2020版高考数学大一轮复习-2第2讲等差数列及其前n项和新题培优练(文)(含解析)新人教A版

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2020版高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和讲义理(含解析)

）．见举例说明 2。
1．(2017·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an｝的前 n 项和．若 a4＋a5＝ 24，S6＝48，则｛an}的公差为（ )
A．1 B．2 C．4 D．8 答案 C 解析设{an｝的公差为 d，则由错误!得错误! 解得 d＝4.故选 C. 2．在公差为 d 的等差数列｛an}中，已知 a1＝10，且 5a3·a1＝(2a2＋2)2. （1）求 d,an； (2)若 d〈0，求｜a1｜＋｜a2|＋｜a3｜＋…＋|an|。解（1)由题意得 5a3·a1＝(2a2＋2)2，即 d2－3d－4＝0，故 d＝－1 或 d＝4，所以 an＝－n＋11，n∈N＊或 an＝4n＋6，n∈N*. (2）设数列{an}的前 n 项和为 Sn,因为 d〈0，由（1)得 d＝－1，an＝－n＋11，则当 n≤11 时，|a1|＋|a2|＋｜a3|＋…＋|an|＝Sn＝－错误!n2＋错误!n，当 n≥12 时,｜a1|＋｜a2|＋｜a3|＋…＋｜an|＝－Sn＋2S11＝错误!n2－错误!n＋110。综上所述， |a1｜＋|a2|＋|a3|＋…＋|an｜＝错误!
1．概念辨析
(1)已知数列｛an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数）,则数列｛an｝一定是等差数列．（ )
（2）数列{an｝为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函
数．( ）
(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．（）
（4）数列｛an｝为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an
所以数列｛bn｝是以－52为首项，1 为公差的等差数列．
（2)由(1）知 bn＝n－错误!，则 an＝1＋错误!＝1＋错误!. 设 f(x）＝1＋错误!，

2020年高考数学(文)一轮复习专题6.2 等差数列及其前n项和(讲)(解析版)

专题6.2 等差数列及其前n 项和1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．知识点一等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．知识点二等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)．(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．知识点三等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2． (2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．(5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd 2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)．知识点四等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．知识点五等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .若m ＋n ＝2p (m ，n ，p ∈N *)，则a m ＋a n ＝2a p .(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .(4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d, 则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)等差数列{a n }的前n 项和为S n, 则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等差数列，其公差为n 2d.考点一等差数列基本量的运算【典例1】（2019年全国I 卷）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则( ) A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．228n S n n =- D ．2122n S n n =-【答案】A 【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-，故选A 。

2020版高考数学大一轮复习第六章数列2第2讲等差数列及其前n项和课件文新人教A版

3．等差数列的性质
已知数列{an}是等差数列，Sn 是其前 n 项和． (1)通项公式的推广：an＝am＋___(n__－__m_)_d__ (n，m∈N*)．
(2)若 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__a_k＋__a_l_＝__a_m_＋__a_n__． (3)若{an}的公差为 d，则{a2n}也是等差数列，公差为__2_d_． (4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
第六章数列
第 2 讲等差数列及其前 n 项和
1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从___第__2_项____起，每一项与它的前一项
的差都等于__同__一__个__常__数____，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为___a_n_＋_1_－__a_n＝__d____ (n∈N*，d 为常数)． (2)等差中项：数列 a，A，b 成等差数列的充要条件是_A__＝__a_＋2__b__，
1．各项均不为 0 的数列{an}满足an＋1（an2＋an＋2）＝an＋2an，且 a3＝2a8＝15.证明：数列a1n是等差数列，并求数列{an}的通项公式．解：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1＝2an＋2an，两边同时除以 anan＋1an＋2，可得an1＋2＋a1n＝an2＋1，故数列a1n是等差数列，
14，n＝1，所以 an＝2n（－n＋1 1），n≥2.
[迁移探究] (变条件)本例的条件变为：a1＝14，Sn＝2SSn－n－1＋1 1 (n≥2)，证明S1n是等差数列．证明：因为 Sn＝2SSn－n－1＋1 1，所以 2Sn－1Sn＋Sn＝Sn－1，即 Sn－1－ Sn＝2SnSn－1，故S1n－Sn1－1＝2(n≥2)，又S11＝a11＝4，因此数列S1n是首项为 4，公差为 2 的等差数列．

2020版高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和讲义理

1．等差数列的有关概念(1)定义：一般地，如果一个数列从□01第2项起，每一项与它前一项的□02差等于□03同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的□04公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为□05a n＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是□06A ＝a ＋b 2，其中A 叫做a ，b 的□07等差中项． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝□01a 1＋(n －1)d ，可推广为a n ＝□02a m＋(n －m )d .(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝na 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d . 3．等差数列的相关性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和都相等，即a 1＋a n ＝□01a 2＋a n －1＝□02a 3＋a n －2＝…＝□03a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，□04a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则□052a p ＝a m ＋a n(m ，n ，p ∈N *)． (3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为□06md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为□07n 2d . (5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的□0812. 4．等差数列与函数的关系(1)等差数列与一次函数的关系a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列．(2)等差数列前n 项和公式可变形为S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n .当d ≠0时，它是关于n 的二次函数，数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最□01大值；若a 1<0，d >0，则S n存在最□02小值．1．概念辨析(1)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列答案 B解析由题意得，新数列{a n ＋a n ＋3}是公差为2d 的等差数列，理由：(a n ＋1＋a n ＋4)－(a n ＋a n ＋3)＝(a n ＋1－a n )＋(a n ＋4－a n ＋3)＝d ＋d ＝2d .(2)在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 B解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，7a 1＋7×62d ＝56，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝3.(3)(2018·北京高考)设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋a 5＝36，则{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝6n －3(n ∈N *)解析由已知，设{a n }的公差为d ，则a 2＋a 5＝a 1＋d ＋a 1＋4d ＝2a 1＋5d ＝36，又a 1＝3，所以d ＝6，所以{a n }的通项公式为 a n ＝3＋6(n －1)＝6n －3(n ∈N *)．(4)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 答案 180解析由等差数列的性质可得 a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，又因为a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，所以5a 5＝450，a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.题型一等差数列基本量的运算1．(2018·全国卷Ⅰ)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 答案 B解析设该等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3×⎝⎛⎭⎫3×2＋3×22·d ＝2×2＋d ＋4×2＋4×32·d ，整理解得d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2－12＝－10，故选B. 2．(2018·碑林区期末)设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项a 1＝________.答案 2解析由题可知3a 2＝12，① (a 2－d )a 2(a 2＋d )＝48，② 将①代入②得(4－d )(4＋d )＝12，解得d ＝2或d ＝－2(舍)， ∴a 1＝a 2－d ＝4－2＝2.3．(2016·全国卷Ⅱ)S n 为等差数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，S 7＝28.记b n ＝[lg a n ]，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.(1)求b 1，b 11，b 101；(2)求数列{b n }的前1000项和．解 (1)设{a n }的公差为d ，据题意有7＋21d ＝28，解得d ＝1. 所以{a n }的通项公式为a n ＝n .b 1＝[lg 1]＝0，b 11＝[lg 11]＝1，b 101＝[lg 101]＝2.(2)因为b n＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1≤n <10，1，10≤n <100，2，100≤n <1000，3，n ＝1000，所以数列{b n }的前1000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1893.1．等差数列基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程组解决问题的思想．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法．如举例说明1.2．等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元(注意此时数列的公差为2d )．见举例说明2.1．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 答案 C解析设{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，解得d ＝4.故选C.2．在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2. (1)求d ，a n ；(2)若d <0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.解 (1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0，故d ＝－1或d ＝4，所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d <0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n ，当n ≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.题型二等差数列的判断与证明已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由．解 (1)证明：因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1⎝⎛⎭⎫2－1a n －1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3.条件探究1 举例说明中，若将条件变为“a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)”，试求数列{a n }的通项公式．解由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)×1＝n －25，∴a n ＝n 2－25n . 条件探究2 把举例说明条件改为“a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1”，求数列{a n }的通项公式．解因为a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，1－a n a n －1＝a na n ＋1－1， ⎝⎛⎭⎫1a n ＋1＋1a n －1a n＝2，a n ＝2a n －1a n ＋1a n ＋1＋a n －1，所以1a n ＝12a n －1＋12a n ＋1，即2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1.所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列．其首项1a 1＝12，公差d ＝1a 2－1a 1＝12.所以1a n ＝12＋(n －1)·12＝n 2，所以a n ＝2n.判定数列{a n }是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n ∈N *，a n ＋1－a n 是同一个常数．见举例说明． (2)等差中项法：对任意n ≥2，n ∈N *，满足2a n ＝a n ＋1＋a n －1. (3)通项公式法：数列的通项公式a n 是n 的一次函数．(4)前n 项和公式法：数列的前n 项和公式S n 是n 的二次函数，且常数项为0.提醒：判断是否为等差数列，最终一般都要转化为定义法判断．1．正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝________.答案 19解析由2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，得数列{a 2n }是等差数列，公差d ＝a 22－a 21＝3，首项a 21＝1，所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，∴a n ＝3n －2，∴a 7＝19.2．已知数列{a n }满足a 1＝－23，a n ＋1＝－2a n －33a n ＋4(n ∈N *)．(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等差数列；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)证明：因为1a n ＋1＋1＝1－2a n －33a n ＋4＋1＝3a n ＋4a n ＋1＝3＋1a n ＋1，所以1a n ＋1＋1－1a n ＋1＝3.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为3，公差为3的等差数列．(2)由(1)知1a n ＋1＝3n .所以a n ＝13n －1.题型三等差数列的性质及前n 项和的最值角度1 等差数列的性质的应用1．(1)在等差数列{a n }中，已知a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，则{a n }的前10项和等于( ) A ．－18 B ．9 C ．18 D ．20(2)(2019·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案 (1)D (2)－32解析 (1)因为a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－4x ＋3的两个零点，由韦达定理可知，a 4＋a 7＝4，S 10＝a 1＋a 102×10＝a 4＋a 72×10＝20，故选D.(2)若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝－32.角度2 等差数列前n 项和的性质的应用2．等差数列{a n }中，前m 项的和为30，前2m 项的和为100，试求前3m 项的和．解记数列{a n }的前n 项和为S n ，由等差数列前n 项和的性质知S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列，则2(S 2m －S m )＝S m ＋(S 3m －S 2m )，又S m ＝30，S 2m ＝100，所以S 2m －S m ＝100－30＝70，所以S 3m －S 2m ＝2(S 2m －S m )－S m ＝110，所以S 3m ＝110＋100＝210.角度3 等差数列前n 项和的最值问题3．(1)(2018·吉林长春一模)等差数列{a n }中，已知a 6＋a 11＝0，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( ) A ．S 15 B ．S 16 C ．S 15或S 16 D ．S 17 答案 (1)C (2)A解析 (1)解法一：因为a 6＋a 11＝0，所以a 1＋5d ＋a 1＋10d ＝0，解得a 1＝－152d ，所以S n ＝na 1＋nn －12d ＝⎝⎛⎭⎫－152d ·n ＋nn －12d ＝d 2(n 2－16n )＝d2[(n －8)2－64]．因为d >0，所以当n ＝8时，其前n 项和取最小值．解法二：由等差数列的性质可得a 8＋a 9＝a 6＋a 11＝0. 由公差d >0得等差数列{a n }是递增数列，所以a 8<0，a 9>0，故当1≤n ≤8时，a n <0；n ≥9时，a n >0，所以当n ＝8时，其前n 项和取最小值． (2)∵a 1＝29，S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，解得d ＝－2，∴S n ＝29n ＋nn －12×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．1．应用等差数列的性质解题的两个注意点(1)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件；若求a m 项，可由a m ＝12(a m －n ＋a m ＋n )转化为求a m －n ，a m ＋n 或a m ＋n ＋a m －n 的值．(2)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m，S 2n －1＝(2n－1)a n ，S n ＝na 1＋a n 2＝na 2＋a n －12(n ，m ∈N *)等．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．见巩固迁移3.2．求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法(1)函数法：等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ＝a ⎝⎛⎭⎫n ＋b 2a 2－b24a，求“二次函数”最值．如举例说明3(1)解法一．(2)邻项变号法①当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .如举例说明3(1)解法二．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )A ．6B ．7C ．12D ．13 答案 C解析因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知前6项和为36，最后6项的和为180，S n ＝324(n >6)，则数列{a n }的项数为________．答案 18解析由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36，① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180，②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216， ∴a 1＋a n ＝36，又S n ＝na 1＋a n2＝324，∴18n ＝324，∴n ＝18. 3．(2018·太原模拟)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，求该数列的公差d .解设等差数列的前12项中奇数项的和为S 奇，偶数项的和为S 偶，等差数列的公差为d .由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.192－162又S偶－S奇＝6d，所以d＝6＝5.。

第02讲等差数列及其前n项和(讲)-2023年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(含答案解析)

第02讲等差数列及其前n项和(讲）-2023年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（2022·全国·模拟预测）11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，2a (1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)若m a ，m S ，114m a +成等比数列，求正整数m ．题型二：等差数列的判断与证明例题1．（2022·全国·高二课时练习）对于数列{a 列”的（）A ．充分非必要条件；B ．必要非充分条件；C ．充要条件；D ．既非充分又非必要条件.【答案】C解：若数列{}n a 的通项公式为n a kn b =+，则n a 数)，由等差数列的定义可得数列{}n a 为等差数列；若数列{}n a 为等差数列，设首项为1a ，公差为d ()11(1)n a a n d nd a d =+-=+-，令1,d k a d b =-=，则数列{}n a 的通项公式可写为A ．90B ．110C ．150D ．180【答案】C由等差数列性质知：3S ，63S S -，96S S -成等差数列，()()633962S S S S S ∴-=+-，即()92501060S ⨯=+-，解得：9150S =.故选：C.例题3．（2022·全国·高二课时练习）在等差数列{}n a 中，若12530a a a ++⋅⋅⋅+=，671080a a a ++⋅⋅⋅+=，则111215a a a ++⋅⋅⋅+=（）.A ．110B ．120C ．130D ．140【答案】C解：设公差为d ，则()()6710125a a a a a a ++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+()()()617210555555a a a a a a d d d d d =-+-+⋅⋅⋅+-=++++25803050d ==-=，所以2d =，所以()11121565a a a a d ++⋅⋅⋅+=++()()()71067110552580252130a d a d a a a d ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++=+⨯=.故选：C例题4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若57S =，1021S =，则15S =_____．【答案】42解：在等差数列{}n a 中，5S ，105S S -，1510S S -成等差数列，即7，14，1521S -成等差数列，所以157(21)214S +-=⨯，解得1542S =．故答案为：42．例题5．（2022·全国·高三专题练习（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知315S =，999S =，则6S =___________.【答案】48因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以36396,,S S S S S --成等差数列，题型归类练（2022·山西运城·高二期末）12．若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >，20202021a a +满足0n S >成立的最大正整数n 是（）A ．4039B ．4040C ．4041（2022·全国·高三专题练习（理））13．已知等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若对于任意的自然数481n n S n T n -=+，则3153111572a a a b b b b ++=++（）A ．3B ．6C ．327（2022·全国·高三专题练习（理））14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且78S S >，89S S =<是（）A ．90a =B ．1514S S >C ．0d <的最小值（2022·全国·高三专题练习）15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 15>0，S 16<0，则项为（）6S 7S 9S（1）求数列{}n a的通项公式n a；S a>成立的n的最小值．（2）求使n n参考答案：1．D【分析】由等差中项的性质进行计算【详解】由题意得：1595315a a a a ++==，所以55a =，故285210a a a +==故选：D 2．D【分析】根据等差数列的定义判断．【详解】选项A 中，后项减前项所得差均为0，是等差数列；选项B 中，后项减前项所得差都是1，是等差数列；选项C 中，后项减前项所得差都是2，是等差数列；选项D 中，1031-≠-，不是等差数列，故选：D ．3．D【分析】根据题意和等差数列的定义可知每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，结合等差数列的前n 项求和公式计算即可.【详解】设每秒钟通过的路程构成数列{}n a ，则{}n a 是首项为2，公差为2的等差数列，由求和公式有()221380n n n n n +-=+=，解得19n =．故选：D.4．4【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算得到方程组，求出公差，求出答案.【详解】设公差为d ，则()11112235a d a d a d +=-⎧⎨+++=⎩，解得：132a d =-⎧⎨=⎩，所以2022202024a a d -==故答案为：4尽可能的大，则，递增幅度要尽可能小，不妨设数列是首项为项和为，则，，对于，，取数列各项为(。

2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版讲义：第六章第二节等差数列及其前n项和含答案

(组 )可
求出剩余的两个量．
[针对训练 ]
1．已知数列
an n
是等差数列，且
a3＝ 2， a9＝ 12，则 a15＝ (
)
A． 10
B． 30
C． 40
D． 20
解析：选 B
法一：设数列
an n
是公差为
d 的等差数列，∵
a3＝ 2， a9＝ 12，∴
6d＝ a9－ a3＝ 12－ 2＝2，∴ 9 3 9 33
n 项和 Sn
的最值问题．
[ 例 2] (2018 全·国卷Ⅱ )记 Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和，已知 a1＝－ 7， S3＝－ 15.
(1) 求 {an}的通项公式； (2) 求 Sn，并求 Sn 的最小值．
[ 解 ] (1)设 {an}的公差为 d，由题意得 3a1＋ 3d＝－ 15. 又 a1＝－ 7，所以 d＝ 2.
(1) 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为 an＋1－ an＝ d(n∈N *， d 为常数 ) ．
(2) 等差中项：数列 a， A，b 成等差数列的充要条件是
A
a＋＝2
b，其中
A 叫做
a， b 的等差中项．
2．等差数列的有关公式
[ 例 1] (1)(2019 武汉·模拟 )若数列 {an}为等差数列， Sn 为其前 n 项和，且 a1＝ 2a3－ 3，则 S9＝ ( )
A． 25
B． 27
C． 50
D． 54
(2)(2019 莆·田九校联考 )在等差数列 {an}中，若 a1，a2 019 为方程 x2－ 10x＋ 16＝0 的两根，则 a2＋ a1 010＋ a2 018＝ (

2020版高考数学大一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理含解析新人教A版

第节等差数列及其前项和考试要求.理解等差数列的概念；.掌握等差数列的通项公式与前项和公式；.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；.体会等差数列与一次函数的关系.知识梳理.等差数列的概念()如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：＋－＝(∈*，为常数).()若，，成等差数列，则叫做，的等差中项，且＝..等差数列的通项公式与前项和公式()若等差数列{}的首项是，公差是，则其通项公式为＝＋(－).()前项和公式：＝＋＝..等差数列的性质()通项公式的推广：＝＋(－)(，∈*).()若{}为等差数列，且＋＝＋(，，，∈*)，则＋＝＋.()若{}是等差数列，公差为，则，＋，＋，…(，∈*)是公差为的等差数列.()若为等差数列{}的前项和，则数列，－，－，…也是等差数列.()若为等差数列{}的前项和，则数列也为等差数列.[微点提醒].已知数列{}的通项公式是＝＋(其中，为常数)，则数列{}一定是等差数列，且公差为. .在等差数列{}中，＞，＜，则存在最大值；若＜，＞，则存在最小值..等差数列{}的单调性：当＞时，{}是递增数列；当＜时，{}是递减数列；当＝时，{}是常数列..数列{}是等差数列⇔＝＋(，为常数).基础自测.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)()数列{}为等差数列的充要条件是对任意∈*，都有＋＝＋＋.( )()等差数列{}的单调性是由公差决定的.( )()数列{}为等差数列的充要条件是其通项公式为的一次函数.( )()等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数.( )解析()若公差＝，则通项公式不是的一次函数.()若公差＝，则前项和不是二次函数.答案()√()√()×()×.(必修改编)设数列{}是等差数列，其前项和为，若＝且＝，则等于( )解析由已知可得解得∴＝＋＝.答案.(必修改编)在等差数列{}中，若＋＋＋＋＝，则＋＝.解析由等差数列的性质，得＋＋＋＋＝＝，∴＝，∴＋＝＝.答案.(·全国Ⅰ卷)记为等差数列{}的前项和.若＝＋，＝，则＝( ).－ .－解析设等差数列{}的公差为，则(＋)＝＋＋＋，即＝－.又＝，∴＝－，∴＝＋＝＋×(－)＝－.答案.(·上海黄浦区模拟)已知等差数列{}中，＝，前项和＝－，则数列{}的公差为( ).－ .－.－ .－解析设等差数列{}的首项为，公差为，因为所以解得＝－.答案.(·苏北四市联考)在等差数列{}中，已知＋>，且<，则，，…，中最小的是.解析在等差数列{}中，∵＋>，<，∴＋＝＋>，＝＝<，∴<，>，∴，，…，中最小的是.答案考点一等差数列基本量的运算【例】 ()(一题多解)(·全国Ⅰ卷)记为等差数列{}的前项和.若＋＝，＝，则{}的公差为( )()(·潍坊检测)设等差数列{}的前项和为，＝，＝－，若＝，则＝( )解析()法一设等差数列{}的公差为，依题意得所以＝.法二等差数列{}中，＝＝，则＋＝＝＋，又＋＝，所以－＝＝－＝，则＝.()设等差数列{}的公差为，依题意得解得∴＝＋(－)＝－＝，∴＝.答案() ()规律方法.等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量，，，，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题..数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练】 ()等差数列()，()，(＋)，…的第四项等于( )()(一题多解)设等差数列{}的前项和为，＝，＝，则＝.解析()∵()，()，(＋)成等差数列，∴()＋(＋)＝()，∴[(＋)]＝()，则(＋)＝，解之得＝，＝(舍去).∴等差数列的前三项为，，，∴公差＝－＝，∴数列的第四项为＋＝＝.()法一设数列{}的首项为，公差为，由＝，＝，可得解得所以＝＋＝.法二由{}为等差数列，故可设前项和＝＋，由＝，＝可得解得即＝－，则＝－＝.答案() ()考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例】 (经典母题)若数列{}的前项和为，且满足＋－＝(≥)，＝.()求证：成等差数列；()求数列{}的通项公式.()证明当≥时，由＋－＝，得－－＝－－，所以－＝，又＝＝，故是首项为，公差为的等差数列.()解由()可得＝，∴＝.当≥时，＝－－＝－＝＝－.当＝时，＝不适合上式.故＝【迁移探究】本例条件不变，判断数列{}是否为等差数列，并说明理由. 解因为＝－－(≥)，＋－＝，所以－－＋－＝(≥).所以－＝(≥).所以是以为首项，为公差的等差数列.所以＝＋(－)×＝，故＝.所以当≥时，＝－－＝－＝，所以＋＝，又＋－＝－＝＝.所以当≥时，＋－的值不是一个与无关的常数，故数列{}不是一个等差数列.【迁移探究】本例中，若将条件变为＝，＋＝(＋)＋(＋)，试求数列{}的通项公式. 解由已知可得＝＋，即－＝，又＝，∴是以＝为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(－)·＝－，∴＝－.规律方法.证明数列是等差数列的主要方法：()定义法：对于≥的任意自然数，验证－－为同一常数.()等差中项法：验证－＝＋－(≥，∈*)都成立..判定一个数列是等差数列还常用到结论：()通项公式：＝＋(，为常数)⇔{}是等差数列.()前项和公式：＝＋(，为常数)⇔{}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【训练】(·全国Ⅰ卷)记为等比数列{}的前项和.已知＝，＝－.()求{}的通项公式；()求，并判断＋，，＋是否成等差数列.解()设{}的公比为，由题设可得解得故{}的通项公式为＝(－).()由()可得＝＝－＋(－).由于＋＋＋＝－＋(－).＝＝，故＋，，＋成等差数列.考点三等差数列的性质及应用多维探究角度等差数列项的性质【例－】(·临沂一模)在等差数列{}中，＋＋＝，则＋的值为( )解析∵在等差数列{}中，＋＋＝，由等差数列的性质，＋＋＝＝，∴＝，∴＋＝＝.答案角度等差数列和的性质【例－】设等差数列{}的前项和为，若＝，＝，则＋＋等于( )解析由{}是等差数列，得，－，－为等差数列，即(－)＝＋(－)，得到－＝－＝，所以＋＋＝.答案规律方法.项的性质：在等差数列{}中，若＋＝＋(，，，∈*)，则＋＝＋. .和的性质：在等差数列{}中，为其前项和，则()＝(＋)＝…＝(＋＋)；()－＝(－).【训练】 ()已知是等差数列{}的前项和，若＝－，)－)＝，则＝.()(·荆州一模)在等差数列{}中，若＋＋＝，＝，则的值是( )()等差数列{}与{}的前项和分别为和，若＝，则等于( )解析()由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为，则)－)＝＝，∴＝.故)＝＋＝－＋＝，∴＝× ＝ .()由＋＋＝及等差数列的性质，∴＝，则＝.又＋＝，得＋＝×.∴＝－＝.()＝＝＝＝＝＝.答案() () ()考点四等差数列的前项和及其最值【例】(·衡水中学质检)已知数列{}的前项和为，≠，常数λ>，且λ＝＋对一切正整数都成立.()求数列{}的通项公式；()设>，λ＝，当为何值时，数列()))的前项和最大？解()令＝，得λ＝＝，(λ－)＝，因为≠，所以＝，当≥时，＝＋，－＝＋－，两式相减得－－＝(≥).所以＝－(≥)，从而数列{}为等比数列，＝·－＝.()当>，λ＝时，由()知，＝，则＝＝＝－＝－，所以数列{}是单调递减的等差数列，公差为－，所以>>…>＝＝ > ＝，当≥时，≤＝ < ＝，所以数列()))的前项和最大.规律方法求等差数列前项和的最值的常用方法：()函数法：利用等差数列前项和的函数表达式＝＋(≠)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.()利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求的最值.①当>，<时，满足的项数使得取得最大值为(当＋＝时，＋也为最大值)；②当<，>时，满足的项数使得取得最小值为(当＋＝时，＋也为最小值).【训练】 ()等差数列{}的公差≠，且，，成等比数列，若＝，为数列{}的前项和，则数列的前项和取最小值时的为( )或或()已知等差数列{}的首项＝，公差＝－，则前项和的最大值为.解析()由题意知由≠，解得＝－，＝，∴＝＝－＋－＝－，则－≥，得≥，∴数列的前项和取最小值时的为或.()因为等差数列{}的首项＝，公差＝－，＝＋＝－×＝－＋＝－＋，又因为∈*，所以＝或＝时，取得最大值，最大值为.答案() ()[思维升华].证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前项和＝＋及通项＝＋来判断一个数列是否为等差数列..等差数列基本量思想()在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于，的方程组进行求解.()若奇数个数成等差数列，可设中间三项为－，，＋.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为－，＋，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.()灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.[易错防范].用定义法证明等差数列应注意“从第项起”，如证明了＋－＝(≥)时，应注意验证－是否等于，若－≠，则数列{}不为等差数列..利用二次函数性质求等差数列前项和最值时，一定要注意自变量是正整数.基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.已知等差数列{}前项的和为，＝，则＝( )解析设等差数列{}的公差为，由已知，得所以所以＝＋＝－＋＝.答案.(·淄博调研)设是等差数列{}的前项和，若＝，则＝( ).－解析由于＝＝×＝.答案.(·中原名校联考)若数列{}满足－＝(∈*，为常数)，则称数列{}为调和数列，已知数列为调和数列，且＋＋…＋＝，则＋＝( )解析依题意，－＝＋－＝，∴{}是等差数列.又＋＋…＋＝＝.∴＋＝，从而＋＝＋＝.答案.(·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把斤绵分给个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多斤绵，那么第个儿子分到的绵是( )斤斤斤斤解析用，，…，表示个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列，，…，是公差为的等差数列，且这项的和为，∴＋×＝，解之得＝.∴＝＋×＝，即第个儿子分到的绵是斤.答案.已知等差数列{}的前项和为，＝，－＝－，则取最大值时的为( )或解析由{}为等差数列，得－＝－＝＝－，即＝－，由于＝，所以＝－＋，令＝－＋<，得>，所以取最大值时的为.答案二、填空题.已知等差数列{}的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为.解析设项数为，则由偶－奇＝得，－＝解得＝，故这个数列的项数为.答案.已知数列{}满足＝，－＋＝＋，则＝.解析将－＋＝＋两边同时除以＋，－＝.所以是以＝为首项，为公差的等差数列，所以＝＋×＝，即＝.答案.设是等差数列{}的前项和，＝，－＝，则＝.解析依题意，，－，－，…，－依次成等差数列，设该等差数列的公差为.又＝，－＝，因此－＝＝＋(－)＝＋，解得＝，因此＝＋＝×＋×＝.答案三、解答题.等差数列{}中，＋＝，＋＝.()求{}的通项公式；()设＝[]，求数列{}的前项和，其中[]表示不超过的最大整数，如[]＝，[]＝.解()设数列{}首项为，公差为，由题意得解得所以{}的通项公式为＝.()由()知，＝.当＝，，时，≤<，＝；当＝，时，≤<，＝；当＝，，时，≤<，＝；当＝，时，≤<，＝.所以数列{}的前项和为×＋×＋×＋×＝..已知等差数列的前三项依次为，，，前项和为，且＝.()求及的值；()设数列{}的通项公式＝，证明：数列{}是等差数列，并求其前项和.()解设该等差数列为{}，则＝，＝，＝，由已知有＋＝，得＝＝，公差＝－＝，所以＝＋·＝＋×＝＋，由＝，得＋－＝，解得＝或＝－(舍去)，故＝，＝.()证明由()得＝＝(＋)，则＝＝＋，故＋－＝(＋)－(＋)＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝＝.能力提升题组(建议用时：分钟).(·济宁模拟)设数列{}满足＝，＝，且＝(－)－＋(＋)＋(≥且∈*)，则＝( )解析令＝，则＝－＋＋(≥)，所以{}为等差数列，因为＝，＝，所以公差＝，则＝－，所以＝，则＝，所以＝.答案.(·青岛诊断)已知等差数列{}，{}的前项和分别为，(∈*)，若＝，则＝( )解析由题意不妨设＝(－)，＝(＋)，所以＝－＝×－×＝，＝－＝×(＋)－×(＋)＝－＝，所以＝＝.答案.设数列{}的通项公式为＝－(∈*)，则＋＋…＋＝.解析由＝－(∈*)知{}是以－为首项，为公差的等差数列，又由＝－≥得≥，∴≤时，≤，当>时，>，∴＋＋…＋＝－(＋＋＋)＋(＋＋…＋)＝＋＝.答案.(·长沙雅礼中学模拟)设为等差数列{}的前项和，已知＋＝，＝.()求{}的通项公式；()令＝，＝＋＋…＋，若－≤对一切∈*成立，求实数的最小值.解()∵等差数列{}中，＋＝，＝，∴解得∴＝＝＝，∴＝＋(－)＝＋(－)＝－.()∵＝＝＝，∴＝＝，∵随着的增大而增大，知{}单调递增.又>，∴<，∴≥，∴实数的最小值为.新高考创新预测.(多填题)设为等差数列{}的前项和，满足＝，－＝，则＝，公差＝.解析由{}为等差数列，得数列是首项为，公差为的等差数列，∵－＝，∴＝⇒＝，又＝⇒＋＝＋×⇒＝－.答案－。

高考数学一轮复习第六章第2讲等差数列及其前n项和文(含解析)

第2讲等差数列及其前n 项和一、选择题1． {a n }为等差数列，公差d ＝－2，S n 为其前n 项和．若S 10＝S 11，则a 1＝( ) A ．18 B ．20 C ．22D ．24解析由S 10＝S 11得a 11＝S 11－S 10＝0，a 1＝a 11＋(1－11)d ＝0＋(－10)×(－2)＝20. 答案 B2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析由a 4＋a 6＝a 1＋a 9＝－11＋a 9＝－6，得a 9＝5，从而d ＝2，所以S n ＝－11n ＋n (n －1)＝n 2－12n ＝(n －6)2－36，因此当S n 取得最小值时，n ＝6. 答案 A3．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于( )． A ．－1B ．1C ．3D ．7解析两式相减，可得3d ＝－6，d ＝－2.由已知可得3a 3＝105，a 3＝35，所以a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1. 答案 B4．在等差数列{a n }中，S 15>0，S 16<0，则使a n >0成立的n 的最大值为( )． A ．6B ．7C ．8D ．9解析依题意得S 15＝a 1＋a 152＝15a 8>0，即a 8>0；S 16＝a 1＋a 162＝8(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，即a 8＋a 9<0，a 9<－a 8<0.因此使a n >0成立的n 的最大值是8，选C. 答案 C5．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( )． A ．8B ．7C ．6D ．5解析由a 1＝1，公差d ＝2得通项a n ＝2n －1，又S k ＋2－S k ＝a k ＋1＋a k ＋2，所以2k ＋1＋2k ＋3＝24，得k ＝5. 答案 D6．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数的个数是 ( )． A ．2B ．3C ．4D ．5解析由A n B n ＝7n ＋45n ＋3得：a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1，要使a n b n 为整数，则需7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1为整数，所以n ＝1,2,3,5,11，共有5个．答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，a 7－a 5＝4，a 11＝21，S k ＝9，则k ＝________. 解析 a 7－a 5＝2d ＝4，d ＝2，a 1＝a 11－10d ＝21－20＝1，S k ＝k ＋k k －2×2＝k 2＝9.又k ∈N *，故k ＝3.答案 38．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 412－S 39＝1，则公差为________．解析依题意得S 4＝4a 1＋4×32d ＝4a 1＋6d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ，于是有4a 1＋6d12－3a 1＋3d9＝1，由此解得d ＝6，即公差为6. 答案 69．在等差数列{a n }中，a 1＝－3,11a 5＝5a 8－13，则数列{a n }的前n 项和S n 的最小值为________．解析 (直接法)设公差为d ，则11(－3＋4d )＝5(－3＋7d )－13，所以d ＝59，所以数列{a n }为递增数列．令a n ≤0，所以－3＋(n －1)·59≤0，所以n ≤325，又n ∈N *，前6项均为负值，所以S n 的最小值为－293.答案－29310．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．解析设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，∴S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，∴项数2n ＋1＝7，S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案 11 7 三、解答题11．设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．解 (1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2.12．在等差数列{a n }中，公差d ＞0，前n 项和为S n ，a 2·a 3＝45，a 1＋a 5＝18. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝S nn ＋c(n ∈N *)，是否存在一个非零常数c ，使数列{b n }也为等差数列？若存在，求出c 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题设，知{a n }是等差数列，且公差d ＞0，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 3＝45，a 1＋a 5＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋da 1＋2d ＝45，a 1＋a 1＋4d ＝18.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.∴a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)由b n ＝S nn ＋c＝n＋4n －2n ＋c ＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12n ＋c，∵c ≠0，∴可令c ＝－12，得到b n ＝2n .∵b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)－2n ＝2(n ∈N *)， ∴数列{b n }是公差为2的等差数列．即存在一个非零常数c ＝－12，使数列{b n }也为等差数列．13．在数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{|a n |}的前n 项和，求S n . 解 (1)由2a n ＋1＝a n ＋2＋a n 可得{a n }是等差数列，且公差d ＝a 4－a 14－1＝2－83＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋10. (2)令a n ≥0，得n ≤5.即当n ≤5时，a n ≥0，n ≥6时，a n <0. ∴当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；当n ≥6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＋2(a 1＋a 2＋…＋a 5) ＝－(－n 2＋9n )＋2×(－52＋45) ＝n 2－9n ＋40，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋9n ，n ≤5，n 2－9n ＋40，n ≥6.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2a n ＝S 2＋S n 对一切正整数n 都成立． (1)求a 1，a 2的值； (2)设a 1＞0，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫lg10a 1a n 的前n 项和为T n .当n 为何值时，T n 最大？并求出T n 的最大值．解 (1)取n ＝1，得a 2a 1＝S 2＋S 1＝2a 1＋a 2， ① 取n ＝2，得a 22＝2a 1＋2a 2，② 由②－①，得a 2(a 2－a 1)＝a 2，③(i)若a 2＝0，由①知a 1＝0， (ii)若a 2≠0，由③知a 2－a 1＝1.④由①、④解得，a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2.综上可得a 1＝0，a 2＝0；或a 1＝2＋1，a 2＝2＋2；或a 1＝1－2，a 2＝2－ 2. (2)当a 1＞0时，由(1)知a 1＝2＋1，a 2＝2＋2.当n ≥2时，有(2＋2)a n ＝S 2＋S n ，(2＋2)a n －1＝S 2＋S n －1，所以(1＋2)a n ＝(2＋2)a n －1，即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a 1(2)n －1＝(2＋1)·(2)n －1.令b n ＝lg 10a 1a n，则b n ＝1－lg(2)n －1＝1－12(n －1)lg 2＝12lg 1002n －1，所以数列{b n }是单调递减的等差数列(公差为－12lg 2)，从而b 1＞b 2＞…＞b 7＝lg 108＞lg 1＝0，当n ≥8时，b n ≤b 8＝12lg 100128＜12lg 1＝0，故n ＝7时，T n 取得最大值，且T n 的最大值为T 7＝b 1＋b 72＝＋1－2＝7－212lg 2.。

专题31 等差数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)

专题31等差数列及其前n 项和最新考纲1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系.基础知识融会贯通1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值．【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．重点难点突破【题型一】等差数列基本量的运算【典型例题】已知{}是等差数列，且a1，a4＝1，则a10＝（）A．﹣5 B．﹣11 C．﹣12 D．3【解答】解：∵{}是等差数列，且a1，a4＝1，∴，即，解得d，∴9d，解得a10＝﹣11．故选：B．【再练一题】等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝3，S5＝35，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．7【解答】解：∵a1＝3，S5＝35，∴5×335，解得d＝2．故选：B．思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．【题型二】等差数列的判定与证明【典型例题】设数列{a n}满足关系式：a1＝﹣1，a n试证：（1）试求数列{a n}的通项公式．（2）b n＝lg（a n+9）是等差数列．（3）若数列{a n}的第m项的值，试求m【解答】解：（1）∵a1＝﹣1，a n，∴，∴，令T n＝a n+9，则Tn是公比为的等比数列，，∴，（2）∵b n＝lg（a n+9），＝lg12+（lg2﹣lg3）n．由数列{b n}通项公式可知，{bn}是公差为（lg2﹣lg3）的等差数列．（3）若数列数列{a n}的第m项的值，化简得a m＝（29﹣38）÷3612由a n通项公式可知，a m＝a7，m＝7．【再练一题】已知数列{a n}、{b n}满足：a1，a n+b n＝1，b n+1．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．【解答】（1）解：∵，∴，，，，．∴；（2）证明：由，∴，∴，即a n﹣a n+1＝a n a n+1，∴∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．∴，则，∴；（3）解：由，∴S n＝a1a2+a2a3+…+a n a n+1．∴，要使4λS n＜b n恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，设f（n）＝（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8当λ＝1时，f（n）＝﹣3n﹣8＜0恒成立，当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，当λ＜l时，对称轴nf（n）在[1，+∞）为单调递减函数．只需f（1）＝（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＝（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8＝4λ﹣15＜0 ∴，∴λ≤1时4λS n＜b n恒成立．综上知：λ≤1时，4λS n＜b n恒成立．思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有a n＋1－a n等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.(3)通项公式法：得出a n＝pn＋q后，再根据定义判定数列{a n}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出S n＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{a n}为等差数列．【题型三】等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质【典型例题】．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15＝60，则a2﹣a8+a14等于（）A．10 B．12 C．11 D．﹣4【解答】解：等差数列{a n}中，a1+3a8+a15＝60，可得：5a8＝60，解得a8＝12，则a2﹣a8+a14＝a8＝12，故选：B．【再练一题】已知等差数列{a n}的公差不为零，且a2，a3，a9成等比数列，则（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2，a3，a9成等比数列，∴a2•a9，∴（a1+d）（a1+8d），a1d≠0．则．故选：B．命题点2等差数列前n项和的性质【典型例题】已知等差数列{a n}，a1＝﹣2018，前n项和为S n，，则S2019＝（）A．0 B．1 C．2018 D．2019【解答】解：因为数列{a n}为等差数列，所以，又因为，所以{}是为首项是﹣2018，公差为1的等差数列，所以2018+（2019﹣1）×1＝0，所以S2019＝0．故选：A．【再练一题】已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，则使S n取得最大值时n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，∴2a1+12d＝6，3a1+21d＝3，联立解得：a1＝15，d＝﹣2，∴a n＝15﹣2（n﹣1）＝17﹣2n．令a n＝17﹣2n≥0，解得n≤8．则使S n取得最大值时n的值为8．故选：D．思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；②S2n－1＝(2n－1)a n.基础知识训练1．【西省太原市2019届高三上学期期末考试】已知数列{a n }为等差数列，，若，则＝( ) A ．−22019 B ．22020C ．−22017D ．2201【答案】A 【解析】数列为等差数列，且，则，又，则，，，同理，以此类推，又，所以。

2020版高考数学浙江专用新精准大一轮精讲通用版：第六章第2讲等差数列及其前n项和含解析

[基础达标]1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14解析：选C.由题知3a 1＋3×22d ＝12，因为a 1＝2，解得d ＝2，又a 6＝a 1＋5d ，所以a 6＝12，故选C.2．(2019·浙江新高考冲刺卷)已知等差数列{a n }，S n 是{a n }的前n 项和，则对于任意的n ∈N *，“a n >0”是“S n >0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.对于任意的n ∈N *，“a n >0”能推出“S n >0”，是充分条件，反之，不成立，比如：数列5，3，1，－1，不满足条件，不是必要条件，故选A.3．已知等差数列{a n }，且3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝48，则数列{a n }的前13项之和为( ) A ．24 B ．39 C ．104 D ．52解析：选D.因为{a n }是等差数列，所以3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝6a 4＋6a 10＝48，所以a 4＋a 10＝8，其前13项的和为13（a 1＋a 13）2＝13（a 4＋a 10）2＝13×82＝52，故选D.4．(2019·金华十校联考)在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n ＝( )A ．n (3n －1)B ．n （n ＋3）2C ．n (n ＋1)D ．n （3n ＋1）2解析：选C.依题意得a n ＋1＝a n ＋a 1，即有a n ＋1－a n ＝a 1＝2，所以数列{a n }是以2为首项、2为公差的等差数列，a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，S n ＝n （2＋2n ）2＝n (n ＋1)，选C.5．若数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，则使a k ·a k ＋1＜0的k 值为( ) A ．22 B ．21 C ．24 D ．23解析：选D.因为3a n ＋1＝3a n －2，所以a n ＋1－a n ＝－23，又a 1＝15，所以数列{a n }是首项为15，公差为－23的等差数列，所以a n ＝15－23·(n －1)＝－23n ＋473，且{a n }为递减数列，令a n ＝－23n ＋473＞0，得n ＜23.5，可知使a k ·a k ＋1＜0的k 值为23. 6．(2019·温州十校联合体期初)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．若S 9>S 8，S 9>S 10，则S 17>0，S 18<0 B ．若S 17>0，S 18<0，则S 9>S 8，S 8>S 10 C ．若S 17>0，S 18<0，则a 17>0，a 18<0 D ．若a 17>0，a 18<0，则S 17>0，S 18<0解析：选B.A.由S 9>S 8，且S 9＝S 8＋a 9得a 9>0，又S 9>S 10，S 10＝S 9＋a 10，则a 10<0，因为S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 10＋a 9)符号不确定，A 错误；B ．在等差数列{a n }中，S 17>0，且S 18<0，则S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 10＋a 9)<0，所以a 9>0，a 10<0，且|a 10|>a 9，所以等差数列{a n }的公差d <0，则S 9＝S 8＋a 9>S 8，S 10＝S 8＋a 9＋a 10<S 8，B 正确；C ．由B 知，a 1，a 2，…，a 9为正，a 10，a 11…为负，C 错误；D ．由a 17>0，a 18<0知，a 1，a 2，…，a 17为正，a 18，a 19，…为负，所以S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 1＋a 18)＝9(a 2＋a 17)>0，D 错误．故选B.7．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________．解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：58．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．解析：由题意，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，说明⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.所以⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0.所以－1＜d＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 9．已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，且对任意n ∈N *，均有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，则a n ＝________．解析：因为a n ，S n ，a 2n 成等差数列，所以2S n ＝a n ＋a 2n ，当n ＝1时，2S 1＝2a 1＝a 1＋a 21，又a 1>0，所以a 1＝1，当n ≥2时，2a n ＝2(S n －S n －1)＝a n ＋a 2n －a n －1－a 2n －1，所以(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0，所以(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，又a n ＋a n －1>0，n ≥2，所以a n －a n －1＝1，n ≥2，所以{a n }是等差数列，其公差为1，因为a 1＝1，所以a n ＝n (n ∈N *)．答案：n 10．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8＞0，a 8＋a 9＜0，则满足S n ＞0的n 的最大值是________；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第________项．解析：因为等差数列{a n }满足a 8>0，a 8＋a 9<0，所以S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝162(a 1＋a 16)＝8(a 8＋a 9)<0，所以满足S n >0的n 的最大值是15.因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，所以该数列是递减数列，且|a 8|最小，|S 8|最大，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1≤n ≤15)中最大的项为第8项．答案：15 811．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 6＝4，S 5＝－5. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若T n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |，求T 5的值．解：(1)由题知⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝45a 1＋5×42d ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5d ＝2，故a n ＝2n －7(n ∈N *)． (2)由a n ＝2n －7＜0，得n ＜72，因为n ∈N *，即n ≤3，所以当n ≤3时，a n ＝2n －7＜0，当n ≥4时，a n ＝2n －7＞0.易知S n ＝n 2－6n ，S 3＝－9，S 5＝－5，所以T 5＝－(a 1＋a 2＋a 3)＋a 4＋a 5＝－S 3＋(S 5－S 3)＝S 5－2S 3＝13. 12．(2019·嵊州模拟)已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N *)．(1)设函数y ＝f (x )的图象的顶点的纵坐标构成数列{a n }，求证：{a n }为等差数列； (2)设函数y ＝f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：因为f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8，所以a n ＝3n －8，因为a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)－8－(3n －8)＝3，所以数列{a n }为等差数列．(2)由题意知，b n ＝|a n |＝|3n －8|，所以当1≤n ≤2时，b n ＝8－3n ，S n ＝b 1＋…＋b n ＝n （b 1＋b n ）2＝n [5＋（8－3n ）]2＝13n －3n 22；当n ≥3时，b n ＝3n －8，S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝5＋2＋1＋…＋(3n －8) ＝7＋（n －2）[1＋（3n －8）]2＝3n 2－13n ＋282.所以S n＝⎩⎨⎧13n －3n 22，1≤n ≤2，3n 2－13n ＋282，n ≥3.[能力提升]1．下面是关于公差d ＞0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列．其中真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 4解析：选D.由a n ＋1－a n ＝d ＞0，知数列{a n }是递增数列，可知p 1是真命题；由(n ＋1)a n ＋1－na n＝(n ＋1)(a 1＋nd )－n [a 1＋(n －1)d ]＝a 1＋2nd ，仅由d ＞0是无法判断a 1＋2nd 的正负的，因而不能判定(n ＋1)a n ＋1，na n 的大小关系，故p 2是假命题；显然，当a n ＝n 时，a n n ＝1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是常数数列，不是递增数列，故p 3是假命题；数列的第n ＋1项减去数列的第n 项[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝(a n ＋1－a n )＋[3(n ＋1)d －3nd ]＝d ＋3d ＝4d ＞0，所以a n ＋1＋3(n ＋1)d ＞a n ＋3nd ，即数列{a n ＋3nd }是递增数列，p 4是真命题．2．(2019·金华市东阳二中高三调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝a 2＝1，{nS n ＋(n ＋2)a n }为等差数列，则a n ＝( )A ．n 2n －1B ．n ＋12n －1＋1C ．2n －12n －1D ．n ＋12n ＋1解析：选A.设b n ＝nS n ＋(n ＋2)a n ，则b 1＝4，b 2＝8，因为{b n }为等差数列，所以b n ＝4n ，即nS n ＋(n ＋2)a n ＝4n ，S n ＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n ＝4. 当n ≥2时，S n －S n －1＋⎝⎛⎭⎫1＋2n a n －⎝⎛⎭⎫1＋2n －1a n －1＝0，所以2（n ＋1）n a n ＝n ＋1n －1·a n －1，即2·a nn ＝a n －1n －1，又因为a 11＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1(n ∈N *)，即a n ＝n2n －1(n ∈N *)，故选A.3．已知等差数列{a n }满足a 9＜0，且a 8＞|a 9|，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，{b n }的前n 项和为S n ，当S n 取得最大值时，n 的值为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 9<0，且a 8>|a 9|，所以d <0，a 8＋a 9>0，a 8>－a 9>0. 所以当n ≤8时，a n >0；当n ≥9时，a n <0.S n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a 6a 7a 8＋a 7a 8a 9＋a 8a 9a 10＋a 9a 10a 11＋…＋a n a n ＋1a n ＋2，当n ≤6时，a n a n ＋1a n ＋2>0，当n ≥9时， a n a n ＋1a n ＋2<0，而a 7a 8a 9<0，a 8a 9a 10>0，又a 7a 8a 9＋a 8a 9a 10＝a 8a 9(a 7＋a 10)＝a 8a 9(a 8＋a 9)<0，所以当S n 取得最大值时，n ＝6. 答案：6 4．(2019·舟山市普陀三中高三期中)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26.记T n ＝S nn2，如果存在正整数M ，使得对一切正整数n ，T n ≤M 都成立，则M 的最小值是________．解析：因为{a n }为等差数列，由a 4－a 2＝8，a 3＋a 5＝26，可解得S n ＝2n 2－n ，所以T n ＝2－1n ，若T n ≤M 对一切正整数n 恒成立，则只需T n 的最大值小于或等于M 即可．又T n ＝2－1n<2，所以只需2≤M ，故M 的最小值是2. 答案：25．已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d ＞0，所以d ＝2，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以m ＝5，k ＝4. 6．(2019·浙江省衢州市高考数学模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，2a n a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0(n ∈N *)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，并求{a n }的通项公式；(2)若ta n ＋1(a n －1)＋1≥0对任意n ≥2的整数恒成立，求实数t 的取值范围．解：(1)由题意得，2a n a n ＋1＋a n ＋1－a n ＝0，两边同除a n a n ＋1得，1a n ＋1－1a n＝2，因为a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项、2为公差的等差数列，则1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝12n －1.(2)由(1)得，ta n ＋1(a n －1)＋1≥0即为t ·12n ＋1⎝⎛⎭⎫12n －1－1＋1≥0，由n ≥2化简得，t ≤（2n －1）（2n ＋1）2（n －1），设b n ＝（2n －1）（2n ＋1）2（n －1），则b n ＋1－b n ＝（2n ＋1）（2n ＋3）2n －（2n －1）（2n ＋1）2（n －1）＝2n ＋12·（2n ＋3）（n －1）－n （2n －1）n （n －1）＝（2n ＋1）（2n －3）2n （n －1）>0，所以当n ≥2时，数列{b n }是递增数列，则（2n －1）（2n ＋1）2（n －1）≥152，所以实数t 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，152.。

2020版高考数学(文)新精准大一轮课标通用版检测：第六章第2讲等差数列及其前n项和含解析

[基础题组练]1．(2019·开封市高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故选B.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝4(a 1＋a 4)2＝2(a 1＋a 5－d )＝2(10－d )＝16，所以d ＝2，故选B.2．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23.3．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018＝( )A ．2 018B ．－2 018C ．4 036D ．－4 036解析：选C.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为S 1212－S 1010＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 015，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，所以S 2 0182 018＝－2 015＋2 017×1＝2，所以S 2 018＝4 036.故选C.4．(2019·衡水中学二调)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( )A ．12日B ．16日C ．8日D ．9日解析：选D.由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n (a 1＋a n )2＋n (b 1＋b n )2＝2 250，即n (103＋13n ＋90)2＋n ⎝⎛⎭⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________．解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：56．(2019·江苏适应性测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋7a 1＋21d ＝10a 1＋20d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －17．(2019·长春市质量检测(二))已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11. (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)令b n ＝|a n |，求数列{b n }的前10项和S 10.解：(1)证明：由a n ＝2n －11，可得a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－11－2n ＋11＝2(n ∈N *)，因此数列{a n }为等差数列．(2)因为a n ＝2n －11，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n >5，因此，S 10＝5×9＋12×5×4×(－2)＋5×1＋12×5×4×2＝50.8．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S nn ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.[综合题组练]1．(2019·西安市八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选C.由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.2．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n <2T nB ．b 4＝0C ．T 7>b 7D ．T 5＝T 6解析：选D.因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，所以S n ＝n 2－10n ，所以a n ＝2n －11，又b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝－9，2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D.3．(2019·重庆适应性测试(二))设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________．解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案：2004．(创新型)(2019·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为________．解析：设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：b n ＝2n －1(n ∈N *)5．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？解：(1)因为数列{a n }满足a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4，所以a n －a n －1＝4，即数列{a n }为等差数列且公差为d ＝4，所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17， a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0可解得n ≥254，所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数，所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．6．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.。

2020版高考数学大一轮复习第五章数列2第2讲等差数列及其前n项和刷好题练能力文

第讲等差数列及其前项和．(·南通模拟)设为等差数列{}的前项和，若＝，＝，则＝.解析：法一：由等差数列的通项公式，得＝＋，＝，＝－，＝.法二：＝＝＝＝.答案：．在等差数列{}中，＝，公差≠，若＝＋＋…＋，则的值为．解析：＝＋＋…＋＝＋＝＝.所以＝.答案：．设为等差数列{}的前项和，＝，＝，则＝．解析：设{}的公差为，由题意知解得所以＝＋＝＋(－)＝－.答案：－．(·常州模拟)记为等差数列{}前项和，若－＝，则其公差＝．解析：由－＝，得－＝，即＋－＝，所以＝.答案：．已知{}为等差数列，若<－，且它的前项和有最大值，那么当取得最小正值时，＝.解析：由<－，得<，且它的前项和有最大值，则>，<，＋<，则>，<，那么当取得最小正值时，＝.答案：．(·江苏省重点中学领航高考冲刺卷(四))已知公差不为的等差数列{}的前项和为，若，，成等比数列，则的值为．解析：法一：设等差数列{}的公差为，因为，，成等比数列，所以＝，所以(＋)＝(＋)，因为≠，所以＝－，所以＝＝＝＝－.法二：设等差数列{}的公差为，因为，，成等比数列，所以＝，所以(＋)＝(＋)，因为≠，所以＝－，所以＝＝＝＝－.答案：－．(·南通模拟)正项数列{}满足：＝，＝，＝＋(∈，≥)，则＝.解析：因为＝＋(∈，≥)，所以数列{}是以＝为首项，以＝－＝为公差的等差数列，所以＝＋(－)＝－，所以＝，≥，所以＝＝.答案：．在等差数列{}中，>，·<，若此数列的前项和＝，前项和＝，则数列{}的前项和的值为．解析：由>，·<可知<，>，<，所以＝＋…＋－－…－＝－(－)＝.答案：．在等差数列{}中，满足＝，且>，是数列{}的前项和，若取得最大值，则等于．解析：因为＝，所以(＋)＝(＋)，所以＝－>，所以<，所以＝＋(－)＝(－)，当≤时，>，当≥时，<，所以使取得最大值的＝.答案：．(·南京模拟)已知正项数列{}满足＝，＝，且＋＝，则＝．解析：因为＋＝，所以＋＝，所以为等差数列，且首项为＝，公差为－＝，所以＝＋(－)×＝，所以＝，所以＝.答案：．(·徐州调研)已知数列{}满足＝，＝(∈*，≥)，数列{}满足关系式＝(∈*)．()求证：数列{}为等差数列；()求数列{}的通项公式．解：()证明：因为＝，且＝，所以＋＝＝＝，所以＋－＝－＝.又＝＝，所以数列{}是以为首项，为公差的等差数列．()由()知数列{}的通项公式为＝＋(－)×＝－，又＝，所以＝＝.所以数列{}的通项公式为＝.．(·南京、盐城高三模拟)已知数列{}的前项和为，数列{}，{}满足(＋)＝＋－，(＋)·＝－，其中∈*.()若数列{}是公差为的等差数列，求数列{}的通项公式；()若存在实数λ，使得对一切∈*，有≤λ≤，求证：数列{}是等差数列．解：()因为{}是公差为的等差数列，所以＝＋(－)，＝＋－.因为(＋)＝－(＋－)＝＋，所以＝.。

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第2讲等差数列及其前n 项和[基础题组练]1．(2019·开封市高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故选B. 法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝4(a 1＋a 4)2＝2(a 1＋a 5－d )＝2(10－d )＝16，所以d ＝2，故选B.2．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选 C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23.3．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018＝( ) A ．2 018 B ．－2 018 C ．4 036D ．－4 036解析：选C.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n＝An ＋B ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为S 1212－S 1010＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 015，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，所以S 2 0182 018＝－2 015＋2 017×1＝2，所以S 2 018＝4 036.故选C.4．(2019·衡水中学二调)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( )A ．12日B ．16日C ．8日D ．9日解析：选 D.由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n ＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n (a 1＋a n )2＋n (b 1＋b n )2＝2 250，即n (103＋13n ＋90)2＋n ⎝⎛⎭⎪⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________．解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )，解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ，令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：56．(2019·江苏适应性测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋7a 1＋21d ＝10a 1＋20d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －17．(2019·长春市质量检测(二))已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11. (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)令b n ＝|a n |，求数列{b n }的前10项和S 10.解：(1)证明：由a n ＝2n －11，可得a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－11－2n ＋11＝2(n ∈N *)，因此数列{a n }为等差数列．(2)因为a n ＝2n －11，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n >5，因此，S 10＝5×9＋12×5×4×(－2)＋5×1＋12×5×4×2＝50.8．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S n n，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n . 解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S n n＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.[综合题组练]1．(2019·西安市八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选C.由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.2．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n <2T nB ．b 4＝0C ．T 7>b 7D ．T 5＝T 6解析：选D.因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，所以S n ＝n 2－10n ，所以a n ＝2n －11，又b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝－9，2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D.3．(2019·重庆适应性测试(二))设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________．解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200.答案：2004．(创新型)(2019·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为________．解析：设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：b n ＝2n －1(n ∈N *)5．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？解：(1)因为数列{a n }满足a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4，所以a n －a n －1＝4，即数列{a n }为等差数列且公差为d ＝4，所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17，a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0可解得n ≥254，所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数，所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．6．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n －3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3，又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1，所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1，即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.。