抛物线及其标准方程
抛物线及其标准方程 课件
(2)设 P 为抛物线 y2＝4x 上任意一点，P 在 y 轴上的射影为 Q，点 M(4,5)，则 PQ 与 PM 长度之和的最小值为__3_4_－__1__．
【解析】由题意，抛物线 y2＝4x 的焦点 F (1,0)，因为 PQ＋PM＝PM＋PF －1， 所以 PM＋PF 最小时，PQ 与 PM 长度之和最小，当 M，P，F 三点共线时，PM＋ PF 最小，最小值是 MF ＝ 34，所以 PQ 与 PM 长度之和的最小值为 34－1.
【解析】由抛物线方程 y2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为 F －p2，0，准线方程 为 x＝p2，设点 M 到准线的距离为 MN，则 MN＝MF ＝10，即p2－(－9)＝10，所以 p ＝2，故抛物线方程为 y2＝－4x.将 M(－9，y)代入抛物线方程，得 y＝±6，所以 M(－ 9,6)或 M(－9，－6)．
3.抛物线的简单几何性质如下表：
方程
y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
图形
顶点 焦点
___p2_，__0___
(0,0)
－p2，0
0，p2
__0_，__－__p2_ _
准线 对称轴 离心率
x＝－p2 ___y_＝__0___
__x_＝__p2____
抛物线
1. 顶 点 在 原 点 、 对 称 轴 是 坐 标 轴 且 过 点 ( － 1,2) 的 抛 物 线 的 方 程 是 _________y_2_＝__－__4_x_或__x．2＝12y
【解析】设所求抛物线的方程为 y2＝－2px 或 x2＝2py(p>0)，因为抛物线过点(－ 1,2)，所以 4＝2p 或 1＝4p，解得 p＝2 或 p＝14，故所求抛物线的方程为 y2＝－4x 或 x2＝12y.
抛物线及其标准方程
抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不过F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF |＝d (其中d 为点M 到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质1(1)定点不在定直线上．(2)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F 与定直线l 垂直的一条直线．2．抛物线的方程特点方程y ＝ax 2(a ≠0)可化为x 2＝1ay ，是焦点在y 轴上的抛物线．3．结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)|AF |＝p 1－cos α，|BF |＝p 1＋cos α，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)，S △OAB ＝p 22sin α；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p；(4)以弦AB 为直径的圆与准线相切；(5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切；(6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．(7)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的顶点O (0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交，交点为A ，B (如图)．则直线AB 过定点M (2p,0)；反之，若过点M (2p,0)的直线l 与抛物线y 2＝2px (p ＞0)，交于两点A ，B ，则必有OA ⊥OB ．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．()(2)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．()(3)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎪⎭⎫⎝⎛0,4a，准线方程是x ＝－a 4.()(4)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．()2．抛物线y ＝14x 2的准线方程是()A ．y ＝－1B ．y ＝－2C ．x ＝－1D ．x ＝－23．若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆x 23p ＋y 2p＝1的一个焦点，则p ＝()A ．2B ．3C ．4D ．84．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝()A ．6B ．8C ．9D ．105．已知抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的准线与抛物线C 2：x 2＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，C 1的焦点为F ，若△FAB 的面积等于1，则C 1的方程是()A ．x 2＝2y B ．x 2＝2y C ．x 2＝yD ．x 2＝22y 6．(教材改编)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是________．7．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为_______________抛物线的定义及应用例:1．动圆与定圆A ：(x ＋2)2＋y 2＝1外切，且和直线x ＝1相切，则动圆圆心的轨迹是()A ．直线B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(3)若点P 到点F(0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则P 的轨迹方程为()A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y(4)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是()A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)(5)．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.(6).已知椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点F 为抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，点P 的坐标为(3,2)．若点M 为该抛物线上的动点，则|MP |＋|MF |的最小值为__________．(7).若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为()A ．(0,0)B ．⎪⎭⎫⎝⎛121C ．(1，2)D ．(2,2)(8).已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是___________.(9).已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是()A ．3B ．5C ．2D ．5－1(10).已知抛物线y ＝12x 2的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN |＝2|NF |，则|MF |＝______.抛物线的标准方程例:(1)(2020·全国卷Ⅰ)已知A 为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p ＝()A ．2B ．3C ．6D ．9(2)(2021·山西吕梁二模)如图，过抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝2，则p ＝()A ．1 B.2C ．2D ．2－2(3).顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是()A ．y 2＝－xB ．x 2＝－8yC ．y 2＝－8x 或x 2＝－yD ．y 2＝－x 或x 2＝－8y(4).如图，过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝6，则此抛物线方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x(5).已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为()A ．x 2＝32yB ．x 2＝6yC ．x 2＝－3yD ．x 2＝3y(6).抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为()A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16xD ．y 2＝152x(7).抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点O 是坐标原点，过点O ，F 的圆与抛物线C 的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为__________．抛物线的几何性质例：(1)(2020·全国卷Ⅲ)设O 为坐标原点，直线x ＝2与抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)交于D ，E 两点，若OD ⊥OE ，则C 的焦点坐标为()A ．⎪⎭⎫⎝⎛041，B ．⎪⎭⎫⎝⎛021，C ．(1,0)D ．(2,0)(2)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为()A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2(3)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为______________．(4).若双曲线C ：2x 2－y 2＝m (m ＞0)与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，且|AB |＝43，则m 的值是____________.(5).在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_____________(6).已知抛物线y 2＝4x 的焦点F ，准线l 与x 轴的交点为K ，P 是抛物线上一点，若|PF |＝5，则△PKF 的面积为()A ．4B ．5C ．8D ．10(7)(2021·新高考Ⅰ卷)已知O 为坐标原点，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP .若|FQ |＝6，则C 的准线方程为__________________．(8).过抛物线：y 2＝2px (p >0)的焦点F 作倾斜角为60°的直线l ，若直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，并且点A 也在双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线上，则双曲线的离心率为()A.213B.13C.233D.5(9).如图，已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线依次交抛物线及圆(x －1)2＋y 2＝14于A ，B ，C ，D 四点，则|AB |＋|CD |的值是()A ．6B ．7C ．8D ．9直观想象、数学运算——抛物线中最值问题的求解方法与抛物线有关的最值问题是历年高考的一个热点，由于所涉及的知识面广，题目多变，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，因此相当一部分同学对这类问题感到束手无策．下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法【典例1】(2021·上海虹口区一模)已知点M(20,40)，抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F.若对于抛物线上的任意点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于________．2．平移直线法【典例2】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值是________．[切入点]解法一：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线方程，从而求两平行线间的距离．解法二：求出与已知直线平行且与抛物线相切的直线与抛物线的切点坐标，从而求切点到已知直线的距离．3．函数法【典例3】若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆(x－3)2＋y2＝1上，则|PQ|的最小值为________．[切入点]P、Q都是动点，转化为圆心与点P的最值．1．(2021·东北三省四市二模)若点P为抛物线y＝2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为()A．2 B.12C.14D.182．(2021·云南省高三统一检测)设P，Q分别为圆x2＋y2－8x＋15＝0和抛物线y2＝4x上的点，则P，Q两点间的最小距离是________．直线与抛物线的位置关系1．直线与抛物线的位置关系2＝2px，＝kx＋m，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.(1)相切：k2≠0，Δ＝0.(2)相交：k2≠0，Δ>0.(3)相离：k2≠0，Δ<0.2．焦点弦的重要结论抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，过F的焦点弦AB的倾斜角为θ，则有下列性质：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AF|＝x1＋p2＝p1－cosθ；|BF|＝x2＋p2＝p1＋cosθ；|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ.(3)抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦．(4)S△AOB＝p22sinθ.(5)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．(7)以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切．(8)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直线与抛物线有且仅有1个公共点，则它们相切．()(2)所有的焦点弦中，以通径的长为最短．()(3)直线l过(2p,0)，与抛物线y2＝2px交于A、B两点，O为原点，则OA⊥OB.()(4)过准线上一点P作抛物线的切线，A、B为切点，则直线AB过抛物线焦点．() 2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有() A．1条B．2条C．3条D．4条3．过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝()A ．9B ．8C ．7D ．64．如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线交抛物线于点A ，B ，交其准线l 于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线的方程为()A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x5．设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为__________．直线与抛物线的位置关系【例1】(1)过点(0,3)的直线l 与抛物线y 2＝4x 只有一个公共点，则直线l 的方程为__________．(2)已知抛物线C ：x 2＝2py ，直线l ：y ＝－p2，M 是l 上任意一点，过M 作C 的两条切线l 1，l 2，其斜率为k 1，k 2，则k 1k 2＝________.焦点弦问题【例2】(1)(2021·石家庄市质检)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点M (2,22)的直线l 交抛物线于另一点N ，则|NF |∶|FM |等于()A ．1∶2B ．1∶3C ．1∶2D ．1∶3(2)(2021·湖南五市十校摸底)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M 、N 两点(其中M 点在第一象限)，若MN →＝3FN →，则直线l 的斜率为________．(3)过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，且A 、C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于()A ．2B ．3C ．4D ．5(2020·山东卷)斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则|AB |＝________.直线与抛物线的综合问题例题1：已知以F 为焦点的抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点P (1，－2)，直线l 与C 交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，且OM →＋OP →＝λOF →.(1)当λ＝3，求点M 的坐标；(2)当OA →·OB →＝12时，求直线l 的方程．例题2：设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2,0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；(2)证明：∠ABM ＝∠ABN .例题3：已知抛物线P ：y 2＝2px (p >0)上的点⎪⎭⎫ ⎝⎛a ，43到其焦点的距离为1.(1)求p 和a 的值；(2)求直线l ：y ＝x ＋m 交抛物线P 于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交抛物线P 于C ，D 两点，求证：A ，B ，C ，D 四点共圆．例题4.如图所示，已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 经过点F 且与抛物线C 相交于A ，B 两点．(1)若线段AB 的中点在直线y ＝2上，求直线l 的方程；(2)若线段|AB |＝20，求直线l 的方程．例题5：已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－12上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B ．(1)证明：直线AB 过定点；(2)若以E ⎪⎭⎫ ⎝⎛250，为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．。
抛物线及其标准方程 课件
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[解析] (1)设所求的抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)或 x2＝ 2py(p>0)，
∵过点(－3,2)，∴4＝－2p·(－3)或 9＝2p·2． ∴p＝23或 p＝94． 故所求的抛物线方程为 y2＝－43x 或 x2＝92y， 对应的准线方程分别为 x＝13，y＝－98．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
[方法规律总结] 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点 到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解 题带来方便．要注意灵活运用定义解题．
第二章 圆锥曲线与方程
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·选修2-1
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抛物线及其标准方程
第二章 圆锥曲线与方程
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抛物线的定义及标准方程 思维导航 1．我们已知二次函数的图象为抛物线，生产生活中我们 也见过许多抛物线的实例，如跳绳时绳子的弧线、探照灯的纵 截面，那么抛物线是怎样定义的？有什么特点？如何画出抛物 线？
__F__(0_，__－__p2_) __y_＝__p2_____ x_2＝__－__2_p_y_(_p_>_0_)
第二章 圆锥曲线与方程
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5.过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的 线段，称为抛物线的__焦__点__弦____．
[分析] 图(2)是图(1)中位于直线O′P右边的部分，故O′B为 水池的半径，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面 直角坐标系，则易得P点坐标，再由P在抛物线上求出抛物线方 程，再由B点纵坐标求出B点的横坐标即可获解．
抛物线及其标准方程 课件
抛物线的实际应用 如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18 米，拱顶距离水 面 8 米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形 CDEF.若 |CD|＝9 米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？
解：如图所示，以点 O 为原点，过点 O 且平行于 AB 的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，
抛物线定义的应用 若动圆 M 与圆 C：(x－2)2＋y2＝1 外切，又与直线 x＋1＝0 相切，求动圆圆心的轨迹方程．
解：设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 R，由已知可得定圆圆心 为 C(2，0)，半径 r＝1. 因为两圆外切，所以|MC|＝R＋1. 又动圆 M 与已知直线 x＋1＝0 相切， 所以圆心 M 到直线 x＋1＝0 的距离 d＝R. 所以|MC|＝d＋1. 即动点 M 到定点 C(2，0)的距离等于它到定直线 x＋2＝0 的距 离． 由抛物线的定义可知，点 M 的轨迹是以 C 为焦点，x＋2＝0 为准线的抛物线，且p2＝2，p＝4， 故其方程为 y2＝8x.
若抛物线 y2＝－2px(p>0)上有一点 M，其横坐标为－9，且 点 M 到焦点 F 的距离为 10，求点 M 的坐标． 解：由抛物线方程 y2＝－2px(p>0)，得焦点坐标为 F－p2，0， 准线方程为 x＝p2.设点 M 到准线的距离为 d，则 d＝|MF|＝10， 即p2－(－9)＝10，得 p＝2，故抛物线方程为 y2＝－4x.设点 M 的纵坐标为 y0，由点 M(－9，y0)在抛物线上，得 y0＝±6，故点 M 的坐标为(－9，6)或(－9，－6)．
抛物线的定义及其标准方程
抛物线的定义及其标准方程抛物线是一种常见的平面曲线形状，它形似一条弯曲的碗，也可以理解为一弹出物飞行时所经过的曲线。
抛物线有许多重要的应用，如机械运动、射击学、光学和电子学等领域。
本篇文章将介绍抛物线的定义及其标准方程。
一、抛物线的定义抛物线可以由一个固定点(称为焦点)和一条直线(称为准线)所确定。
以焦点为原点，以准线到焦点的垂线长度为 x 轴的正半轴，则抛物线的反比例距离与该垂线长度成正比。
抛物线的几何性质：1. 抛物线有轴线对称性。
2. 抛物线的定点为焦点。
3. 抛物线上各点P到准线的距离等于该点到焦点的距离。
4. 抛物线上的点P到焦点F的距离等于P到直线的距离。
二、抛物线的标准方程为了描述抛物线更加方便，我们引入直角坐标系，坐标系原点是焦点，x 轴是准线，y 轴垂直 x 轴，向上取正。
设一个参数 p>0，焦点为 F(p,0)，准线为 x = -p，抛物线上任意一点 P(x,y) 到焦点的距离是：PF = √[(x-p)² + y²]抛物线上任意一点 P 到准线 x=-p 的距离是：PD = |x+p|由于抛物线上各点到焦点的距离等于该点到直线的距离，因此：PF = PD将 PF 的表达式代入，得：√[(x-p)² + y²] = |x+p|平方两边，得：(x-p)² + y² = (x+p)²化简得到标准方程：y² = 4px这个方程被称为抛物线的标准方程。
其中参数 p>0 决定了焦点与准线之间的距离。
若正抛物线，焦点在 y 轴下方；若负抛物线，焦点在 y 轴上方。
标准方程的性质：1. 抛物线的顶点位于原点。
2. 抛物线开口方向由参数 p 确定：当 p > 0 时，抛物线向右开口，当 p < 0 时，抛物线向左开口。
3. 抛物线的对称轴为 y 轴。
抛物线在实际应用中具有广泛的应用，如光学中的抛物面镜头、瞬时动作线、射流的发射、弹道轨迹以及天体运动等。
抛物线的定义及标准方程
抛物线的定义及标准方程一、抛物线的定义1. 定义内容- 平面内与一定点F和一条定直线l(F∉ l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
2. 定义理解要点- 强调“平面内”这一前提条件，因为在空间中满足到定点与定直线距离相等的点的轨迹是一个抛物面。
- 焦点F不在准线l上，如果F∈ l，则轨迹为过F且垂直于l的直线。
二、抛物线的标准方程1. 建立坐标系推导标准方程- 设抛物线的焦点为F，准线为l，过点F作准线l的垂线，垂足为K，以线段FK的中点O为坐标原点，FK所在直线为x轴建立直角坐标系。
- 设|FK| = p(p>0)，则焦点F的坐标为((p)/(2),0)，准线l的方程为x =-(p)/(2)。
- 设抛物线上任一点M(x,y)，根据抛物线的定义，点M到焦点F的距离等于点M到准线l的距离。
- 点M到焦点F的距离| MF|=√((x - frac{p){2})^2+y^2}，点M到准线l的距离| x+(p)/(2)|。
- 由√((x - frac{p){2})^2+y^2}=| x+(p)/(2)|，两边平方可得(x-(p)/(2))^2 + y^2=(x + (p)/(2))^2，展开并化简得y^2=2px(p>0)，这就是抛物线的一种标准方程，它表示焦点在x轴正半轴上的抛物线。
2. 其他几种标准方程形式- 当焦点在x轴负半轴上时，设焦点F(-(p)/(2),0)，准线l的方程为x=(p)/(2)，按照上述推导过程可得抛物线方程为y^2=-2px(p > 0)。
- 当焦点在y轴正半轴上时，设焦点F(0,(p)/(2))，准线l的方程为y =-(p)/(2)，设抛物线上一点M(x,y)，根据定义可得√(x^2)+(y-(p)/(2))^2=|y+(p)/(2)|，化简后得到x^2=2py(p>0)。
- 当焦点在y轴负半轴上时，设焦点F(0,-(p)/(2))，准线l的方程为y=(p)/(2)，可得抛物线方程为x^2=-2py(p>0)。
抛物线及其标准方程优秀课件
·
·
K
F
M
N
o
y
x
抛物线的标准方程
抛物线的标准方程还有哪些形式? 想一想？ 其它形式的抛物线的焦点与准线呢？
图象
开口方向
标准方程
焦点
准线
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
向右
向左
向上
向下
﹒
y
x
o
﹒
y
x
o
y
x
o
﹒
y
x
o
﹒
焦点坐标
焦点位置判断
看指数，谁的指数为1，就在谁那
（2）准线方程 是x =
（3）焦点到准线的距离是2
解：y2 =12x
解：y2 =x
解：y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y
注重分类讨论的思想
注重树形结合的思想
抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
抛物线的标准方程及其焦点、准线
（0，—）
1
8
y= － —
1
8
8
x= —
5
（- —，0）
5
8
（0，－2）
y= 2
注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式
先定位(焦点位置)， 后定量（P的值）
已知抛物线的标准方程 求其焦点坐标和准线方程
反思研究
知识巩固二：
例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）
l
F
M
N
·
·
建系
列式
化简
设点
二、标准方程的推导
抛物线及其标准方程
p ( ,0 ) 2 p ( ,0) 2 p (0， ) 2 p (0， ) 2
p x 2 p x 2 p y 2 p y 2
y
l
O
F
x
y
F O
l y l
O F
x
x
课堂新授
例.(1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x,
求它的焦点坐标和准线方程。
(2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2), 求它的标准方程。
抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ及其标准方程（一）
课堂新授
定义：平面内与一个定点F和一条定直线l 的
距离相等的点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点， 直线l 叫做抛物线的准线。
l y M
K
o
F
x
图
l y
O
形
标准方程
焦点坐标
准线方程
F
x
y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0) x2=-2py (p>0)
课堂练习
1.根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1) 焦点是F（0，3）,
1 (2) 准线方程是x=- , 4
(3) 焦点到准线的距离是2.
课堂练习
2.求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2=-10x (2) x2=-8y
(3)
y2=-
5 x 2
(4)–x2+6y=0
(6) y=-3x2
(5) 2y2+3x=0
课堂练习
3.点M与点F（0,-2）的距离比它
到直线l：y-3=0的距离小1,
求点M的轨迹方程。
课堂练习
4.已知抛物线的焦点为（3,3)，
2.3.1抛物线及其标准方程
例1 （1）已知抛物线的标准方程是y2=6x， 求它的焦点坐标和准线方程； （2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）， 求它的标准方程。 例2 一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星波 束成近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线 经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径(直径) 为4.8m，深度为0.5m。试建立 适当的坐标系，求抛物线的标 准方程和焦点坐标。
2.3.1 抛物线及其标准方程
平面内与一个定点F和一条定直线l的 距离相等的点的轨迹是什么?
1.抛物线的定义：
平面内与一个定点F 和一条定直线l的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线。
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做
H
抛物线的准线。
l
·
F
·
M
C
2.抛物线的标准方程: 步骤1：建系 l y 以过点F且垂直于直线l的直线为x轴， M 垂足为K，FK中点为坐标原点。 N 步骤2：设点 K o 步骤3：写出限制条件 |MF|=dM到l 步骤4：代入解析式 ( x p )2 y 2 | x p |
.o
o
y
y
.
x
p y 2
p y 2
x2=2py(p>0) x2= -2py(p>0)
.
o
y x
p 0, 2
. o
y2=2px
y
x
.o
y
x
o
.y x.源自oy xy2= -2px
x2=2py
x2= -2py
方 程 特 点
（1）方程的左边是二次项，等号的右边是一次项；
（2）焦点在一次项的那个轴上，坐标是一次项系数的
抛物线及其标准方程 课件
(1)过点(-3,2);
(2)焦点在 x-2y-4=0 上.
思路分析:求抛物线标准方程时要先确定焦点位置,能确定焦点位
置的可设相应的标准方程,否则要分情况讨论.
解:(1)∵(-3,2)在第二象限,
∴抛物线开口向左或向上.
设所求抛物线的方程为 y2=-2px(p>0)或 x2=2p'y(p'>0),
综上所述,抛物线的标准方程为 y2=-8x 或 x2=-y.
抛物线标准方程的求解方法是“先定型,后计算”.所谓“定型”,是指
确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是 x 轴还是 y 轴,是正
半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形式.“计算”就是指根据
题目中的条件求出方程中参数 p 的值,从而得到抛物线的标准方程.
轴为对称轴,求抛物线的标准方程.
解:由题意知圆心为(-2,-4).
(1)当抛物线焦点在 x 轴上时,设方程为 y2=ax(a≠0),
由 16=-2a,得 a=-8.
∴标准方程为 y2=-8x.
(2)当抛物线焦点在 y 轴上时,设方程为 x2=ay(a≠0),
由 4=-4a,得 a=-1.
∴标准方程为 x2=-y.
于利用其定义解题.
1
2
1
,0
2
的距离比它到 y 轴的距
离大 .
(1)求点 M 的轨迹方程.
(2)是否存在 M,使|MA|+|MF|取得最小值?若存在,求此时点 M 的坐
标;若不存在,请说明理由.
1
2
思路分析:动点 M 到 F 的距离比它到 y 轴的距离大 ,所以动点 M
1
2
到 F 的距离与它到直线 x=- 的距离相等,由抛物线定义可求得动点 M
抛物线的四种标准方程公式
抛物线的四种标准方程公式
抛物线，即参数方程，在建筑中体现的非常明显，著名的几何体之声，也就是
抛物线的发展，系几何学的一种抽象化的发展，一般有三种形式存在。
其中，四种标准抛物线的公式是：
第一种：y= ax^2 +bx+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第二种：y= a(x-h)^2+k，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
第三种：x= ay^2+by+c，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该抛物
线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入；
最后一种：x= a(y-h)^2 +K，其中a可以大于0也可以小于0，如果a>0，该
抛物线是翻出，如果a<0，该抛物线是翻入。
以上四种抛物线，是建筑中最基本的几何体，它们经常在建筑物中呈现，而一
些拥有非常令人惊叹的建筑作品便是基于这些抛物线原理才能营造出如此震撼的空间感。
举个例子，早期的拱顶，当时人们通过抛物线的参数公式，将多边形表面张开，就形成了一个完美的拱顶，而它的几何体也就凝结成了抛物线的形式。
因此，抛物线参数方程的高级应用，使建筑领域有了一定的蓬勃发展，可以运
用到多边形，穹顶，立体几何，甚至到三维空间中都是被做到的，它是建筑发展过程中最重要的几何加工机制。
在建筑专业中，抛物线参数方程被广泛用于建筑设计，艺术形象分析等方面，使建筑设计更加精致独特，更加丰富多彩。
抛物线及其标准方程ppt课件
l
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l（l 不经
H
过点 F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点 F
叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线.
准线
M
F
焦点
根据抛物线的几何特征，如图，取经过点 F 且垂直于直线 l 的直线为 x 轴，垂
足为 K，并使原点与线段 KF 的中点重合，建立平面直角坐标系 Oxy.设| KF | p( p 0) ，
的值是( C)
A. 4
B.2
C.4
D.8
解析：抛物线的准线方程为：
x
p 2
，因为
M
到焦点距离为
5，所以
M
到准线
的距离1 p 5 ，即 p 8 ，则抛物线方程为 y2 16x .将1, m 代入得：m2 16 ，
2
因为 m 0，所以 m 4 .故选：C.
5.抛物线 y2 mx( m 0) 的准线方程为 x 2 ， 那么抛物线 y mx2 的焦点坐标为
焦点坐标
p 2
,
0
p 2
,
0
0,
p 2
0,
p 2
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
四种标注方程对应抛物线的比较 相同点：
（1）顶点都是原点
（2）焦点都在坐标轴上
·
（3）焦点到准线的距离都是 p
（4）准线与焦点所在的坐标轴垂直，准线与坐标轴的交点与焦点关于原点对称，
它们与原点的距离都等于
p 2
1，得到
p
2
.
A 2.抛物线 y x 2 的焦点到双曲线 x2 y2 1 的渐近线的距离为( ) 24
第二章 2.4.1 抛物线及其标准方程
[一点通]
涉及桥的高度、隧道的高低等抛物线型问
题，通常用抛物线的标准方程解决.建立直角坐标系后， 要结合点的位置分析坐标的符号，根据实际问题中的数据 准确写出点的坐标，再结合实际问题求解．
返回
5．探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛 物线的焦点处．已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm， 则光源到反光镜顶点的距离是 ( )
返回
p＝4， 解得 m＝2 6，
p＝4， 或 m＝－2
6.
∴所求抛物线方程为 y2＝－8x，m＝± 6. 2 法二：设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0), p p 则焦点坐标 F(－ ，0)，准线方程 x＝ . 2 2 由抛物线定义知，点 M 到焦点的距离等于 5， 即点 M 到准线的距离等于 5，
答案：B
返回
4． 已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点， 则点 P 到点(0,2) 的距离与 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( 17 A. 2 C. 5 B．3 9 D.2 )
返回
解析：由抛物线的定义可知，抛物线上的点到准线的距离 等于到焦点的距离．由图可知，P 点，A(0,2)点，抛物线的 1 焦点 F( ，0)三点共线时距离之和最小．所以最小距离 d＝ 2 |AF|＝ 12 17 2 0－ ＋2－0 ＝ . 2 2
2
4，得 p＝8，故所求抛物线的标准方程为 y2＝16x.
答案：A
返回
2．已知抛物线的焦点在x轴上，抛物线上的点M(－3，m)、 到焦点的距离是5. (1)求抛物线方程和m的值； (2)求抛物线的焦点和准线方程．
解：(1)法一：∵抛物线焦点在 x 轴上，且过点 M(－3，m)， ∴设抛物线方程为 y2＝－2px(p>0)， p 则焦点坐标 F(－ ，0). 2 m2＝6p， 由题意知 p2 2 m ＋3－ ＝5， 2
抛物线及其标准方程
知识强化一、知识概述本节课主要讲述抛物线标准方程的推导过程，能根据条件熟练求出抛物线的标准方程，能求出焦点、准线方程，并且掌握抛物线的定义、标准方程及其中的p的几何意义．二、重难点知识归纳1、抛物线的定义定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合叫作抛物线．这个定点F叫作抛物线的焦点，这条定直线l叫作抛物线的准线．注意：l不经过点F，若l经过点F，则点的轨迹是过F点且与直线l垂直的一条直线．2、抛物线的标准方程的四种形式图形方程焦点准线注意：（1）p的几何意义：焦参数p是焦点到准线的距离，所以p恒为正数．（2）的焦点的横坐标是一次项系数的．（3）准线与坐标轴的交点与抛物线焦点关于原点对称．3、抛物线中的常用结论（1）焦半径：抛物线上任意一点P（x0，y）与抛物线焦点F的连线段，叫做抛物线的焦半径．焦半径公式：若抛物线y2＝2px(p>0)，则|PF|＝＋x；若抛物线y2＝－2px(p>0)，则|PF|＝－x；若抛物线x2＝2py(p>0)，则|PF|＝＋y；若抛物线x2＝－2py(p>0)，则|PF|＝－y．（2）抛物线的焦点弦：过焦点的直线与抛物线所成的相交弦．焦点弦公式：设两交点A（x1，y1），B（x2，y2），可以通过焦半径公式得到：当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关：抛物线y2＝2px(p>0)，|AB|＝p＋(x1＋x2)；抛物线y2＝－2px(p>0)，|AB|＝p－(x1＋x2)；当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关：抛物线x2＝2py(p>0)，|AB|＝p＋(y1＋y2)；抛物线x2＝－2py(p>0)，|AB|＝p－(y1＋y2)．（3）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p，半通径长为p．三、典型例题剖析例1、抛物线y2＝4x上一点A到B（3，2）与到焦点F的距离之和最小，求点A 的坐标并求最小值．分析：因为｜AF｜＝｜AN｜，故N，A，B三点共线即可．解：在图中画出准线l，过点A作AN⊥l，则|AN|＝|AF|，∴|AB|＋|AF|＝|AB|＋|AN|≥|BN|．故当A，B，N三点共线时，其和最小，过点B作BN⊥l交抛物线于点A．则点A即为所求的点，此时A（1，2）．最小值为|BN|＝4．点拨：将最值转化为几何问题解决，从而比较容易解决．抛物线上点M到焦点F 距离的求解方法：转化成点M到准线距离．例2、求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点在x－2y－4＝0上；（2）顶点在原点，焦点是F；（3）顶点在原点，准线方程是；解析：首先必须判定焦点的位置，进而求出p的值.（1）令x＝0，得y＝－2，令y＝0，得x＝4.所以抛物线的焦点为(4，0)或(0，－2).当焦点为(4，0)时，, 抛物线方程为.当焦点为(0，－2)时，，抛物线方程为.所以所求抛物线的方程为或.（2）因为焦点是F.所以抛物线的方程为.（3）因为准线方程为.，故抛物线方程为.例3、求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（－2，－4）的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标．分析：因顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点P（－2，－4），故可设抛物线方程是x2＝－2py(p>0)或设y2＝－2px(p>0)．解：由已知设抛物线的标准方程是x2＝－2py(p>0)或y2＝－2px(p>0)．把P（－2，－4）代入x2＝－2py或y2＝－2px得或p＝4．故所求的抛物线的标准方程是x2＝－y或y2＝－8x．当抛物线方程是x2＝－y时，焦点坐标是，准线方程是．当抛物线方程是y2＝－8x时，焦点坐标是F（－2，0），准线方程是x＝2．点拨：对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般地可设为y2＝ax(a≠0)或x2＝ay(a≠0)；当焦点的位置不确定时，一定要注意进行合理的分类讨论．例4、A、B是抛物线上的两点，满足（O为坐标原点），（1）求证：A、B两点的横坐标之积为定值；（2）直线AB经过一定点．解析：（1）设OA所在直线方程为y＝kx，则OB所在直线方程为，设，．由方程组求得，同理得．∴（定值），且（定值）．∴A、B两点的横坐标之积为定值.（2）由（1）知当时，AB所在直线斜率，∴AB所在直线方程：，即，显然直线AB经过一定点．当k＝1或者k＝－1时，A点与B点的横坐标都是2p，直线AB方程为x＝2p，直线AB也经过一定点.例5、若抛物线y2＝x上存在关于直线l：y－1＝k(x－1)对称的两点，求实数k的取值范围．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)关于直线l对称，由y12＝x1，y22＝x2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2，。
抛物线及其标准方程 课件
把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，
得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，
即 2p＝136，2p1＝94. ∴所求抛物线的标准方程为 y2＝136x 或 x2＝－94y.
(3)列式：由|MF|＝|MH| 得 x－p2(p>0)① 就是抛物线的标准方程．
(5)从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足 方程①，以方程①的解(x、y)为坐标的点到抛物线焦点的距 离与到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在 抛物线上，这样，把方程①叫做抛物线的标准方程．
小结 求抛物线方程的主要步骤都是先定位，即根据题中 条件确定抛物线的焦点位置；后定量，即求出方程中的 p 值，从而求出方程． 常用方法有两种： (1)定义法：先判定所求点的轨迹是否符合抛物线的定义， 进而求出方程． (2)待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件， 确定参数值．
问题 4 在抛物线定义中，条件“l 不经过点 F”去掉是否 可以？ 答案 在抛物线的定义中，定点 F 不能在直线 l 上，否 则，动点 M 的轨迹就不是抛物线，而是过点 F 垂直于 直线 l 的一条直线．如到点 F(1,0)与到直线 l：x＋y－1 ＝0 的距离相等的点的轨迹方程为 x－y－1＝0，轨迹为 过点 F 且与直线 l 垂直的一条直线．
__y_2_＝__2_p_x__ ___(_p_>_0_)___
__(_p2_，__0_) _
_x_＝__－__p2__
_y_2_＝__－__2_p_x_ ___(p_>__0_) ___
抛物线及其标准方程 课件
【解析】1.取反射镜的轴即抛物线的对称轴为x轴,抛物线的顶 点为坐标原点,建立直角坐标系xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点A的坐标是(10,12). 设抛物线的方程为y2=2px(p>0),由点A(10,12)在抛物线上, 得122=2p×10,所以p=7.2. 所以抛物线的焦点F的坐标为(3.6,0).因此灯泡与反射镜顶点 间的距离是3.6cm. 答案:3.6cm
∴点E到拱底AB的距离为 a y a 0.64 3.
4
4a
解得a>12.21,∵a取整数,
∴a的最小整数值为13.
【拓展提升】求解抛物线实际应用题的五个步骤
x=- p 2
(- p ,0) ___2___
p _x_=__2_
标准方程 图 形
x2=2py (p>0)
焦点坐标 p
_(_0_,_2__)_
准线方程 y_=___p2__
x2=-2py (p>0)
_(_0_,__p2__)
p _y_=__2__
判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)抛物线的方程都是二次函数.( ) (2)抛物线的焦点到准线的距离是p.( ) (3)抛物线的开口方向由一次项确定.( )
【解析】1.选D.方程x=-2y2的标准形式是y2=-1 x,
2
∴抛物线开口向左且p= 1,∴准线方程为x= .1
4
8
2.(1)抛物线y= 1x2的标准形式为x2=4y,
4
∴p=2,∴焦点坐标是(0,1),准线方程是y=-1.
(2)抛物线x=ay2(a≠0)的标准形式为y2=1 x, a
∴2p= 1 . a
【典型例题】
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y
解法：以过F且垂直于 l 的直线
N
M(x,y) 为x轴,垂足为K.以F,K的中点O
为坐标原点建立直角坐标系xoy.
Ko F
x 设 M( x, y), FK p ,
l
则焦点 F( p , 0) ,准线 l : x p
2
2
由抛物线的定义可知 │MF│=│MN│
代入点M坐标得： ( x p )2 y2 | x p |
4、注重树形结合的思想
5、注重分类讨论的思想
课堂作业：
教材第74 页1、2、3 题
2
2
两边平方,整理得 y2 2 px( p 0)
Hale Waihona Puke 这就是所求的轨迹方程.三.抛物线的标准方程
方程 y2 = 2px（p＞0）叫做 抛物线的标准方程.
y
· N M · 其中 p 叫焦参数，它的几何
意义是:焦点到准线的距离. K o F x
抛物线的标准方程
抛物线的标准方 程还有哪些形式?
想 一
其它形式的抛物线 的焦点与准线呢？
注意：求抛物线的焦点
一定要先把抛物线化为
（3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0
标准形式
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18） （- 5—，0）
8
（0，－2）
x= －5
y= － —1
8
x= —5
8
y= 2
反思研究
已知抛物线的标准方 程 求其焦点坐标 和准线方程 先定位(焦点位置)， 后定量（P的值）
知识巩固二：
例2：根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）
解：y2 =12x
（2）准线方程 是x =
1 4
（3）焦点到准线的距离是2
解：y2 =x
解：y2 =4x或y2 = -4x 或x2 =4y或x2 = -4y
归纳小结
1、抛物线的定义
2、抛物线的标准方程及其焦点、准线
3、抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
抛物线及其标准 方程
生活中存在着各种形式的抛物线
一.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线l
(F l )的距离相等的点的轨迹叫做
抛物线.
定点F 叫做抛物线的焦点,
· l M
N
·F
定直线 l 叫做抛物线的准线.
求曲线方
建系
程的基本
步骤是怎
样的？
设点
l
· N M
列式
·F
化简
二、标准方程的推导
想
？
图象 开口方向 标准方程 焦点
准线
﹒y 向右
ox
﹒y o x 向左 ﹒y 向上 ox
﹒y
o
x
向下
焦点位置判断
看指数，谁的指数为1，就在谁那 焦点坐标
一次项系数的1/4 开口方向 由解析式的一次项的系数的正负来 确定
知识巩固一：
例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2 = 20x （2）y=2x2