微积分在中学数学教学中的应用

微积分在中学数学教学中的应用

摘要

微积分是高中数学新增加的内容，也是大学数学的重要的基础课程，内容包括导数和积分两个重要概念以及它们的应用；微积分是现代数学的基础，提供以直代曲，把非线性问题转化为线性问题解决的思维方式，在人类思想文化的发展中占有特殊的地位.

在高中阶段开设部分微积分的内容，不但是社会、经济、科学文化发展在数学课程上的要求，也是实现高中教育性目标和发展性目标的要求.微积分的内容，在我国高中数学课程内容中的选择和教学要求中，没有得到它应有的体现，难以满足我国社会、经济、科学文化高速的发展对它的要求和体现微积分自身的价值.对高中微积分的研究多数是中学是否开设微积分以及开设微积分的深度和广度的探讨.

论文立足于教材《全日制普通高级中学教科书数学》第三册（选修2—2）（人民教育出版社），从微积分产生的时代背景和历史意义出发，简要分析了国内外对微积分教学的研究现状和意义，论述了高中开设微积分知识的必要性和可行性，通过对高中微积分课程的主要内容的分析和研究，结合现代教育教学理论，归纳并总结了微积分在高中数学教学中的地位、作用和应用.并希望这些意见和建议对高中数学微积分的教学和发展具有一定的积极意义.

关键词：微积分；导数；应用

目录

1引言 (1)

2文献综述 (3)

2.1国内外研究现状 (3)

2.2国内外研究现状评价 (3)

2.3提出问题 (4)

3微积分在中学数学教学中的应用 (4)

3.1微积分与中学数学的联系 (4)

3.2微积分在中学数学中的地位和作用 (4)

3.3微积分在中学数学解题中的应用 (5)

3.3.1导数在求曲线的切线中的应用 (5)

3.3.2导数在不等式证明中的应用 (5)

3.3.3导数在恒等式证明中的应用的 (7)

3.3.4导数法在求函数极值、最大（小）值中的应用 (8)

3.3.5导数在几何上的应用 (11)

3.3.6导数在方程解的问题上的应用 (11)

3.3.7导数在数列问题中的应用 (11)

3.3.8运用微分学知识研究函数图像[4] (12)

4定积分在中学数学中的应用 (12)

4.1定积分在求曲边形面积上的应用 (13)

4.2积分在不等式证明中的应用 (13)

4.3定积分在组合恒等式证明中的应用 (13)

5提高现代数学教师数学修养的必要性、可行性 (14)

5.1提高现代数学教师修养的必要性 (14)

5.2提高现代数学教师修养的可行性 (14)

6结论 (14)

6.1主要发现 (14)

6.2启示 (15)

6.3局限性 (15)

6.4努力方面 (15)

参考文献 (16)

1引言

微积分的产生具有悠久的历史渊源.在中国，公元前4世纪前，恒团，公孙龙等提出的“一尺之锤，日取其半，万事不竭”；公园3世纪刘徽的“割圆术”和公元5—6世纪祖冲之、祖横对圆周率、面积和体积的研究（祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先地计算了地球的体积），都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲，公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究（穷竭法），也都包含着上述的萌芽.

欧洲文艺复兴之后，资本主义生产方式兴起，生产力有了较大发展.到了16世纪，由于航海、机械制造以及军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题.于是在数学中开始研究各种变化过程中的变化的量间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点.在伽利略等人的数学著作中，都包含着微积分的初步想法.

到了17世纪，生产的发展提出了许多技术上的新要求，而要实现技术要求必须有相应的科学知识，例如流体力学、机械力学等都有了突飞猛进的发展.在资本主义社会的商品生产中，贸易活动占有重要的地位，与此相关的海运事业迅速发展，向外扩张的军事需要，也促进了航海的发展.航海需要精确而方便地确定位置（经纬度）、预报气象，天文学因而发展起来，所有这些发展都对数学提出了新的要求，这些要求变现为一些急需解决的问题，可以分为一下四种类型：（1）球运动物体的瞬时速度和加速度.（2）已知曲线求其切线.（3）已知函数求函数的极大值和极小值.（4）求曲线的长度.这些问题都是17世纪时，其他科学，尤其是天文学和力学极其某些技术科学所提出的基本数学问题.

总之，到17世纪前叶，已经积累了许多关于微积分思想的成果，但微积分作为一门学科来发展，还是由于牛顿和莱布尼茨总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学，他们建立微积分的出发点都是直观无穷小量.

牛顿在数学上最卓越的贡献是创建微积分学，17世纪早期，数学家们已经建立起一系列求解无限小问题（诸如曲线的切线、曲率、极值，求运动的瞬时速度以及面积、体积、曲线长度以及物体重心的计算）的特殊方法.牛顿超越前人的功绩在于将这些特殊的技巧归结为一般的算法，特别是确立了微分与积分的逆运算关系（微积分基本定理）.

微积分的产生具有深远的历史意义.一方面，它极大地促进了数学科学的发展，丰富了数学科学的思想宝库，随着微积分的理论基础逐步完善，以微积分为基础的数学分析科学得到空前发展，建立了多种数学分支，如微分方程、积分方程、复变函数、拓扑

学、流形等.另一方面，微积分在力学、天文学以及物理和其它科学技术中的应用，极大地促进了以上科学的发展.

2文献综述

2.1国内外研究现状

国内，由于历史的原因，我国对微积分的教学研究和把微积分内容引入课堂相对比较滞后.自从1961年的大纲将微积分初步的知识纳入我国中学数学以后，广大的教育工作者在不同的时期，从不同的角度，利用不同的方法，对高中阶段微积分初步的教学目标、课程目的、内容选取、教材编排以及教学方法等一系列的问题进行了一定的理论探索和实践研究，取得了一定的成果.早在1983年，四川的孟季和老师就针对1978年的高中数学大纲编著了《中学微积分教材教法》[1]一书，对当时大纲中所列出的中学微积分内容进行了教学和教法的探讨.而在现阶段，大连教育学院的孙宏安教授、西北师范大学附属中学教师高维纵和扬州五中的特级教师袁桐等人，也分别从不同的角度对微积分课程内容的选择、教学和教法等进行了有益的探索.在这一研究领域中有影响的另外一些学者和研究集体，也都从不同的角度和层面进行了广发而深入的研究.这些集体和个人的研究中，有一些还是国家和地方教育研究的重要课题.可见，高中微积分课程和教学的探索是一个重要的研究领域.

国外，对微积分的教学研究较早，并且微积分的知识进入中学课本也较国内超前.早在20世纪初，德国著名数学家F·克莱因就主张微积分知识要进入中学.20世纪50年代末在美国兴起的“新数学”运动及后来60年代末在法国进行的“现代数学教育改革”运动，他们的主张之一就是要求中小学数学课程内容体现现代数学的发展，将微积分知识纳入中学数学课程.进入上个世纪80年代，各国又掀起了新一轮的微积分课程的改革.美、英、法、日、俄罗斯、韩国和我国的台湾地区等国家和地区都相继出版了新的针对高中阶段学生学习的微积分教材.例如，日本，文英堂，竹之内修，高等学校新编，数学II（1998）；我国台湾地区高中三年级学习使用的《理科数学》上、下册（1988）；英国，剑桥大学出版社SMP教材系列，纯数学（1997）；俄罗斯出版了由吉洪诺夫担任科学指导，阿利莫夫等主编的高中“代数与分析初步”（2000）等新编高中微积分教材，都在课程内容的选择、编制和教学上进行了有益的探索.

2.2国内外研究现状评价

文献分别就微积分在中学数学应用中的重要性及微积分在求导和曲边形面积的计算中的意义举例做了说明，文献中主要阐述微积分在中学数学解题中的几种应用方法，