椭圆的定义与标准方程 优质课比赛

太阳系
2020/3/27
2020/3/27
2020/3/27
2020/3/27
2020/3/27
2.2.1椭圆及其标准方程
普宁侨中 郑庆宏
2020/3/27
尝试实验，形成概念
动手画：
• [1]取一条细绳；
• [2]把它的两端固定在板 上的两点F1、F2；
• [3]用铅笔尖（M）把细 绳拉紧，在板上慢慢移 动看看画出的图形。
所以，直线AM的斜率 同理，直线BM的斜率
kAM
kBM
y (x5);
xy5 (x5); x5
由已知有
y y 4(x5) x5 x5 9
化简,得点M的轨迹方程为
x2 y2 1(x 5).
25 100
9
2020/3/27
练习3.已知方程 x 2 + y表2 =示1 焦点在x轴
4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4.)
求椭圆的标准方程的步骤：
（1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位）
（2202）0/3/2根7 据椭圆定义或待定系数法求a,b （后定量）
1.求适合下列条件的椭圆方程 1.a＝4，b＝3，焦点在x轴上；
2.b=1，c 15，焦点在y轴上
3、若椭圆满足: a＝5 , c＝3 , 求它的标准方程。
法一: c=2
设椭圆标准方程为:
x2 a2
y2 b2
1
法二: c=2
2a=PF1+PF 2
2020/3/27
写出适合下列条件的椭圆的标准方程
两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经
过点P
3 ，5 2 2
解：(法一) 因为椭圆的焦点在y轴上，
设它的标准方程为
y2 a2
x2 b2
（3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。反 之求出a.b.c的值可写出椭圆的标准方程。
（4）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点就在哪一 个轴上202。0/3/并27 且哪个大哪个就是a2。
♦再认识！
标准方程
不
图形
同
点
x2
y2 +
=1a>b>0
a2 b2
y P
F1 O F2
x F2
由椭圆的定义得，限制条件： |P1F ||P2F |2 a
由于 |P 1 | F (x c )2 y 2 ,|P 2 | F (x c )2 y 2
得方程
(xc)2y2(xc)2y22a
（问题：下面怎样化简？）
2020/3/27
移项，再平方 ( x c ) 2 y 2 4 a 2 4 a ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2
x o
F
• 1
y2 x2 a2 b2 1
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
2020/3/27
♦椭圆的标准方程的特点： Y
YM M
F2(0 , c)
F1 O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
O
X
F1(0,-c)
x2 y2 a2 b2 1(ab0)
y2 x2 1(ab0) a2 b2
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1。 （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。
(2) x2 y2 1 144 169
答：在
y 轴。（0，-5）和（0，5）
判断椭圆的焦点在哪个轴上的准则：
哪个分母大,焦点就在哪条轴上,大的分母就是a2.
2020/3/27
2、写出适合下列条件的椭圆的标准方程
已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到
两焦点距离的和等于10； x 2 y 2 1
口答：
1.
x2 52
y2 32
1，则a＝
5
，b＝ 3
；
2.
x2 42
y2 62
1，则a＝
6
，b＝
4
；
3. x2 y2 1 则a＝ 3 ，b＝ 6 ；
96
4. x2 y2 1 74
则a＝
7
，b＝ 2 ．
2020/3/27
快速练习：1.判定下列椭圆的焦
点在那条轴上?并指出焦点（-3，0）和（3，0） 25 16
(1) x2 y2 1 (4)9x22y 5 2225 0
16 16
x2 (2)
y2
1
(5)3x22y21
25 16
? x2
(3) m2
m2 y211(6)2x42 k1y62k
1
例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
两个焦点分别是 F1 (-2，0)，F 2 (2，0)，
且过点P (3,2 6),
25 9
变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？
y2 x2 1 25 9
变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两
焦点的距离和等于10，结果如何？
x2 y2
当焦点在X轴时，方程为：
1 25 9
当焦点在Y轴时，方程为：
2020/3/27
y2 x2 1 25 9
分组练习：求椭圆的焦点坐标与焦距
2y
因为 x'2 y'2 4 所以 x2 4y2 4
即
2020/3/27
x2 y2 1 4
为所求轨迹方程．
例 3 如图,设点Ａ，Ｂ的坐标分
y M
别为(-5,0)，(5,0)．直线AM，
BM相交于点Ｍ，且它们的斜率之积 是 4 ，求点Ｍ的轨迹方程． A
O
9
B
x
解：设点Ｍ的坐标为(x,y) , 因为点Ａ的坐标为(-5,0) ,
a2cx a(xc)2y2
两边再平方，得
a 4 2 a 2 c c 2 x x 2 a 2 x 2 2 a 2 c a x 2 c 2 a 2 y 2
整理得 (a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知 2a2c,即ac,所以
a2 c2 0,设a2c2b2(b0),
变1：mx已-2 1知+ 3方y-2m程= 1
表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值
范(1,围2)是
.
小结：
一种方法： 求椭圆标准方程的方法
二类方程:
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1ab0
三个意识： 求美意识， 求简意识。
2020/3/27
标准方程
x2
y2 +
=1a>b>0
x2
y2 +
2020/3/27
例3. 求出刚才在实验中画出的椭圆的标准方程 如图:求满足下列条件的椭圆方程
|P1F ||P2F |1,0| F1F2 |8
解：椭圆具有标准方程
x2 y2 a2 b2 1
其中 2c8,2a10
因此 c4,a5,
b 2 a 2 c 2 2 5 1 6 9所求方程为
x2 y2
1
25 9
观察做图过程：[1]绳长应当 大于F1、F2之间的距离。[2] 由于绳长固定，所以 M 到 两个定点的距离和也固定。
M
F1
F2
2020/3/27
2020/3/27
2020/3/27
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
2020/3/27
1
(ab0)
∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……①
y
又∵椭圆经过点P 3 ，5
∴
(52)2 a2
( 23)2 b2
1
2
2
……②
联立①②可求得：a2 10,b2 6
∴椭圆的标准方程为 y2 x2 1
2020/3/27
10 6
P
F2
x
F1
(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的
2020/3/27
2020/3/27
P={ M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a>2c）}．
2020/3/27
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点 两焦点之间的距离叫做焦距。
反思：椭圆上的点要满足怎样的几何条件？
（1）平面曲线；
（2）到两定点F1，F2的距离和等于定长；
=1a>b>0
a2 b2
b2 a2
y
y
P
不
图形
F2 P
同
F1 O F2
x
O
x
F1
点
焦点坐标
F 1-c,0， F 2c,0 F 10,-c， F 20,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹。
同 点
a、b、c 的关系
a2 =b2 +c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上。
1. 改变两图钉之间的距离，使其与 绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
2．绳长能小于两图钉之间的距离吗？
2020/3/27
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常数
（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点
两焦点之间的距离叫做焦距。
F1
M F2
如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为 常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还 可以用集合语言表示为：