有关圆-椭圆-双曲线-抛物线的详细知识点

<一>圆的方程

(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，圆心O（a，b），半径r。

（1）圆的一般式方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

此方程可用于解决两圆的位置关系：

配方化为标准方程：（x+D/2）^2.+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

其圆心坐标：（-D/2,-E/2）

半径为r=√[（D^2+E^2-4F）]/2

此方程满足为圆的方程的条件是:

D^2+E^2-4F>0

若不满足,则不可表示为圆的方程

（2）点与圆的位置关系点P（X1,Y1) 与圆(x－a)^2+(y－b) ^2=r^2的位置关系：

⑴当(x1－a)^2+(y1－b) ^2>r^2时，则点P在圆外。

⑵当(x1－a)^2+(y1－b) ^2=r^2时，则点P在圆上。

⑶当(x1－a)^2+(y1－b) ^2

圆与直线的位置关系判断

平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=(-C-Ax)/B，（其中B不等于0），代入

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：

如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为 (x－a)^2+(y－b) ^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1

当x=-C/Ax2时，直线与圆相离；

当x1

半径r，直径d

在直角坐标系中，圆的解析式为：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2;

x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=(D^2+E^2-4F)/4

=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)

其实只要保证X方Y方前系数都是1

就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2)

这可以作为一个结论运用的

且r=根号（圆心坐标的平方和-F）

<二>椭圆的标准方程

椭圆的标准方程分两种情况：

当焦点在x轴时,椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，(a>b>0)；

当焦点在y轴时,椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，(a>b>0)；

其中a>0，b>0。a、b中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长（椭圆有两条对称轴，对称轴被椭圆所截，有两条线段，它们的一半分别叫椭圆的长半轴和短半轴或半长轴和半短轴）当a>b时，焦点在x轴上，焦距为2*(a^2-b^2）^0.5，焦距与长、短半轴的关系：b^2=a^2-c^2，准线方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ，c为椭圆的半焦距。

又及：如果中心在原点，但焦点的位置不明确在X轴或Y轴时，方程可设为mx^2+ny^2=1(m>0，n>0，m≠n）。即

F点在Y轴

标准方程的统一形式。

椭圆的面积是πab。椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是：x=acosθ ，y=bsinθ

标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是：xx0/a^2+yy0/b^2=1。椭圆切线的斜率是：-by0/ax0，这个可以通过很复杂的代数计算得到。

椭圆的一般方程

Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0（A>0，B>0，且A≠B）。

椭圆的参数方程

x=acosθ ，y=bsinθ。

椭圆的极坐标方程

（一个焦点在极坐标系原点，另一个在θ=0的正方向上）

r=a（1-e^2）/（1-ecosθ）

（e为椭圆的离心率）

平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a（2a>|F1F2|）的动点P的轨迹叫做椭圆。

即：│PF1│+│PF2│=2a

其中两定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│F1F2│=2c<2a叫做椭圆的焦距。

长轴长| A1A2 |=2a；短轴长 | B1B2 |=2b。

第二定义

平面上到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数e（即椭圆的离心率，e=c/a）的点的集合（定点F不在定直线上，该常数为小于1的正数）其中定点F为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是x=±a^2/c[焦点在X轴上]；或者y=±a^2/c[焦点在Y轴上]）。

椭圆的面积公式

S=π（圆周率）×a×b（其中a,b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长）。

或S=π（圆周率）×A×B/4（其中A,B分别是椭圆的长轴，短轴的长）。

椭圆的周长公式

椭圆周长没有公式，有积分式或无限项展开式。

椭圆周长（L）的精确计算要用到积分或无穷级数的求和。如

L = ∫[0，π/2]4a * sqrt（1-(e*cost)²)dt≈2π√（（a²+b²)/2）[椭圆近似周长]，其中a为椭圆长半轴，e为离心率

椭圆离心率的定义为椭圆上焦距与长轴的比值，（范围：大于0 小于1）

椭圆的准线方程x=±a^2/c

椭圆的离心率公式

e=c/a(02c。离心率越大，椭圆越扁平；离心率越小，椭圆越接近于圆形。

椭圆的焦准距：椭圆的焦点与其相应准线（如焦点（c,0）与准线x=+a^2/c) 的距离为b^2/c

椭圆焦半径公式

焦点在x轴上：|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分别为左右焦点）

椭圆过右焦点的半径r=a-ex

过左焦点的半径r=a+ex

焦点在y轴上：|PF1|=a-ey |PF2|=a+ey(F1,F2分别为上下焦点）

椭圆的通径：过焦点的垂直于x轴（或y轴）的直线与椭圆的两交点A,B之间的距离，数值=2b^2/a

椭圆的斜率公式

过椭圆上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一点（x，y）的切线斜率为-(b^2）X/(a^2）y

三角形面积公式

若有一三角形两个顶点在椭圆的两个焦点上，且第三个顶点在椭圆上

那么若∠F1PF2=θ，则S=（b^2）tan（θ/2）。

椭圆的曲率公式

K=ab/[(b^2-a^2）（cosθ）^2+a^2]^（3/2）

编辑本段点、直线与椭圆的关系

点与椭圆位置关系