椭圆,双曲线,抛物线性质

椭圆标准方程及其性质知识点大全

(一)椭圆的定义及椭圆的标准方程：

椭圆第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ , 这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：①若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； ②若)(2121

F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形

(二)椭圆的简单几何性：

标准方程是指中心在原点，坐标轴为对称轴的标准位置的椭圆方程。 焦点的位置 焦点在x 轴上

焦点在y 轴上

图形

标准方程

()22

2210x y a b a b +=>> ()22

2210y x a b a b

+=>> 第一定义 到两定点21F F 、

的距离之和等于常数2a ，即21||||2MF MF a +=（212||a F F >） 第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e ，即

(01)MF

e e d

=<< 范围

a x a -≤≤且

b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤

顶点

()1,0a A -、()2,0a A

()10,b B -、()20,b B

()10,a A -、()20,a A

()1,0b B -、()2,0b B

轴长 长轴的长2a = 短轴的长2b = 对称性 关于x 轴、y 轴对称，关于原点中心对称

焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c

焦距

222122()F F c c a b ==-

离心率

2222222

1(01)c c a b b e e a a a a

-====-<<

准线方程

2

a x c

=±

2

a y c

=±

焦半径

0,0()M x y

左焦半径：10MF a ex =+ 右焦半径：20MF a ex =-

下焦半径：10MF a ey =+ 上焦半径：20MF a ey =-

焦点三角形面积

12212tan

()2

MF F S b F MF θ

θ∆==∠

通径

过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：a

b HM 2

2=

（焦点）弦长公式

1,12,2(),()A x y B x y ，2122122124)(11x x x x k x x k AB -++=-+=

【说明】：

方程中的两个参数a 与b ，确定椭圆的形状和大小，是椭圆的定型条件，焦点F ，21,F F 的位置(焦点跟着分母大的走)，是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，常数a ，b ，c 都大于零， 其中a 最大且a 2

=b 2

+c

2

(即a,b,c 为直角三角形的三边，a 为斜边)

1.方程C By Ax =+22

表示椭圆的充要条件是：ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。

当A ＞B 时，焦点在y 轴上，当A ＜B 时，焦点在x 轴上。（根据焦点跟着系数小的走）

(三)焦点三角形 1.面积公式：12

2tan 2

PF F S b θ

∆=如图：

椭圆标准方程为:122

22=+b

y a x )0(>>b a ，椭圆焦点三角形：设P 为椭圆上任

意一点，12,F F 为焦点且∠12F PF θ=，则△12F PF 为焦点三角形，

则由第一定义和余弦定理有θ

cos 122

21+=⋅b PF PF （重点使用）

其面积为2

tan cos 1sin 2221θ

θθb b S PF F =+=

∆（重点使用） 且焦点三角形面积最大值bc S PF F =∆21

2.焦点三角形中的恒等式若()o o y x p ,，∠12F PF θ=。 则o PF F y c b b S ⋅==+=∆2

tan cos 1sin 222

1θθθ 3.焦点三角形的离心率e 问题由第一定义和正弦定理有1

2212

12

121sin sin sin F PF F PF PF F PF PF F F e ∠+∠∠=

+=

由第一定义和余弦弦定理及均值不等式有22

212

212cos 12a PF PF b PF PF =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤+=⋅θ 可得2

21cos e -≥θ

（ 利用张角大小变化易得有12

sin

<≤e θ

）（重点使用）

（四）焦半径问题：由第二定义：椭圆上的点到焦点的距离闭上到对应准线的距离等于离心率e 因此可得 )(01a x a ex a PF o ≤≤-+=左 )(02a x a ex a PF o ≤≤--=右 )(02a y a ey a PF o ≤≤--=上 )(01a y a ey a PF o ≤≤-+=下 负“+”正“-”

所以 （1）焦半径的最大值c a PF +=max ，c a PF -=min

（2）焦点在x 轴上时：两焦半径乘积)(,)(2

2

21a x a ex a PF PF o o ≤≤--=⋅

（三）和（四）的图