混沌理论及其在经济学中的发展

混沌理论及其在经济学中的发展
摘要:利用数学知识来解释经济现象和经济理论历来是经济研究的热点，但经济系统本身就是由多种因素相互作用的非线性系统，时间上的不可逆性、线路上的多重因果反馈环及不确定性使其具有非常复杂的非线性特征。

所以，改用非线性系统来研究经济学具有非常现实的意义。

而混沌理论就是数学非线性系统中的一颗奇葩。

因此，先介绍了混沌理论，并指出混沌经济系统的本质特征，然后总结了混沌经济学研究的发展及其意义。

关键词:混沌理论；混沌经济；研究；发展
1 混沌理论
混沌(chaos)是法国数学家庞加莱19世纪——20世纪之交研究天体力学时发现的，不过，由于当时牛顿力学在科学中占有统治地位，因而大多数数学家和物理学家都不理解。

由于长久以来世界各地的物理学家都在探求自然的秩序，而面对无秩序的现象如大气、骚动的海洋、野生动物数目的突然增减及心脏跳动和脑部的变化，却都显得相当无知。

这些大自然中不规则的部分，既不连续且无规律，在科学上一直是个谜。

1972年12月29日，美国数学家——混沌学开创人之一E.N.洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为《蝴蝶效应》的论文，提出一个貌似荒谬的论断:在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风。

用混沌学的术语来表述，那就是天气对初值的敏感依赖性，即天气是不可能长期预报的。

1986年，英国皇家学会在一次关于混沌的国际会议上提出了混沌的定义:数学上指在确定性系统中出现的随机状态。

混沌在之后的整个20世纪才被确定下来，有人把相对论、量子力学和混沌理论称为20世纪科学中的传世之作。

混沌作为一种复杂运动形式，其影响最大的时期是20世纪80年代到90年代。

从数学角度看，混沌是继不动点(平衡点、均衡点)、周期循环(极限环、周期运动)、拟周期运动(准周期运动)之后，另外一种新型的运动类型。

对初值的敏感性和无序中的有序是混沌的两个特性。

2 混沌经济系统
著名的美国经济学家诺贝尔经济学奖获得者保罗.A.萨缪尔森钟指出:“经济学的规律只是在平均意义上才是对的，它们并不表现为准确的关系。

”按照他的这种思想，在经济学领域里对混沌的理解和把握可以不必太拘泥于数学定义的苛刻与抽象，只需从平均意义上把握混沌的主要本质特征就可以了。

所以就“平均意义”而言，我们可以从混沌经济系统所具有的本质特征入手来进行综合判断。

2.1 积累效应
积累效应俗称蝴蝶效应，即系统演化对初始条件的敏感性。

在混沌出现的参数范围内，初始条件的一个微小误差在迭代过程中会不断的放大，不但使迭代结果变得极为不同，而目在近似随机的历经了整个吸引子以后，使得系统的长期预测变为不可能。

刚开始，许多人认为这是由于人的能力不够所造成的。

从客观上讲，在初始条件变化后的迭代过程中，确实存在两种误差:一种来自于物理量本身的测量误差。

任何测量都有误差，只是仪器越精密，误差会越小，但科学技术再发展也不可能造出一台绝对没有误差的仪器;另一种来自于计算机，即使计算出一个整数，它也可能在小数点若干零后加上一个尾巴。

同时在迭代过程中要把
第n次迭代的输出值作为第n+ 1次迭代输入值，在这个转换过程中总要进行四舍五入，这本身又要产生误差。

该误差在以后的迭代中也会被不断地放大，所以在整个迭代过程中包含了一个误差不断积累放大的过程。

由此看来，长期不可预测性好像是人的能力不够或是机器的精度不够所造成的。

但下面这样一个事实就会否定这一点，通过前面介绍可知，对于逻辑斯蒂迭代，在参数k>k∞时对初始条件敏感，而在k<k∞时对初始条件却并不敏感。

例如，在k1 < k< k2时，系统的长时间行为是趋于稳定的两点周期，这时上述产生误差的原因仍然都存在，即使产生的误差比较大也不会改变这种两点轮回的状态。

因为从任何允许的初始条件出发都会趋于这种稳定的状态，所以混沌对初始条件敏感性的本质不在于产生误差的原因，而是非线性系统本身的固有属性，是大自然的内在规律性。

2.2 内在随机性
混沌产生于确定性方程，有时又把混沌定义为确定性的内在随机性。

传统的方法总是千方白计地寻求微分方程的解，认为知道了微分方程的解就等于知道了一切，不但包括未来，还包括过去。

所以只要能写出微分方程的解，那么它一定是非混沌的。

正是这种观点掩盖了混沌再现的可能性，例如，对于逻辑斯蒂模型，很容易写出它的精确解，它是非混沌的，但当把逻辑斯蒂微分方程变为差分方程进行迭代时，它所包含的从被周期分叉到混沌等复杂性才被提示出来，所以，知道了微分方程的解并不等于知道了一切，且往往正是这种性质才掩盖了微分方程所包含的复杂性。

对于非线性微分方程能够求解的本来就极为稀少，而且对于绝大多数还要进行数值求解。

我们知道在实际计算中，数值求解需要把微分方程变为差分方程进行迭代，由于每次迭代都会由四舍五入产生误差，所以有人又把这种实际迭代称为随机迭代。

因为混沌对误差的敏感性不在于误差本身而在于系统本身固有的对误差的放大功能，在混沌产生的条件下，当迭代步骤足够大时，相点儿乎跑遍整个吸引子。

这样确切位置已变为不确定，因此，要作出长期预测就变为不可能，这是确定性方程所含有的内在随机性。

因此，确定性方程所产生的内在随机性的随机强度是随着迭代步数的增加而增加的，对于系统的短期行为可以预测，而对长期行为变为不可能。

2.3 奇怪吸引性
吸引子是系统的收敛表现，无论一个稳定的动态系统是否出现混沌，在多数情况下，都可以用一个吸引子来描述该系统的均衡状态或极限时间路径，一个非线性系统最终会演化为以下几种不同的吸引子:不动点吸引子、极限环和奇怪吸引子(也称为混沌吸引子或Lorenz吸引子)。

吸引不动点是将系统的行为收敛为一个静态的平衡点，极限环收敛为一个周期性或准周期性的行为，而奇怪吸引子则趋向不同于前二者的收敛行为，它具有分数维的吸引子，它是系统出现混沌的特征。

奇怪吸引子是一个不可数的点集，它使从其内部出发的所有时间路径仍留在该集合中，邻近的时间路径会被它所吸引，从该集合中出发的时间可能是非周期的，或者具有与事先任意选定所数值一样长的持续期。

2.4 不可叠加性
因混沌现象发生于非线性系统，所以，经济混沌系统不再具有线性系统所特有的叠加性。

所谓叠加性，是指现象系统中，各要素之间的比例关系和各要素间的合并或加和性。

如某些经济变量间的现象比例关系，一些复杂经济系统可看成一些简单子系统的叠加。

对于混沌经济系统而言，我们就不能再简单地认为系统各要素之间具有比例关系或是简单的加和关系。

2.5 自相似性
混沌经济系统本身与其子系统、孙子系统等不同层次在结构上具有的相似性和类似性，称为自相似性。

在一般情况下，它的几何结构不是传统意义上的维数，而是一种具有分数维的“分形”物，其维数不再是整数，而是分数。

如处于混沌阶段的股价指数就具有明显的分形特征，它的维数就是一个分数。

总而言之，混沌经济系统是具有积累效应的非线性系统的一种不规则的宏观上无序、微观上有序的运动状态。

所以混沌是对存在于非线性系统中的无序的研究，以混沌为基本观点的系统科学，提倡横向的跨学科研究，探索远离平衡态的、非线性的、不可逆的、自组织的客观过程，创造处理复杂性、不确定性、演化特性的新方法。

混沌中蕴含着有序，有序的过程中也可能出现混沌。

混沌解释了自然界的非周期与不可预测性问题，从而成为20世纪三大重要基础科学之一，即:相对论、量子力学与混沌。

3 混沌经济学的发展方向
国外的混沌经济学已涉及经济周期、货币、财政、股市、厂商供求、储蓄、跨代经济等几乎所有经济领域。

鲍莫尔和沃尔夫等人从微观经济角度研究了混沌经济问题1983年他们在考虑企业的研究开发支出水与企业生产增长率之间关系时发现，在R&D支出水平占企业销售收入的比例到达一定范围时，企业的生产增长率就会呈周期性或混沌态。

1985年，鲍莫尔和夸得特发表了论文“混沌模型及可预测性”，研究了利润与广告的关系模刑:Pt=ayt(1-Yt)式中Pt为t时的总利润，Yt为t时的广告支出.他们假定厂商按本期利润的一个固定比例b用于下期的广告支出，即Yt+1=b x Pt则在aXb=c的条件下，可得到Yt+1=c X Yt(1-Y t)；研究表明，这种关系模型经一段时间后，就会出现大幅度振荡，甚至出现混沌。

戴(R.Day，1982，1983)研究了包括人口净自然出生率、生产函数和平均工资收入的古典经济增长模型，在最大人口数量时的收入若低于维持最低生活水平所需的收入时，人口的变化将会出现混沌状态。

他和本哈比还研究了不同消费倾向将会产生不同的消费者行为:穷人的消费选择很可能是相当稳定的，而富人的消费行为则可能是周期波动的，甚至是混沌的。

博尔丁(Boldrin, 1988)的研究表明，经济现象的小规则波动是受到市场力、技术变革和消费倾向三者共同作用下经济系统内生决定的结果。

鲁塞等人以东欧集团国家的经济变革作了实证说明。

中央计划的社会主义经济既会出现周期性波动，也会出现混沌，而进入混沌的条件，往往也是将要发生经济制度变革之时。

1992年，底考斯持和米契尔研究了货币动力系统混沌问题。

布劳克(Brock, 1988)、沙因克曼和莱伯伦(Le Baron,1986)等人提出了用关联性、“搅拌”、“残差”等方法诊断经济时间序列的混沌性。

索耶斯巴雷特和费兰克(Frank)等人也都在股票证券、外汇交易、期货等市场产生高频经济数据的经济活动中找到了低维混沌吸引子。

这意味着只需少数几个经济变量就叫以描述这类复杂的经济现象。

在国内，1987年，旅美经济学学者陈平用实际数据，计算了分维，从宏观货币指数中发现了维数为1.5左右的奇怪吸引子。

自他将混沌经济学研究引入中国后，1992年杨培才等人在论文“经济混沌的实例及可预报性”中，用伦敦外汇市场发布的英镑对美元周平均汇率的时间序列作为原始数据，研究了外汇系统中的奇怪吸引子，推出了汇价变动的规律性及近期的可预报性。

1993年，王军等在“标准普尔500家指数(S&500)的混沌吸引子”一文中指出了S&500有一个混沌吸引子，其维数为 2.33，并论述了该吸引子对资本市场运动的意义。

刘洪在
《系统工程理论方法应用》论证了道格拉斯生产函数产生混沌的条件。

1994年，黄登仕、李后强在《非线性经济学的理论与方法》一书中.对经济系统中的分形特征作了较深入研究。

他们首次使用非线性经济学的一些统计方法、预测方法(BDS统计、R/S分析)对香港黄金价格、深圳股市价格等进行了预测和实证研究。

现在国内已有越来越多的学者从事混沌经济的研究工作。

如庄新田等运用混沌经济学的方法，对股票市场的流动性及交易群体数量变动问题进行分析，探讨如何实现市场的流动性和均衡状态。

王春峰、康莉等利用混沌经济学和向量自回归(VA R)方法，实证分析了我国通货紧缩的成因及发展趋势。

沈华嵩等根据中国国民经济的数据，提出确认经济混沌的理论模型。

4 总结与展望
今后经济混沌的研究应从两个方面加强:要扩大经济混沌的实证范围和提高实证的质量;要在经济系统的动力模型方面深入研究，以期在控制和预测方面有所突破。

混沌经济学的发展对经济学的贡献将是不可估量的，而且将会引起数理经济学及计量经济学的变革，从而可能在新的规范下建立包容已往各据一词的各个学派的统一经济理论，更好地解释现代经济的运行规律。

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