真空中的静电场

A
20 R1
得到
20
lUnBR2 /URA1
所以
E(r)
lnUBR2 U / RA1
1 r
h
FeE R1ecU R B2/U R1AR 11
4.371014N
方向沿半径指向阳极．
22
h
12
4.电势计算的两种方法
方法一、利用点电荷电势公式 dU 1 dq
40 r
及电势叠加原理求电势
方法二、 已知,由 场 U P P 参 强 E 考 d l 分 求 点 布 电势
5. 场强与电势的关系 电势梯度
E
dU
nˆ
gradU
dn
在直角坐标系中
E
( U
i
U
j
U
k)
x y z
h
分析：平板外两侧电场分布:
在带电平板中取一平面，电
荷面密度(x)
E (x) 2 0
两侧均匀场,方向 与平面垂直
P1
0
可知：平板外两侧电场仍为均匀电场， 方向与板面垂直！
h
P
x
b
P2
x
20
解：（1）平板外两侧任一点P1 和P2处 的电场强度E
2SE
1
0
b
S d
0
x
Sk b
0
0
xd
x
P1
s0
k Sb2
S
E
d
S
1 0
V
dV
点电荷系 连续分布带电体
只有当电荷和电场分布具有某种对称性时, 才可用高斯(Gauss)定理求场 强。基本步骤如下：
(1) 由电荷分布对称性分析电场的对称性
(2) 据电场分布的对称性选择合适的闭合曲面 (3) 应用高斯(Gauss)定理计算场强
关键: 选取合适的闭合曲面（Gauss 面）
O
x
dEx=－dEcos , dEy=－dEsin
dE d E y
对各分量分别求和
Ex400R02cos2d
0 4 0 R
Ey4 00R02sind(s)i n0
故O点的场强为： EExi400Ri
h
14
2. 图中所示曲线表示球对称或轴对称静电场的某一物理量随径向距离r变化 的关系，该曲线所描述的是(E为电场强度的大小，U为电势)
当 r R 时,
U P P E d l r E d r h r R 0 d r R 4 q 0 r 2 d r 4 q 0 R .
15
3. 面积为S的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q，若不考 虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为
(A ) q 2 0S
(B ) q 2 2 0S
大学物理
教师：郑采星
课程指导课一
第12章 真空中的静电场
§1 电荷 库仑定律 §2 电场与电场强度 §3 高斯定理 §4 电势 §5 等势面与电势梯度
h
1
网络资源与交流空间
湖南大学课程中心 http://kczx.hnu.cn/G2S/ShowSystem/Index.aspx
h
2
特 别 推 荐！
M l F q l E
以上关于电偶极子的讨论在下一章 电介质分子在外电场作用下产生极 化现象的分析中至关重要！
M PE
MPEsina
h
17
5.一无限大均匀带电薄平板，电荷面密度为，在平板中部有一
半径为r的小圆孔。求圆孔中心轴线上与平板相距为x的一点P的 电场强度。
分析：用补偿法求解
h
5
本讲从奇妙的北极光现象引入地磁场对带电粒子的作用威力，讲述了磁场的 成因，磁场对电流或带电运动粒子的磁场力或磁力矩作用规律，介绍直流单 相和多级电动机的动力原理和流行的电动自行车应用，交流单相和三相电动 机的动力特点，引入交流电动机变频技术及其在生活中的应用，最后介绍磁 场的其他应用，包括质谱仪、磁流体动力、回旋加速器和电磁起重等。
lim
V 0
q V
dq dV
dq dS
lim
S 0
q S
dq dS
体密度 面密度
dE P
r
dq
dq dl
lim
l 0
q l
dq dl
线密度
h
11
3.高斯定理以及应用:
在真空中，静电场通过任意闭合曲面的电通量，等于面内所包围的自由 电荷代数和除以真空介电常数。
Ψe
S
E
dS
1
0
qi
S内
Ψ
e
h
6
h
7
h
8
h
9
第12章 真空中的静电场
基本要求
掌握电场强度、电场强度迭加原理，电场强度的计算；掌握电力线、电
通量、真空中的高斯定理及其应用；掌握电场力的功。理解电场强度的
环流。掌握电势差、电势、电势迭加原理及电势（能）与电势（能）差
的计算。理解等势面。了解电场强度与电势梯度的关系。
教学基本内容、基本公式
(1)将带电体分成很多元电荷 dq,先求出它产生的场强的大小 dE 和方向 (2)将dE按坐标轴方向分解，求得dEx, dEy, dEz (3) 对带电体积分，可得总场强：
Ex dEx Ey dEy Ez dEz
E Ex2Ey2Ez2
注意：直接对dE 积分是常见的错误 一般 E dE
dqdV
h
3
从金属带电的静电实验演示电场的存在，讲解导体的静电平衡与静电屏 蔽现象，引出静电现象中尖端放电与金属尖端附近强电场的应用[场离 子显微镜(FIM)]；用尖端放电与避雷针的模拟实验，介绍雷电的成因和 防雷击的常知；最后介绍涉及电的基本常识如高压带电作业、触电及其 急救等。
h
4
介绍电介质的概念，用模拟实验演示在一定条件下，绝缘体会变成导体； 讲解电介质极化和对电场的影响，介绍电介质在电容等方面的应用（如增 加电容、监控等）。从磁介质的磁化讲解磁介质的性能，特别是铁磁质， 延伸到应用（如电磁炉）。用模拟实验演示在一定条件下，铁磁质也会变 成顺磁质。通过对电路通断电实验，观察自感和互感现象。
(C )
q2 2 0S 2
(D )
q2 0S 2
答案：(B) 参考解答：
两极板间的相互作用力为 F qE
注意：q是一个极板上带电量，公式中的E是指外电场（本例中是另
一个极板上的电荷在该极板处产生的电场）。
平行板电容器极板间距离非常小， E可视为无限大均匀带电平面产生的电场，
E q 20 2 S 0
1 1r2
x2
nˆ20nˆ
上述结果表明，在x>>r时。带电平板上小圆孔对电场分布 的影响可以忽略不计。
百度文库
h
19
6.如图所示，一厚度为b的“无限大”带电平板，其电荷体密度
分布为 = kx（0 x b），式中k为一常数，求：
（1）平板外两侧任一点P1 和P2处的电场强度； （2）平板内任一点P处的电场强度； （3）场强为零的点在何处？
(A) 半径为R的无限长均匀带电圆柱体电场的E~r关系．
(B) 半径为R的无限长均匀带电圆柱面电场的E~r关系． ?
(C) 半径为R的均匀带正电球面电场的U~r关系．
1/r
(D) 半径为R的均匀带正电球体电场的U~r关系．
OR
r
答案：(C)
参考解答：已知电场的分布，且电场具有某种对称性，通常可由 UPP 参考 E 点 dl
13
1. 半径为R的带电细圆环，其电荷线密度为= 0cos，式中0为一常数， 为半径R与x轴所成的夹角，如图所示．试求环心O处的电场强度．
解：在任意角 处取微小电量dq =dl，它在O点
y
产生的场强为：
dq
dE4 d q 0R 24 d 0R l204 c so 0R d
d Ex
R
d
它沿x、y轴上的二个分量为：
求电势。例如：求均匀带电球面 (R, q) 电场中电势的分布。
因已为知E：的E方向4沿q径0r2向，(故r选R取),沿径E向0的直(线r为R积) 分路径，U P P E d l P E d r ,
当 r > R 时,
U P P E d l P E d r r 4q 0 r 2d r 4q 0 r.
利用高斯定理求解电场强度只适用于 几种非常特殊的对称性电场。本题的 电场分布虽然不具有这样的对称性， 但可以利用具有对称性的无限大带电 平面和带电圆盘的电场叠加，求出电 场的分布。
若把小圆孔看作由等量的正、负电荷重叠而成、挖去圆孔的带 电平板等效于一个完整的带电平板和一个带相反电荷（电荷面
密度' = ）的圆盘。这样中心轴线上的电场强度等效于平板
和圆盘各自独立在该处激发的电场的矢量和。
h
18
解：在带电平面附近
E1
20
nˆ
nˆ 为沿平面外法线的单位矢量；
圆盘激发的电场:
E2
201
x x2r2
nˆ
例12.4
它们的合电场强度为
EE1E220
x n ˆ x2r2
在圆孔中心处x = 0，则 E = 0
在距离圆孔较远时x>>r，则
E20
20
E kb 2 4 0
（2）平板内任一点P处的电场强度E'
P
x
b
P2
x
(EE)Sk0S0xxdxk2S02x
E
k (x2 20
b2
2
)
（3）场强为零的点在何处？ x2 b2 0 x b ,(0xb)
2
2
h
21
7．一真空二极管，其主要构件是一个半径R1＝5×10-4 m的圆柱形阴极 A和一个套在阴极外的半径R2＝4.5×10-3 m的同轴圆筒形阳极B，如图 所示．阳极电势比阴极高300 V，忽略边缘效应. 求电子刚从阴极射出
时所受的电场力．(基本电荷e＝1.6×10-19 C)
解：与阴极同轴作半径为r (R1＜r＜R2 )的单位长度 的圆柱形高斯面，设阴极上电荷线密度为．按高
斯定理有
E 2 0 r
(R1 r R2 )
在阴极表面处电子受电场力
方向沿半径指向轴线．两极之间电势差
的大小为
U A UB
B
Edr
ln R2
F qE q2 .
20S
h
16
4. 一电矩为P的电偶极子在场强为E的均匀电场中，P与E间的夹角
为a，则它所受的电场力＝________，力矩的大小M＝_______ .
参考解答：
F F qE
电偶极子在均匀外电场中 所受的合外力
F 0
答案： 0，PEsina ；
+q l
F
F
–q
E
由于F+ F- 不在同一直线上, 故有力矩的作用
1. 库仑定律, 静电力的叠加原理
r
F
q2
F12
k
q1q2 r122
rˆ12
F
k
i
q0qi ri3
ri
k
i
q0qi ri2
rˆi
k 1 4 0
08 .8 5 1 1 0 C 22/(m N 2)
q1 q1
r1
F2
q2
r2
q0
F1
F
h
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2. 任意带电体（连续带电体)电场中的场强的计算：