2019年广州市一测理科数学
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)(解析版)(精华版)
2019 年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题 .给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合 ， B ={ x | x ﹣ 1≥0} ，则 A ∩ B 为（ ）A ． [ 1， 3]B ． [ 1， 3）C ． [ ﹣3，∞）D ．（﹣ 3，3]2．已知复数 ，则 z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，M 为常数．若 p ：对? x ∈R ，都有 f （x ）≥ M ； q ：M 是函数 f （ x ）的最小值，则 p 是 q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件a 1，a 2， ，a 8 d ≠ 0，则 为各项都大于零的等差数列，公差 4．如果 （ ）A ． a 1a 8＞ a 4a 5B ． a 1a 8＜a 4a 5C ． a 1+a 8＞ a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 55．已知 ，则 等于（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知集合 A={ 5} ，B={ 1，2} ，C={ 1，3，4} ，从这三个集合中各取 一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为 （ ）A ． 6B ．32C ． 33D ． 347．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0 则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0D．f （a）﹣f（b）≥08．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x 3456y 2.5 34ay 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中若根据表中数据得出a 的值为（）A．3B．3.15 C．3.5 D．4.59．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为f（x），则函数f（x）的单调递增区间（）A．B．C．D．a∈{ 0，1，2} ，b∈{ ﹣1，1，3，5} ，则函数f（x）=a x2﹣10．已知2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是（）A．B．C．D．11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于（）A．20 B．21 C．22 D．23f（x）=e x（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个12．设函数整数x0 使得f（x0）≤0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．一、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分13．在边长为1 的正三角形ABC中，设，，则．=14．设实数x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值为．15．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f'' （x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，设函数g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果计算：．=二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，设边a，b，c 所对的角A，B，C，且A，B，C 都为不是直角，（b c﹣8）c osA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c 的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80 位性别不同的2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育无合计与教育有关关男 30 10 40女 35 5 40合计 65 15 80“师范类毕业生 （ 1）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 ”？从事与教育有关的工作与性别有关 参考公式： （n=a +b +c +d ）．附表：P （K 2 ≥k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635 （ 2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（ 3）以（ 2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类 大学生中随机选取 4 名，记这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X ， 求 X 的数学期望 E （ X ）．ABC ﹣ A 1B 1C 1 底边长为 2，E ，F 分别为 BB 1，AB 的中点． 19．正三棱柱 （ I ）已知 M 为线段 B 1A 1 上的点，且 B 1A 1=4B 1M ，求证：EM ∥面 A 1F C ； （ II ）若二面角 E ﹣ A 1C ﹣F 所成角的余弦值为 AA 1 的值．，求C 1： =1（ a ＞b ＞ 0）的离心率 ，且过点+ e= 20．已知椭圆 2 2 ，直线 l 1： y=kx +m （ m ＞ 0）与圆 C 2：（x ﹣1） +y =1 相切且与椭圆 C 1 交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 1 的方程；（Ⅱ ）过原点 的平行线 l 2 交椭圆于 C ，D 两点，设 | AB | =λ| CD | ， O 作 l 1 求 λ的最小值．21．已知函数发 f （x ） =（ x+1）lnx ﹣ ax+2．（ 1）当 a=1 时，求在 x=1 处的切线方程；（ 2）若函数 f （x ）在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围； ，n ∈ N * ．（ 3）求证： 四、选做题22．以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极 （α是参数），直线 l 的极坐标系．设曲线 C 的参数方程为 ρc o （s θ+ 坐标方程为 ）=2 ．（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（ 2）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值． 23．已知函数 f （ x ）=| x +a |+| x ﹣2|（ 1）当 a=﹣3 时，求不等式 f （ x ）≥ 3 的解集；（2）若f（x）≤| x﹣4| 的解集包含[ 1，2] ，求a 的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12 个小题，每小题5分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={ x| x﹣1≥0} ，则A∩B为（）A．[ 1，3] B．[ 1，3）C．[﹣3，∞）D．（﹣3，3]【考点】交集及其运算．A 和B，由此能求出A∩B．【分析】分别求出集合【解答】解：∵集合={ x| ﹣3≤x＜3} ，B={ x| x﹣1≥0} ={ x| x≥1} ，∴A∩B={ x| 1≤x＜3} =[ 1，3）．故选：B．2．已知复数，则z在复平面内对应的点在）（A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：∵复数= +i= ，则z 在复平面内对应的点在第一象限．故选：A．3．已知函数 f （ x ）的定义域为 R ，M 为常数．若 p ：对? x ∈R ，都有 f （x ）≥ M ； q ：M 是函数 f （ x ）的最小值，则 p 是 q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【考点】 必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】 根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】 解：由 p ：对? x ∈R ，都有 f （ x ）≥M ，推不出 M 是最小值， 比如 x 2≥﹣ 1，故充分性不成立；由 q ： M 是函数 f （x ）的最小值，推出 p ：对 ? x ∈R ，都有 f （ x ）≥ M ；必要性成立，故选： B ．a 1，a 2， ，a 8 d ≠ 0，则 为各项都大于零的等差数列，公差 4．如果 （ ）A ． a 1a 8＞ a 4a 5B ． a 1a 8＜a 4a 5C ． a 1+a 8＞ a 4+a 5D ． a 1a 8=a 4a 5【考点】 等差数列的性质．【分析】先根据等差中项的性质可排除 C ；然后可令 a n =n 一个具体的 数列进而可验证 D 、 A 不对，得到答案．【解答】 解：∵ 1+8=4+5∴ a 1+a 8=a 4+a 5∴排除 C ；若令 a n =n ，则 a 1a 8=1?8＜20=4?5=a 4a 5∴排除 D ，A ．故选 B5．已知，则等于（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用同角三角函数的基本关系求得）的值，再利sin（α+用两角和差的三角公式求得cosα=cos[ （α+ ）﹣] 以及sinα=s[i（nα+ ）﹣] 的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵，∴sin （α+）= = ，而）﹣）cos ）sin cosα=c o[（sα+] =c o（sα++sin（α+，=∴sinα=s[i（nα+ ）﹣] =sin（α+ ）cos ﹣co s（α+ ）sin ，==sin αcos +cosαsin +sinα=sinα+cosα=﹣则，故选：A．6．已知集合A={ 5} ，B={ 1，2} ，C={ 1，3，4} ，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系上的坐标，则确定的不同点的个数为（）A．6B．32 C．33 D．34【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同点的个数，进而考虑集合B、C中的相同元素1，出现了 3 个重复的情况，进而计算可得答案．113【解答】解：不考虑限定条件确定的不同点的个数为C3A3 =36，C2但集合B、C中有相同元素1，由5，1，1三个数确定的不同点的个数只有三个，故所求的个数为36﹣3=33 个，故选C．7．设，则对任意实数a、b，若a+b≥0 则（）A．f（a）+f（b）≤0 B．f（a）+f（b）≥0 C．f（a）﹣f（b）≤0 D．f （a）﹣f（b）≥0【考点】奇偶性与单调性的综合；函数单调性的性质．【分析】求解函数f（x）的定义域，判断其奇偶性和单调性，利用奇偶性和单调性可得答案．【解答】解：设，其定义域为R，=﹣f（x），=∴函数f（x）是奇函数．且在（0，+∞）上单调递增，故函数f（x）在R 上是单调递增，那么：a+b≥0，即a≥﹣b，∴f（a）≥f（﹣b），得f（a）≥﹣f（b），可得：f（a）+f（b）≥0．故选：B．8．某企业节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中几录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如表所示：x 3456y 2.5 34ay 关于x 的线性回归方程为=0.7x+0.35，则表中若根据表中数据得出a 的值为（）A．3B．3.15 C．3.5 D．4.5【考点】线性回归方程．【分析】由线性回归方程必过样本中心点（，），则=3.5，即=3.5，即可求得 a 的值．【解答】解：由题意可知：产量x 的平均值为= =4.5，由线性回归方程为=0.7x+0.35，过样本中心点（，），则=0.7 +0.35=0.7×4.5+0.35=3.5，解得：=3.5，由=3.5，解得：a=4.5，=表中 a 的值为 4.5，故选：D．9．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为 f （ x ），则函数 f （x ）的单调递增区间（ ）A ．B ．C ．D ．y=Asin （ωx +φ）的图象变换．【考点】 函数 【分析】 由周期公式可求函数 的周期 =π，利用三 T= 角函数的图象变换规律可求函数 f （ x ）解析式，令 2k π﹣ ≤ 2x ﹣ ≤ 2k π+ ， k ∈Z ，可得函数 f （x ）的单调递增区间．=π，T= 【解答】 解：∵函数 的周期 ∴将函数 的图象向右平移 个周期后，所得图象对应的 函数为 f （x ） =2sin[ 2（ x ﹣ ）+ ] =2sin （2x ﹣ ），∴令 2k π﹣ ≤ 2x ﹣ ≤2k π+ ，k ∈Z ，可得： k π﹣ ≤x ≤k π+ k ∈ Z ，[ k π﹣ ，k π+ ∴函数 f （x ）的单调递增区间为： ] ，k ∈Z ． 故选： A ．10．已知 a ∈{ 0，1， 2} ， b ∈{ ﹣1， 1， 3，5} ，则函数 f （x ）=a x 2﹣ 2bx 在区间（ 1，+∞）上为增函数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】 古典概型及其概率计算公式．n=3× 4=12，再求出函数 f （x ）=a x 2﹣ 【分析】 先求出基本事件总数 2bx 在区间（ 1，+∞）上为增函数满足条件的基本事件个数，由此能求出函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率．【解答】解：∵a∈{ 0，1，2} ，b∈{ ﹣1，1，3，5} ，∴基本事件总数n=3×4=12，函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数，①当a=0时，f（x）=﹣2b x，符合条件的只有：（0，﹣1），即a=0，b=﹣1；②当a≠0 时，需要满足，符合条件的有：（1，﹣1），（1，1），（2，﹣1），（2，1），共4种，∴函数f（x）=ax2﹣2bx 在区间（1，+∞）上为增函数的概率是p= ．故选：A．11．若正整数N 除以正整数m 后的余数为n，则记为N=n（mod m），例如10=2（mod 4）．如图程序框图的算法源于我国古代闻名中外的n 等于（《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的）A．20 B．21 C．22 D．23【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出同时满足条件：①被 3 除余2，②被 5 除余2，最小两位数，故输出的n 为22，故选：C．12．设函数f（x）=e x（3x﹣1）﹣ax+a，其中a＜1，若有且只有一个整数x0 使得f（x0）≤0，则a 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的单调性．g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=a x﹣a，对【分析】设g（x）求导，将问题转化为存在唯一的整数x使得g（x0）在直线h（x）=ax﹣a的下﹣1方，求导数可得函数的极值，解g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e +2a≥0，求得 a 的取值范围．g（x）=e x（3x﹣1），h（x）=a x﹣a，【解答】解：设则g′（x）=e x（3x+2），∴x∈（﹣∞，﹣），g′（x）＜0，g（x）单调递减，x∈（﹣，+∞），g′（x）＞0，g（x）单调递增，∴x=﹣，取最小值﹣3e﹣，∴g（0）=﹣1＜﹣a=h（0），g（1）﹣h（1）=2e＞0，直线h（x）=ax﹣a 恒过定点（1，0）且斜率为a，﹣1∴g（﹣1）﹣h（﹣1）=﹣4e +2a＞0，∴a＞，a＜1，∴a 的取值范围（，1）．故选：C．一、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分20 分13．在边长为 1 的正三角形ABC 中，设，，则= ﹣．【考点】向量在几何中的应用．【分析】根据，，确定点D，E在正三角形ABC中的位置，根据向量加法满足三角形法则，把用表示出来，利用向量的数量积的运算法则和定义式即可求得的值．【解答】解：∵，∴D 为BC的中点，∴，∵，∴，∴）== =﹣，故答案为：﹣．14．设实数x，y满足，则z=2x﹣y 的最小值为2．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据直线平移即可求出目标函数的最小值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象知，当直线y=2x﹣z经过A 时，直线的截距最大，此时z 最小，经过点 B 时，直线的截距最小，此时z 最大，由得A（3，4），此时z 最小值为z=6﹣4=2，故答案为：215．已知一个多面体的三视图如图示：其中正视图与侧视图都是边长为 1 的等腰直角三角形，俯视图是边长为 1 的正方形，若该多面体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为．3π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，将其扩充为正方体，对角线长为，可得外接球的直径，即可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面为边长为 1 的正方形，高为1，一条侧棱垂直底面，将其扩充为正方体，对角线长为，∴外接球的直径为，∴球的表面积为=3π．3π．故答案为：16．设f'（x）是函数f（x）的导数，f'' （x）是函数f'（x）的导数，若方程f''（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数f（x）的拐点．某同学经过探究发现：任何一个三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d （a≠0）都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心，g（x）=x3﹣3x2+4x+2，利用上述探究结果设函数计算：．= 76【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】根据函数g（x）的解析式求出g′（x）和g″（x），令g″（x）=0，求得x 的值，由此求得三次函数g（x）的对称中心．由于函数的对称中心为（1，4），可知g（x）+f（2﹣x）=8，由此能够求出所给的式子的值．【解答】解：由g（x）=x3﹣3x2+4x+2，得：g′（x）=3x2﹣6x+4，g″（x）=6x﹣6，令g″（x）=0，解得：x=1，∴函数g（x）的对称中心是（1，4），∴g（2﹣x）+g（x）=8，故设=m，则g（）+g（）+g（）+ +g（）=m，两式相加得：8×19=2m，解得：m=76，76．故答案为：二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）A，B，C，且A，B，C 都17．在△ABC中，设边a，b，c 所对的角为不是直角，（b c﹣8）c osA+accosB=a2﹣b2．（Ⅰ）若b+c=5，求b，c 的值；（Ⅱ）若，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理化简已知等式可得，又△ABC不是直角三角形，解bc=4，又得b+c=5，联立即可解得b，c 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b2+c2 ﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8﹣8cosA，解得，可求，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．【解答】（本题满分14 分）解：（Ⅰ）∵，∴，∴，∵△ABC不是直角三角形，∴bc=4，又∵b+c=5，∴解得或（Ⅱ）∵，由余弦定理可得5=b2+c2﹣2bccosA≥2bc﹣2bccosA=8 ﹣8cosA，∴，∴，所以．，当时取到∴△ABC面积的最大值是18．为调查了解某省属师范大学师范类毕业生参加工作后，从事的工作与教育是否有关的情况，该校随机调查了该校80 位性别不同的2016 年师范类毕业大学生，得到具体数据如表：与教育无 合计与教育有 关 关男 30 10 4035 5 40女 合计 65 15 80（ 1）能否在犯错误的概率不超过 5%的前提下，认为 “师范类毕业生 从事与教育有关的工作与性别有关 ”？参考公式： （n=a +b +c+d ）．附表：P （K 2 ≥k 0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.023 6.635 （ 2）求这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率；（ 3）以（ 2）中的频率作为概率．该校近几年毕业的 2000 名师范类 大学生中随机选取 4 名，记这 4 名毕业生从事与教育有关的人数为 X ， 求 X 的数学期望 E （ X ）．【考点】 离散型随机变量的期望与方差；独立性检验的应用；离散型 随机变量及其分布列．【分析】（1）利用 k 2 计算公式即可得出．（ 2）由图表知这 80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率． （ 3）由题意知 X 服从 ，即可得出 E （X ）．k 2= 【解答】 解：（1）由题意得 ＜3.841．=故不能在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为“师范类毕业生从事与教育有关的工作与性别有关”（2）由图表知这80 位师范类毕业生从事与教育有关工作的频率．（3）由题意知X 服从，则．19．正三棱柱ABC﹣A1B1C1 底边长为2，E，F 分别为BB1，AB 的中点．（I）已知M 为线段BB1A1=4B1M，求证：EM∥面A1F C；1A1 上的点，且II）若二面角E﹣A1C﹣F 所成角的余弦值为（AA1 的值．，求【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）取B1A1 中点为N，连结BN，推导出BN∥A1F，从而EM ∥BN，进而EM∥A1F，由此能证明EM∥面A1F C．（I I）以F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA1=a，利用向量法能求出结果．【解答】证明：（I）取B1A1 中点为N，连结BN，则BN∥A1F，又B1A1=4B1M，则EM∥B N，所以EM∥A1F，因为EM?面A1F C，A1F?面A1F C，故EM∥面A1FC．解：（II）如图，以 F 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AA=a．1则，，设平面A1CF法向量，为设平面A1CE法向量．为则，取z=1，得，，取x=a，得；设二面角E﹣A1C﹣F的平面角为θ，∵二面角E﹣A1C﹣F所成角的余弦值为，∴，整理，得，∴a= ，a2=故当二面角E﹣A1C﹣F 所成角的余弦值为时，AA1 的值为．C 1： =1（ a ＞b ＞ 0）的离心率 e= ，且过点+ 20．已知椭圆 2 2，直线 l 1： y=kx +m （ m ＞ 0）与圆 C 2：（x ﹣1） +y =1 相切且与椭圆 C 1 交于 A ， B 两点．（Ⅰ）求椭圆 C 1 的方程；（Ⅱ ）过原点 O 作 l 1 的平行线 l 2 交椭圆于 C ，D 两点，设 | AB | =λ| CD | ， 求 λ的最小值．【考点】 椭圆的简单性质．【分析】（ Ⅰ）由题意列关于 a ，b ，c 的方程组，求解方程组得 a ，b ， c 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线 l 1 的方程与椭圆方程，化为关于 x 的一元二次方程，利用弦长公式求得AB 的长度，联立直线l2的方程与椭圆方程，求出CD的长度，结合| AB| =λ| CD| 利用换元法求解λ的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，解得a=4，b=2，故；（Ⅱ）联立，化简得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣4）=0，△＞0 恒成立，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，得，∴，把l2：y=kx代入，得，∴，∴= = ，，λ取最小当．值21．已知函数发f（x）=（x+1）lnx﹣ax+2．（1）当a=1 时，求在x=1 处的切线方程；（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围；，n∈N* ．（3）求证：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f （′1），求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论函数递减和函数递增，从而求出a 的范围即可；（3）令a=2，得：lnx＞在（1，+∞）上总成立，令，得x= ＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，对x 取值，累加ln即可．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x+2，（x＞0），f ′（x）=ln x+ ，f′（1）=1，f（1）=1，所以求在x=1 处的切线方程为：y=x．（2）f ′（x）=ln x++1﹣a，（x＞0）．（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，即a≥lnx+时，令g（x）=lnx+，当x＞e a时，g′（x）＞0，不成立；（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+ ；令g（x）=lnx+ ，则g′（x）= ，x＞0；则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；所以g（x）≥2，故a≤2．（3）由（ii）得当a=2 时f（x）在（1，+∞）上单调递增，由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx﹣2x+2＞0，即lnx＞在（1，+∞）上总成立，令x= 得ln ＞，化简得：ln（n+1）﹣lnn＞，所以ln2﹣ln1＞，ln3﹣ln2＞，，ln（n+1）﹣lnn＞，累加得ln（n+1）﹣ln1＞，即ln（n+1），n∈N*命题得证．四、选做题22．以平面直角坐标系的原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴建立极 （α是参数），直线 l 的极坐标系．设曲线 C 的参数方程为 ρc o （s θ+ 坐标方程为 ）=2 ．（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；（ 2）设点 P 为曲线 C 上任意一点，求点 P 到直线 l 的距离的最大值．【考点】 简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线 l 的极坐标方 α，把曲线 程化为直角坐标方程．利用同角三角函数的基本关系消去 C 的参数方程化为直角坐标方程．（ 2 ） 设 点 P （ 2cos α， sin α）， 求 得 点 P 到 直 线 l 的 距 离 ，tan β=，由此求得 d 的最大值．d= ρc o （s θ+ ρ 【解答】 解：（1）∵直线 的极坐标方程为 l ）=2 ，即 cos θ﹣ s in θ）=2 （ ，即 x ﹣ y ﹣ 4 =0．曲线 C 的参数方程为 （ α是参数），利用同角三角函数的基本关系消去 α，可得 =1．+ （ 2）设点 P （ 2cos α， sin α）为曲线 C 上任意一点，则 点 到 直 线 的 距 离 P l d===，其中，cos β=，s inβ=，即tan β=，故当co s（α+β）=﹣1时，d取得最大值为．23．已知函数f（x）=| x+a|+| x﹣2|（1）当a=﹣3 时，求不等式f（x）≥3 的解集；（2）若f（x）≤| x﹣4| 的解集包含[ 1，2] ，求a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；带绝对值的函数．【分析】（1）不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立，由此求得求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即| x﹣3|+| x﹣2| ≥3，即①，或②，或③．解①可得x≤1，解②可得x∈?，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为{ x| x≤1或x≥4} ．（2）原命题即f（x）≤| x﹣4| 在[ 1，2] 上恒成立，等价于| x+a|+ 2﹣x≤4﹣x在[ 1，2] 上恒成立，等价于| x+a| ≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x 在[ 1，2] 上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a 的取值范围为[ ﹣3，0] ．第31 页（共31 页）精品资料精品学习资料第 31 页，共 31 页。
广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学(理科)
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数 学（理 科） 2019.3本试卷共4页，21小题， 满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的市、县/区、学校，以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡。
用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=, 其中S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+.如果事件A 、B 相互独立，那么()()()B P A P AB P ⋅=.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数()x x f 2sin =的最小正周期为A ．π B.π2 C. π3 D. π42．已知z =i （1+i ）（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2号9时至14时 的销售额进行统计，其频率分布直方图如图1所示．已知9时 至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为 A . 6万元 B . 8万元C . 10万元D .12万元4．已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为A. 10-B. 17C. 5D. 25．阅读图2的程序框图(框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”)，若输出的S 的值等于16,那么在程序框图中的判断框内应填写的条件是A ．5>i ? B. 6>i ?C. 7>i ?D. 8>i ?6．已知p ：关于x 的不等式022>-+a ax x 的解集是R ，q ：01<<-a ，则p 是q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件7．在()n n nx a x a x a x a a x +⋅⋅⋅++++=-3322101中，若0252=+-n a a ，则自然数n 的值是A ．7B ．8C ．9D ．108．在区间[]1,0上任意取两个实数b a ,，则函数()b ax x x f -+=321在区间[]1,1-上有且仅 一个零点的概率为 A ．81 B ．41C ．43D ．87二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～12题）9. 若()22log 2=+a ，则=a3 .10．若⎰ax 0d x =1, 则实数a 的值是 .11.一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）如图3所示， 则该几何体的侧面积为 cm 2.12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意∈n N *都有3132-=n n a S ， 且91<<k S （∈k N *），则1a 的值为 ，k 的值为 .（二）选做题（13～15题，考生只能从中选做两题） 13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线24sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .14.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心）的切线，切点为A ，PO 交圆O 于C B , 两点，︒=∠=30,3PAB AC ，则线段PB 的长为 .15．（不等式选讲选做题）已知∈c b a ,,R ，且432,2222=++=++c b a c b a ，则实数a 的取值范围为_____________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知△ABC 的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且53cos ,2==B a . （1）若4=b , 求A sin 的值;(2) 若△ABC 的面积,4=∆ABC S 求c b ,的值.17.（本小题满分14分）甲、乙两名同学参加一项射击游戏，两人约定，其中任何一人每射击一次，击中目标得2分，未击中目标得0分. 若甲、乙两名同学射击的命中率分别为53和p , 且甲、乙两人各射击一次所得分数之和为2的概率为209.假设甲、乙两人射击互不影响. （1）求p 的值；（2）记甲、乙两人各射击一次所得分数之和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18. （本小题满分14分）如图4, 在三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC ，AC AB ⊥,F E D ,,分别是棱PC PB PA ,,的中点，连接EF DF DE ,,.(1) 求证: 平面//DEF 平面ABC ;(2) 若2==BC PA , 当三棱锥ABC P -的体积最大时, 求二面角D EF A --的平面角的余弦值.图419．(本小题满分12分)某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个A 型零件和1个B 型零件配套组成.每个工人每小时能加工5个A 型零件或者3个B 型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件.设加工A 型零件的工人人数为x 名（∈x N *）.（1）设完成A 型零件加工所需时间为()x f 小时，写出()x f 的解析式； （2）为了在最短时间内完成全部生产任务，x 应取何值？20．（本小题满分14分）已知动圆C 过点()0,2-A ，且与圆()642:22=+-y x M 相内切.（1）求动圆C 的圆心的轨迹方程；（2）设直线:l y kx m =+（其中,)k m Z ∈与（1）中所求轨迹交于不同两点B ，D ，与双曲线112422=-y x 交于不同两点,E F ，问是否存在直线l ，使得向量DF BE +=0，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．21. (本小题满分14分)已知数列{}n a 的相邻两项1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,且11=a .(1) 求数列{}n a 和{}n b 的通项公式;(2) 设n S 是数列{}n a 的前n 项和, 问是否存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,若存在, 求出λ的取值范围; 若不存在, 请说明理由.2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B C D A C B D二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中13～15是选做题,考生只能选做两题. 第12题第一个空2分，第二个空3分．9．9 10．2 11．80 12．-1；4 13．34 14．1 15. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,112三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分） （本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查运算求解能力）解: (1)∵053cos >=B , 且π<<B 0, ∴ 54cos 1sin 2=-=B B .由正弦定理得BbA a sin sin =. ∴524542sin sin =⨯==b B a A . (2)∵,4sin 21==∆B ac S ABC∴454221=⨯⨯⨯c .∴ 5=c .由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=,FEDCBAP ∴175352252cos 22222=⨯⨯⨯-+=-+=B ac c a b . 17．（本小题满分14分）（本小题主要考查概率、随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力） 解：（1）记“甲射击一次,击中目标”为事件A ，“乙射击一次,击中目标”为事件B ，“甲射击一次,未击中目标”为事件A ，“乙射击一次,未击中目标”为事件B ， 则()()52,53==A P A P ，()()p B P p B P -==1,. 依题意得()209531153=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-p p ， 解得43=p . 故p 的值为43.（2）ξ的取值分别为,4,2,0.()()()()10141520=⨯=⋅===B P A P B A P P ξ， ()2092==ξP ， ()()()()20943534=⨯=⋅===B P A P AB P P ξ， ξ∴的分布列为ξ0 2 4p101 209 209∴E.1027209420921010=⨯+⨯+⨯=ξ18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间中线面的位置关系、空间的角、几何体体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） (1) 证明: ∵E D ,分别是棱PB PA ,的中点，∴DE 是△PAB 的中位线.∴AB DE //. ∵⊄DE 平面⊂AB ABC ,平面,ABC∴//DE 平面ABC . 同理可证 //DF 平面ABC .∵⊂=DE D DF DE , 平面DEF ,⊂DF 平面DEF ,∴平面DEF // 平面ABC .(2) 求三棱锥ABC P -的体积的最大值, 给出如下两种解法: 解法1: 由已知⊥PA 平面ABC , AB AC ⊥,2==BC PA ∴4222==+BC AC AB .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 AC AB ⨯⨯⨯=26123122AC AB +⨯≤2312BC ⨯=32=. 当且仅当AC AB =时等号成立，V 取得最大值,其值为32, 此时AC AB =2=.解法2：设x AB =，在R t △ABC 中，2224x AB BC AC -=-=()20<<x .∴三棱锥ABC P -的体积为ABC S PA V ∆⨯⨯=31AC AB PA ⨯⨯⨯⨯=2131 2431x x -= 42431x x -=()423122+--=x . ∵40,202<<<<x x ,GFED CBAP∴ 当22=x ，即2=x 时，V 取得最大值，其值为32，此时2==AC AB .求二面角D EF A --的平面角的余弦值, 给出如下两种解法: 解法1:作EF DG ⊥,垂足为G , 连接AG .∵ ⊥PA 平面ABC ，平面//ABC 平面DEF , ∴ ⊥PA 平面DEF .∵ ⊂EF 平面DEF ,∴ ⊥PA EF .∵ D PA DG = ,∴ ⊥EF 平面PAG . ∵⊂AG 平面PAG , ∴⊥EF AG .∴ AGD ∠是二面角D EF A --的平面角. 在R t △EDF 中,121,2221=====BC EF AB DF DE , ∴21=DG . 在R t △ADG 中,2541122=+=+=DG AD AG , 552521cos ===∠AG DG AGD .∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 解法2:分别以AP AC AB ,,所在直线为x 轴, y 轴, z 轴,建立如图的空间直角坐标系xyz A -,则()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1,22,0,1,0,22,1,0,0,0,0,0F E D A . ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,22,22,1,0,22.设n ()z y x ,,=为平面AEF 的法向量,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.0,0EF n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+.02222,022y x z x令2=x , 则1,2-==z y .∴n ()1,2,2-=为平面AEF 的一个法向量.∵平面DEF 的一个法向量为()100-=,,DA ,∴()()()5511221222=⨯-++==n cos . ∴二面角D EF A --的平面角的余弦值为55. 19．（本小题满分12分） （本小题主要考查函数最值、不等式、导数及其应用等基础知识，考查分类与整合的数学思想方法，以及运算求解能力和应用意识）解：（1）生产150件产品，需加工A 型零件450个，则完成A 型零件加工所需时间()x f ∈==x x x (905450N *，且)491≤≤x . （2）生产150件产品，需加工B 型零件150个，则完成B 型零件加工所需时间()x g ()∈-=-=x xx (5050503150N *，且)491≤≤x .设完成全部生产任务所需时间为()x h 小时，则()x h 为()x f 与()x g 的较大者. 令()()x g x f ≥，即xx -≥505090， 解得71321≤≤x . 所以，当321≤≤x 时，()()x g x f >；当4933≤≤x 时，()()x g x f <.故()()()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤∈-≤≤∈=4933,,5050321,,90**x N x xx N x x x h .当321≤≤x 时，()0902'<-=x x h ，故()x h 在[]32,1上单调递减， 则()x h 在[]32,1上的最小值为()1645329032==h （小时）；当4933≤≤x 时，()()050502'>-=x x h ，故()x h 在[]49,33上单调递增，则()x h 在[]49,33上的最小值为()175033505033=-=h （小时）； ()()3233h h > ，∴()x h 在[]49,1上的最小值为()32h .32=∴x .答：为了在最短时间内完成生产任务，x 应取32.20．（本小题满分14分）（本小题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、分类与整合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识）解：（1）圆()642:22=+-y x M ， 圆心M 的坐标为()0,2，半径8=R .∵R AM <=4，∴点()0,2-A 在圆M 内. 设动圆C 的半径为r ，圆心为C ，依题意得CA r =，且r R CM -=， 即AM CA CM >=+8. ∴圆心C 的轨迹是中心在原点，以M A ,两点为焦点，长轴长为8的椭圆,设其方程为()012222>>=+b a b y a x , 则2,4==c a . ∴12222=-=c a b .∴所求动圆C 的圆心的轨迹方程为1121622=+y x .(2)由⎪⎩⎪⎨⎧=++=.11216,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()0484843222=-+++m kmx x k . 设11(,)B x y ，22(,)D x y ，则122834kmx x k+=-+.△1()()()04844348222>-+-=m k km . ①由⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.1124,22y x m kx y 消去y 化简整理得：()01223222=----m kmx x k . 设()()4433,,,y x F y x E ，则24332kkmx x -=+,△2()()()012342222>+-+-=m k km . ②∵DF BE +=0，∴4231()()0x x x x -+-=，即1234x x x x +=+，∴2232438kkmk km -=+-. ∴02=km 或2231434kk -=+-. 解得0k =或0m =. 当0k =时,由①、②得 3232<<-m ， ∵∈m Z ,∴m 的值为2,3-- 1-，0，13,2,;当0m =，由①、②得 33<<-k ， ∵∈k Z ,∴1,0,1-=k .∴满足条件的直线共有9条． 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查数列的通项公式、数列前n 项和、不等式等基础知识，考查化归与转化、分类与整合、特殊与一般的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和抽象概括能力）解: (1) ∵1,+n n a a 是关于x 的方程022=+-n n b x x ∈n (N )*的两根,∴⎩⎨⎧==+++.,211n n n n n n a a b a a求数列{}n a 的通项公式, 给出如下四种解法:解法1: 由nn n a a 21=++,得⎪⎭⎫⎝⎛⨯--=⨯-++n n n n a a 23123111, 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯-n n a 231是首项为31321=-a ,公比为1-的等比数列. ∴()1131231--⨯=⨯-n n n a , 即()[]nn n a 1231--=. 解法2: 由nn n a a 21=++,两边同除以()11+-n , 得()()()nnnn n a a 21111--=---++,令()nnn a c 1-=, 则()nn n c c 21--=-+.故()()()123121--++-+-+=n n n c c c c c c c c ()()()()13222221-----------=n()()[]()2121211----⋅---=-n()[]1231--=n ()2≥n . 且1111-=-=a c 也适合上式, ∴()nna 1-()[]1231--=n , 即()[]n n n a 1231--=. 解法3： 由n n n a a 21=++，得1212+++=+n n n a a ， 两式相减得nn n n n a a 22212=-=-++.当n 为正奇数时,()()()235131--++-+-+=n n n a a a a a a a a 25322221-+++++=n41412121-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312+=n ()3≥n . 且11=a 也适合上式.当n 为正偶数时,()()()246242--++-+-+=n n n a a a a a a a a 264222221-+++++=n41414122-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-n312-=n ()4≥n . 且12112=-=a a 也适合上式. ∴ 当∈n N *时，n a ()[]nn 1231--=. 解法4：由nn n a a 21=++，11=a ，得122-=a ()()()1231212122-=---+-=，()()()123121211222332223+=----=+-=-=a a .猜想n a ()[]nn 1231--=. 下面用数学归纳法证明猜想正确. ① 当1=n 时,易知猜想成立;② 假设当k n =∈k (N *)时,猜想成立,即()[]kk k a 1231--=, 由kk k a a 21=++,得()[]()[]1111231123122+++--=---=-=k k k k k k k k a a ,故当1+=k n 时,猜想也成立. 由①、②得，对任意∈n N *，n a ()[]nn 1231--=.∴()[]()[]111121291+++--⨯--==n n n n n n n a a b ()[]1229112---=+nn . (2)n n a a a a S ++++= 321 ()()()()[]{}nn 111222231232-++-+--++++=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=+21122311n n .要使0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立,即()[]1229112---+n n ()02112231>⎥⎦⎤⎢⎣⎡-----+n n λ(*)对任意∈n N *都成立.① 当n 为正奇数时, 由(*)式得[]1229112-++n n ()01231>--+n λ, 即()()1212911+-+n n ()01231>--+n λ, ∵0121>-+n ,∴()1231+<nλ对任意正奇数n 都成立. 当且仅当1=n 时, ()1231+n有最小值1.∴1<λ.② 当n 为正偶数时, 由(*)式得[]1229112--+n n ()02231>--+n λ, 即()()1212911-++n n ()01232>--nλ, ∵012>-n,∴()12611+<+n λ对任意正偶数n 都成立. 当且仅当2=n 时, ()12611++n 有最小值23.∴<λ23.综上所述, 存在常数λ,使得0>-n n S b λ对任意∈n N *都成立, λ的取值范围是()1,∞-.。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)理科数学试题(WORD版)
密★启用前试卷种类 :A 2019 年广州市一般高中毕业班综台测试（一）理科数学本试卷共 5 页， 23 小题，满分150 分，考试用时120 分钟。
注意事顶： 1.答卷前，考生务势必自己的名和考生号、试室号、座位号填在答题卡上，用2B 铅笔在答题卡的相应地点填涂考生号，并将试卷种类（ A ），填涂在答题相应置上。
2.作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需变动，用橡皮擦净后，再选涂其余答案，答案不可以答在试卷上。
3.非选择题一定用黑色笔迹的钢笔或署名笔作答，答案一定写在答题卡各题目指定地区内的相应地点上；如需变动，先划掉本来的答案，而后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效4.考生一定保证答题卡的整齐。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：此题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1.已知会合 A x x22x0， B x 2x，则A. A BB. A B RC. B AD. A B2.已知 a 为实数，若复数a i 1 2i为实数，则 a=A. 21C.1D. 2 B.22已知双曲线 C : x2y2223.1的一条渐近线过圆 C 的P : x 2y 41的圆心，则b2离心率为53C.5A. B.224. .刘徽是我因魏晋期间的数学家，在其撰写的《九章算术注》中开创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无穷迫近圆面积并以此求取圆周率的方法，如下图，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆 O 的半径为2，现随机向圆O 内段放 a 粒豆子，此中有 b 粒豆子落在正十二边形内( a,b N , b a )，则圆固率的近似值为b a3a3bA. B. C. D.a b b a5.若等边三角形ABC 的边长为 1，点 M 知足CM CB 2CA ，则MA MBA. 3 C. 236.设S n是等差数列a n的前 n 项和，若 m 为大于 1 的正整数，且a m 1a m2a m 1 1 ，S2m 1 11，则 m7.如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔翻开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T。
广东省广州市2019届高三年级第一学期调研考试(一模)理科数学试题(解析版)
2019届广州市高三年级调研测试理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分，考试用时120分钟 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.设集合M=2{|02},{|230},x x N x x x ?=--<则集合M N Ç=（ ）A. {|02}x x ?B. {|03}x x ?C. {|12}x x -<<D. {|01}x x ?【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法化简集合N ，再由交集的定义即可得结果. 【详解】因为集合{}|02M x x=?,{}{}2|230|13N x x x x x =--<=-<<,{}|02M Nx x \??,故选A.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法和集合的交集问题，属于简单题. 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2.若复数(1a iz i i+=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数代数形式的除法运箅化简复数1a iz i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数，1010a a ì+?ï\í-=ïî，即1a =，故选C.主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若36a =，312S =，则公差d 等于（ ）． A. 1 B. 53C. 2D. 3 【答案】C 【解析】试题分析：因为322123124S a a =??，所以32642d a a =-=-=，选C.考点：等差数列性质4.若点(1,1)P 为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A. 230x y +-= B. 210x y -+= C. 230x y +-= D. 210x y --= 【答案】D 【解析】圆心C(3,0)，k PC ＝12-，∵点P 是弦MN 的中点，∴PC ⊥MN ， ∴k MN k PC ＝－1，∴k MN ＝2，∴弦MN 所在直线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0.考点：圆的弦所在的直线方程.5.已知实数ln222,22ln 2,(ln 2)a b c ==+=，则,,a b c 的大小关系是 A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. a c b << 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】由对数函数的性质0ln21<<, 所以22ln 22,+>所以由指数函数的单调性可得，200ln 2112222,0ln 2ln 21=<<=<<=，c a b \<<，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于中档题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题三个数分别在三个区间()()()0,1,1,2,2,+? ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用. 6.下列命题中，真命题的是（ ） A. 00,0x x R e $危B. 2,2xx R x "?C. 0a b +=的充要条件是1ab=- D. 若,x y R Î，且2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的值域判断A ；根据特殊值判断B C 、；根据逆否命题与原命题的等价性判断D . 【详解】根据指数函数的性质可得x 0e >,故A 错误；2x =时，22x x >不成立，故B 错误；当0a b ==时，1ab=-不成立，故C 错误； 因为“2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”的逆否命题 “,x y 都小于等于1，则2x y +?”正确，所以“2x y +>，则,x y 中至少有一个大于1”正确，故选D.【点睛】本题主要考查指数函数的值域、特称命题与全称命题的定义，以及原命题与逆否命题的等价性，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题. 7.由()y f x =的图象向左平移3p个单位，再把图象上所有点横坐标伸长到原来的2倍得到sin 36y x p 骣琪=-琪桫的图象，则()f x =（ ） A. 3sin 26x p 骣琪+琪桫 B. sin 66x p 骣琪-琪桫 C. 3sin 23x p骣琪+琪桫D. sin 63x p 骣琪+琪桫 【答案】B 【解析】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12，再把所得图象向右平移3p 个单位，即可得到()f x 的图象，根据三角函数的图象变换规律可得()f x 的解析式.【详解】将36y sin x p骣琪=-琪桫的图象上各个点的横坐标变为原来的12，可得函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象， 再把函数66y sin x p骣琪=-琪桫的图象向右平移3p 个单位，即可得到()66366f x sin x sin x p pp 轾骣骣犏琪琪=--=-琪琪犏桫桫臌的图象， 所以()f x = 66sin x p骣琪-琪桫，故选B. 【点睛】本题考查了三角函数的图象，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，属于中档题. 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8. 已知甲袋中有1个黄球和2个红球，乙袋中有2个黄球和2个红球，现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中，然后从乙袋中随机取出1个球，则从乙袋中取出红球的概率为（ ） A.13 B. 12 C. 59 D. 29【答案】C 【解析】试题分析：甲取出的求有两种情况：（1）从甲取出1黄球1红球，概率为：132136213C C C ?，（2）从甲取出2红球，概率为：142136129C C C ?，故概率为125399+=．考点：1、古典概型；2、分类加法、分步乘法计数原理．9.已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A.1 B. 31 C. 51 D. 22【解析】 【分析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A 的坐标，将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系，则双曲线的离心率可求.【详解】抛物线的焦点坐标为,02p骣琪琪桫，双曲线的焦点坐标为(),0c ，2p c \=，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ^轴，将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a骣琪琪桫， 将A 的坐标代入抛物线方程可得,422222444b pc c a b a===+， 即4224440a a b b +-=，解得222ba=+ 22222222b c a a a -\==+)22232221c a=+=解得21ce a==，故选A . 【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．10.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ） A. 3(1)2n n -++? B. 3(1)2n n ++? C. 1(1)2n n ++? D. 1(1)2n n +-? 【答案】D 【解析】当1q = 时，不成立，当1q ¹ 时，()3161171{1a q q a q -=-- ，两式相除得3631171163q q q -==-+ ，解得：2q = ，11a = 即1112n n n a a q --== ，12n n n a n -?? ，2112232......2n n s n -=+??+? ，2n s = ()211222......122n n n n -??+-?? ，两式相减得到：21122......22n n n s n --=++++-?()12212112n nn n n -=-?-?- ，所以()112nn s n =+-? ，故选D.11.如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ）A.203 B. 7 C. 223 D. 233【答案】C 【解析】该几何体为如图所示的几何体11EFBC ABCD -，是从棱长为2的正方体中截取去两个三棱锥后的剩余部分，其体积111111131111211212273232A B C D ABCD A A EF D D BC V V V V ---=--=-创创-创创=，故选C. 12.已知过点(,0)A a 作曲线:x C y x e =?的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()(--4)0+ト?，，B. ()0+¥， C. ()(--1)1+ト?，， D. ()--1¥， 【答案】A 【解析】 【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为20x a =，整理得到方程2000x ax a --=有两个解即可，240a a D=+>解出不等式即可.【详解】设切点为()00,x x x e ，(1)x y x e =+¢，000(1)x x x y x e =\=+?¢，则切线方程为：()00000=1()x x y x e x e x x -+?，切线过点(,0)A a 代入得：()00000=1()x x x e x e a x -+?， 2001x a x \=+，即方程2000x ax a --=有两个解，则有2400a a a D=+>?或4a <-. 故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量,a b 的夹角为45°，且1,2a b ==，则a b -=__________ 【答案】1 【解析】 【分析】先利用平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式求出a b -平方的值，再开平方即可得结果. 【详解】因为向量,a b 的夹角为45°，1,2a b ==，()2222a b a b a b -=+-?222cos 45a b a b °=+-?21221212=+-创?，可得1a b -=，故答案为1.【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则以及平面向量的数量积公式，属于简单题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式cos a ba b q ?；二是向量的平方等于向量模的平方22a a =.14.已知423401234(23)x a a x a x a x a x +=++++，则2202413()()a a a a a ++-+=__________． 【答案】1令1x =，得401234(23)a a a a a +=++++； 令1x =-，得401234(23)a a a a a -+=-+-+；两式相加得22024130123402413()()()()a a a a a a a a a a a a a a a ++-+=++++?+--444(2(23)(1)1=?=-=．点睛： “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如2(),()(,)n n ax b ax bx c a b +++?R 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令1x =即可；对形如()(,)n ax by a b +?R 的式子求其展开式各项系数之和，只需令1x y ==即可.15.已知实数,x y 满足203500x y x y x y ì-?ïï-+?ïí>ïï>ïî，则11()()42x y z =的最小值为__________．【答案】C 【解析】试题分析：不等式组20{350x y x y -?-+?表示的平面区域如下图所示，目标函数2111()()()422x y x y z +==，设2t x y =+，令20x y +=得到如上图中的虚线，向上平移20x y +=易知在点()1,2A 处取得最小值，min 4t =，所以目标函数4min 11()216z ==. 考点：线性规划.16.在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====，则该四面体体积的最大值为________． 3由于平面PBC 是边长为1的正三角形，P ABC A PBC V V --= ，底面面积固定，要使体积最大，只需高最大，故当PA ^平面PBC 时体积最大，2133113V =创?.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答.17.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222cos cos sin sin sin B C A A B -=+. （1）求角C 的大小；（2）若A=6p，△ABC 的面积为43M 为BC 的中点，求AM. 【答案】(1) 2;3C p=(2) 27【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，结合同角三角函数的关系化简已知的等式，得到三边的关系式，再利用余弦定理表示出根据cos C 的值，可求角C 的大小；（2）求得()6B AC A pp =-+==，ABC D为等腰三角形，由三角形面积公式可求出CB CM 、的值，再利用余弦定理可得出AM 的值. 【详解】(1)∵222cos cos sin sin sin B C A A B -=+∴()2221sin 1sin sin sin sin B C A A B ---=+（） ∴222sin sin sin sin sin C B A A B -=+由正弦定理得：222c b a ab -=+即222a b c ab +-=-∴22211cos 222a b c C ab +-=-=-即∵C 为三角形的内角，∴23C p= (2)由（1）知23C p =，∴()6B AC A pp =-+== ∴△ABC 为等腰三角形，即CA=CB 又∵M 为CB 中点 ∴CM=BM 设CA=CB=2x 则CM=BM=x1sin 432CABSCA CB C =鬃=∴CA=4,CM=2由余弦定理得：222cos 27CA CM CM CA C +-鬃=.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理以及三角形的面积公式，属于中档题. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18.某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项指标值落在[20,40)内的产品视为合格品，否则为不合格品，图1是设备改造前样本的频率分布直方图，表1是设备改造后的频数分布表.表1，设备改造后样本的频数分布表:（1）请估计该企业在设备改造前的产品质量指标的平均数；（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在[25，30)内的定为一等品，每件售价240元，质量指标值落在[20，25)或[30，35)内的定为二等品，每件售价180元，其它的合格品定为三等品，每件售价120元.根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率，现有一名顾客随机购买两件产品，设其支付的费用为X （单位：元），求X 得分布列和数学期望.【答案】(1) 30.2；(2)分布列见解析， 400. 【解析】（1）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；（2）X 的可能取值为：240， 300，360, 420, 480，根据直方图求出样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236，利用独立事件与互斥事件概率公式求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得X 的数学期望. 【详解】(1)样本的质量指标平均值为0.0417.50.162.5??????30.2=. 根据样本质量指标平均值估计总体质量指标平均值为30.2 .（2）根据样本频率分布估计总体分布，样本中一、二、三等品的频率分别为111,,236， 故从所有产品中随机抽一件，是一、二、三等品的概率分别为111,,236， 随机变量X 的取值为：240， 300，360, 420, 480，()()12111111240;3006636369P X P X C ==?==创=；()()112211115111360;420263318233P X C P X C ==创+?==创=， ()111480224P X ==?， 所以随机变量X 的分布列为：()115112403003604204804003691834E X \=?????.【点睛】本题主要考查直方图的应用，互斥事件的概率公式、独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解数学期望问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19.如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，二面角A-CD-F 为60°，DE ∥CF ，CD ⊥DE ，AD=2，DE=DC=3，CF=6.（1）求证：BF ∥平面ADE ；（2）在线段CF 上求一点G ，使锐二面角B-EG-D 的余弦值为14. 【答案】（1）详见解析；（2）点G 满足32CG =. 【解析】 【分析】（1）先证明//BC 平面ADE ，//CF 平面ADE ，可得平面//BCF 平面ADE ，从而可得结果；（2）作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，以平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，设()3,,0,15G t t-＃，利用向量垂直数量积为零列方程组求得平面BEG 的法向量，结合面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，利用空间向量夹角余弦公式列方程解得12t =，从而可得结果.【详解】（1）因为ABCD 是矩形，所以BC ∥AD ， 又因为BC 不包含于平面ADE ， 所以BC ∥平面ADE ，因为DE ∥CF ，CF 不包含于平面ADE ， 所以CF ∥平面ADE ，又因为BC ∩CF ＝C ，所以平面BCF ∥平面ADF ， 而BF ⊂平面BCF ，所以BF ∥平面ADE ．（2）∵CD ⊥AD ，CD ⊥DE∴∠ADE 为二面角A-CD-F 的平面角 ∴∠ADE=60° ∵CD ⊥面ADE\平面CDEF ^平面ADE ，作AO DE ^于点O ，则AO ^平面CDEF ，由2,3AD DE ==，得1,2DO EO ==，以O 为原点，平行于DC 的直线为x 轴，DE 所在直线为y 轴，OA 所在直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()()()()()3,3,1,0,0,1,0,0,2,0,3,5,0A C D E F --，()3OB OA AB OA DC =+=+=，设()3,,0,15G t t-＃，则()()3,2,3,0,,3BE BG t =--=-，设平面BEG 的法向量为(),,m x y z =，则由00m BE m BG ì?ïí?ïî，得323030x y z ty z ì-+-=ïíï-=î，取233x ty z tì=-ïï=íïïî， 得平面BEG 的一个法向量为()23m t t =-， 又面DEG 的一个法向量为()0,0,1n =，23cos ,4413m n t m n m n t t ×\==-+，314t\=， 解得12t =或1322t =-（舍去），此时14CG CF =，得1342CG CF ==，即所求线段CF 上的点G 满足32CG =.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、空间向量的应用，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.20.已知椭圆C ：22221(0,0)x y a b a b +=>>的离心率为12，点P 3(3,在C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）设12,F F 分别为椭圆C 的左右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，求△1F AB 的内切圆的半径的最大值.【答案】（1） 22143x y += ；(2) 最大值为34.【解析】 【分析】 (1) 根据离心率为12，点33,骣琪琪在椭圆上，结合性质222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b ，即可得结果；（2）可设直线l 的方程为1x m y =+，与椭圆方程联立，可得()2234690m ymy ++-=，结合韦达定理、弦长公式，利用三角形面积公式可得12121221121234F ABm S F F y y m D +=-=+，换元后利用导数可得，1F ABS D 的最大值为3，再结11442F AB S a r rD =?可得结果.【详解】（1）依题意有22222123314c a a b c a bì=ïïï=+íïï+=ïî，解得231a b c ì=ïï=íï=ïî故椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，设1F AB D 的内切圆半径为r ，1F AB D 的周长为121248AF AF BF BF a +++==，11442F AB S a rr D \=?，根据题意知，直线l 的斜率不为零， 可设直线l 的方程为1x my =+，由221431x y x my ìï+=íï=+ïî，得()2234690m y my ++-=， ()()22636340,m m m R D=++>?，由韦达定理得12122269,3434m y y y y m m --+==++， ()12212121212112142F ABm S F F y y y y y y D +\=-+-=，令t ，则1t ³，12124313F AB t S t t tD \==++， 令()13f t t t =+，则当1t ³时，()()21'10,3f t f t t=->单调递增，()()141,33F AB f t f S D \??，即当1,0t m ==时，1F AB S D 的最大值为3，此时max 34r =，故当直线l 的方程为1x =时，1F AB D 内切圆半径的最大值为34.【点睛】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求. 21.已知函数21()(2ln ),x f x a x x a R x-=-+?. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 的有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】(1) 当a≤0，()f x 在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）递减；当104a <<，()f x 在（0，2）和a +?）上单调递增，在（2，aaa=14，()f x 在（0，+∞）递增；当a ＞14，()f x 在（02，+a 2）递减；(2) ()1,081ln2a 骣琪?琪-桫.【解析】 【分析】（1）求出()'f x ，分四种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪，可证明()()00022200000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<，()f x 有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，可证明，当14a =时与当0a >且14a ¹时，至多一个零点，综合讨论结果可得结论.【详解】（1）()f x 的定义域为()0,+?，()()()2332122'1x ax x f x a xx x --骣-琪=-+=琪桫， （i ）当0a £时，210ax -<恒成立，()0,2x Î时，()()'0,f x f x >在()0,2上单调递增； ()2,x ??时，()()'0,f x f x <在()2,+?上单调递减.（ii ）当0a >时，由()'0f x =得，1232,x x x a a===-（舍去）， ①当12x x =，即14a =时，()0f x ³恒成立，()f x 在()0,+?上单调递增；②当12x x >，即14a >时，x a骣琪Î琪桫或()2,x ??，()'0f x >恒成立，()f x 在(),2,a骣琪+?琪桫上单调递增；2x 骣Î时，()'0f x <恒成立，()f x 在2a骣琪琪桫上单调递减. ③当12x x <，即104a <<时，x a骣琪??琪桫或()0,2x Î时，()'0f x >恒成立，()f x 在()0,2,a骣琪+?琪桫单调递增，x 骣琪Î琪桫时，()'0f x <恒成立，()f x 在a骣琪琪桫上单调递减. 综上，当0a £时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?；当14a =时，()f x 单调递增区间为()0,+?，无单调递减区间为；当14a >时，()f x 单调递增区间为(),2,a 骣琪+?琪桫，单调递减区间为2a骣琪琪桫. （2）由（1）知当0a <时，()f x 单调递增区间为()0,2，单调递减区间为()2,+?，又()10f a =<，取01max ,5x a禳镲=-睚镲铪，令()()1212ln ,f x x x f x x =-=，则()12'10f x x=->在()2,+?成立，故()12ln f x x x =-单调递增，()()1052ln5122ln51f x ?=+->，()()0002220000111112ln 0f x a x x a x x x x x =-+-?-?<， ()f x \有两个零点等价于()()1222ln 204f a =-+>，得188ln 2a >--，1088ln 2a \>>--，当0a =时，()21x f x x-=，只有一个零点，不符合题意；当14a =时，()f x 在()0,+?单调递增，至多只有一个零点，不符合题意；当0a >且14a ¹时，()f x 有两个极值，()()1222ln 20,2ln 4f a f a a a a a骣琪=-+>=-琪桫， 记()2ln g x x x x x =-，()()'1ln 1ln 2g x x x xx=++-+， 令()ln h x x x=+，则()3221121'22x h x x x x -=-+， 当14x >时，()()'0,'h x g x >在1,4骣琪+?琪桫单调递增；当104x <<时，()()'0,'h x g x <在10,4骣琪琪桫单调递减， 故()()1''=22ln 20,4g x g g x 骣琪>->琪桫在()0,+?单调递增，0x ®时，()0g x ®，故2ln 0f a a a a a骣琪=->琪桫，又()()1222ln 204f a =-+>，由（1）知，()f x 至多只有一个零点，不符合题意， 综上，实数a 的取值范围为1,088ln 2骣琪-琪-桫.【点睛】本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值、零点等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.（二）选考题：共10分，请在22-23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.已知曲线C 的极坐标方程为23cos 2sin r q q =+，直线()1:6l R p q r =?，直线()2:3l R pq r =?，设极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. （1）求直线12,l l 的直角坐标系方程以及曲线C 的参数方程；（2）若直线1l 与曲线C 交于O 、A 两点，直线2l 与曲线C 交于O 、B 两点，求△AOB 的面积.【答案】（1）13:l y x = ； 2:3l y x ；32,12x cos y sin q q qì=ïíï=+î 为参数；（2）23【解析】 【分析】（1）利用极角的定义、直线的倾斜角的定义以及两直线过原点，可得到直线1l 与直线2l 的直角坐标方程；曲线C 的极坐标方程两边同乘以r 利用222,cos ,sin x y x y rr q r q =+== 即可得其直角坐标方程，然后化为参数方程即可；（2）联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==，同理223OB r ==形面积公式可得结果.【详解】（1）依题意，直线1l 直角的坐标方程为3y x =， 直线2l 直角的坐标方程为3y x ，由2sin r q q =+得223cos 2sin rr q r q =+，222,cos ,x y x sin y r r q r q =+==，()()222314x y r \=-+-=，\曲线C 的参数方程为32cos (12x y sin a a aì=ïíï=+î为参数）.（2）联立6232sin pq r q qì=ïïíï=+ïî，得14OA r ==， 同理223OB r ==6AOBp?， 11142323222AOB S OA OB sin AOB D \=?创?，即AOB D 的面积为23【点睛】本题主要考查极坐标方程化为直角坐标方程与参数方程，属于中档题. 利用关系式cos sin x y r q r qì=ïí=ïî，222tan x y yxr q ì+=ïíï=ïî可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()()13f x x a a R =-?. （1）当2a =时，解不等式()113x f x -+?； （2）设不等式()13x f x x -+?的解集为M ，若11[,]32M Í，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|01}x x x ３或．（2）14[,]23-． 【解析】试题分析：（1）利用零点分段讨论求解．（2）利用11,32x 轾Î犏犏臌化简313x x a x -+-?得到1x a -?在区间11,32轾犏犏臌上是恒成立的，也就是11a x a -<<+是不等式11,32轾犏犏臌的子集，据此得到关于a 的不等式组，求出它的解即可．解析：（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -+-?．①当13x £时，原不等式可化为3123x x -++-?，解得0x £，所以0x £； ②当123x <<时，原不等式可化为3123x x --+?，解得1x ³，所以12x ?； ③当2x ³时，原不等式可化为3123x x --+?，解得32x ³，所以2x ³．综上所述，当2a =时，不等式的解集为{}|01x x x ３或． （2）不等式()13x f x x -+?可化为313x x a x -+-?，依题意不等式313x x a x -+-?在11,32轾犏犏臌恒成立，所以313x x a x -+-?，即1x a -?，即11a xa -＃+，所以113112a a ì-?ïïíï+?ïî．解得1423a -＃，故所求实数a 的取值范围是14,23轾-犏犏臌．。
2019年广州一模理科数学
2019年广州一模理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）已知集合{|||3}M x x =<，3{|11}N x og x =<，则M N 等于( )A ．∅B ．{|03}x x <<C ．{|3}x x <D ．{|33}x x -<<2．（5分）已知i 为虚部单位，若(1)1i z i +=-，则(z = ) A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -3．（5分）若4cos()25πα+=-，且(2πα∈，)π，则sin(2)(πα-= )A ．2425B ．1225C ．1225-D ．2425-4．（5分）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，直线2)y x =-与C 交于A ，(B A 在x 轴上方）两点，若AF mFB =，则实数m 的值为( )A B ．3C ．2D ．325．（5分）下列四个命题：①样本方差反映的是所有样本数据与样本平均值的偏离程度；②某校高三一级部和二级部的人数分别是m ，n ，本次期末考试两级部数学平均分分别是a ，b ，则这两个级部的数学平均分为na mbm n+；③某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查，现将800名学生从001到800进行编号，已知从497512-这16个数中取得的学生编号是503，则初始在第1小组001016-中随机抽到的学生编号是007．其中命题正确的个数是( ) A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．（5分）正四面体ABCD 中，E ，F 分别为棱AD ，BC 的中点，则异面直线EF 与CD 所成的角为( ) A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 7．（5分）函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且1212()()()f x f x x x =≠，则12()(f x x += )A ．1B ．12C D 8．（5分）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC +的最小值是( ) A ．2-B ．32-C ．43-D ．1-9．（5分）设函数()cos sin f x x x x =-的图象上的点0(x ，0)y 处的切线的斜率为k ，若0()k g x =，则函数()g x 的大致图象为( )A ．B ．C ．D ．10．（5分）已知1F 、2F 分别是双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，1||OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( ) A ．2BC ．3D11．（5分）数列{}n a 满足11a =，对任意*n N ∈的都有11n n a a n +=++，则1299111(a a a ++⋯⋯+= ) A ．9998B ．2C ．9950D ．9910012．（5分）设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为()f x '，若()()1f x f x '+>，(0)2018f =，则不等式()2017x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．(-∞，0)(0⋃，)+∞ B ．(-∞，0)(2017⋃，)+∞ C ．(2017,)+∞D ．(0,)+∞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．（5分）已知函数22(1)()69(1)x x f x x x x ⎧>=⎨-+⎩，则不等式(f f （1）)= ．14．（5分）已知实数x ，y 满足2041x y x y y -⎧⎪+⎨⎪>⎩，则2y x +的取值范围为 ．15．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 ．16．（5分）在ABC ∆中，已知2c =，若222sin sin sin sin sin A B A B C +-=，则a b +的取值范围 ．三、解答题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，等比数列{}n b 满足21b a =，34b a =． （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AC AA ===，BC =D ，E 分别是BC ，1CC 的中点．（1）证明：平面1ADB ⊥平面ADE ； （2）求三棱锥1D AB E -的高．19．（12分）某学校高三年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表．规定：A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级为了解该校高三年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60)[60，70)，[70，80)，[80，90)[90，00]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示（1）求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；（2）根据频率分布直方图，求成绩的中位数（精确到0.1)；（3）在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调研，求至少有一名学生是A等级的概率．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，右焦点2F 到直线1:340l x y +=的距离为35．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过椭圆右焦点2F 斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于E 、F 两点，A 为椭圆的右顶点，直线AE ，AF 分别交直线3x =于点M ，N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为k '，求证：k k '为定值．21．（12分）设函数2()2xf x alnx=-．a R∈．（1）求函数()y f x=的单调区间和极值．（2）若函数()f x在区间(1，2]e内恰有两个零点，求a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1(x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρθ=． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P的坐标为，求||||PA PB +的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||1|2f x x x =-+++． （1）求不等式()6f x 的解集；（2）若关于x 的不等式2()2f x a a --在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．。
广东省2019届广州市高中毕业班综合测试(一)理科数学试题答案及评分标准(1)
A O D
（2）解法 1:作 CE BD ，垂足为 E ，连结 AE ． 因为 Rt ABD Rt BCD , C 所以 AE BD ， AE CE , AEC 为二面角 A BD C 的平面角. …………………5 分 由已知二面角 A BD C 为 120º ，故 AEC 120 ． ………………………………6 分 在等腰 AEC ,由余弦定理可得 AC
3 AE ，
2
…………………………………7 分
因为 ABC 是等边三角形，则 AC AB . 所以 AB 3 AE .
1 1 AE BD AB AD ，得 BD 3 AD , 2 2 因为 BD 6 , 所以 AD 2 . 2 2 2 又 BD AB AD ，得 AB 2 . 2 3 6 . …………………………………8 分 则 AE , ED 3 3 由上述可知 BD 平面 AEC ，则平面 AEC 平面 BCD . 过点 A 作 AO CE ，垂足为 O ，则 AO 平面 BCD . …………………………………9 分 连结 OD ,则 ADO 为直线 AD 与平面 BCD 所成角． …………………………………10 分
2019 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 理科数学试题参考答案及评分标准
评分说明: 1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 但不得超过该部分正确解答应得分数的 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 C 5 D 6 C 7 B 8 9 10 B 11 B 12 A
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年广东省高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A ＝{x|x ﹣1＜2}，B ＝{y|y ＝2x，x ∈A}，则A ∩B ＝（）A ．（﹣∞，8）B ．（﹣∞，3）C ．（0，8）D ．（0，3）2．（5分）复数z ＝﹣i （i 为虚数单位）的虚部为（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）双曲线9x 2﹣16y 2＝1的焦点坐标为（）A ．（±，0）B ．（0，）C ．（±5，0）D ．（0，±5）4．（5分）记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2+a 8＝34，S 4＝38，则a 1＝（）A ．4B ．5C ．6D ．75．（5分）已知函数f （x ）在（﹣∞，+∞）上单调递减，且当x ∈[﹣2，1]时，f （x ）＝x2﹣2x ﹣4，则关于x 的不等式f （x ）＜﹣1的解集为（）A ．（﹣∞，﹣1）B ．（﹣∞，3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，+∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π7．（5分）执行如图的程序框图，依次输入x 1＝17，x 2＝19，x 3＝20，x 4＝21，x 5＝23，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A．S＝4，即5个数据的方差为4B．S＝4，即5个数据的标准差为4C．S＝20，即5个数据的方差为20D．S＝20，即5个数据的标准差为208．（5分）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16﹣12﹣3＝，则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣39．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝2，a n+a n+1＝2n（n∈N*），则S13＝（）A．B．C．D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC，CB，使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项，即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中，若点P，Q为线段BC的两个黄金分割点，在△ABC内任取一点M，则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0），点P，Q，R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点，且2|PQ|＝|QR|＝，则ω+m＝（）。
最新最新题库广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学及答案〔含参考答案〕
S2m 1 ＝ 11，则 m=（
）
A ．11
B ．10
C． 6
D．5
7．如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀
速流出，水流完所用时间为 T,若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t,则函数 h=f(t) 的图
象大致是（
）
8． 2
x3
x
5
a 的展开式的各项系数和为
(1) 求 sinC 的值； (2)若 c=2 6 b-a=2, 求△ ABC 的面积
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18.（12 分）如图，在三棱锥 A-BCD 中，△ ABC 是等边三角形，∠ BAD= ∠ BCD=90 ° ,点 P 是 AC 的中点，连接 BP、DP (1)证明：平面 ACD ⊥平面 BDP
VA BCD VA BPD VC BPD
1
1
1
AO 2
AC S BPD
2 S BPD
3
3
3
∴AO=1, 设 AD 与平面 BCD 的夹角为θ
23 AH=HC= 3
AO 2 sin
AD 2
19．（ 12 分） 解： (1) 由分布列可知：分 2 期付款的概率为 0.4，设恰有 2 位选择分 2 期付款为事件 A ∴P(A)=C 23× 0.42 ×(1-0.4) 1=0.288
A ．2
1
B．
2
1
C．﹣
2
D．﹣ 2
3．已知双曲线 C: x2
y2 b2
1 的一条渐近线过圆
2
P: x 2
2
y 4 1的圆心，则 C 的
离心率是（
）
5
A．
2019广州一模理科数学(解析版)
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的．
1．已知集合 A {x | x2 2x 0}, B {x | 2x 1} ，则（ ）
A． A B
1．答案：D
B． A B R
x
x
h(x) 0 在 (1, ) 上有解，则 h(1) 2 ln(1 a) 0 ，解得 a e2 1 ．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若 S3 3, S6 27 ，则 a1
．
3
13．答案：
48
解析：如图，当点 M 到平面 C1O1H 的距离最小时，三棱锥 M C1O1H 的体积取到最小值，分析可知，
当点 M 位于点 B 时，到平面 C1O1H 的距离最小，此时，设 OB1 O1B D ，由 OH 3HB1 ，可知 H 为
1
1 31 3
B1D 的中点，所以 S△O1BH
2 S△O1BB1
3
3
即 (a b)2 4 ab 24 ． 3
……………………………………………9 分
因为 b a 2 ，所以 ab 15 ．…………………………………………………………………………10 分
1
1 22
所以△ABC 的面积 S ab sin C 15 5 2 ．…………………………………………12 分
中心为圆心 O ，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子， 其中有 b 粒豆子落在正十二边形内 (a, b N, b a) ，
2019年数学综合测试(一)理科答案(发排稿)
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．9 10．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．3 12．[]1,2 13．35，10 14．15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：9f π⎛⎫⎪⎝⎭tan 34ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭……………………………………………………………………………1分tantan 341tan tan34ππ+=ππ-…………………………………………………………………………3分 2==-………………………………………………………………………4分（2）解：因为3tan 3444f ααπππ⎛⎫⎛⎫+=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………………………………………………5分 ()tan α=+π……………………………………………………………………6分 tan 2α==．……………………………………………………………………7分所以sin 2cos αα=，即sin 2cos αα=． ① 因为22sin cos 1αα+=， ②由①、②解得21cos 5α=．………………………………………………………………………………9分 因为3,2απ⎛⎫∈π ⎪⎝⎭，所以cos 5α=-，sin 5α=-．…………………………………………10分 所以cos 4απ⎛⎫-⎪⎝⎭cos cos sin sin 44ααππ=+ ………………………………………………………11分525210⎛=-⨯+-⨯=- ⎝⎭．……………………………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分 （2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分这两名同学成绩之差的绝对值的所有情况如下表：所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==.所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分 6817164==.…………………………………………………………………………………………12分 ……………………10分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥，所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．因为AB BC ==4=AC，所以BE ===3分因为PD ⊥AC ，所以△PCD为直角三角形． 因为PD =3CD =，所以PC ===4分连接BD ，在Rt△BDE 中，因为BE =1DE =，所以BD ===5分因为PD ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以PD ⊥BD ． 在Rt△PBD 中，因为PD=，BD =所以PB ===6分在PBC ∆中，因为BC =PB =PC =所以222BC PB PC +=．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 证明2：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =， PD ⊂平面PAC ，AC PD ⊥， 所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………1分 记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，因为ABBC =，所以AC BE ⊥． 因为AB BC ==4=AC，所以BE ===3分连接BD ，在Rt △BDE 中，因为90BED ∠=o，BE =，1DE =，所以BD ===4分在△BCD 中，因为3CD =，BC =BD =所以222BC BD CD +=，所以BC BD ⊥．……………………………………………………………5分 因为PD ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以BC PD ⊥．…………………………………………………………………………………………6分 因为BD PD D =，所以BC ⊥平面PBD ．因为PB ⊂平面PBD ，所以BC PB ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分BPACD E（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，则APH ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积12ABC S AC BE ∆=⨯⨯=．…………………………………………9分因为PD =13P ABC ABC V S PD -∆=⨯⨯133=⨯=10分 由（1）知PBC ∆为直角三角形，BC =PB =所以△PBC的面积11322PBC S BC PB ∆=⨯⨯==．……………………………………11分 因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，即133AH ⨯⨯=，所以3AH =．……………………………………………………………12分 在Rt △PAD中，因为PD =，1AD =，所以2AP ===．………………………………………………………13分因为3sin 23AH APH AP ∠===． 所以直线AP与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法2：过点D 作DM AP ∥，设DMPC M =，则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………8分由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P =，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面PBD ．过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分 在Rt△PAD 中，因为PD =，1AD =， 所以2AP ===．………………………………………………………11分因为DM AP ∥，所以DM CD AP CA =，即324DM =，所以32DM =．………………………………12分 由（1）知BD=，PB =PD =所以2PD BD DN PB ⨯===．……………………………………………………………13分 BP A CDM N因为2sin 332DN DMN DE ∠===， 所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分 在△PCG中，PB BG BC ===所以90CPG ∠=o，即CP PG ⊥．在△PAC中，因为PC =2PA =，4AC =， 所以222PA PC AC +=， 所以CP PA ⊥． 因为PA PG P =I ，所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………9分 过点A 作AK PG ⊥于点K ， 因为AK ⊂平面PAG ， 所以CP AK ⊥． 因为PG CP P =I ，所以AK ⊥平面PCG ．所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分 由（1）知，BC PB ⊥， 所以PG PC ==在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，所以2AG BE ==12分 在△PAG 中，2PA =，AG =PG =所以222PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分 因为sin AG APK PG ∠===． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分BPACD EGK则()0,2,0A -，)B，()0,2,0C，(0,P -．于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,30.y y +=-=⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC 的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ， 则sin cos AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP 与平面PBC 14分若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系E xyz -，…………………………………………………………………………………………………1分则)B，()0,2,0C ，(0,P -．于是(BP =-，()2,0BC =． 因为()()2,1,32,2,00BP BC =---=，所以BP BC ⊥．所以BP BC ⊥．所以PBC ∆为直角三角形．………………………………………………………………………………7分 （2）由（1）可得，()0,2,0A -． 于是(AP =，(2,1,PB =，(0,3,PC =．设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，AA则0,0.PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即0,30.y y +-==⎪⎩ 取1y =，则z =x =所以平面PBC的一个法向量为=n ．……………………………………………………12分设直线AP 与平面PBC所成的角为θ，则sin cos 3AP AP AP θ⋅=<>===⋅n ,n n． 所以直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值为3．…………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有45323224,22.a a a a a +⎧=⎪⎨⎪=⎩即3452322,2.a a a a a =+⎧⎪⎨=⎪⎩……………………………………………………………………2分 所以234111222112,2.a q a q a q a q a q ⎧=+⎪⎨=⎪⎩………………………………………………………………………………3分 由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2a q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11,21.a q ⎧=⎪⎨⎪=-⎩……………………………………………………5分又10,0a q >>，所以111,22a q ==，…………………………………………………………………6分 所以数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（*n ∈N ）．…………………………………………………7分（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=⋅++()()25121232n n n n +=⋅++．………………………………8分所以21121232n n b n n ⎛⎫=-⋅⎪++⎝⎭ 111(21)2(23)2n nn n -=-++．…………………………………………………………………10分所以12n n S b b b =+++L()()211111113525272212232n n n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⋅++⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()113232n n =-+． 故数列{}n b 的前n 项和()113232n nS n =-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分设双曲线C 的方程为2221y x b-=()0b >，=2b =． 所以双曲线C 的方程为2214y x -=．……………………………………………………………………3分 （2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），则直线AP 的方程为(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分联立方程组()221,1.4y k x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩………………………………………………………………………………5分 整理，得()22224240kxk x k +++-=，解得1x =-或2244k x k -=+．所以22244k x k -=+．…………………………………………………………6分同理可得，21244k x k+=-．…………………………………………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =）， 则111AP y k x =+，221AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分 因为APAT k k =，所以121211y y x x =++，即()()2212221211y y x x =++．……………………………………5分 因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以221114y x -=，222214y x +=． 即()221141y x =-，()222241y x =-．…………………………………………………………………6分 所以()()()()22122212414111x x x x --=++，即12121111x x x x --=++．……………………………………………………7分 所以121x x ⋅=．……………………………………………………………………………………………8分 证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为11(1)1y y x x =++，………………………………………4分 联立方程组()11221,11.4y y x x y x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪+=⎪⎩…………………………………………………………………………5分整理，得222222111114(1)24(1)0x y x y x y x ⎡⎤++++-+=⎣⎦， 解得1x =-或221122114(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分 将221144y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即211x x =． 所以121x x ⋅=．…………………………………………………………………………………………8分 （3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则()111,PA x y =---，()111,PB x y =--．因为15PA PB ⋅≤，所以()()21111115x x y ---+≤，即221116x y +≤．…………………………9分因为点P 在双曲线上，则221114y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤． 因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分因为1221||||||2S AB y y ==，21111||||||22S OB y y ==， 所以()()22222222122121121441544S S y y x x x x -=-=---=--．……………………………11分由（2）知，121x x ⋅=，即211x x =． 设21t x =，则14t <≤，221245S S t t-=--． 设()45t tf t =--，则()()()222241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<， 所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减． 因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，()()2212min40S S f -==．……………………………………………12分当2t =，即1x =()()2212max21S S f -==．………………………………………………13分所以2212S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………14分说明：由()222212121254541S S x x x x -=-+≤-=，得()2212max1S S -=，给1分．21．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1xx f x g x e x ϕ=-=--，所以1()1xx e ϕ'=-．………………………………………………………………………………………1分当0x <时，1()0x ϕ'<，当0x =时，1()0x ϕ'=，当0x >时，1()0x ϕ'>．即函数1()x ϕ在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分 因为1(0)0ϕ=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ϕϕ=≥． 即1()()0f x g x -≥，所以()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分用数学归纳法证明如下：①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．②假设当n k =（*k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分令()()()k k x f x g x ϕ=-，11()()()k k x f x g x ϕ++=-，因为对任意的正实数x ，()()11()()()k kk x f x g x f x g x ϕ++'''=-=-， 由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ϕ+'=->．…………………………………………………………6分 即11()()()k k x f x g x ϕ++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ϕϕ++>， 因为1(0)0k ϕ+=，所以1()0k x ϕ+>． 从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->． 即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分 （3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ． 令1x =，得()()11=e n g f <．所以()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分再证对任意正整数n ，()1232222112341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112!3!!n =+++++． 要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!nn n ⎛⎫≤ ⎪+⎝⎭成立． 即要证明对任意正整数n ，不等式1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（*）成立．……………………………………10分以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）： 方法1（数学归纳法）：①当1n =时，1111!2+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭成立，所以不等式（*）成立．②假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式（*）成立，即1!2kk k +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．………………………………………………………………………………………11分则()()()1111!1!1222k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫+=+≤+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．因为111101111112211121C C C2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++⎛⎫⎪+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭==+=+++≥ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫⎪⎝⎭，…12分所以()11121!222k k k k k ++++⎛⎫⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．……………………………………………………………13分这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分方法2（基本不等式法）：12n +≤，……………………………………………………………………………………11分 12n +≤， ……，12n +≤， 将以上n 个不等式相乘，得1!2nn n +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．……………………………………………………………13分所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341nn g n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++≤< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭成立． ……………………………………14分。
2019年广东省高考一模数学试卷含参考答案(理科)
2019年广东省高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为208．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣39．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y 轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m, n）, 且n﹣m＝, 求a的值．2019年广东省高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3},B＝{y|y＝2x, x∈A}＝[y|0＜y＜8},∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0, 3）．故选：D．2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数z＝﹣i＝﹣i＝﹣i＝﹣﹣i,则z的虚部为﹣．故选：A．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：,可得a＝, b＝, c＝＝,所以双曲线的焦点坐标为（±, 0）．故选：A．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a2+a8＝34, S4＝38,∴2a1+8d＝34, 4a1+6d＝38,联立解得：a1＝5, d＝3,故选：B．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）【解答】解：∵x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得, f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1, +∞）．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【解答】解：由三视图知, 几何体是一个简单组合体, 左侧是一个半圆柱, 底面的半径是1, 高为：4,右侧是一个半圆柱, 底面半径为1, 高是2,∴组合体的体积是：＝3π,故选：A．7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图, 输出的S是x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23这5个数据的方差,∵＝（17+19+20+21+23）＝20,∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【解答】解：由题意, 可知：对于A：＝＝,整理上式, 可得：16﹣12﹣3＝,这与题干中条件相符合,故选：A．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意, ∵a1＝2,n＝2时, a2+a3＝22,n＝4时, a4+a5＝24,n＝6时, a6+a7＝26,n＝8时, a8+a9＝28,n＝10时, a10+a11＝210,n＝12时, a12+a13＝212,S13＝2+22+24+26+28+210+212＝2+＝．故选：D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．【解答】解：设BC＝a,由点P, Q为线段BC的两个黄金分割点,所以BQ＝, CP＝,所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a,S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2,由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为＝,故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m ＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．【解答】解：∵2|PQ|＝|QR|＝,∴|PQ|＝, |QR|＝,则T＝||PQ+|QR|＝+＝π,即＝π, 即ω＝2,即f（x）＝sin（2x+）+,∵|PQ|＝,∴x2﹣x1＝,2x1++2x2+＝π,得x1＝0, 此时m＝sin（2x1+）+＝sin+＝＝1．即ω+m＝1+2＝3,故选：A．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）【解答】解：由f（x）＜0得f（x）＝（kx+）e x﹣3x＜0,即（kx+）e x＜3x,即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数,设h（x）＝, 则h′（x）＝＝,由h′（x）＞0得3﹣3x＞0得x＜1, 由h′（x）＜0得3﹣3x＜0得x＞1,即当x＝1时函数h（x）取得极大值h（1）＝,设函数g（x）＝kx+,作出函数h（x）的图象如图,由图象知当k≤0, （kx+）＜的解集中有很多整数解, 不满足条件．则当k＞0时, 要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则这两个整数解为x＝1和x＝2,∵h（2）＝, h（3）＝, ∴A（2, ）B（3, ）,当直线g（x）过A（2, ）B（3, ）时, 对应的斜率满足2k A+＝, 3k B+＝, 得k A＝, k B＝,要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则k B＜k≤k A, 即＜k≤,即实数k的取值范围是（, ],故选：A．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为60．【解答】解：（2x+y）6的展开式中, 故含x2y4的项为•（2x）2•y4＝60x2y4,故答案为：60．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为7．【解答】解：画出x, y满足约束条件表示的平面区域,如图所示,由, 解得点A（3, 1）,结合图形知, 直线2x+y﹣z＝0过点A时,z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．【解答】解：如图,由AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝,得PB＝PC＝BC＝2, ∠APB＝∠APC＝45°,沿P A剪开, 向两侧展开到平面PBC上, 连接A′A″,则AD+DE+EA的最小值为A′A″＝＝＝．故答案为：．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝【解答】解：可得直线2x﹣6y+3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F,由得x2﹣px﹣p2＝0, ⇒x P＝, x S＝．⇒,|RS|＝|SF|﹣＝y S+＝p, |PQ|＝|PF|﹣＝y P+﹣＝p．∴则＝．故答案为：..三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos A+c sin A＝b+a,∴由正弦定理可得：sin C cos A+sin C sin A＝sin B+sin A,∴sin C cos A+sin C sin A＝sin（A+C）+sin A＝sin A cos C+cos A sin C+sin A,∴sin C sin A＝sin A cos C+sin A,∵sin A≠0,∴sin C＝cos C+1,∴解得：sin（C﹣）＝,∵C∈（0, π）, 可得：C﹣∈（﹣, ）,∴C﹣＝, 可得：C＝．（2）∵cos B＝, 可得：sin B＝＝,∴由S△ABC＝10＝ac sin B＝ab sin C, 可得：ac＝56, ab＝40, 可得：a＝, b ＝,又∵由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣40,∴c2＝（）2+（）2﹣40, 整理可得：3c4+245c2﹣19208＝0,解得：c2＝49, 可得：c＝7, a＝8, b＝5,∴在△ACD中, 由余弦定理可得：AD＝＝＝．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4, AC＝2,∴DE⊥AD, AD2+CD2＝AC2, ∴AD⊥CD,∵AD∩DE＝D, ∴CD⊥平面ADE,∵AB∥CD, ∴AB⊥平面ADE．解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE,∴∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角, 即∠DAE＝30°．∵DA＝DE＝2, ∴∠ADE＝120°,以D为原点, DA为x轴, DC为y轴, 过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,E（﹣1, 0, ）, B（2, 2, 0）, C（0, 4, 0）, F（0, 4, ）, ＝（﹣2, 2, 0）, ＝（﹣3, ﹣2, ）, ＝（﹣2, 2, ）, 设平面BCF的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, 0）,设平面BCE的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, ）,设二面角E﹣BC﹣F的平面角为θ,则cosθ＝＝＝,∴二面角E﹣BC﹣F的余弦值为．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．【解答】解：（1）由题意可得, 解得a2＝4, b2＝2,故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0, 设过点M（0, 1）的直线l方程为y＝kx+1, （k≠0）, P（x1, y1）, Q（x2, y2）,由, 消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0,∴x1+x2＝﹣, x1x2＝﹣,∵A1（0, 2）, A2（0, ﹣2）,∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2,则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2,由, 消x可得＝,整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4,直线A1P与A2Q交于点S, 则点S恒在直线y＝4上20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．【解答】解：根据题意, 设A i表示男学员在第i次参加科目2考试中通过, B i表示女学员在第i次参加科目2考试中通过,则P（A1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝, P（B1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝,（1）根据题意, 设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费, 则P（M）＝P（A1B1+A1B2+A2B1+A2B2）＝×+××+××+×××＝；（2）根据题意, X可取的值为400、600、800、1000、1200,P（X＝400）＝×＝,P（X＝600）＝××+××＝,P（X＝800）＝×××+××+××＝P（X＝1000）＝×××+×××＝P（X＝1200）＝×××＝；则X的分布列为X40060080010001200P故EX＝400×+600×+800×+1000×+1200×＝510.5（元）21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．【解答】（1）解：f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]e x, x∈R．可得函数f（x）在（﹣∞, a﹣1）内单调递减, 在（a﹣1, +∞）内单调递增．（2）证明：当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e x﹣x+lnx, x∈（, 1）．F′（x）＝（x﹣1）e x﹣1+＝（x﹣1）,令F′（x）＝0, 解得：＝, 即x0＝﹣lnx0, x0∈（, 1）,令g（x）＝e x﹣在x∈（, 1）上单调递增,g（）＝﹣2＜0, g（1）＝e﹣1＞0．∴x0∈（, 1）,可知：x＝x0, 函数g（x）取得极大值即最大值,F（x0）＝（x0﹣2）﹣2x0＝1﹣2（x0+）∈（﹣4, ﹣3）．∴﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4,设M（x, y）则P（2x﹣4, 2y）在曲线C1上, 所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4, 即（x ﹣2）2+y2＝1, 即x2+y2﹣4x+3＝0,C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）当k＞0时, 如图：取AB的中点M, 连CM, CA,在直角三角形CMA中, CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2, ①在直角三角形CMO中, CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2, ②由①②得AB＝, ∴OM＝, CM＝,k＝＝＝．当k＜0时, 同理可得k＝﹣．综上得k＝±．第页（共22页）21[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m , n ）, 且n ﹣m ＝, 求a 的值．【解答】解：（1）f （x ）＝, ∴x ＝1时, f （x ） 的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时, f （x ）﹣5＜0的解集为（a ﹣3, ﹣）, ∴﹣﹣a +3＝﹣＝, ∴a ＝3符合,当2a +2≤5即0＜a ≤时, f （x ）的解集 为 （﹣﹣1, ﹣）, ∴﹣++1＝≠．综上可得a ＝3．第页（共22页）22 注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．23．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．34．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．36．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．57．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．412．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，A、A∩B＝{x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A∪B＝{x|x＞0}，故本选项错误；C、A⊆B，故本选项错误；D、A⊆B，故本选项正确；故选：D．2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．2【解答】解：（a+i）（1﹣2i）＝a+2+（1﹣2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2＝0且1﹣2a≠0，得a＝﹣2且a≠，即a＝﹣2，故选：A．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心（2，﹣4），双曲线的一条渐近线为：y＝bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，可得2b＝4，所以b＝2，a＝1，则c＝，则C的离心率为：．故选：C．4．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型中的面积型可得：＝，所以＝，即π＝，故选：C．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：＝，∴＝＝＝1•2•+1•2•1＝3．故选：D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．5【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，则：，解得：a m＝1．S2m﹣1＝＝＝11，解得：m＝6故选：C．7．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数h＝f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：∵（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2﹣1）（1+a）5＝32，∴a＝1，该展开式中x4的系数是2••a﹣1••a4＝10a﹣5a4＝5，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2＝7π．故选：B．11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．4【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|＝λ|BF|，∴x1+1＝λ（x2+1），∴x1＝λx2+λ﹣1∵|y1|＝λ|y2|，∴x1＝λ2x2，当λ＝1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1＝λ，x2＝，|AB|＝（x1+1）+（x2+1）＝．∵，∴（λ++2）max＝．则弦AB的中点到C的准线的距离d＝，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．12．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）【解答】解：当x＞1时，f（x）＝＝x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x＝1的对称图象为g（x），则g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（﹣∞，1）上有公共点．∵g′（x）＝﹣1+＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，又f（x）＝ln（x+a）在（﹣∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2﹣1．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．【解答】解：∵S3＝＝6，S6＝＝54，∴＝1+q3＝9，解得q3＝8，则q＝2，∴＝6，解得a1＝故答案为：14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝2．【解答】解：函数的导数为：f′（x）＝a+，f′（1）＝a+3，而f（1）＝a﹣3，切线方程为：y﹣a+3＝（a+3）（x﹣1），因为切线方程经过（2，4），所以4﹣a+3＝（a+3）（2﹣1），解得a＝2．故答案为：2．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是（]．【解答】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（﹣m，﹣2），直线x﹣2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则点C（﹣m，﹣2）必在直线x﹣2y＝2的下方，即﹣2≤﹣m﹣1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（﹣m，1﹣2m），可得1﹣2m≥﹣1，解得m，故m的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．【解答】解：因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1＝，O1B1＝，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1＝，∵OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B＝OB1＝＝，∴B1到O1B的距离d＝＝＝，∵OH＝3HB1，∴H到直线O1B的距离为d＝．∴S＝＝＝，∴V＝S•O1C1＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B＝（3a﹣b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B＝3sin A cos C﹣sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B＝3sin A cos C，∴sin（C+B）＝3sin A cos C，…2分∵A+B+C＝π，∴sin A＝3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C＝，…4分∵0＜C＜π，∴sin C＝＝；…6分（2）∵，cos C＝，∴由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：24＝a2+b2﹣ab，…8分∴（a﹣b）2+ab＝24，…9分∵b﹣a＝2，∴解得：ab＝15，…10分∴S△ABC＝ab sin C＝＝5…12分18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB＝P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由已知二面角A﹣BD﹣C为120°，∴∠AEC＝120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC＝，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∴AB＝，在Rt△ABD中，，∴BD＝，∵BD＝，∴AD＝，∵BD2＝AB2+AD2，∴AB＝2，∴AE＝，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO＝60°，∴AO＝，AE＝1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．【解答】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η＝2）＝，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X＝400）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝450）＝2×0.4a＝0.8a，P（X＝500）＝2×0.4b+a2＝0.8b+a2，P（X＝550）＝2ab，P（X＝600）＝b2，∴X的分布列为：（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得a+b＝0.6，∴b＝0.6﹣a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤﹣0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6﹣a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）＝400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2＝520﹣100a，当a＝0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．【解答】解：（1）由椭圆可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2＝1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，故椭圆方程为+y2＝1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，则＝1，即m2＝t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，则△＝（2tm）2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＝8＞0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴|y 1﹣y2|＝＝＝，∴△ABF的面积S＝|PF|•|y1﹣y2|＝，令f（m）＝，m≥1∴f′（m）＝，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）＝，故△ABF的面积的最大值为21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝2e2x﹣2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x﹣2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x＝时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）＝2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（﹣∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，ln，lna＞ln，又f′（0）＝2＞0，f′（）＝2e﹣a＜0，f′（lna）＝2e2lna﹣2alna＝2a（a﹣lna）＞0，（易证明a﹣lna＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）＝＝0，存在x2∈（，lna），使得f′（x2）＝0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x＝x1时，f（x）取得极大值，即M＝，由0＜x1＜时，得1﹣x1＞0，x1≠1﹣x1，由2﹣2ax1＝0，得＝ax1，故M＝＝ax1﹣ax12＝ax1（1﹣x1）＜a•（）2＝，即成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρ（cosθ﹣a sinθ）＝，得直线C2的直角坐标方程为y﹣ax＝，即ax﹣y+＝0，（2）由直线C2：ax﹣y+＝0，知C2恒过点M（0，），由y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），当时，得x＝±1，所以曲线C1过点P（﹣1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1＝＝，直线MQ的斜率k2＝＝﹣，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即﹣，所以a的取值范围为[﹣，]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x﹣1|，可得（x+1+2x﹣1）（x+1﹣2x+1）＞0，即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|＝|x+a|﹣|x﹣|﹣|x﹣|≤|x+a﹣x +|﹣0＝|a+|，可得f（x）的最大值为|a +|＝a +，（a＞0），则a +＜1，解得0＜a ＜．第21页（共21页）。
【选填详解】2019广州一模理科数学
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）选择填空题详解1．答案：D解析：2{|20}{|02},{|21}{|0}x A x x x x x B x x x =-<=<<=>=>，所以A B ⊆． 2．答案：B 解析：(i)(12i)2(12)i a a a +-=++-为实数，所以120a -=，解得12a =． 3．答案：C解析：圆心(2,4)P -，渐近线y bx =-过点(2,4)P -，所以2b =，又1a =，所以c ==，C 的离心率为ce a==． 4．答案：C解析：正十二边形的面积为11222sin 30122⨯⨯⨯︒=，圆的面积为224ππ⨯=，则根据题意可得： 124πb a ≈，3πa b≈． 5．答案：D解析：()()()()()222MA MB CA CM CB CM CA CB CA CA CA CB ⋅=-⋅-=--⋅-=+⋅12132⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭．6．答案：C解析：112m m m a a a -++= ，由2111m m m a a a -+-+=，得221m m a a -=，解得1m a =， 所以21(21)2111m m S m a m -=-=-=，解得6m =．7．答案：B解析：水深h 随时间增加逐渐递减，排除C ，D ，根据鱼缸的形状，水深h 变化的速率在开始和结尾时较快，在中间较慢，故选B ． 8．答案：A解析：令1x =，得各项系数和为5(1)32a +=，解得1a =，则35(2)(1)x x -+展开式中含4x 的项为14134144552115C x x C x x ⨯⋅-⋅=，即展开式中4x 的系数是5．9．答案：C解析：()f x 过原点且在原点处单调递减，又因为0ϕπ≤≤，所以2πϕ=，()cos sin 2πωωf x x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，又()f x 在,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以32ππω≤，解得32ω≤．10．答案：B解析：该几何体分为左右两部分，左边是一个四分之一球体，右边是一个圆柱体，其表面积2222111411121217422ππππππS =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=．11．答案：B解析：,,A F B 三点共线，设AB 中点为M ，过,,A B M 三点分别作准线的垂线，垂足分别为111,,A B M ，则1MM 为梯形11AA B B 的中位线，所以()()111111222MM AA BB AF BF AB =+=+=， 设θAFx ∠=，则22,1cos 1cos θθAF BF ==-+，由λAF FB = ，得221cos 1cos λθθ=-+，得：1cos 1λθλ-=+，所以22222224444(1)21sin 1cos (1)(1)111λλλθθλλλλλAB +++=====-+---⎛⎫- ⎪+⎝⎭12λλ=++，设11()2,,33f x x x x ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，则221(1)(1)()1x x f x x x +-'=-=，则当1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0,()f x f x '<单调递减，当(1,3)x ∈时，()0,()f x f x '>单调递增，又因为116(3)33f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，设211()ln(2)ln(2)(1)x h x x a x x a x x x+=--+=+--+>，显然()h x 为单调递增函数，要使得方程()0h x =在(1,)+∞上有解，则(1)2ln(1)0h a =-+<，解得21a e >-．13．答案：37解析：设{}n a 的公比为q ，则3363(1)3(1)27S S q q =+=+=，解得2q =，所以3123173S a a a a =++== 解得137a =． 14．答案：2解析：23(1)3,(),(1)3f a f x a f a x ''=-=+∴=+，所以函数图象在点(1,(1))f 处的切线方程为 (3)(1)3y a x a =+-+-，将点(2,4)代入，得：24a =，所以2a =．15．答案：4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦解析：作出不等式组2120x y y -+⎧⎨+⎩≥0≥表示的平面区域如图所示，并作出直线22x y -=，与直线210x y -+=交于点A ，则45,33A ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，有0x m +≤，得x m -≤，由题意可知43m --≥，所以43m ≤． xOA2x y -2y +16解析：如图，当点M 到平面11C O H 的距离最小时，三棱锥11M C O H -的体积取到最小值，分析可知，当点M 位于点B 时，到平面11C O H 的距离最小，此时，设11OB O B D = ，由13OH HB =，可知H 为1B D的中点，所以111111222O BH O BB S S ===△△11O C ⊥平面11BB D D ，所以1111111111332M C O H C O BH O BH V V S O C --==⨯⨯==△．B。