数学思想方法系列7
7种初中数学常用数学思想
7种初中数学常用数学思想计算能力是一项基本的数学能力，也是综合能力的具体体现。
计算能力的培养，不仅与数学基础知识密切相关，而且与训练学生的思维、小编整理了7种初中数学常用数学思想数学最强计算技巧总结，欢迎参考借鉴。
7种初中数学常用数学思想一、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
例1 已知a-b=3,求2a-2b-1=____。
解析：把“a-b”看成一个整体代入，2a-2b-1=2(a-b)-1=5。
二、方程思想方程思想是指在确定变量后，找到它们之间的关系，将实际问题转化成方程或不等式，通过建立方程模型来解决实际问题。
例2 一个凸多边形的内角和是外角和的2倍，它是____边形。
解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和是(n-2) 180°。
设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n-2)180°=2×360°，解得n=6。
三、函数思想函数的思想是用运动和变化的眼光，分析和研究数学中的数量关系，从而建立函数模型，如一次函数、反比例函数、二次函数等，解决实际问题。
例3 某市出租车收费标准：不超过3千米计费为10.0元，3千米后按2.4元/千米计费。
(1)当路程表显示7千米时，应付费多少元?(2)写出车费 y (元)与路程 x (千米)之间的函数表达式。
(3)小明乘出租车从家到人才市场，付费34元，求小明的车程。
解析：(1)当路程为7千米时，费用为10+(7-3)×2.4=19.6元。
(2)当x≤3时，y=10;当x≥3时，y=10+(x-3)×2.4，即y=2.4x+2.8。
(3)当y=34时，有2.4x+2.8=34,即x=13。
答：小明的车程为13千米。
四、转化思想转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识，化繁为简，化未知为已知，从而解决实际问题。
解答数学问题的七种思想方法
数学解题思想方法透视一、配方思想配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。
何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；…… 等等。
Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1·a5+2a3·a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。
2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。
A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。
A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。
A. （－∞, 5]B. [5,+∞)C. (－1,5]D. [5,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。
高中数学七大数学基本思想方法
高中数学七大数学基本思想方法第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。
（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。
考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。
第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系，形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化。
第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法。
（2）从具体出发，选取适当的分类标准。
（3）划分只是手段，分类研究才是目的。
（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性。
（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性。
第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决题化归为已解决问题。
（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法。
（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化。
第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识。
（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论。
（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程。
（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程。
（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向。
第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路。
（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向。
（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用。
常用的数学思想方法
常用的数学思想方法常用的数学思想方法大全在数学的学习过程中，有哪些常见的思想方法呢?下面是店铺网络整理的常见的数学思想方法以供大家学习。
常用的数学思想方法篇11、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解体思路，使问题得到解决。
2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。
数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。
在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。
如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。
3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。
4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。
为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。
5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。
配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。
6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题的一种方法。
换元法可以把一个较为复杂的式子化简，把问题归结为比原来更为基本的问题，从而达到化繁为简，化难为易的目的。
7、分析法：在研究或证明一个命题时，又结论向已知条件追溯，既从结论开始，推求它成立的充分条件，这个条件的成立还不显然，则再把它当作结论，进一步研究它成立的充分条件，直至达到已知条件为止，从而使命题得到证明。
这种思维过程通常称为“执果寻因”8、综合法：在研究或证明命题时，如果推理的方向是从已知条件开始，逐步推导得到结论，这种思维过程通常称为“由因导果”9、演绎法：由一般到特殊的推理方法。
例谈初中数学思想方法的教学7篇
例谈初中数学思想方法的教学7篇第1篇示例：初中数学思想方法的教学是提高学生数学学习能力和解决问题能力的重要环节。
数学思想方法的培养是数学教学中的一项重要任务，它不仅能够帮助学生更好地理解和掌握数学知识，还能够激发学生的学习兴趣和动手能力，培养学生的解决问题的能力。
教师在初中数学教学中应注重培养学生的数学思想方法，提高他们的数学素养。
一、提倡启发式教学方法启发式教学方法是培养学生数学思想方法的有效手段之一。
教师可以通过引导学生思考和提出问题的方式，激发学生的求知欲和好奇心，促使学生主动探究和发现数学规律。
教师可以给学生一道有趣的问题，让学生通过分析和推理找出解决问题的方法，这样可以激发学生的兴趣，培养他们的独立思考能力和解决问题的能力。
二、注重实践教学方法实践教学方法是培养学生数学思想方法的重要途径之一。
通过数学实践，学生可以将抽象的数学知识与实际生活联系起来，理解数学的应用价值，从而加深对知识的记忆和理解。
教师可以设计一些与实际生活相关的数学问题，让学生在解决问题中体会数学的魅力，培养他们的动手能力和实践能力。
三、鼓励合作学习方法合作学习是培养学生数学思想方法的有效途径之一。
通过合作学习，学生可以相互交流、讨论，共同解决问题，从而提高解决问题的效率和质量。
教师可以组织学生分组讨论、合作完成任务，引导学生相互合作、互帮互助，培养学生的团队合作精神和沟通协作能力。
四、激发创新思维能力第2篇示例：初中数学作为学生数学学科的启蒙阶段，数学思想方法的教学显得尤为重要。
正确的数学思想方法不仅影响到学生对数学的学习态度和兴趣，还直接影响到数学学科的学习效果。
教师们在进行初中数学教学时，需要注重培养学生的数学思想方法，激发学生学习数学的兴趣和潜能。
初中数学教学要注重启发性教学。
数学是一门反映客观规律的抽象科学，因此教学应注重培养学生的逻辑思维和数学思维能力。
在教学过程中，教师应引导学生通过具体问题认识抽象概念，通过实际情境应用抽象理论。
初中数学常用的17种思想方法-word
初中数学常用的17种思想方法1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。
又如三角形可以按边分，也可以按角分。
不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。
对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。
电大《数学思想与方法》形成性考核形考七7案例探索—运用所学理论分析数学教学案例解答
电大《数学思想与方法》形成性考核形考七7案例探索—运用所学理论分析数学教学案例解答案例分析：在本次案例探索中，我们将运用所学的数学思想与方法，对一个具体的数学教学案例进行分析。
通过深入剖析案例中的教学内容、方法和策略，旨在提升我们对数学教学理论与实践的深入理解。
案例背景：本次案例选取的是一个高中数学教学场景，教学内容为立体几何中的“空间向量”概念。
教学对象为高中一年级学生，学生已具备一定的数学基础，但对空间向量的理解和运用尚显不足。
教学目标：1. 让学生掌握空间向量的基本概念和运算规则。
2. 培养学生运用空间向量解决实际问题的能力。
3. 引导学生运用数形结合的思想方法，提升数学思维能力。
教学过程：1. 导入新课：教师通过一个简单的实际问题引入空间向量的概念，如“如何在三维空间中表示一个物体的位置？”引导学生思考，激发学生的兴趣。
2. 自主：学生根据教师提供的任务，自主探究空间向量的定义、表示方法和基本运算规则。
在此过程中，教师提供必要的辅导和提示，帮助学生克服困难。
3. 课堂讲解：教师针对学生自主过程中遇到的共性问题进行讲解，重点阐述空间向量的几何意义和数学原理。
同时，通过数形结合的方式，让学生直观地理解空间向量的运算。
4. 练巩固：教师设计一系列针对空间向量的练题，让学生在课堂上完成。
通过练，巩固所学知识，提高解题能力。
5. 应用拓展：教师提出一个综合性的实际问题，要求学生运用空间向量知识解决。
学生在教师的引导下，分组讨论、协作解决问题，提高空间向量的应用能力。
6. 总结反馈：教师对整个教学过程进行总结，对学生的情况进行评价，指出优点和不足，鼓励学生继续努力。
教学反思：在本案例中，教师充分运用了数学思想与方法，将抽象的空间向量概念具体化、形象化，有助于提高学生的理解能力和应用能力。
同时，教师注重培养学生的自主能力，引导学生运用数形结合的思想方法，使学生在解决问题的过程中提升数学思维能力。
然而，在实际教学过程中，教师还需注意以下几点：1. 针对不同学生的基础，适当调整教学内容和难度，以满足不同学生的需求。
高中七种数学思想方法总结
高中七种数学思想方法总结高中数学可以说是数学思想发展的关键时期，学生需要抽象思维能力和逻辑推理能力的提高。
在高中数学学习中，这七种数学思想方法对于学生的数学思维的培养具有重要意义。
下面对这七种数学思想方法进行总结。
首先是归纳与演绎的思想方法。
归纳与演绎是思维的两个基本方面。
归纳是从具体的实例出发，逐步得到普遍规律的一种思维方式。
而演绎是从普遍规律出发，推演出具体实例的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生首先需要通过归纳总结知识点中的一般性规律，然后通过演绎推导解决具体问题。
其次是抽象与具体的思想方法。
抽象是从具体的实例中提取出普遍规律的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过抽象将具体问题归纳到一般性问题，从而更好地解决问题。
而具体则是为了更清晰地理解抽象的概念和规律，将抽象的概念具体化。
第三是直观与形式的思想方法。
直观是通过感觉和观察获得的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过直观去理解和感受数学概念和现象。
而形式则是通过符号、符号语言去表达和推演的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过形式化去描述和推演问题，从而更好地解决问题。
第四是逻辑与启发的思想方法。
逻辑是一种通过推理和论证得出结论的思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过逻辑推理去解决问题，并通过逻辑展示问题的解决过程。
而启发则是一种通过直觉和灵感得到的思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过启发去发现和理解问题，并通过启发性解题方法解决问题。
第五是分析与综合的思想方法。
分析是将整体问题分解成各个部分，然后逐个进行研究的一种思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过分析将复杂的问题分解成简单的问题，然后逐个解决。
而综合则是将各个部分的研究结果重新组合成一个整体的思维方式。
在高中数学学习中，学生需要通过综合将各个问题的解决方法组合成一个整体的解决方法。
第六是推理与证明的思想方法。
推理是通过逻辑推理和推断得出结论的一种思维方式。
数学思想方法有哪七种
数学思想方法有哪七种
1、数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。
“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。
2、转化思想：在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。
转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。
3、分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。
4、整体思想
从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。
5、类比思想
把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某
些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
6、配方法
将一个式子设法构成平方式，然后再进行所需要的转化。
当在求二次函数最值问题、解决实际问题最省钱、盈利最大化等问题时，经常要用到此方法。
7、待定系数法法
当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待定的字母的值就可以了，为此，需要把已知的条件代入到这个待定的式子中，往往会得到含待定字母的方程或者方程组，然后解这个方程或者方程组就可以使问题得到解决。
有限与无限思想——数学思想方法系列讲座(7)
教育专栏高慧明专栏湖北教育·2019-08数学研究的对象可以是特殊的或一般的，可以是具体的或抽象的，可以是静止的或运动的，可以是有限的或无限的，它们之间是矛盾的对立统一。
对有限的研究往往先于对无限的研究。
对有限个研究对象的研究往往有章可循，并积累了一定的经验，而对无限个研究对象的研究，却往往不知如何下手，显得经验不足，于是将对无限的研究化成对有限的研究，就成了解决无限问题的必经之路。
反之,当积累了解决无限问题的经验之后，可以将有限问题转化成无限问题来解决。
这种无限化有限、有限化无限的解决数学问题的方法就是有限与无限思想。
小学数学里有些问题不是通过初等数学的方法解决的，如圆的面积无法直接按照求长方形面积的方法来计算。
我国古代数学家刘徽为了计算圆的面积和圆周率，曾经创立了“割圆术”。
具体做法是：先作圆的内接正六边形，再作内接正十二边形……随着边数的不断增加，正多边形越来越接近于圆，那么它的面积和周长也越来越接近于圆的面积和周长。
刘徽在描述这种做法时说“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
也就是说，随着正多边形的边数无限增加，圆内接正多边形就转化为圆。
这种思想就是一种极限思想，即用无限逼近的方式来研究数量的变化趋势的思想。
小学数学中还渗透着既对立又统一的辩证思维，如加与减、乘与除是学生非常熟悉的辩证关系。
有限与无限思想中也渗透着有限与无限、曲与直、变与不变的辩证关系。
我们知道，多边形的面积直接用公式就可以计算出来，但如果其中有的边改成曲边，就无法直接用多边形的面积公式计算，而要用定积分来求了。
如：计算曲边梯形（直角梯形的斜边是曲边）的面积，就是先把曲边梯形平均分成n 个小曲边梯形，在每个小曲边梯形里取一个最大的小矩形，这时n 个小矩形的面积接近于n 个小曲边梯形的面积的和。
当n 越来越大时，小矩形的面积和就越来越接近于相应的曲边梯形的面积；当n 趋向于无穷大时，如果极限存在，记作S ，最后S 就等于所有的小曲边梯形的面积的和了，那么就得到了曲边梯形的面积是S 。
数学思想方法有哪七种
数学思想方法有哪七种数学作为一门基础学科，对于人类的发展和科学探索起着重要的作用。
在数学领域中，数学思想方法是指数学家在研究和解决问题时所使用的一系列思维方式和策略。
这些思想方法帮助数学家更好地理解数学概念、发现数学规律并推导出解决问题的方法。
在本文中，将介绍七种常见的数学思想方法。
第一种思想方法是归纳法。
归纳法是一种从具体事实中得出一般性结论的推理方法。
在数学中，通过观察特定规律的数列、图形或运算过程等，推测出一般性的结论。
例如，通过观察前几项斐波那契数列（1, 1, 2, 3, 5, 8...），可以猜测到这个数列的通项公式：Fn=Fn-1+Fn-2。
第二种思想方法是演绎法。
演绎法是一种从一般性前提出发，根据逻辑推理得出特殊结论的方法。
在数学中，一般性的前提可以是数学定理或公理，通过逻辑推理得出特殊的结论。
例如，从已知的三角函数的定义和标准值，可以通过演绎法推导出其他角度的三角函数值。
第三种思想方法是隐喻法。
隐喻法是通过比较两个相似的事物，从一个问题中找到解决另一个问题的方法。
在数学中，隐喻法可以帮助数学家将一个复杂的问题转化为一个已知的简单问题。
例如，在解决代数方程时，可以将其转化为一个几何问题，通过图形和几何关系来寻找解法。
第四种思想方法是对称法。
对称法是一种利用物体的对称性质解决问题的方法。
在数学中，对称法常用于解决几何问题。
通过发现物体的对称性质，可以简化问题的分析和求解过程。
例如，通过发现正方形具有对称性，可以得出正方形对角线相等的结论。
第五种思想方法是递归法。
递归法是一种通过递推关系和初始条件来定义序列或函数的方法。
在数学中，递归法常用于定义递归数列和递归函数。
递归法可以将复杂的问题分解成更简单的子问题，通过逐步求解子问题来解决整个问题。
例如，斐波那契数列就是通过递推关系Fn=Fn-1+Fn-2定义的。
第六种思想方法是分析法。
分析法是一种通过分析问题的各个方面和关系来解决问题的方法。
数学的思想方法有哪些
数学的思想方法有哪些数学的思想方法有哪些数学的思想方法有哪些？作为老师的你想不想知道呢？下面是店铺整理的数学的思想方法有哪些，欢迎大家阅读！数学的思想方法有哪些·篇一、集合的思想方法把一组对象放在一起，作为讨论的范围，这是人类早期就有的思想方法，继而把一定程度抽象了的思维对象，如数学上的点、数、式放在一起作为研究对象，这种思想就是集合思想。
集合思想作为一种思想，在小学数学中就有所体现。
在小学数学中，集合概念是通过画集合图的办法来渗透的。
如用圆圈图(韦恩图)向学生直观的渗透集合概念。
让他们感知圈内的物体具有某种共同的属性，可以看作一个整体，这个整体就是一个集合。
利用图形间的关系则可向学生渗透集合之间的关系，如长方形集合包含正方形集合，平行四边形集合包含长方形集合，四边形集合又包含平行四边行集合等。
二、对应的思想方法对应是人的思维对两个集合间问题联系的把握，是现代数学的一个最基本的概念。
小学数学教学中主要利用虚线、实线、箭头、计数器等图形将元素与元素、实物与实物、数与算式、量与量联系起来，渗透对应思想。
如人教版一年级上册教材中，分别将小兔和砖头、小猪和木头、小白兔和萝卜、苹果和梨一一对应后，进行多少的比较，向学生渗透了事物间的对应关系，为学生解决问题提供了思想方法。
三、数形结合的思想方法数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，就是数形结合思想。
“数形结合”可以借助简单的图形、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。
例如，我们常用画线段图的方法来解答应用题，这是用图形来代替数量关系的一种方法。
我们又可以通过代数方法来研究几何图形的周长、面积、体积等，这些都体现了数形结合的思想。
高中数学七大基本思想方法讲解
高中数学七大基本思想方法讲解高中数学的七大基本思想方法是：分类讨论法、递推法、画图法、符号法、假设法、构造法和倒推法。
第一，分类讨论法。
分类讨论法是指将问题中的条件按照具有共同特征的情况分别讨论，从而对问题进行全面深入的解析。
通过逐个分类讨论，找出各个情况的共性和特点，以及不同情况下的不同解决方法。
这种方法可以将复杂的问题变得简单明了，易于理解与解答。
举个例子，假设有一道题目要求求解方程2x+3=5的解集。
我们可以将其分为两类：当x为正数时，方程有且仅有一个解；当x为负数时，方程无解。
通过将问题进行分类讨论，我们可以得到方程的解集为{x，x=1}。
第二，递推法。
递推法是指通过已知的初始值或者关系式来推导出未知项的计算方法。
这一方法常常用于求解数列中的其中一项或一些项，以及解决一些逻辑推理问题。
在递推的过程中，可以发现规律，从而推导出一般项、通项、边界条件等重要信息。
以求解斐波那契数列为例，斐波那契数列的前两项为1，从第三项开始，每一项都是前两项的和。
我们可以利用这个关系式进行递推：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
通过递推，我们可以得到斐波那契数列的通项公式。
第三，画图法。
画图法是通过绘制几何图形的方法，对问题进行可视化的处理。
它可以使抽象的数学问题变得具体明了，通过观察图形的性质和特点，可以得到问题的解。
举个例子，假设要求解一个三角形的内角和。
我们可以通过画一个三角形，并在其中一点做垂线，将三角形划分为若干个小三角形。
通过观察这些小三角形，我们可以发现它们的内角和等于一个直角。
然后，我们可以用这个结论推导出原始三角形的内角和。
第四，符号法。
符号法是指通过引入合适的符号和代数运算，将实际问题抽象成为可以用代数式描述的数学问题。
通过对符号及其运算规则的运用，可以更加简洁地表达数学问题，进而进行求解。
比如，假设有一道题目要求求两个数的和，可以用符号法表示为a+b=x。
通过引入符号a、b和运算符号+，我们将实际问题抽象成了一个代数问题。
小学数学教材中蕴涵的7种常见数学思想方法
小学数学教材中蕴涵的7种常见数学思想方法小学数学教材中蕴涵了几种常见的数学思想方法，梳理一下，大概有以下七种：1.归纳。
归纳是通过特例的分析引出普遍的结论。
在研究一般性问题时，先研究几个简单、个别的、特殊的情况，从中概括出一般的规律和性质，这种由部分到整体、由特殊到一般的推理被称为归纳。
小学数学中的有些数学问题是直接建立在类比之上的归纳，有些数学问题是建立在抽象分析之上的归纳。
小学阶段学生接触较多的是不完全归纳推理。
加法结合律，我们就采用了不完全归纳推理展开教学。
例如，28个男生在跳绳，17个女生在跳绳，23个女生在踢毽子。
求跳绳和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳绳的人数列出算式（28+17）+23计算，也可以先求女生的人数列出算式28+（17+23）计算。
这两道算式的算理是等价的，得数也相同，因此可以写成等式（28+17）+23=28+（17+23）。
在这第一个实例中，学生看到的数学现象是不是普遍性的规律，需要在类似的情况中验证。
于是，我们让学生分别算一算（45+25）+13和45+（25+13）、（36+18）+22和36+（18+22），看看每组的两道算式是不是相等，两道算式中间能不能填上等号，再看看这些相等的算式有什么结构上的特点，猜想有这种结构特点的算式结果是否一定相等，通过实验发现第一个实例中的数学现象在类似的情况中同样存在。
接着，鼓励学生自己写出类似的几组算式，进行更多的验证，体验现象的普遍性。
学生通过进行类似的实验，在实验中概括出加法结合律，并用字母a、b、c分别表示三个加数，写成（a+b）+c= a+（b+c）。
展开剩余84%这样，学生在学习加法结合律等的过程中，就经历了由具体到一般的抽象、概括过程，不仅可以发现数学规律、定理，而且能够初步感受归纳的思想方法，使思维水平得到提升。
2.演绎。
演绎与归纳相反，是从普遍性结论或一般性的前提推出个别或特殊的结论。
在研究个别问题时，以一般性的逻辑假设为基础，推出特定结论，这种从一般到特殊的推理被称为演绎。
初中数学思想方法大全
一、宏观型思想方法数学思想是数学基础知识、基本技术的本质表现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵巧应用数学知识、技术的灵魂。
（一）、转变 ( 化归 ) 思想解决数学识题就是一个不停转变的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生分为熟习，变未知为已知，从而使问题得以解决。
不是对本来的问题直接解答，而是想方想法对它进行变形，直到把它转变为某个（某几个）已经解决了的问题为止。
经过转变可使原条件中隐含的要素显现出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。
“转变”的思想是一种最基本的数学思想。
数学解题过程的本质就是转变过程，详细的说，就是把“新知识”转变为“旧知识”，把“未知”转变为“已知”，把“抽象”转变为“详细”，把“复杂问题”转变为“简单问题”，把“高次”转变为“低次”，在不停的相互转变中使问题获取解决。
可运用联想类比实现转变、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行结构变形实现转变、数形联合，实现转变。
一般转变为特别，有些代数问题，经过结构图形，化抽象为详细，借助直观启迪思想，转变为易解的几何问题。
有些不易解决的几何题经过协助线转变为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，能够简化题中某一条件，甚至临时撇开不管，先考虑一个简化的问题，这类简化题对于证明原题常常能起到带路的作用。
把本质问题转变为数学识题。
联合解题进行化归思想方法的训练的做法： a、化繁为简； b、化高维为低维； c、化抽象为详细； d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f 、化本质问题为数学识题；g、化综合为单调；h、化一般为特别。
有加减法的转变，乘除法的转变，乘方与开方的转变，添协助线，设协助元等等都是实现转变的详细手段。
所以，第一要认识到常用的好多半学方法本质就是转变的方法应用： A 将未知向已知转变； B 将陌生向熟知转变； C 方程之间的转变； D平面图形间的转变； E 空间图形与平面图形的转变； F 统计图之间的相互转变。
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排列组合思维优化学案
一．知识小结：
一个核心思想： 分类讨论； 两个计数原理：（1）分类计数加法原理 （2）分步计数乘法原理 三个计数模型：
(1)映射型 m n ：若 A={a,b,c ，… }，CardA=n, B={1，2，3，…} CardB=m ,则 A 到B 的映射有m n 个；
(2)排列型 A n m ：从n 个不同元素中取出m 个排成一列，所有不同的排法数； (3)组合型 C n m
： 从n 个不同元素中取出m 个组成一组，所有不同的组数； 四个性质 ：
（1）A m
n =A k
n A k
n n - （2）A m n =mA 11--m n +A 1
1--m n
（3） C m
n =C 1
-m n
（4）C m
n =C 1
1--m n +C m
n 1-
五种技巧：
（1）特殊优先 （2）相邻捆绑 （3）不相邻插空 （4）均匀分组 （5）隔板模型 六种常见题型：
（1）定序问题 （2）指标分配问题 （3）至少至多问题 （4）多面手问题 （5）摸球问题 （6）染色问题
二．思维训练：
方法检测———基础组
1.
3
2
2
(1)(1)(1)
x x x y y z ++++++展开后的不同的项数为（ D ）
A ．9 B.12 C.18 D.24
解析 分步计数乘法原理 N=4*3*2=24
2．4本不同的书放入两个不同的抽屉中（设每个抽屉足够大），共有不同的放法为( C )
A. 6种
B. 8种
C. 16种
D. 20种 解析 映射型 N=24=16
3. 6名同学排成一排, 其中甲、乙两个必须在一起的不同排法有( C ) A. 720种 B. 360种 C. 240种 D. 120种 解析 排列数 相邻捆绑 N=2A 5
5=240
4. 8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有( A )
A. 3565A A 种
B. 863863A A A - 种
C. 5353A A 种
D.
84
86
A A -种
解析 排列数 不相邻插空 N=A 55A 36 选A
5. 高三年级有8个班，分派4个数学老师，每个教师任教2个班，则不同的安排方法( B )
A.
2222
8642
A A A A B.
2222
8642
C C C C C.
22224
86424
C C C C A D.
2222
8642
4
4
C C C C A
解析 组合数 均匀分组问题 先分组再分配 选B
6. 从1，2，……，8这八个数字可任取两个组成平面上点的坐标(,)a b ，且要求点(,)a b 在直线y x =的上方，则这样的点共有( D )
A. 56个
B. 48个
C. 32个
D. 28个
解析 组合数 在直线的上方即b>a ;N=C 28=28 选D
7. 企业家计划在四个侯选城市投资三个不同项目，且在同一城市投资的项目部不超个两个，则不同的投资方案由 （ D ）
A. 16
B. 36 Ｃ. ４２ Ｄ. ６０
解析 分类讨论项目投资方案：一是三个项目投资到三个城市 ， 有A 3
4=24种；二是三个项目投资到两个城市，有C 2
3A 2
4=36种； 共60种，选D
8．三名医生和六名护士被分配到三所学校体检，每校一名医生和２名护士，则不同的分配方案有（ ）
Ａ. ７２０ Ｂ. ５４０ Ｃ.３６０ Ｄ ４８０
解析 排列组合综合 三名医生的分配方法为A 33=6；
6名护士的分配方法为C 2
6C 2
4C 2
2=90； 所以共有6*90=540种分配方案。
9．7个相同的球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球的不同放法有_____种。
解析 元素无差别，用隔板法：将小球排成一列，在其形成的6空隙中放入3个隔板；再将分开的小球捡入对应的盒子里；共有不同方法C 36=40种。
10. 从1至10的十个自然数中，任取两个相加所得和为一奇数的情况有_________种。
解析 两个自然数和为奇数，则两个加数必为一奇一偶；所以有C 15C 15=25种 11. 若{1,2,3,4,5},{3,4,5,6}k b ∈∈ ，则方程y kx b =+表示不同的位置的直线共有___________条。
解析 乘法原理 N=5*4=20.
12．将三种作物全部种植在并排五块实验田里，每块实验田种一种且相邻的试验田不能种同一种作物，则共有_________种种法。
解析 计数原理和排列数 若依次不同种植种法有3*2*2*2*2=48种；但要求三种作
物全部种植，故要除去种植其中两种植物的方法（A 2
3=6），所以有48-6=42种不同种植方法。
能力提高———辨析组
１．Ａ题：甲乙等四人参加接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，共有多少种不同的方法？ Ｂ题：从甲乙等六人中选四人参加接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，共有多少种不同的方法？
解析 两题限制条件相同，只是B 题要考虑接力赛的人选。
A 题解答：分两类 一是甲跑第二棒，乙自然跑不成第二棒了，有A 33=6种不同跑法； 二是甲不跑第一和第二棒，乙不跑第二棒，甲有2种，乙有2种，所以有2*2A 22=16种不同跑法； 故有22种不同跑法。
B 题解答： 首先人多要选人，按甲乙是否入选分类
一是有甲有乙，再从另外4人中选2人，结合A 题解答，得不同方法有C 2422=132种； 二是有甲无乙，再从另外4人中选3人，得不同的方法有3A 34=72种； 三是有乙无甲，再从另外4人中选3人，得不同的方法有3A 34=72种； 四是无甲无乙，只能是另外4人跑了，得不同方法有A 44=24种；
所以共有不同方法数为132+72+72+24=300种。
２．Ａ题：将四个不同的小球分成三组，每组至少一个有多少不同分法？
Ｂ题：将四个不同的小球装入编号为１，２，３的三个盒子且每个盒子至少一个球，不同的装入方法？
Ｃ题：将四个相同的小球装入编号为１，２，３的三个盒子且每个盒子至少一个球，不同的装入方法？
Ｄ题：将四个相同的小球分成三组，每组至少一个，有多少不同分法？
解析
A 题 组合数 将四个不同的小球分成三组，每组至少一个，这样的要求就是有两个小球
在一起为一组，其余两个小球各自为一组，所以有分法数是C 24=6种；
B 题 先分组再分配 A 题解决了分组，再放入不同盒子里，属于排列，所以共有6A 3
3种； C 题 与B 题不同的是小球相同了，要用隔板法来分组分配 所以有C 2
3=3种不同方法； 也可以这样考虑，由于小球无差别，只要考虑哪个盒子放两个小球即可，显然有种不
同的方法； D 题 只有一种分法，即2,1,1.
３．Ａ题：求方程Ｘ1＋Ｘ2＋Ｘ3＝１７的正整数解的个数？
Ｂ题：把２０个不加区别的小球全部放入编号为１，２，３的盒子中，要求盒子里的球数不小于他的编号，有多少种不同的方法？
解析
A 题 转化思想 相当于将17个相同的小球放入三个盒子里，且每个盒子里至少一个， 用隔板法得C 2
16=120 所以共有120个正整数解；
B 题 转化思想 先按编号数放入小球，余下14个小球用隔板法有
C 214=91种；
４．假设在１０名学生中有６名男生四名女生，现从中抽调四人参加培训，其中至少有２名女生的抽调方法有多少？
解： 甲同学的解答：按抽调出女生人数分为三类：
（１）抽调出２名女生时，还需要２名男生，不同的方法有ｍ1＝Ｃ24Ｃ2
6 （２）抽调出３名女生时，还需要１名男生，不同的方法有ｍ2＝Ｃ34Ｃ1
6 （３）抽调出４名女生时，不需要男生，不同的方法有ｍ3＝Ｃ4
4
故由分类加法计数原理得Ｎ＝１１５（种）
已同学的解答：分两步：先抽调两名女生，再从余下的8人中抽调2人.
故1682
824==C C N (种)
你认为甲，乙二位同学谁的解法对？为什么？。