定积分的意义及其在几何中的应用

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微积分定积分在几何中应用

微积分定积分在几何中应用

(二)定积分在几何中的应用定积分在几何中的应用 (1)求平面图形的面积求平面图形的面积由定积分的定义和几何意义可知,函数y=f(x)在区间[a,b]上的定积分等于由函数y=f(x),x=a ,x=b 和轴所围成的图形的面积的代数和。

由此可知通过求函数的定积分就可求出曲边梯形的面积。

例如:求曲线2f x =和直线x=l ,x=2及x 轴所围成的图形的面积。

轴所围成的图形的面积。

分析:由定积分的定义和几何意义可知,由定积分的定义和几何意义可知,函数在区间上的定积分等于由曲线函数在区间上的定积分等于由曲线和直线,及轴所围成的图形的面积。

和直线,及轴所围成的图形的面积。

所以该曲边梯形的面积为所以该曲边梯形的面积为2233222112173333x f x dx ===-=ò (2)求旋转体的体积求旋转体的体积(I)由连续曲线y=f(x)与直线x=a 、x=b(a<b) 及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()b aV f x d x p=ò。

(Ⅱ)由连续曲线y=g(y)与直线y=c 、y=d(c<d)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()dcV g y d y p =ò。

(III)由连续曲线y=f(x)( ()0f x ³)与直线x=a 、x=b(0a £ <b)及y 轴围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为2()()baV xf x d x p =ò。

例如:例如:求椭圆求椭圆22221x y a b +=所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周而成的旋转体的体积。

转体的体积。

分析:椭圆绕x 轴旋转时,旋转体可以看作是上半椭圆22()b y a x a x a a=--££,与x 轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的,轴所围成的图形绕轴旋转一周而成的,因此椭圆因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为 222222222322()()14()33aay aaaa b b v a x dx a x dxaa ba x x aba pp p p ---=-=-=-=òò椭圆绕y 轴旋转时,旋转体可以看作是右半椭圆22,()a x b y b y b b=--££,与y轴所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的,因此椭圆22221x y a b+=所围成的图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为一周而成的旋转体的体积为222222222322()()14()33bby b bb b a a v b y dy b y dy b b a b y y a bb p p p p ---=-=-=-=òò(3)求平面曲线的弧长求平面曲线的弧长(I)、设曲线弧由参数方程、设曲线弧由参数方程 (){()()x t t y t j a b f =££=给出其中''(),()t t j f 在[,]a b 上连续,则该曲线弧的长度为'2'2[()][()]()s t t d xbaj f =+ò。

定积分的概念和意义

定积分的概念和意义

定积分的概念和意义定积分是微积分中的一个重要概念,它描述了函数在一个区间上的累积效应。

在数学和物理学等领域中,定积分有着广泛的应用和重要的意义。

本文将介绍定积分的概念和意义,并探讨其在实际问题中的应用。

一、定积分的概念定积分是无穷小和的极限,用于描述函数在一个区间上的累积效应。

假设我们有一个函数f(x),在区间[a, b]上进行积分运算就是计算该区间上函数f(x)的面积。

为了计算这个面积,我们将区间[a, b]分成许多小的子区间,然后在每个子区间中找到一个代表点,将函数在该点的取值乘以该子区间的长度,然后将所有的乘积相加求和。

当我们把子区间的数量无限增大,子区间的长度趋近于零时,这个累积和就趋近于一个确定的值,这个确定的值就是定积分。

定积分的表示方式为∫[a, b]f(x)dx,其中∫表示积分运算符,[a, b]表示积分的区间,f(x)表示要积分的函数,而dx表示积分的变量。

二、定积分的意义定积分具有重要的意义,它在数学和物理学中具有广泛的应用,并且为解决实际问题提供了数学工具。

下面将介绍定积分的几个主要意义。

1. 几何意义:定积分可以用于计算曲线与坐标轴之间的面积。

例如,当函数f(x)大于等于零时,定积分∫[a, b]f(x)dx表示了曲线y=f(x)与x轴以及直线x=a和x=b所包围的面积。

这个面积可以用定积分来精确计算。

2. 物理意义:定积分可以应用于物理学中的速度、加速度、质量、功等概念。

例如,当把速度函数v(t)对时间t积分,得到的就是物体在一段时间内的位移。

同样地,将加速度函数a(t)对时间t积分,得到的就是速度的变化量,即位移的变化。

3. 统计意义:定积分可以用于统计学中的概率密度函数和累积分布函数的计算。

概率密度函数描述了连续随机变量的概率分布情况,而累积分布函数给出了该变量取值小于等于某个特定值的概率。

通过计算概率密度函数和累积分布函数的积分,可以得到各种随机变量的概率和期望值等重要统计量。

定积分在几何和物理中的应用

定积分在几何和物理中的应用

定积分在几何和物理中的应用定积分是高等数学中非常重要的一个概念,它可以用于计算曲线、曲面的面积或体积,还可以应用到物理学、工程学中。

在本文中,我们将着重探讨定积分在几何和物理中的应用。

一、计算面积我们首先来看一个简单的例子,如果我们想要计算一个曲线所围成的面积,我们需要怎么做呢?假设曲线为y=f(x),我们可以将这条曲线分成若干个无限小的小矩形,每个小矩形的宽度为Δx,高度为函数值f(x),则该小矩形的面积为f(x)Δx。

我们将所有小矩形的面积相加,得到所求的曲线面积S:S=∫a^b f(x) dx其中a和b分别是曲线的起点和终点。

这里的∫符号代表积分符号,具体的计算方法不在本文中详细说明。

二、计算体积在物理学中,我们经常需要计算物体的体积,定积分也可以帮助我们实现这一目的。

比如我们需要计算一个旋转曲线所围成的立体体积,我们可以依然使用之前的方法将其分解成无限小的小圆柱体积,每个小圆柱的体积可以表示为:V=π[f(x)]^2dx我们将所有小圆柱的体积相加,得到所求的立体体积V:V=∫a^b π[f(x)]^2dx三、计算重心和质心在物理学中,重心和质心是非常重要的概念。

对于一个平面图形或者一个立体体形,它的重心和质心分别表示为:重心:(∫xdS)/(∫dS)质心:(∫xdm)/(∫dm)这里的dS和dm分别表示面元和质量元,x则表示距离中心的距离。

我们可以通过对图形进行分割并使用定积分来计算重心和质心。

四、积分在物理学中的应用定积分在物理学中的应用非常广泛,比如我们可以使用它来计算弹性势能、动能、功、功率等物理量。

举一个简单的例子,假设质量为m的物体从高度为h处自由落下,当它下落到高度为y 时,它的速度为v,我们可以使用动能和势能的转化关系求出v,设重力加速度为g,则它下落过程中失去的重力势能为mgh-mgy,同时增加的动能为(1/2)mv^2,因此:mgh-mgy=(1/2)mv^2v=sqrt(2g(h-y))我们可以使用定积分来求解物体在过程中的运动状态,以及计算其他物理量的值。

高中数学-定积分在几何中的应用-课件

高中数学-定积分在几何中的应用-课件

求由一条曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a<b)及 y=0 所围成平面图形的面积 S.
①如图 1 所示,f(x)>0, bf(x)dx>0. a
∴S= bf(x)dx. a
②如图 2 所示,f(x)<0, bf(x)dx<0, a
∴S=| bf(x)dx|=- bf(x)dx.
a
a
2×23x32
|
2 0
=136,
8
S2=2 [4-x-(- 2x)]dx
=4x-12x2+2
3
2x32|
8 2
=338,
于是 S=136+338=18.
方法二:选y作为积分变量,
将曲线方程写为x=y22及x=4-y.
则S=2-44-y-y22dy
=4y-y22-y63|
2 -4
=18.
变式训练 1:由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成
解.
由方程组
y2=2x y=4-x
解出抛物线和直线的交
点为(2,2)及(8,-4).
方法一:选 x 作为积分变量,由图可看出 S=S1+S2,
由于抛物线在 x 轴上方的方程为 y= 2x,
在 x 轴下方的方程为 y=- 2x,
2
所以 S1=0 [ 2x-(- 2x)]dx
=2
2 1
20x2 dx=2
❖1.7 定积分的简单应用
❖1.7.1 定积分在几何中的应用
自主学习 新知突破
❖ 1.理解定积分的几何意义.
❖ 2.会通过定积分求由两条或多条曲线 围成的平面图形的面积.
复习回顾
[问题 1]定积分的几何意义.
由三条直线 x=a,x=b(a<b),x 轴及 一条曲线 y=f(x)(f(x)≥0)围成的曲边 梯形的面积 S=________.

定积分的几何意义公式

定积分的几何意义公式

定积分的几何意义公式定积分是微积分中的重要概念之一,它在几何学中有着重要的应用。

定积分的几何意义公式可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。

定积分的几何意义公式如下:若函数f(x)在区间[a, b]上连续且非负,那么f(x)在区间[a, b]上的定积分∫[a, b]f(x)dx表示曲线y=f(x)与x轴所围成的平面图形的面积。

这个公式告诉我们,通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,我们可以得到曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积。

这个定积分的几何意义公式是我们理解定积分的几何意义的基础。

举个例子来说明这个公式的应用。

假设有一个函数f(x)=x^2在区间[0, 2]上,我们可以通过计算定积分∫[0, 2]x^2dx来求得曲线y=x^2与x轴所围成的图形的面积。

根据定积分的计算方法,我们可以将区间[0, 2]划分成许多小的区间,然后计算每个小区间上的面积并求和。

这样,我们就可以得到整个区间[0, 2]上的曲线与x轴所围成的图形的面积。

通过这个例子,我们可以看到定积分的几何意义公式在计算图形的面积方面的应用。

同时,这个公式也可以推广到计算曲线长度、体积等方面。

除了图形的面积,定积分的几何意义公式还可以帮助我们计算曲线的长度。

如果我们有一个函数f(x)在区间[a, b]上,那么它的曲线长度可以通过计算定积分∫[a, b]√(1+(f'(x))^2)dx来得到。

这个公式告诉我们,通过计算函数f(x)在区间[a, b]上的定积分,我们可以得到曲线的长度。

这个定积分的几何意义公式在计算曲线的长度方面有着重要的应用。

通过定积分的几何意义公式,我们可以看到定积分在几何学中的重要作用。

它不仅可以帮助我们计算图形的面积、曲线的长度,还可以应用于计算体积、质心等方面。

总结起来,定积分的几何意义公式是微积分中的重要概念,它可以帮助我们理解定积分的几何意义以及它在图形面积、曲线长度等方面的应用。

定积分及其应用

定积分及其应用

积分上限
积分和
积分号
b a
f ( x)dx

I
n
lim 0 i1
f (i )xi
高 等 数

积分下限 被 积 函 数
积 分 [a,b] 积分区间 变 量
电 子 教 案
二、定积分的几何意义
当f (x) 0时,曲边梯形的面积
A

b
a
f
(x)dx
y y=f(x)
A
0a
当f (x) 0时,

近似代替 si v(i )ti1
等 数
部分路程值
某时刻的速度
学 电
n
n

求和 S Si v(i )ti
i 1
i 1
令 m1iaxn {ti}
教 案
n
取极限
S

lim
0
i 1
v(i )ti
思路:
把整段时间分割成若干小段,每小段 上速度看作不变,求出各小段的路程再相 加,便得到路程的近似值,最后通过对时 间的无限细分过程求得路程的精确值.
高 等
4.了解无穷积分收敛性概念,会计算简单

的无穷积分。

5.会用定积分计算简单的平面曲线围成图 形的面积(直角坐标系)和绕坐标轴旋转生成的 旋转体体积。
电 子 教 案
6.1 定积分的概念
一、两个例子
1.曲边梯形的面积的计算 y
y=f(x)
分割 xi xi xi1
A A1 A2 An
1
i1 n n

1 n3
n i 1
i2

1 n3

定积分在几何,物理学中的简单应用

定积分在几何,物理学中的简单应用

定积分在几何,物理学中的简单应用
定积分是一种常见的数学工具,用来解决许多几何和物理问题。

它可以在几何学、物理学中解决积分、面积和容积计算题中应用。

首先,定积分在几何学中的简单应用。

比如,如果我们要计算一个几何图形的面积,则可以通过定积分来计算。

它可以计算任意形状的几何图形的面积,比如三角形、椭圆、圆形等。

它的应用范围非常广泛,比如可以用它来计算面积、周长、体积等。

其次,定积分也可以用在物理学中。

比如,如果我们要计算一个物体在多次不同力作用之下移动的路程,可以用定积分来计算。

它可以帮助我们精确地计算物体受力作用前后的距离,也可以帮助我们精确计算弹性作用力等。

最后,定积分也可以应用于物理学的温度问题中。

比如,我们可以通过定积分求出一个物体在单位温差下的热量传递,也可以求出一个物体的总热量。

还可以用它求解温度场、热传导率、热导率等问题。

以上是定积分在几何、物理学中的简单应用。

定积分是一种通用而有效的数学工具,在几何、物理学中都有着广泛的应用,不仅可以用来解决相关的面积、容积计算题,而且还可以用来解决物理热力学、温度等问题。

只要我们掌握它的基本使用方法以及它的一些特性和用途,就可以在几何、物理学中更好地应用它来解决其它问题。

- 1 -。

定积分的几何意义物理意义

定积分的几何意义物理意义

定积分的几何意义物理意义一、定积分的几何意义定积分的几何意义可有趣啦!想象一下,你在一个平面直角坐标系里画了一条曲线,比如说y = x²。

如果我们要求从a到b这个区间上函数y = x²的定积分,那这个定积分的值就表示由曲线y = x²、x = a、x = b以及x轴所围成的图形的面积。

不过呢,这里要注意,如果曲线在x轴下方,那这部分面积可就得算成负的啦,就像欠了面积似的。

比如说y = -x²,从0到1求定积分,这个值就是负的,它表示的是x轴下方,曲线y = -x²和x轴以及x = 0和x = 1围成的图形的面积,只不过因为在下方所以是负的。

这就像是把平面的图形分成了上下两部分,x轴上面的是正面积,下面的是负面积,而定积分就把这些面积都加起来,得出一个总的“有正负之分的面积”值。

二、定积分的物理意义定积分在物理里也超级有用呢。

咱先说路程和速度的关系。

如果有一个物体,它的速度v是时间t的函数,比如v = 3t。

那从t₁时刻到t₂时刻这个物体走过的路程就可以用定积分来求啦。

这是为啥呢?你看啊,速度是描述物体运动快慢的,在一小段时间Δt里,物体近似看成是做匀速直线运动,那它走过的路程Δs就约等于vΔt。

当我们把整个时间段[t₁, t₂]分成无数个小时间段,每个小时间段都这么算路程,然后把这些小路程加起来,这不就是定积分干的事儿嘛。

所以定积分在这就表示这个物体从t₁时刻到t₂时刻走过的路程。

还有在做功方面。

假如有个力F是位移x的函数,例如F = 2x。

那力F在从x₁到x₂这段位移上做的功W就可以用定积分来求。

因为在一小段位移Δx里,力近似看成不变,那这一小段位移上做的功ΔW就约等于FΔx。

把整个位移区间[x₁, x₂]分成无数个小位移区间,每个小位移区间都这么算功,最后加起来就是总的功,这也就是定积分的意义。

定积分在物理里就像是一个神奇的工具,把很多连续变化的量通过这种分割、近似、求和的方式联系起来了呢。

定积分的意义及其在几何中的应用

定积分的意义及其在几何中的应用

定积分的意义及其在几何中的应用定积分是微积分中的一种重要概念,它是反映了函数在一些区间上面积的大小。

定积分的含义非常丰富,不仅可以用于求函数的面积、周长、体积等几何问题,还广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域的计算与分析中。

首先,定积分的最基本的含义是求函数在一些区间上的面积。

对于非负连续函数f(x),可以将其图像以下方的函数图形为界,通过分割区间,构造出一系列较窄的矩形,然后求出这些矩形的面积之和,即可近似地得到曲线下面积的值。

随着分割区间的无穷细小,这个近似的面积将趋近一个确切的值,即定积分。

如果函数是负值或者非连续的情况,面积的计算则需要对函数图像进行分段处理,并分别计算每个部分的面积。

所以,定积分在几何中的应用可以明确地用于求曲线与坐标轴之间的面积。

其次,定积分也可以用于求曲线的弧长。

由于曲线的形状较为复杂,无法直接计算其弧长,但通过将曲线分成许多较小的线段,并每个线段用直线段来代替,再对这些直线段进行求和的方式,可以用定积分来近似计算曲线的长度。

当分割的线段无限细小时,这个近似的弧长将趋近于曲线的实际弧长。

这种方法虽然只能得到近似值,但对于一些无法获得解析解的复杂曲线来说,这种近似是非常有用的。

此外,在三维几何中,定积分可以应用于计算旋转体的体积。

对于一个曲线沿着坐标轴旋转形成的立体,可以将其分成许多非常薄的盘状元素,并计算每个盘状元素的体积,然后通过定积分将这些体积相加,即可得到整个旋转体的体积。

这个方法适用于各种形状的旋转体,能够有效地求解这些体积。

除了在几何中的应用,定积分在物理学、经济学、生物学等领域也有广泛的应用。

在物理学中,定积分可以用于计算各种形状物体的质心、重心等。

在经济学中,定积分常用于求解定量经济模型中的微积分方程,如求解需求曲线、利润函数等。

在生物学中,定积分可以用于计算生物体的体积、质量、功率等。

总之,定积分是微积分中一个重要的概念,不仅在几何中用于求解曲线的面积、弧长、旋转体的体积等问题,还在许多学科中都有广泛的应用。

定积分应用与意义

定积分应用与意义

定积分应用与意义定积分是微积分中的重要概念之一,它在数学和实际应用中都具有广泛的意义和应用。

定积分的概念和定义虽然较为复杂,但是通过对定积分的研究和应用,我们可以更深入地理解数学的内涵,并将其应用于实际问题的解决中。

1. 定积分的基本概念定积分的概念最早由数学家牛顿和莱布尼茨同时独立提出,它是微积分的核心理论之一。

定积分的基本概念可以通过对微小变化的累加来得到,即将一个函数在某个区间上的微小变化进行累加,得到整体的变化情况。

定积分用于计算曲线与坐标轴所夹的面积,也可以用于计算函数在某个区间上的平均值等。

2. 定积分的数学意义定积分在数学上的意义非常重要,它在微积分的理论体系中起着重要的作用。

定积分可以用于求解函数的原函数,从而得到函数的不定积分。

同时,定积分可以通过数值计算的方式求解,从而得到函数在某个区间上的数值结果。

这为数学的理论研究和实际计算提供了基础。

3. 定积分在几何中的应用定积分在几何中有着广泛的应用。

例如,可以通过定积分计算曲线与坐标轴所夹的面积,从而解决几何问题。

同时,定积分还可以用于计算曲线的弧长,计算曲线的质心坐标等。

这些几何应用使得定积分成为几何分析中不可或缺的工具。

4. 定积分在物理中的应用定积分在物理学中也有着重要的应用。

在物理学中,许多物理量都可以通过定积分进行计算。

例如,通过定积分可以计算物体在某一时间段内的位移、速度和加速度等。

同时,定积分还可以用于计算物体在力场中所受的力和功等。

这些物理应用使得定积分在物理学中具有重要的意义。

5. 定积分在经济学中的应用定积分在经济学中也有着广泛的应用。

经济学中的许多问题需要通过定积分进行计算和求解。

例如,通过定积分可以计算收益曲线和成本曲线所围成的利润。

同时,定积分还可以用于计算市场需求曲线和供给曲线之间的均衡点。

这些经济应用使得定积分成为经济学中必不可少的工具。

综上所述,定积分在数学和实际应用中具有重要的意义和应用。

它不仅丰富了数学的理论体系,还在几何学、物理学、经济学等领域中发挥着重要的作用。

定积分的概念,几何意义及其运算

定积分的概念,几何意义及其运算
三、定积分的运算:
1.运算方法: ①几何意义法: ②基本定理法:
2.运算性质:
一、积分的概念: 1.不定积分: ① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数,称 f (x) 的不定积分
记作: f (x)dx F (x) C
故,原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业:
1.课本P:55 A组 Ex2
2.课本P:66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ,则
1
[2
f
(x) 3x]dx [1 2f 0
x
3]dx
______
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来: (不要求计算)
预习:
定积分的应用
y0 f (x0 )
二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
第一确定定义域 三解不等得结论

注1:最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2:增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
注3:书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
y f前(x)
y f后(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义:
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
y f后(x)
y f前(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S

定积分的几何意义及性质

定积分的几何意义及性质

定积分的几何意义及性质
积分作为高等教育中重要的概念,不仅存在于广义上的学分计算中,也存在于
窄义上的学术研究中。

在学分中,积分具有数量上的计算意义;在研究方面,积分和重要的科学性质密切相关。

比如在空间几何上,积分可以表示面积集或容积集;在复变函数论中,积分可以表示一类曲线上某一方向的增长量;在偏微分方程数学中,积分可以描述某类分布。

从这一角度看,积分可以表示某种量的准确或不准确的估算,人们可以根据积分的运算结果对一定模型进行更精确的定义,从而辅助学术研究。

此外,积分也常常被用于衡量一类系统的内在的物理行为和特征、动力学行为
和动能的差别以及传输特性等等。

它不仅反映了给定系统的量的变化,而且也可以进一步表达系统内在的动力学行为,在理论上也要求明确其功能状态以及所处的行为空间。

这就要求人们对积分运算中的参数作出相应的设定,同时回顾系统的物理行为原理,以实现进一步的发展。

总之,积分在高等教育中有重要的作用,从一定程度上提升了学术研究的水平。

它与空间几何、复变函数论、偏微分方程等领域密切联系,可以表示其数量、传输特性等物理性质,为学术研究奠定基础。

因此,在高等教育中,积分具有重要意义,我们必须认真研究它,最大限度地发挥它的广泛作用。

定积分的计算及应用

定积分的计算及应用

定积分的计算及应用一、定积分的概念设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点,把区间[a,b]分成n个小区间,当区间的长度趋于零时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数在区间[a,b]上的定积分,记作∫baf(x)dx,即∫baf(x)dx=I=limλ→0∑ni=1f(ξi)·Δxi.二、定积分的意义(一)几何意义设y=f(x)≥0且在[a,b]上连续,若f(x)为曲线,则∫baf(x)dx表示[a,b]上曲边梯形的面积.(二)物理意义设y=f(x)≥0且在[a,b]上连续,若f(x)为速度,则∫baf(x)dx表示[a,b]上变速运动的路程.三、定积分概念的应用及推广1.可以把积分区间[a,b]推广到无限区间上,如[a,+∞)等,或者,函数推广到无界函数,也就是广义积分.2.可以把积分区间[a,b]推广到一个平面区域,被积函数为二元函数,那么积分就是二重积分;同样当被积函数成为三元函数、积分区域变成空间区域时就是三重积分.(一)积分的计算方法定义法:定积分的定义法计算是运用极限的思想,简单地说就是分割求和取极限.任意分割任意取值所计算出的i值如果全部相同的话,则定积分存在.第一步:分割.将区间[a,b]分成n个小区间,一般情况下采取等分的形式.h=b-an,那么分割点的坐标为(a,0),(a+h,0),(a+2h,0),…,(a+(n-1)h,0),(b,0),ξk在[xk-1,xk]任意選取,但是我们在做题过程中会选取特殊的ξk,即左端点,右端点或者中点.经过分割将曲边梯形分成n个小曲边梯形.我们近似的看作是n个小长方形.第二步:求和.计算n个小长方形的面积之和,也就是∑nk=1f(ξk)h.第三步:取极限I=limh→0∑nk=1f(ξk)h=hlimh→0∑nk=1f(ξk),h→0即n→∞,也就是说分的越细,那么小曲边梯形就越接近小长方形,当n趋于无穷之时,小曲边梯形也就是小长方形,那么小长方形的面积和即为曲边梯形的面积,也就是定积分的积分值.(二)牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式很好地把定积分与不定积分联系在一起.利用此公式,可以根据不定积分的计算计算出定积分.这个公式要求函数在区间内必须连续.求连续函数的定积分只需求出的一个原函数,再按照公式计算即可.定理若函数f(x)在区间[a,b]连续,且F(x)是f(x)的原函数,则∫baf(x)dx=F(b)-F(a).例1 用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分∫10xdx.解原式=12x210=12.总结:我们知道,不定积分与定积分是互不相关的,独立的.但是在连续的条件下,微积分基本定理把这两个互不相关的概念联系起来,这是数学分析的卓越成果,有着重大的意义.同样的一道题目,用牛顿-莱布尼茨公式明显比定义法简单.四、定积分的换元积分法应用牛顿-莱布尼茨公式求定积分,首先求被积函数的原函数,其次再按公式计算.一般情况下,把这两步截然分开是比较麻烦的,换元积分法解决了这一问题.例2 求定积分∫21lnxdx.解∫21lnxdx=xlnx“21-∫21xdlnx=2ln2-0-x|21=2ln2-1.:因为u(x),v(x)在[a,b]有连续导函数,并且u(x)易求微分,v(x)容易被计算出来时用分部积分法比较简单.五、定积分在数学中的应用(一)概率问题例3 在区间[-1,1]上任取两数a,b,求方程有两个正根的概率.解由题意,样本空间Ω={(a,b)|-1≤a≤1,-1≤b≤1}表示边长为2的正方形区域,面积SΩ=4.要使方程两根均正,需Δ=4a2-4b≥0,x1+x2=2a0,x1x2=b0,即a2≥b,a0,b0.记方程有两正根为事件A,它对应的区域是由抛物线b=a2,直线a=1和a=0围成的,于是SA=∫10a2da=13.所以P(A)=SASΩ=112.:用定积分求概率问题更多是把问题分为样本空间区域求其覆盖面积,并且找到所求事件的空间区域求其面积,从而求出题目所要求的概率问题,运用了最基本的方法来运用到较复杂问题上.。

定积分概念的推广及其几何物理意义

定积分概念的推广及其几何物理意义

定积分概念的推广及其几何物理意义
定积分概念是数学中一个重要的概念,它的推广及其几何物理意义也是非常重要的。

定积分是一种积分,它可以用来表示一个函数在某一区间上的积分,它可以用来表示一个函数在某一区间上的积分。

它的推广可以用来解决更复杂的问题,比如求解多元函数的积分,求解曲线的面积,求解曲面的体积等等。

定积分的几何物理意义也是非常重要的,它可以用来表示物理量的变化,比如力的变化,势能的变化,动量的变化等等。

它可以用来求解物理量的变化,比如求解力的变化,求解势能的变化,求解动量的变化等等。

它还可以用来求解物理系统的稳定性,比如求解力的稳定性,求解势能的稳定性,求解动量的稳定性等等。

定积分的推广及其几何物理意义是非常重要的,它可以用来解决许多复杂的问题,比如求解多元函数的积分,求解曲线的面积,求解曲面的体积,求解物理量的变化,求解物理系统的稳定性等等。

它的推广及其几何物理意义也可以用来解决实际问题,比如求解热力学问题,求解电磁学问题,求解量子力学问题等等。

总之,定积分概念的推广及其几何物理意义是非常重要的,它可以用来解决许多复杂的问题,也可以用来解决实际问题,因此它在数学和物理学中都有着重要的作用。

定积分在几何计算中的应用

定积分在几何计算中的应用

定积分在几何计算中的应用1.引言定积分是微积分中的一个重要概念,也是几何计算中的重要工具之一。

从几何角度来看,定积分可以用于计算图形的面积、体积、质心等问题,具有很强的实用价值。

本文将从定积分的基本定义入手,逐步探讨它在几何计算中的具体应用,希望能为读者提供一些参考。

2.定积分的基本定义定积分是对一个区间内函数在该区间内的面积求和所计算的极限值。

换句话说,如果在其定义区间上将函数的图象分成无穷多个狭长的矩形,那么这些矩形的面积之和即为该函数在该区间上的面积,而定积分就是对这些矩形面积之和求极限所得到的一个实数。

3.计算面积计算面积是定积分最基本的应用之一。

假设有一个函数f(x),将其在[a,b]区间内用x轴分割成n个矩形,每个矩形宽度为Δx,则矩形的高度f(xi),面积为f(xi)Δx,最后将所有矩形的面积相加,得到近似面积:Sn = Σf(xi)Δx当n趋近于无限大时,Sn的极限值就是f(x)在[a,b]上的面积:∫ab f(x)dx=S=a∫b f(x)dx其中S表示函数f(x)在[a,b]上的面积,a和b分别表示积分区间的端点。

4.计算体积定积分还可以用于计算三维空间中物体的体积。

例如,假设一个圆柱的横截面为半径为r的圆形,长度为h,则其体积V可以表示为:V = Πr²h如果将圆柱沿其中心轴线切割成无穷多个大量趋近于长方体的小块,然后将这些小块向上叠加,可以得到一个近似的立体体积。

叠加的过程即为对小块的体积进行定积分运算:V = ∫h0 Πr²dy5.计算质心质心是一个物体重心所在的位置,也是物体受力时的平衡点。

例如,一个平面图形的质心是指该图形的所有部分都按照各自的面积对重心发生的贡献计算,最终得到的点就是该图形的质心。

假设一个平面图形可以分成无穷多个小的矩形,每个矩形面积为ΔA,其重心的纵坐标y为f(x),则该图形的质心的纵坐标为:y = (1/A)∑yiΔA,其中A表示该图形的总面积将每个小矩形的面积相加,用定积分表示,可以得到该图形的总面积:A = ∫ab f(x)dx再将每个小矩形的贡献相加,也用定积分表示,可以得到该图形的质心纵坐标:y = (1/A)∫ab xf(x)dx6.结语本文介绍了定积分在几何计算中的具体应用,包括计算面积、体积、质心等,其原理都是将物体分成无穷多小的组成部分,然后对每个小部分进行计算,最后将结果相加。

定积分的几何意义

定积分的几何意义

定积分的几何意义定积分是微积分的一个重要概念,与导数一样,也是牛顿和莱布尼茨在17世纪中期发明的。

定积分可以用于计算曲线下面积、曲线长度、体积、质量、质心等几何量,因此在几何中具有重要的意义。

首先,我们先来考虑较为简单的几何问题:曲线下的面积。

假设有一个函数f(x),定义在闭区间[a, b]上,现在我们要计算这个函数所定义的曲线和x轴以及直线x=a, x=b所围成的图形的面积。

我们将x轴的分成n个等分,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

然后在每个小区间内选择一个任意点xi(在第i个小区间内)进行计算,将这个点的纵坐标f(xi)和小区间的宽度Δx相乘得到该小矩形的面积。

最后,将所有小矩形的面积相加并取极限即可得到曲线下的面积。

形式化表示为:曲线下的面积= lim[n→∞] Σ[i=1, n] f(xi)Δx,其中Δx=(b-a)/n。

这个过程其实就是将曲线下的面积近似地等分成n个小矩形,然后对每个小矩形的面积进行求和。

当n趋于无穷大时,这个近似过程无限细化,得到的面积也就趋近于准确值。

除了曲线下的面积,定积分还可以用于计算曲线的弧长。

同样以一个函数f(x)为例,现在我们要计算它所定义的曲线从x=a到x=b的弧长。

同样地,我们将x轴的分成n个等分,每个小区间的长度为Δx=(b-a)/n。

然后在每个小区间内选择一个任意点xi进行计算,这个点对应的坐标为(x,y)=(xi, f(xi))。

接下来,计算这些点之间的距离,将它们相加即得到曲线的弧长。

形式化表示为:曲线的弧长= lim[n→∞] Σ[i=1, n] √(Δx)^2 + (Δy)^2,其中Δx=(b-a)/n,Δy=f(xi)-f(xi+1)。

同样地,当n趋于无穷大时,这个近似过程无限细化,得到的弧长也就趋近于准确值。

除了面积和弧长,定积分还可以用于计算曲线围成的旋转体体积。

以函数f(x)为底,x=a到x=b的曲线段为母线,围绕x轴旋转一周所形成的体积就是通过定积分计算得到的。

定积分和二重积分的几何意义

定积分和二重积分的几何意义

定积分和二重积分的几何意义一、定积分的几何意义1. 当函数y = f(x)≥0,x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x),直线x = a,x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。

例如,对于函数y=x + 1,x∈[0,2],∫_{0}^2(x + 1)dx表示由直线y=x + 1,x = 0,x = 2和x轴围成的梯形的面积。

2. 当函数y = f(x)≤0,x∈[a,b]时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x),直线x = a,x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的相反数。

例如,对于函数y=-x,x∈[0,1],∫_{0}^1(-x)dx的值为-(1)/(2),其绝对值(1)/(2)就是由y =-x,x = 0,x = 1和x轴围成的三角形的面积。

3. 当函数y = f(x)在[a,b]上有正有负时- 定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x),直线x = a,x = b以及x轴所围成的图形在x轴上方部分的面积减去在x轴下方部分的面积。

例如,对于函数y=sin x,x∈[0,2π],∫_{0}^2πsin xdx=0,这是因为sin x在[0,2π]上,x轴上方和下方的图形面积相等。

二、二重积分的几何意义1. 当z = f(x,y)≥0,(x,y)∈ D时(D为积分区域)- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶,以xOy平面上的区域D 为底的曲顶柱体的体积。

例如,对于z = x^2+y^2,D为x^2+y^2≤1的圆形区域,∬_{D}(x^2+y^2)dσ表示以抛物面z = x^2+y^2为顶,以单位圆x^2+y^2≤1在xOy平面上的区域为底的曲顶柱体的体积。

2. 当z = f(x,y)≤0,(x,y)∈ D时- 二重积分∬_{D}f(x,y)dσ表示以曲面z = f(x,y)为顶(此时z值为负),以xOy 平面上的区域D为底的曲顶柱体体积的相反数。

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定西师范高等专科学校本科毕业论文(设计)题目:定积分的意义及其在几何中的应用学院兰州大学数学与统计学院专业数学应用班级 09数学教育二班学号 **********姓名蔡兴盛指导教师王宾国兰州大学教务处制二O一二年三月定积分的意义及其在几何中应用定积分在大学数学中起着非常重要的作用,是大学数学的基础,在我们的生活中也起着很重要的作用!内容摘要: 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点,也是本科及研究生入学考试重点考察的内容之一,所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学的应用做了重点研究。

幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。

关键词: 定积分 柯西 微分 方程 几何一、定积分的概念 1.1定积分的定义一般地,设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间,每个小区间长度为x ∆(b ax n-∆=),在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=,作和式:11()()n nn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0(亦即n →+∞)时,上述和式n S 无限趋近于常数S ,那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为:()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数,x 叫做积分变量,[,]a b 为积分区间,b 积分上限,a 积分下限.说明:(1)定积分()ba f x dx ⎰是一个常数,即n S 无限趋近的常数S (n →+∞时)称为()baf x dx ⎰,而不是n S .(2)用定义求定积分的一般方法是: ①分割:n 等分区间[],a b ; ②近似代替:取点[]1,i i i x x ξ-∈; ③求和:1()ni i b af nξ=-∑; ④取极限:()1()lim nbi an i b af x dx f nξ→∞=-=∑⎰(3)曲边图形面积:()baS f x dx =⎰;变速运动路程21()t t S v t dt =⎰;变力做功 ()baW F r dr =⎰1.2定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有()0f x ≥,那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==(a b ≠),0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.说明:一般情况下,定积分()ba f x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和,在x 轴上方的面积取正号,在x 轴下方的面积去负号.分析:一般的,设被积函数()y f x =,若()y f x =在[,]a b 上可取负值. 考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ∆+∆++∆++∆不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -∆+∆++∆--∆++-∆()b af x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积(即x 轴上方面积减x 轴下方的面积)1.3定积分的性质性质1 a b dx ba -=⎰1性质2 ⎰⎰=bab adx x f k dx x kf )()( (其中k 是不为0的常数) (定积分的线性性质)性质3 1212[()()]()()b b baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ (定积分的线性性质)性质4 ()()()b c baacf x dx f x dx f x dx =+⎰⎰⎰ (其中a<c<b )1.4用定积分求解简单的问题 1.4.1 求立体图形的体积用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为)(x σ,假设每一个基本的小块横截面积为A (x ),则此小块的体积是A(x))(x σ,将所有的小块加起来,另0)(→x σ,我们可以得到其体积v=lim ∑==bx a x x x A )()(σ其中 a 和 b 分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题例1 求椭圆面1222222=++cz b y a x 所围立体的体积解:以平面0x x =a x ≤0()截椭球面,得椭圆在YOZ 平面上的正投影1)1()1(22222222=-+-ax c z ax b y所以截面面积函数为)1()(22a x bc x A -=π []a a x ,-∈于是求得椭球体积abc dx ax bc v aa ππ34)1(22=-=⎰-显然当c b a ===r 时,就等于球的体积334r π1.4.2定积分在初等数学里的应用近些年来,定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来,下面来讨论一下定积分在证明不等式,等式和一些数列的极限的方面的应用一、证明不等式运用积分来证明不等式,一般要利用到积分的如下性质:设)(x f 与)(x g 都在[]b a 上可积且)()(x g x f ≤;则⎰⎰≤babax g dx x f )()(特别的当0)(≡x f 时,有0)(≥⎰badx x g例2 证明贝努利不等式 已知1->x 且N n x ∈≠0且2≥n求证:nx x n +≥+1)1(证明:若01<<-x 或110<+<x 且2≥n 时,1)1(1<+-n x 。

因此 ⎰⎰<+-01)1(xxn dx dx x 即为nx x n +>+1)1(。

若0>x 或11>+x 且2≥n 时1)1(1>+-n x 因此 ⎰⎰>+-x x n dx dx x 01)1( 由此可得nx x n +>+1)1(。

综合以上可得:当1->x 时,且0≠x N n ∈且 2≥n 时有nx x n +>+1)1(由上面的证明我们可以推广,去掉条件N n ∈时,结论仍然成立.所以,我们可以得到一个一般的结论设1->x 则若10<<α时,有x x αα+≤+1)1( 若0<α或1>α时,有x x αα+≥+1)1( 当且仅当0=x 时,两式中的等号成立例3.已知b a ,是实数,并且b a e <<,其中e 是自然对数的底,证明a b b a .> 证明:当b a e <<时,要证明a b b a >,只要证明b a a b ln ln > 既要证明bba a ln ln >b x a e ≤≤<时,因为0ln 12<-x x从而 0ln 1ln ln ln ln 2<-===-⎰⎰dx xx x xd x x a a b b b a b a b a 所以当b ae <<时,aab b ln ln <于是得到a b b a > 求和:根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可.二、定积分在几何中的应用 2.1定积分的微元法定积分的应用很广,仅介绍它在几何方面和物理方面的一些应用.首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法——将所求量表达成为定积分的分析方法——微元法(或元素法).在将具体问题中所求的量S (如曲边梯形的面积,变速直线运动的路程)表达成定积分:⎰=ba dx x f S )(时,总是把所求量S 看作是与变量x 的变化区间],[b a 相联系的整体量.当把区间],[b a 划分为若干小区间时,整体量S 就相应地分为若干部分量S ∆,而整体量等于各部分量之和,这一性质称为所求量对于区间],[b a 具有可加性.划分区间后,在各部分区间上,求出部分量的近似表达式x x f ∆)(,由可加性,总量的近似值可以表达成和式∑=-∆ni i i x x f 11)((由于点i ζ任意选取时,和式极限有确定的值,常取iζ为区间的左端点1-i x ),从而这个和式的极限就是所求量的精确值,于是由定积分的定义,总量S 可用定积分来表达⎰=badx x f S )(一般地,如果某一实际问题中所求量S 满足以下条件:S 是与变量x 的变化区间],[b a 有关的量,且S 对于该区间具有可加性,所求量S 就可用定积分来计算.具体步骤如下:(1)确定积分变量,并求出相应的积分区间],[b a(2)在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +,并在该小区间上找出所求量S 的微元dx x f dS )(=(3)写出所求量S 的积分表达式⎰=badx x f S )(,然后计算它的值.这里)(x dS dS =通常称为所求量S 的微分(或元素),这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法,通常称为微元法(或元素法).2.2定积分求解平面图形面积 2.2.1直角坐标情形根据定积分的几何意义,由区间连续曲线)(x f y =、)(x g y =、],[),()((b a x x g x f ∈≥及直线b x a x ==,所围成的平面图形的面积A ,由定积分的性质,此式可写为dx x g x f A ba⎰-=)]()([ (利用微元法求解可得同样的结果)其中d dx x g x f A ba⎰-=)]()([就是面积元素2.2.2极坐标情形图 5-17某些平面图形,用极坐标计算它们的面积比较方便.用微元法计算:由极坐标方程()θρρ=所表示的曲线与射线βθαθ==,所围成的曲边扇形面积(图5-17). 以极角为积分变量,积分区间为[]βα,,在[]βα,上任取一小区间[]θθθd +,,与它相应的小曲边扇形面积近似于以θd 为圆心角.()θρρ=为半径的圆扇形面积,从而得到面积元素()[]θθρd dA 221=于是所求面积为()[]θθρβαd A 221⎰=例4 计算心形线()()0cos 1>+=αθαρ所围成的平面图形的面积(图5-18). 解:由于图形对称于极轴,只需算出极轴以上部分面积1A ,再2倍即得所求面积A .对于极轴以上部分图形,θ的变化区间为[]π,0.相应于[]π,0上任一小区间[]θθθd +,的窄曲边扇形的面积近似于半径为)cos 1(θα+、圆心角为θd 的圆扇形的面积.从而得到面积元素()θθαd dA 22cos 121+=,得()θθαd A x2201cos 121+=⎰ =()θθθαd x⎰++022cos cos 2121=θθθαd ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++2cos 21cos 223212 =x22sin 41sin 22321⎥⎦⎤⎢⎣⎡++θθθα =243πα 所以,所求面积为21232πα==A A2.3用定积分求解图形体积 2.3.1旋转体的体积设一旋转体是由曲线)(x f y =与直线b x a x ==,、及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转而成(图5-19).现用微元法求它的体积.在区间[]b a ,上任取[]dx x x +,,对应于该小区间的小薄片体积近似于以()x f 为半径,以dx 为高的薄片圆柱体体积,从而得到体积元素为图 5-19图5-18[]dx x f dV 2)(π=从a 到b 积分,得旋转体体积为()dx x fV ba⎰=2π类似地,若旋转体是由连续曲线()y x ϕ=与直线d y c y ==,及y 轴所围成的图形绕y 轴旋转而成,则其体积为()dy y V dc ⎰=2ϕπ例5 求椭圆12222=+by a x 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积(图5-20).图 5-20解 将椭圆方程化为()22222x a ab y -=体积元素为()()dx x a ab dx x f dV 22222-==ππ所求体积为()()d x x a a b dx x a a b V a a ⎰⎰-=-=-1222222222ππ =2322234312ab x x a a b aππ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡- 当a=b=R 时,得球体积V=R334π2.3.2平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可以看出:如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积,那么,这个立体的体积也可以用定积分计算.图5-22 如图5-22所示,取上述定轴为x 轴,并设该立体在过点x=a 、x=b 且垂直于x 轴的两个平面之间,以A(x)表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积.A(x)为x 的已知的连续函数.取x 为积分变量,它的变化区间为[]b a ,.立体中相应于[]b a ,上任一小区间[]dx x x +,的薄片的体积,近似于底面积为A(x)、高为dx 的扁柱体的体积,即体积元素()dx x A dV =于是所求立体的体积为()dx x A V ba⎰=例6 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α(图5-23).计算这个平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴,以过底圆中心且垂直x 轴的直线为y 轴.此时,底圆的方程为222R y x =+222R y x =+.立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是直 角三角形.它的两条直角 边的长度分别为αtan y y 及,即αtan 2222x R x R --及.于是截面面积为()()αtan 2122x R x A -=因此所求立体体积为()adx x R V RRtan 2122-=⎰-=ααtan 323tan 21332R x x R RR =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-- 3.4定积分在实际问题中的应用 3.4.1定积分在国民收入中的应用现在,我们讨论国民收入分配不平等的问题.观察如下图中的劳伦茨(MOLorenz)曲线. 横轴OH 表示人口(按收入由低到高分组)的累计百分比,纵轴OM 表示收入的累计百分比.当收入完全平等时,人口累计百分比等于收入累计百分比,劳伦茨曲线为通过原点、倾角为45°的直线;当收入完全不平等时,极少部分(例如1%)的人口却占有几乎全部(100%)的收入,劳伦茨曲线为折线OHL.实际上,一般国家的收入分配,既不会是完全平等,也不会是完全不平等,而是在两者之间,即劳伦茨曲线是图中的凹曲线ODL.图5-23易见劳伦茨曲线与完全平等线的偏离程度的大小(即图示阴影面积),决定了该国国民收入分配不平等的程度.为方便计算,取横轴OH 为x 轴,纵轴OM 为y 轴,再假定该国某一时期国民收入分配的劳伦茨曲线可近似表示为y =f(x),则[]1112000111()()()022A x f x dx x f x dx f x dx =-=-=-⎰⎰⎰即 不平等面积A =最大不平等面积(A+B)-B =12-1⎰f(x)dx系数AA B+表示一个国家国民收入在国民之间分配的不平等程度,经济学上, 称为基尼(Gini)系数,记作G. 1011(())/()22A G f x AB ==-+⎰=112())f x -⎰显然,G =0时,是完全平等情形;G =1时,是完全不平等情形.例10 某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由y =x2,x∈[0,1]表示,试求该国的基尼系数.解: 如图7-15所示,有1120011()22A f x dx x dx =-=-⎰⎰ =3111111023236x -=-= 故所求基尼系数 1/610.331/23A AB ===+ 3.4.2定积分在投资问题中的应用对于一个正常运营的企业而言,其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的,比如购买一批原料后支出费用,售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生,特别对大型企业,其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便,我们将它近似地看做是连续地发生的,并称之为收入流(或支出流).若已知在t 时刻收入流的变化率为f(t)(单位:元/年、元/月等),那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在[0,T ]这一段时间内的收入流的变化率为f(t),连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的方法计算收入流的现值,将收入流分成许多小收入段,相应地将区间[0,T ]平均分割成长度为Δt 的小区间.当Δt 很小时,f(t)在每一子区间内的变化很小,可看做常数,在t 与t+Δt 之间收入的近似值为f(t)Δt,相应收入的现值为f(t)e-rtΔt,再将各小时间段内收入的现值相加并取极限,可求总收入的现值为现值=0Trt dt -⎰f(t)e , (1) 类似地可求得总收入的终值为终值=()0TT t t dt --⎰f(t)e . (2)例11某企业将投资800万元生产一种产品,假设在投资的前20年该企业以200万元/年的速度均匀地收回资金,且按年利率5%的连续复利计算,试计算该项 投资收入的现值及投资回收期.解: 依题知f(t)=200,由公式(1)知投资总收入的现值为 现值=200.050.0502020020000.05t t e dt e --=-⎰ =4000(1-1e -)=2528.4.假设回收期为T 年,则由公式(1)知0.050800Tt e dt -=⎰, 由此可解出T =-20ln0.8=4.46(年),所以回收期约为4.46年.若有一笔收益流的收入率为f ( t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值0y ()Trt P t e dt -=⎰ 结束:定积分与实际应用联系较近,牛顿曾利用积分从万有引力导出行星三定律.定积分在物理,化学,经济,工程中也有重要的应用,我相信,随着人类认识的不断发展,定积分将越来越在人们的科研中及各个学科中起着很重要的作用.参考文献 :[1] 华东师大数学系编 数学分析上册 高等教育出版社[2] 数学分析上册 陈传璋 复旦大学数学系[3] 微积分及其应用 李公国(译) 徐氏基金会出版社[5] 竞赛数学教程 陈传理 张同君 高等教育出版社[6]定积分(经管类) 吴赣昌 中国人民大学出版社Theory, extension and application ofdefinite integral thoughtKong ShanshanContent summary:Definite integral problem is that the University has always been focused on learning mathematics, is one of the graduate entrance examination focused on investigation of content, so this article on the origins, development, and its definite integral in mathematics, geometry, physics, economics and other disciplines do focus on the application of. Bing with some examples in addition to the detailed analysis to these issues.Keywords: Definite integral Cauchy differential equations of physical geometry economic variables。

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