第三节逆Z变换
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信号的Z变换与逆变换
信号的Z变换与逆变换信号处理是数字信号处理领域的重要内容，而Z变换是信号处理中常用的数学工具之一。
本文将介绍信号的Z变换及其逆变换的概念及应用。
一、Z变换的概念Z变换是一种在离散时间域中对信号进行频域分析的方法。
它可以将离散序列表示为复平面上的函数，其数学定义如下：给定一个离散时间序列x[n]，其Z变换表示为X(z)，其中z是一个复变量。
X(z)的定义如下：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)Z变换将离散序列x[n]映射到复平面上的函数X(z)，其中z是z轴上的点，通过对X(z)的分析得到信号的频域特性。
二、Z变换的性质Z变换具有一系列重要的性质，这些性质有助于我们对信号的分析和处理。
以下是一些常见的性质：1. 线性性质：对于任意常数a和b，以及信号x1[n]和x2[n]，有X(a*x1[n] + b*x2[n]) = a*X(z1) + b*X(z2)，其中z1和z2是x1[n]和x2[n]的Z变换函数。
2. 延迟性质：对于一个有限长序列x[n-d]，其Z变换为X(z)*z^(-d)。
3. 卷积性质：对于两个序列x1[n]和x2[n]的卷积序列y[n]，其Z变换为Y(z) = X(z) * Z(z)，其中Z(z)是x2[n]的Z变换。
4. 初值定理：对于离散时间序列x[n]，其初始值x[0]等于X(z)在z=1处的极限值。
通过这些性质，我们可以根据Z变换函数来推导和分析信号的特性。
三、Z逆变换的概念Z逆变换是Z变换的逆运算，旨在将Z域中的函数转换回原始的离散时间信号。
Z逆变换的数学定义如下：设X(z)为一个Z变换函数，其Z逆变换表示为x[n]，满足以下公式：x[n] = (1/2πj)∮(C)X(z) * z^(n-1) * dz其中，C是包围Z平面上所有极点的闭合曲线，∮表示沿着C的积分。
通过计算这个积分，我们可以得到离散时间信号x[n]。
四、Z变换与离散时间系统Z变换在信号处理中广泛应用于离散时间系统的分析和设计。
第三节逆Z变换
例5：求 F (Z ) (Z 1)( Z 2 4) , Z 解：由已知得：极点为
Z1 1, Z 2,3 j 2e
j
Z3 6
2
的逆Z变换
2
k0 F (Z ) Z3 6 k1 k2 k 2 2 Z Z Z 1 Z j2 Z j2 Z Z 1 Z 4 F (Z ) k0 Z Z 0 1.5 Z
第三节
逆Z变换
本节研究求F(Z)的逆变换，既由象函数F(Z)求原序列f(k)的问 题。求逆变换的方法有三种：幂级数展开法、部分分式展开法和 反演积分（留数法）等，本节重点讨论最常用的部分分式展开法。 一般而言，双边序列法f(k)可分为因果序列 f1(k ) 和反因果序列 f 2 (k )两部分，当已知象函数F(Z)时，根据给定的收敛域分别求得 F1( Z ) 和 F2 ( Z ) 并分别求得它们的原序列，然后利用线性将二者相加就得 到F(Z)对应的原序列f(k)。因此本节重点研究因果序列象函数 的逆变换，显然那它是单边的变换 。 具体做法如下 1 1 Z 5 j 63.4。 e 2
F (Z ) 1 j2 Z j2 Z 4 5 j 63.4。 e Z 所以： F ( Z ) 1.5 4 Z 1 j Z 2e 2 k2 (Z j 2)
f (k ) 1.5 k (1) k k
3 Z 1
3 Z 2
1 2 ( 1) k ( 2) k ] (k ) 3 3 当：︱Z︱>2时， 1 2 k k 当：︱Z︱<1时， f (k ) [ 3 (1) 3 (2) ] (k 1) 2 2 k k 1 ( 1) k k 当：1<︱Z︱<2时， f k 1 3 3 1 1 Z Z 3 4Z 2 Z 2 2 ,1 Z 2 例4：已知 F Z 1 Z Z 1Z 2 Z 3 2 求其逆Z变换 f (k ) [
逆z变换.
(z zi )s
X (z)
z
zzi
在这种情况下，X(z)也可展开为下列形式
X (z)
A0
M
m1
Am z z zm
S j 1
Cjz j (z zi ) j
其中，对于j=s项系数
Cs
z
zi z
s
X (z)
zzi
其他各Cj系数由待定系数法求出
思考题
• 1. 逆变换的定义式？ • 2. 求逆变换的方法？ • 3. 利用部分分式展开法求逆变换的步骤？
z
X(z)
z
z (z 1)(z 2)
X z A B
z z1 z2
A (z 1)
z
(z 1)(z 2)
1 同理：B＝2
z1
X(z) 1 2 z z1 z2
部分分式乘以 z
X(z) z 2z z1 z2
查表 x(n) u(n) 2(2)nu(n)
收敛域与原函数的对应
围坐标原点的逆时针方向的围线
j Im(z)
C， X的z全z部n1极点都在积分路
线的内部。已知
0
X z xnz n
1
n0
1式两边同乘以z m1，并进行围线积分
Re(z) C
1 X zzm1 d z 1x nFra bibliotekznzm1 d z
2j c
2j
c n0
将积分与求和互换得
X zzm1 d z x n znm1 d z
部分方式求逆Z变换步骤：
1）F(z)F(z)/z(真分式）； 2）F(z)/z进行部分分式展开； 3）求部分分式中的系数； 4）部分分式型 F(z)/z F(z)； 5）利用基本形式进行逆变换，求得f(k)。
§6.3 逆z变换PPT课件
§6.3 逆z变换
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
一般而言，序列f(k)由因果序列f1(k)和反因果序列 f2(k)两部分组成，即
f(k) = f2(k)+f1(k) = f(k)(–k – 1) + f(k) (k)
相应地，其z变换也分两部分 F(z) = F2(z) + F1(z)， < |z| <
由F(z)及其收敛域不难确定F1(z)和F2(z)，分别求 得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)，将两者相加得 f(k)。
z2
(z 1)(z 2) z 2 z 2
其收敛域如下，分别求其相对应的原序列f(k)。 （1） |z| > 2 (2) |z|< 1 (3) 1< |z| < 2
解
（1） 由于F(z)的收敛域在半径为2的圆外，故f(k) 为因果序列。用长除法（降幂排列）将F(z)展开为 z-1的幂级数：
z2/(z2-z-2)=1+ z-1 + 3z-2 + 5z-3 + …
(3)当1<z<2， f (k) 1 (1)k (k) 2 (2)k (k 1)
3
3
例2：已知象函数
z(z3 4z2 9 z 1)
F(z)
2 z ,1<z<2
(z 1)(z 1)(z 2)(z 3)
解
2
F(z) 1 2 1 1 z z 1 z 1 z 2 z 3 2
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
解: F(z)/z部分分式展开为
12
F(z)
z
3 3
z (z 1)(z 2) z 1 z 2
(1) z>2，f(k)为因果序列
f (k) [1 (1)k 2 (2)k ] (k)
信号与系统第六章(3) 逆Z变换
根据给定的F(z)及收敛域，不难求得F1(z)和F2(z),并分 别求得它们所对应的原序列f1(k)和f2(k)。根据线性性 质，将二者相加就得到F(z)所对应的原序列f(k)。
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2) z2 z 2
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
F(z)
z2
z
K1 K2
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
本节重点研究因果序列的象函数的逆z变换。
一、幂级数展开法
例6.3-1 已知象函数
z2) z2 z 2
1 ,0}
16 8 4 2
k 1
（3) F (z)的收敛域为 1 z 2故 f (为k)双边序列。
将 F(展z) 开为部分分式，有：
12
F(z)
z2
zz 3 3 , 1 z 2
(z 1)(z 2) z 1 z 2
因果序列象函数 反因果序列象函数
F1 ( z )
za
就可以求得展开式的原函数。
例6.3-3 已知象函数
z2 F(z)
(z 1)(z 2)
其收敛域分别为（1）z （2 2） z（ 13）1 z 2
分别求其原函数。 解 由象函数可见，其极点为 z1 1, 。z2 2 其展开式为
F(z)
z2
z
K1 K2
f2(k)
f1(k) (2k
3k ) (k 1) [2 ( 1 )k ] (k)
2
（2）F ( z )有共轭单极点
如果F (z) 有一对共轭单极点z1,2 c jd , 则可将 F (z) 展开为
z
F (z) Fa (z) Fb (z) K1 K2 Fb (z)
B(z)
z zA(z) z(zn am1zn1 a1z a0 ) ,m n 1
F (z) k1 k2 z-z1 z z2
信号与系统 6.3 逆Z变换
第 7 页
思路：将F(z)展开为上式的形式，其系数即为f(k)
板书简单例题
第
二、部分分式展开法
B( z ) bm z m bm 1 z m 1 b1 z b0 F (z) A( z ) z n a n1 z n 1 a1 z a0
3 页
将 F ( z ) 展开为部分分式，然后再乘以Z；其方法与第五章中
§6.3 逆Z变换
一、幂级数展开法 二、部分分式展开法
西安邮电学院电子与信息工程系
一、幂级数展开法
F (z)
k
第 2 页
f (k )z k
2 1 2
f (2)z f (1)z f (0) f (1)z f (2)z
Z的幂级数 Z-1的幂级数
F(s)展开方法相同。
A(z)为F(z)的分母多项式，A(z)=0的n个根zi 为F(z)的极点。 根据极点的类型，F ( z ) 的展开有几种情况：
z
z
1）单极点 2）共轭单极点
3）重极点
第
1）F（z）有单极点
若F(z)的极点都是互不相同的实根，则： n Kn Ki F (z) K1 K2 z z z1 z z2 z z n i 1 z z i
(若A( z )实系数，则K 2 K 1 ) 将F(z)的极点和系数写成指数形式，则：
K 1 K e j K 2 K e j z1, 2 c jd e j K e j z K e j z Fa ( z ) j z e z e j 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k ) 若 z ， f a ( k ) 2 K k cos( k ) ( k 1)
逆z变换
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
X (z)
A0
N k 1
Ak 1 zk z1
z max[ zk ]
N
则其逆Z变换为：x(n) A0 (n) Ak zknu(n)
k 1
说 明 ： a.X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
b.X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
k 1,, s
3.围线积分法（留数法）
x(n) 1 X (z)zn1dz
2j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
若被积函数 X (z)zn1是有理分式，一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理， x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和，即:
x(n) Re s[X (z)zn1, ak ]
直接用长除法进行逆变换
X z xnz n n
（是一个z 的幂级数）
x(2)z2 x(1)z1 x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2
级数的系数就是序列 xn
注意：
在用长除法将X（Z）展开成幂级数 形式之前，应先根据给定的收敛域 是圆外域还是圆内域，确定x（n） 是右边序列还是左边序列。
5z 3 4z 4
例1：
因为 X (z) x(0)z0 x(1)z 1 x(2)z 2
所以 xn 0, 1, 2, 3, 4, 因为长除结果无常数项，则x0 0。
例2：
X z z z
z2 2z 1 1 2z z2
z 1
z 2z2 3z3 4z4
1 2z z2 z z 2z2 z3
X(z)
N(z) D(z)
逆z变换(部分分式展开法)
hk 2 K11 k k 1 cos[( k 1) 1 ) (k ) 2 K12 k cos( k 2 ) (k )
X
第
例题
13 页
同学练习：
z2 １求单边z变换F ( z ) 2 的原序列 . z 1
3z ２分别求象函数F ( z ) 2 . 2 z 5z 2 在下列三种收敛域下所对应的时间序列 1) z 2 2) z 0.5 3)0.5 z 2
X
二．部分分式展开法（重点）
1．z变换式的一般形式
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1 z b0 X (z) D( z ) z n an1 z n1 an 2 z n 2 a1 z a0
双边序列
Z逆变换的思路:
X ( z) 对 进行展开, 并要求X ( z ) : n m z
X
第
2．极点性质决定部分分式形式
X z 的极点 : 单极点, 共轭单极点和重极点。 1)单极点 X ( z ) A0 A1 A2 AN z z z p1 z p 2 z pN
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 4z 4 3z 5 4z 4 8z 5 4z 6 所以 xk , 4, 3, 2, 1 5z 5 4z 6 n 1
第 2 页
直接用长除法进行逆变换
X z xk z
k 0
k
（是一个z 的幂级数）
X
第
例题
13 页
同学练习：
z2 １求单边z变换F ( z ) 2 的原序列 . z 1
3z ２分别求象函数F ( z ) 2 . 2 z 5z 2 在下列三种收敛域下所对应的时间序列 1) z 2 2) z 0.5 3)0.5 z 2
X
二．部分分式展开法（重点）
1．z变换式的一般形式
N ( z ) bm z m bm 1 z m 1 bm 2 z m 2 b1 z b0 X (z) D( z ) z n an1 z n1 an 2 z n 2 a1 z a0
双边序列
Z逆变换的思路:
X ( z) 对 进行展开, 并要求X ( z ) : n m z
X
第
2．极点性质决定部分分式形式
X z 的极点 : 单极点, 共轭单极点和重极点。 1)单极点 X ( z ) A0 A1 A2 AN z z z p1 z p 2 z pN
z 2z 2 3z 3 4z 4 1 2z z 2 z z 2z 2 z 3 2z 2 z 3 2z 2 4z 3 2z 4 3z 3 2z 4 3z 3 6z 4 3z 5 4z 4 3z 5 4z 4 8z 5 4z 6 所以 xk , 4, 3, 2, 1 5z 5 4z 6 n 1
第 2 页
直接用长除法进行逆变换
X z xk z
k 0
k
（是一个z 的幂级数）
8.4 逆Z变换
6
1 求 X ( z) 2 z 5z 6
(2 z 3) 的逆变换 x(n).
1 1 X ( z) z 3 z 2 a n ZT [a u (n)] (z a) za
a ZT [a u (n 1)] (z a) za
n
1 n 1 n x(n) 3 u (n) 2 u (n 1) 3 2 n 1 n 1 3 u (n) 2 u (n 1)
1
zR
三、部分分式展开法
partial fraction expansion method
z n ZT ( zm ) z zm
X (z) km 通常先将 z 进行部分分式展开成 z z ，然 m
后每个分式乘以 z ，这样对于一阶极点 X (z ) 便可
km z 展成 z z 形式。其系数的求法，以及高阶极点 m
7
X ( z) z A B z ( z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
X ( z) z A ( z 1) 2 z z 1 z 0.5 z 1 X ( z) z B ( z 0.5) 1 z z 0.5 z 1 z 0.5
2z z X ( z) z 1 z 0.5
x(n) [2 (0.5) ]u(n)
n
3
z2 例 : 求解X ( z ) 2 的逆变换x(n) (0.5 z 1). z 1.5 z 0.5
2z z X ( z) z 1 z 0.5
x(n) 2u(n 1) (0.5) n u(n)
3 2
( z 1) 的逆变换x(n).
2 z 5z z 3 1 X ( z) 2z 1 2 2 z 3z 2 z 3z 2
1 求 X ( z) 2 z 5z 6
(2 z 3) 的逆变换 x(n).
1 1 X ( z) z 3 z 2 a n ZT [a u (n)] (z a) za
a ZT [a u (n 1)] (z a) za
n
1 n 1 n x(n) 3 u (n) 2 u (n 1) 3 2 n 1 n 1 3 u (n) 2 u (n 1)
1
zR
三、部分分式展开法
partial fraction expansion method
z n ZT ( zm ) z zm
X (z) km 通常先将 z 进行部分分式展开成 z z ，然 m
后每个分式乘以 z ，这样对于一阶极点 X (z ) 便可
km z 展成 z z 形式。其系数的求法，以及高阶极点 m
7
X ( z) z A B z ( z 1)( z 0.5) z 1 z 0.5
X ( z) z A ( z 1) 2 z z 1 z 0.5 z 1 X ( z) z B ( z 0.5) 1 z z 0.5 z 1 z 0.5
2z z X ( z) z 1 z 0.5
x(n) [2 (0.5) ]u(n)
n
3
z2 例 : 求解X ( z ) 2 的逆变换x(n) (0.5 z 1). z 1.5 z 0.5
2z z X ( z) z 1 z 0.5
x(n) 2u(n 1) (0.5) n u(n)
3 2
( z 1) 的逆变换x(n).
2 z 5z z 3 1 X ( z) 2z 1 2 2 z 3z 2 z 3z 2
§5-2 反z变换
x ( n ) = A0 δ ( n ) + ∑ Ai p in u ( n )
i =1 N
N
x ( n ) = A0 δ ( n ) − ∑ Ai p in u ( − n − 1)
i =1
M
x ( n ) = A0 δ ( n ) − ∑ Ai p u ( − n − 1) +
《Signals & Systems》
《信号与系统》
电子技术教研室
其中x2(n)是环外极点对应部分的反变换，x3(n)是环内极点对应部分 的反变换。 练习：试用幂级数展开法求 与0<|z|<1时的z反变换。
X ( z) = 1 z ( z − 1) 2
当收敛域分别是|z|>1
1.(n − 2)u (n − 2)
《信号与系统》
1 x(n) = 2πj
∫
C
X (z)z
n −1
dz
电子技术教研室
例题1：已知序列的z变换及其收敛域如下，试用留数法求其z反变
换。
z2 X ( z) = ( z − 1)( z − 0.5)
z >1
j Im{z}
解：由留数法
z n +1 x ( n ) = ∑ Re s[ ] z = zi ( z − 1)( z − 0 .5 ) i
作长除
2 z 2 + 6 z 3 + 14 z 4 0.5 − 1.5 z + z 2 z 2 z 2 − 3z 3 + 2 z 4 4 3z 3 3 − 2z 4 3z − 9 z + 6 z 5 5 7z4 − 6 z 7 z 4 − 21z 5 + 14 z 6
8.04 逆z变换
§8.4 逆z变换
• 部分分式展开法
• 幂级数展开法
• 围线积分法——留数法
逆z变换的定义
设序列 x n 的 z 变换为 X z Z x n , 则 X z 的逆变 换为
x n Z
1
X z
1
2 j C
X z z n 1 d z
其中C 是位于收敛域内以原点 为中心的圆. 计算逆 z 变换的方法: 一 . 围线积分法 留数法 . 二 . 幂级数展开法 长除法 . 三 . 部分分式展开法 公式法 .
这里有一个二阶极点z1 1 , 一个一阶极点z 2 0
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
（重点）
一．围线积分法
x n Z
1
X z
1
Res Xz z n1 在 C 内的极点
m
2 j C
X z z n 1 d z
围线积分法是基本的计 算逆 z 变换的方法 , 主要应用于 非有理分式的 z . X
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
幂级数展开法比较简单 可应用于有理分式的X z , 但一 , 般只能得到 x n 的有限项 , 且不容易得到 x n 的闭式 .
三．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
• 部分分式展开法
• 幂级数展开法
• 围线积分法——留数法
逆z变换的定义
设序列 x n 的 z 变换为 X z Z x n , 则 X z 的逆变 换为
x n Z
1
X z
1
2 j C
X z z n 1 d z
其中C 是位于收敛域内以原点 为中心的圆. 计算逆 z 变换的方法: 一 . 围线积分法 留数法 . 二 . 幂级数展开法 长除法 . 三 . 部分分式展开法 公式法 .
这里有一个二阶极点z1 1 , 一个一阶极点z 2 0
1 d 1 2 B1 z 1 2 ( 2 1)! d z z z 1
z z 1 z 1 z z 所以 X ( z ) 1 2 z 1 ( z 1)
2
1
z 1
（重点）
一．围线积分法
x n Z
1
X z
1
Res Xz z n1 在 C 内的极点
m
2 j C
X z z n 1 d z
围线积分法是基本的计 算逆 z 变换的方法 , 主要应用于 非有理分式的 z . X
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
幂级数展开法比较简单 可应用于有理分式的X z , 但一 , 般只能得到 x n 的有限项 , 且不容易得到 x n 的闭式 .
三．部分分式展开法
1．z变换式的一般形式
N ( z ) b0 b1 z b2 z 2 br 1 z r 1 br z r X ( z) 2 k 1 k D( z ) a0 a1 z a2 z ak 1 z ak z
z反变换
1 d n−1 K1n = (z − z1 )m X (z ) (n − 1)! dz n−1 z
z = z1
X ( z) =
由z变换对
K z K11 z K12 z + + ⋯ + 1m + K 0 z − z1 (z − z1 )m (z − z1 )m−1
z 1 ↔ n(n − 1)⋯(n − m + 2)a n −m+1ε (n ) m (m − 1)! (z − a )
n
取上式的反变换得
X ( z) Ki = ( z − zi ) z
n
z = zi
x( n) = K 0δ (n ) + ∑ K i ( z i ) ε (n )
n i =1
例子：
解：
z2 + z +1 X ( z) = 2 z + 3z + 2
求其原序列x(n)。
z 2 + z +1 z 2 + z +1 X (z ) = 2 = z + 3 z + 2 ( z + 1)( z + 2)
K1 = ( z + 1)
X (z ) z
= −1
2．X(z)仅含有重极点
设X(z)在z＝z1处有m阶极点，
X (z ) =
N (z ) (z − z1 )m
仿照拉氏反变换的方法， X(z)/z可展开为
K K K11 K12 X (z ) = + + ⋯ + 1m + 0 z z − z1 z (z − z1 )m (z − z1 )m−1
可以容易地得到上式的反变换。
z = z1
X ( z) =
由z变换对
K z K11 z K12 z + + ⋯ + 1m + K 0 z − z1 (z − z1 )m (z − z1 )m−1
z 1 ↔ n(n − 1)⋯(n − m + 2)a n −m+1ε (n ) m (m − 1)! (z − a )
n
取上式的反变换得
X ( z) Ki = ( z − zi ) z
n
z = zi
x( n) = K 0δ (n ) + ∑ K i ( z i ) ε (n )
n i =1
例子：
解：
z2 + z +1 X ( z) = 2 z + 3z + 2
求其原序列x(n)。
z 2 + z +1 z 2 + z +1 X (z ) = 2 = z + 3 z + 2 ( z + 1)( z + 2)
K1 = ( z + 1)
X (z ) z
= −1
2．X(z)仅含有重极点
设X(z)在z＝z1处有m阶极点，
X (z ) =
N (z ) (z − z1 )m
仿照拉氏反变换的方法， X(z)/z可展开为
K K K11 K12 X (z ) = + + ⋯ + 1m + 0 z z − z1 z (z − z1 )m (z − z1 )m−1
可以容易地得到上式的反变换。
z变换,反Z变换两部分补充PPT
Ak (1 z k z 1 ) X ( z )
Re s[
X ( z) , zk ] z
Z变换补充材料
15
逆Z变换
2、高阶极点 当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除 单极点外，在zi 处还有一个s阶的极点，则其展开式 修
Bk z k
1
j Im[ z ]
n
n
a z
Z平面 收敛域
0
a
Re[ z ]
为保证收敛，则
X ( z) 1
z 1 或 | z || a | a
1 z z 1 ( a ) z a | z | | a |
Z变换补充材料
3
Z变换的定义
例3：求序列 x (n)= 解： ( z ) X (1/3)|n| 的Z变换。
零点：0，极点：3，1/3
Z变换补充材料 4
Z变换的收敛域
Z变换的收敛域 对于任意给定的序列 x(n) ，使其Z变换收敛的所有 z值的集合称为 X (z ) 的收敛域。 其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：
n
x ( n) z n
1 1 1 收敛 不定 发散
根据级数收敛的阿贝尔定理
lim
n
an
n
对于不同的序列 x(n) ，可求得相应的收敛域。
5
Z变换补充材料
Z变换的收敛域
收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大， Z变换不收敛。 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(2)z2+···· |z|< 如果是右边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， |z|>也位于收敛域内。
信号与系统-逆Z变换
在 z > R 的区域内收敛，因此C包围了X(z)的奇点。通常
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
X(z)zn-1是z的有理函数，其奇点都是孤立奇点（极点）。借 助留数定理，可将（8-26）式表示为围线C内所包含X(z)zn-1 的各极点留数之和，即
或简写为
∫ x(n) = 1 X (z)zn−1dz
2πj C
∑ [ ] = X (z)zn−1在 C内极点的留数
X(z) =
z2
(z − 1)( z − 0.5)
X ( z) = A1 + A2 z z − 0.5 z − 1
X(z) = 2z − z z − 1 z − 0.5
A1
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
0.5)⎥⎦⎤ z=0.5
=
−1
A2
=
⎡ ⎢⎣
X (z) z
(z
−
1)⎥⎦⎤ z=1
=
2
x(n) = (2 − 0.5n )u(n)
这里 s = 2, j = 1,2
B1
=
1 ⎡d
(2
−
1)!
⎢ ⎣
d
z
(z − 1)2
1⎤
z
(z
−
1)2
⎥ ⎦
z=1
=
−1
B2
=
(z − 1)2
1
z(z − 1)2
z=1
=1
B3
=
z
1
z(z − 1)2
z=0
=1
37
信号与系统 生物医学工程学院 2011级
例
X(z) =
1 (z − 1)2
,
z
> 1,求x(n)。
3z反变换 PPT
z 4, z 1 是极点。 4
z n1对应的一定是零点？
当n10时，zn1对应的是极点
如图所示，取收敛域的一个围线c， 分两种情况讨论： （1）n≥－1时，
zn1不构成极点，所
以这时C内只有一个一阶
极点 z1/4 ，
因此
x(n) Res[zn1 /(4z)(z 14)]z1
4
[zn1(z
1)/(4
4
z)(z
14)]z1
4
(1/4)n1 1 4n,n1
41/4 15
或记 x(n)作 14 ： nu(n1) 15
（2）当n<-1时， zn+1构成|n+1|阶极点，极点为z=0。
因此C内有极点：z=1/4(一阶), z=0为|n+1|阶 极点；而在C外仅有 z=4(一阶)这个极点:
x(n) Re[szn1/(4z)(z14)]z4 4n1 1 4n2,n1 41/4 15
现作逆运算，已知X(z)和它的收敛域，求x(n). 用什么方法求x(n)? 展开X(z)的定义:
X ( z ) . . x ( 2 . ) z 2 x ( 1 ) z 1 x ( 0 ) z 0 x ( 1 ) z 1 x ( 2 ) z 2 .
求x(n)，实质上是求X(z)的幂级数展开式的系数。
或记 x(n 作 )1： 4n2u( n2) 15
因此 x(n)11115544nn2,,
n1 n2
或记 x (n ) 4 作 nu (n ： 1 ) 4 n 2u ( n 2 ) 15 15
[例2-6]: 已知 X(z) z2 , z 4 ，
(4z)(z1)
求z反变换。
4
解:由收敛域可知，
逆z变换
= Kx(−2)z2 + x(−1)z1 + x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 +L
级数的系数就是序列 x(n)
2．右边序列的逆z变换
将X(z) 以z 的降幂排列
X(z) = ∑ x(n)z−n = x(0)z0 + x(1)z−1 + x(2)z−2 + L
n=0 ∞
3．左边序列的逆z变换 将X(z)以z的升幂排列
高阶极点（重根）
设 X(z) = ∑
j =1 s
Bj z ( z − zi )
j
z = zi为s阶极点。 阶极点。
则
1 ds− j s X ( z) Bj = s− j (z − zi ) (s − j)! d z z z=z
i
二．幂级数展开法
1．幂级数展开法
z变换式一般是 的有理函数，可表示为： 变换式一般是z的有理函数，可表示为：
推导
1 X (z)zm−1 d z = 2 πj ∫c 1 x(n) z−n+m−1 d z ∑ 2 πj ∫c n=0
∞ ∞
1 m−n π j( m−n)θ R ∫ e dθ = ∑ x(n) −π 2π n=0
只有当 = m积分不为零， = m时积分为 π n 积分不为零， n 2
x(n) 右= 0 n= m n≠ m
m
左边序列 围线积分等于围线 外所有极点的留数之和 围线积分等于围线C外所有极点的留数之和 x(n) = −∑Re s X ( z)zn−1
[
]
m
z=zm
X ( z) =
n=− ∞
x(n)z −n = x(−1)z1 + x(−2)z 2 + x(−3)z 3 + L ∑
9逆Z变换及Z变换性质应用
1 z X ( z) 1 1 (1 2 z )(1 0.5 z ) ( z 2)( z 0.5) X ( z) z A1 A2 z ( z 2)( z 0.5) z 2 z 0.5
属于单极点的情况
2
X ( z) 4 A [( z 2) ]z 2 1 z 3 X ( z) 1 A2 [( z 0.5) ]z 0.5 z 3 4 z 1 z X ( z) 3 z2 3 z 0.5
a ax b 的和，使各分式具有 ( x A) k 或 ( x 2 Ax B) k
的形式 ，其中x2+Ax+B是实数范围内的不可约 多项式，而且k是正整数。这时称各分式为原分 式的“部分分式”。
通常，X(z)可 X ( z ) B( z ) i 0N A( z ) 写成有理分式形式： 1 ai z i
c
逆Z变换
x ( n) 1 2 j X ( z ) z n1dz, c ( Rx , Rx )
c
二.求逆Z变换的方法（求解时请注意收敛域）
1.留数法
由留数定理可知：
Re s[ X ( z ) z n 1 ]z zk k x n n 1 Re s[ X ( z ) z ]z zm m
5
4
3
Z
变 换 的 性 质 （ 详 见 教 材 41 ）
结合常用Z变换对和Z变换的性质
例1 求下列两序列的卷积。
x(n) (n); h(n) a (n) a (n 1)
n n1
解：
z X ( z) ( z 1) 位移性 z 1 z z 1 z 1 H ( z) z (z a) za za za z z 1 z Y z X ( z)H ( z) = (z a) z 1 z a z a
第2章-2.5--逆z变换和留数法
因此：
x(n) x1(n) x2(n) 10(2n 1)u(n)
例
已知
X
(z)
(4
z2 z )( z
1
)
,
1 4
z
4，求z反变换。
4
解:
X (z) zn1
z n1
(4 z)(z 1 )
4
z 1）当n≥-1时, n1 不会构成极点，所以这时
C内只有一个一阶极点 zr
用极点限定其边界。
留数法求Z反变换
由留数定理可知：
1
2 j
X ( z) z n1dz
c
Re s[ X ( z ) z n1 ]z zk
k
积分可以表示为围线C内所包含F（Z）的
各极点留数之和
zk 为c内的第k个极点，Res[ ]表示极点处的留数。
Re s[F(z), zk ]zzk (z zk )gF(z) zzk
c
Re s[ X ( z) z n1]zzm
m
zk 为c内的第k个极点， zm 为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。
zk 为c内的第k个极点，zm 为c外的第m
个极点，Res[ ]表示极点处的留数。
F(z)的分母z阶次比分子阶次高二阶和二阶 以上。
例题练习
求X(Z)的反变换x(n)
X (z) 10 z (z 1)( z 2)
z 2
留数法： 收敛域是圆外区域，所以x(n)是右边序列
1、当n>=0时，X (z)zn1 在c内有两个极点
z1 1, z2 2
x1(n) Re s[ X (z)zn1,1] Re s[ X (z)zn1,2]
x(n) x1(n) x2(n) 10(2n 1)u(n)
例
已知
X
(z)
(4
z2 z )( z
1
)
,
1 4
z
4，求z反变换。
4
解:
X (z) zn1
z n1
(4 z)(z 1 )
4
z 1）当n≥-1时, n1 不会构成极点，所以这时
C内只有一个一阶极点 zr
用极点限定其边界。
留数法求Z反变换
由留数定理可知：
1
2 j
X ( z) z n1dz
c
Re s[ X ( z ) z n1 ]z zk
k
积分可以表示为围线C内所包含F（Z）的
各极点留数之和
zk 为c内的第k个极点，Res[ ]表示极点处的留数。
Re s[F(z), zk ]zzk (z zk )gF(z) zzk
c
Re s[ X ( z) z n1]zzm
m
zk 为c内的第k个极点， zm 为c外的第m个极点，
Res[ ]表示极点处的留数。
zk 为c内的第k个极点，zm 为c外的第m
个极点，Res[ ]表示极点处的留数。
F(z)的分母z阶次比分子阶次高二阶和二阶 以上。
例题练习
求X(Z)的反变换x(n)
X (z) 10 z (z 1)( z 2)
z 2
留数法： 收敛域是圆外区域，所以x(n)是右边序列
1、当n>=0时，X (z)zn1 在c内有两个极点
z1 1, z2 2
x1(n) Re s[ X (z)zn1,1] Re s[ X (z)zn1,2]
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F (Z )
ZkZZ
i i 0
n
i
假分式Z m , Z 0 ( k m); Z m , Z k m
可以求出F(Z)的逆变换f(k) Z2 例3： F (Z ) ，在
Z 1Z 2
Z 2, Z 1,1 Z 2时的原序列
式中各系数为：ki ( Z Z i ) Z Zi Z kn Z k1Z ...... 两边同时乘以Z得：F (Z ) k0 Z Z1 Z Zn 利用常用序列的Z变换：
1 (k ) Z , Z a a k (k ) Z a Z , Z a a k k 1 Z a
F (Z ) Z2 k1 k 2 解：由题意得： Z Z Z 1Z 2 Z 1 Z 2
其中： k1 ( Z 1)
F (Z ) Z 1 Z F (Z ) k 2 ( Z 2) Z 2 Z
1 3 2 3
则： F ( Z ) 1 Z 2 Z
k 1 1 1 k 0
0 2 2 2 k
k
注：已知象函数求出原函数不仅要注意F(Z)的形式还要注意其收 敛域。
一、幂级数展开法
：
步骤为：先由F(Z)的收敛域确定原序列的形式（因果反因果或双 边），然后再利用长除法将F(Z)展为幂级数，取其系数即可得到 Z2 f(k). Z 2, Z 1,1 Z 2 F (Z ) , ( Z 1)(Z 2) 例1：已知 求收敛域为 的Z 变换。 解:(1)F(Z)的收敛域为︱ z︱>2时,该序列为因果序列，利用长除 Z 1 法展为 的幂级数时F(Z)为降幂级数。
1 e x 1 x x 2 ...... 2
k 0
xk , x k!
，令
x
a Z
k 0
所以：
f (k )
ak (k ) k!
二、部分分式展开法 bm Z m bm 1Z m 1 ...... b0 B( Z ) F ( Z ) 设F(Z)为有理式,令 A( Z ) an Z n an 1Z n 1 ...... a0 ， 式中：m≤n；对上式两边同除Z得：
2 Z 1 1 1 3 F2 ( Z ) , Z 2 为反因果序列展开为： ...... Z 3 Z 2 Z Z 2 12 6 3
1 1 1 1 1 1 1 f (k ) ...... , , , , , , ...... 12 6 3 3 3 3 3
k=0 注意：这种方法一般不写出f(k)的闭合形式，另外也可利用其他幂 级数 的展开式求。（如下例所示） a 例2：已知： 求原序列f(k) F (Z ) e 2 , Z 0 解：因为序列的收敛域为︱Z︱>0, 所以该序列为因果序列
因为： 则：
k 0 a k a ( ) Z 0 k! k!
第三节
逆Z变换
本节研究求F(Z)的逆变换，既由象函数F(Z)求原序列f(k)的问 题。求逆变换的方法有三种：幂级数展开法、部分分式展开法和 反演积分（留数法）等，本节重点讨论最常用的部分分式展开法。 一般而言，双边序列法f(k)可分为因果序列 f1(k ) 和反因果序列 f 2 (k )两部分，当已知象函数F(Z)时，根据给定的收敛域分别求得 F1( Z ) 和 F2 ( Z ) 并分别求得它们的原序列，然后利用线性将二者相加就得 到F(Z)对应的原序列f(k)。因此本节重点研究因果序列象函数 的逆变换，显然那它是单边的变换 。 具体做法如下所示：
k 1) 即： f (k ) f1 (k ) f 2 (k ) f (k ) (k ) f (k ) ( f (k ) F ( Z ) Z [ f1 (k ) f 2 (k )] f (k ) Z k 双边序列： k 因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z 反因果序列： f (k ) F ( Z ) Z [ f (k )] f (k ) Z
F ( Z ) ...... 5 5 3 4 1 3 1 2 Z Z Z Z 0 16 8 4 2 5 3 1 1 f (k ) ...... , , , ,0 16 8 4 2
则：
(3) F(Z)的收敛域为 1<︱Z︱<2 时，序列为双边序列，不同收 敛域对应不同原序列。 具体作法如下：
具体作法如下： Z2 Z 2 Z2
f (k ) 1,1,3,5......
F (Z ) 1 Z 1 3Z 2 5Z 3 ......
即得如下结果： 则：
k=0 (2)F(Z)的收敛域为︱Z︱<1时，序列为反因果序列，利用长除法 1 展为 Z 的幂级数时为时幂级数。 具体做法如下： 2 Z Z 2 Z 2 即得如下结果：
将F(Z)进行分解可得:
2
1 2 Z Z Z 3 3 F (Z ) ,1 Z 2 ( Z 1)(Z 2) Z 1 Z 2 1 Z 1 1 1 1 2 1 3 3 Z Z Z ...... F1 ( Z ) , Z 1 为因果序列，展开为： 3 3 3 3 Z 1
F (Z ) B( Z ) Z ZA( Z )
1、
) Z( F Z
有单极点时：
) Z( F Z ) Z( F Z
不为真分式，先用除法得出常数项； 为真分式，直接将其展开；
kn F ( Z ) k0 k1 ...... Z Z Z Z1 Z Zn
i 0
n
ki Z Zi