数学培优竞赛新方法九年级圆的基本性质

第15讲 圆的基本性质

知识纵横

到顶点等于定长的点的集合叫圆，圆常被人们看成是最完美的事物，圆的图形在人类进程中打下深深的烙印。圆的基本性质有：一是与圆相关的基本概念与关系，如弦，弧，弦心距，圆心角，圆周角等；二是圆的对称性，圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形。用圆的基本性质解题应注意：

1.熟练运用垂径定理及推论进行计算和证明

2.了解弧的特性及中介作用

3.善于促成同圆或等圆不同名称等量关系的转化

例题求解

【例1】在半径为1的圆O 中，弦AC AB ,的长分别为3和2，则BAC 度数为_________

（黑龙江省中考题）

思路点拨 作出辅助线，解直角三角形，注意AC AB ,有不同的位置关系。

【例2】P 是圆O 内一点，圆O 的半径为15，P 点到圆心O 的距离为9，通过P 点，长度是整数的弦的条数是（ ）

（江苏省竞赛题）

5A 7B 10C 12D

思路点拨 过点P 最长的弦为圆O 的直径，最短的弦与OP 垂直（为什么），可求得过点

P 点的弦长范围。

【例3】如图，已知点D C B A ,,,顺次在圆O 上，弧AB =弧BD ,AC BM ⊥于M ，求证CM DC AM +=

（江苏省竞赛题）

思路点拨 用截长（截AM ）或补短（延长DC ）证明，将问题转化为线段相等的证明，证题的关键是促使不同量的相互转换并突破它。

【例4】如图，o Θ的直径为AB ，过半径OA 的中点G 作弦AB CE ⊥，在弧AB 上取一点D ，分别作直线CD 、ED ，交直线AB 于点F 、M 。 （1）求COA ∠和FDM ∠的度数； （2）求证：FDM ∆~COM ∆；

（3）如图，若将垂足G 改取为半径OB 上任意一点，点D 改取在弧EB 上，仍作直线CD 、

ED ，分别交直线AB 于点F 、M ，试判断：此时是否有FDM ∆~COM ∆?证明你的结

论。

（苏州市中考题）

思路点拨 （1）在C O G Rt ∆中，

利用OC OA OG 2

1

21==；（2）证明FDM COM ∠=∠，FMD CMO ∠=∠；

（3）利用图的启示思考。

【例5】如图，半径为2的o Θ中，弦AB 与弦CD 垂直相交于点P ，连接OP ，若1=OP ，求2

2

CD AB +的值。

（黑龙江省竞赛题）

【例6】（1）如图，已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成，o Θ过点A 、D 、E 三点，求o Θ的半径。 （2）如图

，若多边形A B D E C 是由等腰ABC ∆和矩形B D E C

组成，2===BD AC AB ，o Θ过点A 、D 、E 三点，问o Θ的半径是否改变？

（《时代学习报》数学文化节试题）

分析与解 对于（1），给出不同解法；对于（2），o Θ的半径不改变，解法类似（1）。 学习训练

学力训练

基础夯实

1、如图，点A 、B 是o Θ上两点，10=AB ，点P 是o Θ上的动点（P 与A 、B 不重合），连接AP 、BP ，过点O 分别作AP OE ⊥于E ，PB OF ⊥于F ，则=EF _______.

(兰州市中考题)

2、如图，o Θ的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且CD AB =，已知3,1==ED CE ，则o Θ的半径为_______。

（2011年安徽省中考题）

3、如图，ABC ∆的三个顶点的坐标分别为)2,4(),2,2(),3,1(----C B A ，则ABC ∆外接圆的半径长度为_______。

（济南市中考题）

4、如图，将半径为2厘米的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为_______cm 。

A 、2

B 、3

C 、32

D 、52

（连云港市中考题）

5、如图，梯形ABCD 中，CD AB //，CD AB ⊥，,4,2cm CD cm AB ==以BC 上一点为圆心的圆经过A 、D 两点，且︒=∠90AOD ，则圆心O 到弦AD 的距离是（ ）cm 。 A 、54+ B 、9 C 、54 D 、26

(南通市中考题)

6、如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为162

cm ，则该半圆的半径为（ ）cm 。

（芜湖市中考题）

7、如图，已知o Θ的直径AB 垂直于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F 。若

,AD CF ⊥,2=AB 求CD 的长。

（广东省中考题）

8、如图，在o Θ中，已知AB 是直径，P 为AB 上一点，弦MN 过P 点，.45︒=∠NPB (1)若,6,2==BP AP 求MN 的长；

(2)当P 点在AB 上运动时（保持NPB ∠的度数不变），试问：2

2

2AB PN PM +的值是否改变？

若不变，请求其值；若改变，请求出其值得取值范围。

P O

M

N

B

A

9、如图，在ABC Rt ∆中，,12,5,90==︒=∠CB AC ACB AD SHI ABC ∆的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。 （1）求证：AE AC =； （2）求ACD ∆外接圆的半径。

（陕西省中考题）

能力拓展

10.圆O 的直径为cm 5，弦∥AB 弦CD ，cm AB 3=，cm CD 4=，则梯形ABCD 的面积为_________________ （黄冈市竞赛题）

11.如图，半径为5的圆P 与y 轴交于点),10,0(),4,0(--N M 函数)0(<=

x x

k

y 的图象过点P ，则=k ________________ （武汉市中考题）