图论模型

分析： 以年为点，包括第0年，共6个点。任意两点之间 都有一条边，边（i,j)上的权值为第i年的购置费加 上从第i年到第j年每年的维修费之和。比如：从0 到3，权值为11＋5＋6＋8＝30，从2到4，权值为 12＋5＋6＝23. 所求即从点0到点5的最短路。 0

5 1
4
2
3
4、现有一批化学药品A至F要存放。因为有
ab ac
ad
ba
bc
bd dc
da ea eb
db ec
ed
来自百度文库
6、如何编制课程表：
教室数量有限，且假设所有教室都能容纳 每一个教学班级。希望能在最少的时间内让 所有的课都上完。
以每一教师为一个点，每一个要同时上课的教学 班级为一个点，两点相邻当且仅当该教师要给这 个教学班级授课。如此可得一个二分图。 可以同时上课的班级就是此图的一个边集，其中 任何两个边没有公共点（即一个匹配）。此边集 的边数不能超过学校能提供的教室数。 此问题就是最少可以将所有的边划分几个不交的 匹配，使每个匹配的边数不超过教室数。

四、有一定难度的图论模型
1、在下面这个去掉了一个角的棋盘上，能够
用1×2的小棋盘不重不漏的全部覆盖住呢？
解答：
不能。一个画圈的方格只能和一个没有画
圈的方格被一个小棋盘覆盖，而画圈的有 32个，不画圈的只有30个。
可用二分图的理论解释：即此二分图有无
完美匹配的问题。
1、以方块为点，两点相邻当且仅当两个 方块有公共边，得到一个二分图。 2、匹配：一个边的集合，其中任意两条 边没有公共边。 3、完美匹配：包含了所有的点的匹配即 完美匹配。 4、若一个二分图有完美匹配，其点集的 两个二分划必须有相同点数。

构造一个八个点的有向图，八个点分别为
{000,001,010,011,100,101,110,111}。我们 给001到010画一条从001指向010 的边，因 为在001后面补上0之后，其后三位是010。 同理，我们也要画上一条从001指向011的 有向边，这是在后面补1的情况。其它点之 间也按这个规律画上有向边，可得下图。 其欧拉回路就是01安排方案。

大家都知道“一笔划”这个游戏。 此问题即从一个点开始，不重不漏地经过
所有的边在回到起点的路径问题。这是一 个“边的可行遍性”问题。 此问题的结论：可一笔划当且仅当每个点 的度（与此点关联的遍的条数）都是偶数。

7、计算机鼓轮的设计（现在已不用了）
1 0 0 1
绝缘体、导体、触点 如何安排鼓轮上的导体和绝缘体，可以是鼓轮旋 转一圈，能将二进制数0000－1111全部表示出来
000
001
100
010
101
011
110
111
8、货郎担问题(TSP)
最优Hamilton路问题（点的可行遍性问题） 9、“马行天下”问题 在如下的8×8的棋盘上，一个国际象棋的 马怎样才能从任意一个格开始，不重不漏 的经过所有的格，在回到起点？
分析：
以每个方格为点，两个点相邻当且仅当马
图论模型
一、图的相关概念
点，点集
边，边集 面 相邻（邻接）：同类元素直接的关系 关联：不同类元素之间的关系 有向图 无向图
二、常见图类
完全图：任意两点间都有边
圈 树：没有圈的连通图 二分图：
三、较简单的图的模型的建立
可以建立图的模型的问题的特征： 研究对象是离散的；对象之间存在某种二元关系。 以城市为点，两个点之间有边当且仅当两个城市之 间有公路相通 以每个人为点，两个点之间有边当且仅当两个人相 互认识。若单向的认识可用有向边。 有五个工人、五项工作，这五个工人能够干五项工 作中的一个或几个，并且有不同的质量。用一个图 来表示这一关系。
六、图的矩阵表示 1
邻接矩阵
a ij 1, v i v j E 0, viv j E
1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0
2
4 3
0 0 A 0 1
表示图的矩阵还有关联矩阵、圈矩阵、割集矩阵等。最常用的是邻接矩阵和 关联矩阵。 将图用矩阵表示出来就可以将其输入计算机，用计算机来解决图的问题。
k=1,2,
S ~ 允许状态集合 S={(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2}
uk~第k次渡船上的商人数
vk~第k次渡船上的随从数 dk=(uk , vk) ~过程的决策 D={(u , v) u+v=1, 2} 状态因决策而改变
uk, vk=0, 1, 2;
k=1,2, D ~允许决策集合 ~状态转移律
sk+1=sk +(-1)kdk
模型构成
求dkD(k=1,2, n), 使skS, 并按转移律 sk+1=sk+(-1)kdk 由 s1=(3,3)到达 sn+1=(0,0).
模型求解 S={(x , y) x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}
2、如下图，边上的数为两点间距离，求从
a到f 的最短距离。



b
19
c
15
a 18 c 14 e 20 23 19 16
21
f
此问题看起来简单，实际上有些看似和它
毫不相关的问题也可以转化为这类问题。
3、某企业使用一台设备，每年年初要决策
是购买新的还是继续用旧的。购买新的需 购置费，使用旧的需维修费。现已知有关 费用如下： 给设备在各年初的价格为： 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 11 11 12 12 13 根据使用时间不同每年所需的维修费为： 使用年数０－１１－２２－３３－４４－５ 维修费用 5 6 8 11 18 请求出五年内总费用最少的设备更新使 用计划。
• 穷举法 ~ 编程上机
• 图解法 状态s=(x,y) ~ 16个格点 允许状态 ~ 10个 点 允许决策 ~ 移动1或2格; k奇,左下移; k偶,右上移. d1, d11给出安全渡河方案
2 1 d11 0 1 2 3 x 3 y
s1
d1
sn+1
11、控制问题：
要给一个人不太多的地方安路灯，为了降
些药品之间容易发生反应，所以要分开存 放。已知不能在一起存放的有如下一些：a 和c，b和d，a和d，b和f，c和e，c和f。问 题是最少需要几间库房，能够将它们安全 存放（假设无论怎样安排都能将一种药品 安排在一间库房内）？
分析： 以化学药品为点，两个点相邻当且仅当两个药品 间容易发生反应。则可以放在同一间库房的药品 之间没有边相邻。 我们称一个点集为独立集，如果此点集内任何两 点间没有边相连。 此问题就是可以将所有的点划分成最少几个不交 的独立集的问题。 b c 点着色问题：一个 独立集着一种色。 d a 如何求点色数以及 着色的方法已有成熟的 f e 方法。
从这个点可以一步跳动另一个点。所求路 径就是此图的一个Hamilton路。 令人惊奇的是，将马跳动某个方格时的步 数写在这个方格上，竟然得到了一个每行 每列都是260的幻方。
10、商人们怎样安全过河
问题(智力游戏) 随从们密约, 在河的任 一岸, 一旦随从的人数 比商人多, 就杀人越货. 乘船渡河的方案由商人决定. 商人们怎样才能安全过河? 问题分析 多步决策过程
河
小船(至多2人) 3名商人
3名随从
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员 要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多), 经有限步使全体人员过河.
模型构成
xk~第k次渡河前此岸的商人数
yk~第k次渡河前此岸的随从数 sk=(xk , yk) ~过程的状态 xk, yk=0,1,2,3;
低成本，考虑只要让每个小巷的某一个灯 照到就可以了。那么最少需要多少个灯？
此问题即找到此图的一个点集，使得该图的
任意一条边至少有一个端点在这个点集中。 这类问题的算法还不是很成熟。
五、常见网络优化问题


最短路问题 最大流问题 最优匹配 规划审核技术与关键路径法 最小费用流问题 装箱问题 TSP问题、中国邮递员问题 网络可靠性问题 其中很多问题现在没有成熟的方法，或者说根本就不存在好的算法。 许多现实问题是在上述问题的基础上增加要求得到的。如多邮递员等。

5、多叉路口交通信号灯管理问题：
如下图所示，有一个五叉路口，其中C和E
为单行道。在路口有13条可行通路，其中 有的可以同时通行，有的不能同时通行。 那么，在路口应如何设置交通灯进行车辆 的管理呢？
C B E A D
问题：如何设置红绿灯，可使车辆通过时
间最短。 分别以13个通路为点，两个点相邻当且仅 当这两个通路不能同时通行。所求即此图 的最小点着色的色数问题。