ofdm基本原理总结要点

OFDM 基本原理概述
设OFDM 信号的符号周期为T ，当N 个子载波的频率之间的最小间
N 表示子信道的个数，T 表示OFDM 符号宽度，i d (i =0,1,…,N-1)是分配给每个子信道的数据符号，0f 是第0个子载波载波频率，则从t=s t 开始的OFDM 符号可以表示为
100exp 2()(),()0,N i s s s i i d j f t t t t t T s t T π-=⎧⎡⎤
+-≤≤+⎪⎢⎥=⎣⎦⎨⎪⎩
∑其它 它的等效基带信号是 1
()exp 2(),N i s s s i i s t d j t t t t t T T π-=⎡⎤
=-≤≤+⎢⎥⎣⎦∑ 式中实部和虚部分别对应于OFDM 符号的同相和正交分量，是集中可以分别与相应子载波
的余弦分量和正弦分量相乘，构成最终的子信道信号和合成的OFDM 符号。

信号解调，接收第k 路子载波信号
k d 与第k 路解调载波exp[2()]s j t t T
π--相乘，得到的结果在符号持续时间T 内进行积分，即可获得相应的发送信号k d
1^
0101exp 2()exp 2()1exp 2()s s s s N t T
k s i s t i N t T i s t i k k i d j t t d j t t dt T
T T i k d j t t dt T T d πππ-+=-+=⎡⎤⎡⎤
=
---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
-⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦
=∑⎰∑⎰
OFDM 复等效基带信号可以采用离散傅立叶逆变化(IFFT)方法来实现。

令s t =0，t=/kT N (k=0,1,….,N-1)， 即对s(t)以 T/N 的速率进行抽样可以得到
1
2()(/)exp N i i ki s k s kT N d j N π-=⎛⎫
== ⎪⎝⎭∑ 01k N ≤≤-
式中s(k)即为i d 的IDFT 运算。

接收端为恢复出原始的数据符号i d ，可以对s(k)进行DFT 运算，得到1
2()exp N i i ki d s k j N π-=⎛⎫
=
- ⎪⎝⎭∑ 01i N ≤≤-
OFDM 文章,时间连续系统模型时，发射机发射的第K 个载波波形时,
优----------OFDM 调制举例，假定子载波数量为8，在8个子载波上传送8个二进制数{1 1 1 -1 1 1 -1 1} IFFT 调制为
1111111
1
1)1)11))222
2
11
1111))1)1)111111
11
1
811)))1)2222
11111)1)11))2
2
2
2j j j j j j j
j j j j j j j j j j j j j j j
j j j j
j j j
j ⎡⎢⎢+-+-----⎢⎢----⎢⎢-+-+----⎢⎢⎢----⎢⎢---+-+⎢⎢----------++
⎣1
11111114
1))221))1081))221))j j
j j j j ⎤⎥
⎥⎡⎤⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥-⎢⎥
⎥⎢⎥⎥⎢⎥
⎥⎢⎥⎥⎢⎥
⎥-⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎦
⎡⎤
⎢⎥
+⎢⎥
⎢⎥+⎢⎥
⎢⎥
+=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥
-⎢⎥
⎢⎥
-⎢⎥
⎣
⎦
发送端模拟信号s （t ）与接收端的模拟信号r （t ）间的关系可表示为
max
()()(,)()
()(,)()
r t s t h t n t s t h t d n t τττττ=*+=
-+⎰
n(t)表示信道上的加性高斯白噪声，h(t, τ)表示t 时刻信道的冲击响应。

假定h(t, τ)在时间[0，s vT ]内取值，s T 为取样周期，v 为整数，满足max s vT τ≈。

如果接受端ADC 取样速率足够高，无混叠效应 0
()|
(,)[()](
)s v
k t k T
s s s m r r t h t m T s
k m T n k T ====-+∑
可以简写为0
v
k m k m
k m r h s
n -==
+∑。

矩阵表示0
11011110
1
11...0...
00...0.....
0
.
...k v k k k v k k k N v k N v k N r h h h s n r h h h s n r h h h s n ----+--+-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
记为
:1:1:1
k k N k k N v K k N r Hs n -+--+-+=+
当前符号输出信号不仅与当前输入信号有关，而且与前一符号块最后v 个输入信号有关，产
生了符号块间干扰ISI 。

将原符号块最后L （L>=V ）个信号放到原符号块的前部，构成N+L 新序列。

时域中原来发送信号与信道响应的线性卷积变为圆周卷积。

矩阵表示0
10
1110101110211120...0......00...0...0:
::::::
:0...
0........0...0.....0...0...::
:
:
:::: 0
...
v v k k k k m m
m m m
m k N k N m
h h h h h h r s r s
h h h h h h h h
h h h r s h h h h ------+-+⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢
⎥⎢⎥⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥
⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎣
⎦11..k k k N n n n --+⎡⎤⎥⎢⎥
⎥⎢⎥
⎥⎢⎥+⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎣⎦ 记为
:1:1:1k k N k k N K k N r Hs n -+-+-+=+
两边取DFT ，得k k k k y H x N =+
可见加入CP ，不仅消除ICI ，ISI ，且把信道变成N 个独立的并行子信道。

可以根据各个子
信道上具体情况，选择不同的调制方式，优化系统性能。

P80，时域内接收信号*n n n r h x η=+， n=1,2,….N c
Xn 是发射的时域符号。

表示成矩阵形式，r Xh η=+，其中r=(r1,r2,….,r Nc )T , h=(h1,h2,…..h L )T ,
L 为估计到的信道冲激响应的最大长度，除去循环前缀后，信道线性卷积转变为循环卷积矩
阵X
1122131231
21...........................c c c c c c c c c c
c c c N N N L N N L N N N N L N N N N L x x x x x x x x X x x x x x x x x --+-+-------+⎡⎤
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
以上参考文献《多载波宽带无线通信技术》 尹长川 北邮出版
基于循环前缀的定时估计算法
MLE 算法的原理是在己知接收到的信号条件下，计算(ξ,θ)在二维空间各种取值的后
验概率，选取后验概率最大时的ˆξ
、ˆθ分别作为频偏估计值和定时估计值，ξ表示相对频偏(实际频偏与相邻子载波频率间隔的比)，θ表示定时偏差，单位是抽样时间间隔，通过推导
可以得到如下的公式，令
(,)()()m m ξθγρφΛ=-
其中
1()G m N n n N n m
m r r γ+-*+==⋅∑
1221()()2G m N n n N n m
m r r φ+++==⋅+∑
1
SNR
SNR ρ=
+
定时偏差θ，频偏ξ的估计公式为：
ˆargmax((,))θθξ=Λ ˆξ
=1ˆ(())2angle γθπ
上式中，n r ——第n 个抽样点 N ——FFT 窗口长度 G N ——CP 长度
|.|表示求复数的幅度，*()⋅表示复数共扼，angle 表示求复数的相位，argmax 表示(,)ξθΛ达到最大时参数m 的值，SNR 是信噪比，可见MLE 算法需要估计信道的信噪比，()m γ是CP 与OFDM 符号中被复制部分的相关值，()m φ表示的是接收信号的能量值。

定时偏差θ的估计与频偏ξ无关，因为频偏的存在只是使()m γ偏转一个相位，取|.|后，频偏的影响就消除了。

MLE 算法可以采用迭代的方法来计算：
(1)()G
G
m N m N N m m N m m γγγγγγ**
+++++=+⋅-⋅
2
2
22
(1)()()/2G
G m N
m N N m m N m m r r r r φφ+++++=++-- (4-5)
(,)(1)(1)d m m ξγρφΛ=+-+
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0.5
时间(符号定时定位)
最大似然函数的输出
从A 1到A 10为周期性的短训练符号，同为16取样长度 C1，C2是长训练符号，其长度和一个OFDM 符号长度一样，同为64取样长度。

CP 为32的取样循环前缀以保证长训练符号C1，C2不受短训练符号的干扰扰的影响·
MIMO-OFDM系统中前导设计如图
注意:因为在一根天线发送S1S1
和S2
3.3.3 OFDM的信道估计与均衡
OFDM是一种很适合在多径环境中采用的传输方案。

从频域看，多径特性可以描述成频率选择性衰落，为了消除多径带来的ICI, ISI，提高BER性能，解决的办法是增加子载波数，使信道的延迟相对减少，使频率选择性衰落在每个子信道上变成平坦衰落。

但是增加子载波数同时意味着减小载波间距，而且对克服系统载波频偏及多普勒频偏、FFT规模大小等都提出了更高要求。

所以实际中采用均衡来消除多径的干扰。

在理想的符号同步及采样时钟同步条件下，接收端经过A/D采样及串并变换之后的接
收信号,是一个时域信号。

对于线性信道，在
最大信道时延扩展小于系统循环前缀时，各子载波信道之间严格正交。

去掉循环前缀中的L:个采样值也就去除ICI, ISI的影响。

然后对剩下的N个样值进行FFT变换，得到接收信号的频域形式系OFDM统的等效频域表达式为
信道的影响相当于对信号的频谱乘上一个复增益，各并行子信道的响应彼此独立。

所以可以很方便地对各个子信道进行频域均衡。

因为接收信号和发送信号之间只相差一个乘性因子，可以在各子信道上分别进行均衡，各子信道的接收信号被乘上一个校正因子。

一阶抽头滤波器结构的均衡器就可以满足要求，这对于接收端的复杂度时一个很大的简化。

当hi的变化相对于OFDM周期慢得多时，各子载波信号在各子信道上经历的是平坦衰落，还可以采用插入固定数据帧来进行快速的权值生成、调整。

在本文的仿真中，笔者采用基于训练序列的信道估计方案。

其思想是利用一段与信息符号长度相等的已知伪随机序列作为训练序列，与原符号帧一起通过信道:在接收端用原已知伪随机序列去除受到信道影响的接收信号即可得到信道的乘性因子。

用这个因子去除有用符号帧，可得到稳定的QAM星座图样，起到有效的信道估计作用。

基于训练序列前导的包检测
1
*
L n n k n k D k c r r
-+++==∑
2
1
1
*
L L n n k D n k D
n k D
k k p r
r
r --++++++====∑∑
()
2
2
n n n
m p c =
Coarse frequency offset estimation and correction
2tx s
j f nT n n y s e
π=
222()2tx s rx s tx rx s s
j f nT j f nT n n j f f nT n nT j f
n r s e e s e s e ππππ--===
()
1
*0
1
*
22()0122()*0
21
20
s
s
s
s
s
L n n D n L j f nT j f n D T n
n D
n L j f nT j f
n D T n n D
n L j f
DT n
n z r r s
e
s
e
s s e e e s
πππππ-+=-++=--++=--====
=∑∑∑∑f
^
1
2s
f z
DT π=-∠
OFDM 信号可以是实的，也可以是复的。

以楼主举的例子，取 32 个复数，再拼接上它们的共轭对称，这样做 IFFT 以后就得到实的 OFDM 信号。

如果要产生复数的 OFDM, 则直接取 64 个复数做 IFFT 。

做 IFFT 时，实际上第一个数 (一定是实数) 定义 DC 成份，第 (N/2+1) 个复数定义最高频率成分，最后面的 (N/2-1) 个复数定义负频率成分。

所以，IFFT 后的信号的频带是 (-fm, fm)。

然后，如果用基带传输，只能传实部，信号的带宽是 fm ；如果用通带 (即用 RF 载波) 传，还可以多传一个复部，但是信号的带宽是 2*fm ，所以频带的效率是一样的。

ifft([4,6-3*i,2-i,1-i,45,1+i,2+i,6+3*i],8)
ans =8.3750 -3.2840 6.1250 -5.5518 4.8750 -6.4660 5.1250 -5.1982
fft([1,2,3,4,5,6,7,8]) ans =36.0000 -4.0000 + 9.6569i -4.0000 + 4.0000i -4.0000 + 1.6569i -4.0000 -4.0000 - 1.6569i -4.0000 - 4.0000i -4.0000 - 9.6569i
(1) 为了产生纯实数的 OFDM 信号，通常的做法是从信息数据中取 N 个复数用以定义正频率部分 (0~fm)，再拼接它们的共轭对称以定义负频率部分 (-fm~0)。

然后做 IFFT ，得到 2N 点的实数信号，其频率范围是 (-fm, fm)。

这样产生的信号，传递 N 个复数信息数据。

如果用基带传输，带宽为 fm 。

如果用通带传输，带宽为 2fm 。

(2) 为产生复数的 OFDM 信号，则直接从信息数据中取 2N 个复数，直接做 IFFT 后得到复数的信号，再用 cosine 和 sine 载波分别传送实部和虚部。

与产生实数信号的过程相比，由于不需要产生共轭对称的频谱，负频率部分也被用来传送信息数据。

这时 RF 信号的带宽为 2fm ，传送 2N 个复数信息数据。

所以通带传输与基带传输的频带效率是一样的。

(3) lovewa 的问题源于一篇 IEEE 的文章里的方法。

该方法与上面的做法不同，所以令人迷惑。

它的做法是从信息数据中取 N 个复数，做 IFFT 后取出实部；在接受端，加倍采样，得到 2N 个实数，从中恢复出原来的 N 个信息数据。

由于只传输实部，不传送虚部， lovewa 的问题就是：能否利用通带传输中传输虚部的能力 (即用 sine 载波) 再传输一路信息，以提高信道频带的利用率。

(1) 一个实数时域信号，无论是用什么方法产生的，它的付氏变换一定是共轭对称的。

如果对这一点有疑问，请复习付氏变换的性质。

所以，当你对一个复数时域信号取出它的实部的时候，你已经使被取出的信号的付氏变换变成共轭对称的了。

(2) exp(j*2*pi*fn*t) 是一个复数时域信号。

它的付氏变换是位于fn 的一条谱线。

(3) exp(j*2*pi*fn*t) = cos(2*pi*fn*t) + j*sin(2*pi*fn*t)。

如果对exp(j*2*pi*fn*t) 取实部，将得到cos(2*pi*fn*t)。

(4) cos(2*pi*fn*t) 的付氏变换是位于-fn 和fn 的共轭对称的两条谱线，而不是一条。

(5) Cn*cos(2*pi*fn*t + Qn) 的付氏变换也是位于-fn 和fn 的共轭对称的两条谱线，而不是一条。

这里Cn 和Qn 都是实数。

(6) IFFT 的计算过程就是把N 个复数与N 个exp(j*2*pi*fn*t) 相乘，再加起来。

(7) 所以，对IFFT 的结果取实部后得到的是N 项Cn*cos(2*pi*fn*t + Qn) 之和。

其中的每一项都有两条谱线，一共有2N 条共轭对称的谱线。

(8) 这样的处理，其效果与方法(1) 中拼接共轭对称谱线的效果是一样的。

这个实数信号被送到信道上。

它的频带宽度与方法(1) 是一样的，而且同样传送N 个复数。

所以两者的频带效率是相同(9) 如果在通带中用cosine 传送这样的信号，可以同时用sine 再传另外一路信号，但是与基带传输相比，带宽增加一倍。

其频带效率与方法(2) 是相同的，并不能获得比方法(2) 高的频带效。