2019年高考数学文科：三角函数的图像与性质

1．将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫

x ＋π6的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴

方程可能是( ) A ．x ＝－π

12 B ．x ＝π

12 C ．x ＝π

3

D ．x ＝2π

3

【答案】D

2．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫

－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )

A.12

B.32

C.22

D ．1

【解析】由题图可知，T 2＝π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，∴f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫

π12，1，即sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝1，得φ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.而x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫

2×π6＋π3＝sin 2π3＝32. 8．函数

的图像是（ ）

【答案】D

9．定义22⨯矩阵

，若

，则()f x （ ）

A.图象关于(),0π中心对称

B.图象关于直线2

x π

=对称

C.在区间[,0]6

π

-上单调递增 D.周期为π的奇函数

【答案】C

【解析】由题中所给定义可知

，根据三角函数的图象性质可知本题的正确选项应该为C.

10．已知函数①

，②

，则下列结论正确的是（ ）

A ．两个函数的图象均关于点,04π⎛⎫

-

⎪⎝⎭

成中心对称图形 B ．两个函数的图象均关于直线4

x π

=-成轴对称图形

C ．两个函数在区间,44ππ⎛⎫

-

⎪⎝⎭

上都是单调递增函数 D ．两个函数的最小正周期相同 【答案】C

11．若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫

π2，π，则sin(π－2α)＝( )

A.2425

B.1225 C ．－1225 D ．－2425

【解析】由sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α＝－35，且α∈⎝⎛⎭⎫

π2，π，得sin α＝45，所以sin(π－2α)＝sin2α＝2sin αcos α＝－2425，故选D. 【答案】D

12．若将函数y ＝3cos ⎝⎛

⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是( )

A.⎝⎛⎭⎫π6，0

B.⎝⎛⎭⎫－π6，0

C.⎝⎛⎭⎫π12，0

D.⎝⎛⎭⎫－π12，0

【解析】将函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象向右平移π6个单位长度，得y ＝3cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π2＝3cos ⎝⎛

⎭⎫2x ＋π6的图象，由2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝π6，所以平移后图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，故选A. 【答案】A

13．已知tan α＝－3

4，则sin α·(sin α－cos α)＝( ) A.2125 B.2521 C.45 D.54

【解析】sin α·

(sin α－cos α)＝sin 2α－sin α·cos α＝sin 2α－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1，将tan α＝－3

4代入，得原式＝⎝⎛⎭⎫－342－⎝⎛⎭⎫

－34⎝⎛⎭⎫－342

＋1

＝21

25，故选A. 【答案】3

24．函数y ＝12sin x ＋32cos x ⎝⎛⎭⎫

x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的单调递增区间是________．

【解析】y ＝12sin x ＋32cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈⎣⎡⎦⎤

0，π2的单调递增区间为：2k π－π2≤x ＋π3≤2k π＋π2，即2k π－5π6≤x ≤2k π＋π6k ∈Z 与x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的交集，所以单调递增区间为⎣⎡⎦⎤

0，π6.

【答案】⎣⎡⎦⎤

0，π6

25．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.若y ＝f (x －φ)⎝⎛

⎭⎫0＜φ＜π2是偶函数，则φ＝________.

【答案】π

3

26．将函数y ＝2sin ⎝⎛

⎭⎫ωx －π4(ω＞0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则ω的最小值为________．

【解析】将函数y ＝2sin ⎝⎛

⎭⎫ωx －π4，ω＞0的图象向左平移π4个单位后得到图象的解析式为 y ＝2sin ⎣⎡

⎦⎤ωx ＋ω－4

，ω＞0，向右平移π4个单位后得到图象的解析式为y ＝2sin ⎣⎡

⎦⎤

ωx －

ω＋4，ω＞

0.因为平移后的对称轴重合，所以ωx ＋ω－

4＝ωx －ω＋

4

＋k π，k ∈Z ，化简得ω＝2k ，k ∈Z ，又

ω＞0，所以ω的最小值为2. 【答案】2

27．已知函数f (x )＝sin 2

x －sin 2

⎝⎛⎭⎫

x －π6，x ∈R .

(1)求f (x )的最小正周期；

(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤

－π3，π4上的最大值和最小值．

28．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛

⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π x

π3 5π6 A sin(ωx ＋φ)

5

－5

(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；