高中数学-函数的单调性及题型

高中数学-函数的单调性及题型

1、 A为函数f(x)定义域内某一区间，

2、单调性的判定：作差f(x1)-f(x2)判定；根据函数图象判定；

3、复合函数的单调性的判定：f(x),g(x) 同增、同减，f(g(x)) 为增函数，f(x),g(x)一增、一减，f(g(x)) 为减函数．

【经典例题】

例1、设a＞0且a≠1，试求函数y=log a(4+3x-x2)的单调递增区间．

[解析]：由题意可得原函数的定义域是（－１，４），

设u=4+3x-x2，其对称轴是 x=3/2 ，

所以函数u=4+3x-x2，在区间（－１，3/2 ]上单调递增；在区间[3/2 ，4）上单调递减．

①a＞１时，y=log a u 在其定义域内为增函数，

由 x↑→u↑→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递增区间（－１，3/2 ]，

即为函数y=log a(4+3x-x2) 的单调递增区间．

②０＜a＜１时，y=log a u 在其定义域内为减函数，

由 x↑→u↓→y↑，得函数u=4+3x-x2的单调递减区间[3/2 ，4），

即为函数y=log a(4+3x-x2)的单调递增区间．

例2、已知y=log a(2-ax) 在[0，1]上是x 的减函数，求a的取值范围。

[解析]：由题意可知，a＞０．设u＝g(x)=2－ax，

则g(x)在［０，１］上是减函数，且x=１时，g(x)有最小值u min=2-a ．

又因为u＝g(x)＝2－ax＞０，所以，只要 u min=2-a＞０则可，得a＜２．

又y=log a(2-ax) 在[0，1]上是x 减函数，u＝g(x)在［０，１］上是减函数，

即x↑→u↓→y↓，所以y=log a u是增函数，故a＞１．

综上所述，得１＜a＜2．

例3、已知f(x)的定义域为（０，＋∞），且在其上为增函数，满足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，试解不等式f(x)+f(x-2)<3 ．

［解析］：［此题的关键是求函数值３所对应的自变量的值］

由题意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(4×2)=f(8)

又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)

所以原不等式的解集为｛x|2

针对性课堂练习

1．函数y ＝2x －4x ＋5在闭区间[－1，m ]上有最大值10，则m 的取值范围是（ ）

（A ）(－∞，5]； （B ）(－1，5]； （C ）[2，5]； （D ）(－1，＋∞)．

2．函数y ＝22x x -的单调递减区间是（ ）

（A ）[－1，＋∞)； （B ）(－∞，1]； （C ）[0，1]； （D ）[1，2]．

3．设0＜a ＜b ，奇函数)(x f 在[－b ，－a ]上是减函数，且有最小值2，则函数)(x F ＝－|)(x f |（

） （A ）是[a ，b ]上的减函数且有最大值－2；（B ）是[a ，b ]上的增函数且有最小值－2；

（C ）是[a ，b ]上的减函数且有最小值－2；（D ）是[a ，b ]上的增函数且有最大值－2．

4．已知函数)(x f ＝c bx ax ++1

2

为奇函数(a 、b ∈Z )，)1(f ＝2，)2(f ＜3．

（1）求)(x f 的解析式；

（2）当x ＜0时，确定)(x f 的单调递增区间，并给予证明．

5．对于x ∈R ，函数)(x f 表示x －1与|2x －4x ＋3|中大的一个值．

（1）求)0(f ，)1(f ，)2(f ，)3(f ；（2）作出y ＝)(x f 的图象；

（3）在[0，2]内，求)(x f 的值域．