样本估计与统计检验方法

( x1 , x2 ,，xn ) 为取自总体的随机样本。利用样本构造统计量
ˆ ˆ ，对于给 ˆ ˆ ( x , x ,，x ) 和 ˆ ˆ ( x , x ,，x ) ，其中 1 2 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n
ˆ ˆ ) 1 ， ˆ , ˆ )是 定的概率 1 (0 1) ， 有 P( 则称区间 ( 1 2 1 2 ˆ 和 ˆ 分别称为置信下限和置信上限， 的置信水平为 1 的置信区间， 1 2
( X1 , X 2 ,
, X n ) 的概率密度 f ( X i ;1 ,2 ,
i 1
n
,m ) 在 ( x1 , x2 ,
, xn )
处的值越大， 样本 ( X1 , X 2 ,
, X n ) 在 ( x1 , x2 , , xn ) 附近取值的概率越 大。现在抽样结果是样本值为 ( x1 , x2 , , xn ) ，就是说在一次试验中样 本 ( X1 , X 2 , , X n ) 取样本值 ( x1 , x2 , , xn ) 这一事件发生了。 所以人们 做出对 1 ,2 , ,m 的估计时，应有利于这一事件的发生，即使
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5.2 参数估计
5.2.1 参数的点估计
ˆ ˆ( X , X ,，X ) 作为未 点估计： 构造一个合适的统计量 1 2 n
知参数 的估计量。 对应于样本 ( X 1 , X 2 ,，X n ) 的每个观测值
ˆ ˆ( x , x ,，x ) 称为 的 ( x1 , x2 ,，xn ) ，估计量 ˆ 的值 1 2 n
样本
1 j k
( X1 , X 2 ,，X n ) 的j阶原点矩为
1 n Aj X ij 1 j k n i1
令样本矩等于对应的总体矩，可得k个方程
a j (1 ,2 ,，k ) Aj 1 j k
求解上述方程组，得到一组解
ˆ , ˆ ， ˆ ，以此作为待估参数 , ,， 的矩估计量。 1 2 k 1 2 , k
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5.2 参数估计
5.2.1.2 极大似然估计法 设总体X的概率密度为 f ( X ;1 ,2 , 数， X1 , X 2 ,
, m ) ， 1 ,2 ,
,m 为未知参
, X n 是取自总体X的样本，现在用上述直观想法来估计
1 ,2 , ,m 。
我们知道在x处的值越大，总体X在x附近取值的概率也越大，而样本
f ( X i ;1 ,2 ,
i 1
n
ˆ , ˆ ,m ) 达到最大的 1 2,
ˆ 作为对 , , , 1 2 m
,m 的
估计，根据这一朴素的想法，英国统计学家费希尔提出极大似然估计 的概念并严格证明了这一估计的某些优良性。
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5.2 参数估计
下面称
L L(1 ,2 ,
估计值。
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5.2 参数估计
参数点估计的方法很多，主要有矩估计法和极大似然估计 法。
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5.2 参数估计
5.2.1.1 矩估计法 矩估计法：按矩的阶数从1到k列出k个样本矩等于总体矩 的方程，从而解出待估参数的方法称为矩估计法，又称数 字特征法。
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ˆ , ˆ L( 1 2,
,m )= f ( X i ;1,2 ,
i 1
n
,m )
为似然函数，对确定的样本值 x1, x2 ,
ˆ ˆ ( x , x , , x ) 使得 , xn ，若有 j j 1 2 n
ˆ )= max L( , , , m 1 2
1 , ,m
ˆ ， 为计算方便， 常从上式求 , m ) 成立， j
ˆ 也使 L( ˆ , ˆ 成立的 j 1 2,
ˆ )= max L( , , , m 1 2
通常采用微分学求函数极值的一般方法，即从方程（组）
L 0 ( j 1,2, j
ˆ , ˆ ln L( 1 2,
本章主要内容
5.1 导言 5.2 参数估计 5.3 参数假设检验的基本方法与思路 5.4 参数假设检验
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5.1 导言
统计方法
描述统计
推断统计
参数估计
假设检验
图5.1 统计方法的分类 《质量管理统计技术》
5.2 参数估计
参数估计：从总体中抽取样本，选定—个统计量，然后利 用样本观测值给出参数的估计值，这就是所谓的参数估计 问题。 参数估计的基本方法分为两大类：点估计和区间估计。
, m )
ˆ ˆ (X , X , 则称 j j 1 2
ˆ , ˆ ln L( 1 2,
。 , X n ) 为 j 的极大似然估计量（j=1，2，…，m）
由于lnx是x的单调函数，使
ˆ )= max ln L( , , , m 1 2
1 , ,m
1 , ,m
, m )
, m)
求得lnL的驻点，这个方程组称为似然方程（组）。 然后再从这些驻点中找出满足
ˆ )= max ln L( , , , m 1 2
1 , ,m
, m ) 的 ˆj 。
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5.2 参数估计
5.2.2 区间估计 设 F ( x, ) 为总体 的分布函数，其中x是变量， 为参数，而
1 为置信水平。
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5.2 参数估计
ˆ , ˆ ) 的上，下限都是统计量，即区间 ( ˆ , ˆ )为 区间 ( 1 2 1 2 ˆ , ˆ )产 随机区间，随着样本观测值的不同，随机区间 ( 1 2 ˆ , ˆ ) 包含 真值的概率 生不同的具体区间。随机区间 ( 1 2 ˆ , ˆ ) 内的概率为 为 1 ，而不是 的真值落在区间 ( 1 2
5.2 参数估计
具体求法是：设总体X的分布函数为 F ( X ;1 ,2 ,，k ) ，其中
1,2 ,，k 是k个待估参数， ( X1, X 2 ,，X n ) 是取自X的样本。假
设总体X的k阶原点矩E(X )存在 则总体X的j阶原点矩
k
a j (1,2 ,，k ) E( X j )