概率论与数理统计教程第四章PPT课件
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概率论与数理统计课件ppt
简化数据结构，解释变量间的关系。
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间
概率与统计第4章 ——概率论课件PPT
定理 4.1： 设 =g(X), g(X) 是连续函数， 若 X的分布律为 pk P{ X xk }
且 pk g( xk ) 绝对收敛，则 k 1
E() g( xk ) pk k 1 14
定理4.1的重要性在于计算随机变量的函数 Y=g(X)的数学期望E[g(X)]时，不必求出随 机变量Y的分布律，可由随机变量X的分布 律直接计算E(Y)，应用起来比较方便。
随机变量的概率分布完整地描述了随机变量 的统计规律，但是在实际问题中求得随机变量 的概率分布并不容易，而且对某些问题来说， 只需要知道它的某些特征就够了，不一定非要 求出概率分布。
我们把刻画随机变量某些方面特征的数值 称为随机变量的数字特征。本章主要有： 数学期望，方差，协方差，相关系数和矩。
2
4.1 数学期望
0
1 20
1
2 20
9 2 10 20
1 20
10 i0
xi
fi
以频率为权数的加权平均
3
引例 2：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai
k
分， i 1,2,k ， ni N ， 求平均成绩。
i 1
解： 平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X 表示成绩，则
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，
若积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称积分
xf ( x)dx 的值为X的数学期望。
记为E(X) = xf ( x)dx
数学期望也称为均值。
19
例4.4 设随机变量X 的密度函数为
f
x
x
2
e
x2 2 2
且 pk g( xk ) 绝对收敛，则 k 1
E() g( xk ) pk k 1 14
定理4.1的重要性在于计算随机变量的函数 Y=g(X)的数学期望E[g(X)]时，不必求出随 机变量Y的分布律，可由随机变量X的分布 律直接计算E(Y)，应用起来比较方便。
随机变量的概率分布完整地描述了随机变量 的统计规律，但是在实际问题中求得随机变量 的概率分布并不容易，而且对某些问题来说， 只需要知道它的某些特征就够了，不一定非要 求出概率分布。
我们把刻画随机变量某些方面特征的数值 称为随机变量的数字特征。本章主要有： 数学期望，方差，协方差，相关系数和矩。
2
4.1 数学期望
0
1 20
1
2 20
9 2 10 20
1 20
10 i0
xi
fi
以频率为权数的加权平均
3
引例 2：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai
k
分， i 1,2,k ， ni N ， 求平均成绩。
i 1
解： 平均成绩为:
1 N
k
ai ni
i 1
k
ai
i 1
ni N
若用 X 表示成绩，则
设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，
若积分 xf (x)dx 绝对收敛，则称积分
xf ( x)dx 的值为X的数学期望。
记为E(X) = xf ( x)dx
数学期望也称为均值。
19
例4.4 设随机变量X 的密度函数为
f
x
x
2
e
x2 2 2
海南大学《概率论与数理统计》课件 第四章 随机变量及其分布
例如：X 0 取出的n个产品中没有次品；
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
X 3 取出的n个产品中至多有3个次品；
X 3 取出的n个产品中有超过3个的次品.
8
关于随机变量的补充说明
• 引入随机变量之后, 可以更方便地表示事件。 • 随机变量的确定不仅与样本空间有关, 也与试验
的研究目的有关。 • 随机变量满足函数的单值对应关系。 • 随机变量不仅有取值的不同, 取到这些值的概率
②正则性： p( xi ) 1 . i 1
这两条性质也是随机变量分布列的充要条件。
由概率的意义和随机变量的完备性容易证明。
25
二、离散型随机变量的分布函数
由分布列可以写出其分布函数 F ( x) P( xi ) xi x
它的图形是有限（或无穷）级数的阶梯函数〔右连续 〕
F(x)
1
0
x
26
27
X的分布列为
X1 2 3 P 0.6 0.3 0.1
X的分布函数为
0, x 1; 0.6, 1 x 2; F ( x) 0.9, 2 x 3; 1 , x 3.
注意：由分布列求分布函数是概率累加的过程.
并且，总有： 当x xmin时，F ( x) 0; 当x xmax时，F ( x) 1.
解 (1) 根据分布函数的性质可知
F() 1, F() 0
依题意可得
18
F() A π B 1 2
F() A π B 0 2
联立上面两个方程可以解得 A 1,B 1 2π
(2) 随机变量 X 落在(-1,1)内的概率可以表示为
P{1 X 1} F (1 0) F (1)
P{a X b} F(b 0) F(a 0);
P{a X b} F(b 0) F(a).
概率论与数理统计(浙大版)第四章课件PPT课件
10
10
10
x
14166.7(元）
第15页/共84页
数学期望的特性：
1.设C是常数，则有E(C) C 2.设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX ) CE(X )
3.设X ,Y是两个随机变量，则有E(X Y) E(X ) E(Y)
将上面三项合起来就是：E(aX bY c) aE(X ) bE(Y) c 4.设X ,Y是相互独立的随机变量，则有E(XY) E(X )E(Y)
其余同理可得，于是Y的分布率为：
期望利润Y 是多少 2？ 0
5 10
pk 0.057 0.205 0.410 0.328
于是 E(Y ) 5.21（ 6 万元）
第6页/共84页
例5：设 X (),求E(X )。
解：X的分布律为：P(X k) ke k 0,1,
k! X的数学期望为：
E( X ) k ke
第1页/共84页
§1 数学期望
例1：甲、乙两人射击比赛，各射击100次，其中甲、乙的
成绩
如下：
甲 8 9 10
次数 10 80 10
乙 8 9 10
次数 20 65 15
解：计算评甲的定平他均成们绩的：成
绩
好
810
坏。
980 100
1010
8
10 100
9
80 100
10
10 100
9
计算乙的平均成绩：
也称为均值(加权均值)。
第2页/共84页
定义：设离散型随机变量X的分布律为：P( X xk ) pk k 1, 2,
若级数 xk pk绝对收敛，则称级数 xk pk的和为随机变量X
k 1
概率论与数理统计 4-3
第四章随机变量的数字特征第三节协方差及相关系数一、协方差与相关系数的概念及性质二、相关系数的意义三、小结第四章随机变量的数字特征一、协方差与相关系数的概念及性质1、问题的提出两个二维随机变量的分布状况问a,b应如何选择，可使aX+b最接近Y？接近的程度又应如何来衡量？设e=E[Y−(a+bX)2]则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度.当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好.确定a,b的值，使e达到最小.若随机变量X和Y相互独立，那么D(X+Y)=D(X)+D(Y).若随机变量X和Y不相互独立D(X+Y)=?D(X+Y)=E X+Y2−E(X+Y)2=D(X)+D(Y)+2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}.2. 定义量E X−E X Y−E Y称为随机变量X与Y的协方差，记为Cov X,Y即C ov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}而ρXY=) Cov(X,Y)D(X⋅)D(Y称为随机变量X与Y的相关系数.3. 说明(1) X和Y的相关系数又称为标准协方差，它是一个无量纲的量.(2) 若随机变量X和Y相互独立⇒Cov(X,Y)=E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=E[X−E(X)]E[Y−E(Y)]=0(3) 若随机变量X和Y相互独立⇒D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X−E(X)][Y−E(Y)]}=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)=D(X)+D(Y).4. 协方差的计算公式(1) Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y);(2) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y).5. 性质(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b为常数;(3)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).例1：设(X,Y)~N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)，试求X 与Y 的相关系数.结论(1) 二维正态分布密度函数中，参数ρ代表了X与Y的相关系数；(2) 二维正态随机变量X与Y相关系数为零等价于X与Y相互独立.二维正态随机变量(X,Y)的概率密度曲面与相关系数ρXY=ρ的关系.例2：二维随机变量(X,Y)分别服从N(1,32),N(0,42),ρXY=−Τ12,设Z=ΤY2.X3+Τ1.求Z的数学期望和方差.2.求X与Z的相关系数.3.问X与Z是否相互独立?为什么?二、相关系数的意义1.问题的提出问a,b 应如何选择，可使aX+b最接近Y？接近的程度又应如何来衡量？设e=E[Y−(a+bX)2]则e可用来衡量a+bX近似表达Y的好坏程度.当e的值越小，表示a+bX与Y的近似程度越好.确定a,b的值，使e达到最小.2. 相关系数的意义当|ρXY|较大时e较小，表明X,Y的线性关系联系较紧密.当|ρXY|较小时，X,Y线性相关的程度较差.当ρXY=0时，称X和Y不相关.例3：设θ服从[0,2π]的均匀分布，ξ=cosθ,η=cos(θ+a),这里a是常数，求ξ和η的相关系数，并判断其独立性?动画演示ξ与η的相关关系.3. 注意(1) 不相关与相互独立的关系↚⇎相互独立不相关(2) 不相关的充要条件1.X,Y不相关⇔ρXY=0;2.X,Y不相关⇔Cov(X,Y)=0;3.X,Y不相关⇔E(XY)=E(X)E(Y).4. 相关系数的性质1.|ρXY|≤1.2.|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a,b使P{Y=a+bX}=1.三、小结相关系数的意义当|ρXY|较大时，X,Y的线性相关程度较高.当|ρXY|较小时，X,Y的线性相关程度较差.当ρXY=0时，X和Y不相关.复习题•一、判断题1.E XY=E X E(Y)是随机变量X,Y相互独立的充分而非必要条件（）2.对二维随机变量(X,Y)来说，X,Y不相关的充要条件是其相互独立（）3.随机变量X,Y相互独立，它们取1和-1的概率均为0.5，则X=Y.（）4.随机变量X,Y不相关，则E XY=E X E(Y). （）•二、填空题1.随机变量X,Y 相互独立，则Cov X,Y =______,ρXY =_________.2.若X,Y ~N(μ1,μ2,σ12,σ22,0.5)，则ρXY =_______。
概率论与数理统计第四章
)
(
)
(
)
,
(
Y
D
X
Dபைடு நூலகம்
Y
X
Cov
xy
=
r
=4[E(WV)]2-4E(W2)×E(V2)≤0
01
得到[E(WV)]2≤E(W2)×E(V2). →(8)式得到证明.
02
设W=X-E(X),V=Y-E(Y),那么
03
其判别式
由(9)式知, |ρ xy|=1 等价于 [E(WV)]2=E(W2)E(V2). 即 g(t)= E[tW-V)2] =t2E(W2)-2tE(WV)+E(V2) =0 (10) 由于 E[X-E(X)]=E(x)-E(X) =0, E[Y-E(Y)]=E(Y)-E(Y) =0.故 E(tW-V)=tE(W)-E(V)=tE[X-E(X)]-E[Y-E(Y)]=0 所以 D(tW-V)=E{[tW-V-E(tW-V)]2}=E[(tW-V)2]=0 (11) 由于数学期望为0,方差也为0,即(11)式成立的充分必要条件是 P{tW-V=0}=1
随机变量X的数学期望是随机变量的平均数.它是将随机变量 x及它所取的数和相应频率的乘积和.
=
(1)
)
2
3
(
)
(
-
=
ò
µ
µ
-
dx
x
x
E
j
x
可见均匀分布的数学期望为区间的中值.
例2 计算在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量 的数学期望
泊松分布的数学期望和方差都等于参数λ.
其他
02
f(x)=
01
（4-6）
03
（4）指数分布
概率统计第四章的幻灯
三、正态总体下的常用统计量的分布
定理1 若 X1,X 2,, X n 是取自正态总体 N (, 2 ) 的 样本，则有：
(1)
X
1 n
n i 1
X
i~
N (, 2 )
n
(5) X ~ t(n 1)
S/ n
(2) U X ~ N (0,1)
(3)
/ n
1
n
nS
2 n
(n
1)S 2
(Xi X)2
i 1
三、正态总体下的常用统计量的分布
统计量是随机变量，在研究数理统计问 题时，往往需要讨论所研究的统计量的分 布，它对统计方法的应用起着举足轻重的 作用，通常称统计量的分布为抽样分布。 在实际问题中用正态随机变量来刻划的随 机现象比较普遍，因此，在下面的讨论中 ，总是假定总体服从正态分布。
《概率统计》
第四章 参数估计与假设检验
主要内容
第四章 参数估计与假设检验
第一节 数理统计基础与抽样分布 第二节 点估计 第三节 区间估计 第四节 假设检验
第一节 数理统计基础与抽样分布
一、总体、个体与样本 二、统计量与样本矩 三、正态总体下的常用统计量的分布
一 总体、个体与样本
我们知道，虽然从理论上讲，对随机变量 进行大量的观测，被研究的随机变量的概率特 征一定能显现出来，可是实际进行的观测次数 只能是有限的，有的甚至是少量的。
1 n
n i 1
xi
(2)
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
X
2 i
2
nX
概率论与数理统计教程第四章优秀PPT
k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
概率论与数理统计PPT课件第四章数学期望与方差
回归分析
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
在回归分析中，数学期望和方差 等统计指标用于描述因变量和自 变量之间的关系，以及预测未来
的趋势。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差等 统计指标用于比较两组数据或样本 的差异，判断是否具有显著性。
方差分析
方差分析利用数学期望和方差等统 计指标，分析不同组别或处理之间 的差异，确定哪些因素对数据变化 有显著影响。
质量控制
统计分析
在统计分析中，方差分析是一种常用 的统计方法，通过比较不同组数据的 方差，可以判断它们是否存在显著差 异。
在生产过程中，方差用于度量产品质 量波动的程度，通过控制产品质量指 标的方差，可以提高产品质量稳定性。
03
期望与方差的关系
期望与方差的关系式
期望值是随机变量取值的平均数 ，表示随机变量的“中心趋势”
方差的性质
方差具有可加性
当两个随机变量相互独立时，它们组 合而成的随机变量的方差等于它们各 自方差的线性组合。
方差与期望值的关系
方差与期望值之间存在一定的关系， 如方差等于期望值减去偏差的平方和 再求平均值。
方差的应用
风险评估
在金融和经济学中，方差被用来度量 投资组合的风险，通过计算投资组合 中各个资产的方差和相关系数，可以 评估投资组合的整体风险。
期望与方差的拓展
期望与方差在金融中的应用
金融风险评估
利用数学期望和方差计算 金融资产的风险，评估投 资组合的风险和回报。
资产定价
利用数学期望和方差等统 计指标，对金融资产进行 定价，确定其内在价值。
保险精算
通过数学期望和方差等统 计方法，评估保险产品的 风险和回报，制定合理的 保费和赔付方案。
期望与方差在统计学中
期望与方差在其他领域的应用
概率论与数理统计ppt课件
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
*
例1：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一红一黄}，求P(A)． 解：
（注：当L>m或L<0时，记 ）
例2：有N件产品，其中D件是次品，从中不放 回的取n件， 记Ak＝{恰有k件次品}，求P(Ak)． 解：
*
第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望 4.2 方差 4.3 协方差及相关系数 4.4 矩、协方差矩阵 第五章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 第六章 数理统计的基本概念 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
*
第七章 参数估计 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计 第八章 假设检验 8.1 假设检验 8.2 正态总体均值的假设检验 8.3 正态总体方差的假设检验 8.4 置信区间与假设检验之间的关系 8.5 样本容量的选取 8.6 分布拟合检验 8.7 秩和检验 第九章 方差分析及回归分析 9.1 单因素试验的方差分析 9.2 双因素试验的方差分析 9.3 一元线性回归 9.4 多元线性回归
解： 设 Ai={ 这人第i次通过考核 }，i=1,2,3 A={ 这人通过考核 }，
亦可：
*
例：从52张牌中任取2张，采用(1)放回抽样，（2）不放 回抽样，求恰是“一红一黑”的概率。
利用乘法公式
与 不相容
（1）若为放回抽样：
（2）若为不放回抽样：
解： 设 Ai={第i次取到红牌}，i=1,2 B={取2张恰是一红一黑}
①
②
①
1 2 N
①
②
1 2 N
……
概率论与数理统计ppt课件(完整版)
*
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
华东理工大学概率论与数理统计课件第四章解读
1 n lim P X i 1 n n i 1
注意 辛钦大数定理成立的条件中只需 X i的数学 期望存在；而当 X i 的方差存在时，其即为切比雪夫大 数定理的直接推论. 大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础.
返回
例1.
k 互相独立随机变量序列，且
证: 由切比雪夫不等式：P X EX 1
1 1 P X i EX i 1 n i 1 n i 1
n n
D( X )
n
2
得
D( 1 X i ) n i 1
n
2
1
D( X i )
n
i 1 2 2
1
3 k 1 2 3 k 1 2
i
k 的分布
(k=1,2, …),
试证大数定理成立. 解： k 互相独立，且
1
E k 0
2 3
D k k
1 0
3 2
n
2
D( i )
1
n
1
n
2
k
1
n
nn n2
2 3
n
1 3
(n )
14 100 14 86 30 100 30
70
20 20 20 20 P e e 14! 30! 0.0387 0.0083
14
30
返回
例5 某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修 的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以99%的概 率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。
解 设Xi(i=1,2,…,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则 X1,X2,…,Xn独立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令 Yn X i ,
注意 辛钦大数定理成立的条件中只需 X i的数学 期望存在；而当 X i 的方差存在时，其即为切比雪夫大 数定理的直接推论. 大数定理是参数估计和假设检验的重要理论基础.
返回
例1.
k 互相独立随机变量序列，且
证: 由切比雪夫不等式：P X EX 1
1 1 P X i EX i 1 n i 1 n i 1
n n
D( X )
n
2
得
D( 1 X i ) n i 1
n
2
1
D( X i )
n
i 1 2 2
1
3 k 1 2 3 k 1 2
i
k 的分布
(k=1,2, …),
试证大数定理成立. 解： k 互相独立，且
1
E k 0
2 3
D k k
1 0
3 2
n
2
D( i )
1
n
1
n
2
k
1
n
nn n2
2 3
n
1 3
(n )
14 100 14 86 30 100 30
70
20 20 20 20 P e e 14! 30! 0.0387 0.0083
14
30
返回
例5 某校有4900个学生，已知每天每个学生去阅览室自修 的概率为0.1,问阅览室要准备多少座位，才能以99%的概 率保证每个去阅览室自修的学生都有座位。
解 设Xi(i=1,2,…,n)为装运的第i箱的重量,n是所求的箱数.则 X1,X2,…,Xn独立同分布, EXi=50, DXi=52=25,令 Yn X i ,
概率论与数理统计自学课件 第四章
0 0
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？
1 E ( X ) E (Y ) 3
三、数学期望的性质 1. 设C 是常数，则E(C )=C ; 2. 若C 是常数，则E(CX ) = CE(X ); 3. E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) 证明: 设 X .Y ~ f x, y
例6. 设某公共汽车站于每小时的10分, 50分发车, 乘客在每小时内任一时刻到达车站是随机的。求 乘客到达车站等车时间的数学期望。 则 T ~ U [0 , 60] 解: 设T 为乘客到达车站的时刻(分)，
1 , 0 t 60, 其概率密度为 f t 60 其它. 0,
4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y ); 证明: 设 X .Y ~ f x, y 注：该性质不是充要条件
2
115 100 ) P{Y 5000} P{T 115} 1 ( 5 1 3 0.0013
P{Y 1000} P{100 T 115} 0.4987
已求出:
P{Y 5000} 0.0013 P{Y 1000} 0.4987 P{Y 10000} P{0 T 100} (0) (20) 0.5 0 0.5
第四章 随机变量的数字特征
一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第一节 数学期望
一 、数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质 四、几种离散型分布的期望 五、几种连续型分布的期望
第四章
一、数学期望的概念
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4
求：一次游戏平均得多少钱？
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Xn a .s.X
几乎处处收敛：比依概率收敛更强
各种收敛之间的关系
点分布，c为实数 Xc1
Quadratic mean (L2)
Point-mass distribution
probability
distribution
L1
反过来不成立！
almost surely
§4.3中心极限定理
一、列维—林德伯格定理
返回目录
一、 伯努利大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p,n次重复
独立,试有验中lim事P件{ An发A 生p的次 }数 1为. nA,则对任意正数
n
n
或 lim P{ nA p } 0.
n
n
二、 切比雪夫大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立,每个Xk的差存在,且一
致有界，即存在常数c, 使得 D X c (k 1 ,2 , )
t2
e 2 dt (x).
2
意义：均值为,方差为2 0的独立同分布的随机
n
变量的和 X k 的标准化变量,当n充分大时,有
k 1
n
Xk n
Yn k1 n ~N(0,1)
（近似服从）
二、棣莫弗—拉普拉斯定理
设随机变量 ( n 1 , 2 , ) ~ B ( n ,p ) 0 ( p 1 ), n
XnX0
lim
n
XnX2
0
其他收敛
依概率收敛
lim
n
XnX0
或
lim
n
:X n X
0
随机变量序列 X1,X2...,X，n 当对任意 ， 0
或
lni m XnX0
:ln i m X n X 0
则称随机变量序列 X1,X2...,Xn,...几乎处处依概率收敛到X （converge almost surely to X） ，记为：
为 p A
如果观测了n次，事件A发生了 n A 次，则当n
充分大时，A在次观测中发生的频率 fnAnA n
逐渐稳定到概率p 。
那么 lni mfnAp?
不对，若 lni m fnA p
则对于 0 ，总存在 N 0 ,当 n N 时，有
fnAp
成立。但若取 p , 由于
fnA 0 1pn0
对证明概率收敛很有用
if X n X 2 0 ,a s ,th e n X n q m X
当极限分布为点分布时，记为 Xn q mc
对应还有：L1收敛（converge to X in L1 ） if X n X 0 ,a s ,th e n X n L 1 X
lim
n
三、 辛钦大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有
相同的数学期望 E X k(k 1 ,2 , ).对任意正数
, 有
1 lim P{ n n
n
Xk
k 1
} 1.
lim P{ 1
n n
n
Xk
k 1
} 0.
意义：当n很大时,独立同分布的随机变量的平均值
( 1
n
n
X k)
Ch4大数定律与中心极 限定理
随机事件在大量重复试验中中出现的频率 具有稳定性
教学内容与基本要求
§4.1 伯努利大数定理，切比雪夫大数定理，辛钦大数 定理
§4.2 随机变量序列的两种收敛性
§4.3 棣莫弗—拉普拉斯定理，列维—林德伯格定理
§4.1大数定律
一、 伯努利大数定理 二、 切比雪夫大数定理 三、 辛钦大数定理
两种收敛的定义
当极限分布为点分布时，表示为
依概率收敛：
X c 1 , a n d X n P X , t h e n X n P c
依分布收敛：
X c 1 , a n d X n X , t h e n X n c
其他收敛
还有一种收敛：均方收敛（L2收敛， converge to X in quadratic mean）
若X1, X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同
的数学期望和方差： n
E X k,D X k2 (k 1 ,2 , ).
则随机变量
X k n
Y k 1 n
的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布.即对任意x 满足
返回目录
n
Xk n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P{
k
1
n
x}
x
1
P{ X EX } DX , 2
P{ X EX } 1 DX .
1.粗略估计X在(E X ,E X )内2 的概率；
2.证明不等式.
例1 设随机变量X的数学期望EX=11,方差DX=9, 则根据切比雪夫不等式估计 P { 2X 2} 0_._
k 1
依概率收敛于它的数学期望 .
§4.2随机变量序列的两种收敛性
一、依概 大数定律：样本均值依概率收敛 率收敛 于分布的期望 二、依分 中心极限定理：样本均值依分布 布收敛 收敛于正态分布
返回目录
一、依概率收敛
概率的频率解释：随着观测次数n的增加，频率将会 逐渐稳定到概率.设在一次观测中事件A发生的概率
定义：令 X1,X2...,Xn为随机变量序列，X为另一 随机变量，用Fn表示Xn的CDF，用F表示X的
CDF
1、如果对每个 0 ，当 n 时，
Xn X
0
则Xn依概率收敛于X ，记为Xn P X 。 2、如果对所有F的连续点t，有
nlimFn t Ft
则Xn依分布收敛于X ，记为X n X 。
令 X
1nkn1 Xk ,
k
则对任意正数, 有
1n
n l im P {X}n l im P {nk 1X k} 1 .
或 n l im P {X }n l im P {1 nkn 1X k} 0 .
意义：当n 很大时,相互独立方差一致有界的随机 变量的平均值依概率收敛于它的数学期望.
则对任意x,有
lim P {nnp
x
x}
n np(1p)
2 1et2 2dt (x).
显然
n
n
k 1
X
k
,
其中X1,
X2,‥,Xn独立同服从
B(n, p)
意义:当n充分大时,二项分布可用正态分布来近似.
考点与例题分析
考点一：有关切比雪夫不等式 考点二：大数定理 考点三：中心极限定理
考点一：有关切比雪夫不等式
即无论N多大,在N以后,总可能存在n ,使 fn A 0 所以 fn A 不可能在通常意义下收敛于p。
二、依分布收敛
考虑随机序列 X1,X2...,Xn ，其中 Xn~N0,1n
直观：X n 集中在0处，X n 收敛到0
但
Xn0
Xn 2
（Chebyshev不等式）
1n
2 0
两种收敛的定义
几乎处处收敛：比依概率收敛更强
各种收敛之间的关系
点分布，c为实数 Xc1
Quadratic mean (L2)
Point-mass distribution
probability
distribution
L1
反过来不成立！
almost surely
§4.3中心极限定理
一、列维—林德伯格定理
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一、 伯努利大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p,n次重复
独立,试有验中lim事P件{ An发A 生p的次 }数 1为. nA,则对任意正数
n
n
或 lim P{ nA p } 0.
n
n
二、 切比雪夫大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立,每个Xk的差存在,且一
致有界，即存在常数c, 使得 D X c (k 1 ,2 , )
t2
e 2 dt (x).
2
意义：均值为,方差为2 0的独立同分布的随机
n
变量的和 X k 的标准化变量,当n充分大时,有
k 1
n
Xk n
Yn k1 n ~N(0,1)
（近似服从）
二、棣莫弗—拉普拉斯定理
设随机变量 ( n 1 , 2 , ) ~ B ( n ,p ) 0 ( p 1 ), n
XnX0
lim
n
XnX2
0
其他收敛
依概率收敛
lim
n
XnX0
或
lim
n
:X n X
0
随机变量序列 X1,X2...,X，n 当对任意 ， 0
或
lni m XnX0
:ln i m X n X 0
则称随机变量序列 X1,X2...,Xn,...几乎处处依概率收敛到X （converge almost surely to X） ，记为：
为 p A
如果观测了n次，事件A发生了 n A 次，则当n
充分大时，A在次观测中发生的频率 fnAnA n
逐渐稳定到概率p 。
那么 lni mfnAp?
不对，若 lni m fnA p
则对于 0 ，总存在 N 0 ,当 n N 时，有
fnAp
成立。但若取 p , 由于
fnA 0 1pn0
对证明概率收敛很有用
if X n X 2 0 ,a s ,th e n X n q m X
当极限分布为点分布时，记为 Xn q mc
对应还有：L1收敛（converge to X in L1 ） if X n X 0 ,a s ,th e n X n L 1 X
lim
n
三、 辛钦大数定理
若X1, X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有
相同的数学期望 E X k(k 1 ,2 , ).对任意正数
, 有
1 lim P{ n n
n
Xk
k 1
} 1.
lim P{ 1
n n
n
Xk
k 1
} 0.
意义：当n很大时,独立同分布的随机变量的平均值
( 1
n
n
X k)
Ch4大数定律与中心极 限定理
随机事件在大量重复试验中中出现的频率 具有稳定性
教学内容与基本要求
§4.1 伯努利大数定理，切比雪夫大数定理，辛钦大数 定理
§4.2 随机变量序列的两种收敛性
§4.3 棣莫弗—拉普拉斯定理，列维—林德伯格定理
§4.1大数定律
一、 伯努利大数定理 二、 切比雪夫大数定理 三、 辛钦大数定理
两种收敛的定义
当极限分布为点分布时，表示为
依概率收敛：
X c 1 , a n d X n P X , t h e n X n P c
依分布收敛：
X c 1 , a n d X n X , t h e n X n c
其他收敛
还有一种收敛：均方收敛（L2收敛， converge to X in quadratic mean）
若X1, X2,‥,Xn相互独立,服从同一分布,且具有相同
的数学期望和方差： n
E X k,D X k2 (k 1 ,2 , ).
则随机变量
X k n
Y k 1 n
的分布函数Fn(x)收敛到标准正态分布.即对任意x 满足
返回目录
n
Xk n
lim
n
Fn
(
x)
lim
n
P{
k
1
n
x}
x
1
P{ X EX } DX , 2
P{ X EX } 1 DX .
1.粗略估计X在(E X ,E X )内2 的概率；
2.证明不等式.
例1 设随机变量X的数学期望EX=11,方差DX=9, 则根据切比雪夫不等式估计 P { 2X 2} 0_._
k 1
依概率收敛于它的数学期望 .
§4.2随机变量序列的两种收敛性
一、依概 大数定律：样本均值依概率收敛 率收敛 于分布的期望 二、依分 中心极限定理：样本均值依分布 布收敛 收敛于正态分布
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一、依概率收敛
概率的频率解释：随着观测次数n的增加，频率将会 逐渐稳定到概率.设在一次观测中事件A发生的概率
定义：令 X1,X2...,Xn为随机变量序列，X为另一 随机变量，用Fn表示Xn的CDF，用F表示X的
CDF
1、如果对每个 0 ，当 n 时，
Xn X
0
则Xn依概率收敛于X ，记为Xn P X 。 2、如果对所有F的连续点t，有
nlimFn t Ft
则Xn依分布收敛于X ，记为X n X 。
令 X
1nkn1 Xk ,
k
则对任意正数, 有
1n
n l im P {X}n l im P {nk 1X k} 1 .
或 n l im P {X }n l im P {1 nkn 1X k} 0 .
意义：当n 很大时,相互独立方差一致有界的随机 变量的平均值依概率收敛于它的数学期望.
则对任意x,有
lim P {nnp
x
x}
n np(1p)
2 1et2 2dt (x).
显然
n
n
k 1
X
k
,
其中X1,
X2,‥,Xn独立同服从
B(n, p)
意义:当n充分大时,二项分布可用正态分布来近似.
考点与例题分析
考点一：有关切比雪夫不等式 考点二：大数定理 考点三：中心极限定理
考点一：有关切比雪夫不等式
即无论N多大,在N以后,总可能存在n ,使 fn A 0 所以 fn A 不可能在通常意义下收敛于p。
二、依分布收敛
考虑随机序列 X1,X2...,Xn ，其中 Xn~N0,1n
直观：X n 集中在0处，X n 收敛到0
但
Xn0
Xn 2
（Chebyshev不等式）
1n
2 0
两种收敛的定义