概率论与数理统计教程第四章PPT课件

三、 辛钦大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有
相同的数学期望 E X k(k 1 ,2 , ).对任意正数
, 有
1 lim P{ n n
n
Xk
k 1
} 1.
lim P{ 1
n n
n
Xk
k 1
} 0.
意义：当n很大时,独立同分布的随机变量的平均值
( 1
n
n
X k)
t2
e 2 dt (x).
2
意义：均值为,方差为2 0的独立同分布的随机
n
变量的和 X k 的标准化变量,当n充分大时,有
k 1
n
Xk n
Yn k1 n ~N(0,1)
（近似服从）
二、棣莫弗—拉普拉斯定理
设随机变量 ( n 1 , 2 , ) ~ B ( n ,p ) 0 ( p 1 ), n
为 p A
如果观测了n次，事件A发生了 n A 次，则当n
充分大时，A在次观测中发生的频率 fnAnA n
逐渐稳定到概率p 。
那么 lni mfnAp?
不对，若 lni m fnA p
则对于 0 ，总存在 N 0 ,当 n N 时，有
fnAp
成立。但若取 p , 由于
fnA 0 1pn0
对证明概率收敛很有用
if X n X 2 0 ,a s ,th e n X n q m X
当极限分布为点分布时，记为 Xn q mc
对应还有：L1收敛（converge to X in L1 ） if X n X 0 ,a s ,th e n X n L 1 X
lim
n
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一、 伯努利大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p,n次重复
独立,试有验中lim事P件{ An发A 生p的次 }数 1为. nA,则对任意正数
n
n
或 lim P{ nA p } 0.
n
n
二、 切比雪夫大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立,每个Xk的方差存在,且一
致有界，即存在常数c, 使得 D X c (k 1 ,2 , )
则对任意x,有
lim P {nnp
x
x}
n np(1p)
2 1et2 2dt (x).
显然
n
n
k 1
X
k
,
其中X1,
X2,‥,Xn独立同服从
B(n, p)
意义:当n充分大时,二项分布可用正态分布来近似.
考点与例题分析
考点一：有关切比雪夫不等式 考点二：大数定理 考点三：中心极限定理
考点一：有关切比雪夫不等式
k 1
依概率收敛于它的数学期望 .
§4.2随机变量序列的两种收敛性
一、依概 大数定律：样本均值依概率收敛 率收敛 于分布的期望 二、依分 中心极限定理：样本均值依分布 布收敛 收敛于正态分布
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一、依概率收敛
概率的频率解释：随着观测次数n的增加，频率将会 逐渐稳定到概率.设在一次观测中事件A发生的概率
Xn a .s.X
几乎处处收敛：比依概率收敛更强
各种收敛之间的关系
点分布，c为实数 Xc1
Quadratic mean (L2)
Point-mass distribution
probability
distribution
L1
反过来不成立！
almost surely
§4.3ຫໍສະໝຸດ Baidu心极限定理
一、列维—林德伯格定理
Ch4大数定律与中心极 限定理
随机事件在大量重复试验中中出现的频率 具有稳定性
教学内容与基本要求
§4.1 伯努利大数定理，切比雪夫大数定理，辛钦大数 定理
§4.2 随机变量序列的两种收敛性
§4.3 棣莫弗—拉普拉斯定理，列维—林德伯格定理
§4.1大数定律
一、 伯努利大数定理 二、 切比雪夫大数定理 三、 辛钦大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同
的数学期望和方差： n
E X k,D X k2 (k 1 ,2 , ).
则随机变量
X k n
Y k 1 n
的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布.即对任意x 满足
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n
Xk n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P{
k
1
n
x}
x
1
即无论N多大,在N以后,总可能存在n ,使 fn A 0 所以 fn A 不可能在通常意义下收敛于p。
二、依分布收敛
考虑随机序列 X1,X2...,Xn ，其中 Xn~N0,1n
直观：X n 集中在0处，X n 收敛到0
但
Xn0
Xn 2
（Chebyshev不等式）
1n
2 0
两种收敛的定义
令 X
1nkn1 Xk ,
k
则对任意正数, 有
1n
n l im P {X}n l im P {nk 1X k} 1 .
或 n l im P {X }n l im P {1 nkn 1X k} 0 .
意义：当n 很大时,相互独立方差一致有界的随机 变量的平均值依概率收敛于它的数学期望.
定义：令 X1,X2...,Xn为随机变量序列，X为另一 随机变量，用Fn表示Xn的CDF，用F表示X的
CDF
1、如果对每个 0 ，当 n 时，
Xn X
0
则Xn依概率收敛于X ，记为Xn P X 。 2、如果对所有F的连续点t，有
nlimFn t Ft
则Xn依分布收敛于X ，记为X n X 。
P{ X EX } DX , 2
P{ X EX } 1 DX .
1.粗略估计X在(E X ,E X )内2 的概率；
2.证明不等式.
例1 设随机变量X的数学期望EX=11,方差DX=9, 则根据切比雪夫不等式估计 P { 2X 2} 0_._
两种收敛的定义
当极限分布为点分布时，表示为
依概率收敛：
X c 1 , a n d X n P X , t h e n X n P c
依分布收敛：
X c 1 , a n d X n X , t h e n X n c
其他收敛
还有一种收敛：均方收敛（L2收敛， converge to X in quadratic mean）
XnX0
lim
n
XnX2
0
其他收敛
依概率收敛
lim
n
XnX0
或
lim
n
:X n X
0
随机变量序列 X1,X2...,X，n 当对任意 ， 0
或
lni m XnX0
:ln i m X n X 0
则称随机变量序列 X1,X2...,Xn,...几乎处处依概率收敛到X （converge almost surely to X） ，记为：