与y 轴交于点C ，（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，线段AC 的垂直平分线交x 轴于点E ，垂直为D ，M 为抛物线的顶点，在直线DE 上是否存在一点G ，△CMG 的周长最小？若存在，求出点G 的坐标，若不存在，请说明理由.图1 图2【答案】见解析.【解析】解：（1）将A 、B 两点坐标代入y =ax 2+bx －4得：424016440a b a b +-=⎧⎨--=⎩，解得：121a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：2142y x x =+-. （2）连接BC ，过点P 作PD ⊥x 轴交BC 于点D ，如图，由题意知，AB =6，OC =4，设直线BC 的解析式为y =kx +m ，得：404k m m -+=⎧⎨=-⎩，解得：14k m =-⎧⎨=-⎩，即直线BC 的解析式为：y =－x －4，设P (n ，2142n n +-)，则D (n ，－n －4)， S 四边形ABPC =S △ABC +S △BCP =12×AB ×OC +12×PD ×OB =12×6×4+12×[－n －4－（2142n n +-）]×4 =()2216n -++，∵－4<n <0，-1<0，∴当n =－2时，S 四边形ABPC 取最大值，最大值为：16，此时P 点坐标为（－2，－4）.（3）存在，如图，连接AM ，交DE 于点G ，此时△CMG 的周长最小，∵DE 是线段AC 的垂直平分线，∴C与点A关于直线DE对称，∴GC=GA，即GC+GM=GA+GM，根据两点之间线段最短的原则，当A、G、M共线时最短，由题意知，A(2，0)，C(0，－4)，∴D(1，－2)，AE=CE，设E（e，0），则AE=2－e，CE2=16+e2∴(2－e)2=16+e2解得：e=－3，即E（－3,0）可得：直线DE的解析式为：y=12-x－32，由A(2,0)，M（－1，92-）得直线AM的解析式为：y=32x－3，联立：y=12-x－32，y=32x－3得：x=34，y=158-，即G点坐标为：（34，158-）.。

二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过lBAlAllAlOBOBBOB O点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．【思路点拨】ll（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y ＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴抛物线的顶点为：D（2，－1），当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，【方法一】∵C（0，3）、D（2，－1），设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝32，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（32，0）．【方法二】过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴PODE＝COCE，∴PO2＝34，解得：PO＝32，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（32，0）．2．（11菏泽）如图，抛物线y＝12x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．【思路点拨】（1）把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标；（2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B ，C 的坐标，再得出AB ，AC ，BC 的长度，易得AC 2＋BC 2＝AB 2，得出△ABC 是直角三角形；（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，连接C 'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC ＋MD 的值最小．求出直线C 'D 的解析式，即可得出点M 的坐标，进而求出m 的值．【解题过程】解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×（－1 ）2＋b ×（－1）－2＝0，解得b ＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为（32，－258）．（2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．当y ＝0时，12x 2－32x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小．【方法一】设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎨⎧n ＝232k ＋n ＝－258，解得：⎩⎨⎧n ＝2k ＝－4112．∴y ＝－4112x ＋2． ∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝2441．【方法二】设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ． ∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝2258，∴m ＝2441．3．（11福州）已知，如图，二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线l：y＝33x＋3对称．（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BK∥AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN＋NM＋MK和的最小值．【思路点拨】（1）二次函数y＝ax2＋2ax﹣3a（a≠0）中只有一个未知参数a，令y＝0，解出方程ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），即可得到点A，B的坐标．把点A的坐标代入直线l的解析式即可判断A是否在直线上；（2）根据点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，得出AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，得AC＝12AB＝2，利用勾股定理求出HC的长，即可得出点H的坐标，代入二次函数解析式，求出a，即可得到二次函数解析式；（3）直线BK∥AH易得直线BK的解析式，联立直线l的解析式方程组，即可求出K的坐标．因为点H，B 关于直线AK对称，所以HN＝BN，所以根据“两点之间，线段最短”得出HN＋MN的最小值是MB．作点K关于直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，所以QM＝KM，易得BM＋MK的最小值为BQ，即BQ的长是HN＋NM＋MK的最小值，求出QB的长即可．【解题过程】解：（1）依题意，得ax2＋2ax﹣3a＝0（a≠0），解得x1＝﹣3，x2＝1，∵B点在A点右侧，∴A点坐标为（﹣3，0），B点坐标为（1，0），∵直线l：y＝33x＋3，当x＝﹣3时，y＝33×(－3)＋3＝0，∴点A在直线l上．（2）∵点H、B关于过A点的直线l：y＝33x＋3对称，∴AH＝AB＝4，过顶点H作HC⊥AB交AB于C点，则AC＝12AB＝2，HC＝23，∴顶点H（－1，23），代入二次函数解析式，解得a＝－32，∴二次函数解析式为y＝－32x2－3x＋332，（3）直线AH 的解析式为y ＝3x ＋33，直线BK 的解析式为y ＝3x ＋33，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3y ＝3x －3，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23，即K （3，23），则BK ＝4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，∴HN ＋MN 的最小值是MB ，KD ＝KE ＝23，过点K 作直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，则QM ＝MK ，QE ＝EK ＝23，AE ⊥QK ， ∴BM ＋MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值， ∵BK ∥AH ，∴∠BKQ ＝∠HEQ ＝90°，由勾股定理得QB ＝8， ∴HN ＋NM ＋MK 的最小值为8．4．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已【思路点拨】（1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出；（3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN •MN －12OM •OE＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92＝－（x －94）2＋15316∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）．（3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得： ⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图22．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）．∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ． ∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3．由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12(x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)2-1＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．6．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ．（ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）因为抛物线的对称轴是y 轴，所以b ＝0，再代入点（0，﹣1），（2，0）即可求出抛物线的解析式；（2）由（1）设出P 的坐标，分别表示出PE ，PQ 的长度，即可得出结论；（3）（i ）因为BN ∥AM ，所以∠ABN ＋∠BAM ＝180°．由（2）的结论可得BO ＝BN ，AO ＝AM ，可得出∠BON ＝∠BNO ，∠AOM ＝∠AMO ，易得∠BON ＋∠AOM ＝90°再得到∠MON ＝90°即可；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1；（2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt△POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ；（3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°． ∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°， ∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH＝∠GHF′＝∠F′EG＝90°，FO＝FG，F′H＝F′O，∴四边形GHF′E是矩形，FO＋FD＝FG＋FD＝DG，F′O＋F′D＝F′H＋F′D，∴EG＝F′H，∴DE＜DF′，∴DE＋GE＜HF′＋DF′，∴DG＜F′O＋DF′，∴FO＋FD＜F′O＋DF′，∴F是所求作的点．∵D（1，1），∴F的横坐标为1，∴F（1，54）．【举一反三】1．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．l2．（13成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣12x2＋bx＋c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究PQNP＋BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A（0，1），B（﹣4，4），将点B绕点A顺时针方向90°得到点C；顶点在坐标原点的拋物线经过点B．（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；（2）抛物线上一动点P，设点P到x轴的距离为d1，点P到点A的距离为d2，试说明d2＝d1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P位于何处时，△PAC的周长有最小值，并求出△PAC的周长的最小值．【参考答案】1．解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－44a ＋2b ＋c ＝0c ＝0，解得a ＝﹣12，b ＝1，c ＝0，∴解析式为y ＝﹣12x 2＋x ．（2）由y ＝﹣12x 2＋x ＝﹣12（x ﹣1）2＋12，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM ＝BM ， ∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ，连接AB 交直线x ＝1于M 点，则此时OM ＋AM 最小，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt△ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42， ∴OM ＋AM 最小值为42．2．解：（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，－1），C 的坐标为（4，3），∴点B 的坐标为（4，－1）．∵抛物线过A （0，－1），B （4，－1）两点，∴ ⎩⎨⎧c ＝－1－12×16＋4b ＋c ＝－1，解得：b ＝2，c ＝－1，∴抛物线的函数表达式为：y ＝－12x 2＋2x －1．（2）（i ）∵A （0，－1），C （4，3），∴直线AC 的解析式为：y ＝x －1．设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（1）可得P 0的坐标为（2，1），且P 0在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为（m ，m －1），则平移后抛物线的函数表达式为：y ＝－12（x －m ）2＋m －1．解方程组：⎩⎨⎧y ＝x －1y ＝－12(x －m )2＋(m －1)，解得⎩⎨⎧x 1＝m y 1＝m －1， ⎩⎨⎧x 2＝m －2y 2＝m －3， ∴P （m ，m －1），Q （m －2，m －3）．过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QF ∥y 轴，则PE ＝m －（m －2）＝2，QF ＝（m －1）－（m －3）＝2．∴PQ ＝22＝AP 0．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）．由A （0，－1），B （4，－1），P 0（2，1）可知，△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0＝22．如答图1，过点B 作直线l 1∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：y ＝x ＋b 1，∵B （4，－1），∴－1＝4＋b 1，解得b ＝＝－5，∴直线l 1的解析式为：y ＝x －5．解方程组 ⎩⎨⎧y ＝x －5y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝－1，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－7， ∴M 1（4，－1），M 2（－2，－7）．②当PQ 为斜边时：MP ＝MQ ＝2，可求得点M 到PQ 的距离为 2 ．如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，－1）．由A （0，－1），F （2，－1），P 0（2，1）可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为 2 ．过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 2的解析式为：y ＝x ＋b 2，∵F （2，－1），∴－1＝2＋b 2，解得b 2＝－3，∴直线l 2的解析式为：y ＝x －3．解方程组⎩⎨⎧y ＝x －3y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝1＋5y 1＝－2＋5，⎩⎨⎧x 1＝1－5y 1＝－2－5， ∴M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（4，－1），M 2（－2，－7），M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．（ii ）PQNP ＋BQ存在最大值．理由如下：由i ）知PQ ＝22为定值，则当NP ＋BQ 取最小值时，PQNP ＋BQ有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为（0，3），BQ ＝B ′Q ．连接QF ，FN ，QB ′，易得FN ∥PQ ，且FN ＝PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形．∴NP ＝FQ ． ∴NP ＋BQ ＝FQ ＋B ′Q ≥FB ′＝22＋42＝25．∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP ＋BQ 最小，最小值为25．∴PQ NP ＋BQ 的最大值为2225＝105．F3．解：（1）设抛物线的解析式：y＝ax2，∵拋物线经过点B（﹣4，4），∴4＝a•42，解得a＝14，所以抛物线的解析式为：y＝14x2；过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CD⊥y轴于D，如图，∵点B绕点A顺时针方向90°得到点C，∴Rt△BAE≌Rt△ACD，∴AD＝BE＝4，CD＝AE＝OE﹣OA＝4﹣1＝3，∴OD＝AD＋OA＝5，∴C点坐标为（3，5）；（2）设P点坐标为（a，b），过P作PF⊥y轴于F，PH⊥x轴于H，如图，∵点P在抛物线y＝14x2上，∴b＝14a2，∴d1＝14a2，∵AF＝OF﹣OA＝PH﹣OA＝d1﹣1＝14a2﹣1，PF＝a，在Rt△PAF中，PA＝d2＝AF2＋PF2＝(14a2－1)2＋a2＝14a2＋1，∴d2＝d1＋1；（3）由（1）得AC＝5，∴△PAC的周长＝PC＋PA＋5＝PC＋PH＋6，要使PC＋PH最小，则C、P、H三点共线，∴此时P点的横坐标为3，把x＝3代入y＝14x2，得到y＝94，即P点坐标为（3，94），此时PC＋PH＝5，∴△PAC的周长的最小值＝5＋6＝11．。

第2章二次函数与几何综合题型解读8 二次函数与定值、最值问题-北师大版九年级数学下册

<<二次函数与几何综合>>题型解读8 二次函数与定值、最值问题【解题思路】①利用二次函数解决:求出解析式,用二次函数配方求最值的方法来解题;②利用几何性质解决: 垂线段最短、两点间线段最短（转化为同一线段、将军饮马问题）【例题详解】例1.如图1，抛物线y =ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （-3，0）和B （1，0），与y 轴交于点C ，顶点为D （1）求解抛物线解析式（y = -x 2-2x +3）（2）连接AD ，CD ，BC ，将△OBC 沿着x 轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到,点O 、B 、C 的对应点分别为点，，，设平移时间为t 秒，当点与点A 重合时停止移动。

记△与四边形AOCD 的重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与时间t 的函数解析式; （3）如图2，过抛物线上任意一点M （m ，n ）向直线l :作垂线，垂足为E ，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F ，使得ME -MF =？若存在，请求F 点的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（2）思路分析：先分段：当B 点到达O 点之前，重叠图形为梯形，此时0<t <1;当点C 平移到线段AD 上之前，重叠图形就是△OBC ；C 点的纵坐标为3，D(-1,4)直线AD 解析式为y=-2x+6,把y=3代入可得C 移到AD 上时的坐标为（，3），故；最后一段即为图1图2xyMDCBAO B'O'C'xyKG HMD CBAOB'O'C'xyDCBAO由抛物线解析式得顶点D 坐标为(-1，4)，则直线AD 的解析式为y =2x +6,在AD①如图所示，当0<t <1时，，②当AOCD内，③当时，如图所示，过G 点作GH ⊥,设HG =x，而，∴（3）假设存在，设F 点坐标为(-1，t )，∵点M （m ，n ）在抛物线上∴∴∵由题可知，点F （附：特殊值中的特殊位置法，点M 是任意一点均能使结论成立，则M 在顶点时也能满足要求，则M(-1,4)，E(-1,),ME=,则MF=,则F 点的坐标为（-1，），当然此种解法只限于填选题，解答题需要提供验证）92例2.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，）．（1）求抛物线的解析式；y=﹣（x﹣5）（x+1）=﹣x2+2x+；（2）在抛物线上是否存在点P，使得△ACP是以点A为直角顶点的直角三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点G为抛物线上的一动点，过点G作GE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点G的坐标．【分析】（1）运用待定系数法就可求出抛物线的解析式；（2）以A为直角顶点，根据点P的纵、横坐标之间的关系建立等量关系，就可求出点P的坐标；（3）连接OD，易得四边形OFDE是矩形，则OD=EF，根据垂线段最短可得当OD⊥AC时，OD（即EF）最短，然后只需求出点D的纵坐标，就可得到点P的纵坐标，就可求出点P的坐标．解：（2）存在．当点A为直角顶点时，过A作AP⊥AC交抛物线于点P，交y轴于点H，如图．∵AC⊥AP，OC⊥OA，∴△OAC∽△OHA，∴OA:OH=OC:OA，∴OA2=OC•OH，∵OA=5，OC=，∴OH=10，∴H（0，﹣10），A（5，0），∴直线AP的解析式为y=2x﹣10，联立，∴P的坐标是（﹣5，﹣20）．（3）∵DF⊥x轴，DE⊥y轴，∴四边形OFDE为矩形，∴EF=OD，∴EF长度的最小值为OD长度的最小值，当OD⊥AC时，OD长度最小，此时S△AOC=AC•OD=OA•OC，∵A（5，0），C（0，），∴AC=，∴OD=，∵DE⊥y轴，OD⊥AC，∴△ODE∽△OCD，∴=，∴OD2=OE•CO，∵CO=，OD=，∴OE=2，∴点G的纵坐标为2，∴y=﹣x2+2x+=2，解得x1=2﹣，x2=2+，∴点G的坐标为（2﹣，2）或（2+，2）．例3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE 上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．解析: (1)这条抛物线的解析式为：y=-x2+x+2．（2）如答图1，四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．求出△PBC面积的表达式，然后利用二次函数性质求出最值；∴直线BC的解析式为：y=-x+2．如答图1，连接BC．四边形ABPC由△ABC与△PBC组成，△ABC面积固定，则只需要使得△PBC面积最大即可．设P（x，-x2+x+2），过点P作PF∥y轴，交BC于点F，积最大．此时P（1，2）．∴当点P坐标为（1，2）时，四边形ABPC的面积最大．（3）如答图2，DE为线段AC的垂直平分线，则点A、C关于直线DE对称．连接AM，与DE交于点G，此时△CMG的周长=CM+CG+MG=CM+AM最小，故点G为所求．分别求出直线DE、AM的解析式，联立后求出点G的坐标．存在．∵∠CAO+∠ACO=90°，∠CAO+∠AED=90°，∴∠ACO=∠AED，又∵∠CAO=∠CAO，∴△AOC∽交于点G ，此时△CMG 的周长=CM+CG+MG=CM+AM 最小，故点G 为所求．联立①②式，可求得交点G 的，例4.如图，抛物线的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点D 为抛物线的顶点. （1）求A 、B 、C 的坐标；（2）点M 为线段AB 上一点（点M 不与点A 、B 重合），过点M 作x 轴的垂线，与直线AC 交于点E ，与抛物线交于点P ，过点P 作PQ ∥AB 交抛物线于点Q ，过点Q 作QN ⊥x 轴于点N.若点P 在点Q 左边，当矩形PQMN 的周长最大时，求△AEM 的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ 的周长最大时，连接DQ.过抛物线上一点F 作y 轴的平行线，与直线AC 交于点G （点G 在点F 的上方）.若FC=DQ ，求点F 的坐标. 解析：（1）A （﹣3，0），B （1，0）．C （0，3）（2）由抛物线y=﹣x 2﹣2x+3可知，对称轴为x=﹣1，设M 点的横坐标为m ，则PM=﹣m 2﹣2m+3，MN=（﹣m ﹣1）×2=﹣2m ﹣2，∴矩形PMNQ 的周长=2（PM+MN ）=（﹣m 2﹣2m+3﹣2m ﹣2）×2=﹣2m 2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10， ∴当m=﹣2时矩形的周长最大．∵A （﹣3，0），C （0，3），设直线AC 解析式为；y=kx+b ，解得k=1，b=3， ∴解析式y=x+3，当x=﹣2时，则E （﹣2，1），∴EM=1，AM=1，∴S=•AM •EM=．（3）∵M 点的横坐标为﹣2，抛物线的对称轴为x=﹣1，∴N 应与原点重合，Q 点与C 点重合，∴DQ=DC ，把x=﹣1代入y=﹣x 2﹣2x+3，解得y=4，∴D （﹣1，4）∴DQ=DC=，∵FC=2DQ ，∴FG=4，设F （n ，﹣n 2﹣2n+3），则G （n ，n+3），∴|﹣n 2﹣2n+3|﹣|n+3|=4，即n 2+2n ﹣3+n+3=4，解得：n=﹣4或n=1， ∴F （﹣4，﹣5）或（1，0）．例5．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 与一直线相交于A （1，0）、C （﹣2，3）两点，与y 轴交于点N ，其顶点为D．322+--=x x y 22（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1）（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S＝﹣△APC x2﹣x+3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．解：（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，如图1所示．设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），∴PE＝﹣x2﹣2x+3，EF＝﹣x+1，EF＝PE﹣EF＝﹣x2﹣2x+3﹣（﹣x+1）＝﹣x2﹣x+2．∵C（﹣2，3），＝AQ•PF＝﹣x2﹣x+3＝﹣（x+）2+．∴Q（﹣2，0），∴AQ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S△APC∵﹣＜0，∴当x＝﹣时，△APC的面积取最大值，最大值为，此时点P的坐标为（﹣，）．（3）当x＝0时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴点N的坐标为（0，3）．∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1．∵点C的坐标为（﹣2，3），∴点C，N关于抛物线的对称轴对称．令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，如图2所示．∵点C，N关于抛物线的对称轴对称，∴MN＝CM，∴AM+MN＝AM+MC＝AC，∴此时△ANM周长取最小值．当x＝﹣1时，y＝﹣x+1＝2，∴此时M（﹣1，2）．∵A（1，0），C（﹣2，3），N（0，3），∴AC＝＝3，AN＝＝，∴C △ANM ＝AM +MN +AN ＝AC +AN ＝3+．∴在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为3+．例6.如图，抛物线经过点A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）三点. （1）求抛物线的解析式及顶点M 的坐标；（2）连接AC 、BC ，N 为抛物线上的点且在第一象限，当时，求N 点的坐标；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线//x 轴，动点P 直线上，动点Q 在x 轴上，连接PM 、PQ 、NQ ，当为何值时，PM+PQ+QN 的和最小，并求出它的最小值解析：（1）设抛物线的解析式为,把C （0，-3）代入解析式中得,∴抛物线的解析式为,∴顶点M （1，-4）（2）设N （），过N 点作ND//y 轴交直线BC 于点D ，如图3，∵B （3，0），C （0，-3），∴∴∴∵A （-1，0），B （3，0），C （0，-3），∴AB=4，OC=3， ∴,∴,解得：∴N（3）∵P ∴PQ=3，要求PM+PQ+QN 的和最小，即求PM+QN 最小。

北师大版九下数学第2章二次函数 2.4.1 用二次函数解最值问题【习题课件】

课堂导练
9．某商店销售皮鞋，已知所获利润 y(元)与销售单价 x(元)之间的关系式为 y＝－x2＋24x＋2 956，则获利最多为( B ) A．3 144 元 B．3 100 元 C．144 元 D．2 956 元
课后训练
10．(中考·天津)已知二次函数 y＝x2＋bx＋c(b，c 为常数)． (1)当 b＝2，c＝－3 时，求二次函数的最小值；
课后训练
(3)不考虑其他因素，当每个商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大？最大利润是多少？
解：∵w＝－2x2＋200x－3 200＝－2(x－50)2＋1 800，20≤x≤60， ∴当 x＝50 时，w 取得最大值，此时 w＝1 800. 即当每个商品的售价为 50 元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是 1 800 元．
【点拨】小狗活动的区域面积为以 B 为圆心、10 m 长为半径的34 圆，以 C 为圆心、6 m 长为半径的14圆和以 A 为圆心、4 m 长为半径的14圆的面积和，据此列式求解可得；
【答案】88π m2
课堂导练
(2)如图②，现考虑在(1)中矩形 ABCD 小屋的右侧以 CD 为边拓展一等边三角形 CDE 区域，使之变成落地为五边形 ABCED 的小屋，其他条件不变，则在 BC 的变化过程中，当 S 取得最小值时，边 BC 的长为__________．
课后训练易得当点 G，H(设点 G 在点 H 下方)分别落在线段 AB，DC 上，且直线 GH 过点 P 时，直线 GH 平分矩形 ABCD 的面积．连接 OD，∵AB∥CD，∴线段 OD 平移后可得到线段 GH. ∴线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P. 连接 BD，PQ，在△OBD 中，PQ 是中位线， ∴PQ＝12OB＝4. ∴抛物线向右平移的距离是 4.

北师大版初中九年级下册数学：最短距离

B
C
2、
b
B
A
最值问题专题探究
问题回归到教材源于：七（下）教材P228如图，要在街道旁
边修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A,B到它的距离和最短?
街道
B● A●
最值问题专题探究
基本模型的应用
1、如图，A（2，－3），B（4，－1），若P（m，0）是x轴上的一个动点，则当 m=____时， PA+PB的和最短。
• （1）求这条抛物线的解析式； • （2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，
当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标； • （3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G ，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
最值问题专题探究
归纳、总结
解决求最短路径问题运用了什么（知识）？两点之间线段最短
垂线段最短在解决问题的过程中运用了什么（方法）？
对称这过程中体现了什么样的数学（思想）？
实现转化，体现化归的数学思想
最值问题专题探究
课后延伸
如图，EF∥MN，要在直线MN、EF上各找一点C、D使得CD⊥MN，且使AC+CD+DB的长度和最短
M
F
●B
C
D
A●
N
E
最值问题专题探究
没有归纳，就不会提高没有思考，就没有进步
最值问题专题探究
祝同学们中考成功
最值问题专题探究
E M
N
最值问题专题探究
基本问题类型二、垂线段最短

初三下数学课件(北师大)-利用图象法求二次函数的最值

得kb＝＝－1050.5 ，∴当 10≤x≤50 时，y 与 x 的函数关系式为 y＝－0.5x＋105，当 x ＞ 50 时， y ＝ 80 ，即 y 与 x 的函数关系式为： y ＝
－0.5x＋10510≤x≤50
80x＞50
；
(2)由题意可得，w＝(－0.5x＋105－65)x＝－0.5x2＋40x＝－0.5(x－40)2＋
(2)求每天的销售利润 W(元)与销售价 x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：根据题意知，W＝(x－10)y＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400＝－(x －25)2＋225，∵a＝－1＜0，∴当 x＜25 时，W 随 x 的增大而增大， ∵10≤x≤16，∴当 x＝16 时，W 取得最大值，最大值为 144，答：每件销售价为 16 元时，每天的销售利润最大，最大利润是 144 元．
；
(3)y＝－0.1x2＋9x＝－0.1(x－45)2＋202.5，①当 10＜x≤45 时，y 随 x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大．②当 45＜x≤50 时，y 随 x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小．且当 x＝46 时，y1＝202.4，当 x＝50 时，y2＝200，y1＞y2.即出现了卖 46 只赚的钱比卖 50 只赚的钱多的现象．当 x＝45 时，最低售价为 20－0.1(45－10)＝16.5(元)，此时利润最大．
800，∴当 x＝40 时，w 取得最大值，此时 w＝800，y＝－0.5×40＋105＝
85，答：批发这种服装 40 件时，服装厂获得利润最大，最大利润是 800 元．
图象位于对称轴的左侧 2．(衡阳中考)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价 10 元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量 y(件) 与销售价 x(元/件)之间的函数关系如图所示．

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案一. 教材分析《二次函数的应用——何时利润最大》这一节内容，主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会利用二次函数解决实际问题。

通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数在利润最大化问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题中，求解利润最大值，可能对学生来说较为复杂。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，利用已学的二次函数知识进行求解。

三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，体会数学与生活的紧密联系。

2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。

3.提高学生分析问题、解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，求解利润最大值。

2.难点：将实际问题转化为数学问题，利用二次函数求解利润最大值。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生感受二次函数在实际问题中的应用。

2.启发式教学法：引导学生主动思考，分析问题，解决问题。

3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的应用。

2.练习题：准备一些相关的练习题，让学生在课堂上进行操练。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如一家企业的利润与销售量之间的关系，引出二次函数在实际问题中的应用。

让学生感受数学与生活的紧密联系。

2.呈现（10分钟）呈现一个具体的利润最大化问题，如一家企业的利润与生产成本、销售价格之间的关系。

引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数的表达式。

3.操练（10分钟）让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的练习题，巩固所学知识。

(完整word版)第22章 22.2.2二次函数有关的线段最短问题(word文档良心出品)

(4)若M为抛物线对称轴上任意一点，是否存在一点M使得△ACM的周长最小.若有，求出点M的坐标，若没有，说明理由.
三，展示讲评、拓展延伸
1．(2018遵义第17题）（4.00分）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，则DE+DF的最小值为．
四，检测反馈、分层练习
板书
设计
二次函数有关的线段最短问题Biblioteka 教学反思20年月日
3、如果回到P点呢？怎么设计
二，合作探究、解决疑难
例如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点
(1)求A、B、C、D的坐标.
(2)在x轴上是否存在一点P，使得P到C,D两点的距离之和最小.若有，求出点P的坐标，若没有，说明理由.
(3)若M为抛物线对称轴上任意一点，是否存在一点M使得MC+MB最小.若有，求出点M的坐标，若没有，说明理由.
教学重难点
重点：
二次函数图象中最短段之和
难点：
最短路径的灵活运用
教学方法
教学过程
教学环节
教学内容
二度备课
一，复习巩固、自主学习
1、如图，在一条河的同一侧，有两个村庄A,B，现想在河上建一个提水站，往两村供水，若使铺设水管的距离最短，提水站应建在何处？
2、如图，划地边OM与小河河岸ON在点O处形成大于0小于90度的夹角，牧马人从A地出发，先让马到草地吃草，然后再去河边饮水，最后回到A地，请在图中设计一条最短的路线。
课题
22.2.2二次函数有关的线段最短问题
课型

《最短路径问题在二次函数中的应用》教学设计

PP《最短路径问题在二次函数中的应用》教学设计一、教学内容：中考复习专题—最短路径问题在二次函数中的应用二、教学目标：知识与能力目标：掌握“最短路径问题”这一类问题的解决方法，并能综合运用轴对称的性质、线段的性质，函数有关的知识，建构数学模型，解决二次函数应用问题。

过程与方法：经历有关解决二次函数“最短路径”问题的过程，提高学生分析问题、解决问题的能力，进一步强化分类、归纳、综合的数学思想，发展学生的应用和自主探究意识。

情感态度与价值观：通过对解决二次函数“最短路径”问题的解决，了解专题复习的方法，享受学习的快乐，树立学好数学的信心。

教学重点：抓住问题的本质，提炼求线段之和最短的方法，并综合运用函数有关知识解决问题。

教学难点：由一个动点到两个动点的转变，由两条线段之和最短问题转变到三条线段之和最短问题。

三、教学方法：自主探究、合作交流教学手段：多媒体课件四、教学过程：（一）基础回顾：1、在一条直线 m 上，求一点 P ，使 PA+PB 最小（1）、点 A 、B 在直线 m 两侧AmB图 1（2）点 A 、B 在直线 m 异侧ABmB '图 2设计意图：通过画图回顾本节课要用到的一些基本知识，并由此衍生出一系列与轴对称知识有关的练习，帮助学生回忆知识点。

（二）例题展现例 1 ：如图 3,抛物线 y= x 2 - 2x - 3 与 X 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于 C 点，直线 L 是它的对称轴，点 D （2，-3），P 是直线 L 上一个动点，当点 P 运动到什么位置时使 PB+PD 最短？请求出点 P 的坐标。

分析：如图 3,此题可以把 B 、D 两点看作是图 2 中的情况，在对称轴上找点 P ，使得 PB+PD 最短，因此，作出 B 点关于对称轴 L 的对称点，而抛物线上的点 A 恰好是其对称点，因此连接 AD 交对称轴 L 于点 P ，此时直线 L 上的 P 点与 B 、D 距离和最短，其最短距离和即为 AD 的长，P 点坐标：先通过 A 、D 两点的坐标求出直线 AD ：y =－x －1 与对称轴 L ：x=1 交点就是 P （1,-2）x图 3变式：在上述问题中可改为：是否在抛物线对称轴上存在一点 P ，使得△PDB 的周长最小，若存在，求出 P 点的坐标，若不存在，请说明理由。

二次函数压轴题最短路径问题

最短路径问题——和最小【方法说明】“和最小”问题常见的问法是，在一条直线上面找一点，使得这个点与两个定点距离的和最小（将军饮马问题）．如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．当点P 为直线AB ′与直线l 的交点时，PA ＋PB 最小．【方法归纳】①如图所示，在直线l 上找一点B 使得线段AB 最小．过点A 作AB ⊥l ，垂足为B ，则线段AB 即为所求．②如图所示，在直线l 上找一点P 使得PA ＋PB 最小．过点B 作关于直线l 的对称点B ′，BB ′与直线l 交于点P ，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．③如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点C ，D 使得PC ＋CD ＋PD 最小．过点P 分别作关于AO ，BO 的对称点E ，F ，连接EF ，并与AO ，BO 分别交于点C ，D ，此时PC ＋CD ＋PD 最小，则点C ，D 即为所求．④如图所示，在∠AOB 的边AO ，BO 上分别找一点E ，F 使得DE ＋EF ＋CF 最小．分别过点C ，D 作关于AO ，BO 的对称点D ′，C ′，连接D ′C ′，并与AO ，BO 分别交于点E ，F ，此时DE ＋EF ＋CF 最小，则点E ，F 即为所求．lBAlAllAOBOBBOB O⑤如图所示，长度不变的线段CD 在直线l 上运动，在直线l 上找到使得AC ＋BD 最小的CD 的位置．分别过点A ，D 作AA ′∥CD ，DA ′∥AC ，AA ′与DA ′交于点A ′，再作点B 关于直线l 的对称点B ′，连接A ′B ′与直线l 交于点D ′，此时点D ′即为所求．⑥如图所示，在平面直角坐标系中，点P 为抛物线（y ＝14x 2）上的一点，点A （0，1）在y 轴正半轴．点P 在什么位置时PA ＋PB 最小？过点B 作直线l ：y ＝－1的垂线段BH ′，BH ′与抛物线交于点P ′，此时PA ＋PB 最小，则点P 即为所求．1．（13广东）已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2－1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m ＝2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC ＋PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．ll【思路点拨】（1）由二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）把m＝2代入求出二次函数解析式，令x＝0，求出y的值，得出点C的坐标；利用配方法或顶点坐标公式求出顶点坐标即可；（3）根据当P、C、D共线时根据“两点之间，线段最短”得出PC＋PD最短，求出CD的直线解析式，令y＝0，求出x的值，即可得出P点的坐标．【解题过程】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得出：m2－1＝0，解得：m＝±1，∴二次函数的解析式为：y＝x2－2x或y＝x2＋2x；（2）∵m＝2，∴二次函数y＝x2－2mx＋m2－1得：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴抛物线的顶点为：D（2，－1），当x＝0时，y＝3，∴C点坐标为：（0，3），∴C（0，3）、D（2，－1）；（3）当P、C、D共线时PC＋PD最短，【方法一】∵C（0，3）、D（2，－1），设直线CD的解析式为y＝kx＋3，代入得：2k＋3＝－1，∴k＝－2，∴y＝－2x＋3，当y＝0时，－2x＋3＝0，解得x＝32，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（32，0）．【方法二】过点D作DE⊥y轴于点E，∵PO∥DE，∴PODE＝COCE，∴PO2＝34，解得：PO＝32，∴PC＋PD最短时，P点的坐标为：P（32，0）．2．（11菏泽）如图，抛物线y＝12x2＋bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，求m的值．【思路点拨】（1）把点A 的坐标代入求出b 的值，即可得出抛物线的解析式，通过配方法即可求出顶点D 的坐标；（2）观察发现△ABC 是直角三角形，可以通过勾股定理的逆定理证明．由抛物线的解析式，分别求出点B ，C 的坐标，再得出AB ，AC ，BC 的长度，易得AC 2＋BC 2＝AB 2，得出△ABC 是直角三角形；（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，连接C 'D 交x 轴于点M ，根据“两点之间，线段最短”可知MC ＋MD 的值最小．求出直线C 'D 的解析式，即可得出点M 的坐标，进而求出m 的值．【解题过程】解：（1）∵点A （－1，0）在抛物线y ＝12x 2＋bx －2上，∴12×（－1 ）2＋b ×（－1）－2＝0，解得b＝－32，∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－32x －2＝12（x －32）2－258，∴顶点D 的坐标为（32，－258）．（2）当x ＝0时y ＝－2，∴C （0，－2），OC ＝2．当y ＝0时，12x 2－32x －2＝0，∴x 1＝－1，x 2＝4，∴B （4，0），∴OA ＝1，OB ＝4，AB ＝5．∵AB 2＝25，AC 2＝OA 2＋OC 2＝5，BC 2＝OC 2＋OB 2＝20，∴AC 2＋BC 2＝AB 2． ∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C ′，则C ′（0，2），OC ′＝2，连接C ′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC ＋MD 的值最小．【方法一】设直线C ′D 的解析式为y ＝kx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧n ＝232k ＋n ＝－258，解得：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2k ＝－4112．∴y ＝－4112x ＋2． ∴当y ＝0时，－4112x ＋2＝0，x ＝2441．∴m ＝2441．【方法二】设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED ∥y 轴，∴∠OC ′M ＝∠EDM ，∠C ′OM ＝∠DEM ，∴△C ′OM ∽△DEM ． ∴OM EM ＝OC ′ED ，∴m 32－m ＝2258，∴m ＝2441．3．（11福州）已知，如图，二次函数y ＝ax 2＋2ax ﹣3a （a ≠0）图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点（B 在A 点右侧），点H 、B 关于直线l ：y ＝33x ＋3对称．（1）求A 、B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN 、NM 、MK ，求HN ＋NM ＋MK 和的最小值．【思路点拨】（1）二次函数y ＝ax 2＋2ax ﹣3a （a ≠0）中只有一个未知参数a ，令y ＝0，解出方程ax 2＋2ax ﹣3a ＝0（a ≠0），即可得到点A ，B 的坐标．把点A 的坐标代入直线l 的解析式即可判断A 是否在直线上；（2）根据点H 、B 关于过A 点的直线l ：y ＝33x ＋3对称，得出AH ＝AB ＝4，过顶点H 作HC ⊥AB 交AB 于C 点，得AC ＝12AB ＝2，利用勾股定理求出HC 的长，即可得出点H 的坐标，代入二次函数解析式，求出a ，即可得到二次函数解析式；（3）直线BK ∥AH 易得直线BK 的解析式，联立直线l 的解析式方程组，即可求出K 的坐标．因为点H ，B 关于直线AK 对称，所以HN ＝BN ，所以根据“两点之间，线段最短”得出HN ＋MN 的最小值是MB ．作点K 关于直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，所以QM ＝KM ，易得BM ＋MK 的最小值为BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值，求出QB 的长即可．【解题过程】解：（1）依题意，得ax 2＋2ax ﹣3a ＝0（a ≠0），解得x 1＝﹣3，x 2＝1，∵B 点在A 点右侧，∴A 点坐标为（﹣3，0），B 点坐标为（1，0），∵直线l ：y ＝33x ＋3，当x ＝﹣3时，y ＝33×(－3)＋3＝0，∴点A 在直线l 上．（2）∵点H 、B 关于过A 点的直线l ：y ＝33x ＋3对称，∴AH ＝AB ＝4，过顶点H 作HC ⊥AB 交AB 于C 点，则AC ＝12AB ＝2，HC ＝23，∴顶点H （－1，23），代入二次函数解析式，解得a ＝－32， ∴二次函数解析式为y ＝－32x 2－3x ＋332，（3）直线AH 的解析式为y ＝3x ＋33，直线BK 的解析式为y ＝3x ＋33，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x ＋3y ＝3x －3，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝23，即K （3，23），则BK ＝4，∵点H 、B 关于直线AK 对称，∴HN ＋MN 的最小值是MB ，KD ＝KE ＝23，过点K 作直线AH 的对称点Q ，连接QK ，交直线AH 于E ，则QM ＝MK ，QE ＝EK ＝23，AE ⊥QK ， ∴BM ＋MK 的最小值是BQ ，即BQ 的长是HN ＋NM ＋MK 的最小值， ∵BK ∥AH ，∴∠BKQ ＝∠HEQ ＝90°，由勾股定理得QB ＝8， ∴HN ＋NM ＋MK 的最小值为8．4．（14海南）如图，对称轴为直线x ＝2的抛物线经过A （－1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a ＋1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a ＝1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．【思路点拨】（1）由对称轴为直线x ＝2，可以得出顶点横坐标为2，设二次函数的解析式为y ＝a （x －2）2＋k ，再把点A ，B 的代入即可求出抛物线的解析式；（2）求四边形MEFP 的面积的最大值，要先表示出四边形MEFP 面积．直接求不好求，可以考虑用割补法来求，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，由S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME 即可得出；（3）四边形PMEF 的四条边中，线段PM ，EF 长度固定，当ME ＋PF 取最小值时，四边形PMEF 的周长取得最小值．将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得到点M 1（1，1），作点M 1关于x 轴的对称点M 2（1，－1），连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．【解题过程】解：（1）∵对称轴为直线x ＝2，∴设抛物线解析式为y ＝a （x －2）2＋k ．将A （－1，0），C （0，5）代入得：⎩⎨⎧9a ＋k ＝04a ＋k ＝5，解得⎩⎨⎧a ＝－1k ＝9，∴y ＝－（x －2）2＋9＝－x 2＋4x ＋5．（2）当a ＝1时，E （1，0），F （2，0），OE ＝1，OF ＝2．设P （x ，－x 2＋4x ＋5），如答图2，过点P 作PN ⊥y 轴于点N ，则PN ＝x ，ON ＝－x 2＋4x ＋5， ∴MN ＝ON －OM ＝－x 2＋4x ＋4．S 四边形MEFP ＝S 梯形OFPN －S △PMN －S △OME ＝12（PN ＋OF ）•ON －12PN •MN －12OM •OE＝12（x ＋2）（－x 2＋4x ＋5）－12x •（－x 2＋4x ＋4）－12×1×1 ＝－x 2＋92x ＋92＝－（x －94）2＋15316∴当x ＝94时，四边形MEFP 的面积有最大值为15316，此时点P 坐标为（94，15316）．（3）∵M （0，1），C （0，5），△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，∴点P 的纵坐标为3．令y ＝－x 2＋4x ＋5＝3，解得x ＝2±6．∵点P 在第一象限，∴P （2＋6，3）．四边形PMEF 的四条边中，PM 、EF 长度固定，因此只要ME ＋PF 最小，则PMEF 的周长将取得最小值．如答图3，将点M 向右平移1个单位长度（EF 的长度），得M 1（1，1）；作点M 1关于x 轴的对称点M 2，则M 2（1，－1）；连接PM 2，与x 轴交于F 点，此时ME ＋PF ＝PM 2最小．设直线PM 2的解析式为y ＝mx ＋n ，将P （2＋6，3），M 2（1，－1）代入得： ⎩⎨⎧(2＋6)m ＋n ＝3m ＋n ＝－1，解得：m ＝46－45 ，n ＝46＋45，∴y ＝46－45x －46＋45．当y ＝0时，解得x ＝6＋54．∴F （6＋54，0）．∵a ＋1＝6＋54，∴a ＝6＋14． ∴a ＝6＋14时，四边形PMEF 周长最小．图1 图22．（14福州）如图，抛物线y ＝12(x -3)2-1与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D 了．（1）求点A ，B ，D 的坐标；（2）连接CD ，过原点O 作OE ⊥CD ，垂足为H ，OE 与抛物线的对称轴交于点E ，连接AE ，AD ．求证：∠AEO ＝∠ADC ；（3）以（2）中的点E 为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P ，过点P 作⊙E 的切线，切点为Q ，当PQ 的长最小时，求点P 的坐标，并直接写出点Q 的坐标．【思路点拨】（1）由顶点式直接得出点D 的坐标，再令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0解出方程，即可得出点A ，B 的坐标；（2）设HD 与AE 相交于点F ，可以发现△HEF 与△ADF 组成一个“8字型”．对顶角∠HFE ＝∠AFD ，只要∠FHE ＝∠FAD 即可．因为∠EHF ＝90°，只需证明∠EAD ＝90°即可．由勾股定理的逆定理即可得出△ADE 为直角三角形，得∠FHE ＝∠FAD ＝90°即可得出结论；（3）先画出图形．因为PQ 为⊙E 的切线，所以△PEQ 为直角三角形，半径EQ 长度不变，当斜边PE 最小时，PQ 的长度最小．设出点P 的坐标，然后表示出PE ，求出PE 的最小值，得到点P 的坐标，再求出点Q 的坐标即可．【解题过程】解：（1）顶点D 的坐标为（3，-1）．令y ＝0，得12(x -3)2-1＝0，解得x 1＝3＋2，x 2＝3-2．∵点A 在点B 的左侧，∴A 点坐标(3-2，0)，B 点坐标（3+2，0）．（2）过D 作DG ⊥y 轴，垂足为G ．则G （0，-1），GD ＝3．令x ＝0，则y ＝72，∴C 点坐标为（0，72）． ∴GC ＝72-(-1) ＝ 92．设对称轴交x 轴于点M ．∵OE ⊥CD ，∴∠GCD ＋∠COH ＝90︒．∵∠MOE ＋∠COH ＝90︒，∴∠MOE ＝∠GCD ．又∵∠CGD ＝∠OMN ＝90︒，∴△DCG ∽△EOM ．∴CG OM ＝DGEM ，即923＝3EM ．∴EM ＝2，即点E 坐标为(3，2)，ED ＝3．由勾股定理，得AE 2＝6，AD 2＝3，∴AE 2＋AD 2＝6＋3＝9＝ED 2． ∴△AED 是直角三角形，即∠DAE ＝90︒．设AE 交CD 于点F ．∴∠ADC ＋∠AFD ＝90︒．又∵∠AEO ＋∠HFE ＝90︒， ∴∠AFD ＝∠HFE ，∴∠AEO ＝∠ADC ．（3）由⊙E 的半径为1，根据勾股定理，得PQ 2＝EP 2－1．要使切线长PQ 最小，只需EP 长最小，即EP 2最小．设P 坐标为（x ，y ），由勾股定理，得EP 2＝(x －3)2＋(y －2)2．∵y ＝12(x －3)2－1，∴(x －3)2＝2y ＋2．∴EP 2＝2y ＋2＋y 2－4y ＋4＝(y －1)2＋5．当y ＝1时，EP 2最小值为5．把y ＝1代入y ＝12(x －3)2－1，得12(x －3)2 1＝1，解得x 1＝1，x 2＝5．又∵点P 在对称轴右侧的抛物线上，∴x 1＝1舍去．∴点P 坐标为(5，1)．此时Q 点坐标为（3，1）或(195，135)．6．（14遂宁）已知：直线l ：y ＝﹣2，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴是y 轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图①，点P 是抛物线上任意一点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，求证：PO ＝PQ ．（3）请你参考（2）中结论解决下列问题：（i ）如图②，过原点作任意直线AB ，交抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 于点A 、B ，分别过A 、B 两点作直线l 的垂线，垂足分别是点M 、N ，连结ON 、OM ，求证：ON ⊥OM ．（ii ）已知：如图③，点D （1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F ，使得FD ＋FO 取得最小值？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）因为抛物线的对称轴是y 轴，所以b ＝0，再代入点（0，﹣1），（2，0）即可求出抛物线的解析式；（2）由（1）设出P 的坐标，分别表示出PE ，PQ 的长度，即可得出结论；（3）（i ）因为BN ∥AM ，所以∠ABN ＋∠BAM ＝180°．由（2）的结论可得BO ＝BN ，AO ＝AM ，可得出∠BON ＝∠BNO ，∠AOM ＝∠AMO ，易得∠BON ＋∠AOM ＝90°再得到∠MON ＝90°即可；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，由（2）的结论根据矩形的性质可以得出结论．【解题过程】解：（1）由题意，得⎩⎨⎧－b 2a ＝0－1＝c 0＝4a ＋2b ＋c ，解得：⎩⎨⎧a ＝14b ＝0c ＝－1，∴抛物线的解析式为：y ＝14x 2－1；（2）如图①，设P （a ，14a 2﹣1），就有OE ＝a ，PE ＝14a 2﹣1，∵PQ ⊥l ，∴EQ ＝2，∴QP ＝14a 2＋1．在Rt△POE 中，由勾股定理，得PO ＝a 2＋(14a 2－1)2＝14a 2＋1，∴PO ＝PQ ；（3）（i ）如图②，∵BN ⊥l ，AM ⊥l ，∴BN ＝BO ，AM ＝AO ，BN ∥AM ，∴∠BNO ＝∠BON ，∠AOM ＝∠AMO ，∠ABN ＋∠BAM ＝180°．∵∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＝180°，∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝180°，∴∠BNO ＋∠BON ＋∠NBO ＋∠AOM ＋∠AMO ＋∠OAM ＝360°，∴2∠BON ＋2∠AOM ＝180°，∴∠BON ＋∠AOM ＝90°，∴∠MON ＝90°，∴ON ⊥OM ；（ii ）如图③，作F ′H ⊥l 于H ，DF ⊥l 于G ，交抛物线与F ，作F ′E ⊥DG 于E ，∴∠EGH ＝∠GHF ′＝∠F ′EG ＝90°，FO ＝FG ，F ′H ＝F ′O ，∴四边形GHF ′E 是矩形，FO ＋FD ＝FG ＋FD ＝DG ，F ′O ＋F ′D ＝F ′H ＋F ′D ，∴EG ＝F ′H ，∴DE ＜DF ′，∴DE ＋GE ＜HF ′＋DF ′，∴DG ＜F ′O ＋DF ′，∴FO ＋FD ＜F ′O ＋DF ′，∴F 是所求作的点． ∵D （1，1），∴F 的横坐标为1，∴F （1，54）．【举一反三】1．（12滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点．（1）求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式；（2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM ＋OM 的最小值．l2．（13成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣12x2＋bx＋c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，﹣1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究PQNP＋BQ是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．3．（11眉山）如图，在直角坐标系中，已知点A （0，1），B （﹣4，4），将点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ；顶点在坐标原点的拋物线经过点B ．（1）求抛物线的解析式和点C 的坐标；（2）抛物线上一动点P ，设点P 到x 轴的距离为d 1，点P 到点A 的距离为d 2，试说明d 2＝d 1＋1；（3）在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时，△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值．【参考答案】1．解：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y ＝ax 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧4a －2b ＋c ＝－44a ＋2b ＋c ＝0c ＝0，解得a ＝﹣12，b ＝1，c ＝0，∴解析式为y ＝﹣12x 2＋x ．（2）由y ＝﹣12x 2＋x ＝﹣12（x ﹣1）2＋12，可得抛物线的对称轴为x ＝1，并且对称轴垂直平分线段OB ，∴OM ＝BM ， ∴OM ＋AM ＝BM ＋AM ，连接AB 交直线x ＝1于M 点，则此时OM ＋AM 最小，过点A 作AN ⊥x 轴于点N ，在Rt△ABN 中，AB ＝AN 2＋BN 2＝42＋42＝42， ∴OM ＋AM 最小值为42．2．解：（1）∵等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，－1），C 的坐标为（4，3），∴点B 的坐标为（4，－1）．∵抛物线过A （0，－1），B （4，－1）两点，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－1－12×16＋4b ＋c ＝－1，解得：b ＝2，c ＝－1，∴抛物线的函数表达式为：y ＝－12x 2＋2x －1．（2）（i ）∵A （0，－1），C （4，3），∴直线AC 的解析式为：y ＝x －1．设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（1）可得P 0的坐标为（2，1），且P 0在直线AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动，∴可设P 的坐标为（m ，m －1），则平移后抛物线的函数表达式为：y ＝－12（x －m ）2＋m －1．解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1y ＝－12(x －m )2＋(m －1)，解得⎩⎨⎧x 1＝m y 1＝m －1， ⎩⎨⎧x 2＝m －2y 2＝m －3，∴P （m ，m －1），Q （m －2，m －3）．过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QF ∥y 轴，则PE ＝m －（m －2）＝2，QF ＝（m －1）－（m －3）＝2．∴PQ ＝22＝AP 0．若以M 、P 、Q 三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当PQ 为直角边时：点M 到PQ 的距离为22（即为PQ 的长）．由A （0，－1），B （4，－1），P 0（2，1）可知， △ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0＝22．如答图1，过点B 作直线l 1∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为：y ＝x ＋b 1，∵B （4，－1），∴－1＝4＋b 1，解得b ＝＝－5，∴直线l 1的解析式为：y ＝x －5．解方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －5y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝4y 1＝－1，⎩⎨⎧x 2＝－2y 2＝－7，∴M 1（4，－1），M 2（－2，－7）．②当PQ 为斜边时：MP ＝MQ ＝2，可求得点M 到PQ 的距离为 2 ．如答图2，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（2，－1）．由A （0，－1），F （2，－1），P 0（2，1）可知：△AFP 0为等腰直角三角形，且点F 到直线AC 的距离为 2 ．过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y ＝－12x 2＋2x －1于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 2的解析式为：y ＝x ＋b 2，∵F （2，－1），∴－1＝2＋b 2，解得b 2＝－3，∴直线l 2的解析式为：y ＝x －3．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3y ＝－12x 2＋2x －1，得：⎩⎨⎧x 1＝1＋5y 1＝－2＋5，⎩⎨⎧x 1＝1－5y 1＝－2－5， ∴M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（4，－1），M 2（－2，－7），M 3（1＋5，－2＋5），M 4（1－5，－2－5）．（ii ）PQNP ＋BQ存在最大值．理由如下：由i ）知PQ ＝22为定值，则当NP ＋BQ 取最小值时，PQNP ＋BQ有最大值．如答图2，取点B 关于AC 的对称点B ′，易得点B ′的坐标为（0，3），BQ ＝B ′Q ．连接QF ，FN ，QB ′，易得FN ∥PQ ，且FN ＝PQ ，∴四边形PQFN 为平行四边形．∴NP ＝FQ ．∴NP ＋BQ ＝FQ ＋B ′Q ≥FB ′＝22＋42 ＝25． ∴当B ′、Q 、F 三点共线时，NP ＋BQ 最小，最小值为25．∴PQ NP ＋BQ 的最大值为2225＝105．F3．解：（1）设抛物线的解析式：y ＝ax 2，∵拋物线经过点B （﹣4，4），∴4＝a •42，解得a ＝14，所以抛物线的解析式为：y ＝14x 2；过点B 作BE ⊥y 轴于E ，过点C 作CD ⊥y 轴于D ，如图，∵点B 绕点A 顺时针方向90°得到点C ，∴Rt△BAE ≌Rt△ACD ， ∴AD ＝BE ＝4，CD ＝AE ＝OE ﹣OA ＝4﹣1＝3，∴OD ＝AD ＋OA ＝5，∴C 点坐标为（3，5）；（2）设P 点坐标为（a ，b ），过P 作PF ⊥y 轴于F ，PH ⊥x 轴于H ，如图，∵点P 在抛物线y ＝14x 2上，∴b ＝14a 2，∴d 1＝14a 2，∵AF ＝OF ﹣OA ＝PH ﹣OA ＝d 1﹣1＝14a 2﹣1，PF ＝a ，在Rt△PAF 中，PA ＝d 2＝AF 2＋PF 2＝(14a 2－1)2＋a 2＝14a 2＋1，∴d 2＝d 1＋1；（3）由（1）得AC ＝5，∴△PAC 的周长＝PC ＋PA ＋5＝PC ＋PH ＋6，要使PC ＋PH 最小，则C 、P 、H 三点共线，∴此时P 点的横坐标为3，把x ＝3代入y ＝14x 2，得到y ＝94，即P 点坐标为（3，94），此时PC ＋PH ＝5，∴△PAC 的周长的最小值＝5＋6＝11．。

北师大版初三数学下册二次函数中的最短路径问题

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》说课稿

专题09 二次函数中动点引起的最短路径及图形存在性问题(解析版)

二次函数压轴题最短路径问题

最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数背景下的线段最值问题(共21张PPT)

第2章二次函数与几何综合 题型解读8 二次函数与定值、最值问题-北师大版九年级数学下册

北师大版九下数学第2章 二次函数 2.4.1 用二次函数解最值问题【习题课件】

北师大版初中九年级下册数学：最短距离

初三下数学课件(北师大)-利用图象法求二次函数的最值

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案

(完整word版)第22章 22.2.2二次函数有关的线段最短问题(word文档良心出品)

《最短路径问题在二次函数中的应用》教学设计

二次函数压轴题最短路径问题

第2章二次函数与几何综合题型解读8 二次函数与定值、最值问题-北师大版九年级数学下册

北师大版九下数学第2章二次函数 2.4.1 用二次函数解最值问题【习题课件】