真空中的静电场
真空中的静电场
r0
场强迭加原理： EP E1P E2P EnP
电势迭加原理： Ua U1a U2a Una
（3）电荷守恒定律
电荷在没有与外界交换的系统内，只能从一个物体转 移到另一个物体，从物体的一部分转移到另一部分，但电 荷总量不变。
二、两个概念
电场强度矢量
E
F
q0
电势
Ua
Wa q0
E1 4
r2
1
o
Q
4 R3
3
4 r3
3
E
S
dS
1
o
qi
当 r≤R 时： 当 r>R 时：
E1
Qr
4o R3
Q
E2 4or 2
Q r R
当 r≤R 时：
R
U1 r E1dr R E2dr
q
R Qr
Q
R
r 4oR3 dr R 4or 2 dr
Q
8 o R3
(R2
r2)
Q
4 o R
E ds E ds
S S1
E ds E ds
E ds E ds
S2
S3
E 2rh
S3
S3
S3
P
S2
由高斯定理有
E 2 0 r
E 2rh h
或
E
0
2 0 r
r0
第一章 真空中的静电场1
一、实验基础—三条基本规律
（1）库仑定律： （2）迭加原理：
F
1
4 0
q1q2 r2
3. 常用高斯面
同心球面 圆柱形闭合面 长方形闭合面
[例1-1]求均匀带正电球体内外的场强分布。设球体半 径为R，带电量为Q。
真空中静电场的高斯定理表达式
真空中静电场的高斯定理表达式
高斯定理（Gauss' Law）是一种在物理学中用来描述电磁场和电势场分布相互关系的理论性原理。
在真空中，根据高斯定理，电荷的静电场分布满足以下条件：
首先，静电场从电荷衰减到空间无穷远处，其分布具有反正切特性，即电势
V=q/4pi∊₀r，其中q为电荷，4πε₀为真空介电常数，r为电荷与场点的距离。
其次，对于有一个定向的电荷，电荷的静电势随距离的改变而改变：r正方向上的集流总量等于空间负区域上的电荷的正向集流量的总和；r负方向上的集流量总和等于正向电荷的负集流量总和。
也就是说，电势等效分布称为电荷的集流面，它具有封闭的面形，从电荷中出发，沿着斯特兰奇-平流线或几何线路循环，恢复到电荷本身。
最后，由于负集流等效于正集流，因此总集流量的总和为零。
由此可知，静电场的分布满足“积分等积准则”，即在电磁场的体积内，曲面的电势等效分布与电荷分布相等。
几十年来，高斯定理以其准确方便的计算过程和深刻精辟的理论正确性，为研究电磁场特性提供了有效的分析工具，在数学物理、电化学以及信息科学等领域都得到了广泛阐释与应用。
因而，被公认为是影响世界各个领域物理学研究的伟大原理之一，被教育作为研究领域的重要组成部分，在学校的物理课程中，受到广大学生的认可与喜爱，有助于学生培养独立思考的能力，增强学习的信心与热情。
真空中的静电场
第一章真空中的静电场§1. 库仑定律§2. 电场与电场强度§3. 高斯定理§4. 静电场的环路定理与电势§1. 库仑定律一. 物理定律建立的一般过程z观察现象、提出问题；z猜测答案；z设计实验、测量；z归纳寻找关系、发现规律；z形成定理、定律（常常需要引进新的物理量或模型，找出新的内容，正确表述）；z考察成立条件、适用范围、精度、理论地位及现代含义等。
. 库仑定律的建立二观察现象、提出问题Array z Franklin 首先发现金属小杯内的软木小球完全不受杯上电荷的影响——观察现象z在Franklin的建议下，Priestley做了实验——提出问题¾Cavendish 实验1773年Cavendish 遵循Priestley 的思想设计了实验“验证电力平方反比律”，如果实验测定带电的空腔导体的内表面确实没有电荷，就可以确定电力定律是遵从平方反比律的，即他测出不大于0.02（未发表，100年以后Maxwell 整理他的大量手稿，才将此结果公诸于世。
越小，内表面电荷越少δδ±−∝2r f 设计实验vv1923年诺贝尔物理学奖授予美国加利福尼亚州帕萨迪那加州理工学院的密立根（RobertAndrews Millikan ，1868—1953），以表彰他对基本电荷和光电效应的工作。
补充：密立根油滴实验和电荷的量子性1909年密立根通过直接测量油滴的电荷，直接证实了电荷的量子性。
gV）空ρC 19−使油滴带不同电量，重复测量得油滴所带电量总ne q =z 静止：点电荷相对静止，且相对于观察者也静止作为运动源，有一个推迟效应z 真空：如果真空条件破坏会如何？由于力的独立作用原理，两个点电荷之间的力仍遵循库仑定律，因此可以推广到介质、导体z点电荷：忽略了带电体形状、大小以及电荷分布情况的电荷。
（理想模型：质点，刚体，平衡态）四. 库仑定律成立条件、适用范围和精度1. 条件: 静止、真空、点电荷2. 适用范围和精度原子核尺度——地球物理尺度天体物理、空间物理大概无问题cmcm 91310~10−210−<δ1610−<δz 精度：Coulomb 时代1971年Williams z 适用范围：3. 理论地位和现代含义z 理论地位：库仑定律是静电学的基础，说明了带电体的相互作用问题原子结构，分子结构，固体、液体的结构化学作用的微观本质都与电磁力有关，其中主要部分是库仑力z 现代含义：02≠∝±−δδ若r f 静电场的基本定理———高斯定理将不成立———动摇了电磁理论的基础r r dq ˆ4120r πε要化成标量积分rl <<例题1：计算电偶极子臂的延长线上和中垂线上的场强分布,设两点电荷+q 和-q ，相距，的方向由-q 指向+q ，当考察点至两电荷的距离r >>l 时，两点电荷可视为一电荷对，称为电偶极子(electric dipole ).l r定义电偶极矩：（简称电矩）l q p r r=l2)(41l r qE +=−πε(3) 电偶极子电场线例题2: 求均匀带电棒中垂面上的场强分布，设棒长为2l，带电总量为q.微元法步骤：z取微元z对称性分析z积分z讨论1 2dz rλπε34λrdz3例题6：1) 求均匀带电球面外任一点的场强;(R, σ)2) 求均匀带电球体外任一点的场强. (R, ρ)结论：一个均匀带电球面（或球体）外任一点的场强，等于带电球面（或球体）上的电荷集中于球心的点电荷在该点产生的电场强度。
真空中静电场(高斯定理)
QR
电场方向、大小
Q P
o
r
E
S
dS
• 选取合适的高斯面(闭合面)
E dS EdS E dS E4 r 2
S
S
S
• 再根据高斯定理解方程
qi内
E4r 2 i 0
E 1
4 0
qi
i
r2
E 1
4 0
qi
ir2ຫໍສະໝຸດ ds E
ds
E ds
S
侧面
两底面
E2rl 0
利用高斯定理解出 E
ds r
l
Eds
E 2rl l 0
E 1 2 0 r
例三. 无限大均匀带电平面的电场分布
分析:无限大带电面两侧电场分布对称
作高斯面如图示:
e
E dS
例四. 金属导体静电平衡时,体内场强处处为0 求证: 体内处处不带电
证明：
在导体内任取体积元 dV
由高斯定理
E dS 0
qi内 内dV 0
S
i
V
体积元任取
内 0
证毕
作业
习题P321-322
7-15,7-17,7-18,7-21
讨论
Q P
Ro r
E
S
dS
r R qi 0
i
r R qi Q
i
rR E0
rR
E
1
4 0
Q r2
如何理解面内场强为0 ?
dE1 dE2
P
真空中静电场的微分方程
真空中静电场的微分方程1. 引言静电场是物理学中重要的研究对象之一，它描述了在真空中由电荷分布引起的电场。
在真空中，静电场的行为可以通过微分方程来描述和解决。
本文将详细介绍真空中静电场的微分方程及其相关概念。
2. 真空中静电场的基本概念在介绍微分方程之前，我们首先需要了解一些与真空中静电场相关的基本概念。
2.1 电荷电荷是物质所具有的一种性质，可以是正电荷或负电荷。
同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引。
2.2 电场当一个点带有一个或多个电荷时，它会产生一个以该点为中心的电场。
该点周围任意一点上的力就是由这个点上所有其他点上的电荷产生的。
2.3 静电场当所有与该点有关系的物体都是静止时，称为静态情况下产生的静态或稳定状态。
3. 真空中静电场微分方程推导现在我们开始推导真空中静电场的微分方程。
3.1 高斯定律根据高斯定律，电场通过一个封闭曲面的通量等于该曲面内所包围的电荷总量与真空介电常数之比。
∮E⋅dA=Q ε0其中，E是电场强度矢量，dA是曲面上的微元面积矢量，Q是曲面内的总电荷量，ε0是真空介电常数。
3.2 静电场微分方程对于一个体积元dV内的电荷密度ρ(r)，可以将该体积元看作一个点电荷。
通过应用高斯定律和取极限的方法，我们可以得到真空中静电场的微分方程：∇⋅E=ρε0其中，∇⋅E表示电场强度矢量E的散度。
3.3 边界条件在求解静电场微分方程时，还需要考虑边界条件。
边界条件是指在不同介质或不同电荷分布之间的界面上，电场强度和电势之间的关系。
常见的边界条件包括：•第一类边界条件：电场强度在边界上是连续的。
•第二类边界条件：电场强度垂直于边界方向上是连续的。
4. 真空中静电场微分方程的应用真空中静电场微分方程在物理学和工程学中有广泛的应用。
以下是一些例子：4.1 静电屏蔽静电屏蔽是指通过设计合适的结构来减小或消除外部静电场对内部设备或系统的干扰。
利用真空中静电场微分方程可以计算出屏蔽结构中所需的电势分布，从而实现有效屏蔽。
第10章 真空中的静电场
尚未找到自由状态的夸克。但无论今后实验上是否能发现自由夸克，均不改变电荷的量 子性这一基本性质。
10.1.2 电荷守恒定律
大量实验证明，在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论其内部发生怎样的物理过 程，系统内正负电荷量的代数和保持不变，即孤立系统内的电荷是守恒的。电荷守恒定律 说明，电荷既不能被创造，也不能被消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从 物体的一个部分转移到另一个部分。
3
Fi F1i F2i
Fni
n
F ji
j 1
n j 1
qiq j 4π 0 rj2i
r joi
ji
ji
式中 F ji 是第 j 个点电荷 q j 对 qi 的静电力， Fi 是点电荷 qi 受到的总静电力。
（10.4）
§10.2 电场 电场强度
10.2.1 电场
实验指出，电荷与电荷之间存在相互作用力。那么这种作用力是通过什么途径传递 的呢？历史上关于这个问题曾长期有两种不同的观点。一种观点认为：电荷与电荷之间 的相互作用不需要任何中间物质来传递，也不需要时间，这称为“超距作用”观点。另一 种观点认为：电荷与电荷之间的相互作用是通过一种特殊的物质----电场（electric field） 来传递的。根据这种观点，任何电荷的周围都存在着电场，当一个电荷处于另一个电荷 产生的电场中时，它就会受到另一个电荷通过电场对它的作用力。因此这种观点可形象 地表示为
(dipole moment)。 电偶极子是一个重要的物理模型。电介质中的原子或分子都有正、负电荷中心，如
§10.1 库仑定律
10.1.1 电荷的量子性
人类认识电现象，是从摩擦起电开始的，比如，毛皮摩擦过的橡胶棒（或梳子）、 丝绸摩擦过的玻璃棒，可以吸引纸屑、羽毛等轻小物体，这是因为橡胶棒、玻璃棒带上 了电荷。这一现象至今仍在催生一些新奇的应用，如在静电复印机和激光打印机中，带 上静电荷的纸张可以吸附细微的墨粉。带有较强静电的陶瓷片还能用作静电吸盘，吸住 大面积的晶圆（硅片）。
真空中的静电场
r x R
dq( xi R) dE 4 0 ( x 2 R2 )3 / 2
R R(cos j sin k )
x E i 2 2 3/ 2 4 0 ( x R )
•若
Q
y
o
x R
Q E 2 4 0 x Q 2 4 0r
x
x
z
qi
fi q
f E q
i 1
n
fi
E Ei
E
i 1
q
i 1
n
ir
q
i n
或：
4 0ri
qi
3
ri
—场强叠加原理！
3. 任意带电体的场强
若为电荷连续分布的带电体，如图示
可以把带电体切割成无穷多个电荷 元，每个电荷元可看
在一个和外界没有电荷交换的系统内，正负电荷的代 数和在任何物理过程中保持不变。 讨论
q const.
i i
•电荷守恒定律是物理学 中普遍的基本定律 •电荷可以成对产生或湮 灭，保持代数和不变
-e +e
-e
+e
•电中性-物体带等量的正 负电荷 •物质的原子构成与带电 —原子的电中性、离子等
1. 点电荷的场强
根据库仑定律和场强的定义
q
Q r
er
Qq f e 2 r 4 0r
球对称
f E q E
Q 4 0r
e 2 r
E( x, y, z) E(r )
E(r)
const. r c
2. 点电荷系的场强 如果带电体由 n 个点电荷组 成，如图 由电力叠加原理：
真空中的静电场
13真空中的静电场真空中静电场的基本概念(1) 静电场的基本定律库仑定律：两点电荷在真空中的相互作用力电荷守恒定律：在一个与外界无电荷交换的系统内，任何过程中正负电荷的代数和永不改变.叠加原理：点电荷系在空间某点处产生的场强（或电势）等于各个点电荷单独存在时在该点产生的场强（或电势）之和.(2) 重要定理高斯定理：通过任一封闭面的电通量等于该封面所包围的电荷电量代数和的倍.1／ε，说明静电电场是有源场.环路定理：在静电场中，电场强度沿任一闭合路径的积分恒为0.，说明静电场是保守场，静电力是保守力.(3) 电场强度在电场中任一给定点处，检验电荷q0所受的电场力F与其电量q0的比值为给定的电场强度电场强度E是一矢量，其大小为，方向为电场中给定点处正检验电荷所受力的方向.(4) 电势①电势能静电场是保守场，引入电势能的概念.电荷q0在静电场a点的电势能.若带电体系分布在有限空间内，常取无限远处电势能为零，则上式表明，在静电场中，电荷q0在a点的电势能等于将电荷q0从a点移动到无穷远处电场力所作的功.②电势静电场中a点的电势静电场中a点的电势等于单位电量在该点所具有的电势能，即将单位电量从该点a移动到无穷远处电场力所作的功.电势的单位为伏（V）.③电势差静电场中a，b 两点的电势差.静电场中a，b两点的电势差等于单位电量从a点移动到b点是电场力所作的功.解题指导（1）场强E、电势U 的计算场强和电势的计算可归纳为两大类题型：第一类，场具有球、柱、面对称性.先用高斯定理再用电势公式第二类，一般的场.原则：点电荷的场、叠加原理.点电荷的场场强电势点电荷系的场场强电势连续带电体的场场强将带电体分成无穷多个点电荷，取一点电荷，其场强为将d E分解到x方向和y方向再对场强在x方向的分量及y方向的分量积分电势取一点电荷，其电势为对所有点电荷产生的电势求和即求积分求解连续带电体的场强需用矢量积分（上面已介绍了基本方法），一般计算较为复杂.此问题也可简化：先计算带电体在空间的电势（电势计算积分为标量积分，比场强矢量积分简单），然后用求场强.(2) 运用F= q0E计算电场力时，应注意E是除q0以外的电荷产生的电场强度.(3) 对高斯定理中的每一个量，要有正确的理解.Φe只跟封闭面包围的电量有关，而E则是封闭面（也称高斯面）内、外所有电荷产生的总场强，跟高斯面内、外电荷有关.Φe>0，说明高斯面内净电荷（正、负电荷相加）大于零（也即正电荷比负电荷多），不能说高斯面内只有正电荷.（4）电场与电势的关系积分关系.微分关系.电场强度E大的地方，电势的高低要看积分的值大还是小，即单位电量从a→电势零点电场力作功大还是小来决定.从微分关系看，E l大，说明电势在l方向的方向导数大，即电势U随l的变化率大，即单位长度电势的变化大，反过来看电势高的地方也不能笼统地讲电场也强典型例题13-1 对于高斯定理举例说明下列说法是否正确：(1) 若高斯面内无电荷，则通过高斯面的电通量必为零；(2) 若高斯面内电荷的代数和不为零，则高斯面上的场强一定处处不为零；(3) 若高斯面上的场强处处为零，则高斯面内一定处处无电荷；(4) 若高斯面上的场强处处不为零，则高斯面内必有电荷.答(1) 正确.根据高斯定理因电荷都分布在高斯面外，任一电力线穿入高斯面后必要穿出高斯面，所以总电通量必为零.(2) 不正确.高斯面上的场强有些地方可以为零.例：有两正点电荷（+q，+q），高斯面通过两点电荷的中点O (如图13.3-1(a) )，O点处的场强 = 0.不正确.高斯面上的场强处处为零，说明表明高斯面内净电荷 = 0，可能存在正、负电荷相加为0的情况.例：两同心球壳分别带有等量异号电荷+Q、—Q（如图13.3-1(b)所示），两球壳外的电场处处为0，高斯球面在两球壳外，高斯面内有电荷+Q、—Q.(4) 不正确.例：高斯面外有一点电荷q，这时高斯面上场强处处不为零，而高斯面内无电荷.读者还可列举出一些例子来说明以上问题，这样有助于对以上问题更深入的理解.13-2 举例说明下列说法是否正确.(1) 场强大的地方，电势一定高；电势高的地方，场强一定大；(2) 带正电的物体电势一定是正的，电势等于零的物体一定不带电；(3) 场强大小相等的地方电势一定相等，等势面上场强的大小一定相等.答(1) 不正确.例如图13.3-2(a)中带等量异号电荷的平行板电容器，两平行板间的场强大小处处相等，但靠近正极的电势高，靠近负极的电势低.(2)不正确.例如两带电的同心球壳，如图13.3-2(b)所示.内球的电势只要足够大，可能为负值.后一问也不对，电势为零的物体可能带电，如图12.3-2(a)中负板接地电势为零，但带负电.(３)不正确.如图12.3-2(a)中平行板间场强大小处处相等，但电势可能不相同.后一问也不对，如图12.3-2(c)所示，两正、负点电荷，电量大小相等，它们的中垂面为等势面，但其上各点的场强大小不一定相等.13-3 半径为R的半圆形带电细棒，均匀分布有总电荷q ，求圆心O处的场强和电势.解题思路本题的电势分布不具有球、柱、面对称性，属求解一般场强和电势的问题.解这种类型题的原则是：点电荷的场和叠加原理.这里是一个连续带电的半圆环，用叠加原理时数学上用积分方法.这里我们将对求连续带电体的场强、电势的方法作一介绍.①将连续带电体分成无穷多小段，每一小段看成一点电荷；②任意取一小段dl（图12.3-3中所示），这一小段的电量为dq，dq在O点产生的电场强度d E的方向在图中标出，大小将d E分解到x，y方向；③对无穷多小段的点电荷在O点产生的场求和即求积分，很多情况根据带电体对称性（对x 轴，y轴对称情况），可直接看出一分量的场强为零.解如图13.3-3 所示取x，y坐标.将半圆环分成无穷多小段，取一小段d l，带电量，d q在O点的场强方向如图所示.从对称性分析(跟x轴对称的一小段)在y方向的场强相互抵消，只存在x方向的场强dq在圆心O的电势总电势注意：在解连续带电体电场问题中容易犯的错误是，写出任一点电荷在O点的场强d E后，不经分解就直接积分这里的积分是一个矢量积分，矢量积分的方法如下：即要分别求x，y，z轴的分量13-4 有一总电量为q，半径为R的均匀带电球面，求场强和电势的分布.解题思路这是一个电荷分布(或场)具有球对称性的问题，先用高斯定理求E的分布，再用求电势.具体计算时要看场强分布可分成几个区域，如本题可分成r < R及 r > R两个区域，对不同区域分别求解.解r> R，取半径为r的同心球面作高斯面（如图13.3-4(b)所示），根据高斯定理，r ≤R，〔取半径为r的同心球面作高斯面，根据高斯定理〕，以上〔〕中内容跟r > R时相同，也可省去，写“同理”即可.电势计算：r > R２，球外，离球心为r 的a 点的电势r≤R，球壳内，任取一点b，说明：(1) 上面介绍了对球对称情况求电场和电势的基本方法.对球对称问题可作如下变化：①两同心的均匀带电球壳（如图13.3-4′(a)所示），这时场分三个区域.r > R，可得2R< r < R2，1r ≤R，1对以上结果，读者可自己进行计算，并加以验证.②均匀带电球体(如图13.3-4′(b) )所示：r≤R，同理，r > R，电势：r > R，r ≤R，（此结果请读者一定要自己验证）.③对不均匀的带电球体，，这时求高斯面所包围的电量要用积分方法.(2)电势的计算：r≤R，，这时积分路线是从b积到∞，在积分路线中E有几种不同的表式，积分就要分几个积分相加，这点特别要提醒读者注意.在本题中，r ≤R，E=0，有些人就误认为.这时从b到∞电场分积分要分两段进行13-5 一个内、外半径分别为a 和b的无限长圆柱体壳层，壳内电荷体密度为式中A为常数，r为壳内任一点到轴线的距离.轴线处有一电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线.求A为何值时才能使壳内的场强大小恒定.解题思路本题电荷分布（或场）具有柱对称性，用高斯定理求解.解在壳内作半径r，高l的同轴柱封闭面作高斯面，根据高斯定理，，现在作的柱封闭面(高斯面)由1，2，3三个面组成，积分应分成三个面积分.包括两部分电荷：轴上的电荷lλ及包围的壳内电荷所以上式变为电场方向垂直轴线，一、二两个积分E·d S = 0.要求E 跟r无关，，.说明：⑴对柱对称分布的电荷（无限长均匀带电直线，无限长均匀带电柱面，柱体，无限长同轴均匀带电柱面……）取高斯面为同轴柱封闭面，积分要分3个面积分进行，其中跟轴垂直的两个面1，2的积分为零，只存在对侧面的积分.⑵电荷分布不均匀时，一般要用积分计算.⑶对柱对称问题一般求得场强的形式为：求场中某点的电势时，若取无穷远处电势为零，则会得出任一点的电势，这是不符合实际的.所以现在不能取无穷远处的电势为零.我们知道，电势零点的选取可随问题而定，这时我们选一点离轴线距离为的电势为零，a点的电势.13-6 两个无限长均匀带电共轴薄圆筒，内、外半径分别为.已知外筒和内筒间电势差，求一个电子在离轴线垂直距离r=2 cm处受的电场力.解题思路电子在电场中所受的电场力F=qE，求出E即可得F.对柱对称的电场用高斯定理可得，现已知电势差，可倒过来求得E，再代入F=qE求得电场力.解根据高斯定理，两无限长带电薄圆筒间的场强，两筒间的电势差，所以，.13-7 一无限大厚度为2d的均匀带电平板，单位体积中带电粒子数为n，每个粒子带电量q，求平板内外场强E及电势U的分布（设处电势为零.）解题思路对无限大均匀带电平板，电荷分布及电场有面对称性，取轴垂直于平板且底面平行于平板的柱封闭面为高斯面，利用高斯定理可求E的分布，再根据，求出电势.解电力线垂直于中心面指向外.，作长2l垂直中心面，底面积为S的柱面（图13.3-7中I高斯面）作高斯面根据高斯定理，高斯面有两个底面1，2和一个侧面3，，所以，，作高斯面Ⅱ，同理可得，电势：，，，，，.说明：⑴对面对称分布的电荷用高斯定理求解时，所取的高斯面应是中心面垂直且对称的封闭曲面.⑵对面对称的电场求电势时，也不能取无穷远处的电势为电势零点（若取无穷远处为电势零点，则场中各点的电势都为，失去实际意义），应先取定某点电势为零，再进行计算.13-8如图13.3-8所示，在A点处有点电荷，在B点处有电荷，O点为AB的中点，AB长为，P点与A点相距.求：⑴把电量的点电荷从无限远处移到P点，电场力作功多少？电势能增加多少？⑵将从P点移到O点，电场力作功多少？电势能增加多少？解题思路计算电场力的功及电势能的增量可用公式，将计算后代入即可，一般不要用功的定义计算，这样做会带来一些计算上的麻烦，而且花时间，也容易算错.解：⑴⑵. 13-9 均匀带电细圆环，半径为R，带电量为 q，求圆环轴线上离环心为x 处的任一点P的电势，利用电势梯度求该点的场强.解题思路本题电荷分布无球、柱、面对称性，为一般的场，而且为连续带电体，空间电场强度的计算比较复杂（需用对变量求积分及矢量积分的方法）.可先求P点的电势，再用场强电势的微分关系求场强进行简化.解将带电圆环分成无穷多小段，取其中的任意的一小段，所带的电量为，在P点的电势整个圆环在P点产生的电势题解1. 一无限长带电直线，电荷线密度分别为和，求点处的场强E.解在正x轴上取一小段，离O点距离x，在P点的场强（方向如图中）在负x轴上跟O对称取一小段，在P点的场强（方向如图）从对称性分析，在y方向成对抵消，只存在x方向的分量2. 一半径为a的带电半圆弧，上半部均匀分布着电荷+q，下半部均匀分布着电荷—q（如图13.4-2所示）试求圆心O处的电场强度.解 +q上半部产生的场强：将上半部分成无穷多小段，取其中任一小段（所带电量），在O点的场强方向如图所示.—q下半部分产生的场强：以x轴为对称轴取跟d l对称的一小段（带电量）在O点的场强方向如图所示.从图中看出，根据对称性，在x方向的合场强相互抵消为0，只存在y方向的场强分量总场强3.一半径为a的半球壳，均匀地带有负电荷，电荷面密度为.求：球心O 处的电场强度和电势.解将半球面分成无限多个圆环，取一圆环如图13.4-3所示，半径为r，到球心距离为x，所带电量绝对值在O点产生的场强（利用圆环在轴线上场公式）带电半球壳在O点的总场强其中，电势计算：将半球壳分成无穷多小面元d s，所带电量，在O点的电势带电半球壳在O点的总电势.4、用细的塑料棒弯成半径为0.5 m的圆弧，两端空隙为2 cm，所带电量，且均匀分布在棒上.求圆心处的电场强度.解带电圆弧长所带电量q在带隙中补上长2cm，带电量的小条，则圆心O的场强式中分别为q和在O点产生的场强，所以可看成点电荷圆弧形带电塑料棒在O点的场强大小为，方向朝右.5、一无限长均匀带电的圆柱面，半径为R，沿轴线方向单位长电量为，求轴线上场强的大小.解：图13.4-5为圆柱面横截面图，对应的无限长直线单位长带的电量为它在轴线O产生的场强大小为因对称性，成对抵消.6、把某一电荷Q分成两个部分，使它们相隔一定距离.如果要使这两部分有最大的库仑斥力，求这两部分电荷应怎样分配？解设一部分的电量为q，另一部分的电量为(Q－q)，则相互斥力为F最大，，7、电荷线密度为的无限长均匀带电直线与另一长度为l、电荷线密度为的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们之间的相互作用力.解将AB分成无穷多小段，取一小段，所带电量.受无限长带电直线的作用力，方向朝右，各小段受无限长带电直线的作用力方向都朝右，所以AB受的总作用力8.两个均匀带电的同心球面，若维持外球面半径m以及内外两球面间的电势差U=100V不变，则内球面半径为多大时，才能使内球表面附近场强最小?其值为多大?解设内球带电量q ，两球面间的场强，两球的电势差，可得.代入E中，内球表面附近，最小，9.(1)地球表面附近的电场强度近似为，方向指向地球中心.试求地球带的总电量;(2)在离场面1400m处，电场强度降为，方向仍指向地球中心.试计算在1400m下大气层里的平均电荷密度.解 (1)沿地球表面作一封闭球面S ，设地球所带的总电量为Q，根据高斯定理，.由于地球表面附近电场强度数值相等，方向指向地球中心，于是上式左边，所以(2)在离地面h=1400m处包围地球作一封闭球面，设大气层里总电量为q，根据高斯定理，因大气层体积所以大气层中平均电荷密度.10.设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷分布可用下式表示:.式中r是到轴线的距离,是轴线上的电荷密度，a是常数. 计算场强分布.解电荷分布有柱对称性，利用高斯定理，在等离子体的圆柱内，作长，半径为r的同轴柱面为高斯面，根据高斯定理，，.由于电场的对称性，方向垂直于圆柱面侧面，通过圆面两底的电通量为零，上式有，.11.一均匀的带电球体，电荷体密度为，球内有一不带电的球形空腔，偏心距为a，求腔内任一点P的电场强度.解将相同电荷体密度的带电物质填满空腔，它在P点的场强为.此时整个实心均匀带电球在P点的场强设为E，很显然空心球在P点的场强，根据高斯定理，同理，所以12. 如图放置的细棒，长为L，电荷线密度( k为常数)，求: (1)P(0 ,y )处的电势;(2)用电势梯度求P点处的场强分量;(3)能否由(1)的结果用电势梯度求P点处的场强分量?为什么?解 (1)在细棒上x上处取电荷元，它在P点产生的电势，.(2) .(3)不能由(1)的结果用电势梯度求.因为U=U (0，y)中x =0为确定值，电势梯度必为0.应该先求出任一场点处的电势U (x，y)，再由才可求得x=0处的场强分量.13.设电势沿x轴的变化曲线如图所示.试对于每个所示的区间(忽略区间端点的情况)，确定电场强度的x分量，并作对x的关系图线.解在a~b区间，;在b~c区间，;在c~e区间，;在e~f区间，;在f~g区间，;在g~h区间，对x的关系线见图13.4(b)所示.。
大学物理12真空中的静电场
03
电势与电势差
电势的概念
总结词
电势是描述电场中某点电荷所具有的势能，其值与零电势点的选 择有关。
详细描述
电势是描述电场中某点电荷所具有的势能，通常用符号"φ"表示。它 是一个标量，其值与零电势点的选择有关。在静电场中，零电势点 是任意选择的，通常选择大地或无穷远处作为零电势点。
电势的计算方法
计算电场能量
利用高斯定理可以计算电场的能量密度和总能量。
静电场的散度与源电荷的关系
02
01
03
静电场的散度等于该点源电荷的密度。
数学表达式：divE = ρ/ε0
其中，divE是电场强度的散度，ρ是电荷的密度，ε0是 真空中的电容率。
05
静电场的环路定理与电场线的引入
静电场的环路定理
总结词
静电场的环路定理描述了电场与磁场之 间的关系，是电磁学中的基本定理之一 。
大学物理12真空中的静电场
目
CONTENCT
录
• 引言 • 电场与电场强度 • 电势与电势差 • 高斯定理与静电场的散度 • 静电场的环路定理与电场线的引入 • 静电场的边界条件与导体表面的电
场线分布 • 静电场的能量与力
01
引言
主题简介
静电场是静止电荷产生的电场，是电 磁学的重要概念之一。
在真空环境中，静电场不受其他电磁 场的影响，因此具有独特的性质和规 律。
指导电路设计
在电路设计中，通过合理 布置导线和元件的位置， 利用电场线的分布来优化 电路性能。
07
静电场的能量与力
静电场的能量分布
静电场的能量分布由电场强度和电势的乘积积分得 到，表示电场中各点的能量密度。
在真空中的静电场，能量分布与电荷分布有关，电 荷密度越大，能量密度越高。
真空中静电场的微分方程
真空中静电场的微分方程一、引言静电场是物理学中非常重要的概念之一，它是指由电荷所产生的电场。
在真空中，静电场的微分方程可以用麦克斯韦方程组来描述。
本文将详细介绍真空中静电场的微分方程。
二、麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括四个方程式：高斯定律、法拉第定律、安培定律和位移定理。
其中高斯定律和安培定律分别描述了静电场和恒定磁场，而法拉第定律和位移定理则描述了变化磁场和变化电场。
三、高斯定律高斯定律描述了静电荷在空间内所产生的电场。
它可以写成如下形式：∇·E = ρ/ε0其中E为电场强度，ρ为空间内的自由电荷密度，ε0为真空介质中的介电常数。
四、安培定律安培定律描述了恒定磁场对于导体内部运动带来的影响。
它可以写成如下形式：∇×B = μ0J其中B为磁场强度，J为电流密度，μ0为真空中的磁导率。
五、静电场的微分方程在真空中，静电场不存在磁场和电流。
因此，安培定律可以简化为0=0，而高斯定律则可以写成：∇·E = ρ/ε0结合两个方程式可以得到：∇×E = 0这个式子表示在真空中，静电场的旋度为零。
由于旋度是一个向量运算符，它只有在有旋转的情况下才会不为零。
因此，在真空中静电场不存在旋转。
另外，根据向量分析中的基本定理可以得到：∇·(∇×E) = 0这个式子表示在真空中静电场的散度也必须为零。
因此，在真空中静电场不能有任何源或汇。
六、总结本文介绍了麦克斯韦方程组以及其中描述静电场的高斯定律和安培定律。
通过推导可以得到，在真空中静电场的微分方程是∇·E = ρ/ε0和∇×E = 0，并且这个微分方程组表明了在真空中静电场不存在旋转和源或汇。
这些结论对于理解静电场的本质和应用都有重要意义。
大学物理教案真空中的静电场
真空中的静电场一、教学目标1. 了解静电场的基本概念，掌握电场强度、电势和电势差等基本物理量。
2. 学习静电场的叠加原理，理解高斯定律及其应用。
3. 掌握静电场的能量和能量密度，了解静电场的几种常见分布。
4. 能够运用所学知识分析解决实际问题，提高学生的科学素养。
二、教学内容1. 静电场的基本概念电场强度电势电势差2. 静电场的叠加原理场强的叠加电势的叠加3. 高斯定律高斯定律的表述应用高斯定律求解电荷分布4. 静电场的能量和能量密度静电场的能量能量密度5. 静电场的几种常见分布均匀电场非均匀电场点电荷电场线性电场三、教学方法1. 采用讲授法，系统地介绍静电场的基本概念、叠加原理、高斯定律、能量和能量密度以及常见分布。
2. 利用多媒体动画和图片，直观地展示静电场的现象，增强学生的理解。
3. 结合实际例子，让学生学会分析解决实际问题。
4. 布置适量练习题，巩固所学知识。
四、教学环境1. 教室环境舒适，通风良好。
2. 教学设备：计算机、投影仪、黑板、粉笔。
3. 教材、教案、练习题等相关教学资源。
五、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 练习题：检查学生对静电场基本概念、叠加原理、高斯定律、能量和能量密度的掌握程度。
3. 课后反馈：收集学生对教学内容的意见和建议，不断改进教学方法。
4. 期中考试：评估学生在静电场部分的知识水平和应用能力。
六、教学内容6. 静电场中的电势能和势能曲线静电势能的概念势能曲线的绘制与分析静电力做功与势能变化的关系7. 静电场的能量与能量守恒静电场的能量表达式能量守恒在静电场中的应用静电场的能量与电场强度、电势的关系8. 电场线与等势面电场线的定义与性质等势面的概念与绘制电场线与等势面的关系及其在静电场中的应用9. 静电场的边界条件狄拉克原理边界条件的数学表达应用边界条件解静电场问题10. 静电场的数值计算方法有限差分法有限元法蒙特卡洛法数值计算方法在静电场中的应用实例七、教学方法1. 采用案例分析法，深入讲解静电场中的电势能和势能曲线，让学生理解静电力做功与势能变化的关系。
【精品】真空中静电场(高斯定理)
【精品】真空中静电场(高斯定理)
静电场是一种场，它由带电粒子所产生的电场所组成。
静电场不同于电流和动态电磁场，它是一个纯电场，不带有电磁波，也不会产生辐射。
在真空中，静电场遵循高斯定理，即：
静电场的通量等于场源的电荷量除以真空介电常数，即Φ=Q/ε0。
在空间中某一点产生的场的通量是指该点所在面的电通量，也就是场穿过这个面的总
电量。
如果这个点周围的电荷密度不均匀，那么由于叠加原理，这个点的总电场强度就等
于每个电荷在这个点产生的电场强度的矢量和。
高斯定理告诉我们，如果需要计算一个任意形状的静电场的通量，只需要将场源周围
的空间划分成非常小的面元，然后计算每个面元上的电通量之和。
这样，我们就可以计算
出场的通量，利用高斯定理进行计算。
高斯定理的公式可以解决许多实际问题，例如，它可以用来计算一个均匀带电球体的
电场强度。
我们可以将球体划分成一个由无数小的面元组成的网格，然后计算每个面元上
的电通量，并对所有的电通量进行求和。
由于球体对称，每个面元所产生的电场都是相同的，因此我们可以简化计算，并用高斯定理求出球体周围的电通量。
总的来说，高斯定理是解决静电场问题的一种非常重要的方法。
无论是在科研中，还
是在实际工程中，都有着广泛的应用。
真空中的静电场
2019/9/24
P.10/11
绪论
五.静电力叠加原理
设空间中有n个点电荷q1、q2 、q3 … qn
实验表明，qi受到的总静电力等于其
它各点电荷单独存在时作用于qi上静
电力的矢量和，即
Fi
n
j 1 ji
F ij
n
j1 ji
1
4 0
qi q j rij 2
rijo
1
40
ql
r3
1
4 0
pe r3
方向沿x负方向
即
EB
1
40
pe r3
与电矩的方向相反
2019/9/24
P.27/11
绪论
【例5-2】求电偶极子在均匀电场中受到的力偶矩。
解 FqE FqE
q
F
相对于O点的力矩：
MF1 2lsinF1 2lsinF
q O q
P.25/11
绪论
在 y 方向上，E和 E的分量相互抵消
E BE cosE c os2Ecos
cos l/2
r2 (l/2)2
EB410
ql r2(l/2)2
3/2
2019/9/24
P.26/11
绪论
当 r>>l 时
EB
-----静电力叠加原理
2019/9/24
P.11/11
绪论
§5-2 电场 电场强度
一.电场
历史上的两种观点:
超距的观点:电荷 电场的观点: 电荷
电荷 场 电荷
近代物理的观点认为：凡是有电荷存 在的地方，其周围空间便存在电场
真空中的静电场
任意曲面
dS
r n
θ
E
dS ⊥ θ
dS
d Φe = EdS ⊥ = EdS cos θ r r = E ⋅ dS
r r d Φ e = E ⋅ dS
v v E与dS同向，dΦe >0 ； v v E与dS反向，dΦe >0 。
S
闭合曲面上的电通量
Zhang Shihui
闭合曲面的电通量
Φe = ∫
B
l/2
习题课 例1
用矢量形式表示为
v P
Zhang Shihui
v v 1 P E=− 2 2 3/2 4πε 0 (d + l / 4)
−q
v l
+q
+
若 d >>l
vC E+
E
D v
v E−
v v 1 P E=− 4πε 0 d 3
α P
d
O
A −q
α
l/2
+ +q
B
l/2
习题课 例2上
Zhang Shihui
带电体场强的计算1
Zhang Shihui
线状带电体 线状带电体
面状带电体 面状带电体
体状带电体 体状带电体
v dq λ dl v E=∫ e 2 r 4πε 0 r
取一小段
v σdq dS v E=∫ e 2 r 4πε 0 r
取一小片
v ρdq dV v E=∫ e 2 r 4πε 0 r
取一小块
v v S v
v v S 与v的夹角为θ
dS
v E
θ
dS ⊥
θ
r n
v E
真空中的静电场
这是一条在一切已发现的宏观过程和微观过程中 都普遍遵守的规律。
库仑定律(coulomb law)
表述：实验表明，真空中两个静止点电荷间作用力的大小与 两电量的乘积成正比，与两电荷之间距离的平方成反比； 作用力的方向沿着两电荷的连线，同号相斥，异号相吸。
q1q2 r12 F12 F21 k 2 r r 12 12
E q 4 0 x 2
O x P E x
5、均匀带电无限大平面两侧的场强
E 2 0
电场线(electric field line )
• 形象地描述场强在空间的分布情形，使电场有 一个比较直观的图像。
1.画法：在电场中画出许多电场线： (1)为描述电场中场强的方向分布，使电场线上每一点的 切线方向表示该点场强的方向； (2)为描述电场中场强的大小分布，引入电场线数密度的 概念(通过垂直于E的单位面积的电场线的条数) ΔN/ΔS⊥，并使电场中任一点的电场线的数密度正比于 该点 E 的大小，这样，电场线的疏密分布就反映了电 场中场强大小的分布情况，电场线密处场强大，电场线 稀处场强小。
电场强度 (electric field intensity)
由
F E q0
q0 + F q0 E
_
F q0 E
E
q0
电场强度的计算
（1）点电荷的场强
欲求点电荷q(源电荷)在p点(场点)产生的电场，在p点
放一试探电荷q0，则由库仑定律和电场强度定义， 其受力为
1 qq0 r F 2 4 0 r r
的。电荷之间的相互作用，是通过其中一个电荷所激发的 电场对另一个电荷的作用来传递的。这种传递虽然很快 （约为3×108m/s），单仍需要时间。
真空中静电场的场强公式
真空中静电场的场强公式
真空中静电场的场强公式是指计算单位放电(也叫电荷)在真空中
所产生的电场强度——静电场强度，它是一个由向量表示的量，因而
其定义也是一个向量，即：E=ρ*Q/ε0 。
这里ρ表示电荷密度，即每单位体积内所包含的电荷数，Q表示
电荷量，ε0表示真空介电常数，该系数决定了空气电容器的最大容量。
根据这个公式可以知道，电场强度的大小取决于电荷的多少和介电常
数的大小，即电场强度和电荷密度成正比，且电场强度和介电常数成
反比。
真空中静电场的场强公式可以用来计算不同物体三维空间内的电
场线和电场强度差，也可以用来计算真空中不同电位下的电势能量差。
此外，真空中静电场的场强公式还可以用来估算各种电磁设备的参数，例如电感、电容、变压器等。
总而言之，真空中静电场的场强公式在电磁学研究中起着重要的
作用，它可以帮助理解空气中的电场现象，并将其准确的理论表示出来。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E kb 2 4 0
（2）平板内任一点P处的电场强度E'
P
x
b
P2
x
(EE)Sk0S0xxdxk2S02x
E
k (x2 20
b2
2
)
（3）场强为零的点在何处？ x2 b2 0 x b ,(0xb)
2
2
h
21
7．一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5×10-4 m的圆柱形阴极 A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5×10-3 m的同轴圆筒形阳极B，如图 所示．阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出
利用高斯定理求解电场强度只适用于 几种非常特殊的对称性电场。本题的 电场分布虽然不具有这样的对称性， 但可以利用具有对称性的无限大带电 平面和带电圆盘的电场叠加，求出电 场的分布。
若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带 电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面
密度' = ）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板
大学物理
教师：郑采星
课程指导课一
第12章 真空中的静电场
§1 电荷 库仑定律 §2 电场与电场强度 §3 高斯定理 §4 电势 §5 等势面与电势梯度
h
1
网络资源与交流空间
湖南大学课程中心 /G2S/ShowSystem/Index.aspx
h
2
特 别 推 荐！
13
1. 半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为= 0cos，式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
解：在任意角 处取微小电量dq =dl，它在O点
y
产生的场强为：
dq
dE4 d q 0R 24 d 0R l204 c so 0R d
d Ex
R
d
它沿x、y轴上的二个分量为：
1. 库仑定律, 静电力的叠加原理
r
F
q2
F12
k
q1q2 r122
rˆ12
F
k
i
q0qi ri3
ri
k
i
q0qi ri2
rˆi
k 1 4 0
08 .8 5 1 1 0 C 22/(m N 2)
q1 q1
r1
F2
q2
r2
q0
F1
F
h
10
2. 任意带电体（连续带电体)电场中的场强的计算：
h
3
从金属带电的静电实验演示电场的存在，讲解导体的静电平衡与静电屏 蔽现象，引出静电现象中尖端放电与金属尖端附近强电场的应用[场离 子显微镜(FIM)]；用尖端放电与避雷针的模拟实验，介绍雷电的成因和 防雷击的常知；最后介绍涉及电的基本常识如高压带电作业、触电及其 急救等。
h
4
介绍电介质的概念，用模拟实验演示在一定条件下，绝缘体会变成导体； 讲解电介质极化和对电场的影响，介绍电介质在电容等方面的应用（如增 加电容、监控等）。从磁介质的磁化讲解磁介质的性能，特别是铁磁质， 延伸到应用（如电磁炉）。用模拟实验演示在一定条件下，铁磁质也会变 成顺磁质。通过对电路通断电实验，观察自感和互感现象。
O
x
dEx=－dEcos , dEy=－dEsin
dE d E y
对各分量分别求和
Ex400R02cos2d
0 4 0 R
Ey4 00R02sind(s)i n0
故O点的场强为： EExi400Ri
h
14
2. 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r变化 的关系，该曲线所描述的是(E为电场强度的大小，U为电势)
(1)将带电体分成很多元电荷 dq,先求出它产生的场强的大小 dE 和方向 (2)将dE按坐标轴方向分解，求得dEx, dEy, dEz (3) 对带电体积分，可得总场强：
Ex dEx Ey dEy Ez dEz
E Ex2Ey2Ez2
注意：直接对dE 积分是常见的错误 一般 E dE
dqdV
S
E
d
S
1 0
V
dV
点电荷系 连续分布带电体
只有当电荷和电场分布具有某种对称性时, 才可用高斯(Gauss)定理求场 强。基本步骤如下：
(1) 由电荷分布对称性分析电场的对称性
(2) 据电场分布的对称性选择合适的闭合曲面 (3) 应用高斯(Gauss)定理计算场强
关键: 选取合适的闭合曲面（Gauss 面）
h
5
本讲从奇妙的北极光现象引入地磁场对带电粒子的作用威力，讲述了磁场的 成因，磁场对电流或带电运动粒子的磁场力或磁力矩作用规律，介绍直流单 相和多级电动机的动力原理和流行的电动自行车应用，交流单相和三相电动 机的动力特点，引入交流电动机变频技术及其在生活中的应用，最后介绍磁 场的其他应用，包括质谱仪、磁流体动力、回旋加速器和电磁起重等。
h
6
h
7
h
8
h
9
第12章 真空中的静电场
基本要求
掌握电场强度、电场强度迭加原理，电场强度的计算；掌握电力线、电
通量、真空中的高斯定理及其应用；掌握电场力的功。理解电场强度的
环流。掌握电势差、电势、电势迭加原理及电势（能）与电势（能）差
的计算。理解等势面。了解电场强度与电势梯度的关系。
教学基本内容、基本公式
A
20 R1
得到
20
lUnBR2 /URA1
所以
E(r)
lnUBR2 U / RA1
1 r
h
FeE R1ecU R B2/U R1AR 11
4.371014N
方向沿半径指向阳极．
22
当 r R 时,
U P P E d l r E d r h r R 0 d r R 4 q 0 r 2 d r 4 q 0 R .
15
3. 面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，若不考 虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为
(A ) q 2 0S
(B ) q 2 2 0S
1 1r2
x2
nˆ20nˆ
上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布 的影响可以忽略不计。
h
19
6.如图所示，一厚度为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度
分布为 = kx（0 x b），式中k为一常数，求：
（1）平板外两侧任一点P1 和P2处的电场强度； （2）平板内任一点P处的电场强度； （3）场强为零的点在何处？
求电势。例如：求均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布。
因已为知E：的E方向4沿q径0r2向，(故r选R取),沿径E向0的直(线r为R积) 分路径，U P P E d l P E d r ,
当 r > R 时,
U P P E d l P E d r r 4q 0 r 2d r 4q 0 r.
h
12
4.电势计算的两种方法
方法一、利用点电荷电势公式 dU 1 dq
40 r
及电势叠加原理求电势
方法二、 已知,由 场 U P P 参 强 E 考 d l 分 求 点 布 电势
5. 场强与电势的关系 电势梯度
E
dU
nˆ
gradU
dn
在直角坐标系中
E
( U
i
U
j
U
k)
x y z
h
分析：平板外两侧电场分布:
在带电平板中取一平面，电
荷面密度(x)
E (x) 2 0
两侧均匀场,方向 与平面垂直
P1
0
可知：平板外两侧电场仍为均匀电场， 方向与板面垂直！
h
P
x
b
P2
x
20
解：（1）平板外两侧任一点P1 和P2处 的电场强度E
2SE
1
0
b
S d
0
x
Sk b
0
0
xd
x
P1
s0
k Sb2
(A) 半径为R的无限长均匀带电圆柱体电场的E~r关系．
(B) 半径为R的无限长均匀带电圆柱面电场的E~r关系． ?
(C) 半径为R的均匀带正电球面电场的U~r关系．
1/r
(D) 半径为R的均匀带正电球体电场的U~r关系．
OR
r
答案：(C)
参考解答：已知电场的分布，且电场具有某种对称性，通常可由 UPP 参考 E 点 dl
F qE q2 .
20S
h
16
4. 一电矩为P的电偶极子在场强为E的均匀电场中，P与E间的夹角
为a，则它所受的电场力＝________，力矩的大小M＝_______ .
参考解答：
F F qE
电偶极子在均匀外电场中 所受的合外力
F 0
答案： 0，PEsina ；
+q l
F
F
–q
E
由于F+ F- 不在同一直线上, 故有力矩的作用
时所受的电场力．(基本电荷e＝1.6×10-19 C)
解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度 的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为．按高
斯定理有
E 2 0 r
(R1 r R2 )
在阴极表面处电子受电场力
方向沿半径指向轴线．两极之间电势差
的大小为
U A UB
B
Edr
ln R2
(C )
q2 2 0S 2
(D )
q2 0S 2
答案：(B) 参考解答：
两极板间的相互作用力为 F qE
注意：q是一个极板上带电量，公式中的E是指外电场（本例中是另
一个极板上的电荷在该极板处产生的电场）。