数学思想方法系列7

排列组合思维优化学案

一．知识小结：

一个核心思想： 分类讨论； 两个计数原理：（1）分类计数加法原理 （2）分步计数乘法原理 三个计数模型：

(1)映射型 m n ：若 A={a,b,c ，… }，CardA=n, B={1，2，3，…} CardB=m ,则 A 到B 的映射有m n 个；

(2)排列型 A n m ：从n 个不同元素中取出m 个排成一列，所有不同的排法数； (3)组合型 C n m

： 从n 个不同元素中取出m 个组成一组，所有不同的组数； 四个性质 ：

（1）A m

n =A k

n A k

n n - （2）A m n =mA 11--m n +A 1

1--m n

（3） C m

n =C 1

-m n

（4）C m

n =C 1

1--m n +C m

n 1-

五种技巧：

（1）特殊优先 （2）相邻捆绑 （3）不相邻插空 （4）均匀分组 （5）隔板模型 六种常见题型：

（1）定序问题 （2）指标分配问题 （3）至少至多问题 （4）多面手问题 （5）摸球问题 （6）染色问题

二．思维训练：

方法检测———基础组

1.

3

2

2

(1)(1)(1)

x x x y y z ++++++展开后的不同的项数为（ D ）

A ．9 B.12 C.18 D.24

解析 分步计数乘法原理 N=4*3*2=24

2．4本不同的书放入两个不同的抽屉中（设每个抽屉足够大），共有不同的放法为( C )

A. 6种

B. 8种

C. 16种

D. 20种 解析 映射型 N=24=16

3. 6名同学排成一排, 其中甲、乙两个必须在一起的不同排法有( C ) A. 720种 B. 360种 C. 240种 D. 120种 解析 排列数 相邻捆绑 N=2A 5

5=240

4. 8个人排成一排照相，其中甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有( A )

A. 3565A A 种

B. 863863A A A - 种

C. 5353A A 种

D.

84

86

A A -种

解析 排列数 不相邻插空 N=A 55A 36 选A

5. 高三年级有8个班，分派4个数学老师，每个教师任教2个班，则不同的安排方法( B )

A.

2222

8642

A A A A B.

2222

8642

C C C C C.

22224

86424

C C C C A D.

2222

8642

4

4

C C C C A

解析 组合数 均匀分组问题 先分组再分配 选B

6. 从1，2，……，8这八个数字可任取两个组成平面上点的坐标(,)a b ，且要求点(,)a b 在直线y x =的上方，则这样的点共有( D )

A. 56个

B. 48个

C. 32个

D. 28个

解析 组合数 在直线的上方即b>a ;N=C 28=28 选D

7. 企业家计划在四个侯选城市投资三个不同项目，且在同一城市投资的项目部不超个两个，则不同的投资方案由 （ D ）

A. 16

B. 36 Ｃ. ４２ Ｄ. ６０

解析 分类讨论项目投资方案：一是三个项目投资到三个城市 ， 有A 3

4=24种；二是三个项目投资到两个城市，有C 2

3A 2

4=36种； 共60种，选D

8．三名医生和六名护士被分配到三所学校体检，每校一名医生和２名护士，则不同的分配方案有（ ）

Ａ. ７２０ Ｂ. ５４０ Ｃ.３６０ Ｄ ４８０

解析 排列组合综合 三名医生的分配方法为A 33=6；

6名护士的分配方法为C 2

6C 2

4C 2

2=90； 所以共有6*90=540种分配方案。

9．7个相同的球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子至少有1个球的不同放法有_____种。 解析 元素无差别，用隔板法：将小球排成一列，在其形成的6空隙中放入3个隔板；再将分开的小球捡入对应的盒子里；共有不同方法C 36=40种。

10. 从1至10的十个自然数中，任取两个相加所得和为一奇数的情况有_________种。 解析 两个自然数和为奇数，则两个加数必为一奇一偶；所以有C 15C 15=25种 11. 若{1,2,3,4,5},{3,4,5,6}k b ∈∈ ，则方程y kx b =+表示不同的位置的直线共有___________条。 解析 乘法原理 N=5*4=20.

12．将三种作物全部种植在并排五块实验田里，每块实验田种一种且相邻的试验田不能种同一种作物，则共有_________种种法。

解析 计数原理和排列数 若依次不同种植种法有3*2*2*2*2=48种；但要求三种作

物全部种植，故要除去种植其中两种植物的方法（A 2

3=6），所以有48-6=42种不同种植方法。

能力提高———辨析组

１．Ａ题：甲乙等四人参加接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，共有多少种不同的方法？ Ｂ题：从甲乙等六人中选四人参加接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第二棒，共有多少种不同的方法？

解析 两题限制条件相同，只是B 题要考虑接力赛的人选。

A 题解答：分两类 一是甲跑第二棒，乙自然跑不成第二棒了，有A 33=6种不同跑法； 二是甲不跑第一和第二棒，乙不跑第二棒，甲有2种，乙有2种，所以有2*2A 22=16种不同跑法； 故有22种不同跑法。

B 题解答： 首先人多要选人，按甲乙是否入选分类

一是有甲有乙，再从另外4人中选2人，结合A 题解答，得不同方法有C 2422=132种； 二是有甲无乙，再从另外4人中选3人，得不同的方法有3A 34=72种； 三是有乙无甲，再从另外4人中选3人，得不同的方法有3A 34=72种； 四是无甲无乙，只能是另外4人跑了，得不同方法有A 44=24种；