勾股定理专题复习(经典一对一学案)汇总

合集下载

《勾股定理》复习学案(单元复习)

《勾股定理》复习学案★知识汇总1．勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改；②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：设直角三角形的两直角边和斜边长由短到长分别为a,b,c 方法一：如图，S △AFD = EF= S 正方形EFGH = S 正方形ABCD = = 化简过程为：方法二：如图，S △= S 大正方形= S 小正方形= = 化简过程为：方法三：如图，S △AED = S △BEC = S △AEB = S 梯形ABCD = = ，化简过程为：2.面积问题：⑴如图1，以直角三角形的三边长作正方形，则三个正方形的面积之间存在关系是 ⑵如图2，以直角三角形的三边长为直径作半圆，则三个半圆的面积之间存在关系是 ⑶如图3，以直角三角形的三边长为斜边作等腰直角三角形，则三个三角形的面积之间存在关系是小练习：1.如图1，①若S 1=9 S 2=16，则S 3= ，BC= ；②若AB=2，S 3=10，则S 2= ； ③若S 3=10，则S 1+S 2+S 3= ；④若S 1+S 2=5，则S 1+S 2+S 3= 。

2.如图2，①若S 1=2π S 3=258π，则S 2= ；②若S 1=3π，S 2=32π，则S 3= ，BC= ； ③若BC=10，则S 1+S 2= 。

3.如图3，BC=6，则S 1+S 2+S 3= 。

4.如图4，以直角三角形的三边长为直径作半圆，若AB=12,AC =5,则S 阴影= 。

5.如图5，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，①若最大的正方形的边长为7㎝，则正方形A 、B 、C 、D 的面积之和为；②若最大的正方形的边长为10㎝，正方形A 的边长为6㎝，B 的边长为5㎝，C 的边长也为5㎝，则正方形D 的边长为。

勾股定理专题复习(经典一对一学案)

专题复习一勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。

2、勾股数：满足a 2+b 2=c 2的三个，称为勾股数。

常见勾股数如下：3、常见平方数：121112=； 144122=； 169132=； 196142=； 225152=；256162=289172=； 324182=； 361192=； 400202=；441212=； 484222= 529232=； 576242=； 625252=； 676262=；729272=专题归类：专题一、勾股定理与面积1、、在Rt ▲ABC 中，∠C=︒90,a=5,c=3.，则Rt ▲ABC 的面积S= 。

2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为：。

3、直线l 上有三个正方形a 、b 、c ，若a 和c 的面积分别为5和11，则b 的面积为4、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)。

已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4等于。

5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是。

l321S 4S 3S 2S 16、如果一个三角形的三边长分别为a,b,c 且满足：a 2+b 2+c 2+50=6a+8b+10c,则这个三角形的面积为。

7、如图1，︒=∠90ACB ，BC=8,AB=10,CD 是斜边的高，求CD 的长？7、如下图，在∆ABC 中，︒=∠90ABC ，AB=8cm ，BC=15cm ，P 是到∆ABC 三边距离相等的点，求点P 到∆ABC 三边的距离。

8、有一块土地形状如图3所示，︒=∠=∠90D B ，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。

（添加辅助线构造直角三角形）9、如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求四边形ABCD 的面积。

勾股定理复习学案1

勾股定理复习学案一、知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

数学式子：∠C=900⇒222a b c +=2、神秘的数组(勾股定理的逆定理)：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形.数学式子：222a b c +=⇒∠C=900满足a 2＋b 2＝c 2三个数a 、b 、c 叫做勾股数。

二、举例：例1：⑴一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度⑵一个直角三角形一条直角边为6，斜边为10，求另一条直角边例2：在△ABC 中，AB=13，AC=15，BC=14，。

求BC 边上的高AD 。

例3：在△ABC 中，AB=15，AC=20，BC 边上的高AD=12，试求BC 的长．(两解)例4：如图，在△ABC 中，AC=AB ，D 是BC 上的一点，AD ⊥AB ，AD=9cm ，BD=15cm ，求AC 的长．A a D CB A DC BA例5：一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km ，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km ，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?例6：如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，则CD 的长是多少?例7：如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积。

例8：有一根70cm 的木棒，要放在50cm ，40cm ，30cm 的木箱中，试问能放进去吗？例9：甲、乙两人在沙漠进行探险，某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时速度向东南方向行走，1小时后乙出发，他以5千米/时速度向西南方向行走，上午10∶00时，甲、乙两人相距多远？E D C B A B ACD例10：如图，由5个小正方形组成的十字形纸板，现在要把它剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形。

经典精讲第一章勾股定理学案

第一章勾股定理学案一、勾股定理知识梳理（一）、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

注意：由于我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，因此上述结论被称为“勾股定理”。

由表达式：已知直角三角形的任意两边，可以求出第三边。

在运用勾股定理时一定要有直角三角形这个前提条件，因此，研究有关具体问题时，有时需添加适当的辅助线以构造直角三角形来帮助解题（二）、直角三角形的条件（勾股逆定理）：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a b +22=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形它的作用是：判断一个三角形是否为直角三角形。

其方法为：确定最大边c; 验证其它两边a 、b 的平方和：a b +22与c 2是否相等；A: 若=a b c +222，则三角形是以c ∠=︒90的直角三角形；B: 若a b c +≠222，则三角形不是直角三角形。

（当a b c +<222时，三角形为钝角三角形；当a b c +>222时，三角形为锐角三角形）勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形。

因为这样说已经是直角三角形了勾股定理的逆定理是用来判定一个三角形是否是直角三角形的，但在判定一个三角形是否是直角三角形时应首先确定该三角形的最大边，当其余两边的平方和等于最大边的平方时，该三角形才是直角三角形。

勾股定理的逆定理也可用来证明两直线是否垂直。

（三）、勾股数1、满足条件a 2+b 2=c 2的三个整数，称为勾股数。

2、常见的勾股数组有：3、4、5；5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 20、21、29；9、40、41；… 这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。

一定要牢记于心3、若三边a 、b 、c 可以构成直角三角形，那么ka 、kb 、kc 也构成直角三角形。

（四）证明勾股定理1、用数格或面积的方法证明勾股定理1）如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是，直角△ABC 的三边的关系是 .参考答案：用数方格的方法或用面积公式计算三个正方形面积，得出 S 1+S 2＝S 3，从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2.2）.如图，每个小正方形的边长是1，图中三个正方形的面积分别是S 1、S 2、S 3，则它们的面积关系是，直角△ABC 的三边的关系是 .参考答案：对于S 3显然用数方格的方法不合适，利用“相减法”或“相加法”用面积公式计算三个正方形面积，得出S 1+S 2＝S 3，从而得到：AB 2+BC 2＝AC 2.2、用面积法证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。

勾股定理复习(1对1辅导精品)

勾股定理复习一．知识纵横:勾股定理是初等几何中的一个基本定理。

所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。

勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?～公元前497?）（右图）于公元前550年首先发现的。

但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。

著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330～公元前275）在巨著《几何原本》（第Ⅰ卷，命题47）中给出一个很好的证明。

（左图为欧几里得和他的证明图）中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。

中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问："我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？" 商高回答说："数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。

其中有一条原理：当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于3，另一条直角边’股'等于4的时候，那么它的斜边'弦'就必定是5。

这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。

" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。

其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。

所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。

在稍后一点的《九章算术》一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。

书中的《勾股章》说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。

”。

《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。

北师大版勾股定理复习学案

勾股定理本章常用知识点：1、勾股定理：直角三角形两直角边的等于斜边的。

如果用字母 a,b,c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么勾股定理可以表示为：。

勾股逆定理：如果直角三角形三边长a 、b 、c 满足，那么这个三角形是三角形。

（且∠ =90 °）2、勾股数：满足 a 2 +b 2 =c 2 的三个，称为勾股数。

常见的勾股数组有： 3、4、 5； 5 、12、13； 8 、15、 17； 7 、 24、25； 20 、21、 29； 9 、40、41；这些勾股数组的整数倍仍然是勾股数组。

（记忆 11 ～30 二十个数的平方值）3、最短距离：将立体图形展开，利用直角三角形的勾股定理求出最短距离（斜边长）。

题型一直角三角形中已知两边，求第三边。

例 1、已知：一个直角三角形的两边长分别是 3cm 和 4cm,第三边得长为 ________例 2、已知在△ ABC 中， AB=17， AC=10，BC 边上的高等于 8，求△ ABC 的周长为 _________课堂训练1. 已知直角三角形两直角边分别为 5,12, 则三边上的高的和为 ____.2、在 Rt △ ABC 中，已知两边长为 5、 12，则第三边的长为。

3、等腰三角形的两边长为 10 和 12，则周长为 ________，底边上的高是________，面积是 _________。

A4.. 如图，一个梯子 AB 长 2.5 米，顶端 A 靠在墙 AC 上，这时E梯子下端 B 与墙角 C 距离为 1.5 米，梯子滑动后停在 DE 的位置上，测得 BD 长为 0.5 米，求梯子顶端 A 下落了多少米？CDB题型二勾股定理逆定理的应用如何判定一个三角形是直角三角形： ① 先确定最大边（如 c ）；② 验证 c 2 与 a 2 b 2 是否具有相等关系③ 若 c 2 =a 2b 2 ，则△ ABC 是以∠ C 为直角的直角三角形；若 c 2 ≠ a2b 2 ，则△ ABC 不是直角三角形。

专题复习：勾股定理(教案)

3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调勾股定理的概念和证明方法这两个重点。对于难点部分，如定理的证明过程，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与勾股定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过制作直角三角形模型，演示勾股定理的基本原理。
1.数学抽象：通过勾股定理的学习，使学生能够从实际问题中抽象出数学模型，理解数学概念的本质，提高数学思维能力。
2.逻辑推理：培养学生运用不同的证明方法，理解和掌握勾股定理的推理过程，提高逻辑思维能力和解题技巧。
3.数学建模：学会将勾股定理应用于解决实际问题，建立数学模型，培养学生解决实际问题的能力。
五、教学反思
在今天《勾股定理》的复习课上，我发现学生们对于定理的概念和应用有了较好的掌握，但在证明过程中还存在一些困难。我尝试用生活中的实例引入勾股定理，让学生感受到数学与生活的紧密联系，这一点效果不错，大家都很感兴趣。但在教学过程中，我也注意到了几个问题。
首先，对于定理的证明方法，尤其是代数法的证明，部分学生感到难以理解。在今后的教学中，我需要更加耐心地引导他们，通过多举例、多解释，帮助他们突破这个难点。
-掌握至直角三角形的边长比例关系，如30°-60°-90°和45°-45°-90°直角三角形。
-例：通过实际例题，如计算墙壁上悬挂画框的合适位置，强调勾股定理在实际问题中的应用。
2.教学难点
-理解勾股定理的证明过程：学生需要理解并掌握从具体实例中抽象出定理的过程，以及不同证明方法背后的逻辑。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）

《勾股定理》复习学案(期末复习)

第3题第4题《勾股定理》复习学案【知识点归纳】1、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的等于斜边c 的，即2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系，那么这个三角形是三角形。

3、勾股数：满足222c b a =+的三个，称为勾股数。

★注意：1.勾股定理仅适用于三角形；2.常见的勾股数（请举出几组）：3.若a ，b ，c 为勾股数，则ka ，kb ，kc （k 为正整数）也是勾股数。

【基础训练】1.一架2.5m 长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙脚0.7m ．那么梯子的顶端距墙脚的距离是（）．(A)0.7m (B)0.9m (C)1.5m (D)2.4m2..以下各组数中，能组成直角三角形的是（）(A)2，3，4 (B)1.5，2，2.5 (C)32，42，52 (D)8，9，103.如图，为了求出湖两岸A 、B 两点之间的距离，一个观测者在点C 设桩，使三角形ABC 恰好为以∠B 为直角的直角三角形．通过测量，得到AC 长160m ，BC 长128m ，则AB 长 m ．4.利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．从图2中可以看到：大正方形面积＝小正方形面积＋四个直角三角形面积．因而 c 2＝＋。

化简后即为 c 2＝。

5.有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米。

【本章小专题】☞专题一：勾股定理及应用1.计算下列直角三角形的边长（注意运用规律）：（1）（2）（3）2.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得AB ＝3，BC ＝4，AC ＝5，CD ＝12，AD ＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？3.波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，请问水深多少？☞专题二：面积问题1.如图：以Rt △的三边长为边在外面作三个正方形M 、N 、P（1）若S M =5，S N =6，则S M +S N +S P = ；（2）若S P =10，则S M +S N +S P = 。

第十七章勾股定理知识归纳总结(教案)

-勾股定理的空间几何推广：对于空间中长方体的对角线与边长的关系，学生可能难以形成直观的认识。
-突破方法：利用实物模型或计算机软件进行三维展示，帮助学生建立空间观念。
本节课的难点与重点是紧密联系的，教学过程中需针对这些难点进行深入讲解和反复练习，确保学生能够透彻理解并掌握勾股定理的精髓和应用。通过具体的例子和多样的教学方法，帮助学生克服难点，提升解题能力。
在实践活动和小组讨论中，我观察到学生们在合作解决问题时表现得非常积极。他们不仅能够运用勾股定理来解决实际问题，还能够将其与其他数学知识结合起来，这显示了他们良好的知识整合能力。但同时，我也注意到有些学生在将理论应用到具体问题中时还存在困难，这需要我在今后的教学中进一步关注和指导。
我也注意到，在小组讨论时，有些学生不够积极，可能是由于害羞或是不够自信。我会在接下来的课程中，更加注重鼓励这些学生发表自己的观点，增强他们的自信心和参与感。
第十七章勾股定理知识归纳总结（教案）
一、教学内容
第十七章勾股定理知识归纳总结
1.勾股定理的概念及表述
-直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
2.勾股定理的证明
-平面几何法
-代数法
-欧几里得证法
3.勾股定理的应用
-求直角三角形的边长
-计算平面图形的面积
-解决实际问题
4.勾股数及勾股数列
-勾股数的定义及性质
。
二、核心素养目标
1.培养学生的逻辑推理能力：通过勾股定理的证明过程，使学生掌握严密的逻辑推理方法，提高分析问题和解决问题的能力。
2.强化数学建模素养：引导学生运用勾股定理解决实际问题，建立数学模型，培养学生将现实问题转化为数学问题的生建立空间观念，提高空间想象力和几何直观。

勾股定理的复习学案（第8、9课时）

二、探索新知（一）活动1（考点1）．在直角三角形中，已知两边求第三边 1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做 cm . 2、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高．活动2（考点2）．勾股定理与方程联手求线段的长（方程思想） 1、如图，将一个边长为4、8的长方形纸片ABCD 折叠使C 点与A 点重合，则EB 的长是（） A 、3 B 、4 C 、5 D 、5 2、如图，四边形ABCD 是长方形，把 △ACD 沿AC 折叠到△ACD ／ ,△ACD ／与BC 交于E,若AD=4，CD=3，求BE 的长. A B C D E A D 3、如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ， D 两村到 E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？活动3（考点3）：用勾股定理的逆定理判别一个三角形是否是直角三角形 1.若一个三角形的周长 123cm ，一边长为33cm ，其他两边之差为3cm ，则这个三角形是 . 2、若△ABC 的三边为a 、b 、c 满足a ：b ：c=1：1：2，则△ABC 的形状为。 3、分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）3、 4、5（2） 5、12、13（3）8、15、17（4）4、5、6，其中能构成直角三角形的有 4.若△ABC 的三边a ，b ，c 满足条件a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26问题 1、在直线l 上依次摆放着七个正方形(如上图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S 1、S 2、S 3、S 4，则S 1＋ S 2＋S 3＋S 4＝_______．三、分层练习一层 1．在△ABC 中,∠C=90°,若a=8,b=6, 则c= ;若a=8,c=17,则b= . 2．已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 3.直角三角形的两条直角边分别是5cm, 12cm,其斜边上的高是 4.以直角三角形的两直角边所作正方形的面积分别是25和144，则斜边长是 5.以直角三角形的两直角边所作正方形的面积分别是25和144，则斜边长是 6.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3倍，则其斜边（） A 、不变 B 、扩大到原来的3倍 C 、扩大到原来的9倍 D 、减小到原来的1/3 A DE B C l 3 2 1 S4 S3 S2 S1 二层 7．如果Rt △两直角边的比为5∶12，则斜边上的高与斜边的比为（） A 、60∶13 B 、5∶12 C 、12∶13 D 、60∶169 8．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是（）A 、24cm 2 B 、36cm 2 C 、48cm 2 D 、60cm 2 9．等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A 、56 B 、48 C 、40

勾股定理专题培优学案(勾股定理和几何计算、勾股定理和几何证明和勾股弦图)

勾股定理辅助线一、本章概述本章共分为勾股定理与几何计算、勾股定理与几何证明和勾股弦图三部分，都是勾股定理的重难点内容二、知识回顾1.勾股定理（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边c的平方和。

（即：）2.勾股定理的逆定理（2）如果三角形的三边长：。

满足关系，那么这个三角形是直角三角形。

3.勾股定理的证明：（3）勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进行割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理。

（4）常见方法如下：方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积。

方法三：美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.1. 勾股定理与几何计算一、本节概述本节主要讲解勾股定理常见的三个辅助线模型，将斜三角形问题，转化为直角三角形问题。

当遇到三角形内的几何计算，特别是长度计算时，可以考虑用勾股定理解决。

在没有直角三角形时，我们就构造直角三角形，方法就是作高。

要尽量作与题中条件有关系的高，总有一条适合你的，比如特殊角所对的高。

二、典例精析知识点：勾股定理与几何计算【例1】如图，已知AC=2,思路分析：标记条件，题目中给出三角形的两个角和一条边，符合“AAS”，故三角形形状固定，可通过作高转化为勾股定理来解决，作高的时候，要充分利用特殊角。

作AB角形问题。

解：，先从右边已知一边和一角的直角三角形入手，这是个（）的特殊直角三角形。

得到CD后，再看左边已知一边和一角的直角三角形，这是个（）的特殊直角三角形。

方法总结这是利用勾股定理时常见的辅助线做法之一：三角形给出的条件满足“AAS”，作高的时候要充分利用特殊角，使分割后得到的直角三角形可求解即可，此例题是垂线在三角形内，并获得特殊直角三角形的例子。

【例2】思路分析：标记条件，给出的三角形符合“SAS”，故形状固定，可通过作高解决，作高时要充分利用特殊三角形，因为给出的特殊角是钝角，故可利用它的补角。

《勾股定理》专题复习(含答案)

第一章《勾股定理》专项练习专题一：勾股定理考点分析：勾股定理单独命题的题目较少，常与方程、函数，四边形等知识综合在一起考查，在中考试卷中的常见题型为填空题、选择题和较简单的解答题典例剖析例1．（1）如图1是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：m m ），计算两圆孔中心A 和B 的距离为______m m ．（2）如图2，直线l 上有三个正方形a b c ，，，若a c ，的面积分别为5和11，则b 的面积为（）Ａ．4 Ｂ．6Ｃ．16Ｄ．55分析：本题结合图中的尺寸直接运用勾股定理计算即可．解：（1）由已知得：AC=150-60=90，BC=180-60=120，由勾股定理得： AB 2=902+1202=22500，所以AB=150（mm ）（2）由勾股定理得：b=a+c=5+11=16，故选C ．点评：以上两例都是勾股定理的直接运用，当已知直角三角形的两边，求第三边时，往往要借助于勾股定理来解决．例2．如图3，正方形网格的每一个小正方形的边长都是1，试求122424454A E A A E C A E C ++∠∠∠的度数．解：连结32A E ．32122222A A A A A E A E ==，，32212290A A E A A E ∠=∠=，322122Rt Rt A A E A A E ∴△≌△（SAS ）．322122A E A A E A ∴∠=∠．由勾股定理，得：4532C E C E ===，4532A E A E ===，图1 图21A2A3A 4A 5A 5E 2E 1E 1D 1C 1B 4C1A 2A3A4A 5A 5E2E 1E1D 1C 1B 4C3C2C 图344332A C A C ==，445332A C E A C E ∴△≌△（SSS ）．323454A E C A E C ∴∠=∠ 122424454324424323224A E A A E C A E C A E C A E C A E C A E C ∴∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠．由图可知224E C C △为等腰直角三角形．22445A E C ∴∠=．即12242445445A E A A E C A E C ∠+∠+∠=．点评：由于在正方形网格中，它有两个主要特征：（1）任何格点之间的线段都是某正方形或长方形的边或对角线，所以格点间的任何线段长度都能求得．（2）利用正方形的性质，我们很容易知道一些特殊的角，如450、900、1350，便一目了然．以上两例就是根据网格的直观性，再结合图形特点，运用勾股定理进行计算，易求得线段和角的特殊值，重点考查学生的直觉观察能力和数形结合的能力．专练一：1、△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=2：1：1，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则下列各等式中成立的是（）（A ）222a b c +=；（B ）222a b =；（C ）222c a =；（D ）222b a = 2、若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有（）（A ）1个；（B ）2个；（C ）3个；（D ）4个3、一根旗杆在离底面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高为（）（A ）10.5米；（B ）7.5米；（C ）12米；（D ）8米 4、下列说法中正确的有（）（1）如果∠A+∠B+∠C=3：4：5，则△ABC 是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C ，那么△ABC 是直角三角形；（3）如果三角形三边之比为6：8：10，则ABC 是直角三角形；（4）如果三边长分别是221,2,1(1)n n n n -+>，则ABC 是直角三角形。

勾股定理(1)优秀学案

222a b c +=勾股定理(1)学习目标1.经历探索及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想2.掌握勾股定理，并应用它解决一些简单问题3.理解并利用割补法证明勾股定理一．情景引入1.勾股定理的历史及背景2.如图（1）所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形。

各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧，你能说说其中的奥秘吗？（1） (2)二．新知探究1.（1）能发现图(2)中三个正方形的面积之间有何关系吗？结论：。

合作探究（2）观察下图，填表。

（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．2.猜想命题：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么。

3.合作探究已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证:归纳定理：如果直角三角形的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么_______________4. 证法积累：利用下图，模仿上述推导，能否得到相同的结果？（1）.传说中的毕达哥拉斯证法(提示（1）中拼成的正方形与（2）中拼成的正方形面相等.)A 的面积B 的面积C 的面积左图右图 A B C C B AC A BD（2）.美国的20任总统詹姆斯·加菲尔德的证法.提示：3个三角形的面积的和=梯形的面积三．典型题例例题1．在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则它的三条边之比为( )A ．1:1:2B ．1:3:2C ．1:3:2D ．1:4:1例题2. 如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。

(2)求AB 的长。

例题3.如图，AC ⊥BC ，垂足为C ，AC=4，BC=33，将线段AC 绕点A 按逆时针方向旋转60°，得到线段AD ，连接DC ，BD ．(1)求线段CD 的长； (2)求线段DB 的长．四.活学活用：1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）若5=a ，12=b ，则c =_________；（2）若15=a ，25=c ，则b =___________；2. 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）若5=a ，1=-b c 则=b ____；c = （2）若4:3:=b a ，10=c 则S Rt △ABC =________。

勾股定理

课题：勾股定理复习学案1．知识点梳理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，如果用,a b 和c 分别表示直角三角形的直角边和斜边，那么__________2c =．（2）勾股定理各种表达式：在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边也分别为,,a b c ，则2a =_________，2b =_________，2c =_________．（3）勾股定理的逆定理：在△ABC 中，若,,a b c 三边满足___________，则△ABC 为___________．（4）勾股数：满足___________的三个___________，称为勾股数．（5）几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________解决最短线路问题．（6）直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？从边的关系来说，当然就是勾股定理；从角度的关系来说，由于直角三角形中有一个特殊的角即直角，所以直角三角形的两个锐角．直角三角形作为一个特殊的三角形．如果又有一个锐角是30︒，那么30︒的角所对的直角边是斜边的．（7）举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形？可以从角、边两个方面判断．①从定义即从角出发去判断一个三角形是直角三角形．例如：在△ABC 中，7515B C ∠=︒∠=︒，，根据三角形的内角和定理，可得A ∠= ，根据定义可判断△ABC 是直角三角形．在△ABC 中，1123A B C ∠=∠=∠，由三角形的内角和定理可知，A 30∠=︒，2B A ∠=∠= °，3C A ∠=∠= °，△ABC 是直角三角形．②从边出发来判断一个三角形是直角三角形．其实从边来判断直角三角形它的理论依据就是判定直角三角形的条件（即勾股定理的逆定理）．例如：△ABC 的三条边分别为72524a b c ===，，，而2222262572524a c b +=+===，根据勾股定理的逆定理可知△ABC 是三角形，但这里要注意的是b 所对的角90B ∠=︒．在△ABC 三条边的比为::5:12:a b c = ，△ABC 是直角三角形．8．通过回顾与思考中的问题的交流，由学生自己建立本章的知识结构图．三边的关系--勾股定理→历史、应用直角三角形直角三角形的判别→应用二、典型例题 1．利用勾股定理求边长．例1 已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．跟踪训练1:一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，那么它斜边上的高线长为A. 5B. 2.5C. 2.4D. 22．利用勾股定理求图形面积．（1）如图，BC 长为3cm ，AB 长为4cm ，Af 长为12cm ．求正方形CDEF 的面积．3．利用勾股定理逆定理判定△ABC 的形状或求角度．例3 在△ABC 中，A B C ∠∠∠，，的对边分别为a b c ，，，且2()()a b a b c +-=，则（A ）A ∠为直角（B ）C ∠为直角（C ）B ∠为直角（D ）不是直角三角形跟踪训练3:已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，有下列各组条件，判定△ABC 的形状． ①41409a b c ===，，； ②222220a m n b m n c mn m n =-=+=>>，，（）．4．勾股定理及逆定理的综合应用．例4 B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东60︒方向以每小时8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时15 n mile 的速度前进，2小时后，甲船到M 岛，乙船到P 岛，两岛相距34 n mile ，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？跟踪训练4:如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON =30°.公路PQ 上A 处距O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时， A 处受噪音影响的时间为．{例5 如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（）dm．A．20 B．25 C．30 D．35三、巩固练习1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）．A．1.5，2，2.5 B．4，5，6 C．2，3，4 D．1，32．如图：在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM=5，则CE2+CF2等于（）．A．75 B．100 C．120 D．1253．如图，在△ABC中，∠A=∠B=45°，AB=4，以AC为边的阴影部分图形是一个正方形，则这个正方形的面积为（）．A．2 B．4 C．8 D．164．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）．A. 25B. 14C. 7D. 7或255．如图，在四边形ABCD中，已知AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．7．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s=3.6km/h）四、拓展提升1．已知Rt △ABC 中，90C ∠=︒，若1410a b c m c c m +==，，求Rt △ABC 的面积．2．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH 的边长为2 m ，坡角30906A B BC ∠=︒∠=︒=，，m ．当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝ m 时，有222DC AE BC =+．3．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD ＝80cm ，高AB ＝60cm ，水深AE ＝40cm .在水面上紧贴内壁G 处有一块面包屑，G 在水面线EF 上，且EG ＝60cm ，一只蚂蚁想从鱼缸外的A 点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G 处吃面包屑．(1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；(2)求蚂蚁爬行的最短路线长．4．如图，铁路上A ，B 两点相距25 km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA ＝15 km ，CB ＝10 km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？第一章勾股定理单元测试题一、选择题．（共10道小题，每题3分，共30分）1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）．A．1cm，3cm，3 cm； B．2 cm，3 cm，4 cm；C．4 cm，6 cm，8 cm； D．5 cm，12 cm，13 cm．2．若直角三角形两边长分别是3和4，则第三边的长的平方为（）．A．5 B．7 C．25 D．25或73．三角形的三边长分别为5，12，13，边长为12的边上的高为（）.A．5 B．12 C．13 D．60 134．已知一个直角三角形的斜边长比直角边长多2，另一条直角边长为8，则斜边长为（）．A．12 B．6 C．17 D．155．如图，在正方形ABCD中，AB=8，AE=4，DF=2，图中有（）个直角三角形．A．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个6．下列条件中，不能．．判断一个三角形是直角三角形的是A. 三个角的比为1:2:3B. 三条边满足关系a2 ＝b2 - c2C. 三条边的比为1:2:3D. 三个角满足关系∠B＋∠C＝∠A7．如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（）．A. 14B. 16C. 20D. 288．如图，在△ABC中，AC=10，DC=6，AD=8，BC=21，则AB 的长为（）.A. 15B. 16C. 14D. 179．已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）．A．3cm2B．4cm2 C．6cm2 D．12cm210．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7 m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3 m．同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB′（）．A．小于1mB．大于1m C．等于1mCBDFD ．小于或等于1 m二、填空题．（共10道小题，每题3分，共30分）11．如图，数轴上点A 表示的数是__________．12．强大的台风使得一根旗杆在离地面3m 处折断倒下，旗杆顶不落在离旗杆底部4m 处，则旗杆折断之前的高度是．14．如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B = 90，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段DN 的长为．17．如图，将一根长24厘米的筷子，置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形水杯中，则筷子露在杯子外面的长度至少为厘米．18．如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ,8cm ,30 cm ,在AB 中点C 处有一滴蜜糖，一只小虫从P 处爬到C 处去吃，有多种走法，则最短路程是．20．如图，在一个长方形草坪ABCD 上，放着一根长方体的木块，已知AD =6米，AB =5米，该木块的较长边与AD 平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A 处爬过木块到达C 处需要走的最短路程是_________米．三．解答下列各题．21．如图是一个滑梯的示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长，已知滑梯的高CE =BD =3m ，CD =1m ，求滑道AC 的长．（6分）22．如图，已知四边形ABCD 中，AB =15，BC =20，AD =7，CD =24，∠B =90○，求四边形ABCD 的面积. （6分）23．如图，25米长的梯子,斜靠在一竖直的墙上,这时梯足到墙底端的距离为7米,如果梯子的顶端沿墙下滑4米,那么梯足将向外移多少米?（6分）24．如图正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，请你根据所学的知识．（6分）（1）判断△ABC 是什么形状？并说明理由．（2）求△ABC 的面积．25．构造定义（8分）学习了勾股定理及其逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，反之结论也成立。

北师大版数学八年级上册第一章勾股定理复习学案(含部分答案)

八上期末复习一勾股定理班级学号姓名一、知识点归纳：1．勾股定理：直角三角形两边的平方和等于的平方.2．勾股定理的逆定理：在△ABC中，若a、b、c三边满足___________，则△ABC为___________,斜边为 . 3．勾股数：边长为0.3,0.4,0.5的三角形是否为一个直角三角形? 0.3,0.4,0.5是勾股数吗?总结:满足_____ ___的三个___ _____，称为勾股数.4.直角三角形中边的特殊关系：（1）在Rt△ABC，∠C=90°，a=b=5，则c=（2）在Rt△ABC，∠C=90°，a=1,c=2, 则b=（3）在Rt△ABC，∠C=90°，b=15，∠A=30°，则a= ，c= 。

总结：①在中，30°所对的边是边的一半。

②在Rt△ABC中，若∠A=45°, ∠C=90°,则△ABC是一个三角形。

其中，= 。

二、典例讲解：例1、已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

例2、一个直角三角形的周长为9，斜边为4，求这个三角形的面积。

例3、如图，在矩形ABCD中，AB＝5cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边BC上一点F处，且△ABF的面积是30cm2．求此时EC的长．例4．已知ABC ∆为等腰直角三角形，∠A ＝︒90,AB=AC, D 为BC 的中点，E 为AB 上一点， BE ＝12，F 为AC 上一点，FC=5，且∠EDF ＝︒90，求EF 的长度。

例5、如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是_____________例6、已知，如图，在四边形ABCD 中，∠ABC =90°，CD ⊥AD 于点D ,且CD 2+AD 2=2AB 2. (1)求证AB =BC ;(2)当BE ⊥AD 于点E 时，试证明：BE =AE +CD .例7、如图，等边三角形ABC 内一点P ，AP =3，BP =4，CP =5，求∠APB 的度数.BCDEFA作业：一、选择题1、下列说法中正确的有（）（1）如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形；（2）如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；（3）如果三角形三边为111,,345，则∆ABC是直角三角形；（4）如果三边长分别是2222, 2,m n mn m n+-，则∆ABC是直角三角形。

《勾股定理》学案

《勾股定理》复习学案第1讲勾股定理（1）一、勾股定理1．勾股定理的具体内容用字母表示为：。

2．如图，直角△ABC的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）两锐角之间的关系：；3. 若∠A=30°，三边之间的关系：；4. 若∠A=45°，三边之间的关系：；5. 若D是斜边AB的中点，则有＝＝；二、回顾勾股定理的证明：你能用这个图形证明勾股定理吗？二、课堂练习1.在Rt△ABC中，∠C=90°⑴已知a=b=5,求c。

⑵已知a=1,c=2, 求b。

⑶已知c=17,b=8, 求a。

⑷已知a：b=1：2,c=5, 求a。

⑸已知b=15，∠A=30°，求a，c。

2.已知直角三角形的两边长分别为5和12，求第三边。

3.已知：如图，等边△ABC的边长是6cm。

⑴求等边△ABC的高；⑵求S△ABC。

三、课堂检测：1．填空题⑴在Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= 。

⑵在Rt△ABC，∠B=90°，a=3，b=4，则c= 。

⑶在Rt△ABC，∠C=90°，c=10，a：b=3：4，则a= ，b= 。

⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。

⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

⑹已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

4，AC=4，AD是BC边上的高，求BC 2．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=3的长。

3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

第2讲勾股定理（2）一、求出下列直角三角形中未知的边．归纳：（1）在求解直角三角形的未知边时需要知道哪些条件？应该注意哪些问题？（2）直角三角形中哪条边最长？它所对的是什么角？二、探究11.在长方形ABCD 中，宽AB 为1m ，长BC 为2m ，求AC 的长2．在矩形中，如何确定直角三角形模型？3.一个门框的尺寸如图所示．①若有一块长3米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？②若薄木板长3米，宽1.5米呢？③若薄木板长3米，宽2.2米呢？为什么？6 10 A C B 2 45° A 15C B 2 30°三．探究2如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．①球梯子的底端B距墙角O多少米？②如果梯的顶端A沿墙下滑0.5米至C，请同学们猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）．四、课堂检测：1．小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着45度的坡路走了500米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。

中学数学勾股定理的复习教案

中学数学勾股定理的复习教案一、学习目标1.熟练掌握勾股定理的内容。

2.能对不同的勾股定理问题进行合理判断，并对相应问进行解决。

3.能解决空间基本图形的勾股定理问题。

二、知识点总结1.勾股定理的排列组合⑴若 A、B 为直角边，C 为斜边，则有 A²+B²=C²。

⑵若 A、C 为两条直角边，B 为斜边，则有 A²+C²=B²。

⑶若 B、C 为两条直角边，A 为斜边，则有 B²+C²=A²。

其中，⑴和⑵是等式的两种变形形式，而⑶则是勾股定理的两种不同定义形式。

2.应用问题⑴求出长度为多少的直角边？左图为已知斜边为 5，一条直角边为 3，问另一直角边长 B？右图为已知斜边长度 8，求其另一直角边长 A 与 B。

⑵判断图形是否为直角三角形？某几何图形各边长为 4、5、6，是否三角形？是否是直角三角形？三、教学流程1.引入⑴回忆勾股定理的知识点。

⑵引入教学主题：本次的复习将会了解如何应用勾股定理，解决一些勾股定理在几何图形中的应用问题。

2.教学重点⑴勾股定理的应用。

⑵怎样进行图形判断。

3.教学步骤与方法⑴教师出示勾股定理相关练习题讲解方法，可在小黑板上，或PPT等辅助教具上讲解。

⑵针对练习题，进行讲解解决步骤，同时加深同学们对勾股定理知识点的理解。

⑶介绍解决勾股定理在空间基本图形上的应用问题，如立方体、直角三角形等。

4.教学策略⑴合作学习：通过进行课堂练习，在小组合作完成教师留下的应用题目，在轮流发言的学习模式下达到合作学习的目的。

⑵讲授：通过教师的讲授，让学生更好地掌握勾股定理的知识点，同时，让学生更自主地思考题目及其解决方法。

⑶案例分析：通过案例分析，让同学们理解勾股定理在几何图形中的应用，能够遇到问题及时进行判断、解决。

5.教学提示在教学过程中，教师要注重对同学们的思维引导，同时营造积极、自信的课堂环境。

应遇到问题及时指导，但不应破坏学生自主思考、独立解决问题的机会。

勾股定理一对一专题讲义

知识点梳理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += ２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c=，b=，a =②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。

cb aHG F EDCBAbacbac cabcab a bcc baE D CBA① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；② 若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；③ 定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CBA ADB C10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。