三重积分独家解法
计算三重积分详细方法ppt
广州大学数学与信息科学学院
1
工科高等数学
广州大学袁文俊、邓小成、尚亚东
2
一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结
3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M ， 在x并 o面 y设上 点
的投P影 的极坐r标 , ， 为则这样的r,三 ,z个数
zdxdydz zrdrddz
0 2d0 2drr42rzdz
02d02r z224r2dr 1 20 2d0 2(1r 6r5)dr
1 2028r21 6r60 2d
1228r216r602
64 3
.
9
例 2求 Izdx， d其 y中 d z是 球 面x2y2z24
与 抛 物 面x2y23z 所 围 的 立 体 .
射线，得 0r1 .
18
(3) 在半平面上，任取一 [0,],过原点作
射线，得 0r1 .
z
0 2 , 即 : 0 ,
0 r 1.
o
y
x
z2dv r2 co 2sr2sin dd rd
0 2 d0 d0 1 r4 c2 ossid nrzxy
r sin cos , r sin sin , r cos.
样的三个数 r，， 就叫做点M的球面坐标．
规定： 0r ,
0,
0 2 .
z
r•M (x,y,z)
o
y
•P
15
x
z
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
球 面； 圆锥面；
r
o
y
为常数 半平
面．
x
换元法计算三重积分
V
当 f(x ,y , z)f(x ,y ,z)即被积函数关于z为偶函数时
f(x ,y ,z )d x d y d z 2 f(x ,y ,z ，)d x d y d z
V
V 1
其中 V 1 是V 位于 x o y 平面上侧的部分.
积分区域关于其它坐标平面：yoz,zox 对称，且被积 函数分别是 x , y , 的奇、偶函数，也有上述类似的结论
解: Ix2dxdydz 5 x y 2 six n 2 y 2d x d y d z
利用对称性
关于 x 为奇函
z
1 2 (x2y2)dxd 数ydz
14dz (x2y2)dxdy 21 D z
1 21 4dz0 2 d02zr3dr21
f(x,y,z)dv
dxdyz2(x,y)f(x,y,z)dz
D
z1(x,y)
方法2. 截面法 (“先二后一”)
:(cx,y)zDdz
以Dz为底, d z 为高的柱形薄片质量为
D zf(x,y,z)dxdyd z
该物体的质量为
f(x,y,z)dv
0
0
oy x
1R5(2 2)
注：这个式子虽容易写出，但是要 求积分结果非常难，我们能不能找
5
到更加简便的方法来研究这道题目
呢？
3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x,y,z) R 3,其柱坐(标 ,,为 z),令 OM r,
ZOM ,则 (r,,)就称为点M 的球坐标.
f(x ,y ,z )d x d y d z 3 f1 (x ,y ,z )d x d y d z .
V
V 1
4. 设由锥面 z x2y2 和球面 x2y2z24
第四部分三重积分的计算教学课件
2
1
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
（2） 球面坐标的体积元素
dxdydz r2 sindrdd
（3） 对称性简化运算
思考题
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
: r2 z 4 r2， 3 0 r 3, 0 2.
I
2
3
4r2
0
d 0
dr r2
3
r zdz
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面；
z
为常数
z 为常数
半平面； 平 面．
• M (x, y, z)
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为
or
• P(r, )
y
x r cos ,
y
r
sin
,
x
z z.
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
三重积分
知识结构图1、三重积分概念理解三重积分的概念是要注意⑴若1),,(=z y x f 时，则⎰⎰⎰=vv dv z y x f ),,(，其中|v|为V 的体积。
例:利用三重积分计算下列由曲面所围成的立体体积：1) 226y x z --=及)(22y x z +=;2)az z y x 2222=++(a>0)及222z y x =+（含有Z 轴的部分） 3) )(22y x z +=及22y x z += 4))5(22y x z --=及z y x 422=+⑵三重积分的物理意义:若V 是某物体所占有的空间闭区域，连续函数),,(z y x f 为该物体的密度函数，则三重积分⎰⎰⎰vdv z y x f ),,(的值等与该物体的质量。
例1:设有一物体，占有空间闭区域}10,10,10|),,{(≤≤≤≤≤≤=Ωz y x z y x ，在点),,(z y x 处的密度为z y x z y x ++=),,(ρ，计算该物体的质量。
例2:球心在原点、半径为R 的球体，在任意一点的密度的大小与这点到球心的距离成正比，求这球体的质量。
2、三重积分的计算方法一、利用直角坐标进行三重积分 投影法步骤为:以平行与坐标轴的直线穿过区域V 的边界曲面而定，先穿过的为下限后穿过的为上限，确定的积分限，完成“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D 上的二重积分，完成“后二”这一步。
围成的闭区域。
例：计算三重积分⎰⎰⎰Ω=zdxdydz I，其中Ω为平面1=++z y x 与三个坐标面0,0,0===z y x解：画出Ω及在xoy 面投影域D.“穿线”y x z --≤≤10X 型D ：xy x -≤≤≤≤1010 ∴Ω：yx z xy x --≤≤-≤≤≤≤10101三重积分概念三重积分 存在性三重积分 计算利用球面坐标计算三重积分利用直角坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----Ω+---=--===101032210101010102]31)1()1[(21)1(21dx y y x y x dy y x dx zdz dydx zdxdydz I x x y x x241]4123[61)1(6110410323=-+-=-=⎰x x x x dx x截面法步骤为：计算区域上的二重积分 ，完成“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分，完成“后一”这一步。
第三节三重积分的计算方法
解 将 向 xoy 面作投影,则
: 0 x 1,0 y 1 x ,0 z 1 x 2y
2
1
1 x
1x2 y
xdxdydz 0 dx0 2 dy0 xdz
1
1 x
dx 2 x(1 x 2y)dy 00
1 1(x 2x2 x3)dx 1
40
48
计算三重积分时也要注意积分次序的选择
P
常数 过 z 轴的半平面
z 常数 平行于xoy面的平面
体积元素 dv rdrddz
这是因为: 如果用三组坐标面划分 ,大部分子域为小柱体, 近似看作长方体,则:
f (x, y, z)dv f (r cos , r sin , z)rdrddz
化成三次积分
前面例2 计算 zdxdydz
: 0 2 ,0 ,0 r R,
z2dv
2
d
d
R r 2 cos2 r 2 sin2 dr
0
0
0
R5
2
d
cos2 sin d
50
0
4 R5
15
例4 计算 x2dv 其中 由 z x2 y2 与 z R2 x2 y2 围成.
: 0 2 ,0 ,0 r R,
例2 计算 zdxdydz
其中 由 z x2 y2 及 z 4 围成
: 2 x 2, 4 x2 y 4 x2 , x2 y2 z 4,
zdxdydz
2
4x2
4
dx dy zdz
2 4x2
x2 y2
64
3
计算过程繁琐
能否把极坐标结合到空间坐标系内?
4 柱面坐标系
0
0
5
三重积分计算方法与技巧
三重积分计算方法与技巧《说说三重积分那些事儿》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠三重积分计算方法与技巧这个有意思的话题。
你说这三重积分啊，就像是一个调皮的小精灵，有时候蹦蹦跳跳很难抓住它的规律。
但别怕，咱有办法对付它！计算三重积分，那可得有点耐心。
它就像是做一道复杂的拼图，需要我们一点点把各个部分拼凑起来。
咱先得搞清楚积分区域的形状，就像知道要拼的是个啥图形。
有时候是个奇形怪状的家伙，这就需要我们好好观察，多转转脑袋。
说到技巧呢，那就像是我们手里的秘密武器。
比如说换元法，这就像是给小精灵换了身衣服，让它变得更好摆弄。
还有先一后二或者先二后一的方法，这就像是找到了解题的快捷通道，能让我们少走不少弯路。
记得我刚开始学的时候，看着那一堆符号和式子，脑袋都大了一圈儿。
但是别急呀，咱慢慢啃，一点点理解。
就像啃骨头一样，虽然难啃，但啃着啃着就有滋味了。
有时候碰上特别难搞的三重积分，那真的是让人头疼得不行。
就好像在一个迷宫里转来转去，找不到出口。
但咱不能泄气呀，静下心来仔细分析分析，说不定就能发现一个小破绽，然后顺着这个破绽就突破啦。
其实呀，学习三重积分的过程就像是一场冒险。
我们带着好奇心和勇气，去探索那些未知的领域。
有时候会遇到困难，但克服了这些困难，我们就会变得更强大。
而且，当你终于算出一个复杂的三重积分时，那种成就感简直爆棚啊！就像是打败了一个大怪兽，特别爽。
所以呀，大家别怕这三重积分，就拿它当成一个挑战自己的小游戏。
好好学那些方法和技巧，多练练就会发现它其实也没那么可怕啦。
只要咱有耐心、有决心，肯定能搞定这个小精灵，成为计算三重积分的高手！加油吧，朋友们！让我们一起在三重积分的世界里玩得开心，学得愉快！。
三重积分计算--课件
化三重积分为三次积分
计算三次积分
z1 ( x, y) z z2 ( x, y) 用平行于z 轴的直线穿Ω
(2) 将三重积分化为三次积分:
dxdy
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
(3) 计算三次积分.
例1 计算三重积分
平面x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
三重积分的计算(一)
回顾:
在求密度分布不均匀几何体质量的过程中， 推导出了三重积分的定义：
d (T ) 0
lim
f ( , ,
k 1 k k
n
k
)Vk f ( x, y, z )dV
三重积分的计算
计算三重积分 I f ( x, y, z )dV 其中:Ω为关于z轴的
1
xy
d
z
z2 ( x, y)
d [
Dxy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]
平面薄片的面 密度
z1 ( x, y)
( x, y )
压缩后平面 薄片的质量
O
y
d
先一后二投影法
x
Dxy
投影法计算三重积分的计算步骤 (1) 用不等式表示积分区域 a xb 将Ω投影到xOy 面得Dxy Dxy : y1 ( x) y y2 ( x) :
1 x 2 y
0
xdz x d x
0
1
0
1 x 2 y
dz
1 (1 x ) 2
1 1 1 2 3 (1 x 2 y )d y ( x 2 x x )d x 4 0 48
8-3(1)三重积分
z
Dz
o
1
y
x
1
Dz的面积
22
解法2 解法2：
z
∫∫∫ zdxdydz = ∫0 zdz ∫0 dy ∫0
Ω
1
1− z
1− y − z
1
dx
o
y
= ∫0 zdz ∫0 (1 − y − z )dy
∑ µ(ξk ,ηk ,ζ k )∆vk
k=1
n
∆vk
(ξk ,ηk ,ζ k )
2
2、三重积分的定义
上的有界函数， 设 f ( x , y , z ) 是空间有界闭区域 Ω 上的有界函数， 将闭区域 Ω 任意分成 n个小闭区域 ∆v1， ∆v2 ,⋯, ∆v n ， 个小闭区域，也表示它的体积, 其中 ∆v i 表示第 i 个小闭区域，也表示它的体积, 在每 个 ∆vi 上任取一点 (ξ i ,η i , ζ i ) 作乘积 f (ξ i ,η i , ζ i ) ⋅ ∆vi ， ( i = 1,2,⋯, n) ，并作和, 如果当各小闭区域的直径中 并作和, 趋近于零时，这和式的极限存在， 的最大值 λ 趋近于零时，这和式的极限存在，则称此 极限为函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 Ω 上的三重积分， 上的三重积分， 三重积分 记为 ∫∫∫ f ( x , y , z )dv ,
(3)计算二重积分 ∫∫ f ( x , y , z )dxdy 计算二重积分
Dz
z
其结果为 z 的函数 F (z ) ； (4)最后计算单积分 ∫ F ( z )dz 即得三重积分值 最后计算单积分 即得三重积分值.
三重积分的概念及其计算
= ∫ dx
a
∫
dy
∫
f (x, y, z )dz
y1(x )
z1 ( x , y )
所以有
∫∫∫ f (x, y, z )dV
D
= ∫ dx
a
b
y2 ( x )
∫
z 2 ( x ,y )
dy
∫
f (x, y, z )dz (2)
y1 (x )
z1 ( x , y )
公式 (2) 将三重积分化为先 z , 后 y , x 的三次积分 同理对于区域
I =
∫−1 dx ∫x
1
1
2
dy ∫
x 2 +y 2
0
f (x , y , z )dz
.
例 化三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分
Ω
Ω : z = xy 与 x + y = 1, z = 0 所围成的区域
x+ y=1
z
z=xy
y
1
o
1
.
x
例 化三重积分
I = ∫∫∫ f ( x, y, z)dxdydz 为三次积分
Ω2
z = x2 + y2 + 1
y
x+ y = 4
.
1
o
4
x
例 计算 I = ∫∫∫ f ( x , y , z)dxdydz
z Ω: 曲面 z = x + y 2 + 1,平面 x + y = 4 及三个坐标面所围区域
Ω2
取第一卦限部分
z = x2 + y2 + 1
y
重积分直角坐标系下三重积分的计算PPT课件
z
(2) x2 yzdv
H
: x2 y2 z H (H 0) •
•
解 区域 是关于zox面是对称的
o
y
f ( x, y, z)关于y是奇函数 x
x2 yzdv
x 2 zdxdz
z x2
ydy
zx2
Dzx
x2z 0dxdz 0 。
Dzx
16
第16页/共45页
z ln(x2 y2 z2 1)
f ( x, y, z)dv
0
2
1
f (x,
y, z)dv
f 关于y是奇函数 f 关于y是偶函数
其中1是的右半部分
11
第11页/共45页
2、若 空间区域 是关于yoz面是对称的, 则
f ( x, y, z)dv
其中1是的前半部分
0
f 关于x是奇函数
2
1
f
( x,
y, z)dv
f 关于x是偶函数
• z Dz
o
y
1
x
zdv 0 dz zd
: x2 y2 z 1
Dz
1
0 zdzd
1
z(z
2
)dz
0
Dz
1 z3dz
0
z4
4
1 0
。
4
Dz oz
Dz:x2 y2 z2
24
第24页/共45页
练习二计算 I ( y4 sin x z)dv z
: x2 y2 z2 2Rz。
(1) : y1(z, x) y y2(z, x),(z, x) Dzx
f ( x, y, z)dv dzdx y2 (z,x) f ( x, y, z)dy
三重积分的各种计算方法
三重积分的各种计算方法计算： ()f x y z dxdydz Ω⎰⎰⎰，，. 当积分区域Ω的表面用柱(/球)坐标表示时方程简单，且被积函数 () f x y z ，， 用柱(/球)坐标表示时，可变量分离时，可将其转化为用柱(/球)坐标( )F z d d dz ρρθρθΩ⎰⎰⎰，，()2s ()in r F r drd d θϕϕθϕΩ⎰⎰⎰，或，计算三重积分比较简单。
—— 重积分的换元积分法_____________________________________________________________________三重积分的计算是化为三次积分进行的。
其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。
从顺序看：_____________________________________________________________________1. 如果先做定积分21() z z f x y z dz ⎰，，，再做二重积分(,)xyD F x y d σ⎰⎰，就是投影法，也即 “先一后二”。
步骤为：找Ω及在xoy 面投影区域D 。
过D 上一点() x y ，“穿线”确定z 的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影区域D 上的二重积分，完成“后二”这一步，即()()21,,(,,)[(,,)]xy z x y D z x y f x y z dv f x y z dz d σΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰_____________________________________________________________________2. 如果先做二重积分⎰⎰zD d z y x f σ),,(再做定积分⎰21)(c c dz z F ，就是截面法，也即“先二后一”。
步骤为：确定Ω位于平面1 z c =与2 z c =之间，即12[,]z c c ∈，过z 作平行于xoy 面的平面截Ω，截面z D 。
§6.3 三重积分的计算
V
dV
空间立体 的体积
大立体是由小立体连续三次叠加形成，故三 重积分实际上可以看成连续的三次积分。
z
y
x
z
y
x
z
y
x
f x , y , z d V a dx y x dy z x , y f x , y , z dz .
b
V
1 1
V 2
解
x y z 1
2 2
r z 1
2
D xy
0 r 1, 0 2 .
V
x y dv
2 2
2
r rd rd d z
V
1
0
d
0 r
1
2
dr 2 dz
r
Hale Waihona Puke 4 15.例3 计算 解
V
zd x d yd z , V : x y z 1, z 0 .
V
yd v
0 dx 0
1
1 x
dy
1 x y
yd z
0
0 dx 0
1
1 x
y 1 x y dy
0
1
1 3 3 1 1 . 2 1 x 3 1 x d x 24
例 2 计 算 x zd v 其 中 V 是 由 抛 物 柱 面 y x
V
行于z 轴的直线， 进入区域V
的点在平面z=0, 离开区域V 的点在平面z=1-x-y上.
0 z 1 x y V 0 y 1 x 0 x 1
9.5_三重积分计算2
一般地，先对 ，后对r， 一般地，先对z，后对 ，最后对 θ 积分
二、利用球面坐标计算三重积分
z
设 M ( x, y, z ) 为空间内一点， 则点 M 可用三个有次序的数r，
A
x
r
M ( x,
z
y, z )
o
P ，θ 来确定，其中 r 为原点 O 与 x 点 M 间的距离， 为有向线段 OM 与 z轴正向所夹的 角，θ 为从正 z 轴往下看自 x 轴按逆时针方向转到有
0
π 2 0
π 2 0
R
x
.
例 4、 求曲面 x2 + y2 + z2 ≤ 2a2与 z ≥ x2 + y2 成的立体体积. 所围 成的立体体积
解
由x
2
由锥面和球面围成， 采用球面坐标， 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
+ y + z = 2a
2 2
2 2
2
r = 2a ,
z=
π x + y = , 4
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
x = r cos θ , 直角坐标与柱面坐标的关系为 y = r sin θ , z = z.
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
柱面坐标的坐标面 动点M( 动点 r, θ, z) z r =常数：圆柱面 常数： 常数 圆柱面S z =常数： 平面Π 常数： 常数 S
‘
= abc ∫ dθ ∫ sin d ∫ 1 r 2 dr =
0 0 0
2π
π
1
π2
4
例7、计算∫∫∫ ( x + y + z ) cos( x + y + z ) 2 dxdydz
每日一题327：三重积分计算的五种常用思路、方法及典型题分析
每日一题327：三重积分计算的五种常用思路、方法及典型题分析练习题【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习327 ：计算三重积分其中积分区域为：先自己思考，动手尝试探索一下解题思路与解题过程，写写解题步骤，然后再对照下面的答案！【注1】每日一题参考解答思路一般不仅仅是为了解题，而重在分享、拓展思路，更多重在基本知识点的理解、掌握与应用！参考解答一般仅提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过公众号会话框或邮件以图片、或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！【注2】每日一题题目并非咱号完全原创，一般来自各类参考书或网络资源，由学友改编、整理并由咱号免费推送分享。
练习参考解答【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！练习327 ：计算三重积分其中积分区域为：【参考解答】：【思路一】由积分区域为上半球域，被积函数有两项的平方和，考虑球坐标方法计算三重积分. 建立球坐标变换如下则依据建立的球坐标系，可知积分域的球坐标变量范围为所以由三重积分的球坐标计算公式，得【思路二】由积分区域为上半球域，用平行于面的平面截取所得区域为圆域，即且. 又被积函数包含有项，故可以考虑先二后一的截面法计算三重积分. 并且二重积分由于积分区域为圆域，并且包含项，故可考虑极坐标方法，故得【思路三】由积分区域为上半球面和面围成，所以为简单的型区域，故可以考虑三重积分先一后二的投影法来计算三重积分，并且在面上的投影区域为根据投影区域的图形特征和被积函数包含有项，故对于后面的二重积分考虑极坐标方法计算，故得【注】：对于先一后二方法，如果先不计算定积分，直接将三重积分写成二重积分用极坐标描述的累次积分表达式，并且将的积分上下限和被积函数中的变量用极坐标变量描述，即则积分方法即为三重积分的柱坐标计算方法. 对于柱坐标、球坐标变换计算方法其实就是三重积分的换元法. 比如由球坐标变换关系式可得雅克比行列式的绝对值为故由三重积分换元法公式可以得到三重积分的球坐标计算公式，类似有柱坐标变换的换元结果.关于三重积分计算的一般思路与方法的详细分析与讨论可以参见视频课堂“《高等数学》解题思路与典型考题解析”课程中的“三重积分计算的一般思路与方法及三种坐标系下积分的计算步骤”章节中的五个教学视频：·第1节：三重积分计算的一般思路与步骤·第2节：计算三重积分的“先一后二”投影法的思路与步骤实例分析·第3节：柱坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析·第4节：计算三重积分的“先二后一”截面法的思路与步骤实例分析·第5节：球坐标系中计算三重积分的思路与步骤实例分析另外在“第四届、第八届、第九届全国大学生数学竞赛预赛非数学类试题解析”等在线课堂对三重积分的柱坐标、球坐标和换元法分别进行了深入的分析与探讨！。
三重积分的计算法球面坐标
4
为了把三重积分
中的变量从直角坐
标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r =
常数， =常数， =常数把积分区域
分成许多小闭区域。
z
dr
d
r sin
r
o
x
d
r sind
rd
d
y
考虑由r, ,各取得微小增量dr,d,d所成的
六面体的体积(如图)。不计高阶无穷小，可把 这个六面体看作长方形。
5
经线方向的长为 rd, 纬线方向的宽为 rsind,
d
64
5
cos8
8
2 0
8 。
5
11
解法二 用柱面坐标系
z
z2dv
2
1
d
1
rdr
1 r 2
z 2dz
0
2
0
1 1r2
2
1
r
z3 3
dr 1 1r2
1 1r2
0
2
3
1
r[6
1 r2 2
(1 r 2)3 ]drx
o
y
0
4
(
1
1
)
[3
1 r2
(1 r 2)3 ]d(1 r 2)
r
为从正z轴来看自x轴
按逆时针方向转到有向
o
x
xy
z
y
P(x,y,0)
线段OP , 这里P是点M 在xoy平面上的投影点。
这样三个数r , ,叫做点M的球面坐标。
2
z
①球面坐标的变化范围
0 r ,
M(r,,)
0
,
r • M(x,y,z)
0 2 ②三组坐标面
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§重积分
重积分是定积分延伸，定积分是如图（1）
所示，由上曲线和下曲线在定义域内所
围成面积S ；二重积分的已知条件是一
平面区域作为二重积分的“定义域”，被积函数是两个
空间曲面函数的差值，如 xydθD
,其实，它的二重积分的原始形式为 [f x −g x ]dθD
,即f x −g x =xy 。
其中，f （x ）和g （x ）均为空间
曲面的函数表达式。
而如果把二重积分以定积分的
形式表现则比较牵强： xydθA B
，A 与B 的差值就是二重积分的定义区域，但是，A 和B 只是作者假设
的虚拟值，实际并不存在，为了简洁地表达二重积分，引入了“ ”符号，这是二重积分的高度抽象化，单从这个符号是看不出二重积分的几何意义的。
§三重积分
三重积分是在体积的基础上的四维积分。
定积分的定义域在一维数轴上（X ）反映，积分函数为曲线，对应积分几何意义为面积；二重积分的定义域在二维数轴（X-Y ）上反映，积分函数为曲面，对应几何意义为体积；三重积分的被积函数没有固定的意义，积分也就没有固定的意义，比如， xdxdydz Ω
，被积函数为f(x)=x ，当x 表示密度
时， xdxdydz Ω
表示质量，当x 表示单位粒子能量时， xdxdydz Ω
表示内能…即：密度、单位粒子能量都是一种四维变量。
这些变量是关于x 、y 、z 的函数，我们
暂设为h(x,y,z)。
即
(x ,y,z)dxdydz Ω
.以高等数学（第六版 下册 同济大学数学系编）P159
页例1（计算三重积分 xdxdydz Ω
，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1
所围成的闭区域）为例，闭区域Ω如图所示，
xdxdydz Ω
中的h(x,y,z)=x 是x 的一元一次函数，与y,z 无关，我们采用微分思想，把三棱锥C-OAB 分成若干份，则阴影部分的体积为dV=yzdx .阴影部分的三重积分为xyzdz （x 为被积函数h(x,y,z)=x ）.则
所求重积分为 xyzdx x 2x 1,但是y,z 必须用x 的函数关系式表示，即
z=-x+1，y=
1−x 2,三重积分 xyzdx 10= [x ∗ 1−x 2 ∗ −x +1 ]dx 10=14 x −2x 2+x 3 dx 10=148，所以，同样， 只是三重积分的高度抽象化的表达式，反映不出三重积分的几何意义。
附同济六版解法：作闭区域Ω如图所示.
将Ω投影到xOy 面上，得投影区域D xy 为三角形闭区域
OAB .直线OA 、OB 、及AB 的方程依次为y=0、x=0及x+2y=1，
所以
D xy = (x ,y) 0≤y ≤1−x 2,0≤x ≤1 .
在D xy 内任取一点 x ,y ，过此点作平行于z 轴的直线，
该直线通过平面z=0穿入Ω内，然后通过平面z=1-x-2y穿出Ω外.
于是xdxdydz=
Ω
dx
1
dy
1−x
2
xdx
1−x−2y
=xdx
1
1−x−2y
1−x
dy
=1
4
x−2x2+x3dx
1
=1
48
.
利用三重积分求体积，是当被积函数h(x,y,z)=1时，所得的结果
在数值上与体积相等，但是单位却不同，h(x,y,z)=1只是表示四维变量为常数1，与利用二重积分求面积是同样的道理，被积函数为1时的二重积分求得的是单位高度的体积，即V=S*1，也仅仅只是数值相等而已，意义是不同的。