第三章 基数(集合论讲义)

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证明：由定义直接得到。 事实上，任何两个集合的基数都可以进行比较。
定理 3.3 （Zermelo）设 A 和 B 是任意两个集合，则 | A |<| B | ，| A |=| B | ，| A |>| B |
三者中恰有一个成立。
选择公理 设集族 A = {Aα :α ∈ S}中的元素 Aα 都是非空集，则存在指标集 S 上的函数 f ， 使得对任意α ∈ S ，都有 f (α ) ∈ Aα 。
集合规模是否相同取决于它们之间是否存在一一映射。
定义 1.1 设 A ， B 是任意两个集合，若存在一个双射 f ： A → B ，则称 A 和 B 等势，或 称 A 和 B 的基数相同，记为 A ∼ B ， A 的基数记为 | A | 。
下面给出有限集和无限集的严格定义。
定义 1.2 设 A 为一个集合，若 A 为空集或与集合{0,1, 2, , n −1} 的基数相同，则称 A 为有 限集。此时，| A |= n ∈ （ A 为空集时，| A |= 0 ），若集合 A 不是有限集，则称 A 为无限
注：公理中的函数 f 称为集族 A 上的选择函数。
Zorn 引理 若偏序集 P 上的每个链都有上界，则 P 存在极大元。
可以证明，选择公理和 Zorn 引理是等价的。Zorn 引理在拓扑，泛函等其他数学分支中有广 泛应用，下面利用 Zorn 引理来证明定理 3.3。
定理 3.3 的证明：设集合 P 由满足：dom( f ) ⊆ A ， ran( f ) ⊆ B 的双射 f 组成。在 P 上定 义二元关系“ ≤ ”如下： f1 ≤ f2 当且仅当 dom( f1) ⊆ dom( f2 ) 而且 f2 | = dom( f1) f1 。容易验 证，“ ≤ ”是 P 上的偏序， P 称为偏序集。
i =1
则 A 中元素可如下排列：
a1,1, a1,2 , a2,1, a1,3 , a2,2 , a3,1, a1,4 , a2,3 , a3,2 , a4,1, , a1,n−1, a2,n−2 , , an−1,1,
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所以 A 是可列集。
上述证明方法称为对角线法。
推论 2.1 有理数集 是可列集。
引理 2.1 (Cantor) 对于任何区间[a,b] 和任何实数序列{an}n∈ 来说，存在 c ∈[a, b] ，使得 c 不等于任何 an 。
证明：记 I = [a, b] ，将 I 均分成三个小闭区间，令 I0 为其中第一个不含 a0 的小区间；又将
I0 均分成三个小闭区间，令 I1 为第一个不含 a1 的小区间；继续这种操作，得到闭区间套
证明：因为| A |≤| B | ，| B |≤| A | ，所以存在从 A 到 B 的单射 f 和从 B 到 A 的单射 g 。约定 A 和 B 没有相同元素，记 C = A ∪ B 。在 C 上定义“父亲”关系如下：对于 ∀a ∈ A ，若 ∃b ∈ B ，使得 g(b) = a ，则称 b 是 a 的父亲；类似地，对于 ∀b ∈ B ，若 ∃a ∈ A ，使得
f
(
x)
=
⎧⎨⎩ax2, i
,
if x = ai otherwise
。
§3.2 可列集与不可列集 定义 2.1 若存在从 到 A 的双射，则称 A 为可列无限集，简称可列集。
此时， | A |= ℵ0 。自然数集 可以排成一个无穷序列的形式，因此，集合 A 是可列集的充 要条件是， A 中元素也可以排成一个无穷序列的形式。
集。
定理 1.1 自然数集 是无限集。
证明：由定义 3.2, 只要证明 不是有限集即可。假设 是有限集，则存在 n ，使得存在双 射 f ：{0,1, 2, , n −1} → 。令 k = 1+ max{ f (0), f (1), , f (n −1)}，显然 k ∈ ，但 对于任意 x ∈{0,1, 2, , n −1} ，有 f (x) ≠ k （ f (x) < k ），与 f 是满射矛盾。所以 不是
由定理 2.1 知，ℵ0 是最小的无限基数，问：是否有最大的无限基数。下面的定理回答这个
问题。
定理 3.5 （Cantor）对于任何集合 A ，必有 | A |<| ρ( A) | 。
证明：首先来说明| A |≤| ρ( A) | 。为此作映射 f ： A → ρ( A) x ⎯⎯f →{x}
显然，f 是单射。所以| A |≤| ρ( A) | 。再来说明 | A |≠| ρ( A) |。否则存在双射 g ：A → ρ( A) 。 若 a ∈ g(a) ，则称 a 是 A 的“内部元素”；若 a ∉ g(a) ，则称 a 是 A 的“外部元素”。设 B 是由 A 的外部元素所组成的集合，即， B = {x : x ∉ g(x)} 。因 B ∈ ρ( A) ，故存在 b ∈ A ， 使 得 g(b) = B 。 但 是 b ∈ g(b) 当 且 仅 当 b ∉ g(b) ， 矛 盾 。 故 | A |≠| ρ( A) | 。 总 之 ， | A |<| ρ( A) | 。
{I i }i∈
，满足
ai
∉
Ii
，
Ii+1
⊂
Ii
，|
Ii+1
|=
1 3
|
Ii
| 。根据闭区间套定理，存在唯一的实数
c
，
使得 c ∈ Ii ， ∀i ∈ 。故 c 不等于任何 an 。
令 f (t) = tan(π (t − 1)) ，则 f 是从开区间 (0,1) 到实数集 的双射。 2
的基数记为ℵ ，读作“阿列夫”。 §3.3 基数的比较
第三章 基数
§3.1 基数的概念
研究集合时，如果抛开集合元素所具有的特性，而只考虑集合中元素的“个数”，或者说， 考虑集合的“规模”，这就引出了集合的基数的概念。
比较两个有限集的大小，可以由它们中元素的个数来确定，但对于两个无限集来说，不能简
单地认为它们的规模相同。自然数集 和 的幂集 2 似应有所区别。最终的做法是，两个
黎数学家大会上列举了 23 个未解决的数学问题，其中第一个就是康托尔的连续统基数问题。 这个难题是数学中的一个很基本的问题，一百年来一直是数理逻辑中的中心问题之一，也是 集合论中最难的问题之一。经过许多数学家的努力，已取得重大进展。这个难题的目前研究 结果是：连续统假设和它的否定都与集合论公理系统相容。
f (a) = b ，则称 a 是 b 的父亲。“父亲”关系的传递闭包称为“祖先”关系。记
A1 = {a ∈ A : a是a的祖先} ，
B1 = {b ∈ B : b是b的祖先} ；
A2 = {a ∈ A − A1 : a有偶数个祖先}， B2 = {b ∈ B − B1 : b有偶数个祖先}；
A3 = {a ∈ A − A1 : a有奇数个祖先} ， B3 = {a ∈ B − B1 : b有奇数个祖先}；
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(c) κ λ =| LK | ，其中 K 和 L 是基数分别为 κ 和 λ 的任意两个集合， LK 是所有 L 到 K 的
映射组成的集合。
定义的合理性由下列定理所确定。
定理 4.1 设 K1 ∼ K2 ， L1 ∼ L2 ，则
(a)若 K1 ∩ L1 ∼ K2 ∩ L2 ，则 K1 ∪ L1 ∼ K2 ∪ L2 ；
∪ 设 F = { fα : α ∈ S}是 P 上的任意一个链，则容易验证 fα 是 F 的一个上界，由 Zorn α∈S
引理知道， P 存在一个极大元 f 。我们可断言： dom( f ) = A 或 ran( f ) = B 。若不然， dom( f ) ⊂ A 且 ran( f ) ⊂ B ，取 a ∈ A − dom( f ) ，b ∈ B − ran( f ) ，则 f ∪{(a,b)}∈ P ， 而且 f < f ∪{(a,b)} ，这与 f 的极大性矛盾。
集合的势应如何确定其相对大小？
定义 3.1 设 A 和 B 是任意两个集合，若存在从 A 到 B 的单射，则称 A 的基数小于等于 B 的
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基数，记为| A |≤| B | 或| B |≥| A | 。若| A |≤| B | 且| A |≠| B | ，则称 A 的基数小于 B 的基数， 记为| A |<| B | 。
证明：只要证明正有理数集 + 是可列集。令 n 是以 n 为分母的分数组成的集合，则
∪∞
+=
n ，应用定理 2.2 即得。
n=1
推论 2.1 说明自然数集与有理数集是等势的，这是一个惊人的结论。进一步问：自然数集与 实数集是否等势？回答是否定的。
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定理 2.3 任何区间[a,b] 不是可列集。
定理 2.3 可由下面引理证得。
显然， 与 都是 的真子集。上面例子表明，无限集可以与它的某个真子集等势。对
1
2
于有限集来说，这是不可能的。
定理 1.2 任何无限集必与它的某个真子集等势。
证明：设 A 是任意一个无限集。因 A 非空，从 A 中取出一个元素，记作 a1 ； A −{a1}也非 空，从中取元素 a2 ；继续此过程，对于任意 k ∈ ， A −{a1, , ak }非空，从中取元素 ak+1 。 于是从 A 中取出一列元素{a1, a2 , }。记 A = A −{a1, a2 , } ，B = A ∪{a2 , a4 , }，则 B 是 A 的真子集，如下构造的从 A 到 B 的映射 f 是双射。
由断言知道， | A |≤| B | 或 | B |≤| A | ，若两者同时成立，则 | A |=| B | ；若前者成立，后 者不成立，则| A |<| B | ；若后者成立，前者不成立，则| A |>| B | 。
定理 3.4 ℵ0 < ℵ (| |<| | )。
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问题：在ℵ0 与ℵ 之间有没有其它的基数呢？康托尔早在一百多年前就提出了一个猜想：在 ℵ0 与ℵ 之间没有其它的基数。这就是著名的连续统假设。1900 年著名数学家希尔伯特在巴
=
⎧⎪ f (a), ⎨⎪⎩g −1(a),
a∈A− a ∈ A3
A3
。
所以| A |=| B | 。
定理 3.2 设 A ， B ， C 是任意集合，那么 （1） 若 A ⊆ B ，则| A |≤| B | ；
（2） 若| A |≤| B | ，| B |≤| C | ，则| A |≤| C | 。
有限集。
因此，不存在自然数能作为 的基数。我们记 | |= ℵ0 ，读作“阿列夫零”。
下面给出一些与 等势的例子。
例 1.1 1 = {2k +1: k ∈ }， 2 = {2k : k ∈ }， 都与 等势。
说明： f ：
→
，
1
f
(k)
=
2k
+1；
g
：
→
，
2
f
(k)
=
2k
；h
：
→
，
1
f (k) = (−1)k ⎡⎢k 2⎤⎥ 。其中 ⎡⎢x⎤⎥ 表示不小于 x 的最小整数。
定义的合理性：会不会既有| A |≤| B | 又有| B |≤| A | ，但| A |≠| B | 呢？下面的定理告诉我们，
这种情形不会出现。
定理 3.1 （Cantor-Bernstein）设 A 和 B 是任意两个集合，若| A |≤| B | 且| B |≤| A | ，则必有 | A |=| B | 。
A4 = {a ∈ A − A1 : a有无限个祖先}， B4 = {b ∈ B − B1 : b有无限个祖先}。
则下列映射都是双射：
f : A1 → B1 ； f : A2 → B3 ； g : B2 → A3 ； f : A4 → B4 ，
从而如下定义的从 A 到 B 的映射 h 是双射
h(a)
定理 2.1 任何无限集必含有一个可列子集。
说明：由定理 1.2 的证明过程可得。
定理 2.2 （1）可列集的任何无限子集必为可列集； （2）可列集中加入有限个元素仍为可列集； （3）两个可列集之并仍为可列集； （4）可列个可列集之并仍为可列集。
∪∞
证明：（4）设可列个可列集为 A1 ，A2 ， ，每个 Ai 中元素记为 ai,1 ，ai,2 ， ，设 A = Ai ，
定理 3.5 告诉我们：ℵ0 < 2ℵ0 ，可以证明 2ℵ0 = ℵ。
§3.4 基数的运算
定义 4.1 设κ , λ 是任意两个基数。 (a) κ + λ =| K ∪ L | , 其中 K 和 L 是互不相交的基数分别为κ 和 λ 的任意两个集合； (b) κ ⋅ λ =| K × L | ，其中 K 和 L 是基数分别为κ 和 λ 的任意两个集合；