(word完整版)2018第一轮复习放缩法技巧全总结,推荐文档

放缩法在数列不等式中的应用
数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要 地
位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。

而数列不等式的求 解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时， 普遍感到困难, 找不到解题思路。

现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。

1. 直接放缩，消项求解
例1在数列a n , b n 中，印2,b 1 4 ,且a n .b n .3n 1成等差数列,b n ,a ni ,b n!成等比数列 n N*.
(I)求a 2.a 3.a 4及b 2.b 3.b 4,由此猜测a n , b n 的通项公式.并证明你的结论；
分析：(I)数学归纳法。

(n)本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积， 可将其放缩为等差型两项之积，通 过裂
项求和。

(I) 略解 a n
n(n 1), b n (n 1)2
.
(n)
1
1
5
—.n 》2时，
由( I)知 a n b n (n 1)(2n 1)
2(n 1)n .
a 1
b 1 6 12
故
1
1
... 1 1
1
1 1 ...
1
a 1
b 1
a 2
b 2 a n b n
6 2 2 3 3 4
n(n 1)
1 1 1 1 1 1 ... 1 1
6 2 2 3 3 4 n n 1
1 1 1
1
1 1 5
1 1
2 综 宗
上, 原不等式成立.
6 2 2
n 1 6 4 12
点评：数列和式不等式中，若数列的通项为分式型, 因式之积。

再用裂项的方法求解。

另外，熟悉一些常用的放缩方法,
1 a
2 b 2
a n
b n 12
可考虑对其分母进行放缩，构造等差型 如:
2n
1 n(n 1)
1 1 1 1 2
n n(n 1) n 1 n
1.2.
(I)证明：3n [0,1]对任意n N *成立的充分必要条件是c [0,1]; (U)设 0 c 1，证明：3n 1 (3c)n1,n N *;
3
分析：(I)数学归纳法证明(U)结论可变形为 1 3n (3c) n 1，即不等式右边为一等比数 列通项形式，化归思路为对 1 a n 用放缩法构造等比型递推数列，
n 1
*
••• a n 1 (3 c) (n N)
点评：直接对多项式放大后，得到的是等比型递推数列，再逐项递推得到结论。

通过放缩得 到等比型递推数列是求解数列不等式的另一个重要的类型。

2. 利用基本不等式放缩
a n 1 ； (n) S n n 2; (m) 「
3 分析：(I)在a n 0的条件下，a n a n 1的等价形式为a n 2 a n 12，要证a n 2 a n 12，只需证
2 2
a n1 a n 1 a n1 0,即证a n 1，可用数学归纳法证明
(n)由 a n 1 a n 1 a n 1累加及a n 1可得
(m)和式通项的分母由 1 a n 累乘得到的，条件中可有a k 1(1 a k 1) 1 a,得到，但
解：(I)解略。

(n)设 0 c 1， 3
当n 1时， a 1 0，结论成立，当n 2时，
.・
3
.
a
n
ca n 1
1
c,.・.1 a n
2 c(1 a n 1)(1 a n 1 a n 1
)
0 c
,由 3
(1)知 a n 1
[0,1]，所以 1 a n 1 a n 1
3 且 1 a n 1 0
二 1 a n 3c(1
a
n 1
)
即 1 a n c(1 a n 1 )(1 a n 1
(3c)n1(1 aj (3c)n 1
例2设数列a n 满足31
1,a n 1 ca n 1 c,c N*其中c 为实数
2
a n 1 )
3c(1 a n 1)
2
••• 1 a n 3c(1 a n 1) (3c) (1 a . 2) L
例3已知数列a n ， a n
0， a 1 2 2 ?
0，a n 1 a n 1
1 a n (n N ?)，记 S n 印 a 2
a
n
，
1 1 a 1
1
(1 aM a ?)
1
(1 a 1 )(1 a ?)
(1 a n )
求证：当n N ?时，(I) a n (1 a k 1
)
1 a k 2
a k 1
的分子分母次数不同，可用基本不等式将其化为等比型递推数列
(I)解略 (U)解略
(川)证明：由a k 1 a k 1 1 a k 》2a k ，得
1
故当 n > 3 时，T n 1 1 - L
2
点评：本题第三问，基本不等式的应用使构造等比型递推数列成为可能，在公比 q 1时，等
比数列的前n 项和趋向于定值，即前n 项和有界，这为数列和式范围的证明提供了思路。

3. 利用数列的单调性放缩
k
例4数列｛a n ｝为非负实数列，且满足：a k 2a k 1 a k 2 0， a i 1，k 1,2,
i 1
、、 2
求证：0 a k a k 1
2
(k 1,2,
)•
k
分析：有时数列不等式的证明可以在数列单调性的前提下进行放缩。

证明：若有某个a k a k 1，则a k 1 a k a k 1 a k 2 a k 2，从而从a k 起，数列｛a n ｝单调递增,
k
和S n a 1 a 2 a n 会随n 的增大而趋向于无穷，与
a i 1， k 1,2,矛盾，所以｛a n ｝是
i 1
单调递减的数列，即a k a k 1 0，令b n a k a k 1, k 1,2,
a
k 1
a
k 1 2a
k
(k 2,3,L , n
所以
1
(1 a 3)(1 a 4)L (1 a n )
a n
于是(1 a 2)(1 a 3)L (1 a n )
产話石長夬(n
' 3)
，
2n2
3，又因为T 1 T 2 T 3，所以T n 3 .
即b k b k 1,k 1,2,由于 1 a1 a? a k 由a k2a k 1 a k 2 0得a k a k 1 a k 1 a k 2，
b12a2a3a k
b12b23a3a k
b12a23b3a k
bi2b23b3kb k
(1 2 3k)b k
k(k
1)b
2k
本题考虑了数列｛a n ｝，｛b n ｝的单调性，然后利用放缩法进行证明。

只要证—1—
1丄 1 a 2
4. 放缩法在数学归纳法的应用
数列不等式是与自然数有关的命题，数学归纳法是证明与自然数有关的命题的重要方法。

应用数学归纳法证明时，通常要利用放缩法对条件进行适当的转化， 才能实现由n k 时成立 到n k 1时也成立的过渡。

举例略。

综合以上分析，我们发现，在数列不等式的求解过程中，通过放缩法的应用，主要使数 列不等式转化为以下两种类型：
（1） 可直接裂项的形式，再求和证明求解。

（等差型）
（2） 等比型递推数列，|q 1时，数列前n 项和有界。

（等比型）
数列不等式是一类综合性较强的问题，我们可以利用上述思路对数列不等式进行分析、 求解。

在解题过程中要充分挖掘题设条件信息，把条件合理的转化、加强、放缩，同时结合 问题的结构、形式等特征，使条件与结论建立联系，从而使解题思路通畅。

其中合理、适当 的放缩是能否顺利解题的关键。

故b k
2 2 k(k 1) k 2
点评: 又如, 例3的第三问也可用单调性证明:
a n
a n 1,及 a n
0,
(1 aj(1
J ________ a 2) (1 a n ) _ 1
(1
a 2)n 1 '
T n
1 1 a 1
1 1 a 2
(1 a 2)2
(1 1 \ n 1
a n )
(T J -)n
1 a
2 1 1 -
1 a
2 1
—，要证T n
3,
1 ——
1 a 2
a 2
1
1
所以问题得证。