湘教版九年级数学上册期中测试题(含答案)

湘教版九年级数学上册期中测试题（含答案）
(考试时间：120分钟 满分：120分)
第Ⅰ卷(选择题 共36分)
一、选择题(每小题3分，共36分)
1．若关于x 的方程(a ＋1)x 2＋x ＋4＝0是一元二次方程，则a 满足的条件是( B ) A ．a ≠0 B ．a ≠－1 C ．a >－1 D ．a <－1
2．若点A (a ，b )在反比例函数y ＝2
x
的图象上，则代数式ab －4的值为( B )
A ．0
B ．－2
C ．2
D ．－6 3．方程(x ＋1)(x －2)＝x ＋1的根是( D ) A ．x 1＝x 2＝2 B ．x 1＝x 2＝3
C ．x 1＝－1，x 2＝2
D ．x 1＝－1，x 2＝3
4．已知△ABC ∽△A ′B ′C ′，AD ，A ′D ′分别是对应边BC ，B ′C ′上的高，且BC ＝10 cm ，B ′C ′＝6 cm ，AD ＝7 cm ，则A ′D ′等于( C )
A.16
3 cm B ．12 cm C.21
5 cm D ．以上都不正确 5．如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF .若AD ＝OA ，则△ABC 与△DEF 的面积之比为( B )
A ．1∶2
B ．1∶4
C ．1∶5
D ．1∶6
第5题图 第7题图 第10题图
6．一次函数y ＝－2x ＋1和反比例函数y ＝3
x
的大致图象是( D )
7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，AD ∶BD ＝5∶3，CF ＝6，则DE 的长为( C )
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12
8．(淄博中考)若关于x 的一元二次方程kx 2－2x －1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( B )
A ．k >－1
B ．k >－1且k ≠0
C ．k <－1
D ．k <－1或k ＝0
9．已知正方形ABCD ，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP 与以E ，C ，P 为顶点的三角形相似的是( C )
A ．∠AP
B ＝∠EP
C B ．∠APE ＝90° C ．P 是BC 的中点
D ．BP ∶BC ＝2∶3
10．如图，△ABC 的三顶点分别为A (1，2)，B (4，2)，C (4，4)．若反比例函数y ＝k
x
在
第一象限内的图象与△ABC 有交点，则k 的取值范围是( C )
A ．1≤k ≤4
B ．2≤k ≤8
C ．2≤k ≤16
D ．8≤k ≤16
11．张大伯计划建一个面积为72平方米的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场一边靠着原有的一堵墙(墙长15米)，另外的部分用26米的竹篱笆围成，如图所示．如果设垂直于墙的一边长为x 米，那么x 满足的方程是( D )
A ．x (13－x )＝72
B ．x (26－x )＝72 C.x （26－x ）2
＝72 D ．x (26－2x )＝72
第11题图 第12题图 第14题图
12．反比例函数y ＝a x (a >0，a 为常数)和y ＝2
x
在第一象限内的图象如图所示，点M 在y
＝a x 的图象上，MC ⊥x 轴于点C ，交y ＝2x 的图象于点A ；MD ⊥y 轴于点D ，交y ＝2
x
的图象于点B ，当点M 在y ＝a
x
的图象上运动时，以下结论：①S △ODB ＝S △OCA ；②四边形OAMB 的
面积不变；③当点A 是MC 的中点时，则点B 是MD 的中点．其中正确结论的个数是( D )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
第Ⅱ卷(非选择题 共84分)
二、填空题(每小题3分，共18分) 13．一元二次方程(x －1)(x ＋3)＝4化为一般形式是__x 2＋2x －7＝0__，系数和是__－4__.
14．如图，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点O .若BO OC ＝2
3
，AD ＝10，则AO ＝__4__.
15．若点A (m ，－2)在反比例函数y ＝4
x
的图象上，则当函数值y ≥－2时，自变量x 的
取值范围是 x ≤－2或x>0 .
16．如图，直线y ＝x －2与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，与反比例函数y ＝k
x
的图象
在第一象限交于点A ，连接OA .若S △AOB ∶S △BOC ＝1∶2，则k 的值为 3 .
17．设α，β是方程(x ＋1)(x －4)＝－5的两实数根，则 β3α＋α3
β
＝ 47 .
18．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，点D 在边AB 上，且AD ＝2，点E 在边AC 上，当
AE ＝ 125或5
3 时，以A ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似．
三、解答题(共66分) 19．(6分)解方程： (1)x 2－5x ＋6＝0； 解：x 1＝2，x 2＝3；
(2)4(x ＋3)2＝25(x －2)2.
解：x 1＝47，x 2＝16
3
.
20．(6分)太阳能进入了千家万户，一个容量为180升的太阳能热水器，能连续工作的时间是y 分钟，每分钟的排水量为x 升．
(1)写出y 与x 的函数关系式；
(2)若热水器连续工作最长时间是1小时，求自变量的取值范围； (3)若每分钟排热水4升，则热水器连续工作时间是多少？
解：(1)y ＝180
x
；
(2)1小时＝60分钟，当y ＝60时，x ＝3. 又∵180>0，
∴自变量x 的取值范围为x ≥3；
(3)y ＝180
4
＝45.即热水器连续工作时间为45分钟．
21．(8分)已知正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝3
x
的图象都过点A (m ，1)．求：
(1)正比例函数的表达式；
(2)正比例函数与反比例函数的另一个交点的坐标．
解：(1)把x ＝m ，y ＝1代入y ＝3x ，得3
m
＝1，解得m ＝3.
∴A(3，1)．
把x ＝3，y ＝1代入y ＝kx ，得3k ＝1，解得k ＝1
3
.
∴y ＝13
x.
(2)联立方程组⎩
⎨⎧y ＝13x ，
y ＝3x
，解得⎩⎨⎧x 1＝3，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝－3，y 2＝－1.
故另一交点的坐标为(－3，－1)．
22．(8分)已知关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2. (1)求实数k 的取值范围；
(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 2
2＝16＋x 1x 2，求实数k 的值．
解：(1)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2， ∴Δ＝(2k －1)2－4(k 2－1)＝－4k ＋5≥0.
解得k ≤54，∴实数k 的取值范围为k ≤5
4
；
(2)∵关于x 的方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2－1＝0有两个实数根x 1，x 2， ∴x 1＋x 2＝1－2k ，x 1·x 2＝k 2－1.
∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16＋x 1·x 2
， ∴(1－2k)2－2×(k 2－1)＝16＋(k 2－1)．
解得k ＝－2或k ＝6(不符合题意，舍去)， ∴实数k 的值为－2.
23．(8分)如图所示，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长12 m 的住房墙，另外三边用25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门．所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m 2?
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m ，则矩形猪舍的另一边长为(26－2x)m.根据题意，得x(26－2x)＝80.化简，得x 2－13x ＋40＝0.解这个方程，得x 1＝5，x 2＝8.当x ＝5时，26－2x ＝16>12(舍去)；当x ＝8时，26－2x ＝10<12.
答：所建矩形猪舍的长为10 m ，宽为8 m.
24．(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－x ＋3与x 轴交于点C ，与直线
AD 交于点A ⎝⎛⎭⎫
43，53，点D 的坐标为(0，1)．
(1)求直线AD 的表达式；
(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．
解：(1)设直线AD 的表达式为y ＝kx ＋b ，将A ⎝⎛⎭⎫43，53，D(0，1)代入得
⎩⎪⎨⎪⎧43k ＋b ＝53，b ＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.故直线AD 的表达式为y ＝12
x ＋1；
(2)如图，∵直线AD 与x 轴的交点为(－2，0)，∴OB ＝2， ∵点D 的坐标为(0，1)，∴OD ＝1， ∵y ＝－x ＋3与x 轴交于点C(3，0)， ∴OC ＝3，∴BC ＝5， ∵△BOD 与△BEC 相似， ∴BD BC ＝BO BE ＝OD CE 或OB BC ＝OD CE′， ∴55＝2BE ＝1CE 或25＝1CE′
， ∴BE ＝25，CE ＝5，或CE′＝5
2
.
∵BC ·EF ＝BE·CE ，∴EF ＝2，CF ＝CE 2－EF 2＝1，
∴E(2，2)或⎝⎛⎭
⎫3，52.
25．(10分)如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点．
(1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；
(3)若AD ＝4，AB ＝6，求AC
AF
的值．
(1)证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.
又∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ADC∽△ACB，
∴AD
AC＝
AC
AB，∴AC2＝AB·AD；
(2)证明：∵E为AB的中点，∴CE＝1
2AB＝AE，
∴∠EAC＝∠ECA.
∵AC平分∠DAB，∴∠CAD＝∠CAB.∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；
(3)解：∵CE∥AD，∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF，△AFD∽△CFE，∴AD CE＝
AF
CF，∵CE＝1
2AB，∴CE＝
1
2× 6＝3，又∵AD＝4，∴
AF
CF＝
4
3，∴
AF
AC＝
4
7，∴
AC
AF＝
7
4.
26．(10分)如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A 出发沿边AC向点C以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB边向点B以2 cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为8 cm2?
(2)若点P从点A出发沿边AC－CB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB－BA边向点A以2 cm/s的速度移动．当点P在CB边上，点Q在BA边上时，是否存在某一时刻，使得△PBQ的面积为14.4 cm2?
解：(1)设x s后，可使△PCQ的面积为8 cm2.
由题意得，AP＝x cm，PC＝(6－x)cm，CQ＝2x cm，
则1
2·(6－x)·2x＝8.
整理，得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4.
答：P，Q同时出发，2 s或4 s后可使△PCQ的面积为8 cm2.
(2)
过点Q作QD⊥BC于D.
∵∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，
∴AB＝10 cm.
∵点P从点A出发沿边AC－CB向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CB－BA边向点A以2 cm/s的速度移动．
∴BP＝(6＋8)－t＝(14－t)cm，BQ＝(2t－8)cm.
∵QD⊥BC，∠C＝90°，
∴QD∥AC，
∴BQ
BA＝
QD
AC，∴
2t－8
10＝
QD
6，∴QD＝
6t－24
5.
∴S△BPQ＝1
2× BP·QD＝
1
2×(14－t)×
6t－24
5＝14.4.
解得t1＝8，t2＝10(不符题意舍去)．
答：当t＝8秒时，△PBQ的面积是14.4 cm2.。