三重积分独家解法

§重积分

重积分是定积分延伸，定积分是如图（1）

所示，由上曲线和下曲线在定义域内所

围成面积S ；二重积分的已知条件是一

平面区域作为二重积分的“定义域”，被积函数是两个

空间曲面函数的差值，如 xydθD

,其实，它的二重积分的原始形式为 [f x −g x ]dθD

,即f x −g x =xy 。其中，f （x ）和g （x ）均为空间

曲面的函数表达式。而如果把二重积分以定积分的

形式表现则比较牵强： xydθA B

，A 与B 的差值就是二重积分的定义区域，但是，A 和B 只是作者假设

的虚拟值，实际并不存在，为了简洁地表达二重积分，引入了“ ”符号，这是二重积分的高度抽象化，单从这个符号是看不出二重积分的几何意义的。

§三重积分

三重积分是在体积的基础上的四维积分。定积分的定义域在一维数轴上（X ）反映，积分函数为曲线，对应积分几何意义为面积；二重积分的定义域在二维数轴（X-Y ）上反映，积分函数为曲面，对应几何意义为体积；三重积分的被积函数没有固定的意义，积分也就没有固定的意义，比如， xdxdydz Ω

，被积函数为f(x)=x ，当x 表示密度

时， xdxdydz Ω

表示质量，当x 表示单位粒子能量时， xdxdydz Ω

表示内能…即：密度、单位粒子能量都是一种四维变量。

这些变量是关于x 、y 、z 的函数，我们

暂设为h(x,y,z)。即

(x ,y,z)dxdydz Ω

.以高等数学（第六版 下册 同济大学数学系编）P159

页例1（计算三重积分 xdxdydz Ω

，其中Ω为三个坐标面及平面x+2y+z=1

所围成的闭区域）为例，闭区域Ω如图所示，

xdxdydz Ω

中的h(x,y,z)=x 是x 的一元一次函数，与y,z 无关，我们采用微分思想，把三棱锥C-OAB 分成若干份，则阴影部分的体积为dV=yzdx .阴影部分的三重积分为xyzdz （x 为被积函数h(x,y,z)=x ）.则

所求重积分为 xyzdx x 2x 1,但是y,z 必须用x 的函数关系式表示，即

z=-x+1，y=

1−x 2,三重积分 xyzdx 10= [x ∗ 1−x 2 ∗ −x +1 ]dx 10=14 x −2x 2+x 3 dx 10=148，所以，同样， 只是三重积分的高度抽象化的表达式，反映不出三重积分的几何意义。

附同济六版解法：作闭区域Ω如图所示.

将Ω投影到xOy 面上，得投影区域D xy 为三角形闭区域

OAB .直线OA 、OB 、及AB 的方程依次为y=0、x=0及x+2y=1，

所以

D xy = (x ,y) 0≤y ≤1−x 2,0≤x ≤1 .

在D xy 内任取一点 x ,y ，过此点作平行于z 轴的直线，

该直线通过平面z=0穿入Ω内，然后通过平面z=1-x-2y穿出Ω外.

于是xdxdydz=

Ω

dx

1

dy

1−x

2

xdx

1−x−2y

=xdx

1

1−x−2y

1−x

dy

=1

4

x−2x2+x3dx

1

=1

48

.

利用三重积分求体积，是当被积函数h(x,y,z)=1时，所得的结果

在数值上与体积相等，但是单位却不同，h(x,y,z)=1只是表示四维变量为常数1，与利用二重积分求面积是同样的道理，被积函数为1时的二重积分求得的是单位高度的体积，即V=S*1，也仅仅只是数值相等而已，意义是不同的。