难题 矩形中的折叠问题

探究三
四边形，等量线段的和差 等。
如图,矩形纸片ABCD中， AB=6cm,AD=8cm， 点E、F是矩形ABCD的边AB 、AD上的两个点，将△AEF 沿EF折叠，使A点落在BC边上的A′点，过A′作 A′G∥AB交EF于H点，交AD于G点。
（2）请你自己提出一 （1）找出图中所有相等的 个问题，自己解决。 线段（不包括矩形的对边）
• 据判别式与坐标轴交点个数性质，分别得出即可； （2）首先得出EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0， ），进而 得出RT△EMO∽RT△A′AD，即可求出． 解答：解：（1）由 ，得x2+8kx-8k=0， △=（8k）2+32k=32k（2k+1）， ∵k＜0． ∴ ，EF与抛物线有两个公共点， 当 时，EF与抛物线有一个公共点， 当 时，EF与抛物线没有公共点，
（3）在折叠问题中，若直接解决较困难时，可将 图形还原，可让问题变得简单明了。有时还可采用 动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。
谢谢大家！
挑战综合题
如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在DC 边上的点A′处，x轴垂直平分DA，直线EF的表达 式为y=kx-k （k＜0） 1 2 x ①问：EF与抛物线y=− 有几个公共点？ 8−
• 得 x2+8kx-8k=0，△=(8k)2+32k=32k(2k+1)， ∵k＜0. ∴k＜-时，△＞0，EF与抛物线有两个公共点. 当时，EF与抛物线有一个公共点. 当时，EF与抛物线没有公共点， ②EF与抛物线只有一个公共点时，， EF的表达式为， EF与x轴、y轴的交点为M(1，0)，E(0，)， ∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′， ∴RT△EMO∽RT△A′AD， ， 即， ∴.
(E)
E F (F)
使矩形两顶点落在一边外而折叠
折叠问题中,求角度 如图，a是长方形纸带，将纸带沿 EF折叠成 时，往往可通过动手 图b， 如果∠GEF=20 °，那么∠AEG= 折叠，或将图形还原。
A B 图a E D A FC B E
D'
A
E G 图c
D
? C F
20° F C' B G C 图b D
（2）EF与抛物线只有一个公共点时， ，EF的表达式为 ， EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0， ）， ∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′， ∴RT△EMO∽RT△A′AD（1分） ∴， ∴ （1分）．
⑵对于任意的矩形，按照上述方法是否都能 折出这种三角形？
B M A a C P N D A B' b N D 图9 B' F c N D A E C E A C B M 1 3 2 d F E B' C N D
把矩形沿对角线BD折叠，点C落在C′处。重 叠部分△BED是什么三角形？说明你的理由.
C′ A
E
角平分线与平行线组合时 , 求重叠部分△ BED的面积
能得到等腰三角形 。
D
设未知数，找到相应的直 B 角三角形，用勾股定理建 立方程.
C
折叠矩形可得到菱 形 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6厘米，BC=8厘米，现 将A、C重合，再将纸片折叠压平， （ 1）求折痕 ） △AEF 是何种形状的三角形？ (3 EF 的长。 （ 2） 求AE的长。 （4 ）四边形 AECF是哪种四边形？ G A F D
使矩形对角顶点重合折叠
B E
C
使矩形一顶点落在一边上
如图,矩形纸片ABCD中,AB=6cm,AD=10cm， 点E、F仍在矩形ABCD的边AB 、AD上，仍将△AEF沿EF 折叠，使点A′在BC边上, 当折痕EF移动时，点A′在 BC边上也随之移动。则A′C的范围为
根据点E、F分别在AB、AD上移 动，可折出两个极端位置时的图 形
②当EF与抛物线只有一个公共点时，设A′（x， y），求 xy 的关系．
• 解：（1）由 ，得x2+8kx-8k=0， △=（8k）2+32k=32k（2k+1）， ∵k＜0． ∴ ，EF与抛物线有两个公共点， 当 时，EF与抛物线有一个公共点， 当 时，EF与抛物线没有公共点，
（2）EF与抛物线只有一个公共点时， ，EF的表达式为 ， EF与x轴、y轴的交点为M（1，0），E（0， ）， ∵∠EMO=90°-∠OEM=∠EAA′， ∴RT△EMO∽RT△A′AD（1分） ∴， ∴ （1分）．
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y
B E
2 3 １
A'
C
H (x,y) G F
A
D
x
06湖州中考已知如图，矩形OABC的长为 3 ，宽OC为1， 将⊿AOC沿AC翻折得⊿ APC． （1）填空：∠PCB=____度，P点坐标为（ ， ）； 4 （2）若P，A两点在抛物线y= x2+bx+c上，求b，c的值，并 3 说明点C在此抛物线上； （3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在 一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大 y 值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由 .
C´ D´
如果再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的 度数是
三次折叠
取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下： 第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1） 第二步：再把B点叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上 的对应点为B’，得Rt△AB’E，如图（2） 第三步：沿EB’线折叠得折痕EF，如图（3），利用展开图 （4）探究：⑴△AEF是什么三角形？证明你的结论。
（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出 这种三角形？请说明理由
我的收获
四次折叠 • 将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成 一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若 EH=3，EF=4，那么线段AD与AB的比等 于 。 A H D
M E N B 图 10 F C G
感悟与收获
(1)折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是 对称轴，变换前后两个图形全等。 （2）在矩形的折叠问题中，若有求边长问题，常设未 知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程， 利用方程思想解决问题。
动手折一折
若用一张任意三角形形状的纸片,你能折 叠成面积减半的矩形吗?
☞透过折叠现象看本质:
A
E
F
折 叠 C
轴 对 称
B
D
EF是AD的中垂线 轴对称性质： 1.图形的全等性： 翻折 相等的边，相等的角 全等 2.点的对称性： 对称点连线被对称轴 （折痕）垂直平分.
沿矩形对角线折
如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，