2020年高三数学大串讲第19讲(数列单调性、奇偶项、存在性问题)(解析版)

第19讲（数列单调性、奇偶项、存在性问题）
【目标导航】
中学研究的特殊数列只有等差数列与等比数列，一个是线性数列，一个是类指数数列，但数列性质却远远不止这些，因此新数列的考查方向是多样的、不定的，不仅可考查函数性质，而且常对整数的性质进行考查．明确考查方向是解决以新数列为背景的解答题的前提，恰当运用对应性质是解决问题思想方法． 【例题导读】
例1、设数列{}n a ()*n N ∈是公差不为零等差数列，满足2
369579,6a a a a a a +=+=；数列{}n b ()
*n N ∈的前n 项和为n S ，且满足423n n S b +=． （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；
（2）在1b 和2b 之间插入1个数11x ，使1112,,b x b 成等差数列；在2b 和3b 之间插入2个数2122,x x ，使
221223,,,b x x b 成等差数列；……；在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,...,n n nm x x x ，使121,,,...,n n n nm n b x x x b +成等
差数列，
（i ）求11212212......n n n nm T x x x x x x =+++++++； （ii ）是否存在正整数,m n ，使1
2m n m
a T a +=成立？若存在，求出所有的正整数对(),m n ；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）()
1
*
11,23n n n a n b n N -⎛⎫
==∈ ⎪
⎝⎭
（2）13144323
n n n n T -=
--⋅⋅（i ）（ii ）(9,2)及(3,3)． 【解析】
（1）设数列{}n a 的公差为()d d ≠0，则由条件369a a a +=， 可得()()111258a d a d a d +++=+，1a d ∴=，
又由2
5796a a a +=，可得()()()2
1114668a d a d a d +++=+，
将1a d =代入上式得254954d d d +=，24949d d ∴=
01n d d a n ≠∴=∴=Q ，由423n n S b += ①
当2n ≥时，11423n n S b --+= ②
①-②得：14220n n n b b b -+-=，11
(2)3
n n b b n -∴=≥， 又1111423
02b b b +=∴=≠，{}n b ∴是首项为12，公比为13的等比数列，故()1
*
1123n n b n N -⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭
，
()1
*
11,23n n n a n b n N -⎛⎫
∴==∈ ⎪
⎝⎭
．
（2）①在n b 和1n b +之间插入n 个数12,,,n n nn x x x K ， 因为121,,,,,n n n nn n b x x x b +K 成等差数列，设公差为n d ，则
1
111111
2323
(2)11
3(1)
n n n n n n b b d n n n -+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
===-
+-++， 则1
11233(1)n nk n n n
k x b kd n -⎛⎫=+=- ⎪
+⎝⎭
，1
1
111(1)233(1)23
n n
nk n
n k n n n
x n n -=+⎛⎫
∴=⋅-
⋅= ⎪+⎝⎭∑， 11212212211333
n n n nn n n
T x x x x x x ∴=+++++++=+++L L L ①
则231111133333
n n n n n
T +-=++⋯++ ② ①-②得：21
1111133211111
11333333233
13n
n
n n n n
n n n n T +++⎡⎤
⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎛⎫⎣⎦=+++-=-=--
⎪⎝⎭-L ， 13144323
n n n n T -∴=
--⋅⋅， ②若12m n m a T a +=
，因为n a n =，所以m a m =，则131111
44323222n n
n m m m
-+--==+⋅⋅， 1111443232n n n m ---=⋅⋅，从而3321432n n n m
--=⋅， 故()
23234623462323323323
n n n n n n n n m n n n --++⋅+===+
------， 当1n =时，*10
232m N =+
=-∉-， 当2n =时，*14
292
m N =+=∈，
当3n =时，*213m N =+=∈，
下证4(*)n n N ≥∈时，有32346n n n -->+，即证3690n n -->，
设()369(4)x f x x x =--≥，则4
()3ln 3636360x x f x '=->-≥->，()f x ∴在[4,)+∞上单调递增，
故4n ≥时，43693649480n n -->-⨯-=>，即46
01323
n
n n +<
<--， 从而4n ≥时，m 不是整数，故所求的所有整数对为(9,2)及(3,3)．
例2、有限个元素组成的集合为{}12,,,n A a a a =L ，*n N ∈，集合A 中的元素个数记为()d A ，定义
{},A A x y x A y A +=+∈∈，集合A A +的个数记为()d A A +，当()()()()
12
d A d A d A A ⋅++=
，称
集合A 具有性质Γ．
（1）设集合{}1,,M x y =具有性质Γ，判断集合M 中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （2）设正数列{}n d 的前n 项和为n S ，满足1123n n S S +=+
，其中11
3
d =，数列{}n d 中的前2020项：1232020,,,,d d d d L 组成的集合{}1232020,,,,d d d d L 记作D ，将集合D D +中的所有元素
()*123,,,,k t t t t k N ∈L 从小到大排序，即123,,,,k t t t t L 满足123k t t t t <<<<L ，求2020t ；
（3）已知集合{}12,,,n C c c c =L ，其中数列{}n c 是等比数列，0n c >，且公比是有理数，判断集合C 是否具有性质Γ，说明理由． 【解析】
（1）集合M 中的三个元素不能组成等差数列，理由如下： 因为集合{}1,,M x y =具有性质Γ，所以()()()()
162
d M d M d M M ⋅++=
=，由题中所给的定义可知：
M M +中的元素应是：2,1,1,2,2,x y x y x y +++这6个元素应该互不相等，假设M 中的三个元素能构
成等差数列，不妨设1,,x y 成等差数列，这时有
21x y =+这与集合元素集合中的6个元素互不相等矛盾，其它二种情况也是一样，故M 中的三个元素不
能能构成等差数列；
（2）111
12(*)2(**)(2,)33
n n n n S S S S n n N *
+-=+⇒=+≥∈，(**)(*)-得：
12n n d d +=，说明数列从第二项起，数列{}n d 是等差数列，
因为1123n n S S +=+
，113d =，所以有121212233d d d d +=+⇒=，所以22()23n n d -=⋅，显然11
3
d =也成立，因此1
222()2()33
n n n d n N --*=⋅=∈．
所以21998199912222,,,,,333
33D ⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭L 121
121121222222221333m n n m n n m n m n n d d d m n ---------+<⇔+<⇔+<⇒<⇒<-，显然
11(,)m n m n N *≤<-∈
根据定义在n d 之间增加的元素个数为：(1)
(1)(2)(3)212
n n n n n --+-+-+++=L ，这样包括n d 在内前面一共有
(1)(1)
22
n n n n n -++=个元素． 当63n =时，包括63d 在内前面共有2016个，显然不到第2020个数，所以只有当64n =时，能找到
因此363632020
4642228
333
t d d +=+=+=
； （3）集合C 具有性质Γ，理由如下：设等比数列{}n c 的公比为q ，所以通项公式为：1
110)(n n a a q a ->=，
q 为有理数．
设假设当1234n n n n <<…时，1423n n n n c c c c +=+成立，则有
314211111111n n n n a q a q a q a q ----+=+，3141211n n n n n n q q q ---=+-
因为q 为有理数，所以设m
q n
=
(,)m n N *∈且,m n 互质，因此有 313143412141244241()()()1n x n n n x n x n n n n n n n n x n m m m
m m n m n n n n n
---------=+-⇒=⋅+⋅-， 式子的左边是m 的倍数，右边是n 的倍数，而,m n 互质，显然1423n n n n c c c c +=+不成立，因此C C +集合中的元素个数为：(1)
(1)(2)212
n n n n n ++-+-+++=L ，因此它符合已知所下的定义，因此集合C 是否具有性质Γ．
例3、已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(
)2
*
241n n n a a S n N
+=-∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若2121
1
n n n n a b S S -++=
⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的取值范围；
（3）若()2
1
1,22,n n n
a n c n ⎧+⎪=⎨⎪⎩为奇数
为偶数
()*n N ∈，从数列{}n c 中抽出部分项（奇数项与偶数项均不少于两项），将抽出的项按照某一顺序排列后构成等差数列．当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列． 【解析】
（1）当1n =时，由2241n n n a a S +=-，得2
111241a a a +=-，得11a =， 由2241n n n a a S +=-，得2
111241n n n a a S ++++=-，两式相减，得
22
111224n n n n n a a a a a +++-+-=，即()221120n n n n a a a a ++--+=，即()()1120n n n n a a a a ++--+=
因为数列{}n a 各项均为正数，所以10n n a a ++>，所以12n n a a +-= 所以数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．
因此，12(1)21n a n n =+-=-，即数列{}n a 的通项公式为21n a n =-． （2）由（1）知21n a n =-，所以2(121)
2
n n n S n +-==
所以22212112(21)(21)n n n n a n b S S n n -++=
=⋅-+22111
4(21)(21)n n ⎡⎛⎤=-⎢ ⎥-+⎝⎦
⎣ 所以222222
246
133557
n T =
++⨯⨯⨯222(21)(21)n n n ++-+L 2222222111111111433557(21)(21)n n ⎧⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎩⎭L 211
14(21)n ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦
， 令21()1(21)f n n =-
+，则
(1)()f n f n +-=2222
118(1)
0(21)(23)(23)(21)n n n n n +-=>++++， 所以()f n 是单调递增数列，数列{}n T 递增，所以129n T T ≥=
，又14n T <，所以n T 的取值范围为21,94⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
．
（3）2,212,2n n n n k c n k
=-⎧⎪
=⎨⎪=⎩，
设奇数项取了s 项，偶数项取了k 项，其中s ，*k N ∈，2s ≥，2k ≥．
因为数列{}n c 的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数．
假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数． 设抽出的三个偶数从小到大依次为2i ，2j ，()2
1p
i j p ≤<<，
则1122222i j i j --+=+为奇数，而1i ≥，2j ≥，则12j -为偶数，12i -为奇数，所以1i =．
又1122222
j p j p --+=+为奇数，而2j ≥，3p ≥，则12j -与12p -均为偶数，矛盾．
又因为2k ≥，所以2k =，即偶数只有两项， 则奇数最多有3项，即s k +的最大值为5．
设此等差数列为1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，则1d ，3d ，5d 为奇数，2d ，4d 为偶数，且22d =． 由13224d d d +==，得11d =，33d =，此数列为1，2，3，4，5． 同理，若从大到小排列，此数列为5，4，3，2，1．
综上，当等差数列的项数最大时，满足条件的数列为1，2，3，4，5和5，4，3，2，1． 例4、已知n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n S a a +=-；数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足
()1
12
n n n T b n n b +=++，且12a b =．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设n
n n
a c
b =
，问：数列{}n c 中是否存在不同两项i c ，j c （1i j ≤<，i ，j *
∈N ），使i j c c +仍是数列{}n c 中的项?若存在，请求出i ，j ；若不存在，请说明理由．
【解析】
（1）∵数列{}n b 的前n 项和为n T ，且满足()1
12
n n n T b n n b +=++，∴11b =，22b =， 由11n n S a a +=-，得()112n n S a a n -=-≥． ∴()122n n a a n -=≥，且121a a a =-，即212a a =．
∴数列{}n a 是首项为122a b ==，公比为2的等比数列，∴2n
n a =．
（2）∵()1
12
n n n T b n n b +=+
+① 2n ≥时，()()1111
1112n n n T b n n b ---+=-+-+②
①-②得()11111
11222
n n n n n b b b nb n b --+-=++--，
∴()114231n n n n b b nb n b ---=+--，()()1433n n n b n b ----=-，
3n ≥时，()()12543n n n b n b -----=-，∴()()()214428n n n n b n b n b ---+-=-，
∴212n n n b b b --+=，∴{}n b 为等差数列，∴()111n b n n =+-⋅=．
（3）2n n c n
=，假设{}n c 中存在不同的两项i c ，j c （1i j ≤<），使i j k c c c +=（k *
∈N ）222i j k i j k ⇒+=， 注意到()()()()
111212
12220111n n
n n n n n n n n c c n n n n n n +++⋅-+⋅-⋅-=
-==≥+++． ∴{}n c 单调递增，由22k j
k j k j
>⇒>，则1k j ≥+，∴()()11222211j
k j i j k j i j j +-≥⇒≥++，
令j i m -=（m 1≥），∴j m i =+，
∴()()()()()112211111j i
j j m i m i m i j i m i i m i -++++⎛⎫⎛⎫
≤
==++ ⎪⎪-+-+-⎝
⎭⎝⎭，
∵2m i +≥，∴2131m i +≤+-，而11m m i +≤+，∴()231m
m ≤+，231m m
≤+．
令21
n
n C n =+，则()()()()()()11121222220211212n n n n n n n n n n C C n n n n n n ++++-+⋅-=
-==>++++++， ∴{}n C 为单调递增，注意到3m =时，322313=<+，4216
3145
=>+，∴m 只能为1，2，3．
①当1m =时，11j i j i -=⇒=+，
∴()()22
2
2
123232
21i i i i i i i i ++++≤==++，故i 只能为1，2，3，
当1i =时，2j =，此时242442
k k k =+=⇒=；
当2i =时，3j =，此时2814
233
k k =+=无整数解，舍；
当3
i =时，4j =，此时2820
433
k k =+=
，无正整数解，舍去． ②当2m =时，2j i =+，此时()()()2
22234623360
1i i i i i i i i i
+++≤
⇒≥⇒--≤++，
∴1i =，此时3j =，2814
233
k k =+=⇒无解；
③当3m =时，3j i =+，此时()()()
222348712816791202i i i i i i i i i i ++≤
⇒++≥+⇒+-≤+，无正整数解，舍去．
综上：存在1i =，2j =满足题意．
例5、已知数列{}n a 的前n 项和n S ，对任意正整数n ，总存在正数,,p q r 使得1
n n a p -=，n n S q r =-恒成
立：数列{}n b 的前n 项和n T ，且对任意正整数n ，2n n T nb =恒成立． （1）求常数,,p q r 的值； （2）证明数列{}n b 为等差数列； （3）若12b =，记3
1222224n n n n n b n b n b P a a a +++=
++ 1212222n n n n n n
n b n b a a ---+++⋯++，是否存在正整数k ，使得对任意正整数n ，n P k ≤恒成立，若存在，求正整数k 的最小值，若不存在，请说明理由． 【解析】
∵,p q 为正数 ∴2p q ==．
又∵11a =，1S q r =-，且11a S = ∴1r =．
（2）∵2n n T nb =③
∴当2n ≥时，()1121n n T n b --=-④，
∴③-④得： ()121n n n b nb n b -=--，即()()121n n n b n b --=-⑤， 又∵()11n n n b nb +-=⑥
∴⑤+⑥得： ()()()112211n n n n b n b n b -+-=-+-，即112n n n b b b -+=+ ∴{}n b 为等差数列．
（3）∵10b =，22b =，由（2）知{}n b 为等差数列 ∴22n b n =-．
又由（1）知1
2n n a -=，
∴122222n n n n n P -+=
+ 23
224442
22n n n n ----+++L ， 又∵1222n n n P ++=++L 23
222124442442
2222
n n n n n n n n -----++++， ∴121214422222
n n n n n n n n
P P +--+-=+- 122424n n n n +-⋅=
， 令10n n P P +->得122420n n n +-⋅>， ∴611
23422n n n n
+<
=+<，解得1n =， ∴1n =时，10n n P P +->，即21p P >， ∵2n ≥时，24n
≥，1
342n
+< ∴1612322n n n n
+>+
=
，即122420n
n n +-⋅<． 此时1n n P P +<，即234p p p >>>L ，
∴n P 的最大值为2222227
222
n P ⨯⨯+=
+= 若存在正整数k ，使得对任意正整数n ，n P k ≤恒成立，则max 7
2
k P ≥=， ∴正整数k 的最小值为4．
例6、定义：若无穷数列{}n a 满足{}1n n a a +-是公比为q 的等比数列，则称数列{}n a 为“()M q 数列”．设数列{}n b 中131,7b b ==
（1）若24b =，且数列{}n b 是“()M q 数列”，求数列{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11
22
n n b S n λ+=-+，请判断数列{}n b 是否为“()M q 数列”，并说明理由；
（3）若数列{}n b 是“(2)M 数列”，是否存在正整数,m n ，使得40394040
20192019
m n b b <<？若存在，请求出所有满足条件的正整数,m n ；若不存在，请说明理由． 【解析】
【分析】（1）计算21323,3b b b b -=-=，故{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，计算得到答案；（2）{}n b 是“()M q ”数列，化简得到11
22
n n n b b b +-=-
，即()2113n n n n b b b b +++-=-，得到证明；（3）{}1n n b b +-是公比为2的等比数列，12n n n b b +-=，利用累加法得到21n
n b =-，得到1m n =+，计算得到答案．
【详解】（1）由题意可得21323,3b b b b -=-=，
由数列{}n b 为“()M q 数列”可得()3221b b q b b -=-，即1q =，
则{}1n n b b +-是公比为1的等比数列，即21*
13,n n b b b b n N +-=-=∈，
则{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，32n b n =-； （2）{}n b 是“()M q ”数列，，
理由如下：2n ≥时，由1122n n b S n λ+=-
+，可得11
2(1)2n n b S n λ-=--+， 两式作差可得1122n n n b b b +-=-即11
3,22
n n b b n +-=-≥，
则211
32
n n b b ++-=-，两式作差可得21133n n n n b b b b +++-=-，即()2113,2n n n n b b b b n +++-=-≥，
由32313,72
b b b -=-=，可得252b =，则()322
193
3322
b b b b -==⨯=-， 则()2113n n n n b b b b +++-=-对任意*n N ∈成立，则{}1n n b b +-为首项是3
2
，公比为3的等比软列，
则{}n b 为()M q 数列；
（3）由{}n b 是(2)M 数列，可得{}1n n b b +-是公比为2的等比数列， 即()1
1212
n n n b b b b -+-=-，则()32212b b b b -=-，由131,7b b ==，可得2
3b
=，则12n n n b b +-=，
则()()()2
1
121321222
22n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-=+++=-L L ，
则21n
n b =-，若正整数,m n 满足4039404020192019m n b b <<，则40392140402019212019
m n -<<
-， 由210,210n m ->->，则2121m n ->-，则m n >，
若2m n ≥+，则22121344212121m n n n n +--≥=+>---，不满足4039214040
2019212019
m n -<<
-， 若1m n =+，则14039214040
2019212019
n n +-<<
-，则403914040222019212019n -<<--，即1122019212019n <<-， 则
2021
220202
n <<，则正整数10n =，则11m =； 因此存在满足条件的,,11,10m n m n ==．
例7、设数列A ：1a ，2a ，…N a (N ≥)．如果对小于n (2n N ≤≤)的每个正整数k 都有k a ＜n a ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记“)(A G 是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合． （1）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出)(A G 的所有元素； （2）证明：若数列A 中存在n a 使得n a >1a ，则∅≠)(A G ；
（3）证明：若数列A 满足n a -1n a - ≤1（n=2，3，…，N ），则)(A G 的元素个数不小于N a -1a ． 【答案】（1）()G A 的元素为2和5；（2）详见解析；（3）详见解析． 【解析】
（3）当1a a N ≤时，结论成立．只要证明当1a a N >时仍然成立即可． 试题解析：（1）)(A G 的元素为2和5．
（2）因为存在n a 使得1a a n >，所以{}
∅≠>≤≤∈*1,2a a N i N i i ． 记{}
1,2min a a N i N i m i >≤≤∈=*，
则2≥m ，且对任意正整数m k a a a m k <≤<1,． 因此)(A G m ∈，从而∅≠)(A G ． （3）当1a a N ≤时，结论成立． 以下设1a a N >． 由（Ⅱ）知∅≠)(A G ．
设{}
p p n n n n n n A G <⋅⋅⋅<<⋅⋅⋅=2121,,,,)(，记10=n ． 则p n n n n a a a a <⋅⋅⋅<<<210．
对p i ,,1,0⋅⋅⋅=，记{
}
i n k i i a a N k n N k G >≤<∈=*
,．
如果∅≠i G ，取i i G m min =，则对任何i i m n k i a a a m k <≤<≤,1． 从而)(A G m i ∈且1+=i i n m ．
又因为p n 是)(A G 中的最大元素，所以∅=p G ． 从而对任意n k n p ≤≤，p n k a a ≤，特别地，p n N a a ≤． 对i i n n a a p i ≤-⋅⋅⋅=-+11,1,,1,0．
因此1)(111111+≤-+=--++++i i i i i n n n n n a a a a a ． 所以p a a
a a a a i i
p n p
i n n N ≤-=-≤--∑=)(11
11．
【反馈练习】
1．已知数列{}n a 的首项13a =，对任意的*n ∈N ，都有11(0)n n a ka k +=-≠，数列{}1n a -是公比不为1的等比数列．
（1）求实数k 的值； （2）设4,,
1,,
n n n n b a n -⎧=⎨
-⎩为奇数为偶数数列{}n b 的前n 项和为n S ，求所有正整数m 的值，使得221m m S S -恰好为数列
{}n b 中的项．
【答案】（1）2；（2）2． 【解析】
（1）由11n n a ka +=-，13a =可知，231a k =-，2331a k k =--， 因为{1}n
a -为等比数列，所以2213(1)(1)(1)a a a -=--，
即22(32)2(32)k k k -=⨯--，即231080k k -+=，解得2k =或4
3
k =， 当43k =
时，14
3(3)3
n n a a +-=-，所以3n a =，则12n a -=， 所以数列{1}n a -的公比为1，不符合题意；
当2k
=时，112(1)n n a a +-=-，所以数列{1}n
a -的公比11
21
n n a q a +-=
=-， 所以实数k 的值为2．
（2）由（1）知12n
n a -=，所以4,,2,,n n
n n b n -⎧=⎨⎩
为奇数为偶数 则22(41)4(43)4[4(21)]4m m S m =-++-+++--+L
2(41)(43)[4(21)]444m m =-+-++--++++L L
144
(4)3
m m m +-=-+，
则212244
(4)3
m m m m
S S b m m --=-=-+，
因为22+1324m m m b b m +=-+，又222+322+1()()3420m m m m m b b b b ++-+=⨯->， 且2350b b +=>，130b =>，所以210m S ->，则20m S >，设
221
0,m
t m S b t S -=>∈*N ， 则1,3t =或t 为偶数，因为31b =不可能，所以1t =或t 为偶数，
①当2121
=m
m S b S -时，1
4
4
(4)3344
(4)3
m m
m m m m +--+=--+，化简得2624844m m m -+=--≤，
即242m m -+≤0，所以m 可取值为1，2，3， 验证
217
3
S S =，433S S =，658723S S =得，当2m =时，413S b S =成立．
②当t 为偶数时，1
22
21
4
4
(4)331443124(4)134m m
m
m m
m m S S m m m m +---+==+--+--++， 设231244m m m m c -+-=，则211
94221
4m m m m m c c ++-+-=，
由①知3m >，当4m =时，545
3
04c c --=
<； 当4m >时，10m m c c +->，所以456c c c ><<L ，所以m c 的最小值为519
1024
c -=
， 所以
221
30151911024m m S S -<
<+<-+，令22214m m S b S -==，则231431241
4m
m m +=-+-+， 即231240m m -+-=，无整数解． 综上，正整数m 的值为2．
2．已知无穷数列{}n a ，{}n b ，{}n c 满足：对任意的*n N ∈，都有1n a +=n n b c -，1n b +=n n c a -，
1n c +=n n a b -．记n d ={}
,,n n n max a b c ({},,max x y z 表示3个实数x ，y ，z 中的最大值)．
(1)若1a =1，1b =2，1c =4，求4a ，4b ，4c 的值； (2)若1a =1，1b =2，求满足2d =3d 的1c 的所有值；
(3)设1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，证明：存在正整数k ，使得数列{}n a ，{}n b ，
{}n c 中有且只有一个数列自第k 项起各项均为0．
【答案】（1）4a =0，4b =1-，4c =1．（2）2-，1-，1，2．（3）见详解 【解析】
（1）由题意：2a =11b c -=24-=2-；2b =11c a -=41-=3；2c =11a b -=12-=1-；以此类推，看得出4a =0，4b =1-，4c =1．
（2）若1a =1，1b =2，1c =x ，则2a =2x -，2b =1x -，2c =1-，
，3a =11x --，3b =12x --，3c =21|x x ---，
当01x ≤<时，3a =x -，3b =1|x -，3c =1，3d =1，由3d =2d ，得|x =1，不符合题意． 当12x ≤<，3a =2x -，3b =1x -，3c =32x -，，由3d =2d ，
得x =1，符合题意．
当2x ≥，3a =2x -，3b =3x -，3c =1-，
由3d =2d ，得x =2，符合题意， 综上1c 的取值是：2-，1-，1，2．
（3）先证明：存在正整数3k ≥，使，k a ，k b ，k c 中至少有一个为零， 假设对任意正整数3k ≥，
k a ，k b ，k c 都不为零，由1a ，1b ，1c 是非零整数，且1a ，1b ，1c 互不相等，得1*d N ∈，*2d N ∈，
若对任意3k ≥，k a ，k b ，k c 都不为零，则*k d N ∈．即对任意1k ≥，*k d N ∈． 当1k ≥时，1k a +={}|,k k k k
k
b c max b c d -<≤，1
k b
+=k k k c a d -<，1k c +=k k k a b d -<，
所以1k d +={}
111,,k k k k max a b c d +++<，所以{}k d 单调递减，由2d 为有限正整数，所以必存在正整数
3m ≥，使得0m d ≤，矛盾，
所以存在正整数3k ≥，使k a ，k b ，k c 中至少有一个为零，
不妨设k a =0，且10a ≠，20a ≠…10k a -≠，则1k b -=1k c -，且1k b -=11k k c a --≠， 否则若1k b -=1k c -=1k a -，因为111k k k a b c ---++=0， 则必有1k a -=1k b -=1k c -=0，矛盾．
于是，k b =110k k c a ---≠，k c =110k k a b ---≠，且k b =k c -，所以，1k a +=0，
1k b +=k c ，1k c +=k b -=k c -，
以此类推，即有：对n k ∀≥，n a =0，1n b +=k c ，1n c +=k c -，0k c ≠， 此时有且仅有一个数列{}n a 自k 项起各项均为0． 综上：结论成立．
3．对于项数为m （*m ∈N 且1m >）的有穷正整数数列{}n a ，记{}12min ,,,k k b a a a =⋅⋅⋅(1,2,,)k m =⋅⋅⋅，即k b 为12,,,k a a a ⋅⋅⋅中的最小值，设由123,,,,m b b b b ⋅⋅⋅组成的数列{}n b 称为{}n a 的“新型数列”． （1）若数列{}n a 为2019，2020，2019，2018，2017，请写出{}n a 的“新型数列”{}n b 的所有项；
（2）若数列{}n a 满足10
1,6
222,7n n n a n n -⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩
，且其对应的“新型数列”{}n b 项数[21,30]m ∈，求{}n b 的所有
项的和；
（3）若数列{}n a 的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{}n a 及其对应的“新型数列”{}n b ．
【答案】（1）数列{}n b 为2019，2019，2019，2018，2017（2）1128（3）满足题意的数列{}n a ：
1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1．所以对应的“新型数列”{}n b 分别为：1,1,1;1,1,1;2,1,1;2,2,1;3,1,1;3,2,1．
【解析】
（1）数列{}n b 为2019，2019，2019，2018，2017；
（2）由已知得：当6n ≤时，{}n a 关于n 递减；当7n ≥时，{}n a 关于n 递减， 又67,a a >*n N ∴∈时，{}n a 关于n 递减．
*N n a ∈Q ，21m ∴≤．
又[21,30]m ∈，21m ∴=．
{}n b ∴共21项且各项分别与{}n a 中各项相同，
其和为2
6
2111110241024102415141222T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
611115(151)
2210241212
⎛⎫- ⎪
+⎝⎭=+
-1128=． （3）先不妨设数列{}n a 单调递增，
当2m =时，*12,a a N ∈，121222a a a a a +=<，
12,a ∴<11a =，此时无解，不满足题意；
当3m =时，由123123a a a a a a ++=得
12312333a a a a a a a ++=<，
123a a ∴<，又12a a <，11,a ∴=22a =，代入原式得33a =．
当4m ≥时，1212n n m a a a a a a ma ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅<， 而12(1)!m m m a a a m a ma ⋅⋅⋅≥->，矛盾， 所以不存在满足题意的数列{}n a ．
综上，满足题意的数列{}n a ：1,2,3;1,3,2;2,1,3;2,3,1;3,1,2;3,2,1． 所以对应的“新型数列”{}n b 分别为：1,1,1;1,1,1;2,1,1;2,2,1;3,1,1;3,2,1．
5．设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，
． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,
1,,2,
k k n k
k n c c b n +⎧<<==⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(
){}
221n n a c -的通项公式； （ii ）求
()2*
1
n
i i
i a c n =∈∑N ．
【答案】（Ⅰ）31n a n =+；32n
n b =⨯（Ⅱ）（i ）()
221941n n n a c -=⨯-（ii ）
()()2*
21
1*
1
272
5212
n
n n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N
【解析】
(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ． 依题意得()()2
62426262424124q d d q d d ⎧=+-=+⎪
⎨
=++=+⎪⎩
，解得32d q =⎧⎨=⎩， 故4(1)331n a n n =+-⨯=+，16232n n
n b -=⨯=⨯．
所以，{}n a 的通项公式为31n a n =+，{}n b 的通项公式为32n
n b =⨯．
(Ⅱ)(i )()()()()
22211321321941n n n n
n
n
n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-．
所以，数列(){}
221n n a c -的通项公式为()
221941n n n
a c -=⨯-．
(ii )()22111n
n
i i i i i i i a c a a c ===+-⎡⎤⎣⎦∑∑()2222111n
n
i i i i i a a c ===+-∑∑()2212432n n
n ⎛⎫- ⎪=⨯+⨯ ⎪⎝⎭()1
941n i i =+⨯-∑ ()()21
1
41432
52
914
n n n n
---=⨯+⨯+⨯
--()211
*
2725212n n n n N --=⨯+⨯--∈．
5．已知数列{a n }满足：a 1＝1，且当n ≥2时，11(1)()2
n
n n a a R λλ---=+∈
（1）若λ＝1，证明数列{a 2n -1}是等差数列；
（2）若λ＝2．①设22
3
n n
b a =+，求数列{bn }的通项公式；②设21
13n
i n i Cn a n ==⋅∑，证明：对于任意的p ，
m ∈ N *，当p > m ，都有p C ≥ C m ． 【答案】（1）证明见解析；（2）①243
n
n b =⋅；②证明见解析 【解析】
（1）证明：当1λ=时，()1
112n
n n a a ---=+，
()
2+1
2+1221112n n n n a a a --∴=+
=+①，
()
222121112
n n n n a a a ----=+
=②，
则①+②得21211n n a a +--=， 当1n =时，11a =，
{}21n a -∴是首项为1，公差为1的等差数列 （2）①当2λ=时，()1
1122n
n n a a ---=+，
当2n =时，()2
21
11222a a --=+=， ()22
22
212111222
n n n n a a a ++++--∴=+
=①，
()
21
2122112212
n n n n a a a ++--=+
=+②，
①+②2⨯得22242n n a a +=+，
22222433n n a a +⎛
⎫∴+
=+ ⎪⎝
⎭，即14n n b b +=， 12228
2333
b a =+
=+=Q ， {}n b \是首项为8
3
，公比为4的等比数列，
1824433
n n n b -∴=⋅=⋅
②由（2）①知()22413
n
n a =-，
同理由21222121
2n n n
n a a a a +-=+⎧⎨
=⎩可得212141n n a a +-=+，
212111433n n a a +-⎛
⎫∴+
=+ ⎪⎝
⎭， 当1n =时，1114
1333
a +
=+=， 2113n a -⎧
⎫∴+⎨⎬⎩
⎭是首项为43，公比为4的等比数列，
121141
44333
n n n a --∴+=⋅=⋅，
()211413
n
n a -∴=
- ()()213212421
n
i n n i a a a a a a a -=∴=+++++++∑L L
()()()()()481414248433414141143143993
n n n n n n n n n
--=-+-=-+--=----， 1111444343333n n n n n n C n n n +++⎛⎫--∴=--= ⎪⋅⋅⎝⎭
，()()21121
4314434133n n n n n n n n C C n n +++++-+----=-+⋅⋅ ()()()()21
2
43143143413
n n n n n n n n n +++⎡⎤-+--+--⎣⎦
=
+⋅
()()122346681213n n n n n n n n ++-++++=+⋅
()()122
346141213n n n n n n n ++-⋅+++=+
当1n =时，213
21661412
023C C -⨯+++-==⨯；
当2n =时，213
64242812
0233C C -+++-=
=⨯⨯； 当3n ≥时，10n n C C +->，
∴对于一切n *∈N ，都有1n n C C +≥，故对任意,p m N *∈，当p m >时，p m C C ≥
6.对于*,n N ∀∈若数列{}n x 满足11,n n x x +->则称这个数列为“K 数列”．
（1）已知数列1，2
1,m m +是“K 数列”，求实数m 的取值范围；
（2）是否存在首项为1-的等差数列{}n a 为“K 数列”，且其前n 项和n S 使得2
12
n S n n <-恒成立?若存在，求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知各项均为正整数的等比数列{}n a 是“K 数列”，数列1
2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，若1
,1
n n a b n +=+试判断数列{}n b 是否为“K 数列”，并说明理由． 【答案】（1）2m >；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】
（Ⅰ）由题意得()111,m +->
()211,m m -+>
解得2,m >
所以实数m 的取值范围是 2.m >
（Ⅱ假设存在等差数列{}n a 符合要求，设公差为,d 则1,d > 由11,a =-得()1,2n n n S n d -=-+
由题意，得()2
112
2
n n n d n n --+
<
-对*n N ∈均成立，即()1.n d n -< ①当1n =时，;d R ∈ ②当1n >时，,1
n d n <- 因为
111,11
n n n =+>-- 所以1,d ≤与1d >矛盾， 所以这样的等差数列不存在．
（Ⅲ）设数列{}n a 的公比为,q 则1
1,n n a a q -=
因为{}n a 的每一项均为正整数，且()1110,n n n n n a a a q a a q --=-=->> 所以在{}1n n a a --中，“21a a -”为最小项． 同理，11122n n a a -⎧⎫
-
⎨⎬⎩⎭
中，“211122a a -”为最小项． 由{}n a 为“K 数列”，只需211,a a ->即()111,a q -> 又因为1
2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭不是“K 数列”，且
2111
22
a a -为最小项， 所以
2111
1,22
a a -≤即()112a q -≤， 由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得()112,a q -= 所以11,3a q ==或12, 2.a q ==
①当11,3a q ==时，1
3,n n a -=则3,1
n
n b n =+
令(
)*
1,n n n c b b n N
+=-∈则
()()
133213,2112n n n n n c n n n n ++=-=⋅++++
又()()()()1
23213
32312n n n n n n n n +++⋅-⋅++++()()
234860,213n n n n n n ++=⋅>+++ 所以{}n c 为递增数列，即121,n n n c c c c -->>>⋅⋅⋅> 所以2133
31,22
b b -=-
=> 所以对于任意的*
,n N ∈都有11,n n b b +->
即数列{}n b 为“K 数列”．
②当12,2a q ==时，2,n
n a =则1
2.1
n n b n +=+
因为2121,3
b b -=
≤ 所以数列{}n b 不是“K 数列”．
综上：当11,3a q ==时，数列{}n b 为“K 数列”，
当12,2a q ==时，2,n
n a =数列{}n b 不是“K 数列”．
7.数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的*2,n n N ≥∈恒成立，n S 为其前n 项的和，且44a =，836S =． （1）求数列{}n a 的通项n a ；
（2）数列{}n b 满足()
12122321213212n
n n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--，其中
*1,2,,,=⋅⋅⋅∈k n n N ．
①证明：数列{}n b 为等比数列；
②求集合()
*3,,,.p m m p a a m p m p N b b ⎧⎫⎪⎪=∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
【答案】（1）*
,n a n n N =∈；（2）①过程见详解；②(){}6,8．
【解析】
（1）因为数列{}n a 满足112n n n a a a +-=-对任意的*
2,n n N ≥∈恒成立，
所以数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，
因为44a =，836S =，所以1134
878362a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
，解得：111a d =⎧⎨
=⎩， 因此*
,n a n n N =∈；
（2）①因为数列{}n b 满足()
12122321213212n
n n k n k n n b a b a b a b a a --+-++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=--，
()()
1221(23)3212-+-+⋅⋅⋅+=--n n b n b n b n ，
所以()(
)
1
121(23)2532
122---+-+⋅⋅⋅+=--+n n b n b n b n （*2,n n N ≥∈），
两式作差可得：()1
121232
2--++⋅⋅⋅++=⋅-n n n b b b b （*2,n n N ≥∈），
又()113212=--b a 也满足上式，所以()1
1212322--++⋅⋅⋅++=⋅-n n n b b b b ()*n N ∈，
记数列{}n b 的前n 项和为n T ， 则1
232
2--=⋅-n n n T b ，
当2n ≥时，2
112322----=⋅-n n n T b ，两式作差可得：2132n n n b b --+=⋅，
所以()
1
2101122(1)(2)0-----=--=⋅⋅⋅=--=n n n n n b b b ，
即()
1
2101112
2(1)(2)(1)(11)0------=--=⋅⋅⋅=--=--=n n n n n n b b b ，
所以1
2
n n b -=，因此
1
2n n
b b +=，即数列{}n b 为等比数列； ②由3p m m p a a b b =得11322m p m p --=，即32p m
p m
-=， 记n n n a c b =
，由①得12
-=n n n c ，所以1112++=≤n n c n n c ，因此1n n c c +≥（当且仅当1n =时等号成立）．
由
3p
m m p
a a
b b =得3=>m p p
c c c ，所以<m p ． 设(,,)*
=-∈t p m m p t N ，由32
p m
p m
-=
得3()2+=t
m t m ，即323t t m =-；
当1t =时，3m =-，不符合题意； 当2t =时，6m =，此时8p =符合题意；
当3t =时，9
5m =
，不符合题意； 当4t =时，12
13
m =，不符合题意，
下面证明当4t ≥，*t N ∈时，3123
=<-t t
m ， 不妨设()233(4)=--≥x
f x x x ，
则()2ln 230'=->x
f x 在[
)4,+∞上恒成立，
所以()f x 在[
)4,+∞单调递增； 所以()(4)10≥=>f x f ， 所以，当4t ≥，*t N ∈时，3123
=
<-t t
m 恒成立，不符合题意； 综上，集合()
(){}*3,,,6,8p m m p
a a m p m p N
b b ⎧⎫⎪⎪=∈=⎨⎬⎪⎪⎩⎭
． 8.给定数列{}n a ，若满足1a a =（0a >且1a ≠），对于任意的*
,n m ∈N ，都有m n n m a a a +=，则称数列{}
n a 为“指数型数列”．
（1）已知数列{}n a 的通项公式为4n
n a =，试判断数列{}n a 是不是“指数型数列”；
（2）已知数列{}n a 满足112a =
，()*
1123n n n n a a a a n ++=+∈N ，证明数列11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为等比数列，并判断数列11n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由； （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，且()*11
2
a a a a +=
∈+N ，证明数列{}n a 中任意三项都不能构成等差数列． 【答案】（1）是；（2）是，理由详见解析；（3）详见解析． 【解析】（1）数列{}n a ，4
44n m
n m n m n m a a a ++==⨯=，所以数列{}n b 是“指数型数列”
（2）数列11n a ⎧⎫+⎨
⎬⎩⎭
是“指数型数列”1111131
1232131n n n n n n n n a a a a a a a a ++++⎛⎫=+⇒=+⇒+=+ ⎪⎝⎭，
所以11n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
是等比数列， 111
11133n n n a a -⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭
，111113331m n n m n n n m a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++===+ ⎪⎪
⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 所以数列11n a ⎧⎫
+⎨
⎬⎩⎭
是“指数型数列” （3）若数列{}n a 是“指数型数列”，由定义得：
111
12n
n n m
n m n n n a a a a a a a a a a +++⎛⎫=⇒=⇒== ⎪
+⎝⎭
假设数列{}n a 中存在三项s a ，t a ，u a 成等差数列，不妨设s t u <<
则2t s u a a a =+，得：11122222t s u
t s u a a a a a a a a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪
+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
整理得：2(1)
(2)(2)(1)t s
u s u s u s a a a a ----++=+++（*）
若a 为偶数时，右边为偶数，(1)u s
a -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立； 若a 为奇数时，右边为偶数，(2)
u s
a -+为奇数，则左边为奇数，（*）不成立；
所以，对任意的*a ∈N ，（*）式不成立．
9.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”．
（1）已知等比数列{a n }满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”； （2）已知数列{b n }满足：11
1221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；
②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟
成立，求m 的最大值．
【答案】（1）见解析；
（2）①b n =n ()
*
n ∈N ；②5．
【解析】
（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0．
由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440
a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得11
2a q =⎧⎨=⎩．
因此数列{}n a 为“M —数列”．
（2）①因为
1
122
n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==得2122
11b =-，则22b =．
由1
122
n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，
当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()
111122n n n n
n n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，
整理得112n n n b b b +-+=．
所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列． 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n (
)*
n N ∈．
②由①知，b k =k ，*k N ∈．
因为数列{c n }为“M –数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0． 因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1
k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m ．
当k =1时，有q ≥1；
当k =2，3，…，m 时，有
ln ln ln 1
k k
q k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()x
f 'x x
-=． 令()0f 'x =，得x =e ．列表如下：
f （x ） 极大值
因为
2663=<=，所以max ()(3)3
f k f ==． 取33q =k =1，2，3，4，5时，ln ln k
q k
…，即k k q ≤， 经检验知1
k q
k -≤也成立．
因此所求m 的最大值不小于5．
若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216， 所以q 不存在．因此所求m 的最大值小于6． 综上，所求m 的最大值为5．
10．对于数列{}n a ，把1a 作为新数列{}n b 的第一 项，把i a 或()2,3,4,...,i a i n -=作为新数列{}n b 的第i 项，数列{}n b 称为数列{}n a 的一个生成数列．例如，数列 1,2,3,4,5的一个生成数列是1,2,3,4,5--．已知数列{}n b 为数列()12n n N *⎧⎫
∈⎨
⎬⎩⎭
的生成数列，n S 为数列{}n b 的前n 项和． （1）写出3S 的所有可能值； （2）若生成数列{}n b 满足311
178n n S ⎛⎫
=
-
⎪⎝⎭
，求数列{}n b 的通项公式． 【答案】（1）1357
,,,8888；（2）1
,322()1,32
2n n n
n k b k N n k *⎧=-⎪⎪=∈⎨
⎪-≠-⎪⎩． 【解析】（1）由已知，()1231111
,,2,,2248
n n b b n N n b b *=
=∈≥∴=±=±，由于31117111511131111,,,,2488248824882488S ++=+-=-+=--=∴可能值为 1357,,,8888
． （2）311178n n S ⎛⎫=- ⎪⎝⎭Q ，当1n =时，1
233111
1788a a a S ⎛⎫++==-= ⎪⎝⎭．当2n ≥时， 32313333111
1111178788n n n n n n
n n a a a S S ----⎛⎫⎛⎫++=-=---=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，{}323131,,8n n n n n a a a n N b *
--∴++=∈Q 是()12n n N *⎧⎫
∈⎨
⎬⎩⎭
的生成数列，
3231332313323131
11
;;,222n n n n n n n n n
b b b b b b ------∴=±
=±=±∴++()()3231311111
42122288
n n n n n n N *--=±±±=±±±=∈，在以上各种组合中，当且仅当
()32
313421,,888n n n n n n b b b n N *--==-=-∈时才成立．1
,322
()1,32
2n n n
n k b k N n k *⎧=-⎪⎪∴=∈⎨
⎪-≠-⎪⎩．。