一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用

一年七班 唐梦雷

一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

二、 起源

在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。

埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。

希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。

公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。

在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。

韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。

我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。

我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。

三、一元二次方程的广泛应用

例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？

（1）35

22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+

x

x ；（8）522=+y x 注意点：

①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数．

例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2：方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。

例3：若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。

例4：若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）

A.m=n=2

B.m=2,n=1

C.n=2,m=1

D.m=n=1

（一）、一元二次方程的一般形式：)0(02≠=++a c bx ax ，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x 的二次多项式，等式右边是零，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项。

例1：方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。

例2：（2012•洪山区模拟）若将一元二次方程x x 4232-=--化成一般形式)0(02 a c bx ax =++后，一次项和常数项分别是 ；

例3：一元二次方程()()0112

=++++c x b x a 化为一般式后为01232=-+x x ，试求222c b a -+的值的算术平方根？

（二）、方程的解：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。（简而言之：将该方程的解，代入原方程可以得到一个等式）

例1：（2013•牡丹江）若关于x 的一元二次方程为052=++bx ax （a ≠0）的解是1=x ，则b a --2013的值是 。

例2：（2012•鄂尔多斯）若a 是方程0322=--x x 的一个解，则a a 362-的值为（ ）

A ．3

B ．-3

C ．9

D ．-9

例3：关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值

为 。

例4：已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。

（三）解一元二次方程的解法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

①直接开方法：()m x m m x ±=⇒≥=,02

对于()m a x =+2，()()2

2n bx m ax +=+等形式均适用直接开方法 例1、解方程：();08212=-x ()216252x -=0; ()();09132

=--x 例2、若()()2

221619+=-x x ，则x 的值为 。 下列方程无解的是（ ）

A.12322-=+x x

B.()022

=-x C.x x -=+132 D.092=+x ②配方法：()002≠=++a c bx ax 222

442a ac b a b x -=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+⇒ 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

例1：试用配方法说明322+-x x 的值恒大于0。

例2：已知x 、y 为实数，求代数式74222+-++y x y x 的最小值。

例3：已知，x、y y x y x 0136422=+-++为实数，求y x 的值。

例4：若912322-+--=x x t ，则t 的最大值为 ，最小值为 。 ③公式法：

条件：()04,02≥-≠ac b a 且 a

ac b b x 242-±-=,()04,02≥-≠ac b a 且

例1：（1）01322=--x x ； （2）()

0122=++x x ； （3）0252=++x x ④因式分解法：()()021=--x x x x 21,x x x x ==⇒或

十字相乘法：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

如()()2

2n bx m ax +=+，()()()()c x a x b x a x ++=++ ， 例1：()()3532-=-x x x 的根为（ ）

A 25=x

B 3=x

C 3,2

521==x x D 52=x 例2：方程062=-+x x 的解为（ ）

A.2321=-=，x x

B.2321-==，x x

C.3321-==，x x

D.2221-==，x x 例3：解方程： ()04321322=++++x x

例4：已知023222=--y xy x ,且0,0>>y x ,则

y

x y x -+的值为 例5:选择适当方法解下列方程：

⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x

⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x

四、专项训练：

（一）整体思想：

整体思想方法是指用“全局”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握已知和所求之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理来解决问题的方法.利用整体思想往往能够避免局部思考带来的困惑.

例1：若()()044342

=-+++y x y x ，则4x+y= 。 例2：()()

=+=-+-+2222222,06b a b a b a 则 。 例3：若()()032=+--+y x y x ，则x+y=