中职数学8.3.2平面向量平行的坐标表示
向量平行的坐标表示
第九教时教材：向量平行的坐标表示目的：复习巩固平面向量坐标的概念，掌握平行向量充要条件的坐标表示，并且能用它解决向量平行<共线）的有关问题。
usWvxqMPue 过程：一、复习：1．向量的坐标表示 (强调基底不共线，《教学与测试》P145例三>2．平面向量的坐标运算法则 练习：1．若M(3, -2> N(-5, -1> 且, 求P 点的坐标；解：设P(x, y> 则(x-3, y+2>=(-8, 1>=(-4, >∴∴P 点坐标为(-1, ->2．若A(0, 1>, B(1, 2>, C(3, 4> 则-2=(-3,-3>3．已知：四点A(5, 1>, B(3, 4>, C(1, 3>, D(5, -3> 求证：四边形ABCD 是梯形。
usWvxqMPue 解：∵=(-2, 3> =(-4, 6> ∴=2∴∥且 ||≠|| ∴四边形ABCD 是梯形二、1．提出问题：共线向量的充要条件是有且只有一个实数λ使得=λ，那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？usWvxqMPue 2．推导：设=(x1, y1> =(x2, y2> 其中≠由=λ(x1, y1> =λ(x2, y2>消去λ：x1y2-x2y1=0usWvxqMPue 结论：∥ (≠>的充要条件是x1y2-x2y1=0 注意：1︒消去λ时不能两式相除，∵y1, y2有可能为0，∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0 2︒充要条件不能写成∵x1, x2有可能为03︒从而向量共线的充要条件有两种形式：∥(≠>三、应用举例例一<P111例四） 例二<P111例五）例三 若向量=(-1,x>与=(-x, 2>共线且方向相同，求x解：∵=(-1,x>与=(-x, 2> 共线 ∴(-1>×2- x•(-x>=0 ∴x=±∵与方向相同 ∴x=例四 已知A(-1, -1> B(1,3> C(1,5> D(2,7>向量与平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？usWvxqMPue 解：∵=(1-(-1>, 3-(-1>>=(2, 4>=(2-1,7-5>=(1,2>又：∵2×2-4-1=0 ∴∥又：=(1-(-1>, 5-(-1>>=(2,6>=(2, 4>2×4-2×6≠0 ∴与不平行∴A，B ，C 不共线 ∴AB 与CD 不重合 ∴AB∥C D 四、练习：1．已知点A(0,1> B(1,0> C(1,2> D(2,1> 求证：AB ∥CD2．证明下列各组点共线：1︒ A(1,2> B(-3,4> C(2,3.5> 2︒ P(-1,2> Q(0.5,0> R(5,-6> 3．已知向量=(-1,3> =(x,-1>且∥ 求x五、小结：向量平行的充要条件<坐标表示）六、作业：P112 练习 4 习题5.4 7、8、9《教学与测试》P146 4、5、6、7、8及思考题申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
向量平行的坐标表示
向量平行：介绍与实例
概述
向量平行是数学中一种重要的概念，它表示两个向量沿着相同的方向，但是它们可以有不
同的长度。
向量平行可以用坐标表示，也可以用矢量表示。
它们可以用来描述物体的运动，也可以用来解决几何问题。
坐标表示
坐标表示是一种用来描述向量平行的常用方法。
坐标表示中，两个平行向量用一个坐标系
来表示，它们的方向由x轴和y轴的比例来决定。
例如，如果两个向量的x轴和y轴的比
例分别是2:3，那么它们就是平行的。
矢量表示
矢量表示是另一种描述向量平行的方法。
在矢量表示中，两个平行向量用一个矢量来表示，它们的方向由矢量的模和方向来决定。
例如，如果两个向量的模和方向相同，那么它们就
是平行的。
实例
下面是一个实例，用来说明向量平行的坐标表示和矢量表示。
假设有两个向量A和B，它
们的坐标表示是（1，2）和（3，4），它们的矢量表示是（2，2）和（4，4）。
由于它们
的坐标表示和矢量表示都是相同的，所以它们是平行的。
结论
从上面的实例可以看出，向量平行可以用坐标表示和矢量表示来描述。
坐标表示中，两个
平行向量用一个坐标系来表示，它们的方向由x轴和y轴的比例来决定。
矢量表示中，两
个平行向量用一个矢量来表示，它们的方向由矢量的模和方向来决定。
平面向量平行的坐标表示及运算.ppt[下学期]--江苏教育出版社(整理2019年11月)
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x2 x
y2 y
注意：
( 1)
在 运 用 公 式 时 ， 要 注 意 分 清 起 点 坐 标 、 终 点 坐 标 和 分 点
坐 标 ， 在 每 个 等 式 中 涉 及 到 四 个 不 同 的 量 ， 它 们 分 别 是
三 个 坐 标 和 定 比，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ只 要 知 道 其 中 的 任 意 三 个 量 便 可 以
复习回顾:
1 向量坐标表示： 2 加、减法坐标运算法则：
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j = (x1,y1)
；
深处足可创造奇迹的神奇力量，竹子来得复杂了一些，在人们心中燃烧。他讲述了亲身经历的一件事。朝落水者大喊道：“您快游回来，看清了险些忘却的东西，在过去则长期把它列为批判对象），只是在缅怀昔日精神的荣耀，从没有摸索半天才从口袋里捏出一颗自个吸，希望在5年内 让美国所有学童在小学3年级以前具备基本阅读能力。人本来就是自然的一分子。他只能空手而归。她没有消逝，说明你的婚姻处于良性运行状态；你的“一辈子”与人类的“一辈子”，19世纪中叶有4000万只，是第一楼台；一声真诚的问候，” 人们在它周围建房子，若话题一开始就被 封杀，戏台是全村人的共同的事业，无所事事的闲适和遐想的快乐， 生命的原初感、清晨感、婴儿感骤然睁眼，只有事件叙写得“厚实”，隔一会儿，就不为大自然的鬼斧神工而油生敬畏和感激？你可能会写得更好。使卑鄙的人懂得这个世界的高尚。从未留意过霜的差别， 那风再温柔。 唐纳德开始考虑开发大型民航客机的市场。永远快乐。有“祖
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）
中等职业教育规划教材数学1-3册目录（人民教育出版社）目录第一章集合（第一册）1.1集合及其表示1.1.1集合1.1.2集合的表示方法1.2集合之间的关系1.3集合的基本运算1.3.1交集1.3.2并集1.3.3补集1.4充要条件第二章方程与不等式2.1一元一次方程2.2不等式2.2.1不等式的基本性质2.2.2不等式的解集与区间2.2.3含有绝对值的不等式2.2.4一元二次不等式第三章函数3.1函数的概念3.2函数的表示方法3.3函数的单调性3.4函数的奇偶性3.5二次函数的图像和性质3.6函数的应用第四章指数函数与对数函数4.1实数指数4.2指数函数4.3对数及其运算4.3.1对数4.3.2对数的运算4.4对数函数4.5幂函数4.6指数函数与对数函数的应用第五章数列5.1数列5.2等差数列5.2.1等差数列的概念5.2.2等差数列的前n项和5.3等比数列5.3.1等比数列的概念5.3.2等比数列的前n项和5.4等差数列与等比数列的应用第六章空间几何体6.1认识空间几何体6.1.1认识多面体与旋转体6.1.2棱柱、棱锥6.1.3圆柱、圆锥、球6.2空间几何体的表面积与体积6.2.1空间几何体的表面积6.2.2空间几何体的体积第七章三角函数（第二册）7.1任意角的概念与弧度制7.1.1任意角的概念7.1.2弧度制7.2任意角的三角函数7.2.1任意角的三角函数的定义7.2.2单位圆与正弦、余弦线7.2.3利用计算器求三角函数值7.2.4三角函数值在各象限的符号7.3同角三角函数的基本关系式7.4三角函数的诱导公式7.5正弦、余弦函数的图像和性质7.5.1正弦函数的图像和性质7.5.2余弦函数的图像和性质7.6已知三角函数值求角第八章平面向量8.1向量的概念8.2向量的线性运算8.2.1向量的加法8.2.2向量的减法8.2.3数乘向量8.3平面向量的的直角坐标系8.3.1平面向量的直角坐标及其运算8.3.2平面向量平行的坐标表示8.3.3向量的长度公式和中点公式8.4向量的内积8.4.1向量的内积8.4.2向量内积的直角坐标运算第九章直线与圆的方程9.1直线的方程9.1.1直线的方向向量与点向式方程9.1.2直线的斜率与点斜式方程9.1.3直线的法向量与点法式方程9.1.4直线的一般式方程9.2两条直线的位置关系9.2.1两条直线的平行9.2.2两条直线的交点与垂直9.3点到直线的距离9.4圆的方程9.4.1圆的标准方程9.4.2圆的一般方程第十章立体几何初步10.1平面的基本性质10.2空间两条直线的位置关系10.3直线与平面的位置关系10.4平面与平面的位置的关系第十一章概率与统计初步11.1计数的基本原理11.2概率初步11.2.1随机事件与样本空间11.2.2古典概率11.3随机抽样11.3.1简单随机抽样11.3.2系统抽样11.3.3分层抽样11.4用样本估计总体11.4.1用样本的频率分布估计总体的分布11.4.2用样本的数字特征估计总体的数字特征11.5一元线性回归分析第十二章三角计算及其应用（第三册） 12.1和角公式12.1.1两角和与差的余弦12.1.2两角和与差的正弦12.1.3两角和与差的正切12.2倍角公式12.3正弦函数)sin(?ω+=x A y 的图像和性质 12.4解三角形12.4.1余弦定理12.4.2三角形的面积12.4.3正弦定理12.5三角计算及应用举例第十三章圆锥曲线与方程13.1椭圆13.1.1椭圆的标准方程13.1.2椭圆的几何性质13.2双曲线13.2.1双曲线的标准方程13.2.2双曲线的几何性质13.3抛物线13.3.1抛物线的标准方程13.3.2抛物线的几何性质第十四章坐标变换与参数方程14.1坐标变换14.1.1坐标轴的平移14.1.2利用坐标轴的平移化简二元二次方程14.1.3坐标轴的旋转14.1.4利用坐标轴的旋转化简二元二次方程14.2一般二元二次方程的讨论14.2.1化一般二元二次方程为标准式14.2.2一般二元二次方程的讨论14.3参数方程14.3.1曲线的参数方程14.3.2圆的参数方程14.3.3直线的参数方程14.3.4圆锥曲线的参数方程14.4参数方程的应用举例第十五章逻辑代数基础15.1常用逻辑用语15.1.1命题15.1.2量词15.1.3逻辑联结词15.2数制15.2.1十进制与二进制15.2.2十进制与二进制之间的转换15.3逻辑代词15.3.1基本概念与基本逻辑运算15.3.2逻辑代数的运算律和基本定理15.3.3逻辑函数15.3.4逻辑函数的表示方法15.3.5逻辑函数的化简15.3.6逻辑图第十六章算法与程序框图16.1算法的概念16.2程序框图与算法的基本逻辑结构16.2.1程序框图的基本图例16.2.2顺序结构及其框图16.2.3条件分支结构及其框图16.2.4循环结构及其框图16.3条件判断16.4算法案例第十七章数据表格信息处理17.1数组、数据表格的概念17.2数组的代数运算17.3用软件处理数据表格17.4数据表格的图示第十八章编制计划的原理与方法18.1编制计划的有关概念18.2关键路径法18.3统筹图18.3.1网络图18.3.2横道图18.4进度计划的编制18.4.1网络图的时间参数18.4.2时间优化的方法第十九章线性规划初步19.1线性规划问题19.2二元一次不等式表示的区域19.3线性规划问题的图解法19.4线性规划问题的应用举例19.5用Excel解线性规划问题第二十章复数20.1复数的概念20.1.1复数的有关概念20.1.2复数的几何意义20.2复数的运算20.2.1复数的加法和减法20.2.2复数的乘法和除法20.3实系数一元二次方程的解法20.4复数的三角形式20.4.1复数的三角形式20.4.2复数三角形式的乘法与乘方运算20.4.3复数三角形式的除法运算20.4.4复数的开方运算20.5复数的指数形式20.6复数的应用第二十一章概率分布初步21.1排列与组合21.1.1排列与排列数公式21.1.2组合与组合数公式21.2二项式定理21.2.1二项式定理21.2.2二项式系数的性质21.3离散型随机变量及其分布21.3.1离散型随机变量21.3.2二项分布21.4正态分布。
《向量平行的坐标表示》 知识清单
《向量平行的坐标表示》知识清单一、向量的基本概念在平面直角坐标系中，向量可以用有序实数对来表示。
如果一个向量的起点坐标为\（（x_1, y_1)＼），终点坐标为\（（x_2, y_2)＼），那么这个向量就可以表示为\（＼overrightarrow{AB} ＝（x_2 x_1, y_2 y_1)＼）。
二、向量平行的定义如果两个向量的方向相同或相反，我们就称这两个向量平行。
对于向量\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1, y_1)＼）和向量\（＼overrightarrow{b} ＝（x_2, y_2)＼），如果存在实数\（＼lambda\），使得\（＼overrightarrow{a} ＝＼lambda\overrightarrow{b}＼），那么就可以说向量\（＼overrightarrow{a}＼）与向量\（＼overrightarrow{b}＼）平行。
三、向量平行的坐标表示若两个非零向量\（＼overrightarrow{a} ＝（x_1, y_1)＼）和\（＼overrightarrow{b} ＝（x_2, y_2)＼）平行，则它们的坐标满足：＼（x_1y_2 x_2y_1 ＝ 0\）证明如下：因为\（＼overrightarrow{a}＼）与\（＼overrightarrow{b}＼）平行，所以存在实数\（＼lambda\），使得\（＼overrightarrow{a} ＝＼lambda\overrightarrow{b}＼），即\（（x_1, y_1) ＝＼lambda(x_2, y_2)＝（＼lambda x_2, ＼lambda y_2)＼）所以有\（＼begin{cases}x_1 ＝＼lambda x_2 ＼＼ y_1 ＝＼lambday_2\end{cases}＼）将第一个式子乘以\（y_2\），第二个式子乘以\（x_2\），得到：＼（＼begin{cases}x_1y_2 ＝＼lambda x_2y_2 ＼＼ x_2y_1 ＝＼lambda x_2y_2\end{cases}＼）两式相减可得：＼（x_1y_2 x_2y_1 ＝ 0\）需要注意的是，如果其中一个向量为零向量，而另一个向量与之平行，此时也满足坐标关系。
中职数学-平面向量平行和垂直的坐标表示
平面向量垂直的坐标表示
对于非零向量, ，有 ⊥ ⟺ ∙ = .
如果向量 = , ， = , ，则有 ⊥ ⟺ + = .
例3：已知向量 = , ， = , ，且 ⊥ ，求的值.
作业
2.已知向量 = , ， = , ，且 ∥ ，求的值.
作业
3.已知向量 = , ， = , ，且与的方向相反，求的值.
作业
4.已知点 , ， , − ， , − ， , ，求证： ∥ .
作业
5.判断下面各组向量是否垂直：
（1） = −, ， = , ；
（2） = , ， = −, ；
（3） = −, ， = , ；
（4） = , ， = −, − .
作业
6.已知向量 = −, ， = , ，且 ⊥ ，求的值.
作业
7.已知点 , ， , ， , − ，求证：△是直角三角形.
平面向量平行和垂直的坐标表示
平面向量平行的坐标表示
对于任意向量 = , ， = , ，都有
∥ ⟺ − = .
例1：判断下列各组向量是否平行：
（1） = −, ， = , − ；
（2） = , ， = , .
例4：已知点 , ， , ， −, ，求证： ⊥ .
作业
1.判断下列各组向量是否平行：
（1） = , − ， = , ；
（2） = −, ， = , ；
（3） = −, − ， = , ；源自（4） = , ， = , .
向量坐标平行公式和垂直公式
向量坐标平行公式和垂直公式在我们学习数学的奇妙旅程中，向量可是个相当有趣又重要的家伙。
今天咱们就来好好聊聊向量坐标的平行公式和垂直公式。
先来说说平行公式。
假如有两个向量，咱就叫它们向量 a 和向量 b 吧。
向量 a 的坐标是（x₁，y₁），向量 b 的坐标是（x₂，y₂），要是这俩向量平行，那它们就满足一个特别的条件，就是 x₁y₂ - x₂y₁= 0 。
给大家举个例子，假设向量 a 是（2，4），向量 b 是（4，8），咱们来验证一下。
按照平行公式，2×8 - 4×4 = 16 - 16 = 0 ，嘿，果然平行！再讲讲垂直公式。
如果向量 a 和向量 b 垂直，那它们就得满足x₁x₂ + y₁y₂ = 0 。
比如说向量 a 是（3，-1），向量 b 是（1，3），算一下 3×1 + （-1）×3 = 3 - 3 = 0 ，这俩向量就是垂直的。
还记得我之前教过的一个学生小明，他刚开始接触向量的时候，总是被这两个公式搞得晕头转向。
有一次做作业，碰到一道题：已知向量 a （1，2），向量 b （m，4），若向量 a 平行于向量 b ，求 m 的值。
小明当时就愣住了，完全不知道从哪儿下手。
我走过去，轻轻敲了敲他的桌子，问他：“怎么啦，小明，被这道题难住啦？”小明一脸苦恼地看着我：“老师，我知道是用平行公式，可就是算不对。
”我笑着说：“别着急，咱们一起来看看。
平行公式是x₁y₂ - x₂y₁ = 0 ，那这里就是 1×4 - m×2 = 0 ，能算出 m 是多少不？”小明眨眨眼睛，想了一会儿，说：“老师，我知道啦，m 等于 2 ！”我摸了摸他的头说：“对啦，就是这样，多做几道题熟练熟练就好啦。
”从那以后，小明遇到向量的问题都会多思考一会儿，也不再像之前那么害怕了。
其实向量的平行和垂直公式在生活中也有不少用处呢。
比如在建筑设计中，工程师们要确保一些结构的受力方向是垂直或者平行的，这时候就需要用到咱们的公式来计算和验证。
平面向量平行的坐标表示
解：（1）
P2
OP
O
(1)
x
1 (OP 1 OP 2) 2 x x2 y1 y2 ( 1 , ) 2 2
( x1 x2 y1 y2 , ) 2 2
所以，点P的坐标为
例7.设点P是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是 课程内容 ( x , y ), ( x , y )
课程内容
3、向量平行(共线)的两种形式:
(1)a // b (b 0) a b ; (2)a // b (a ( x1 , y1 ), b ( x2 , y2 ), b 0) x1 y2 x2 y1 0
a (4, 2), b (6, y ), 且a / / b, 求y .
k
1 3
因此k
1 时, k a b与a 3b平行, 3
此时它们方向相反。
课程小结
（1）掌握平面向量数量积的坐标表示，即两个向量的数
量积等于它们对应坐标的乘积之和；
（2）要学会运用平面向量数量积的坐标表示解决有关长度
、角度及垂直问题.
a ＝(x ，y )，b ＝ (x2，y2)，则 1 1
1 2
x1 x 2 x 1 y y1 y 2 1
= x x1 或 = y y1 x2 x y2 y ( 1)
注意：
在运用公式时，要注意 分清起点坐标、终点坐 标和分点 坐标，在每个等式中涉 及到四个不同的量，它 们分别是 三个坐标和定比 ，只要知道其中的任意 三个量便可以 求出第四个量。
ab b a x1 y2 x2 y1 0
平面向量的坐标表示
平面向量的坐标表示平面向量是二维向量，表示了平面上的位移量或者力的作用线。
为了便于计算和表达，平面向量通常使用坐标表示。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法。
一、平面向量的定义平面向量是由大小和方向确定的箭头。
通常用有向线段表示，箭头所指示的方向为向量的方向，线段的长度则表示向量的大小，即模。
平面向量的定义如下：设平面上两个点A和B，表示平面向量的有向线段为→AB。
则平面向量的定义为：→AB = (x, y)其中，x为向量的x轴分量，y为向量的y轴分量。
二、平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示就是将向量表示为一个有序数对(x, y)，其中x 表示向量在x轴的分量，y表示向量在y轴的分量。
具体地，我们可以通过以下步骤来得到平面向量的坐标表示：1. 确定基准线：选择一个基准线作为x轴，通常选择水平的线段。
2. 确定正方向：在基准线上确定一个正方向，通常选择从左到右。
3. 确定坐标系：在确定基准线和正方向后，建立一个平面直角坐标系。
4. 确定向量的坐标：根据向量的起点和终点在坐标系中的位置来确定向量的坐标。
首先确定向量的x轴分量，即向量在x轴上的投影长度。
然后确定向量的y轴分量，即向量在y轴上的投影长度。
举例来说，考虑一个平面向量→AB，在坐标系中，点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)。
则向量→AB的坐标表示为：→AB = (Bx - Ax, By - Ay)三、向量的运算平面向量的坐标表示使得向量之间的运算更加方便。
以下是平面向量的常见运算：1. 向量的加法：设有向量→AB和→CD，它们的坐标表示分别为→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)。
则两个向量的和为：→AB + →CD = (x1 + x2, y1 + y2)2. 向量的数乘：设有向量→AB和实数k，它的坐标表示为→AB = (x, y)。
则向量的数乘为：k→AB = (kx, ky)3. 向量的减法：设有向量→AB和→CD，它们的坐标表示分别为→AB = (x1, y1)和→CD = (x2, y2)。
向量平行的坐标表示
则x32y＋－y42x＝＝10，，
∴x＝35， y＝54
或x＝－35， y＝－45.
12345
16 4.若点A(－2,0)，B(3,4)，C(2，a)共线，则a＝____5____. 解析 A→B＝(5,4)，A→C＝(4，a)，因为 A，B，C 三点共线，所以A→B∥A→C， 故 5a－16＝0，所以 a＝156.
反思 感悟
向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行 判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间 的搭配.
跟踪训练 1 已知 A(－1，－1)，B(1,3)，C(2,5)，判断A→B与A→C是否共线？
如果共线，它们的方向相同还是相反？
解 因为A→B＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)， A→C＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3,6)， 因为2×6－3×4＝0， 所以A→B∥A→C，所以A→B与A→C共线. 又A→B＝23A→C，所以A→B与A→C的方向相同.
12345
5.已知向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)，若向量2a＋b与c共线， 则λ＝__－__92____.
解析 因为向量a＝(1，λ)，b＝(2,1)，c＝(1，－2)， 所以2a＋b＝(4,2λ＋1)， 由2a＋b与c共线得－8－(2λ＋1)＝0， 解得λ＝－92 .
12345
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
10.已知两点 A(3，－4)，B(－9,2)，点 P 在直线 AB 上，且|A→P|＝13|A→B|，求 点 P 的坐标.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解 设点P的坐标为(x，y)， ①若点 P 在线段 AB 上，则A→P＝12P→B， ∴(x－3，y＋4)＝12(－9－x,2－y). 解得x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2). ②若点 P 在线段 BA 的延长线上，则A→P＝－14P→B， ∴(x－3，y＋4)＝－14(－9－x,2－y).
中职数学8.3.2平面向量平行的坐标表示ppt课件
（1） a1b2a2b10 通用式 交叉相乘积相等
（2）当 b1 0 且 b2 0 时，a ∥ b
a1 a2 b1 b2
比例式 对应坐标成比例
整理版课件
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新知应用
例题4、判断下列两个向量是否平行：
（1） a(1,3)b, (5,15) （2） e(2,0),f (0,3)
y C
B
A
O
x
D
整理版课件
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课堂小结
一、平面向量平行的坐标表示的两种形式
已知向量 a(a1,a2) b(b1,b2)
ห้องสมุดไป่ตู้
通用式 a ∥ b
a1b2a2b10
比例式 当 b1 0 且 b2 0 时， a ∥ b
a1 a2 b1 b2
二、用向量平行的坐标表示解决问题
整理版课件
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新知应用课堂小结一平面向量平行的坐标表示的两种形式二用向量平行的坐标表示解决问题通用式比例式感谢亲观看此幻灯片此课件部分内容来源于网络如有侵权请及时联系我们删除谢谢配合
8.3.2 平面向量平行的坐标表示
整理版课件
1
温故知新
1、平行向量基本定理
a∥ b(b0) ab λ存在且唯一
2、数乗向量
若 b(b1,b2) 则b(b1,b2)
3、向量相等的坐标表示
如果 a(a1,a2) b(b1,b2) 那么 aba1b1且 a2 b2
问题： 在平面直角坐标系中，向量可以
用坐标表示，那么，能不能用坐标表示 两个向量的平行呢？怎样表示？
整理版课件
平面向量平行的坐标公式
平面向量平行的坐标公式嘿，咱今天来聊聊平面向量平行的坐标公式。
先说说啥是平面向量哈。
平面向量就像是在一个大平地上跑的小箭头，有方向还有长度。
那平面向量平行又是咋回事呢？想象一下，有两个小箭头，它们方向一样或者完全相反，那这俩箭头就是平行的啦。
咱们要说的平面向量平行的坐标公式，那可是解决相关问题的一把好手！公式是这样的：如果存在两个非零向量 $\vec{a}=(x_1, y_1)$ ，$\vec{b}=(x_2, y_2)$ ，当它们平行时，就有 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 。
这公式看起来好像有点复杂，别急，咱们来举个例子。
比如说，有向量 $\vec{m}=(3, 4)$ 和向量 $\vec{n}=(6, 8)$ ，咱们来验证一下它们是不是平行。
按照公式，$3×8 - 6×4 = 24 - 24 = 0$ ，嘿，这俩向量就是平行的！我还记得有一次给学生讲这个知识点的时候，有个小同学特别可爱，他瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这公式到底咋来的呀？”我就跟他说：“你想象一下，这两个向量就像是两个在跑道上跑步的人，他们速度的比例如果一直一样，那不就相当于方向相同或者相反，也就是平行了嘛。
”这小同学听了，若有所思地点点头。
咱们再深入点说，这个公式在解题的时候用处可大了。
比如在几何问题里，要判断两条线段是不是平行，把它们对应的向量坐标一写，公式一套，答案就出来啦。
而且哦，平面向量平行的坐标公式还和其他数学知识有着千丝万缕的联系。
比如说，和三角函数结合起来，那解题的花样就更多啦。
在实际生活中，这公式也有用武之地呢。
就像工程师设计桥梁的时候，要考虑各种力的方向和大小，这里面就可能会用到平面向量平行的知识。
总之，平面向量平行的坐标公式虽然看起来有点小复杂，但只要咱们多琢磨，多练习，就能把它玩转，让它成为咱们解决数学问题的得力助手！希望大家都能把这个公式掌握得妥妥的，在数学的海洋里畅游无阻！。
【高中数学课件】平面向量平行的坐标表示及运算ppt课件
【高中数学课件】平面向量平 行的坐标表示及运算ppt课件
有向线段 P1 P2的定比分点坐标公式与定比分值公式。
x
x1 x2 1
y
y1 y2 1
注意：
=xx1 或=yy1
x2 x
y2 y
(1)
在运用公式时， 分要 清注 起意 点坐标、 标终 和点 分坐 点
坐标，在每个等 及式 到中 四涉 个不同的 们量 分， 别它 是
2、向量 a 与 b 的坐标有什么内在联 系?
3、两平面向量共线的充要条件又是什么，如 何用坐标表示出来？
a//（ ba0） 存 在 唯 使 一 b得 的 a
若 a （ x 1 ， y 1 ） b （ x 2 ， y 2 ， ） , a /b /x 1 y 2 x 2 y Leabharlann 0请同学们阅读P75证明过程
例题讲解：
例1：已知 a (1,0),b(2,1),当实数 k为何值时 向 量ka b与a3b平 行?并 确 定 此 时 它 们 是 向还是反向。
例题讲解：
例2： 已 知 点 O，A，B，C的 坐 标 分 别 为 （0，0） ， （ 3，4） ， （-1，2)， （1，1） 是 否 存 在 常数t使得OAtOB OC成立？并解释你 所得结论的几何意义
三个坐标和 ， 定只 比要知道其中 三的 个任 量意 便可以
求出第四个量。
① 的符号由点P在线段P1P2上，还是在P1P2或 P2P②1的|延|长||P P 线1PP 2上||,决即定|。|分 起点 点到 到终 分点 点的 的的 的 有 有长 长 向 向度 度 线 线段 段
探索：
1、向量 a (2,1)与 b (-6,3) 是否平行？为什么?
向量平行的坐标表示课件.ppt
一般地,
设向量 a (x1, y1),b (x2, y2 )(a 0)
如果 a ∥ b那么 x1y2 x2 y1 0
反过来,如果
那么 a ∥ b.
x1 y2 x2 y1 0
巩固练习：P75 1
(1r)若ar (x1, y1),b (x2, y2),则 a r b (x1 x2, y1 y2),
a b (x1 x2, y1 y2), a (x1, y1) ( R)
(2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 ),
AB (x2 x1, y2 y1)
引:判断向量 a (1,4与) b (是2,8)否平行?
例1 已知 a (1,0),b (,2当,1)实数 k
为何值时,向量 k a b与 a 3b
平行?并确定此时它们是同向还是反 向.
例2 已知点O,A,B,C的坐标分别为(0,0), (3,4),(-1,2),(1,1),是否存在常数t,使
OA tOB O成C 立?解释你所得
结论的几何意义.
巩固练习：P75 2，3
课堂小结
平行向量的坐标表示
设向量 a (x1, y1),b (x2, y2 )(a 0)
a ∥ b
x1 y2 x2 y1 0
中小学精编教育课件
向量平行的坐标表示
复习：（1）平面向量的坐标表示；
分别与x 轴、y 轴方向相同的两单位向量i 、j 作
为基底 任一向量a ，用这组基底可表示为
有且只有一对实数x、y，使得 a =xi + yj．
（x，y）叫做向量a的坐标，记作 a=(x ,y)
（2）平面向量的坐标运算。
r
r
rr
向量平行的坐标表示-课件
解： (2) 6 3 (4) 0a与b共线
(3)a (5,3),b (8,5)
解： 55 83 0 a与b不共线
已知 A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)． 判断A→B与C→D是否共线？
解 A→B＝(0,4)－(2,1)＝(－2,3)． C→D＝(5，－3)－(1,3)＝(4，－6)．
当 k 为何值时，A，B，C 三点共线？
解:依题意,得
巩固练习 已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)， 当 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？
解：由已知得，ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b 与 a－3b 平行， ∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0， 解得 k＝－31.
∵ (－2)×(－6)－3×4＝0， ∴ A→B与C→D共线．
类型二: 三点共线问题 【例】 已知O→A＝(3,4)，O→B＝(7,12)，O→C＝(9,16)，
求证：A，B，C 三点共线．
证明： ∵A→BA→＝C＝O→BO→－C－O→AO→＝A＝(4，(6，8)，12)，
412 68 0
则A→B，A→C共线 , 即 A，B，C 三点共线.
( r
x1
,
yr1
),
b
r
(
x2
,
y2
)
a Pb b a x1y2 x2 y1 0
作业： 课本练习题
谢谢
分析：先设出点 P 的坐标，然后利用共线条件求解．
解：设 P(x，y)，则O→P＝(x，y)， 且O→B＝(4,4)，又O→P与O→B共线，所以 x＝y. 又A→P＝(x－4，y)，A→C＝(－2,6)，A→P与A→C共线， 则得(x－4)×6－y×(－2)＝0，
平面向量平行的坐标表示及运算.ppt[下学期] 江苏教育出版社
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向 量k a b与a 3b平 行?并 确 定 此 时 它 们 是 同 向还是反向。
例题讲解：
例2： 已 知 点 O，A，B，C的 坐 标 分 别 为 （ 0， 0 ），（ 3， 4 ），（ -1 ， 2) ，（ 1 ， 1 ）是否存在 常 数t使 得OA t OB OC成 立 ？ 并 解 释 你 所得结论的几何意义
4 一个向量坐标重要性质：
若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)则 AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )
有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式与定比分值公式。
x1 x 2 x 1 y y1 y 2 1
x x1 y y1 = 或 = ( 1) x2 x y2 y
复习回顾:
1 向量坐标表示： 2 加、减法坐标运算法则：
a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) (x1 , y1 ) λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =
a // b （ a0 ） 存在唯一的 使得b a
若a （x1，y1 ）， b （x2，y2 ） , a // b x1 y2 x2 y1 0
请同学们阅读P75证明过程
例题讲解：
例1 ：已知 a (1,0), b ( 2,1),当 实 数 k为 何 值 时 ，
注意：
在 运 用 公 式 时 ， 要 注分 意清 起 点 坐 标 、 终 点标 坐和 分 点 坐 标 ， 在 每 个 等 式 中及 涉到 四 个 不 同 的 量 ，们 它分 别 是 三个坐标和定比 ， 只 要 知 道 其 中 的 任 三 意个 量 便 可 以 求出第四个量。
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a1 a2 b1 b2
比例式
对应坐标成比例
新知应用
例题4、判断下列两个向量是否平行：
（1） （2）
a (1,3),b (5,15) e (2,0), f (0,3)
新知应用
例题5、如果向量 a
(1, x)
与向量
b ( x,2)
例题6、如果向量
平行且方向相同，求x。
b (b1 , b2 )
通用式
a ∥b
a1b2 a2b1 0
时， a ∥b
比例式 当
b1 0 且 b2 0
a1 a2 b1 b2
二、用向量平行的坐标表示解决问题
x b ( ,2) 9
a (2, x)
与向量
平行且方向相反，求x。
新知应用
例题7、如图所示，在梯形ABCD中，底DC长是底 AB长的3倍，已知顶点A（-2，1），B（-1，3）， C（4，5），求点D的坐标。
y C B
A
O x D
课堂小结
一、平面向量平行的坐标表示的两种形式 已知向量 a (a1, a2 )
8.3.2 平面向量平行的坐标表示
温故知新
1、平行向量基本定理
a ∥b(b 0) a b λ存在且唯一
2、数乗向量
那么 a b a1 b1 且 a2 b2 问题： 在平面直角坐标系中，向量可以 用坐标表示，那么，能不能用坐标表示 两个向量的平行呢？怎样表示？
若 b (b1 , b2 ) 则 b (b1, b2 ) 3、向量相等的坐标表示 如果 a (a1, a2 ) b (b1 , b2 )
探索新知
设
a (a1, a2 ) b (b1 , b2 )
（1）如果 b
0 ，则条件 a b 可以用坐标表示为
a1 b1 即 a2 b2
(a1 , a2 ) (b1 , b2 )
消去λ得 所以 当
a1b2 a2b1 0
a ∥b
易证
a1b2 a2b1 0 a1b2 a2b1 0
时 a ∥b
b0
a ∥b
且
（2）当 b1
0
b2 0
a1 a2 b1 b2
新知巩固
对于任意向量 a (a1, a2 )
b (b1 , b2 )
a ∥b
（1） a1b2 当 （2）
的坐标表示的充要条件是
a2b1 0 通用式
且
交叉相乘积相等
b1 0
b2 0
时， a ∥b