可微性的几何意义及应用

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多元函数的可微性

x0
x
2022年9月1日10时41分
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9
类似地可定义关于 y 的偏导数
f y
( x0 , y0 )
f y ( x0 , y0 )
lim
y y0
f ( x0 , y) f ( x0 , y0 ) y y0
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
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22
例6. 已知理想气体的状态方程
(R 为常数) ,
求证: p V T 1 V T p
证: p RT , V
p V
RT V2
说明: 此例表明,
V RT , p
V R T p
偏导数记号是一个整体记号, 不能看作
分子与分母的商 !
p V V T
T p
z
lim f (x0 x, y0 ) f (x0, y0 )
x (x0, y0 )
x0
x
作平面 y =y0 , 得曲线 L ,
z f (x, y)
y
y0
在点 P0 ( x0 , y0 , f (x0 , y0 ))处
作曲线L的切线 Tx
由一元函数导数的几何意义：
z = tan
x ( x0 , y0 )
A( x x0 ) B( y y0 )
dz
从而
f ( x, y) f ( x0 , y0 ) A( x x0 ) B( y y0 )
2022年9月1日10时41分
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5
在使用上，⑴式常写成下列形式：
其中
z Ax By x y
lim lim 0

二元函数可微的几何意义

二元函数可微的几何意义二元函数可微的几何意义二元函数是指输入有两个自变量的函数，常见的二元函数有二元多项式、二元三角函数等等。

而可微是指这个函数的某个点处存在一个切平面，这个平面可以近似地代替函数在该点的局部变化情况。

而函数的可微性说明了该函数在某个点处对应的切平面存在，这个切平面的几何意义是什么呢？本文将深入探讨二元函数可微的几何意义。

切平面首先，我们需要知道什么是切平面。

对于一条曲线或一个曲面上某一点，其切线或切平面提供了该点处的一个局部近似。

切平面是在曲面上与该点处于相同位置并与切线垂直的平面。

它是对应于一个点处局部导数的集合，可以用来描述该点处的局部变换情况。

二元函数可微的几何意义当我们将可微函数定义在平面上时，函数在某一点处的可微性表示了该点处的切平面存在，切平面与函数图形在该点处相切。

对于在平面上定义的二元函数f(x,y)，在点(x,y)处的切平面依然存在，切平面的法向量是函数梯度的方向。

因此，函数在某一点处可微就意味着该点处的函数在与之切平面相切的方向上的导数存在。

图形通过图形来理解切平面是二元函数可微的几何意义，可以更加形象、具体。

以二元函数f(x,y)=x^2+2y^2为例，该函数的图形在三维坐标上是一个椭球面，如果我们要在点(1,1)处求切平面，那么我们需要计算该点处的偏导数，即fx=2x=2，fy=4y=4，因此该点的梯度是(2,4)。

接着，使用该点的梯度作为法向量，我们可以得到如下的切平面方程：2(x-1)+4(y-1)=0，即2x+4y=6，这是一个通过点(1,1)且垂直于梯度向量的平面，该平面与该点处函数图形有很好的拟合关系。

可以看出，该切平面与函数图形相切。

总结二元函数可微的几何意义是切平面的存在，切平面与函数图形在该点处相切，切平面的法向量是函数的梯度方向。

切平面可以近似代替函数在该点的局部变化情况，从而更好地描述函数的局部性质和行为。

掌握二元函数可微的几何意义对于数学建模和数学分析都具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解函数的性质和应用。

1 可微性

0
故函数 z f ( x, y )在点( x, y )处连续.
例 1 考察函数 f x , y xy 在点 x 0, y 0 处的可微性. 解在点 x0 , y0 处函数 f 的全增量为
f x 0, y 0 x0 x y0 y x0 y0
x
z
说明：
求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
xy , x 2 y 2 0, x2 y2 例6 设 f ( x , y ) 0, 2 2 x y 0
求 f x ( x, y ),
解 (1)
ห้องสมุดไป่ตู้
f y ( x, y ).
先求 f x ( x, y ). 当 x 2 y 2 0时 , 即 x 0 且 y 0 时 xy y ( x 2 y 2 ) 2 x xy f x ( x, y ) 2 2 2 2 2 ( x y ) x y
记作
f x ( x 0 , y0 )
或
f x x 0 , y0
u 注意偏导数是一个整体记号，不能拆分; x
定义中, f 在点 x 0, y 0 存在关于 x 的偏导数 , f 至少在
x , y y y , x x
0
0
上

必须有定义.对于 y 同理
估计误差
全增量的概念
如果函数 z f ( x, y ) 在点 ( x, y ) 的某邻域内有定义,设 P ( x x , y y ) 为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y)
为函数在点 P 对应于自变量增量 x, y 的全增量，记为 z ，即 z f ( x x , y y ) f ( x , y ).

可微性的几何意义及应用

z z0 2a x0( x x0 ) 2b y0( y y0 ).
又因 z0 a x02 b y02 , 所以它可化简为
2a x0 x 2b y0 y z z0 0.
由公式 (14), 在点 M 处的法线方程为 x x0 y y0 z z0 . 2a x0 2b y0 1
§1 可微性与偏导数
一、可微性与全微分二、偏导数三、可微性条件四、可微性的几何意义及应用
返回
四、可微性的几何意义及应用
若一元函数 y f ( x) 可微，我们把平面曲线 S
在其上某一点 P( x0 , y0 ) 的切线 PT 定义为
S
过点 P 的割线 PQ，
当Q 沿 S 趋近 P 时的极限位置
近似计算和误差估计：
例7 求 1. 08 3. 96 的近似值. 解设 f (x, y) x y,
并令 x0 1, y0 4, x 0.08, y 0.04. 由公式 (3)，有
1. 08 3. 96 f ( x0 x, y0 y) f (1,4) fx (1,4)x f y(1,4)y 1 4 0.08 14 ln1(0.04) 1. 32.
z
S •Q •Q2
则是切平面 PM1MM2 上
Q1•
M1•
•P
•M •M 2 • N2
相应的那一段增量 NM.
N1 •
•N
O•
(•x0, y0)
y
x
(x0 x•, y0 y)
z
S •Q •Q2
Q1•

M1•
•P
•M •M 2 • N2
N1 •
•N
O•
(•x0, y0)
y
x
(x0 x•, y0 y)

《数学分析》第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 ( 1 6 时 ) §1 可微性 ( 4 时 )一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入.))()((22y x ∆+∆ο亦可写为y x ∆+∆βα,→∆∆) , (y x ) 0 , 0 (时→) , (βα) 0 , 0 (.2．全微分:例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性. [1]P 105 E1二. 偏导数:1. 偏导数的定义、记法:2. 偏导数的几何意义: [1]P 109 图案17—1.3. 求偏导数:例2 , 3 , 4 . [1]P 142—143 E2 , 3 , 4 .例5 设 . 0, 0, 0 ,),(22222223⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=y x y x y x y x y x f证明函数),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 , 并求) 0 , 0 (x f 和) 0 , 0 (y f .证ρθθρρρθρθρ)sin cos (lim ),(lim2320sin ,cos )0,0(),(+===========→==→y x y x y x f=)0,0(0)sin cos (lim 230f ==+→θθρρρ. ),(y x f 在点) 0 , 0 (连续 .) 0 , 0 (x f =0||lim )0,0()0,(lim300==-→→x x x x f x f x x , ) 0 , 0 (y f ||lim )0,0(),0(lim 200y y y yf y f y y →→=-= 不存在 .Ex [1]P 116—117 1⑴—⑼，2 — 4 .三. 可微条件:1. 必要条件:Th 1 设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点.),(y x f 在点) , (00y x 可微⇒) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在, 且==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆. (证)由于dy y dx x =∆=∆ , ,微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分.例6 考查函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f 在原点的可微性. [1]P 110 E5 .2. 充分条件:Th 2 若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在, 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微. (证) [1]P 111 Th 3 若),(y x f y 在点) , (00y x 处连续, ),(y x f x 点) , (00y x 存在,则函数f 在点) , (00y x 可微.证 f y y x x f -∆+∆+) , (00) , (00y x[][]) , () , () , () , (00000000y x f y x x f y x x f y y x x f -∆++∆+-∆+∆+= 0 1,0 ),() , (0000→<<∆+∆+∆∆+∆+=αθαθx x y x f y y y x x f x y []x x y x f y y x f x y ∆+∆+∆+=αβ),(),(0000 0→β y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=βα) , () , (0000.即f 在点) , (00y x 可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例7 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=.0 , 0, 0 ,1sin )(),(22222222y x y x y x y x y x f验证函数),(y x f 在点) 0 , 0 (可微, 但x f 和y f 在点) 0 , 0 (处不连续 . 证).0 , 0(),( , 01sin),(2222→→++=y x yx y x y x f ρ因此)(),(ρο=y x f ,即 )(00)0,0(),(ρο+∆+∆=-y x f y x f ,f 在点)0 , 0(可微,0)0,0( , 0)0,0(==y x f f . 但≠),(y x ) 0 , 0 (时, 有2222221cos1sin2),(yx y x x yx x y x f x ++-+=,沿方向,kx y = 2221||limlimkx xy x x x x +=+→→不存在, ⇒沿方向,kx y = 极限22221cos limyx y x x x ++→不存在; 又→),(y x ) 0 , 0 (时, 01sin222→+yx x ,因此,),(lim)0,0(),(y x f x y x →不存在, x f 在点) 0 , 0 (处不连续.由f 关于x 和y 对称,y f 也在点) 0 , 0 (处不连续 .四. 中值定理:Th 4 设函数f 在点) , (00y x 的某邻域内存在偏导数. 若),(y x 属于该邻域, 则存在)(010x x x -+=θξ和)(020y y y -+=θη, 10 , 1021<<<<θθ, 使得))( , ())( , (),(),(00000y y x f x x y f y x f y x f y x -+-=-ηξ. ( 证 ) 例8 设在区域D 内0==y x f f . 证明在D 内c x f ≡)(.五. 连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. [1]P 115.Th 5 曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 存在不平行于Z 轴的切平面的充要条件是函数),(y x f 在点),(000y x P 可微 . (证略) 2. 切平面的求法: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 可微，则曲面),(y x f z =在点)) , ( , , (0000y x f y x P 处的切平面方程为 (其中),(000y x f z =)))(,())(,(0000000y y y x f x x y x f z z y x -+-=-，法线方向数为()1 , ),( , ),( 0000-±y x f y x f y x ，法线方程为1),(),(0000000--=-=-z z y x f y y y x f x x y x . 例9试求抛物面 22by ax z +=在点),,(000z y x M 处的切平面方程和法线方程 .[1] P 115 E63.作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理.例10 求96.308.1的近似值. [1] P 115 E7例11 应用公式C ab S sin 21=计算某三角形面积.现测得50.12=a , 30 , 30.8==C b . 若测量b a , 的误差为C , 01.0±的误差为1.0± . 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. [1] P 116 E8 Ex [1]P 116—117 5—14 ；§ 2复合函数微分法（ 5 时）简介二元复合函数 : ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===. 以下列三种情况介绍复合线路图: 参阅[4] P 327—328 . ),( , ),( , ),(t s y t s x y x f z ψφ===;, ),,(z y x f u =),( , ),( t s y t s x ψφ==, ),(t s z η=;, ),,(z y x f u = ),,( , ),,( z t s y z t s x ψφ==.一. 链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数),( , ),( t s y t s x ψφ==在点∈),(t s D 可微, 函数),(y x f z =在点=),(y x ()),( , ),(t s t s ψφ可微 , 则复合函数f z =()),( , ),(t s t s ψφ在点),(t s 可微, 且),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s s y y z s x x z s z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,),(),(),(),(),(t s y x t s y x t s ty yz tx xz tz ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. ( 证 ) [1] P 155称这一公式为链导公式. 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”（或“并联加，串联乘”）来概括.对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数. 但对外函数的可微性假设不能减弱. 如[1] P 156的例.对外m 元),,,(21m u u u f , 内n 元),,,(21n i k x x x u φ= ) , , 2 , 1(m k =, 有∑=∂∂∂∂=∂∂mk ikk i x u u f x f 1 ， n i , , 2 , 1 =. 外n 元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数. 例1 y x v e u v u z y x +==+=+22 , , )ln(2. 求x z ∂∂和y z∂∂. [1] P 157 E1 例2 22uv v u z -=, y x v y x u sin , cos ==. 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例3 ())3(222y x yx z ++=, 求x z ∂∂和yz ∂∂. 例4 设函数),,(w v u f 可微 . ),,(),,(xyz xy x f z y x F =. 求x F 、y F 和z F . 例5 用链导公式计算下列一元函数的导数 :ⅰ> xx y = ; ⅱ> xx xx y cos sin ln )1(2++= . [1] P 158 E4例6 设函数),(y x u u =可微. 在极坐标变换θθsin , cos r y r x ==下 , 证明222221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y u x u u r r u θ. [1] P 157 E2 例7 设函数)(u f 可微 , )(22y x yf z -=. 求证xz yzxy x z y=∂∂+∂∂2. 二. 复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8 )sin(y x e z xy+=. 利用全微分形式不变性求dz , 并由此导出x z ∂∂和yz∂∂. [1] P 160 E5Ex [1]P 160—161 1—5.三. 高阶偏导数:1. 高阶偏导数的定义、记法：例9 ,2yx ez += 求二阶偏导数和23xy z∂∂∂. [1]P 167 E1 例10 xyarctgz =. 求二阶偏导数. [1]P 167 E2 2. 关于混合偏导数: [1]P 167—170.3. 求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式 , [1]P 171例11 ) , (y xx f z =. 求22xz ∂∂和y x z ∂∂∂2. [1]P 171 E34. 验证或化简偏微分方程:例12 22ln y x z +=. 证明22x z ∂∂ + 22y z∂∂0=. ( Laplace 方程 )例13 将方程0=∂∂-∂∂xu y y u x变为极坐标形式. 解 xyarctgy x r r y r x =+=⇒==θθθ , .sin , cos 22.r xy x x xr =+=∂∂22, r y y r =∂∂ , 2ry x -=∂∂θ ,2r x y =∂∂θ. θθθ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ur y r u r x x u x r r u x u 2, θθθ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂u r x r u r y y u y r r u y u 2; 因此, θθθθ∂∂=∂∂+=∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂uu ry x u r y r u r xy u r x r u r xy x u y y u x 2222222 . 方程化简为0=∂∂θu. 例14 试确定a 和b , 利用线性变换 by x t ay x s +=+= , 将方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yu y x u x u 化为02=∂∂∂ts u. 解tus u x t t u x s s u x u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ , t u b s u a y t t u y s s u y u ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂. 22x u ∂∂=x∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂x s ∂∂+t s u ∂∂∂2x t ∂∂+s t u ∂∂∂2x s ∂∂+22t u ∂∂xt∂∂= =22s u∂∂+2t s u ∂∂∂2+22t u ∂∂.y x u ∂∂∂2=y∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂t u s u 22s u ∂∂y s ∂∂+t s u ∂∂∂2y t ∂∂+s t u ∂∂∂2y s ∂∂+22t u ∂∂yt∂∂= =22s ua ∂∂+)(b a +t s u ∂∂∂2+b 22tu ∂∂.22y u ∂∂=y ∂∂==⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ t u b s u a 222s u a ∂∂+ab 2t s u ∂∂∂2+2b 22t u ∂∂. 因此 , =∂∂+∂∂∂+∂∂2222234yuy x u x u)341(2a a ++=22s u ∂∂ + ()6442ab b a +++t s u ∂∂∂2 + )341(2b b ++22t u ∂∂. 令 03412=++a a , 1 , 31 , 03412-=-=⇒=++b a b b 或31 , 1-=-=b a 或 ……, 此时方程03422222=∂∂+∂∂∂+∂∂yuy x u x u 化简为02=∂∂∂t s u .Ex [1]P 183 1，2 .§3 方向导数和梯度（ 3 时）一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数f 在点),,(0000z y x P 的某邻域)(0P ⊂3R 内有定义.l 为从点0P 出发的射线.),,(z y x P 为l 上且含于)(0P 内的任一点,以ρ表示P 与0P 两点间的距离.若极限 ρρρρfP f P f l ∆=-++→→000lim )()(lim存在,则称此极限为函数f 在点0P 沿方向l 的方向导数,记为P lf ∂∂或)(0P f l 、),,(000z y x f l .对二元函数),(y x f z =在点),(000y x P , 可仿此定义方向导数. 易见,x f ∂∂、y f ∂∂ 和 zf ∂∂是三元函数f 在点0P 分别沿X 轴正向、Y 轴正向和Z 轴正向的方向导数 .例1 ),,(z y x f =32z y x ++. 求f 在点0P ) 1 , 1 , 1 (处沿l 方向的方向导数,其中ⅰ> l 为方向) 1 , 2 , 2 (-; ⅱ> l 为从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向.解 ⅰ> l 为方向的射线为令===-=--=-112121z y x )0 ( >t . 即)0 ( , 1 , 12 , 12≥+=+-=+=t t z t y t x .3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ,37) 1 () 12 () 12 ( ) 1 , 12 , 12 ()(2332+++=+++-++=++-+=t t t t t t t t t f P ft t t t z y x 3)2()2()1()1()1(222222=+-+=-+-+-=ρ.因此 ,.3137lim )()(lim 23000=++=-=∂∂++→→t t t t P f P f lft P ρρ ⅱ> 从点) 1 , 1 , 1 (到点) 1 , 2 , 2 (-的方向l 的方向数为), 0 , 3 , 1 (-l 方向的射线为 ) 0 ( , 1 , 13 , 1≥=+-=+=t z t y t x .359) 1 , 13 , 1()(2+-=+-+=t t t t f P f , 3) 1, 1 , 1 ()(0==f P f ;t t t z y x 10)3()1()1()1(22222=-+=-+-+-=ρ.因此 ,.1051059lim )()(lim 2000-=-=-=∂∂++→→tt t P f P f lft P ρρ2. 方向导数的计算:Th 若函数f 在点),,(0000z y x P 可微, 则f 在点0P 处沿任一方向l 的方向导数都存在, 且 =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos ,其中αcos 、βcos 和γcos 为l 的方向余弦. ( 证 ) [1]P 163对二元函数),(y x f , =)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos , 其中α和β是l 的方向角.注：由=)(0P f l )(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos=()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )(⋅αcos , βcos , γcos ),可见, )(0P f l 为向量()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z )在方向l 上的投影.例2 ( 上述例1 )解 ⅰ> l 的方向余弦为αcos =321)2(22222=+-+, βcos =32-, γcos =31.)(0P f x =1 , )(0P f y =221==y y , )(0P f z =3312==z z .因此 ,l f ∂∂=)(0P f x αcos +)(0P f y βcos +)(0P f z γcos =31313) 32(232=⋅+-⋅+. ⅱ> l 的方向余弦为αcos =101)11()12()12(12222=-+--+--, βcos =103-, γcos =0 .因此 ,l f∂∂=10510321011-=⋅-⋅.可微是方向导数存在的充分条件 , 但不必要 .例3 [1]P 164 E2 .二. 梯度 ( 陡度 ):1. 梯度的定义: =gradf ()(0P f x , )(0P f y , )(0P f z ) .||gradf =()()()202020)()()(P f P f P f z y x ++.易见, 对可微函数f , 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数 , 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为=)(0P f l =⋅l gradf ||)(0P gradf θcos .其中θ是l 与)(0P gradf 夹角. 可见0=θ时)(0P f l 取最大值 , 在l 的反方向取最小值 . 3. 梯度的运算:ⅰ> grad =+)(c u grad u .ⅱ> grad (αu +βv ) = αgrad u +βgrad v .ⅲ> grad (u v ) = u grad v +v grad u .ⅳ> grad 2uvgradu ugradv u v -=. ⅴ> grad f (u ) = gradu u f )('.证ⅳ> 2u v u uv u v x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛ , 2u v u uv u v y y y-=⎪⎭⎫ ⎝⎛. grad =--=) , (12v u uv v u uv uu v y y x x []=-=) , ( ) , (12v u v u v u uv uy x y x []=-=) , () , (12y x y x u u v v v u u 2u vgradu ugradv -.Ex [1]P 165 1，2 ，3 ，6 .§4 Taylor 公式和极值问题（ 4 时）一．中值定理：凸区域 . Th 1 设二元函数f 在凸区域D 2R ⊂上连续, 在D 的所有内点处可微. 则对D 内任意两点int ) , ( , ),(∈++k b h a Q b a P D , 存在) 10 ( <<θθ, 使k k b h a f h k b h a f b a f k b h a f x ) , () , (),() , (θθθθ+++++=-++. 证令 , ) , ()(tk b th a f t ++=Φ.在闭凸区域上的情况: [1]P 173—174.推论若函数f 在区域D 上存在偏导数 , 且x f ≡y f ≡0, 则f 是D 上的常值函数.二. Taylor 公式:Th 2 (Taylor 公式) 若函数f 在点),(000y x P 的某邻域)(0P 内有直到1+n 阶连续偏导数, 则对)(0P 内任一点) , (00k y h x ++,存在相应的) 1 , 0(∈θ, 使∑=+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=++ni n i k y h x f y k x h n y x f y k x h i k y h x f 00010000). , ()!1(1),(!1 ) , (θθ 证 [1]P 175 例1 求函数y x y x f =),(在点) 4 , 1 (的Taylor 公式 ( 到二阶为止 ) . 并用它计算.) 08.1 (96.3 [1]P 175—176 E4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 [1]P 176 E5Ex [1]P 183 5，6，7⑴⑷.2．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设0P 为函数)(P f 的极值点. 则当)(0P f x 和存在时,有)(0P f x =)(0P f y 0=. (证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实 )二次型 222),(cy bxy ax y x g ++=. 其矩阵为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a . ⅰ> ),(y x g 是正定的,⇔ 顺序主子式全0 >,),(y x g 是半正定的,⇔ 顺序主子式全 0 ≥;ⅱ> ),(y x g 是负定的,⇔ 0||) 1(1>-k ij k a , 其中k ij a 1||为k 阶顺序主子式. ),(y x g 是半负定的, ⇔ 0||) 1(1≥-k ij k a .ⅲ> ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛c b b a < 0时, ),(y x g 是不定的. 充分条件的讨论: 设函数),(y x f 在点),(000y x P 某邻域有二阶连续偏导数.由Taylor公式, 有)()(!21)(),() , (20200000ρ +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=-++P f y k x h P f y k x h y x f k y h x f =)(0P f x h +)(0P f y k + [])()()(2)(!21220020ρ +++k P f hk P f h P f yy xy xx . 令 )(0P f A xx = , )(0P f B xy =, )(0P f C yy =, 则当0P 为驻点时, 有[])(221),() , (2220000ρ +++=-++Ck Bhk Ah y x f k y h x f . 其中22k h +=ρ. 可见式),() , (0000y x f k y h x f -++的符号由二次型222Ck Bhk Ah ++完全决定.称该二次型的矩阵为函数),(y x f 的Hesse 矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> 0 , 02>->B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极小值点 ;ⅱ> 0 , 02>-<B AC A , 0 P ⇒为 ( 严格 ) 极大值点 ;ⅲ> 0 2<-B AC 时, 0P 不是极值点;ⅳ> 0 2=-B AC 时, 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 . 综上, 有以下定理.Th 4 设函数)(P f 在点0P 的某邻域内有连续的二阶偏导数, 0P 是驻点. 则ⅰ> ()0)( , 0)(020>->P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极小值点; ⅱ> ()0)( , 0)(020>-<P f f f P f xy yy xx xx 时 , 0P 为极大值点;ⅲ> ()0)( 02<-P f f f xy yy xx 时 , 0P 不是极值点;ⅳ> ()0)( 02=-P f f f xy yy xx 时 , 0P 可能是极值点 , 也可能不是极值点 .例3—7 [1]P 179—182 E6—10 .四．函数的最值：例8 求函数),(y x f y x y xy x 4102422+--+=在域D = } 4 , 0 , 0 |),( {≤+≥≥y x y x y x 上的最值 .解令 ⎩⎨⎧=+-==-+=.04 44),(,01042),(y x y x f y x y x f yx 解得驻点为) 2 , 1 (. 1) 2 , 1 (-=f . 在边界) 40 ( 0≤≤=y x 上 , y y y f 42),0(2+-=, 驻点为1=y , 2)1,0(=f ; 在边界) 40 ( 0≤≤=x y 上 , x x x f 10)0,(2-=, 没有驻点;在边界) 40 ( 4≤≤-=x x y 上 , 16185)4 , (2-+-=-x x x x f ,驻点为8.1=x , 2.0)8.14 , 8.1(=-f .又24)0,4( , 16)4,0( , 0)0,0(-=-==f f f .于是 , )}0,4( , )4,0( , )0,0( , )2.2 , 8.1( , )1,0( , )2,1(max{),(max f f f f f f y x f D = 2.0} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 max{=---=.),(min y x f D24} 24 , 16 , 0 , 2.0 , 2 , 1 min{-=---=.Ex [1]P 184 8⑴⑵，9⑴⑵，10，11 .。

高等数学第17章第1节可微性

第十七章多元函数微分学§1可微性一可微性与全微分与一元函数一样,在多元函数微分学中,主要讨论多元函数的可微性及其应用.本章首先建立二元函数可微性概念,至于一般n 元函数的可微性不难据此相应地给出(对此,在第二十三章有更详细的论述).定义1 设函数),(y x f z =在点()000,y x P 的某领域)(0P U 内有定义,对于)(0P U 中的点),,(),(00y y x x y x P ∆+∆+=若函数f 在点0P 处的全增量z ∆可表示为: ),(),(00y x f y y x x f z -∆+∆+=∆),(ρo y B x A +∆+∆= )1(其中A,B 是仅与点0P 有关的常数,)(,22ρρo y x ∆+∆=是较ρ高阶的无穷小量,则称函数f 在点0P 可微,并称)1(式中关于y x ∆∆,的线性函数y B x A ∆+∆为函数f 在点0P 的全微分,记作y B x A y x df dz P ∆+∆==),(|000)2(由)1()2(可见dz 是z ∆的线性主部,特别当y x ∆∆,充分小时,全微分dz 可作为全增量z ∆的近似值,即).()(),(),(0000y y B x x A y x f y x f -+-+≈ )3(在使用上,有时.也把()1式写成如下形式,y x y B x A z ∆+∆+∆+∆=∆βα )4( 这里()()()().0lim lim 0,0,0,0,==→∆∆→∆∆βαy x y x例1 考察函数xy y x f =),(在点),(00y x 处的可微性. 解在点),(00y x 处函数f 的全增量为()000000,),(,y x y y x x y x f -∆+∆+=∆ =.00y x y x x y ∆∆+∆+∆ 由于(),00→→≤∆∆=∆∆ρρρρρρyx yx因此()p o y x =∆∆.从而函数f 在00,y x 可微，且.00y x x y df ∆+∆= □二偏导数由一元函数微分学知道：若()x f 在点0x 可微，则函数增量(),)()(00x o x A x f x x f ∆+∆=-∆+其中()0'x f =A ．同样，由上一段已知，若二元函数f 在点),(00y x 可微，则f 在点),(00y x 处的全增量可由（1）式表示.现在讨论其中A 、B 的值与函数f 的关系.为此，在（4）式中令()00≠∆=∆x y ，这时得到z ∆关于x 的偏增量z x ∆，且有x x A z x ∆+∆=∆α或.α+=∆∆A xzx 现让0→∆x ，由上式便得A 的一个极限表示式.),(),(lim lim000000xy x f y x x f x z A x x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()5容易看出，（5）式右边的极限正是关于x 的一元函数()0,y x f 在0x x =处的导数．类似地，令()00≠∆=∆y x ，由（4）式又可得到.),(),(limlim000000yy x f y y x f y zB y y y ∆-∆+=∆∆=→∆→∆ ()6它是关于y 的一元函数()y x f ,0在0y y =处的导数．二元函数当固定其中一个自变量时，它对另一个自变量的导数称为偏导数，定义如下：定义2 设函数.),(),,(D y x y x f z ∈=若D y x ∈),(00，且()0,y x f 在0x 的某一邻域内有定义，则当极限.),(),(lim ),(lim00000000xy x f y x x f x y x f x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆ ()7存在时，称这个极限为函数f 在点),(00y x 关于x 的偏导数，记作()00,y x f x 或 ().00,y x xf ∂∂注意1 这里符号y x ∂∂∂∂,专用于偏导数算符，与一元函数的导数符号dxd相仿，但又有差别．注意2 在上述定义中，f 在点),(00y x 关于x （或y ）的偏导数，f 至少在(){}(){}),|,(,|,000δδ<-=<-=y y x x y x xx y y y x 或上必须有定义．若函数()y x f z ,=在区域D 上每一点()y x ,都存在对x （或对y ）的偏导数，则得到函数),(y x f z =在区域D 上对x （或对)y 的偏导函数（也简称偏导数），记作),(y x f x 或xy x f ∂∂),( ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂y y x f y x f y ),(,或，也可简单地写作x f ，x z 或x f ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂.,y f z f y y 或在上一章中已指出，二元函数),(y x f z =的几何图象通常是三维空间中的曲面．设()0000,,z y x P 为这曲面上一点，其中),(000y x f z =，过0P 作平面0y y =，它与曲面的交线⎩⎨⎧==),(,:0y x f z y y C是平面0y y =上的一条曲线。

可导和可微的几何意义

可导和可微的几何意义摘要：一、引言二、可导和可微的定义1.函数在某点可导的条件2.函数在某点可微的条件三、可导和可微的几何意义1.切线斜率2.变化率3.曲率四、实例分析1.线性函数的可导和可微2.多项式函数的可导和可微3.指数函数的可导和可微五、结论与展望正文：一、引言在微积分中，可导和可微是两个非常重要的概念。

它们在描述函数在某一点的性质以及函数在某一点的局部变化方面具有重要作用。

本文将详细介绍可导和可微的定义以及它们的几何意义，并通过实例进行分析。

二、可导和可微的定义1.函数在某点可导的条件函数f(x)在点a可导，当且仅当存在一个极限：lim_(h->0) (f(a + h) - f(a)) / h这个极限存在且有限，即可导。

2.函数在某点可微的条件函数f(x)在点a可微，当且仅当它的导数f"(a)存在。

即：f"(a) = lim_(h->0) (f(a + h) - f(a)) / h三、可导和可微的几何意义1.切线斜率可导性反映了函数在某一点的切线斜率。

如果函数在某点可导，那么这个点的切线斜率就是该点的导数。

这意味着，函数在某一点的切线可以用导数来表示。

2.变化率可导性还可以表示函数在某一点的变化率。

当函数在某一区间内可导时，该区间内各点的导数表示了函数在各点的变化率。

变化率越大，函数的增长或减少速度就越快。

3.曲率对于二阶可导的函数，可导性还可以表示为曲率。

曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要参数，它反映了曲线在某一点的弯曲程度。

曲率越大，曲线的弯曲程度就越明显。

四、实例分析1.线性函数的可导和可微线性函数如f(x) = 2x + 3，在任意点都可导，且导数为2。

这意味着，线性函数在任何一点的切线斜率都是2。

2.多项式函数的可导和可微多项式函数如f(x) = x^3，在任意点都可导，且导数为3x^2。

这意味着，多项式函数在任何一点的切线斜率都是3x^2。

3.指数函数的可导和可微指数函数如f(x) = e^x，在任意点都可导，且导数为e^x。

函数可微和偏导数连续的关系

函数可微和偏导数连续的关系函数可微和偏导数连续的关系在微积分学中，函数的可微性和偏导数的连续性是两个重要的概念。

本文将探讨这两个概念之间的关系。

一、函数可微性1.定义设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微。

2.判定条件若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，则必须满足以下条件：（1）在点 $x_0$ 处存在极限 $\lim\limits_{\Delta x \to0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$；（2）在点 $x_0$ 处存在常数 $A$，使得 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+A\Delta x$ 成立。

其中，$\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0),\Delta x \neq 0$。

3.几何意义函数在某一点处可微，意味着该点处的切线可以近似地代替曲线。

具体来说，若函数在点 $(x_0,f(x_0))$ 可微，则该点处的切线方程为：$$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$其中，$f'(x)$ 表示函数在该点处的导数。

二、偏导数的连续性1.定义设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处存在偏导数，则称函数在该点处具有偏导数。

2.判定条件若函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处具有偏导数，则必须满足以下条件：（1）在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内，$f(x,y)$ 存在；（2）在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内，$f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x+\Delta x,y)-f(x,y+\Delta y)+f(x,y)$ 有极限。

其中，$\Delta x,\Delta y$ 都趋近于 $0$。

3.几何意义偏导数表示函数在某一方向上的变化率。

可导和可微的几何意义

可导和可微的几何意义
在数学中，可导和可微是两个相互关联的概念，它们在几何中有着重要的意义。

可导表示一个函数在某个点上存在导数。

导数是函数在该点附近的切线斜率。

因此，可导函数在某一点上具有斜率，可以用来描述函数在该点的变化速率。

几何意义上，可导函数在某一点上的斜率可以看作是函数曲线在该点的切线的斜率，给出了函数曲线在该点附近的变化趋势。

如果函数在该点的导数为正，表示曲线在该点附近上升；如果导数为负，表示曲线在该点附近下降；如果导数为零，表示曲线在该点附近呈水平。

因此，可导函数的导数可以用来分析函数的增减性、极值点、拐点等几何特征。

可微则更加严格，它要求函数不仅可导，而且导数是连续的。

也就是说，如果一个函数在某点上是可微的，它既存在导数，而且导数在该点的左右极限都存在且相等。

可微函数不仅具有斜率，而且具有连续的斜率，因此可以更加精确地描述函数曲线的变化情况。

几何意义上，可微函数在某一点上的斜率可以看作是函数曲线在该点的切线的精确斜率，能够提供更准确的曲线变化信息。

可微函数的导数在该点的左右极限相等，意味着曲线在该点处没有突变或跳跃。

总之，可导和可微的几何意义都是用来描述函数曲线的变化情况。

可导函数的导数给出了曲线在某一点上的变化趋势，可微函数的导数给出了曲线在某一点上的精确变化趋势。

可导和可
微的概念在微积分中有着重要的应用，可以用来解决函数的极值、曲线的凹凸性、最速降线等问题。

可积可微

1、可积：
指可以积分，只要是连续函数，就可以积分；
也就是说，任何函数只要在定义域内连续就可积；分段连续，就分段可积；
几何意义就是图形下方的面积可以通过积分计算。

2、可微：
指函数连续，而且光滑，没有竖直渐近线。

这样的图形没有断点，没有尖点；
这种图形可以计算每点处的斜率，也就是函数的空间变化率，通过函数的空间
变化率，可以知道函数的趋势，譬如是上升还是下降？是向上凹还是向下凹？
函数有没有最大值最小值。

如果自变量不是空间空间坐标，而是时间坐标时，就可以研究电流、功率、电场、
比热、、、、、等等等等等等，现代科学、工程中，到处充满应用实例。

可微的充分条件的证明过程

可微的充分条件的证明过程一、引言微积分是数学中的重要分支，其中的一个核心概念就是可微性。

那么，什么是可微性呢？在本文中，我们将从几何和代数的角度，对可微的充分条件进行证明。

二、可微性的几何意义在几何上，可微性表示函数在某一点处的图像具有一个切线。

也就是说，如果函数在某一点处可微，那么这个点上的图像在这个点的附近可以用一个线性函数来近似描述。

三、可微性的代数定义在代数上，可微性可以通过函数的导数来判断。

一个函数在某一点处可微，意味着函数在这一点的导数存在。

导数表示函数在某一点处的变化率，也可以理解为函数在这一点处的斜率。

四、可微的充分条件根据几何和代数的解释，我们可以得出可微的充分条件如下：如果一个函数在某一点处可微，那么这个函数在这一点处的偏导数存在且连续。

五、证明过程为了证明这个充分条件，我们需要使用数学分析中的极限概念。

具体证明过程如下：1. 假设函数 f(x) 在某一点 x=a 处可微。

2. 根据可微性的几何意义，我们知道函数在这一点的图像具有一个切线。

设这个切线的斜率为 k。

3. 根据可微性的代数定义，我们可以得出函数f(x) 在这一点的导数f'(a) 等于这个切线的斜率 k。

4. 由于导数表示函数在某一点处的变化率，我们可以将函数在这一点的变化率表示为一个极限：f'(a) = lim(h->0) (f(a+h)-f(a))/h。

5. 根据极限的定义，我们可以将极限转化为一个数列的极限：f'(a) = lim(n->∞) (f(a+1/n)-f(a))/(1/n)。

6. 由于函数f(x) 在点x=a 处可微，那么函数在这一点的偏导数存在且连续。

也就是说，我们可以将上面的极限表示为一个连续函数的极限：f'(a) = lim(n->∞) f'(a+1/n)。

7. 由于极限和连续函数的运算可以交换顺序，我们可以得出：f'(a) = f'(a)。

(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。

教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。

教学时数：18学时§1 可微性一．可微性与全微分：1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时.2．全微分:例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1二.偏导数:1.偏导数的定义、记法:2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.3.求偏导数:例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 .例5. 求偏导数.例6. 求偏导数.例7. 求偏导数, 并求.例8. 求和.解=,=.例9证明函数在点连续, 并求和.证. 在点连续 .,不存在 .三.可微条件:1.必要条件:Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和存在, 且. ( 证) 由于, 微分记为.定理1给出了计算可微函数全微分的方法.两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分.例10考查函数在原点的可微性 . [1]P110 例5 .2.充分条件:Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在,则函数在点可微 .证.即在点可微 .要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 .例11验证函数在点可微, 但和在点处不连续 . (简证,留为作业)证因此, 即,在点可微, . 但时, 有,沿方向不存在, 沿方向极限不存在; 又时,,因此, 不存在, 在点处不连续. 由关于和对称,也在点处不连续 .四.中值定理:Th 4 设函数在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于该邻域, 则存在和, , 使得. ( 证) 例12设在区域D内. 证明在D内.五.连续、偏导数存在及可微之间的关系：六.可微性的几何意义与应用：1．可微性的几何意义：切平面的定义. P113.Th 5 曲面在点存在不平行于轴的切平面的充要条件是函数在点可微 . ( 证略)2. 切平面的求法: 设函数在点可微，则曲面在点处的切平面方程为（其中），法线方向数为，法线方程为.例13试求抛物面在点处的切平面方程和法线方程 . P115例63. 作近似计算和误差估计: 与一元函数对照, 原理 .例14 求的近似值. P115例7例15 应用公式计算某三角形面积 . 现测得,. 若测量的误差为的误差为. 求用此公式计算该三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. P116.§2 复合函数微分法简介二元复合函数: .以下列三种情况介绍复合线路图;, ;.一.链导法则: 以“外二内二”型复合函数为例.Th 设函数在点D可微, 函数在点可微, 则复合函数在点可微, 且,. ( 证) P118称这一公式为链导公式 . 该公式的形式可在复合线路图中用所谓“分线加，沿线乘”或“并联加，串联乘”）来概括 .对所谓“外三内二”、“外二内三”、“外一内二”等复合情况，用“并联加，串联乘”的原则可写出相应的链导公式.链导公式中内函数的可微性可减弱为存在偏导数 . 但对外函数的可微性假设不能减弱.对外元, 内元, 有，.外元内一元的复合函数为一元函数 . 特称该复合函数的导数为全导数.例1. 求和. P120例1例2, . 求和.例3, 求和.例4设函数可微 ..求、和.例5用链导公式计算下列一元函数的导数:ⅰ> ; ⅱ> . P121例4例6设函数可微. 在极坐标变换下, 证明. P120例2 例7设函数可微, . 求证.二.复合函数的全微分: 全微分和全微分形式不变性 .例8. 利用全微分形式不变性求, 并由此导出和.P122 例5§3 方向导数和梯度一．方向导数：1．方向导数的定义：定义设三元函数在点的某邻域内有定义 .为从点出发的射线 . 为上且含于内的任一点, 以表示与两点间的距离 . 若极限存在, 则称此极限为函数在点沿方向的方向导数, 记为或、.对二元函数在点, 可仿此定义方向导数 .易见, 、和是三元函数在点分别沿轴正向、轴正向和轴正向的方向导数 .例1=. 求在点处沿方向的方向导数,其中ⅰ>为方向; ⅱ>为从点到点的方向.解ⅰ>为方向的射线为. 即. ,.因此,ⅱ>从点到点的方向的方向数为方向的射线为., ;.因此,2. 方向导数的计算:Th 若函数在点可微, 则在点处沿任一方向的方向导数都存在, 且++,其中、和为的方向余弦. ( 证) P125 对二元函数, +, 其中和是的方向角.註由++==, , , , , 可见, 为向量, , 在方向上的投影.例2 ( 上述例1 )解ⅰ>的方向余弦为=, =, =.=1 , =, =.因此, =++=.ⅱ>的方向余弦为=, =, =. 因此, =.可微是方向导数存在的充分条件, 但不必要 .例3 P126 .二. 梯度( 陡度):1. 梯度的定义: , , .|= .易见, 对可微函数, 方向导数是梯度在该方向上的投影.2. 梯度的几何意义: 对可微函数, 梯度方向是函数变化最快的方向 . 这是因为|.其中是与夹角. 可见时取最大值, 在的反方向取最小值 .3. 梯度的运算:ⅰ> .ⅱ>(+) = +.ⅲ> () = +.ⅳ> .ⅴ> () = .证ⅳ> , ..§4 Taylor公式和极值问题一、高阶偏导数:1.高阶偏导数的定义、记法：例9 求二阶偏导数和. P128例1 例10 . 求二阶偏导数. P128例2 2.关于混合偏导数: P129—131.3.求含有抽象函数的二元函数的高阶偏导数: 公式, P131-132例11 . 求和. P132例34. 验证或化简偏微分方程:例12 . 证明+ . ( Laplace方程) 例13 将方程变为极坐标形式.解., , , ., ;因此, .方程化简为.例14试确定和, 利用线性变换将方程化为.解, .=+++==+2+.=+++==++.=++.因此,+ (+ . 令, 或或……, 此时方程化简为.二．中值定理和泰肋公式：凸区域 .Th 1 设二元函数在凸区域D 上连续, 在D的所有内点处可微 . 则对D内任意两点 D , 存在, 使.证令.系若函数在区域D上存在偏导数, 且, 则是D上的常值函数.二. Taylor公式:Th 2 (Taylor公式) 若函数在点的某邻域内有直到阶连续偏导数, 则对内任一点,存在相应的, 使证P134例1 求函数在点的Taylor公式( 到二阶为止) . 并用它计算P135—136例4 .三. 极值问题:1. 极值的定义: 注意只在内点定义极值.例2 P136例52．极值的必要条件：与一元函数比较 .Th 3 设为函数的极值点 . 则当和存在时, 有=. ( 证)函数的驻点、不可导点，函数的可疑点 .3. 极值的充分条件:代数准备: 给出二元( 实)二次型. 其矩阵为.ⅰ> 是正定的,顺序主子式全,是半正定的,顺序主子式全;ⅱ> 是负定的,, 其中为阶顺序主子式.是半负定的, .ⅲ> < 0时, 是不定的.充分条件的讨论: 设函数在点某邻域有二阶连续偏导数 . 由Taylor公式, 有++ .令, , , 则当为驻点时, 有.其中.可见式的符号由二次型完全决定.称该二次型的矩阵为函数的Hesse矩阵. 于是由上述代数准备, 有ⅰ> , 为( 严格) 极小值点;ⅱ> , 为( 严格) 极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .综上, 有以下定理 .Th 4 设函数在点的某邻域内有连续的二阶偏导数, 是驻点 . 则ⅰ> 时, 为极小值点;ⅱ> 时, 为极大值点;ⅲ> 时, 不是极值点;ⅳ> 时, 可能是极值点, 也可能不是极值点 .例3—7 P138—140 例6—10 .四．函数的最值：例8 求函数在域D = 上的最值 .解令解得驻点为. .在边界上, , 驻点为, ;在边界上, , 没有驻点;在边界上, , 驻点为, .又.于是,..[]。

17.1可微性

第十七章多元函数的微分学§1 可微性教学目的掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，可微的必要条件．教学要求(1) 基本要求：掌握多元函数偏导数，可微性与全微分的定义，熟记可微的必要条件与充分条件．(2) 较高要求：切平面存在定理的证明．教学建议(1)本节的重点是多元函数偏导数，可微性与全微分的定义．(2) 通过讨论可微的必要条件与充分条件，弄清多元函数连续，存在偏导数与可微这三个分析性质之间的关系．教学程序一、可微性与全微分:由一元函数可微性引入二元函数可微性.定义1（可微性）设函数(,)z f x y =在点000(,)P x y 的某邻域0()U P 内有定义，对于0()U P 中的点00(,)(,)P x y x x y y =+∆+∆，若函数f 在点0P 处的全增量可表示为 00(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y ρ∆=+∆+∆-=∆+∆+,其中A ，B是仅与点0P 有关的常数，()ρρ=是较ρ高阶的无穷小量，则称函数f 在点0P 处可微。

全微分:当,x y ∆∆充分小时0000(,)(,)()()dz zf x y f x y A x x B y y ≈∆≈+-+-. 例1 考查函数xy y x f =),(在点) , (00y x 处的可微性 .二、偏导数（一）、偏导数的定义、记法),(y x f 在点),(00y x 存在偏导数定义为：000000),(),(lim ),(0x x y x f y x f y x f x x x --=→ 或 xy x f y x x f y x f x x x ∆-∆+=→∆),(),(lim ),(0000000 000000),(),(lim ),(0y y y x f y x f y x f y y y --=→ 或 y y x f y y x f y x f y y y ∆-∆+=→),(),(lim ),(0000000 偏导数的几何意义:（二）、求偏导数:例2 ),(y x f =)12sin()32(2+++y x x . 求偏导数.例3 ),(y x f = 1)1ln(2+++y x x . 求偏导数.例4 ),(y x f =22y x y x ++. 求偏导数, 并求) 1 , 2 (-x f . 三、可微条件（一）、必要条件定理17.1设) , (00y x 为函数),(y x f 定义域的内点 . ),(y x f 在点) , (00y x 可微的必要条件是) , (00y x f x 和) , (00y x f y 存在 , 且 ==),(00),(00y x df dfy x ) , (00y x f x +∆x ) , (00y x f y y ∆.证明：由于dy y dx x =∆=∆ , , 微分记为=),(00y x df ) , (00y x f x +dx ) , (00y x f y dy .定理17.1给出了计算可微函数全微分的方法. 但是两个偏导数存在只是可微的必要条件, 而不是充分条件.例5．考查函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0, 0 , ),(222222y x y x y x xy y x f在原点的可微性 .这个例子说明，偏导存在不一定可微，（这一点与一元函数不同！）（二）、充分条件定理17.2（可微的充分条件）若函数),(y x f z =的偏导数在的某邻域内存在 , 且x f 和y f 在点) , (00y x 处连续 . 则函数f 在点) , (00y x 可微。

数学分析17.1多元函数微分学之可微性

第十七章多元函数微分学1可微性一、可性性与全微分定义1：设函数z=f(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的某邻域U(P 0)上有定义，对于U(P 0)中的点P(x,y)=(x 0+△x,y 0+△y)，若f 在点P 0处的全增量可表示为： △z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=A △x+B △y+o (ρ)，其中ρ=22y x ∆+∆， o (ρ)是较ρ高阶的无穷小量，A,B 是仅与点P 0有关的常数，则称函数f 在P 0可微. 并称A △x+B △y 为函数f 在点P 0的全微分，记作dz|0P =df(x 0,y 0)=A △x+B △y.当|△x|,|△y|充分小时，dz 可作为△z 的近似值，即 f(x,y)≈f(x 0,y 0)+A(x-x 0)+B(y-y 0). 有时也表示为： △z= A △x+B △y+α△x+β△y ；其中)0,0()y x,(lim→∆∆α=)0,0()y x,(lim→∆∆β=0.例1：考察函数f(x,y)=xy 在点(x 0,y 0)处的可微性. 解：在点(x 0,y 0)处函数的全增量为：△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=y 0△x+x 0△y+△x △y.∵ρy x ∆∆ρy∆≤ρ→0, ρ→0.∴△x △y=o (ρ)，∴f 在(x 0,y 0)处的可微，且df=y 0△x+x 0△y.二、偏导数定义2：设函数z=f(x,y), (x,y)∈D, 若(x 0,y 0)∈D 且f(x,y 0)在x 0的某一邻域内有定义，则极限x )y ,x (f lim00x 0x ∆∆→∆=x)y ,x (f )y x,x (f lim 00000x ∆-∆+→∆存在时，这个极限称为函数f 在(x 0,y 0)关于x 的偏导数，记作： f x (x 0,y 0)或z x (x 0,y 0),)y ,(x 0xf∂∂,)y ,(x 00xz ∂∂.同样定义f 在点(x 0,y 0)关于y 的偏导数为：f y (x 0,y 0)或)y ,(x 00yf ∂∂.若f 在区域D 上每一点(x,y)都存在对x(或对y)的偏导数，则f 在区域D 上对x(或对y)的偏导函数(简称偏导数)，记作：f x (x,y)或xy)f(x,∂∂ (f y (x,y)或y y)f(x ,∂∂) 也简写为f x ,z x 或x f ∂∂,xz ∂∂( f y ,z y 或y f ∂∂,y z ∂∂).注：1、这里符号x ∂∂,y ∂∂专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号dxd相似，又有差别；2、定义中，f 在点(x 0,y 0)存在关于x(或y)的偏导数，f 至少在 {(x,y)|y=y 0,|x-x 0|<δ}(或{(x,y)|x=x 0,|y-y 0|<δ})上必须有定义.二元函数偏导数的几何意义：设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面z=f(x,y)上一点，过P 0作平面y=y 0与曲面的交线为C ：其中⎩⎨⎧==y),x (f z y y 0是平面上的一条曲线.因此，f x (x 0,y 0)作为一元函数f(x,y 0)在x=x 0的导数，就是曲线C 在点P 0处的切线T x 对于x 轴的斜率，即T x 与x 轴正向所成倾角的正切tan α.同样的，f y (x 0,y 0)是平面x=x 0曲面z=f(x,y)的交线⎩⎨⎧==y),x (f z x x 0在点P 0处的切线T y 关于y 轴的斜率tan β.例2：求函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)关于x 和关于y 的偏导数. 解法1：f x (1,3)=1x dxdf(x,3)==3x 2+12x 1x ==15；f y (1,3)=3y dyy)df(1,==2-3y 23y ==-25.解法2：∵f x (x,y)=3x 2+4xy ，∴f x (1,3)=15；又f y (x,y)=-3y 2+2x 2，∴f x (1,3)=-25.例3：求函数z=x y (x>0)的偏导数. 解：z x =yx y-1；z y =x y lnx.例4：求三元函数u=sin(x+y 2-e z )的偏导数.解：u x =cos(x+y 2-e z )；u y =2ycos(x+y 2-e z )；u z =-e z cos(x+y 2-e z ).三、可微性条件定理17.1：(可微的必要条件)若二元函数f 在定义域内一点(x 0,y 0)可微，则f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且△z=A △x+B △y+o (ρ)中A=f x (x 0,y 0), B=f y (x 0,y 0). 即全微分df)y ,(x 00=f x (x 0,y 0)·△x+f y (x 0,y 0)·△y.或dz=f x (x 0,y 0)dx+f y (x 0,y 0)dy. f 在D 上全微分为df(x,y)=f x (x,y)dx+f y (x,y)dy.例5：考察函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy 222222，在原点的可微性.解：根据偏导数的定义，f x (0,0)=x)0,0(f )x,0(f limx ∆-∆→∆=0; 同理f y (0,0)= 0;△z-dz=f(△x,△y)-f(0,0)-f x (0,0)△x-f y (0,0)△y=22yx y x ∆+∆∆∆.∵ρdz-z lim 0ρ∆→=220ρy x y x lim ∆+∆∆∆→不存在，即△z-dz 不是ρ的高阶无穷小量， ∴f 在原点不可微.定理17.2：(可微的充分条件)若函数z=f(x,y)的偏导数在点(x 0,y 0)的某邻域上存在，且f x 与f y 在点(x 0,y 0)连续，则函数f 在点(x 0,y 0)可微. 证：△z=f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0)=[f(x 0+△x,y 0+△y)-f(x 0,y 0+△y)]+[f(x 0,y 0+△y)-f(x 0,y 0)]；即全增量等于两个偏增量的和. 对它们分别应用拉格朗日中值定理得： △z=f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)△x+f y (x 0,y 0+θ2△y)△y, 0<θ1,θ2<1. (中值公式) ∵f x 与f y 在点(x 0,y 0)连续，∴f x (x 0+θ1△x,y 0+△y)=f x (x 0,y 0)+α, f y (x 0,y 0+θ2△y)=f y (x 0,y 0)+β, 其中当(△x,△y)→(0,0)时，α→0, β→0. ∴△z=f x (x 0,y 0)△x+f y (x 0,y 0)△y+α△x+β△y ，即f 在点(x 0,y 0)可微.注1：例2函数f(x,y)=x 3+2x 2y-y 3在点(1,3)可微，且df(1,3)=15dx-25dy ；例3函数z=x y 在D={(x,y)|x>0,- ∞<y<+∞}上可微，且dz=yx y-1dx+x y lnxdy. 注2：偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++0y x 00y x y x 1sin )y x (22222222，在原点(0,0)可微，但 f x 与f y 却在点(0,0)不连续. 若z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的偏导数f x ,f y 连续，则称f 在(x 0,y 0)连续可微.定理17.3：(中值公式)设函数f 在点(x 0,y 0)的某邻域上存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在ξ=x 0+θ1(x-x 0)和η=y 0+θ2(y-y 0), 0<θ1,θ2<1，使得 f(x,y)-f(x 0,y 0)=f x (ξ,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,η)(y-y 0).注：1、函数可微必连续，但连续不一定存在偏导数，也不一定可微. 如：函数f(x,y)=22y x +(圆锥)在原点连续，但在该点不存在偏导数； 2、函数在某一点存在对所有自变量的偏导数，不保证在该点连续，如：f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x xy222222，在原点不连续，但两个偏导数都为0.四、可微性几何意义及应用定义3：设P 是曲面S 上一点，T 为通过点P 的一个平面，曲面S 上的动点Q 到定点P 和到平面T 的距离分别为d 与h ，若当Q 在S 上以任何方式趋近于P 时，恒有dh→0，则平面T 为曲面S 到点P 处的切平面，P 为切点.定理17.4：曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))存在不平行于x 轴的切平面T 的充要条件是函数f 在点(x 0,y 0)可微.证：[充分性]若函数f 在点(x 0,y 0)可微，由定义知，△z=z-z 0=f x (x 0,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,y 0)(y-y 0)+o (ρ)；ρ=2020)y -(y )x -(x +. 在过P 的平面T 上任取点(X,Y,Z)，若有Z-z 0=f x (x 0,y 0)(X-x 0)+f y (x 0,y 0)(Y-y 0)；则曲面上任一点Q(x,y,z)到这个平面的距离为： h=)y ,(x f )y ,(x f 1|)y -)(y y ,(x f -)x -)(x y ,(x f -z -z |002y002x000y 000x 0++=)y ,(x f )y ,(x f 1|) (ρ|002y002x++ο，又P 到Q 的距离为d=202020)z -(z )y -(y )x -(x ++=202)z -(z ρ+≥ρ. 由0≤dh <ρh =)y ,(x f )y ,(x f 11ρ|) (ρ|002y 002x ++ο→0, ρ→0，根据定义3知，平面T 为曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))的切平面.[必要性]若曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))存在不平行于x 轴的切平面, 且Q(x,y,z)是曲面上任意一点，则点Q 到这个平面的距离为： h=22000B A 1|)y -B(y -)x -A(x -z -z |++，令△x=x-x 0,△y=y-y 0,△z=z-z 0,ρ=22y x ∆+∆.由切平面定义知,当Q 充分接近P 时,dh →0,∴对于充分接近P 的Q 有d h =22B A 1d |y B -x A -z |++∆∆∆<22BA 121++, 即 |△z-A △x-B △y|<2d=222z y x 21∆+∆+∆=22z ρ21∆+<21(ρ+|△z|)，又|△z|-|A||△x|-|B||△y|≤|△z-A △x-B △y|<21(ρ+|△z|)，∴21|△z|<|A||△x|+|B||△又由ρ|z |∆<2(|A|ρ|x |∆+|B|ρ|y |∆)+1<2(|A|+|B|)+1知，ρ|z |∆有界，从而由ρd =ρz ρ22∆+=2ρz 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+<1+ρz ∆<2(|A|+|B|+1)知，ρd也有界. 于是，当ρ→0时，有ρ|y B -x A -z |∆∆∆=2222B A 1ρd B A 1d |y B -x A -z |++++∆∆∆=22B A 1ρdd h ++→0,ρ→0，即△z= A △x|+B △y+o (ρ)，即函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)可微.注：定理17.4说明，若函数f 在点(x 0,y 0)可微，则曲面z=f(x,y)在点P(x 0,y 0,f(x 0,y 0))的切平面方程为：z-z 0=f x (x 0,y 0)(x-x 0)+f y (x 0,y 0)(y-y 0)，过切点P 与切平面垂直的直线称为曲面在点P 的法线. 由切面方程知，法线的方向数为：±(f x (x 0,y 0),f y (x 0,y 0),-1)，即过切点P 的法线方程为：)y ,(x f x -x 00x 0=)y ,(x f y -y 00x 0=1-z -z 0.二元函数全微分的几何意义如图所示：当自变量x,y 的增量分别为△x,△y 时，函数z=f(x,y)的增量△z 是竖坐标上的一段NQ ，而二元函数z=f(x,y)在点(x 0,y 0)的全微分 dz=f x (x 0,y 0)△x+f y (x 0,y 0)△y 的值是过点P 的切平面PM 1MM 2上相应的增量NM ，于是△z 与dz 之差MQ 的值随着ρ→0而趋于零，而且是较ρ高阶的无穷小量.例6：试求抛物面z=ax 2+by 2在点M(x 0,y 0,z 0)的切平面方程与法线方程. 解：∵f x (x 0,y 0)=2ax 0, f y (x 0,y 0)=2by 0, ∴在点M(x 0,y 0,z 0)的切平面方程为： z-z 0=2ax 0(x-x 0)+2by 0(y-y 0)，即z=2ax 0x+2by 0y-z 0-z=0；在点M(x 0,y 0,z 0)的法线方程为：002ax x -x =002by y -y =1-z -z 0.例7：求1.083.96的近似值.解：设f(x,y)=x y , 令x 0=1, y 0=4, △x=0.08, △y=-0.04, 则 1.083.96=f(x 0+△x,y 0+△y)≈f(1,4)+f x (1,4)△x+f y (1,4)△y =1+4×0.08+0×(-0.04)=1.32.例8：应用公式S=21absinC 计算某三角形面积，现测得a=12.50, b=8.30,C=30⁰，若测量a,b 的误差为±0.01，C 的误差为±0.1⁰，求用此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限. 解：依题意，测量中a,b,C 的绝对误差限分别为：|△a|=0.01, |△b|=0.01, |△C|=0.1⁰=08001π. ∴S 的绝对误差限分别为： |△S|≈|dS|=a a S ∆∂∂+b b S∆∂∂+C C S ∆∂∂≤a a S ∆∂∂+b b S ∆∂∂+C C S ∆∂∂=21|bsinC||△a|+21|asinC||△b|+21|abcosC|≈0.13. 又S=21absinC ≈25.94，∴S 的相对误差限为：SS ∆≈25.9413.0≈0.5%.习题1、求下列函数的偏导数： (1)z=x 2y ；(2)z=ycosx ；(3)z=22y x 1+；(4)x=ln(x 2+y 2)；(5)z=e xy ；(6)z=arctan x y ；(7)z=xye sin(xy)；(8)u=x y +y z -zx ；(9)u=(xy)z ；(10)u=zy x .解：(1)z x =2xy; z y =x 2. (2)z x =-ysinx; z y =cosx.(3)z x =322)y (x x +-; z y =322)y (x y +-.(4)z x =22y x x 2+; z y=22y x y2+. (5)z x =ye xy ; z y =xe xy . (6)z x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+22x y 1x x-=22y x x -+; z y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+2x y 1x 1=22yx x +. (7)z x =ye sin(xy)+xy 2e sin(xy)cos(xy); z y =xe sin(xy)+x 2ye sin(xy)cos(xy). (8)u x =-2x y -z 1; u y =x 1-2y z ; u z =y 1+2zx. (9)u x =yz(xy)z-1; u y =xz(xy)z-1; u z =(xy)z ln(xy). (10)u x =y z1y z x -; u y =zy z-1zy x lnx; u z =y zzy x lnx·lny.2、设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx，求f x (x,1). 解：∵f(x,1)=x ，∴f x (x,1)=1.3、设f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x yx 1ysin 222222，，考察f 在原点(0,0)的偏导数. 解：∵x)0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，∴f x (0,0)=0；又y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=20y y)(1sin lim ∆→∆不存在，f y (0,0)不存在.4、证明函数z=22y x +在点(0,0)连续，但偏导数不存在.证：∵22)0,0()y x,(y x lim +→=0=z(0,0)，∴z=22y x +在点(0,0)连续. 又x)0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x |x |lim 0x ∆∆→∆，y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=x |x |lim0x ∆∆→∆，即两个极限都不存在，∴两个偏导数都不存在.5、考察函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x yx 1xysin 222222，在点(0,0)的可微性. 解：∵x)0,0(f )x,00(f lim 0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，∴f x (0,0)=0；同理f y (0,0)=0；又ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=2222y)(x)(1siny)(x)(y x ∆+∆∆+∆∆∆≤2222y)(x)(2y)(x)(∆+∆∆+∆=2y)(x)(22∆+∆→0,ρ→0，∴f 在点(0,0)可微.6、证明函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0y x 00y x y x y x 2222222，在点(0,0)连续且偏导数存在，但在此点不可微.证：∵222yx y x +≤2xy y x 2=2x→0,(x,y)→0，即)0,0()y x,(lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f 在点(0,0)连续. 又x )0,0(f )x,00(f lim0x ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0，y )0,0(f )y ,00(f lim 0y ∆-∆+→∆=x 00lim 0x ∆-→∆=0， ∴f x (0,0)=0; f y (0,0)=0. 但ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=3222]y)(x)[(y x)(∆+∆∆∆. 当△x=△y 时，3222]y)(x)[(y x)(∆+∆∆∆=81，当y=0时，3222]y)(x)[(yx)(∆+∆∆∆=0.∴ρy)0,0(f -x )0,0(f f lim y x 0ρ∆∆-∆→不存在，∴f 在点(0,0)不可微.7、证明函数f(x,y)=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++0y x 00y x y x 1sin )y x (22222222，在点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f 在点(0,0)可微. 证：∵2222y x 1sin)y x (++≤x 2+y 2→0,(x,y)→0，即)0,0()y x,(lim →f(x,y)=0=f(0,0)，∴f 在点(0,0)连续.当x 2+y 2≠0时，f x (x,y)=2xsin 22yx 1+-22y x x +cos 22y x 1+， ∵)0,0()y x,(lim →2xsin 22yx 1+=0，而)0,0()y x,(lim→22yx x +cos22yx 1+不存在，∴)0,0()y x,(lim →f x (x,y)不存在，即f x (x,y)在点(0,0)不连续，同理f x (x,y)在点(0,0)不连续. 但x)0,0(f )x,00(f lim 0x ∆-∆+→∆=x 1x sin lim 0x ∆∆→∆=0，∴f x (0,0)=0;同理f y (0,0)=0. ∴ρy)0,0(f -x )0,0(f f y x ∆∆-∆=222222y)(x)(1siny)(x)(y)(x)(∆+∆∆+∆∆+∆≤22y)(x)(∆+∆→0,ρ→0，∴f 在点(0,0)可微.8、求下列函数在给定点的全微分： (1)z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0), (1,1)；(2)z=22yx x +在点(1,0),(0,1).解：(1)∵z x =4x 3-8xy 2，z y =4y 3-8x 2y 在(0,0)和(1,1)都连续，∴z 在(0,0)和(1,1)都可微；又z x (0,0)=0, z y (0,0)=0; z x (1,1)=-4, z y (1,1)=-4;∴dz|(0,0)=0；dz|(1,1)=-4(dx+dy).(2)∵z x =2222222yx y x x y x ++-+=3222)y (x y +在(1,0)和(0,1)都连续；z y =2222yx y x xy ++-=322)y (x xy -+在(1,0)和(0,1)也都连续；∴z 在(1,0)和(0,1)都可微；又z x (1,0)=0, z y (1,0)=0; z x (0,1)=1, z y (0,1)=0; ∴dz|(1,0)=0；dz|(0,1)= dx.9、求下列函数的全微分：(1)z=ysin(x+y)；(2)u=xe yz +e -z +y. 解：(1)∵z x =ycos(x+y), z y =sin(x+y)+ycos(x+y)在R 2上都连续， ∴z 在R 2上可微；且dz=ycos(x+y)dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dy. (2)∵u x =e yz , u y =xze yz +1, u z =xye yz -e -z 在R 3上都连续， ∴u 在R 3上可微；且dz=e yz dx+(xze yz +1)dy+(xye yz -e -z )dz.10、求曲面z=arctan xy 在点(1,1,4π)的切平面方程和法线方程. 解：∵z 在(1,1)处可微，∴切平面存在. 又z x (1,1)=-21,z x (1,1)=21， ∴切平面方程为-21(x-1)+21(y-1)-(z-4π)=0，即x-y+2z=2π;法线方程：21-1-x =211-y =14π-z -，即2(1-x)=2(y-1)=4π-z.11、求曲面3x 2+y 2-z 2=27在点(3,1,1)的切平面与法线方程.解：3x 2+y 2-z 2=27两边对x 微分得：6x-2z·z x =0，∴z x =3x 1z 2z6x ===9;3x 2+y 2-z 2=27两边对y 微分得：2y-2z·z y =0，∴z y =1x 1z 2z2y===1;∴切平面方程为9(x-3)+(y-1)-(z-1)=0，即9x+y-z-27=0; 法线方程：93-x =11-y =11-z -，即x-3=9(y-1)=9(1-z).12、在曲面z=xy 上求一点，使这点的切平面平行于平面x+3y+z+9=0, 并写出该切平面方程和法线方程.证：设该点为(x 0,y 0,x 0y 0)，∵z x (x 0,y 0)=y 0; z y (x 0,y 0)=x 0；∴切平面方程为y 0(x-x 0)+x 0(y-y 0)-(z-x 0y 0)=0，即y 0x+x 0y-z-x 0y 0=0; 由切平面平行于平面x+3y+z+9=0知，y 0=-1; x 0=-3. ∴该点切平面方程为-x-3y-z-3=0，即x+3y+z+3=0. 由00y x -x =00x y -y =1-y x -z 00得1-3x +=3-1y +=1-3-z . ∴该切平面的法线方程为： 3(x+3)=y+1=3(z-3).13、计算近似值：(1)1.002×2.0032×3.0043；(2)sin29⁰·tan46⁰.解：(1)设u=xy 2z 3; x 0=1,y 0=2,z=3; △x=0.002, △y=0.003, △z=0.004；则 u(1,2,3)=108; u x (1,2,3)=108; u y (1,2,3)=108; u z (1,2,3)=108.由u(1.002,2.003,3.004)=u(1,2,3)+u x (1,2,3)△x+u y (1,2,3)△y+u z (1,2,3)△z, 得1.002×2.0032×3.0043≈108(1+0.002+0.003+0.004)=108.972. (2)设z=sinxtany; x 0=6π,y 0=4π; △x=-180π, △y=180π；则 z(6π,4π)=21;z x (6π,4π)=tan 4πcos 6π=23; u z (6π,4π)=sin 6πsec 24π=1;∴sin29⁰·tan46⁰≈21-23×180π+180π≈0.5023.14、设圆台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm, 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm ，求此圆台体积变化的近似值. 解：圆台体积为：V(R,r,h)=3πh(R 2+Rr+r 2), ∴V R (30,20,40)=3π(2×40×30+40×20)=33200π, V r (30,20,40)=3π(2×40×20+40×30)=32800π, V h (30,20,40)=3π(302+30×20+202)=31900π, 当△R=0.3,△r=0.4,△h=0.2时， △V ≈33200π×0.3+32800π×0.4+31900π×0.2=820π≈2576(cm 3). ∴此圆台体积约增加了2576cm 3.15、证明：若二元函数f 在点P(x 0,y 0)的某邻域U(P)上的偏导函数f x 与f y 有界，则f 在U(P)上连续.证：∵f x ,f y 在U(P)有界, 设此邻域为U(P;δ1)，则存在M>0, 使|f x |<M, |f y |<M 在U(P;δ1)内成立. 又|△f|=|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)|=|f x (x+θ1△x,y+△y)△x+f y (x,y+θ2△y)△y| ≤M|△x |+M|△y|, ∴∀ε>0, ∃δ=min{δ1,1)2(M ε}, 使当|△x |<δ,|△y |<δ时，就有|f(x+△x,y+△y)-f(x,y)|< ε,∴f 在U(P; δ)上连续.16、设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续. (1)若在intD 内有f x ≡0，试问f 在D 上有何特性？ (2)若在intD 内有f x =f y ≡0，f 又怎样？(3)在(1)的讨论中，关于f 在D 上的连续性假设可否省略？长方形区域可否改为任意区域？解： (1)f(x,y)=φ(y). 即函数值与x 无关. 理由如下：对intD 内任意两点(x 1,y),(x 2,y)，由中值定理知： f(x 2,y)-f(x 1,y)=f x (x+θ(x 2-x 1),y)(x 2-x 1)=0，即f(x 2,y)=f(x 1,y)，由(x 1,y),(x 2,y)的任意性知，f(x,y)=φ(y).(2)若在intD 内有f x =f y ≡0，则f(x,y)=常数，即函数值与x,y 无关. 证：对intD 内任意两点(x 1,y 1),(x 2,y 2)，由中值定理知存在 ξ=x 1+θ1(x 2-x 1), η=y 1+θ2(y 2-y 1)，使得f(x 2,y 2)-f(x 1,y 1)=f x (ξ,y 2)(x 2-x 1)+f x (x 1,η)(y 2-y 1)，∵f x =f y ≡0，∴f(x 2,y 2)≡f(x 1,y 1). 由(x 1,y 1),(x 2,y 2)的任意性知，f(x,y)=常数.(3)(1)中关于f 在D 上的连续性假设不能省略，否则不一定成立.例如，在矩形区域D=⎢⎣⎡-23,⎥⎦⎤23×[0,2]上二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧>>中其它部分D 00y 0,x y 3，在intD 内，f x ≡0，但不连续，f(1,1)=1; f(-1,1)=0，显然f 与x 有关，结论不成立.(1)中长方形区域不能改为任意区域，否则不一定成立.例如，设I={(x,y)|x=0,y ≥0}, D=R 2-I ，则二元函数f(x,y)=⎩⎨⎧>>中其它部分D 0y 0,x y 3，在D 上连续，且f x ≡0，但f(1,1)=1; f(-1,1)≡0，即f 与x 有关，结论不成立.17、试证在原点(0,0)的充分小邻域内，有arctan x y1yx ++≈x+y. 证：设f(u,v)=arctan uv1vu ++，u 0=0,v 0=0,△u=x,△v=y ，则 arctanx y1yx ++≈f(u 0,v 0)+f u (u 0,v 0)△u+f v (u 0,v 0)△v ，其中 f(u 0,v 0)=arctan0=0, f u (u 0,v 0)=f v (u 0,v 0)=1，∴arctan x y1yx ++≈△u+△v=x+y.18、求曲面z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与Ox 轴的交角.解：∵z x (2,4)=2x|x=2=1；∴切线与Ox 轴的交角为arctan1=4π.19、试证(1)乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和； (2)商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 证：(1)设u=xy, 则du=ydx+xdy ，∴u u ∆≈u du =y dy x dx +≤x dx +ydy. (2)设v=yx , 则dv=y dx -2y xdy，∴v v ∆≈v dv =y dy x dx -≤x dx +ydy .20、测得一物体的体积V=4.45cm 3, 其绝对误差限为0.01cm 3;又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.01g. 求由公式d=VW算出的密度d 的相对误差限和绝对误差限. 解：|△d|≈|d W ·△W+d v ·△V|=V VW V W 2∆-∆=01.045.430.804.4501.02⨯-≈0.017. 方法一：d d ∆=W d V ∆=30.80017.045.4⨯≈0.25%；方法二：d d ∆≈W dW +VdV ≈0.032%+0.225%≈0.26%； ∴密度d 的相对误差限为约0.25%(或0.26%)，绝对误差限为0.017.。

数学分析第十七章多元函数微分学

1.04
2.02
f (1.04,2.02)
f (1,2) f x (1,2)x f0 0.02 1.08.
课堂练习: P116, 12
小结
1、理解可微和全微分的概念，会证明可微性； 2、掌握偏导数定义和计算，会求全微分； 3、了解可微的必要条件和充分条件，及其有关例子；
这个例子说明: 函数即使在一点偏导数存在, 也不一定在该点可微 (但一元函数在一点可微与导数存在等价 ).
课堂练习: P116, 1(8), 4, 9(2). 作业:
P116, 1(3)(6)(9), 5, 8(1), 9(1).
定理 1 7.2(可微的充分条件) 若函数f ( x, y )在点( x0 , y0 ) 的某邻域内存在偏导数, 且f x与f y在点( x0 , y0 )处连续, 则函数f在该点可微.
因此, f在( x0 , y0 )的全微分(2)可唯一地表示为 df |( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) x f y ( x0 , y0 ) y.
因 dx x, dy y, 故全微分可写为 dz |( x , y ) f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy.
下面证明过P0的平面 Z z0 f x ( x0 , y0 )( X x0 ) f y ( x0 , y0 )( Y y0 ) 就是z f ( x, y )在P0的切平面。事实上，
h z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 ) 1 f x2 ( x0 , y0 ) f y2 ( x0 , y0 )
它是关于x的一元函数z f ( x, y0 )在x x0处的导数.

二元函数可微的几何意义

二元函数可微的几何意义我们来了解什么是二元函数可微。

在数学中，二元函数是指有两个自变量和一个因变量的函数。

而可微性是指函数在某一点处的导数存在。

当一个二元函数在某一点处可微时，我们可以通过导数来描述函数在该点的变化情况。

换句话说，可微性反映了函数在该点附近的局部变化率。

二元函数可微的几何意义可以通过切线的概念来理解。

在平面上，我们可以将二元函数的图像看作是一个曲面。

而函数在某一点处的切线可以被视为该点处的局部近似平面。

这个切线与曲面相切于该点，并且与曲面在该点处具有相同的斜率。

因此，二元函数在某一点处可微，意味着该点处的切线可以很好地近似曲面，并能准确地描述函数在该点附近的变化情况。

二元函数可微在几何学中有着广泛的应用。

例如，在曲面建模中，我们经常使用二元函数来描述曲面的形状。

通过对二元函数进行可微分析，我们可以确定曲面在某一点处的切线方向、法线方向以及曲率等几何特性，从而更好地理解和控制曲面的形状。

二元函数可微也在计算机图形学中发挥着重要的作用。

在三维计算机图形的渲染过程中，我们需要对曲面进行光照计算，以模拟物体在不同光照条件下的外观。

而二元函数可微性可以帮助我们确定曲面在某一点处的法线方向，从而计算出该点处的光照效果。

通过对曲面的可微分析，我们可以实现更加真实和逼真的图形渲染效果。

除了在几何学和计算机图形学中的应用，二元函数可微还在经济学和物理学中发挥着重要作用。

在经济学中，我们经常需要对二元函数进行微分，以研究经济模型中的边际效应和最优决策等问题。

而在物理学中，二元函数可微性则可以帮助我们描述物体在空间中的运动状态和变化规律。

二元函数可微具有重要的几何意义，并在各个领域中都有着广泛的应用。

通过对二元函数的可微分析，我们可以更好地理解和控制曲面的形状，实现更加真实和逼真的图形渲染效果，研究经济模型中的边际效应和最优决策，以及描述物体在空间中的运动状态和变化规律。

因此，对于数学爱好者和从事相关领域的人来说，理解和掌握二元函数的可微性是非常重要的。

数学分析14-1可微性

速度与加速度
在物理和工程领域，导数可以用来描述物体的速度和加速度，即速度和加速度是位移函数的导数。
瞬时变化率
导数可以用来描述瞬时变化率，例如经济学中的边际成本、边际收益和边际利润等概念。
控制工程
在控制工程中，导数可以用来描述系统的传递函数和控制性能指标，如调节时间和超调量等。
05
CATALOGUE
符号函数
符号函数在x=0处不可微，但在其他点上都是可微的。
狄利克雷函数
狄利克雷函数在整个实数域上都是不可微的。
可微性与连续性的特殊情况
可微不一定连续
有些函数在某点处可微，但不一定连续，如绝对值函数在x=0处。
连续不一定可微
有些函数在整个定义域内都连续，但不一定可微，如狄利克雷函数。
THANKS
整体可微性的性质
整体可微性具有一些重要的性质，如导数在整个定义域上存在且连续，以及整体可微函数在整个定义域上的导数等于该函数在任意点处的切线的斜率。
可微性与连续性的关系
可微性是连续性的推广
连续性是可微性的一个必要条件，但不是充分条件。
可微性与连续性的关系
如果一个函数在某点处可微，那么该函数在该点处一定是连续的。但是，如果一个函数在某点处连续，并不一定意味着该函数在该点处可微。因此，可微性是连续性的一个更
导数的符号变化可以判断函数的凹凸性，进而研究函数的极值点。
导数在极值问题中的应用
极值判定
通过导数可以判断函数在某一点的极值类型，极大值或极小值。
求极值点
通过导数的零点可以找到函数的极值点，即一阶导数为零的点。
极值应用
极值在优化问题、经济问题等领域有广泛应用，如成本最小化、利润最大化等。

多元函数可微的几何意义

多元函数可微的几何意义一、引言多元函数可微的几何意义是指当一个多元函数可以微分，其微分的几何意义有何作用。

本文将主要讨论多元函数可微的几何意义以及界定极值的几何意义，最后以坐标系函数的一般性的画象来总结微积分学的几何解释。

二、多元函数可微的几何意义1. 关于可微的几何意义，可以从以下几个方面来讨论：（1）对于函数的微分是求取函数在某点发生“瞬时变化”的率。

也就是说，当给定某一点的坐标时，如果我们把变量的取值按微小的步长一点点增加，函数的取值也将按着一定的规律在该点一点点发生变化。

函数的瞬时变化率就是该函数在该点处的微分，即可微函数在该点处的切线斜率。

（2）微分还可以表示函数的图像在某一点附近的倾斜程度，也就是曲线在该点附近的弯曲程度，这又等同于函数的瞬时变化率。

简而言之，函数的微分就是表示函数的变化率。

（3）函数可微的意义也可以从多元函数的角度来看，一个多元函数的函数值能够在一个点上被定义，所以它的梯度（也叫做函数可微程度）也在该点可以被定义。

在这里，梯度指的是函数在该点的切线斜率，该切线斜率是多元函数在某一点发生瞬时变化的率。

2. 界定极值的几何意义界定极值的几何意义可以分为两类：（1）在第一类情况下，函数在某一点变化率为0，这意味着函数在该点处发生的变化率比较小，也就是曲线在该点处的弯曲程度比较小，从而在该点处可能存在着极值。

（2）在第二类情况下，函数在某一点处的变化率接近于无穷大或是无穷小，这意味着函数在该点处变化率增加的速度接近于无穷大或是无穷小，也就是曲线在该点处的弯曲程度极大，从而在该点处也可能存在极值。

三、坐标系函数的一般性的画象在微积分学的几何解释中，坐标系函数可以用一般性的象来表示，即在每一点的函数取值与其坐标之间构成多元函数。

图形化表示函数与坐标的关系，可以让我们更加清楚地认识到多元函数可微的意义，以及其微分的曲率及其与极值的关系。

可以说，函数可微的几何意义与坐标系函数的一般性画象相辅相成，从而使微积分学更加形象地被表达出来。

可微性的几何意义及应用

多元函数的可微性

二元函数可微的几何意义

1 可微性

可微性的几何意义及应用

《数学分析》第十七章 多元函数微分学

高等数学第17章第1节可微性

可导和可微的几何意义

函数可微和偏导数连续的关系

可导和可微的几何意义

可积 可微

可微的充分条件的证明过程

(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

17.1可微性

数学分析17.1多元函数微分学之可微性

数学分析第十七章 多元函数微分学

二元函数可微的几何意义

数学分析14-1可微性

多元函数可微的几何意义

《数学分析》第十七章多元函数微分学

可积可微

数学分析第十七章多元函数微分学