左孝凌离散数学课件序偶与笛卡尔积关系及其表示
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离散数学关系-PPT
离散数学关系
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
返回第5、3节目录
六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
返回总目录
一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
基本要求和重难点:
• 基本要求
了解序偶与笛卡尔积,掌握关系得性质和运算,重 点掌握关系闭包运算得求法和偏序关系及哈斯图 得正确画法。
• 重难点
关系5种性质得判断,关系得闭包运算和偏序关系 得性质及特殊元素得判断。
引言
日常生活中,大家熟知一些常见关系, 例:家庭集合,有父子关系、夫妻关系等。 全校同学作为一个集合,有同班关系,同组关系。 在计算机科学中,在计算机逻辑设计中,应用了等 价关系,相容关系。 在编译原理、关系数据库、数据结构、数学中也有 关系。
例题
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五、传递性例题
例: A={1,2,3,4} R={<1,4>,<4,3>,<1,3>,<3,1>,<1,2>,<3,2>,<2,3>, <4,2>,<1,1>,<3,3>} R不就是传递得
返回传递性
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六、举 例
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
任何集合上得
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一、自反性
自反性
定义: 若xA,均有xRx,那么称R就是自反得。
A上关系R就是自反得x(xA xRx)
在关系矩阵中,反映为主对角线元素均为1 在关系图中,反映为每结点都有自回路 例1: A＝{1,2,3},R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<1,2>}
1 23
例2:“＝”关系和“≤”关系就是自反得吗？
S={<4,2>,<2,5>,<3,1>,<1,3>}
离散数学-3-4序偶与笛卡儿积
笛卡儿积描述事件关系
通过笛卡儿积，可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如，如果事件A和事件B相互独立，那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中，序偶可以用来表示一条边，其中第一个元素表示起点，第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积，可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边，那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对，通常用圆括号括起来， 如 (a, b)，其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合，则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示，即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中，表示不同元素的排 列和组合。
通过笛卡儿积，可以描述两个或多个事件的独立性、相关性或条件性。例如，如果事件A和事件B相互独立，那么 事件A和事件B的笛卡儿积等于它们各自概率的乘积。
图论中的应用
序偶表示边
在图论中，序偶可以用来表示一条边，其中第一个元素表示起点，第二个元素表示终点。
笛卡儿积描述多重边
通过笛卡儿积，可以描述图中的多重边。如果存在一条从点i到点j的边和一条从点j到点 i的边，那么可以通过笛卡儿积来表示这两条边。
离散数学-3-4序偶与 笛卡儿积
目录
• 序偶的定义与性质 • 笛卡儿积的定义与性质 • 序偶与笛卡儿积的关系 • 序偶与笛卡儿积在离散数学中的应用
01
序偶的定义与性质
序偶的表示方法
01
02
ห้องสมุดไป่ตู้
03
序偶的表示
一个序偶可以表示为有序 对，通常用圆括号括起来， 如 (a, b)，其中a和b是元 素。
序偶的元素
THANKS
感谢观看
02
笛卡儿积的定义与性质
笛卡儿积的表示方法
定义
设 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 是任意集合，则 $A_1 times A_2 times ldots times A_n$ 称为集合 $A_1, A_2, ldots, A_n$ 的笛卡儿积。
表示
笛卡儿积可以用大括号 {} 表示，即 $A_1 times A_2 times ldots times A_n = {(a_1, a_2, ldots, a_n) | a_i in A_i, i=1,2,ldots,n}$。
笛卡儿积的应用场景
组合数学
笛卡儿积常用于组合数学中，表示不同元素的排 列和组合。
离散数学第四章(第1讲)
xy??a??bc?xy??xyx??a??y??bc?xy??xyx??a??y??b??y??c?xy??xyx??a??y??b??x??a??y??c?xy??a??ba??c即a??bca??ba??c例
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
第四章 二元关系
§1 序偶与笛卡尔积 §2 关系及其表示 §3 关系的性质 §4 关系的运算 §5 等价关系与划分 §6 相容关系与覆盖 §7 偏序关系
§1 序偶与笛卡尔乘积
1 序偶 《定义》由二个具有给定次序的客体所组成的序列
称为序偶。记作〈x，y〉 例：X—Y二维平面上的一个点的坐标〈x，y〉就
是一个序偶。
说明： (1)在序偶中二个元素要有确定的排列次序。 若ab时，则〈a，b〉〈b，a〉 若〈x，y〉=〈a，b〉（x=a y=b） (2) 多重序元： 三元组：〈〈x，y〉，z〉 =〈x，y，z〉 n元组： 〈〈〈〈x1，x2〉，x3〉…〉，xn〉= 〈x1,…,xn〉
ran R={a,b,c,d}
FLD R={1,2,3,4,a,b,c,d}
４．关系和笛卡尔乘积 笛卡尔乘积的任何子集都可以定义一种二元关系。 例：X={1,2,3,4}，Y={1,2}
X Y {1,1 ,1,2 , 2,1 , 2,2 , 3,1 , 3,2 , 4,1 , 4,2 }
S1={<x,y>|x X yYx ≤ y}={<1,1><1,2><2,2>}
2 笛卡尔乘积 《定义》设A，B为二个任意集合，若序偶的第 一个成员（左元素）是A的一个元素，序偶的 第二个成员（右元素）是B的一个元素，则所 有这样的序偶构成的集合称为A和B的笛卡尔乘 积。
记作：A B={〈x，y〉|（xA）（yB）}
离散数学左孝陵第五章
n n-1
=….= xm+n n （2）(xm) = xm … xm= xm+m xm … xm=…=xm.n
n n-1
§2运算及其性质
下面定义特异元素幺元,零元和逆元。
《定义》：设*是集合Z中的二元运算, 定义》
(1)若有一元素el ∈Z,对任一x ∈Z有el*x=x；则称el为Z 中对于*的左幺元(左单位元素)； (2)若有一元素er ∈Z,对任一x ∈Z有x* er=x；则称er为Z 中对于*的右幺元（右单元元素）。 《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元, 定理》 则对于每一个x ∈Z，可有el= er = e和e*x=x* e=x，则 称e为Z中关于运算* 的幺元，且e ∈Z是唯一的。
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和 定理》
§2运算及其性质
《定义》：设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e， 定义》
令x ∈Z， （1）若存在一xl∈Z，能使xl *x= e，则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的； （2）若存在一xr ∈ ∈Z，能使x* xr = e，则称xr是x的右 逆元，并且称x是右可逆的； （3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x 是可逆的，且x的逆元用x-1表示。
§2运算及其性质
例：（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在ρ(z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对 ∩均是可分配的； ρ(z)中任一元素,对∩,∪均是等幂元素。∴满足等幂律； 而ρ(z)中,对称差分⊕是可交换,可结合的。 除ρ(s) ={Φ}以外不满足等幂律。∵ Φ ⊕ Φ = Φ,而除Φ 以外的A∈ ρ(z)有A ⊕ A≠A。
=….= xm+n n （2）(xm) = xm … xm= xm+m xm … xm=…=xm.n
n n-1
§2运算及其性质
下面定义特异元素幺元,零元和逆元。
《定义》：设*是集合Z中的二元运算, 定义》
(1)若有一元素el ∈Z,对任一x ∈Z有el*x=x；则称el为Z 中对于*的左幺元(左单位元素)； (2)若有一元素er ∈Z,对任一x ∈Z有x* er=x；则称er为Z 中对于*的右幺元（右单元元素）。 《定理》：若el和er分别是Z中对于*的左幺元和右幺元, 定理》 则对于每一个x ∈Z，可有el= er = e和e*x=x* e=x，则 称e为Z中关于运算* 的幺元，且e ∈Z是唯一的。
《定理》：若θl和θr分别是Z中对于*的左零元和 定理》
§2运算及其性质
《定义》：设*是Z中的二元运算，且Z中含幺元e， 定义》
令x ∈Z， （1）若存在一xl∈Z，能使xl *x= e，则称xL是x的左逆 元,并且称x是左可逆的； （2）若存在一xr ∈ ∈Z，能使x* xr = e，则称xr是x的右 逆元，并且称x是右可逆的； （3）若元素x既是左可逆的，又是右可逆的，则称x 是可逆的，且x的逆元用x-1表示。
§2运算及其性质
例：（1）在实数集合R中,+,×是可交换,可结合的,×对+ 是满足分配律的,“0”对+是等幂元素,而其它不为等幂元 素,对“-”法是不可交换,不可结合的； （2）在ρ(z)中, ∩,∪均是可交换,可结合的, ∩对∪, ∪对 ∩均是可分配的； ρ(z)中任一元素,对∩,∪均是等幂元素。∴满足等幂律； 而ρ(z)中,对称差分⊕是可交换,可结合的。 除ρ(s) ={Φ}以外不满足等幂律。∵ Φ ⊕ Φ = Φ,而除Φ 以外的A∈ ρ(z)有A ⊕ A≠A。
左孝凌离散数学PPT课件
25
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
第一章 命题逻辑（Propositional Logic） 1.2逻辑
联结词(Logical Connectives)
例3. 将下列命题符号化.
(1) 李平既聪明又用功.
(2) 李平虽然聪明, 但不用功.
(3)李平不但聪明,而且用功.
(4)李平不是不聪明,而是不用功.
解: 设 P:李平聪明. Q:李平用功.
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
• 1.1.1 命题（Proposition) • 1.1.2 命题的表示方法 • 1.1.3 命题的分类
第一章 命题逻辑（Propositional Logic）
1.1 命题及其表示方法
1.1.1 命题
数理逻辑研究的中心问题是推理（inference),而 推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖1931年Godel不完全性定理的提出，以及递 归 函 数 可 计 算 性 的 引 入 ， 促 使 了 1936 年 Turing 机 的 产 生 ， 十 年 后 ， 第 一 台 电 子 计 算机问世。
❖从 广 义 上 讲 ， 数 理 逻 辑 包 括 四 论 、 两 演 算——即集合论、模型论、递归论、证明 论和命题演算、谓词演算，但现在提到数 理逻辑，一般是指命题演算和谓词演算。 本书也只研究这两个演算。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（通过数学方法） 数理逻辑 2. 辩证逻辑 指引进一套符号体系的方法。
辩证逻辑是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思 维的形态的。
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 形式逻辑是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇 开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概 念、判断和推理及其正确联系的规律。
3-4序偶与笛卡尔积(精)
2.下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(AB) (CD)=(AC)(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD)
一、序偶和笛卡尔积的概念
2、n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
Байду номын сангаас
上次课程内容回顾
集合的运算
交运算 并运算 补运算 对称差 序偶的定义 笛卡尔积
序偶和笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C={2}时，A-(BC)={1}-{<1， 2>}={1}，而(A-B)(A-C)={1}=。 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
一、序偶和笛卡尔积的概念
有序n元组
1、序偶(有序2元组)：
两个具有固定次序的客体组成一个序偶(有序2元组)，记 作<x，y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 注：序偶是讲究次序的，例<1，3>和<3，1>是表示平面上 两个不同的点，这与集合不同，{1，3}和{3，1}是两个相 等的集合。
5、定理3-4.2：对于任意集合A、B、C，若C，则 AB ACBC CACB
离散数学 第七章的课件
第七章 二元关系
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y(允许x = y)，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对或序偶，记作<x,y>. 其中，x是它的第一个元素，y是它的第二个元素。
0 1 0 0
0 1 0 0
13
题目 A={a, b, c, d}, R={<a, a>,<a, b>,<a, c>,<b, a>,<d, b>}, R的关系矩阵 MR 和关系图 GR 如下：
1 1 MR 0 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0 0
9
实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
c
d
14
7.3 关系的运算
关系的基本运算（7种） 定义7.6 设R是二元关系。 （1）R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记作 domR，形式化表示为 domR = { x | y (<x,y>R) } （2）R中所有的有序对的第二元素构成的集合称为 R的值域，记作ranR， 形式化表示为 ranR = { y | x (<x,y>R) } （3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化表示为 fldR = domR ranR
主要内容 有序对与笛卡儿积 二元关系的定义与表示法 关系的运算 关系的性质 关系的闭包 等价关系与划分 偏序关系
1
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y(允许x = y)，按照一定的顺序组成的 二元组称为有序对或序偶，记作<x,y>. 其中，x是它的第一个元素，y是它的第二个元素。
0 1 0 0
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题目 A={a, b, c, d}, R={<a, a>,<a, b>,<a, c>,<b, a>,<d, b>}, R的关系矩阵 MR 和关系图 GR 如下：
1 1 MR 0 0
1 0 0 1
1 0 0 0
0 0 0 0
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实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
例如 A = {1, 2, 3}, B={a, b}, 则 LA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,3>,<3,3>} DA = {<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,2>,<3,3>}
c
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7.3 关系的运算
关系的基本运算（7种） 定义7.6 设R是二元关系。 （1）R中所有的有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域，记作 domR，形式化表示为 domR = { x | y (<x,y>R) } （2）R中所有的有序对的第二元素构成的集合称为 R的值域，记作ranR， 形式化表示为 ranR = { y | x (<x,y>R) } （3）R的定义域和值域的并集称为R的域，记作fldR，形式化表示为 fldR = domR ranR
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
离散数学_第七章
xy(x∈A∧y∈A ∧(x y) ∧ <x，y> ∈ R < y， x > R)
反对称性的判定方法
R的关系矩阵为：
0 1 MR 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1
R的关系图形如：
a
。 。
。 d 。 c
b
传递性：设R是集合A上的二元关系， 如果对于任意x，y，z∈A，每当xRy， yRz，就有xRz，则称关系R在A上是 传递的。 R在A上是传递的
逆关系：设R是从X到Y的二元关系， 如果将R中每序偶的元素顺序互换， 所得到的集合称为R的逆关系，记为 R-1 ，即 R-1={<y，x><x，y>∈R}
(R-1)-1 = R
G对F的右复合关系：设F,G为二元关系， G对F的右复合记作F。G，其中： F◦G＝{<x，z>| t( <x，t> ∈ F ∧ < t，z > ∈G)}
定理7.9 设R为A上的关系，则
（１）R在A上自反当且仅当IA ⊆R （２）R在A上反自反当且仅当R ∩ IA=
（３）R在A上对称当且仅当R＝R-1 （４）R在A上反对称当且仅当R ∩ R-1 ⊆ IA （５）R在A上传递当且仅当R。R ⊆ R
7.5 关系的闭包
自反（对称、传递）闭包：设R是集合A上 的二元关系，如果有另一个关系R’满足： （1）R’是自反的（对称的、传递的）； （2）R ⊆ R ’ ； （3）对A上任何自反的（对称的、传递的） 关系R’’，有R’ ⊆ R’’ 。 则称关系R’为R的自反（对称、传递）闭 包。 记作 r(R),s(R),t(R)
7.3 关系的运算
定义域、值域、域： 令R为二元关系，由<x，y> ∈R 的所有x组成的集合domR称为R的 定义域，即dom R＝{x|（y） （ <x，y> ∈R ）}。
离散数学：第3讲 序偶与笛卡尔积
任一序偶<x,y>可记作<x,y>R或xR/ y
2020/12/29
序偶与笛卡尔积
25
二元关系举例
例1: R1={<1,2>,<,>,<a,b>} R1是二元关系.
例2: R2={<1,2>,<3,4>,<白菜,小猫>} R2是二元关系.
例3: A={<a,b>,<1,2,3>,a,,1} A不是关系. #
AB={<1,2>},
BA={<2,1>}.
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序偶与笛卡尔积
11
笛卡尔积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
AB= A=B=等
2020/12/29
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序偶与笛卡尔积
15
消去律
设A,B,C是任意集合, 若C, 则AC BC AB CA CB AB
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序偶与笛卡尔积
16
消去律(证明)
若 C, 则AC BC AB. 证明(续): ()若A=,则AC=BC.
设 A. <x,y>, <x,y>AC xAyC
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序偶与笛卡尔积
6
笛卡尔积(Cartesian product)
笛卡尔积 : 令A和B是任意两个集合，若 序偶的第一个成员是A中的元素，第二个 成员是B中的元素，所有这些序偶组成的 集合称为集合A和B的笛卡尔积或卡氏积， 记作A B。
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二元关系举例
例1: R1={<1,2>,<,>,<a,b>} R1是二元关系.
例2: R2={<1,2>,<3,4>,<白菜,小猫>} R2是二元关系.
例3: A={<a,b>,<1,2,3>,a,,1} A不是关系. #
AB={<1,2>},
BA={<2,1>}.
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笛卡尔积非结合性
非结合: (AB)C A(BC) (除非 A= B= C=)
反例: A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
AB= A=B=等
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消去律
设A,B,C是任意集合, 若C, 则AC BC AB CA CB AB
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消去律(证明)
若 C, 则AC BC AB. 证明(续): ()若A=,则AC=BC.
设 A. <x,y>, <x,y>AC xAyC
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序偶与笛卡尔积
6
笛卡尔积(Cartesian product)
笛卡尔积 : 令A和B是任意两个集合，若 序偶的第一个成员是A中的元素，第二个 成员是B中的元素，所有这些序偶组成的 集合称为集合A和B的笛卡尔积或卡氏积， 记作A B。
离散数学第三章第二节
3
3、笛卡儿积的性质
笛卡儿积的运算有如下性质：设A、B、C为任意集合，则 （1）A=，A= （2）AB BA（当A B A B时） （3）(AB)C A(BC)（当A B C 时） （4）A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 后四个式子按集合相等的概念可以证明。
8
5、二元关系的表示
一个二元关系可用集合、关系矩阵和关系图表示。
关系矩阵 设A={x1,x2,…,xn}，R为A上的二元关系。令
r1,1 r1,2...r1,n
(ri, j )
r2,1 ...
r2, 2 . . .r2,n
rn,1 rn,2...rn,n
ri, j
1, 0,
若xi Rx j 若xi x j
第3-2讲 笛卡儿积与关系
1. 序偶的概念 2. 笛卡儿积 3. 笛卡儿积的性质 4. 关系的概念 5. 关系的表示 6. 关系的性质 7. 课堂练习 8. 第3-2讲 作业
1
1、序偶的概念
定义１ 两个元素x、y构成的有序二元组<x,y>，叫有序 对或序偶。
按序偶的定义，序偶<x,y>具有如下性质： 1．若xy时，<x,y><y,x>。 2．<x,y>=<u,v>，当且仅当x=u,y=v。
4、关系的概念
事物之间存在着各式各样的关系，例如，三名学生A、B、C选 修、、、四门课，设A选和，B选，C选和，那么，学生 选课的对应关系可记作 ：
R={<A,>,<A,>,<B, >,<C,>,<C,>} 这个序偶的集合R反映了学生集合S={A,B,C}与课程集合T={,,,} 之间的关系。
3、笛卡儿积的性质
笛卡儿积的运算有如下性质：设A、B、C为任意集合，则 （1）A=，A= （2）AB BA（当A B A B时） （3）(AB)C A(BC)（当A B C 时） （4）A(BC)=(AB)(AC)
(BC)A=(BA)(CA) A(BC)=(AB)(AC) (BC)A=(BA)(CA) 后四个式子按集合相等的概念可以证明。
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5、二元关系的表示
一个二元关系可用集合、关系矩阵和关系图表示。
关系矩阵 设A={x1,x2,…,xn}，R为A上的二元关系。令
r1,1 r1,2...r1,n
(ri, j )
r2,1 ...
r2, 2 . . .r2,n
rn,1 rn,2...rn,n
ri, j
1, 0,
若xi Rx j 若xi x j
第3-2讲 笛卡儿积与关系
1. 序偶的概念 2. 笛卡儿积 3. 笛卡儿积的性质 4. 关系的概念 5. 关系的表示 6. 关系的性质 7. 课堂练习 8. 第3-2讲 作业
1
1、序偶的概念
定义１ 两个元素x、y构成的有序二元组<x,y>，叫有序 对或序偶。
按序偶的定义，序偶<x,y>具有如下性质： 1．若xy时，<x,y><y,x>。 2．<x,y>=<u,v>，当且仅当x=u,y=v。
4、关系的概念
事物之间存在着各式各样的关系，例如，三名学生A、B、C选 修、、、四门课，设A选和，B选，C选和，那么，学生 选课的对应关系可记作 ：
R={<A,>,<A,>,<B, >,<C,>,<C,>} 这个序偶的集合R反映了学生集合S={A,B,C}与课程集合T={,,,} 之间的关系。
离散数学第四章课件ppt
例1 设R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2}和S＝{<x，y>|x、 y∈N∧y＝x＋1}是N上的关系，求R-1、R*S、S*R。
解 R-1＝{<y，x>|x、y∈N∧y＝x2}
R*S＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝x2＋1}
S*R＝{<x，y>|x、y∈N∧y＝(x＋1)2}
定理4.9 设R和S为任意两个二元关系，则： (1)(R-1)-1＝R。 (2)(R∪S)-1＝R-1∪S-1。 (3)(R∩S)-1＝R-1∩S-1。 (4)(R－S)-1＝R-1－S-1。 (5)(A×B)-1＝B×A。 证 (2)因为<x，y>∈(R∪S)-1<y，x>∈(R∪S) 明 <y，x>∈R∨<y，x>∈S
注： (1)当x≠y时，<x，y>≠<y，x>； (2)<x，y>＝ <u，v>当且仅当x＝u∧y＝v； (3)序偶<x，y>与集合 {x，y}不同。
定义4.2 n个元素x1、x2、…、xn按一定的 次序排列组成的有序序列称为有序n元组，记 作<x1，x2，…，xn>。
例如，表示时间的年月日组成一个三元组。
证 明
(2)因为y∈R[A∩B] x(x∈A∩B∧xRy) c∈A∧c∈B∧cRy
(c∈A∧cRy)∧(c∈B∧cRy)
y∈R[A]∧y∈R[B] y∈R[A]∩R[B]， 所以R[A∩B] R[A]∩R[B]。
4.2.2关系矩阵与关系图
定义4.11 设A＝{x1，x2，…，xn}，B＝{y1，
定理4.10 设R、S和T为任意三个二元关 系，则： (1)DR*SDR，RR*SRS。 (2)RS∧TWR*TS*W。 (3)R*(S∪T)＝(R*S)∪(R*T)。 (4)R*(S∩T)(R*S)∩(R*T)。 (5)R*S－R*TR*(S－T)。 (6)(R*S)-1＝S-1*R-1。 (7)(R*S)*T＝R*(S*T)。
离散数学-3-4 序偶与笛卡儿积
AXA？BXB？
4
二、笛卡尔积
如果A，B都是有限集，|A|= n，|B|= m，根据排列组合原理， |A×B|=nm=|A||B|。
例 设 A=a,b，B=1,2,3， ⑴试求A×B和B×A ⑵验证|A×B|=|A||B|和|B×A|=|B||A| 解：⑴求A×B和B×A A×B=<a,1>,<a,2>,<a,3>,<b,1>,<b,2>,<b,3> B×A=<1,a>,<1,b>,<2,a>, <2,b>,<3,a>, <3,b> ⑵验证|A×B|=|A||B|和|B×A|=|B||A| |A×B|=6=2×3=|A||B| |B×A|=6=3×2=|B||A|
P102 定理 定理3-4.1 笛卡儿积对∪或∩运算满足分配 律，即
（1）A×（B∪C）=（A×B）∪（A×C） （2）A×（B∩C）=（A×B）∩（A×C） （3）（A∪B）×C=（A×C）∪（B×C） （4）（A∩B）×C=（A×C）∩（B×C） *推广 （A∪B）×（C ∪D）=？
6
二、笛卡尔积
即当xy例平面直角坐标系中的点112三元组是序偶其第一个元素本身也是一个序偶可形式化为xyz序偶概念可以推广到n元组n3是一个有序对其中第一个元素为n1元的有序对一个有序的n元组记作y的元素可以分属于不同的集合因此对给定的集ab可以定义一种新的集合运算积运算
第三章 集合与关系
3-4 序偶与笛卡儿积 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@
1
一、序偶
生活中许多事物是成对出现的,并且这种成对出现的事物 生活中许多事物是成对出现的 并且这种成对出现的事物 有一定的顺序。（选课，任课，住宿） 。（选课 有一定的顺序。（选课，任课，住宿） 一般的说，两个具有固定顺序的客体组成一个序偶， 一般的说，两个具有固定顺序的客体组成一个序偶，它常 常表达两个客体间的关系。序偶包含两个元素， 常表达两个客体间的关系。序偶包含两个元素，但它们有 确定的次序。 确定的次序。 P101 定义 定义3-4.1（1）由两个元素x, y（允许x=y）按一定 （ ） 顺序排成的二元组称有序对（序偶），记为<x, y> <x, y>。称为 序偶。 序偶 定义3-4.1（2）两个序偶相等 序偶相等，即 定义 （ ） 序偶相等
(09)序偶与笛卡尔积-关系及其表示(2011-04-12-[34])
![(09)序偶与笛卡尔积-关系及其表示(2011-04-12-[34])](https://img.taocdn.com/s3/m/3a5f8ff3f61fb7360b4c659a.png)
2012年6月26日星期二 26 18
例题：
设 若 X = {1,2,3,4}
H { x , y | x y 2 Z }, S { x , y | x y 3 Z}
求 H∪S, H∩S, ~H, S-H 解： H ＝ { <1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4>, <3,1>, <3,3>, <4,2>, <4,4>} ~H＝{ <1,2>, <1,4>, <2,1>, <2,3>, <3,2>, <3,4>, <4,1>, <4,3>}
2012年6月26日星期二
26
9
笛卡尔积-性质
对于任意集合A，A× ＝ ，×A ＝ 笛卡尔积运算不满足交换律： 当 A≠, B≠, A≠B时, A×B ≠ B×A 笛卡尔积运算不满足结合律： 当 A, B, C均非空时, (A×B)×C ≠ A×(B×C)
2012年6月26日星期二
26
2012年6月26日星期二 26 5
结论
(1) (2) 如A，B均是有限集，|A| ＝ m，|B| ＝ n， 则必有 |A×B| ＝ mn 一般说，A×B 与 B×A 不相等， 即集合的笛卡尔积运算，不满足交换律
当 A = B 时，A×B 可以记作 A2
2012年6月26日星期二
26
6
推广
〈n个集合笛卡尔积的定义〉A1, A2, …, An是n个集合，记 A1×A2×…×An＝{<x1, x2, …, xn>|xi Ai, i = 1, 2, …, n}， 称为这n个集合的笛卡尔积。 当 A1 ＝ A2 ＝ … ＝ An 时，记 A×A×…×A ＝ An。
例题：
设 若 X = {1,2,3,4}
H { x , y | x y 2 Z }, S { x , y | x y 3 Z}
求 H∪S, H∩S, ~H, S-H 解： H ＝ { <1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4>, <3,1>, <3,3>, <4,2>, <4,4>} ~H＝{ <1,2>, <1,4>, <2,1>, <2,3>, <3,2>, <3,4>, <4,1>, <4,3>}
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笛卡尔积-性质
对于任意集合A，A× ＝ ，×A ＝ 笛卡尔积运算不满足交换律： 当 A≠, B≠, A≠B时, A×B ≠ B×A 笛卡尔积运算不满足结合律： 当 A, B, C均非空时, (A×B)×C ≠ A×(B×C)
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结论
(1) (2) 如A，B均是有限集，|A| ＝ m，|B| ＝ n， 则必有 |A×B| ＝ mn 一般说，A×B 与 B×A 不相等， 即集合的笛卡尔积运算，不满足交换律
当 A = B 时，A×B 可以记作 A2
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推广
〈n个集合笛卡尔积的定义〉A1, A2, …, An是n个集合，记 A1×A2×…×An＝{<x1, x2, …, xn>|xi Ai, i = 1, 2, …, n}， 称为这n个集合的笛卡尔积。 当 A1 ＝ A2 ＝ … ＝ An 时，记 A×A×…×A ＝ An。
左孝凌离散数学课件序偶与笛卡尔积关系及其表示
d)(A - B) C =(AC) - (BC)成立. 证明 因为(A - B) C ={<x,y>|(xA-B)∧yC} 所以
<x,y>(A - B) C x(A-B)∧yC xA∧x B∧yC ( xA∧yC∧x B) ∪(xA∧yC∧y C)) (xA∧yC )∧(x B∪yC) (xA∧yC )∧ ┐(x B ∧ y C) <x,y>A C∧ <x,y> B C <x,y> [(AC) - (BC) ]
故|P (AB)|=2mn，即A到B不同的二元关系共
有2mn个
一、二元关系
3.二元关系定义3
A上的二元关系： AA的任意子集R称为A上的二元关系 RAA RP (AA)。
若|A|=m, 则|AA|=m2, 故|P (AA)|= 2 m2 ，即A上不同
的二元关系共有2 m2个。
一、二元关系
A到B的二元关系举例1:
练习 105页(2)-(5)
105页（2）
设A={a,b}，构成集合 P(A)A。 解
P(A)={,{a},{b},{a,b}} P(A)A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>, <{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>,}
105页（3）
下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(A∪B) (C∪D)=(AC)∪(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD) d)(A -B) C =(AC) -(BC) e)(AB) C =(AC) (BC)
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BA={<1,>,<1, >,<2,>,<2,>,<3, >,<3,>} AA={<,>,<,>,<,>,<,>} BB={<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<2,3>,<3,1>,<3,2>,<3,3>} (AB)(BA)= 注意： 1）若A、B均是有限集，|A|=m，|B|=n，则|AB|=mn 2）一般， AB与BA不相等，即集合的笛卡尔积运算不满足交换 律。反例: A={1}, B={2}.AB={<1,2>}, BA={<2,1>}.
离散数学( ) Discrete Mathematics
2020/4/27
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3-4 序偶与笛卡尔积
一、序偶 二、笛卡尔积。
一、序偶(有序2元组)
1.定义
两个元素x,y按给定顺序组成的2元组称为一个序 偶（有序对），记作<x，y>:其中x是它的第一元素， y是它的第二元素。
➢序偶主要用来表示两个个体之间的联系 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 ，
二、笛卡尔积
证明定理3用到集合包含的 传递性： (AB)∧(BC)
(AC)
定理3：对任意四个非空集合，ABCD的充 分必要条件是AC，BD。
证明：充分性。设AC，BD。 由定理2，因BD，A，所以ABAD。
又AC，D ，所以ADCD，所以ABCD。 必要性。设 ABCD。 xA，yB，所以<x， y>AB，又因ABCD，所以<x，y>CD，所以 xC，yD，所以AC，BD
一、序偶(有序2元组)
2.序偶的性质
➢如果x≠y,则<x,y> ≠<y,x> ➢两个序偶相等，<x，y>=<u，v>，当且仅当x=u且y=v。
注：
➢序偶是有次序的。 例：<1，3>和<3，1>是表示平面上两个不同的点，这与集 合不同，{1，3}和{3，1}是两个相等的集合。 ➢序偶中的两个元素可以相等 例：<x,x>代表一个序偶，而在集合中{x，x}与{x}相同。
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
二、笛卡尔积 2.n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
二、笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C设=x{2∈}时A,，y ∈A-B(,B所C以)<=x{,1y}>-{∈<1A,2>B}={1}，而(AB)(A-C)={1}=。 A=C,B=D,所以x ∈C,y ∈D 所以<x,y> ∈ CD得证 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
它们互相
有<a，b>(AB)(AC)，得A(BC)(AB)(AC) 包含。
<a，b>(AB)(AC)，
则<a，b>AB且<a，b>AC，
则aA，bB，且aA，bC，则bBC。
所以<a，b>A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC) 由以上两条有：A(BC)(AB)(AC)
二、笛卡尔积
定理2：对于任意集合A、B、C，若C，则
二、笛卡尔积
定理1：对任意三个集合A、B、C，有
(a)A(BC)=(AB)(AC) (b)A(BC)=(AB)(AC)
(c)(BC)A=(BA)(CA) (d)(BC)A=(BA)(CA)
证明：(b)
<a，b>A(BC)，
证明两个 集合相等，
则aA，bBC，即aA，且bC，
可以证明
即<a，b>AB且<a，b>AC，
集合称集合A和B的笛卡尔积或直积。记作AB。即
AB={<x，y>|x A∧y B}
所以AB表示： 来自A的元素与 来自B的元素所 构成的所有序偶 的集合
二、笛卡尔积
例题 若A={，}，B={1，2，3}， 求AB， BA， AA， BB以及(AB)(BA)。 解：AB={<,1>,<,2>,<,3>,<,1>,<,2>,<,3>}
(5)(AB)C = A(BC) 不满足结合律
错。当A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
(除非 A= B= C=)
二、笛卡尔积
3、笛卡尔积的性质
➢对于任意集合A，A=， A= 。 ➢笛卡尔积运算不满足交换律，当A，B， AB时ABBA。 ➢笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C均非 空时(AB)CA(BC)。
注
✓N元组的第一个分量应该是n-1元组 < <x1,x2>,x3>=<x1,x2,x3>≠ <x1,<x2,x3>> ✓序偶中的两个元素可以来自不同集合
例：<牛，水>表示牛要喝水
因此任给两个集合A和B，我们可以定义一种序偶 的集合。
二、笛卡尔积
1.定义：设A和B是任意两个集合，由A中元素作第一
元素，B中元素作第二元素构成序偶，所有这样序偶的
1)AB ACBC 2)AB CACB 证明：1)
设xA，因C ，设y C ， 有<x，y>AC，因为AB，xB 所以<x，y>BC,所以AC BC 设<x，y>AC，则xA，yC， 又因ACBC ，所以<x,y> BC ，所以 xB, y C，所以AB
同样，定理的第二部分AB CACB可以类似地 证明。
序偶的概念可以扩展到三元组的情况
一、序偶
3.有序３元组: <<x，y>，z>=<x，y，z>
4.有序n元组：
< <x1,x2,…,xn-1>,xn>=<x1,x2,…,xn-1,xn>
➢<x1，x2，…， xn-1，xn> =<y1，y2，…，yn-1，yn>的充 要条件是xi=yi，i=1，2，…，n。
练习 105页(2)-(5)
105页（2）
设A={a,b}，构成集合 P(A)A。 解
P(A)={,{a},{b},{a,b}} P(A)A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>, <{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>,}
105页（3）
下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(A∪B) (C∪D)=(AC)∪(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD) d)(A -B) C =(AC) -(BC) e)(AB) C =(AC) (BC)
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2020/4/27
1
3-4 序偶与笛卡尔积
一、序偶 二、笛卡尔积。
一、序偶(有序2元组)
1.定义
两个元素x,y按给定顺序组成的2元组称为一个序 偶（有序对），记作<x，y>:其中x是它的第一元素， y是它的第二元素。
➢序偶主要用来表示两个个体之间的联系 例：平面直角坐标系中的一个点的坐标就构成为一个有序 序偶，我们可用<x，y>表示。 ，
二、笛卡尔积
证明定理3用到集合包含的 传递性： (AB)∧(BC)
(AC)
定理3：对任意四个非空集合，ABCD的充 分必要条件是AC，BD。
证明：充分性。设AC，BD。 由定理2，因BD，A，所以ABAD。
又AC，D ，所以ADCD，所以ABCD。 必要性。设 ABCD。 xA，yB，所以<x， y>AB，又因ABCD，所以<x，y>CD，所以 xC，yD，所以AC，BD
一、序偶(有序2元组)
2.序偶的性质
➢如果x≠y,则<x,y> ≠<y,x> ➢两个序偶相等，<x，y>=<u，v>，当且仅当x=u且y=v。
注：
➢序偶是有次序的。 例：<1，3>和<3，1>是表示平面上两个不同的点，这与集 合不同，{1，3}和{3，1}是两个相等的集合。 ➢序偶中的两个元素可以相等 例：<x,x>代表一个序偶，而在集合中{x，x}与{x}相同。
约定：若A=或B=，则A B= ，B A=
二、笛卡尔积 2.n个集合的笛卡尔积：集合A1，A2，…，An，则
特别地，
二、笛卡尔积
例：设A，B，C，D是任意集合，判断下列命题是否正确？ (1)ABACBC 不正确，当A，BC时，AB=AC=。 (2)A-(BC)=(A-B)(A-C) 不正确，当A=B={1}，C设=x{2∈}时A,，y ∈A-B(,B所C以)<=x{,1y}>-{∈<1A,2>B}={1}，而(AB)(A-C)={1}=。 A=C,B=D,所以x ∈C,y ∈D 所以<x,y> ∈ CD得证 (3)A=C，B=DAB=CD 正确，由定义可以证明，在非空前提下是充要条件。 (4)存在集合A使得AAA 正确，当A=时，AAA。
它们互相
有<a，b>(AB)(AC)，得A(BC)(AB)(AC) 包含。
<a，b>(AB)(AC)，
则<a，b>AB且<a，b>AC，
则aA，bB，且aA，bC，则bBC。
所以<a，b>A(BC)，所以(AB)(AC)A(BC) 由以上两条有：A(BC)(AB)(AC)
二、笛卡尔积
定理2：对于任意集合A、B、C，若C，则
二、笛卡尔积
定理1：对任意三个集合A、B、C，有
(a)A(BC)=(AB)(AC) (b)A(BC)=(AB)(AC)
(c)(BC)A=(BA)(CA) (d)(BC)A=(BA)(CA)
证明：(b)
<a，b>A(BC)，
证明两个 集合相等，
则aA，bBC，即aA，且bC，
可以证明
即<a，b>AB且<a，b>AC，
集合称集合A和B的笛卡尔积或直积。记作AB。即
AB={<x，y>|x A∧y B}
所以AB表示： 来自A的元素与 来自B的元素所 构成的所有序偶 的集合
二、笛卡尔积
例题 若A={，}，B={1，2，3}， 求AB， BA， AA， BB以及(AB)(BA)。 解：AB={<,1>,<,2>,<,3>,<,1>,<,2>,<,3>}
(5)(AB)C = A(BC) 不满足结合律
错。当A=B=C={1}. (AB)C={<<1,1>,1>}, A(BC)={<1,<1,1>>}.
(除非 A= B= C=)
二、笛卡尔积
3、笛卡尔积的性质
➢对于任意集合A，A=， A= 。 ➢笛卡尔积运算不满足交换律，当A，B， AB时ABBA。 ➢笛卡尔积运算不满足结合律，即当A，B，C均非 空时(AB)CA(BC)。
注
✓N元组的第一个分量应该是n-1元组 < <x1,x2>,x3>=<x1,x2,x3>≠ <x1,<x2,x3>> ✓序偶中的两个元素可以来自不同集合
例：<牛，水>表示牛要喝水
因此任给两个集合A和B，我们可以定义一种序偶 的集合。
二、笛卡尔积
1.定义：设A和B是任意两个集合，由A中元素作第一
元素，B中元素作第二元素构成序偶，所有这样序偶的
1)AB ACBC 2)AB CACB 证明：1)
设xA，因C ，设y C ， 有<x，y>AC，因为AB，xB 所以<x，y>BC,所以AC BC 设<x，y>AC，则xA，yC， 又因ACBC ，所以<x,y> BC ，所以 xB, y C，所以AB
同样，定理的第二部分AB CACB可以类似地 证明。
序偶的概念可以扩展到三元组的情况
一、序偶
3.有序３元组: <<x，y>，z>=<x，y，z>
4.有序n元组：
< <x1,x2,…,xn-1>,xn>=<x1,x2,…,xn-1,xn>
➢<x1，x2，…， xn-1，xn> =<y1，y2，…，yn-1，yn>的充 要条件是xi=yi，i=1，2，…，n。
练习 105页(2)-(5)
105页（2）
设A={a,b}，构成集合 P(A)A。 解
P(A)={,{a},{b},{a,b}} P(A)A={<,a>,<,b>,<{a},a>,<{a},b>, <{b},a>,<{b},b>,<{a,b},a>,<{a,b},b>,}
105页（3）
下列各式中哪些成立？哪些不成立？为什么？ a)(A∪B) (C∪D)=(AC)∪(BD) b)(A- B) (C -D)=(AC) - (BD) c)(AB) (CD)=(AC)(BD) d)(A -B) C =(AC) -(BC) e)(AB) C =(AC) (BC)