勾股定理(4)

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勾股定理

板块一勾股定理1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CAB cba勾股定理3．勾股定理的逆定理：如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即 222,,ABC AC BC AB ABC ∆+=∆在中如果那么是直角三角形。

4．勾股数：满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

板块一、勾股定理【例1】下列说法正确的是（）A. 若a b c ，，是ABC ∆的三边，则222a b c +=B. 若a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，则222a b c +=C. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90A ∠=︒，则222a b c +=D. 若 a b c ，，是Rt ABC ∆的三边，90C ∠=︒，则222a b c +=【例2】在Rt ABC ∆中， 90C ∠=︒，（1）如果34a b ==，，则c = ；（2）如果68a b ==，，则c = ；（3）如果512a b ==，，则c = ；（4）如果1520a b ==，，则c = .【例3】若一个直角三角形三边的长分别是三个连续的自然数，则这个三角形的周长为【例4】一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．【例5】已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长.【例6】已知直角三角形两边x ，y 的长满足240x -，则第三边长为______________．【例7】一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20【例8】如果梯子的底端距离墙根的水平距离是9m ，那么15m 长的梯子可以达到的高度为【例9】如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC BC AC BC ⊥=，，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（） A ．x y = B ．x y > C ．x y < D ．不确定CA【例10】如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距离地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离米（填“大于”、“等于”、“小于”）68【例11】三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D.8【例12】若ABC ∆的三边a b c ，，满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为【例13】如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )A. 1倍B. 2倍C. 3倍D. 4倍【例14】如图，一根高8米的旗杆被风吹断倒地，旗杆顶端A 触地处到旗杆底部B 的距离为6米，则折断点C到旗杆底部B 的距离为CBA【例15】已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果8cm AB =，10cm BC =，求EC 的长．【例16】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6cm 8cm AC BC ==，，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，那么CD 的长为多少？EDCBA【例17】如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3CBA【例18】如图所示，在ABC ∆中，三边a b c ，，的大小关系是（）cbaCBAA. a b c <<B. c a b <<C. c b a <<D. b a c <<【例19】设,,,a b c d 都是正数。

八年级数学《勾股定理-第四课时》教学设计

“三部五环”教学模式设计《18.1.4勾股定理（4）》教学设计1、教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册第18章第一节勾股定理第4课时。

2.设计理念本设计以“活动----参与”教学法为主，辅之小组合作、交流讨论。

以问题为主线，练习为核心，活动为载体，从学生已有的生活经验和认知基础出发，引导其经历探索神奇的“勾股数”、“勾股树”、“数轴上的无理点”等问题的全过程，激发学生的学习热情，更好地理解勾股定理应用价值，逐步树立科学探索精神。

体现“人人学有价值数学、不同的人在数学中得到不同发展”的新课程理念。

整个数学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，充分利用现代信息技术的直观、动态功能，丰富教学可视性材料，增大课堂容量，优化教学结构，实现课堂教学效果最优化。

3.知识背景分析本节课是勾股定理的第4课时，要求学生能熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。

能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步的领会数形结合的思想。

4.学情背景分析教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经初步掌握了勾股定理的知识，通过本节的学习使学生能熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。

能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步深化对实数的认识，领会数形结合的思想。

鉴于学生的知识基础和学习方法的积累本节课以学生练习与合作探究为主，教师根据反馈信息进行指导、点评。

5.学习目标5.1知识与技能目标1．熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。

2．能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步的领会数形结合的思想。

5.2过程与方法目标1．通过学生的实践操作，培养了学生的探究能力、画图能力和解决实际问题的能力。

2．在利用勾股定理解决实际问题过程中，进一步体会勾股定理的应用方法。

勾3股4定理公式大全

勾3股4定理公式大全勾股定理公式大全勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形中的关系。

在三角学和几何学中，勾股定理的应用广泛且重要。

本文将为您提供勾股定理的公式大全，以帮助您深入理解和运用。

一、直角三角形及勾股定理概述在开始介绍公式之前，我们先来了解一下直角三角形和勾股定理的基本概念。

直角三角形是指其中一个角为直角（即90度），即一个角为90°的三角形。

在直角三角形中，有一条边与直角相邻，称为斜边；另外两条边称为直角边。

而勾股定理则是描述了直角三角形中三边之间的关系，即直角边的平方和等于斜边的平方。

二、勾股定理公式勾股定理的公式可以根据计算对象的不同进行分类。

下面将逐一介绍这些公式：1. 已知两直角边求斜边的长度在已知直角三角形的两条直角边的长度时，我们可以通过勾股定理求出斜边的长度。

假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则公式如下：c² = a² + b²2. 已知斜边和一直角边求另一直角边的长度当我们已知直角三角形的斜边和其中一条直角边的长度时，可以通过勾股定理求出另一条直角边的长度。

假设直角三角形的斜边为c，已知直角边为a，则公式如下：a² = c² - b²3. 已知斜边和另一直角边求第三边的长度在已知直角三角形的斜边和另一条直角边的长度时，可以通过勾股定理求出第三边的长度。

假设直角三角形的斜边为c，已知直角边为b，则公式如下：b² = c² - a²4. 已知两直角边之比求每条直角边的长度当我们已知直角三角形的两直角边之比时，可以通过勾股定理求出每条直角边的长度。

假设直角三角形的两直角边之比为m:n，直角边的长度为ma和na，则公式如下：a = n * (√(m² + n²))b = m * (√(m² + n²))三、勾股定理的应用勾股定理不仅仅是理论上的数学公式，它在实际应用中也发挥着重要的作用。

勾3股4定理公式大全

勾3股4定理公式大全勾股定理是数学中最基本的定理之一，它描述了直角三角形中直角边与斜边的关系。

而勾三股四定理，则是一种推广的勾股定理，它描述了三个直角三角形的边长之间的比例关系。

以下是勾三股四定理的三个公式及其推导过程。

一、第一个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠C=90°，则有AB^2=BC×AC这个公式可以通过勾股定理的推导得出。

根据勾股定理，有AC^2=AB^2+BC^2带入角C=90°，则有AB^2=AC^2-BC^2即AB^2=BC×AC。

二、第二个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠A=90°，则有AC^2=AB×BC这个公式可以通过将公式一中的AB和BC互换得出。

即将AB^2=BC×AC两边的AB和BC互换，得到AC^2=AB×BC。

三、第三个勾三股四定理公式：设直角三角形ABC，其中∠B=90°，则有BC^2=AB×AC这个公式可以通过将公式一中的AB和AC互换得出。

即将AB^2=BC×AC两边的AB和AC互换，得到BC^2=AB×AC。

ABCB，C在直角三角形ABC中，根据勾三股四定理公式一的推导过程，可以得到AB^2=BC×A C。

同理，根据勾三股四定理公式二和公式三的推导过程，可以得到AC^2=AB×BC以及BC^2=AB×AC。

勾三股四定理公式在解决问题时非常实用，它可以帮助我们在已知两条边后，快速求解剩余边的长度。

举个例子，假设在一个直角三角形ABC中，已知AC=5cm，BC=12cm，我们需要求解AB的长度。

根据勾三股四定理公式一，我们有AB^2=BC×AC代入已知值，即可得到AB^2 = 12cm × 5cm计算得到AB^2 = 60 cm^2再开平方根，即可得到AB的长度，约为7.746cm。

勾3股4定理公式大全

勾3股4定理公式大全1.基本形式：在直角三角形中，设直角边分别为a，b，斜边为c，则有：c²=a²+b²。

这是最基本的勾股定理形式，也是最常见的应用形式。

根据该定理，我们可以利用已知的两条边求解第三条边的长度。

2.次对边形式：在直角三角形中，设直角边为a，斜边为c，另一边为b，则有：b²=c²-a²。

这个形式是基本形式的变形，通过给出直角边和斜边，求解另一直角边的长度。

3.正弦定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。

正弦定理是三角形中的重要定理，可以用来求解三角形中的边长和角度。

它表示每个角的对边与正弦值的比例是相等的。

4.余弦定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：c² = a² + b² - 2abcos(C)。

余弦定理是另一个用于求解三角形中的边长和角度的重要定理。

它表示边的平方等于两边平方和减去两边的乘积与其夹角余弦的乘积。

5.正切定理：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，角度为A，B，C，则有：tan(A) = a/b，tan(B) = b/a。

正切定理表示两角的正切值相等，可以用来求解三角形中的角度。

6.角平分线定理：在任意三角形中，设三角形的内角A，内角的角平分线与边的交点与另一边的交点分别为B和C，则有：AB/AC=BD/DC。

角平分线定理表示角平分线与两边的比例相等，可以用来求解三角形中的边的比例。

7.海伦公式：在任意三角形中，设三边分别为a，b，c，半周长为s，则有：面积=√(s(s-a)(s-b)(s-c))。

海伦公式是用来计算任意三角形面积的公式，通过已知三边长度和半周长，可以求解三角形的面积。

以上是勾股定理及相关公式的简要介绍。

这些定理及公式在解决直角三角形和任意三角形的问题时非常有用，可以通过简单的数值运算求得所需的结果。

勾股定理

A1
B2
C3
D4
2．如图，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）
3. 如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使
AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，
且EF＝3，则AB的长为（）
A．3 B．4
C．5 D．6
4．如图，矩形AOBC中，点A的坐标为（0，8)，点D的
二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
三、勾股定理的作用 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
纵坐标为3，若将矩形沿直线AD折叠，则顶点C恰好落
在边OB上E处，那么图中阴影部分的面积为（）
30 B．32 C．34
D．16
5.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为（） A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
6．在直线上依次摆着7个正方形(如图)，已知倾斜放置的3个正方形的面积分别为1，2，3，水平放置的4个正方形的面积是S1,S2,S3,S4则S1+S2+S3+S4______．
勾股定理
一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 1.勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. 2.利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，
根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. 3.理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2,b2=c2-a2.

数学七上3.1《探索勾股定理》课件(4)

2
通过本课时的学习，需要我们掌握：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 a2+b2=c2(a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边)
没有智慧的头脑，就像没有蜡烛的灯笼.
导入新课
街头巷尾经常回荡着的商贩的吆喝声，这在无心人听来，或许顿生厌烦，而在有生活情趣的人听来，却是优美动人的音乐。
C
？
B
3 5
A
.求斜边长17 cm、一条直角边长15 cm的直角三角形的面积. 【解析】设另一条直角边长是x cm.由勾股定理得: 152+ x2 =172，而x2=172-152=289–225=64，所以 x=±8（负值舍去），所以另一直角边长为8 cm，直角三角形的面积是: 1 8 15 60(cm2).
第二部分(第4—10段)，具体从两个方面入手写“吆喝”：一是“从早到晚”，一是 “一年四季”。
第三部分(第11—14段)，介绍了各种吆喝的主要内容，声调变化、音韵节奏。
本文介绍了旧北京街大街小巷各种吆喝声。围绕吆喝声，介绍了吆喝声所代表的经营品种、介绍了各种吆喝声的具体内容、表现方式以及音韵节奏
a
c
b
勾
弦
股
我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的
c
c
c
c
a
a
a
a
b
b
b
用两种方法表示大正方形的面积:
b
a
b
(a b)2
b cc
a
4 (1 a b) c2 2
a
c
b
对比两种表示方法,你得到勾股定理了吗?
c b
a
我们用另外一种方法来说明勾股定理是正确的

勾股定理(4)

B
蚂蚁 A C 蜂蜜
3 13
针对训练 2、如图是一个棱长为3cm正方体盒子，在盒子下底部的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面B点的食物，需爬行的最短路程是多少？
D
B

A A
C C
针对训练 3、已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?
边 l
针对训练 1、如图，从点 A 0，发出的一束光，经 x轴反 2 射，过点 B 4，，则这束光从点 A到点B 所经过 3 路径的长为．
y A O D C E B
.
x
例题选讲例2、课本P81第8题
. .
B
10
A
6
针对训练 1、如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为 18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为__cm．
D’ Dˊ Aˊ B’ Bˊ
Cˊ B’
D A C
B
B
作业讲评
13m
5m
2m
C D
B
E
A
《全品》P31课时十八
1、B; 2、D; 3、A ; B; 6、B
7、 2 ； 8、7；
4、D;
5、
31 9、； 10、2 2
作业：
1、《全品》课时作业19；
2、练习卷；
3、预习课本P73-76，完成练习（暗线A）。
勾股定理（4）距离最短问题
例题选讲例1、如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村A和李庄B送水，已知张村A、李庄B到河边的距离分别为2km和7km，且张、李二村庄相距13km．（1）水泵应建在什么地方，可使所用的水管最短？（2）如果铺设水管的工程费用为每千米1500元，为使铺设水管费用 B 最节省，请求出最 A 节省的铺设水管的费用为多少元？河

勾3股4定理公式大全

勾3股4定理公式大全【原创实用版】目录1.勾股定理的概述2.勾股定理的公式3.勾股定理的证明方法4.勾股定理的应用实例正文1.勾股定理的概述勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是一个关于直角三角形的数学定理。

它指出：在直角三角形中，直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。

即 a + b = c。

这个定理在我国古代称为“勾三股四定理”，其中 a、b、c 分别代表直角三角形的三条边，a 和 b 为直角边，c 为斜边。

2.勾股定理的公式勾股定理的公式如下：a +b = c其中，a、b 为直角边，c 为斜边。

该公式描述了直角三角形的一个重要性质，即直角边上的两个边（勾）的平方和等于斜边（股）的平方。

3.勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法有很多，如几何证明、代数证明、相似三角形证明等。

以下介绍一种简单的几何证明方法：假设有一个直角三角形 ABC，其中∠C = 90°，AC 为一条直角边，BC 为另一条直角边，AB 为斜边。

作 CD⊥AB 于 D，连接 AD、BD。

则有：AD + BD = AB因为∠C = 90°，所以∠ADC + ∠BDA = 90°。

根据三角形内角和定理，得到∠ADC + ∠BDA + ∠C = 180°，即∠ADC + ∠BDA = 90°。

因此，三角形 ADC 与三角形 BDA 都是直角三角形。

根据直角三角形的性质，有：AD = AC - CDBD = BC - CD将上述两式代入 AD + BD = AB，得到：AC - CD + BC - CD = AB即：AC + BC = AB这就证明了勾股定理。

4.勾股定理的应用实例勾股定理在实际生活和科学研究中有广泛的应用。

例如，在测量建筑物的高度、计算三角形的面积、解决几何问题等方面都会用到勾股定理。

人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理(第4课时)》优课件

第2题图
5. 正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．
（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为3，4，5；
（3）在图（3）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形
三边长分别为2， 5 ，13 .
（1）
第十七章勾股定理
17.1 勾股定理
第4课时
情境引入
受台风麦莎影响，一棵树在离地面 4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部 3米处，这棵树折断前有多高？
知识回顾
1.已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ， ∠C＝ 90°，
则 a、b、c 三者之间的关系是 a2+b2=c2 ；
2.若一个直角三角形两条直角边长是3和2，那么第三条
尝试应用
1 .利用探究的方法，请你在数轴上表示 1 0 的点． 2 .如图所示，∠ACB=∠ABD=90°，CA=CB， ∠DAB=30°，AD=8，求AC的长．
达标检测
1．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高
为 4．
2 ．长为 26 的线段是直角边长为正整数 5 ， 1 的直
①设原点为O，在数轴上找到点A，使OA=3; ②过A点作直线 l 垂直于OA，在 l上截取AB=2; ③以O为圆心，以OB为半径画弧，交数轴于点C，点C即为表示 1 3 的点.
zX.x.K
l B
AC
变式训练
利用勾股定理可以得到长为 2 ， 3 ， 5 ……的线段. 按照同样方法，可以在数轴上画出表示 2 ， 3 ， 5 ……的点.
边长是 1 3 ；
3. 无限不循环小数叫做无理数.

勾股定理

第四讲勾股定理知识梳理一、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方二、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

三、常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13四、勾股定理的作用（1）已知直角三角形的两边求第三边。

（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。

（3）用于证明线段平方关系的问题。

（4）利用勾股定理，作出长为n 的线段。

例题讲解1、在ABC ∆中，o90=∠C（1）若25c 20b ==，，则=a （2）若4:3:=b a ，20=c ，则=a （3）若b a 3=，10=c ，则=∆ABC S2、已知一个Rt △的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定3、已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7 C ．7或25 D ．无法确定4、已知一个△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（） A ．25 B ．7C ．7或25D ．无法确定5、Rt △ABC 中，斜边BC ＝2，则AB 2＋AC 2＋BC 2的值为( ) A ．8 B ．4C ．6D ．无法计算6、如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BD 是AC 边上的高线，DC ＝2，则BD 等于( ) A ．4B ．6C ．8D ．102勾股数树1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中正方形A ，B ，C ，D 的边和长分别为2cm 、1cm 、2cm 、4cm ，则最大的正方形的面积之和为___________cm 2.2、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为6cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为__________cm 2。

人教版八年级数学下册19.9勾股定理(4)

初中数学试卷课题：19.9（4）勾股定理一、教学目标1、勾股定理及逆定理的综合运用；2、经历探索、运用的过程，培养学生的发散性思维能力；3、通过学习如何分析问题、解决问题，激励学生进行科学研究.二、教学重点、难点重点：勾股定理及逆定理的综合运用.难点：添加合适的辅助线.三、教学方法讲解法.四、教具准备多媒体课件.五、教学过程（一）创设情境，引入新课1.选择题:在三边分别为下列长度的三角形中,不是直角三角形是( )(A)9,12,15; (B)2,3,5; (C)1,2,3; (D)4,7,5.2.下列命题中是假命题的是( )(A)三个内角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形.(B)三个内角的度数之比为1:3:2的三角形是直角三角形.(C)三边长度之比为1:3:2的三角形是直角三角形.(D)三边长度之比为2:2:2的三角形是直角三角形.【说明：】复习勾股定理逆定理（二）合作交流，探索新知1、依据,可以根据直角三角形两边长,求第三边长;2、依据,可以根据三边的情况,判定这个三角形是否是直角三角形.【说明：】复习勾股定理及勾股定理的逆定理（三）应用新知，尝试练习1、例题讲解（1）已知:如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,D是边AB上的中点;点E、F分别在边BC,AC上,DE⊥DF;点G在FD的延长线上,DG=DF.求证:(1)GB⊥BC.(2)22BE2EF+AF=.2、尝试练习 .1.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点,AB=15,AC=13,AD=12,CD=5. 求BC的长.【说明：】如何添加辅助线，提高发散性思维能力。

（四）归纳总结，形成体系勾股定理和它的逆定理的有关应用1、求直角三角形斜边上的高。

2、构造三角形。

（五）布置作业，巩固提高练习册《19.9（4）》习题六、教学后记：。

勾股定理(4)教学案和课堂检测

三和中学新授课教学案初二年级数学学科编制：黄周华审核：朱燕黄荣。

此问题能否构建出直角三角形？各量之间有什么初二年级数学学科课堂作业布置2010年月日星期班级______姓名____________学号____预习作业：例1、大风将一根木制旗杆吹裂，随时都可能倒下，十分危急。

“110”迅速赶到现场，并决定从断裂处将旗杆折断。

现在需要划出一个安全警戒区域，那么你能确定这个安全区域的半径至少是多少米；练习：已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（） A 、25海里B 、30海里C 、35海里D 、40海里例2、小东拿着一根长竹竿进一个宽3米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端正好顶着城门的对角，问竿长几米？练习：1、已知，如图所示，折叠长方形的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，•如果cm BC cm AB 10,8==，求EC 的长．2、如图，一只蚂蚁沿边长为a 的正方体表面从顶点A 爬到顶点B ，则它走过的路程最短为（）（A ）a 3 （B ）a )21(+ （C ）a 3 （D ）a 5课堂测试：得分_____1、有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？2、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面直径为5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面露出5㎝，问吸管要做多长？3、将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm ，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h .彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm ）.4、一架长为3m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为2.5m 。

《勾股定理》模型(四)——风吹树折模型

《勾股定理》模型（四）——风吹树折模型“风吹树折”问题又称为“折竹抵地”，源自《九章算术》，原文为∶“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺.问折者高几何?”意思是∶一根竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部 3 尺远，则折断后的竹子高度为多少尺?（1丈=10尺）【模型】如图所示，折断后的两段竹子与地面形成一直角三角形，其中一直角边长三尺，其余两边长度之和为 10尺.【思路】根据勾股定理建立方程，求出折断后的竹子高度为4.55 尺.【解析】设折断后的竹子高度为 x 尺，则被折断的竹子长度为（10—x ）尺.由勾股定理得 x2＋32=（10—x ）2，解得 x= 4.55.答∶折断后竹子的高度是 4.55 尺此模型主要考查勾股定理的运用.在此模型中，已知三角形一条直角边的长度与其余两条边长度之和，即可设所求的一边长度为 x ，通过勾股定理建立方程，求出答案.典例1☆☆☆☆☆由于台风的影响，一棵树在离地面6m 处折断，树顶落在离树干底部8 m 处，则这棵树在折断前（不包括树根）的高度是（）A.8mB.10 mC.16 mD.18 m【答案】C【解析】如图，根据勾股定理得 AB==10（m ），所以大树的高度是 10＋6=16（m ）.故选 C.模型讲解典例秒杀典例2 ☆☆☆☆☆如图，已知一根长8m 的竹竿在离地面3 m 处断裂，竹竿顶部抵着地面，此时，顶部距底部______m.【答案】4【解析】设竹竿顶部距离底部 x m ，则 32＋x ²=（8-3）2，解得 x ＝ 4.故竹竿顶部距离底部 4 m.1（★★☆☆☆）如图，一旗杆在离地面6 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 8 m 处，则旗杆折断之前的高度是 _______ m.2.（★★★☆☆）一阵大风把一棵高为9m 的树在离地 4 m 的 B 处折断，折断处仍相连，此时在离树3.9m 的 D 处，一头高1m 的小马正在吃草，小马有危险吗?为什么?1. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”题意是∶一根竹子原高1丈小试牛刀直击中考（1丈=10 尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高?答∶折断处离地面_______尺高。

人教版勾股定理(4)

②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米
至C，请同学们算一算，梯子底端滑动的距
离的近似值是多少呢？（结果保留两位小
A
数）
C
O
BD
13
例3：在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题。这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？
4
B
a
c
C
b
A
c2 =a2 +b2
a= c2 -b2 b= c2 -a2
c= b2 +a2
5
做一做
1、求出下列直角三角形中未知的边。
B
A
10 6
C
A
8
C
2
30°
45°
2
①在解决上述问题时，每个直角三角形需要知道几个条件呢？
②直角三角形哪条边最长？
6
2、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长BC为2m，求AC长。
勾股定理
第二课时
1
目 Contents 录
01 旧知回顾 02 学习目标
03 新知探究
04 随堂练习
05 课堂小结
2
勾股定理：直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方。
如果在Rt△ABC中，∠C=90°，
那么 a2 b2 =c2。
B
a
c
C bA
3
1、能利用勾股定理解决实际问题。 2、理解立体图形中两点距离最短问题。
S3
S2
S1
17
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知：a=5，b=12，求c。（1）已知：b=6，c=10，求a。（2）已知：a=7，c=25，求b。

4第四节勾股数

商高方程的本原解的一个重要应用

推论
单位圆周上坐标都是有理数的点(称为有理点), 总可以写成 2ab a b a b 2ab ( 2 , ) 或 ( , ) a b2 a 2 b2 a 2 b2 a 2 b2 的形式, 其中a与b是不全为零的整数.

2
2
2
2
这给出了求单位圆周上有理点的一般方法。
2 则l1 2 n1

2 m1 ,且(l1, n1 )
1, 由定理2，a, b Z ,(a, b) 1 m1 (a 2 b2 ),

使：l1 2ab,
n1 (a 2 b2 ), m1 (a 2 b2 )
或l1 (a 2 b2 ), n1 2ab,
应用举例
例 1 求x y z 中0 z 30的所有互质的解.
解 : 由z a 2 b 2 30, a b 0, 得a 5. 又a , b一奇一偶, 故可枚举出所有a , b互质的解如下 : a 5 4 b 2 3 x 20 24 8 12 4 y 21 7 15 5 3 z 29 25 17 13 5 或： x 21 7 15 5 3 y 20 24 8 12 4 z 29 25 17 13 5
应用举例
例 1 求x y z 中0 z 30的所有互质的解.
分析 : 由定理2，商高方程的解为： x 2ab, y a 2 b2 , a b 0, (a, b) 1, z a 2 b2 , a, b 一奇一偶.
2 2 2
而条件已知0 z 30，故由此出发，枚举出所有可能的a, b，即得全部解。 z a 2 b2 30, a b 0, a 5, 又a, b一奇一偶，故有： a 5, b 4(但52 42 30), 2; a 4, b 3,1; a 3, b 2; a 2, b 1.

七年级数学勾股定理(四) 教案人教版

五阳煤矿中学八年级数学（教）学案ABCD7cmABC变式训练：右图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A 、B 、C 、D 、E 、F 得线段AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、F A ，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？并在数轴上作出表示1、2、3、4、5的点.（三）、课堂练习1．△ABC 中，AB=AC=25cm ，高AD=20cm,则BC=，S △ABC =。

2．△ABC 中，若∠A=2∠B=3∠C ，AC=32cm ，则∠A=度，∠B=度,∠C=度，BC=，S △ABC =。

3．△ABC 中，∠C=90°，AB=4，BC=32，CD ⊥AB 于D ，则AC=，CD=，BD=，AD=,S△ABC=。

4．已知：如图，△ABC 中，AB=26，BC=25，AC=17，求S △ABC 。

四、课后巩固训练双基淘宝仔细读题，一定要选择最佳答案哟！1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC 中，边长为无理数的边数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3_ D_ F_ AC_ BEABC2. 如图所示，在△ABC 中，三边a ,b ,c 的大小关系是（） A.a ＜b ＜c B.c ＜a ＜b C.c ＜b ＜a D.b ＜a ＜c 3．等边△ABC 的高为3cm ，以AB 为边的正方形面积为.4．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.5．在△ABC 中，∠C =900,，BC =60cm ,CA =80cm ,一只蜗牛从C 点出发，以每分20cm 的速度沿CA -AB -BC 的路径再回到C 点，需要分的时间.6．第七届国际数学教育大会的会徽主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的. 设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中：综合运用认真解答，一定要细心哟！7．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出1352===EF CD AB 、、这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.OA 2 OA 3OA 4OA 5OA 6OA 7OA 8第1题图第2题图第4题图第6题图D ˊ ABCD A ˊB ˊC ˊ8．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高.9．已知长方体的长为2cm 、宽为1cm 、高为4cm ，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?拓广创新试一试，你一定能成功哟！10．已知：正方形的边长为1.（1）如图（a ），可以计算出正方形的对角线长为2.如图（b ）,求两个并排成的矩形的对角线的长.n 个呢？（2）若把（c ）（d ）两图拼成如下“L ”形，过C 作直线交DE 于A ，交DF 于B .若DB =35，求DA 的长度.六、知识领航1．利用勾股定理可以画出长度是无理数的线段，也就可以在数轴上画出表示无理数的点． 2．领会和掌握数形结合的数学思想方法.七、回顾总结本节知识点你有哪些收获?有哪些困难?说出来我们一起分享,一起克服!!。

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4第四节 勾股数

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