线性变换习题课课件
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高等代数课件(北大版)第七章-线性变换§7.3
1,2, ,n A B
∴ + 在基 1, 2 , , n下的矩阵为A＋B.
§7.3 线性变换的矩阵
② 1,2, ,n 1,2, ,n 1,2, ,n B 1, 2, , n B
1,2, ,n AB
∴ 在基 1, 2 , , n下的矩阵为AB.
③ k 1,2, ,n k 1 , ,k n k 1 , ,k n k 1 , , n
k 1, 2, , n k 1,2, , n A 1,2, ,n kA
∴ k 在基 1, 2 , , n下的矩阵为 kA.
§7.3 线性变换的矩阵
④ 由于单位变换(恒等变换) E对应于单位矩阵E.
所以， E
与 AB＝BA＝E 相对应.
因此，可逆线性变换 与可逆矩阵A对应，且 逆变换 - 1 对应于逆矩阵 A- 1.
x1
,
n
A
x2
xn
1, 2 ,
y1
,n
y2
1, 2 ,
yn
x1
,
n
A
x2
xn
由于 1, 2 ,
, n线性无关，所以
y1 x1
y2
＝A
x2
.
yn xn
§7.3 线性变换的矩阵
4．同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
显然，1,2 , ,n 也是一组基，且 在这组基下的
矩阵就是B.
§7.3 线性变换的矩阵
（3）相似矩阵的运算性质 ① 若 B1 X 1A1X , B2 X 1A2 X , 则 B1 B2 X 1( A1 A2 )X , B1B2 X 1( A1A2 )X . 即， A1 A2 B1 B2 , A1 A2 B1B2 .
复旦大学精品课程《线性代数》课件,线性变换课件复习资料
O x·n n
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)
x
L x
图5.2: 镜像变换
∴ y1 + y2 = σ (x1 ) + σ (x2 ) = σ (x1 + x2 ) ∈ Im (σ ) (3). 数乘封闭性, 对∀c ∈ F ∀x ∈ Ker (σ ) , ∀y ∈ Im (σ ) , σ (cx) = cσ (x) = c0 = 0 ⇒ cx ∈ Ker (σ ) ∃x ∈ V 使得y = σ (x) , 则cy = cσ (x) = σ (cx) ∈ Im (σ )
由此左分配律成立,即 σ · (τ + π ) = σ · τ + σ · π . 同理可证明右分配律成立. 对∀c ∈ F, σ, τ ∈ L(V ), 有 [(cσ ) · τ ] (•) = (cσ ) (τ (•)) = cσ (τ (•)) = c (σ · τ ) (•) 从而, (cσ ) · τ = c (σ · τ )成立. 同理可证 σ · (cτ ) = c (σ ·). 综上所述, L(V )是F 上的代数. 例 7. 设σ, τ 为R2 空间上的线性变换, 分别定义如下: ∀ 求α= −3 2
第五章
线性变换
上 一 章 中 介 绍 了 线 性 空 间 的 概 念, 本 章 将 讨 论 线 性 空 间 之 间 的 联 系. 它 们 之 间 的 联 系 主 要 反 映 为 线 性 空 间 之间的映射, 所以研究定义域和值域都是线性(子)空间的映射是数学分析的基本目标之一, 其中最简单和最基 本的一类映射是线性变换(Linear Transformation). 它也是线性代数中一个主要研究对象.
证: 验证L(V )上关于线性变换的乘法满足定义5.4中的三个条件: (1) 对 ∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 (σ · τ ) · π = (σ · τ ) (π (•)) = σ (τ (π (•))) = σ ((τ · π ) (•)) = σ · (τ · π ) (2) L(V )中元素V 上的恒等变换“1V ”即为e, 且对∀σ ∈ V , 满足 1V · σ = σ · 1V = σ , 因此恒等变换 是L(V )的恒等元. (3) 对∀σ, τ, π ∈ L(V ), 有 [σ · (τ + π )] (•) = σ ((τ + π ) (•)) = σ (τ (•) + π (•)) = σ (τ (•)) + σ (π (•)) = (σ · τ ) (•) + (σ · π ) (•)
《高等代数》线性变换PPT课件
的列是
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
x 1
A
x2
.
x n
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是数域F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基
{1,2, ,的n 矩}阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1,x2, ,xn，) 而σ(ξ)的坐标是 (y1,y2, ,yn)，
例1 对于 R 2 的每一向量x1,x2定义
x 1 ,x 1 x 2 ,x 1 x 2 R 3
σ是 R 2到 R 3的一个映射，我们证明，σ是一个线
性映射.
例2 令H是V 3 中经过原点的一个平面.对于 V 3 的每一
向量ξ，令 表示 向量ξ在平面H上的正射影.根据射 影的性质， : 是到V 3 的V一3 个线性映射.
x1
( 1,
2
,
,
n
)
x2
.
xn
因为σ是线性变换，所以
() x1(1)x2(2)xn(n)
（2）
x1
((1),(2),,(n))
x2
.
xn
将（1）代入（2）得
x1
(
)
(1,2
,,
n
)
A
x2
.
xn
最后，等式表明，( )关 ( 1 , 于 2 , n )的坐标所组成
定理7.1.2 设V和W是数域F向量空间，而是一个线性
射，那么
:VW
(i) σ是满射 Im)(W
(ii) σ是单射 K(e )r{0}
高等代数第7章线性变换[1]PPT课件
![高等代数第7章线性变换[1]PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/dbec90e8a32d7375a51780ae.png)
=xcosq - ysinq
同样 y’= xsinq + ycosq )。
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6
记 A = cosq sinq
sinq
cosq
则rq (a ) = Aa，称为旋转变换.
可以证明旋转变换 rq是一个线性变换。 （如何证明？）
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7
例4 设A:R3R3, "a =(a1, a2, a3), 定义 A(a) = (a1, a2, 0), 易证A是线性变换. 它是
则 h(A)=f(A)+g(A)， p(A)=f(A)g(A)， 特别地，
f(A)g(A)=g(A)f(A). 即同一线性变换的多项式的乘法可交换
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25
例用在D表线示性.空显间然Pn有[l]中,求微商是线性变换,
Dn = O 又变量的平移
f(l) | f(l+a) (aP)
也是线性变换, 用Sa表示. 按Taylor公式
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17
三、线性变换的数量乘法及其性质
设AL(V), kP, 定义k与A的数量乘 积为V的一个变换, 使得
kA = KA
其中K为由k决定的数乘变换, 即"a V
(kA)(a)= (KA)(a) =K(A(a)) ．
1、kA也是线性变换．
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18
2、(1)1的数乘 1A = A (2)数乘结合律 (kl)A =k(lA) (3)数乘分配律 (k+l)A =kA+lA (4)数乘分配律 k(A +B)=kA+kB
f(l+a)=f(l)+af ’(l)+a 2 f ’’(l)+… +
线性变换习题课PPT课件
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即
( (1 ), (2 ), , (n )) (1 ,2 , ,n )A
A (aij )nn Pnn是 在基1 ,2 , ,n下的矩阵. 注 : A的第j列恰是向量 ( j )在基1 ,2 , ,n
下的坐标. 特别, 数乘变换、单位(恒等)变换、零变换在
利用线性变换的矩阵A, 求出A的特征多项式
f () | E A |
在给定数域中的根,即为所求特征值.
对特征值λ,求出齐次线性方程组
( E A)X 0
的基础解系,以基础解系中解向量为坐标所得向量即为线性变换的属于特征值λ的 全部线性无关的特征向量. (注: 如果求矩阵A的特征向量,则基础解系中解向量即为 所求的全部线性无关的特征向量)
充分条件
若 (或A)在P内有n个不同的特征值,则 (或A)
可对角化. 3) 对角化的方法
因 可对角化 A可对角化(其中A是 在某
组基下的矩阵).
因此 对角化问题可转化为A对角化问题.
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11
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对角化步骤:
(1) 计算A的特征多项式 | E A |,求出A的全 部特征值1 , 2 , , s ;
任意基下的矩阵分别是数量矩阵、单位矩阵、零
矩阵. 但一般线性变换在不同基下的矩阵一般是不
同的(彼此相似).
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2
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2. 与 ( )的坐标关系式
设 在基1 , 2 , , n下的矩阵是A, 与 ( ) 在基1 , 2 , , n下的坐标分别是( x1 , x2 , , xn )和
4. 相似矩阵 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
大学精品课件：线性变换
所以
T 1( p q) T 1( p) T 1(q).
例2 由关系式
T x cos sin x y sin cos y
确定xOy平面上的一个变换T ,说明T的几何意义.
解
记
x y
r r
cos sin
, ,
于是
T x x cos y sin y x sin y cos
r cos cos r sin sin r cos( ), r cos sin r sin cos r sin( )
上式表明: 变换T把任一向量按逆时针方向旋
转角.
y
p1
o
p x
例３ 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数
域上的一个线性空间 V ，在这个空间中变换
T
f
是线性变换．
证明 设 , V
则有 E E E Ek k kE .
所以恒等变换 E 是线性变换．
例５ 线性空间 V 中的零变换 O：0 0是线性
变换．
证明 设 , V , 则有
0 0 0 0 0 0 0k 0 k0 k0 .
所以零变换是线性变换．
a12,a2 a3,0 b12,b2 b3,0
T T .
证毕.
二、线性变换的性质
1. T 0 0, T T ;
2.若 k11 k22 kmm ,则 T k1T1 k2T2 kmTm;
3. 若1,2 ,,m线性相关,则T1,T2 ,, T m亦线性相关. 注意 若1,2 ,,m线性无关,则T1,T2 ,,Tm
(2) 如果T ( p) a0 , 那么T也是一个线性变换.
T( p q) a0 b0 T( p) T(q); T(kp) k a0 kT( p).
线性代数课件_第六章_线性空间与线性变换——习题课
2021/1/3
线性代数
2021/1/3
(1)a b ab ba b a;
(2)(a b) c (ab) c (ab)c a(bc)
a (bc) a (b c);
(3)1 R , 1 a 1a a,
1是 R中的零元素;
(4) a
0,
1 a
0,即 1 a
R ,
同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的， 反之，相似矩阵也可以看成是同一线性变换在不 同基下的矩阵．
2021/1/3
线性代数
线性变换T的象空间T (V n)的维数, 称为线性变 换T的秩.
若A是T的矩阵,则T的秩就是R( A). 若T的秩为r,则T的核 ST 的维数为n r.
2021/1/3
线性代数
线性代数
2021/1/3
线性代数
第六章 线性空间与线性变换
2021/1/3
线性代数
１ 线性空间的定义
设V 是一个非空集合, R为实数域.如果对于任
意两个元素 , V ,总有唯一的一个元素 V与 之对应, 称为与的和,记作 ;又对于任一 数 R与任一元素 V ,总有唯一的一个元素 V与之对应, 称为与的积,记作 ;并且这 两种运算满足以下八条运算规律(设 , , V ; , R) :
2021/1/3
线性代数
(1) ; (2)( ) ( ); (3)在V中存在零元素0;对任何 V , 都有
0 ; (4)对任何 V , 都有的负元素 V , 使
0;
2021/1/3
线性代数
(5)1 ;
(6)( ) ();
(7)( ) ;
(8)( ) ,
2
,,
n
到基
1
线性变换PPT课件
h( A ) = u ( A ) f1 ( A ) + v ( A ) f2 ( A ) =0
再结合引理, 我们就有 Ker f1 ( A ) Ker f2 ( A ) = Ker h( A )
2) 设 h1 ( x ) = f1 ( x ) / h( x ) , h2 ( x ) = f2 ( x ) / h( x ) , 则有 u ( x ) h1 ( x ) + v ( x ) h2 ( x ) = 1 . 故 u ( A ) h1 ( A ) + v ( A ) h2 ( A ) = I . 注意到 g( x ) = f1 ( x ) f2 ( x ) / h( x ) , 对任意 Ker g( A ) , 我们有
证: 由题设, 存在 u , v K[ x ] , 使得
u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f2 ( x ) = 1 ; 于是 u ( A ) f1 ( A ) + v ( A ) f2 ( A ) = I . 对任意 V , 有
= u ( A ) f1 ( A ) + v ( A ) f2 ( A )
从多项式到子空间
定理 : 设 f1 ( x ) , f2 ( x ) K[ x ] , 且 h( x ) = ( f1 ( x ) , f2 ( x ) ) , g( x ) = [ f1 ( x ) , f2 ( x ) ] .
设 V 是 K-线性空间, A 是 V 上的线性变换. 则有
1) Ker h( A ) = Ker f1 ( A ) Ker f2 ( A )
第九章 线性变换
1 像空间与核空间 2 线性映射的矩阵 3 特征值与特征向量 4 不变子空间 5 零化多项式 6 幂零变换的结构 7 Jordan 标准型及其应用
再结合引理, 我们就有 Ker f1 ( A ) Ker f2 ( A ) = Ker h( A )
2) 设 h1 ( x ) = f1 ( x ) / h( x ) , h2 ( x ) = f2 ( x ) / h( x ) , 则有 u ( x ) h1 ( x ) + v ( x ) h2 ( x ) = 1 . 故 u ( A ) h1 ( A ) + v ( A ) h2 ( A ) = I . 注意到 g( x ) = f1 ( x ) f2 ( x ) / h( x ) , 对任意 Ker g( A ) , 我们有
证: 由题设, 存在 u , v K[ x ] , 使得
u ( x ) f1 ( x ) + v ( x ) f2 ( x ) = 1 ; 于是 u ( A ) f1 ( A ) + v ( A ) f2 ( A ) = I . 对任意 V , 有
= u ( A ) f1 ( A ) + v ( A ) f2 ( A )
从多项式到子空间
定理 : 设 f1 ( x ) , f2 ( x ) K[ x ] , 且 h( x ) = ( f1 ( x ) , f2 ( x ) ) , g( x ) = [ f1 ( x ) , f2 ( x ) ] .
设 V 是 K-线性空间, A 是 V 上的线性变换. 则有
1) Ker h( A ) = Ker f1 ( A ) Ker f2 ( A )
第九章 线性变换
1 像空间与核空间 2 线性映射的矩阵 3 特征值与特征向量 4 不变子空间 5 零化多项式 6 幂零变换的结构 7 Jordan 标准型及其应用
线性变换的定义课件
1）对任意的X、Y∈Mn(F)，则有σ(X+Y) = = = ;
A(X+Y)B
AXB+AYB
σ(X)+ σ(Y)
2)对任意的k∈F，有σ(kX)= = = ．
3）线性变换σ保持线性关系式，即对于β∈V，
特别地，当β＝0时，有 K1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn)＝0. 若k1 ，k2，…，kn 不全为0，则得性质：
4) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.
5) 设σ是V的一个线性变换, V′是V的子空间. V′在σ下的象集合,记作σ(V′), 即σ(V′) = {σ(ξ)｜ξ∈V′}. 则σ(V′)是V的一个子空间.
5）在Mn(F)中，σ(X)＝XA+AX,其中A是Mn(F) 中固定的一个方阵； 6）在F[x], σ(f (x))=f(x+1)-f(x); 7) 在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及 零多项式构成的线性空间Rn[x]中，σ(f(x))=xf(x)；
例2 在 中，H是过原点的一个平面.令σ是对平面H的正投影变换（图6.2）
图6.2
定义1 设V是数域F上的一个线性空间，σ是
V的一个变换，如果它满足以下两个条件： 对任意的α,β∈V，有
σ(α+β)＝σ(α)+σ (β)； 对任意的k∈F，有
σ(kα)=kσ(α).
则称σ是向量空间V的一个线性变换．
当k＝1时，σ是V的恒等变换ι；
02
σ是V的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或 位似）变换.
因此，恒等变换及零变换都是线性变换.
当k＝0时，σ是V的零变换θ.
05
例7 设C[a, b]是定义在[a, b]上的一切连续 函数作成的R上的线性空间. 对任意的 f(x)∈C[a, b], 规定J(f(x))＝ .
A(X+Y)B
AXB+AYB
σ(X)+ σ(Y)
2)对任意的k∈F，有σ(kX)= = = ．
3）线性变换σ保持线性关系式，即对于β∈V，
特别地，当β＝0时，有 K1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn)＝0. 若k1 ，k2，…，kn 不全为0，则得性质：
4) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关 的向量组.
5) 设σ是V的一个线性变换, V′是V的子空间. V′在σ下的象集合,记作σ(V′), 即σ(V′) = {σ(ξ)｜ξ∈V′}. 则σ(V′)是V的一个子空间.
5）在Mn(F)中，σ(X)＝XA+AX,其中A是Mn(F) 中固定的一个方阵； 6）在F[x], σ(f (x))=f(x+1)-f(x); 7) 在由实数域R上的所有次数不超过n的多项式及 零多项式构成的线性空间Rn[x]中，σ(f(x))=xf(x)；
例2 在 中，H是过原点的一个平面.令σ是对平面H的正投影变换（图6.2）
图6.2
定义1 设V是数域F上的一个线性空间，σ是
V的一个变换，如果它满足以下两个条件： 对任意的α,β∈V，有
σ(α+β)＝σ(α)+σ (β)； 对任意的k∈F，有
σ(kα)=kσ(α).
则称σ是向量空间V的一个线性变换．
当k＝1时，σ是V的恒等变换ι；
02
σ是V的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或 位似）变换.
因此，恒等变换及零变换都是线性变换.
当k＝0时，σ是V的零变换θ.
05
例7 设C[a, b]是定义在[a, b]上的一切连续 函数作成的R上的线性空间. 对任意的 f(x)∈C[a, b], 规定J(f(x))＝ .
高等代数第7章线性变换PPT课件
特征向量定义
对应于特征值m的非零向量x称为A的对应于特征值 m的特征向量。
设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向 量x，使得Ax=mx成立，则称m是A的一个特 征值。
求解方法
通过求解特征多项式f(λ)=|A-λE|的根得到特 征值，再代入原方程求解对应的特征向量。
特征多项式及其性质分析
特征多项式定义
量子力学
在量子力学中，特征值和特征向量用 于描述微观粒子的状态和能量级别。
图像处理
在图像处理中，特征值和特征向量可 以用于图像压缩和图像识别等任务。
经济学
在经济学中，特征值和特征向量可以 用于分析和预测经济系统的稳定性和 发展趋势。
04
线性变换对角化条
件及步骤
可对角化条件判断方法
判断矩阵是否可对角化
线性变换的性质与 矩阵性质对应
线性变换的性质如保持加法、 数乘等运算可以通过其对应的 矩阵性质来体现。例如，两个 线性变换的和对应两个矩阵的 和；线性变换的复合对应两个 矩阵的乘积等。
02
线性变换矩阵表示
法
标准基下矩阵表示法
定义
设V是n维线性空间，e1,e2,...,en 是V的一个基，T是V上的一个线 性变换，则T在基e1,e2,...,en下的 矩阵A称为T在基e1,e2,...,en下的 标准矩阵表示。
计算矩阵的高次幂
对于可对角化的矩阵A，可以利用对角化公式A=PDP^(-1)将A的高次幂转化为对角矩阵D的高次幂， 从而简化计算过程。
求解线性方程组
对于系数矩阵为可对角化矩阵的线性方程组，可以通过对角化将系数矩阵转化为对角矩阵，进而 简化方程组的求解过程。
计算行列式和逆矩阵
对于可对角化的矩阵A，其行列式值等于对角矩阵D的行列式值，逆矩阵可以通过对角化公式求得， 从而简化相关计算。
线性空间与线性变换ppt课件
第七章 线性空间 与线性变换§ 2 基、维数、坐标（续4）
设α1, α2 , ... ,αr为线性空间 V的一组 基,
则 V =L(α1, α2,..., αr) ={ k1α1+k2α2+ ... +krαr |ki∈P}
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
T(1) a111 a212 ... an1n
T
(2 )
a121 a222
又对任意A=[a,…,m;j=1,2,…,n)线性表示:
mn
A
aij Eij
i1 j 1
∴ Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为Pm×n的一组基，
dim Pm×n=m×n
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续1)
例1 Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。 向量空间必为线性空间。 线性空间为向量空间的抽象， 线性空间中的元素也称为“向量”。
c 2;
b
2c
1;
a b c 1 .
c 2;
b
5;
a 4 .
∴f(x)在基Ⅱ下的坐标为:4,-5,2.
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设α1, α2 , ... ,αr为线性空间 V的一组 基,
则 V =L(α1, α2,..., αr) ={ k1α1+k2α2+ ... +krαr |ki∈P}
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T(1) a111 a212 ... an1n
T
(2 )
a121 a222
又对任意A=[a,…,m;j=1,2,…,n)线性表示:
mn
A
aij Eij
i1 j 1
∴ Eij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)为Pm×n的一组基，
dim Pm×n=m×n
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第七章 线性空间 与线性变换§1 线性空间定义与性质(续1)
例1 Rn对向量的加法和数乘构成R上的线性空间。 向量空间必为线性空间。 线性空间为向量空间的抽象， 线性空间中的元素也称为“向量”。
c 2;
b
2c
1;
a b c 1 .
c 2;
b
5;
a 4 .
∴f(x)在基Ⅱ下的坐标为:4,-5,2.
认识到了贫困户贫困的根本原因，才 能开始 对症下 药，然 后药到 病除。 近年来 国家对 扶贫工 作高度 重视， 已经展 开了“ 精准扶 贫”项 目
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2. 与 ( )的坐标关系式
设 在基 1 , 2 , 在基 1 , 2 , ( y1 , y2 , , yn ), 则 y1 x1 y x 2 A 2 yn xn
P内. (ii) 对 的每个特征值 , 维(V ) 的重数.
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(3) A可对角化 (i) A的特征多项式的根都在 P内. (ii) 对A的每个特征值 , 秩( E A) n s, s为的重数. 充分条件
若 (或A)在P内有n个不同的特征值,则 (或A) 可对角化.
(3) 如果对每个i , 其基础解系所含向量的个数 等于i的重数, 则可对角化, 否则不能对角化;
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(4) 将所有基础解系的解向量作列向量构成矩 阵T , 则T 可逆, 且T 1 AT 为对角阵, 的主对角线 上元素就是A的所有特征值.
4. 相似矩阵 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
反之,两个相似矩阵可以看作同一线性变换在不 同基下的矩阵. 利用相似矩阵的性质可以简化矩阵的运算.
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5.特征值与特征向量
设V 是P上线性空间, 是V的线性变换,若
( ) ， ( P , 0)
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8
一些主要结论 :
1) 一个特征向量只能属于一个特征值, 而一 个特征值可以有多个特征向量.
2) 属于同一特征值的特征向量的一切非零线 性组合是属于此特征值的特征向量.
3) 属于不同特征值的特征向量线性无关.
4) 相似矩阵有相同的特征多项式,因而有相同 的特征值.
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, n 下的矩阵是A, 与 ( ) , xn )和
, n 下的坐标分别是( x1 , x2 ,
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3. 线性变换与矩阵间的对应关系
在数域P 上n维线性空间V 中一组取定的基下, 对于V 的每一个线性变换, 都有P 上唯一确定的n级 矩阵与之对应,这种对应保持运算.设L(V )是V 的 全体线性变换组成的线性空间, 则
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6. 对角化的条件及其方法
1) 对角化概念
可对角化: 在V的某组基下的矩阵是对角阵. A可对角化 : 存在可逆矩阵T , 使T 1 AT为对角阵.
2) 对角化的条件 充要条件 (1) (或A)可对角化 (或A)有n个线性无关
的特征向量. (2) 可对角化 (i) 的特征多项式的根都在
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特征子空间 : V { V | ( ) }
基本性质：
(1) 维V 的重数.
(2) 若 的矩阵是A, 则V同构于( E A) X 0 的解空间, 且基础解系给出了V的基向量的坐标.
(3) 若1 , 2 , , s 是 的互异的特征值, 则 Vs W V1 V2 是直和, 且是 的不变子空间.
设 在V 的基 1 , 2 ,
, n 下的矩阵是A, 则
(1) A的在数域P中的特征值就是 的特征值; (2) 若A的属于特征值的一个特征向量是 ( x1 , x2 , , xn ) 则 的属于特征值的一个特征向量就是 x1 1 x2 2 xn n
L(V ) P nn
维( L(V )) n2 , n为V的维数.
这样就可以把线性变换用矩阵来表现, 于是
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在处理线性变换的问题时, 可以按“线性变换 矩阵 线性变换”的模式, 把线性变换问题化为矩 阵问题来处理, 然后再把所得的结论化为线性变换 的结论.也可在处理矩阵问题时, 按“矩阵 线性变 换 矩阵在某
组基下的矩阵). 因此 对角化问题可转化为A对角化问题.
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对角化步骤:
(1) 计算A的特征多项式 | E A |, 求出A的全 部特征值1 , 2 , , s ;
(2) 如果存在i P , 则A不能对角化.如果1 , 2 , , s P , 则对每个特征值i , 求出齐次线性方程组 (i E A) X 0, 的一个基础解系;
则是 的特征值, 是 的属于的特征向量.
矩阵A的特征多项式 | E A | 的根0 称为A 的特征值, 而相应的线性方程组(0 E A) X 0的 非零解 (向量) 称为A的属于这个特征值0的特征 向量.
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7
线性变换的特征值、特征向量和其对应矩阵 的特征值、特征向量之间的关系：
第七章 线性变换
习题课
基本内容 基本解题方法
例题选讲
1
目录
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一、基本内容
1.线性变换及其矩阵
设V 是数域P 上n维线性空间, 是V 的线性变 换, 取定V 的一组基 1 , 2 , , n ,因 ( 1 ), ( 2 ),
a n1 n , an 2 n ,
,n
A (aij )nn P
nn
是 在基1 , 2 ,
, n下的矩阵.
注 : A的第j列恰是向量 ( j )在基 1 , 2 ,
下的坐标. 特别, 数乘变换、单位(恒等)变换、零变换在
任意基下的矩阵分别是数量矩阵、单位矩阵、零 矩阵. 但一般线性变换在不同基下的矩阵一般是不
,
( n ) V , 设 ( 1 ) a11 1 a21 2 ( 2 ) a12 1 a22 2
, ( n ) a1n 1 a2 n 2 ann n .
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即 ( ( 1 ), ( 2 ), , ( n )) ( 1 , 2 , ,n )A
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2. 与 ( )的坐标关系式
设 在基 1 , 2 , 在基 1 , 2 , ( y1 , y2 , , yn ), 则 y1 x1 y x 2 A 2 yn xn
P内. (ii) 对 的每个特征值 , 维(V ) 的重数.
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(3) A可对角化 (i) A的特征多项式的根都在 P内. (ii) 对A的每个特征值 , 秩( E A) n s, s为的重数. 充分条件
若 (或A)在P内有n个不同的特征值,则 (或A) 可对角化.
(3) 如果对每个i , 其基础解系所含向量的个数 等于i的重数, 则可对角化, 否则不能对角化;
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(4) 将所有基础解系的解向量作列向量构成矩 阵T , 则T 可逆, 且T 1 AT 为对角阵, 的主对角线 上元素就是A的所有特征值.
4. 相似矩阵 同一线性变换在不同基下的矩阵是相似的；
反之,两个相似矩阵可以看作同一线性变换在不 同基下的矩阵. 利用相似矩阵的性质可以简化矩阵的运算.
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5.特征值与特征向量
设V 是P上线性空间, 是V的线性变换,若
( ) ， ( P , 0)
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一些主要结论 :
1) 一个特征向量只能属于一个特征值, 而一 个特征值可以有多个特征向量.
2) 属于同一特征值的特征向量的一切非零线 性组合是属于此特征值的特征向量.
3) 属于不同特征值的特征向量线性无关.
4) 相似矩阵有相同的特征多项式,因而有相同 的特征值.
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, n 下的矩阵是A, 与 ( ) , xn )和
, n 下的坐标分别是( x1 , x2 ,
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3. 线性变换与矩阵间的对应关系
在数域P 上n维线性空间V 中一组取定的基下, 对于V 的每一个线性变换, 都有P 上唯一确定的n级 矩阵与之对应,这种对应保持运算.设L(V )是V 的 全体线性变换组成的线性空间, 则
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6. 对角化的条件及其方法
1) 对角化概念
可对角化: 在V的某组基下的矩阵是对角阵. A可对角化 : 存在可逆矩阵T , 使T 1 AT为对角阵.
2) 对角化的条件 充要条件 (1) (或A)可对角化 (或A)有n个线性无关
的特征向量. (2) 可对角化 (i) 的特征多项式的根都在
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特征子空间 : V { V | ( ) }
基本性质：
(1) 维V 的重数.
(2) 若 的矩阵是A, 则V同构于( E A) X 0 的解空间, 且基础解系给出了V的基向量的坐标.
(3) 若1 , 2 , , s 是 的互异的特征值, 则 Vs W V1 V2 是直和, 且是 的不变子空间.
设 在V 的基 1 , 2 ,
, n 下的矩阵是A, 则
(1) A的在数域P中的特征值就是 的特征值; (2) 若A的属于特征值的一个特征向量是 ( x1 , x2 , , xn ) 则 的属于特征值的一个特征向量就是 x1 1 x2 2 xn n
L(V ) P nn
维( L(V )) n2 , n为V的维数.
这样就可以把线性变换用矩阵来表现, 于是
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在处理线性变换的问题时, 可以按“线性变换 矩阵 线性变换”的模式, 把线性变换问题化为矩 阵问题来处理, 然后再把所得的结论化为线性变换 的结论.也可在处理矩阵问题时, 按“矩阵 线性变 换 矩阵在某
组基下的矩阵). 因此 对角化问题可转化为A对角化问题.
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对角化步骤:
(1) 计算A的特征多项式 | E A |, 求出A的全 部特征值1 , 2 , , s ;
(2) 如果存在i P , 则A不能对角化.如果1 , 2 , , s P , 则对每个特征值i , 求出齐次线性方程组 (i E A) X 0, 的一个基础解系;
则是 的特征值, 是 的属于的特征向量.
矩阵A的特征多项式 | E A | 的根0 称为A 的特征值, 而相应的线性方程组(0 E A) X 0的 非零解 (向量) 称为A的属于这个特征值0的特征 向量.
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线性变换的特征值、特征向量和其对应矩阵 的特征值、特征向量之间的关系：
第七章 线性变换
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基本内容 基本解题方法
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1.线性变换及其矩阵
设V 是数域P 上n维线性空间, 是V 的线性变 换, 取定V 的一组基 1 , 2 , , n ,因 ( 1 ), ( 2 ),
a n1 n , an 2 n ,
,n
A (aij )nn P
nn
是 在基1 , 2 ,
, n下的矩阵.
注 : A的第j列恰是向量 ( j )在基 1 , 2 ,
下的坐标. 特别, 数乘变换、单位(恒等)变换、零变换在
任意基下的矩阵分别是数量矩阵、单位矩阵、零 矩阵. 但一般线性变换在不同基下的矩阵一般是不
,
( n ) V , 设 ( 1 ) a11 1 a21 2 ( 2 ) a12 1 a22 2
, ( n ) a1n 1 a2 n 2 ann n .
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即 ( ( 1 ), ( 2 ), , ( n )) ( 1 , 2 , ,n )A