数字视频图像技术 第5章 傅里叶变换 频率域图像增强
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数字图像处理(冈萨雷斯)课件5-频域增强
滤波在频率域中更为直观，但在空间域一般使用更小 的滤波器模板
可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域 使用结果滤波器作为在空间域构建小滤波器模板的指导
频率域滤波
高斯频率域低通滤波器函数
H u Ae
u 2 / 2 2
对应空间域高斯低通滤波器为 h x 2 Ae 2 x
理想低通滤波器举例——具有振铃现象
结论：半径D0越小，模糊越大；半径D0越大，模糊越小
半径是5的理想低通滤 原图 波,滤除8%的总功率， 模糊说明多数尖锐细 节在这8%的功率之内
半径是15的理想低通 滤波,滤除5.4%的总 功率
半径是30的理想低通滤 波,滤除3.6%的总功率
半径是230的理想低通 滤波,滤除0.5%的总功 半径是80的理想低通 滤波,滤除2%的总功率 率，与原图接近说明 边缘信息在0.5%以上 的功率中
2 2
1 2
频率域图像增强
理想低通滤波器
说明：在半径为D0的圆内，所有频率没有衰减地通过滤 波器，而在此半径的圆之外的所有频率完全被衰减掉
频率域图像增强
理想低通滤波器
总图像功率值PT
P T Pu, v
u0 v0
M 1 N 1
Pu, v F u, v Ru, v I u, v
说明空间域乘法可以通过频率域的卷积获得 上述两个公式主要为两个函数逐元素相乘的 乘法
频率域滤波
定义：在(x0,y0)，强度为A的冲激函数表示为
Axx0, y y0 ,定义为
M 1 N 1 x0 y 0
sx, yA x x , y y Asx , y
数字图像处理—基于Python 第9讲 频域图像增强-傅里叶性质
j 2
y]e N
N (xy) 2
WNuxvy
N 1 N 1
f
[
x,
y]e
j
(
x
y)
W uxvy N
u0 v0
N 1 N 1
F[u N / 2,v N / 2]
f [x, y](1)(x y) WNuxvy
u0 v0
38
4 平移特性（Translation of DFT）
• In two dimensions: F(u M / 2,v N / 2) f [x, y](1)xy and F(0,0) is now located at (M/2, N/2). 推论： 在空域乘以一个复指数（-1）x*y，相当于在 低频移中，反之亦然。
C. Nikou – Digital Image Processing (E12)
39
本课内容
二维离散Fourier变换 Fourier变换编程实现 Fourier变换性质
− 卷积定理（Convolution theorem） − 共轭对称性（conjugate symmetric） − 周期性（Periodicity of the DFT） − 平移特性（Translation of DFT） − 方向性（Directionality）
g[n] f [n]*h[n] f [m]h[n m]
m
g[n]的长度为N=3+2-1=4
10
一维离散卷积:线性卷积
f [n] {1,2,2}, h[n] {1, 1}, N1 3, N2 2
g[n] f [n]*h[n] {1,1,0, 2}
11
Fourier变换的卷积定理
1
第5章 图像频域增强
图像细节没有办法辨认，采用一般的灰度级线性变换法是不行的 图像的同态滤波属于图像频率域处理范畴，其作用是对图像灰度范围进行调整，通过 消除图像上照明不均的问题，增强暗区的图像细节，同时又不损失亮区的图像细节
我们人眼能分别得出图像的灰度不仅仅是由于光照函数（照射分量）决定，而且还与 反射函数（反射分量）有关： 反射函数反映出图像的具体内容。光照强度一般具有一致性，在空间上通常会有缓 慢变化的性质，在傅立叶变换下变现为低频分量 然而不一样的材料的反射率差异较大，经常会引起反射光的急剧变化，从而使图像 的灰度值发生变化，这种变化与高低频分量有关。 为了消除不均匀照度的影响，增强图像的高频部分的细节，可以采用建立在频域的 同态滤波器对光照不足或者有光照变化的图像进行处理，可以尽量减少因光照不足 引起的图像质量下降，并对感兴趣的景物进行有效增强，这样就在很大程度上做到 了原图像的图像增强。 同态滤波器能够减少低频并且增加高频，从而能减少光照变化并锐化边缘细节。
频域空间中，图像的信息表现为不同频率分量的组合。通过抑制某些频率分 量的输出，改变频率分布，达到不同的增强目的。 频域空间的增强有三个步骤： step 1：空域 频域 step 2：频域内增强 step 3：频域 空域
卷积定理
去除（抑制）图像中的高频分量而使低频通过，达到平滑和去除噪音 的效果。 （1）理想低通滤波器 截止频率 (5.2.1)
（3）带通和带阻滤波器的联系 两者是互补关系。
带通滤波器 带阻滤波器
陷波滤波器可以阻止或通过以某个频率为中心的邻域里的频率，所以本质上仍然是带 阻或带通滤波器 可分为陷波带阻滤波器和陷波带通滤波器 借助陷波滤波器可以消除周期噪声
理想陷波带阻滤波器
根据Fourier 变换的对称性，为了消除不是以原点为中心的给定区域内的频率，陷波带
我们人眼能分别得出图像的灰度不仅仅是由于光照函数（照射分量）决定，而且还与 反射函数（反射分量）有关： 反射函数反映出图像的具体内容。光照强度一般具有一致性，在空间上通常会有缓 慢变化的性质，在傅立叶变换下变现为低频分量 然而不一样的材料的反射率差异较大，经常会引起反射光的急剧变化，从而使图像 的灰度值发生变化，这种变化与高低频分量有关。 为了消除不均匀照度的影响，增强图像的高频部分的细节，可以采用建立在频域的 同态滤波器对光照不足或者有光照变化的图像进行处理，可以尽量减少因光照不足 引起的图像质量下降，并对感兴趣的景物进行有效增强，这样就在很大程度上做到 了原图像的图像增强。 同态滤波器能够减少低频并且增加高频，从而能减少光照变化并锐化边缘细节。
频域空间中，图像的信息表现为不同频率分量的组合。通过抑制某些频率分 量的输出，改变频率分布，达到不同的增强目的。 频域空间的增强有三个步骤： step 1：空域 频域 step 2：频域内增强 step 3：频域 空域
卷积定理
去除（抑制）图像中的高频分量而使低频通过，达到平滑和去除噪音 的效果。 （1）理想低通滤波器 截止频率 (5.2.1)
（3）带通和带阻滤波器的联系 两者是互补关系。
带通滤波器 带阻滤波器
陷波滤波器可以阻止或通过以某个频率为中心的邻域里的频率，所以本质上仍然是带 阻或带通滤波器 可分为陷波带阻滤波器和陷波带通滤波器 借助陷波滤波器可以消除周期噪声
理想陷波带阻滤波器
根据Fourier 变换的对称性，为了消除不是以原点为中心的给定区域内的频率，陷波带
第5章-频域图像增强20161028
第五章 频域图像增强 Chapter 5 Image Enhancement in the Frequency Domain
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像平滑：模糊和降噪； 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变 化缓慢的区域。
空域图像增强和频域图像增强结合起来就是图像增强技术的 完整内容。
输入图像
进行傅里叶逆变换，转换回空域中： 表示傅里叶逆变换。
傅里叶逆变换 增强图像
为滤波图像，
F (u; v )
傅里叶变换 滤波函数
H (u; v ) F (u; v )
f (x; y )
H (x; y )
g (x; y )
频域滤波的方框图
9
频域滤波基本步骤
传递函数 为实数的滤波器称为零相位滤波器，不
图像平滑
均值平滑模板 高斯平滑模板
图像锐化
4邻域拉普拉斯 8邻域拉普拉斯
知识回顾(2)
第4章 频域变换
傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法， 反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。
频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图 像的细节内容对应频谱中的高频成分。
频域图像增强正是利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理。
截止频率为15
截止频率为30
理想高通滤波器的传递函数及其冲激响应函数
35
理想高通滤波器
高通滤波器的空域冲激响应函数中心都有一个冲激，这 是因为
式中，
为单位脉冲函数，
表示互为傅里叶变换对。
36
理想高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
知识回顾(1)
第3章 空域图像增强
图像平滑：模糊和降噪； 图像锐化：增强图像中的边缘和细节，减弱或清除灰度变 化缓慢的区域。
空域图像增强和频域图像增强结合起来就是图像增强技术的 完整内容。
输入图像
进行傅里叶逆变换，转换回空域中： 表示傅里叶逆变换。
傅里叶逆变换 增强图像
为滤波图像，
F (u; v )
傅里叶变换 滤波函数
H (u; v ) F (u; v )
f (x; y )
H (x; y )
g (x; y )
频域滤波的方框图
9
频域滤波基本步骤
传递函数 为实数的滤波器称为零相位滤波器，不
图像平滑
均值平滑模板 高斯平滑模板
图像锐化
4邻域拉普拉斯 8邻域拉普拉斯
知识回顾(2)
第4章 频域变换
傅里叶变换：频谱是一种在频域中描述图像特征的方法， 反映了图像的幅度和相位随频率的分布情况。
频谱特性：图像的平坦区域对应频谱中的低频成分，而图 像的细节内容对应频谱中的高频成分。
频域图像增强正是利用图像在频域中特有的频率特征进行 滤波处理。
截止频率为15
截止频率为30
理想高通滤波器的传递函数及其冲激响应函数
35
理想高通滤波器
高通滤波器的空域冲激响应函数中心都有一个冲激，这 是因为
式中，
为单位脉冲函数，
表示互为傅里叶变换对。
36
理想高通滤波器
灰度图像
截止频率为5
截止频率为15
傅里叶谱
数字图像处理之频率域图像增强
易于分析和处理。
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
图像增强技术广泛应用于医学影 像、遥感、安全监控、机器视觉
等领域。
频率域图像增强的概念
01
频率域图像增强是指在频率域 对图像进行操作，通过改变图 像的频率成分来改善图像的质 量。
02
频率域增强方法通常涉及将图 像从空间域转换到频率域，对 频率域中的成分进行操作，然 后再将结果转换回空间域。
直方图规定化
直方图规定化是另一种频率域图像增强 方法，其基本思想是根据特定的需求或 目标，重新定义图像的灰度级分布，以
达到增强图像的目的。
与直方图均衡化不同，直方图规定化可 以根据具体的应用场景和需求，定制不 同的灰度级分布，从而更好地满足特定
的增强需求。
直方图规定化的实现通常需要先对原始 图像进行直方图统计，然后根据规定的 灰度级分布进行像素灰度值的映射和调
灵活性
频率域增强允许用户针对特定频率成 分进行调整，从而实现对图像的精细 控制。例如，可以增强高频细节或降 低噪声。
总结与展望 数字图像处理之频率域图像增强的优缺点
频谱混叠
在频率域增强过程中，如果不采取适 当的措施，可能会导致频谱混叠现象， 影响图像质量。
计算复杂度
虽然频率域增强可以利用FFT加速， 但对于某些复杂的图像处理任务，其 计算复杂度仍然较高。
傅立叶变换具有线性、平移不变性和周期性等性质，这些性质在图像增强中具有重 要应用。
傅立叶变换的性质
线性性质
傅立叶变换具有线性性质，即两 个函数的和或差经过傅立叶变换 后，等于它们各自经过傅立叶变
换后的结果的和或差。
平移不变性
傅立叶变换具有平移不变性，即 一个函数沿x轴平移a个单位后， 其傅立叶变换的结果也相应地沿
THANKS
第5章傅立叶变换与频域图像增强
1 F (u , v) N
x பைடு நூலகம் y 0
N 1
N 1
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
F(u,v)通常是复数。
7
1 F (u , v) N
x 0 y 0
N 1 N 1
f ( x, y ) cos(
频谱图像|F(u,v)|特点：
低频部分集中了大部分能量；
F (0,0) N f
高频部分对应边缘和噪声等细节内容。
频域增强是通过改变图像中不同频率分量来实现的。 频域滤波器：不同的滤波器滤除的频率和保留的频率 不同，因而可获得不同的增强效果。
30
频域增强方法的三个步骤：
1.将图像从图像空间转换到频域空间（如傅里叶变换）；
x 0 y 0
N 1
N 1
ux vy f ( x, y ) exp[ j2( )] N
2(ux vy ) 2(ux vy ) f ( x, y )[cos( ) j sin( )] N N
x 0 y 0
N 1
N 1
F (u, v) R(u, v) jI (u, v) F (u, v) exp j (u, v)
f (x,y)、h (x,y)均补零扩充为P×Q，
P=2N-1;
Q=2N-1.
G(u, v) H (u, v) F (u, v) g ( x, y) : N N
图像进行傅立叶变换，需将其看作周期函数的一个 周期；
周期函数进行卷积，为避免周期折叠误差，需对函 数进行补零扩展。
第五章 图像增强1
第五章 图像增强
• 用直方图修改技术进行图像增强 • 图像点处理 • 图像平滑处理 • 图像尖锐化处理 • 卷积方法 • 彩色图像处理 • 图像几何处理
2020年5月25日
数字图象处理演示稿 纪玉波制作
1
(C)
图像增强是图像处理的基本内容之一。图像增强是指 按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时，削弱或 去除某些不需要的信息。这类处理是为了某种应用目的去 改善图像质量，处理的结果更适合于人的视觉特性或机器 识别系统。增强处理并不能增加原始图像的信息，而只能 增强对某种信息的辨识能力，并且这种处理有可能损失一 些其它信息。
5
(C)
5.1.3 用直方图修改图像 设变量r代表图像中像素灰度级,在图像中，像素的灰
度级可作归一化处理，这样r的值将限定在下述范围之内： 0≤r≤1
在灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。对于一幅给定的图 像来说，每一个像素取得[0,1]区间内的灰度级是随机的， 也就是说，是一个随机变量。
在离散的形式下，用rk代表离散灰度级，用P(rk)代表 概率密度函数，并且有下式成立：
图像增强技术主要包括直方图处理、图像点处理、图 像平滑处理、图像锐化处理、伪彩色技术及图像几何处理 等。
图像增强处理技术基本上可以分成两大类，一类是频 域处方法，一类是空域处理方法。
频域处理方法的基础是卷积定理，它采用修改图像富 里叶变换的方法实现对图像的增强处理。
2020年5月25日
数字图象处理演示稿 纪玉波制作
软件实现的查找表是以输入象素的值作为数组的索引，返回的新值 作为该象素的输出值。当然,事先要根据图像处理所需的变换对查找表 的数组进行赋值。对硬件实现的查找表来说，可以在RAM中单独分出一 部分作为查找表，输入象素的值作为RAM的地址，RAM中相应单元的值作 为输出象素值。同样，事先必须根据所要进行的变换对RAM各单元赋值。
• 用直方图修改技术进行图像增强 • 图像点处理 • 图像平滑处理 • 图像尖锐化处理 • 卷积方法 • 彩色图像处理 • 图像几何处理
2020年5月25日
数字图象处理演示稿 纪玉波制作
1
(C)
图像增强是图像处理的基本内容之一。图像增强是指 按特定的需要突出一幅图像中的某些信息，同时，削弱或 去除某些不需要的信息。这类处理是为了某种应用目的去 改善图像质量，处理的结果更适合于人的视觉特性或机器 识别系统。增强处理并不能增加原始图像的信息，而只能 增强对某种信息的辨识能力，并且这种处理有可能损失一 些其它信息。
5
(C)
5.1.3 用直方图修改图像 设变量r代表图像中像素灰度级,在图像中，像素的灰
度级可作归一化处理，这样r的值将限定在下述范围之内： 0≤r≤1
在灰度级中，r=0代表黑，r=1代表白。对于一幅给定的图 像来说，每一个像素取得[0,1]区间内的灰度级是随机的， 也就是说，是一个随机变量。
在离散的形式下，用rk代表离散灰度级，用P(rk)代表 概率密度函数，并且有下式成立：
图像增强技术主要包括直方图处理、图像点处理、图 像平滑处理、图像锐化处理、伪彩色技术及图像几何处理 等。
图像增强处理技术基本上可以分成两大类，一类是频 域处方法，一类是空域处理方法。
频域处理方法的基础是卷积定理，它采用修改图像富 里叶变换的方法实现对图像的增强处理。
2020年5月25日
数字图象处理演示稿 纪玉波制作
软件实现的查找表是以输入象素的值作为数组的索引，返回的新值 作为该象素的输出值。当然,事先要根据图像处理所需的变换对查找表 的数组进行赋值。对硬件实现的查找表来说，可以在RAM中单独分出一 部分作为查找表，输入象素的值作为RAM的地址，RAM中相应单元的值作 为输出象素值。同样，事先必须根据所要进行的变换对RAM各单元赋值。
第五章频率域图像增强
图像复原技术的应用
天文成像领域:
一方面，对地面上的成像系统来说，由于受到射线及大气的影
响，会造成图像的退化;另一方面，在太空中的成像系统，由于
宇宙飞船的速度远远快于相机快门的速度，从而造成了运动模
糊;
航空成像领域：
无人机、预警机、侦察机的成像侦察；巡航导弹地形识别，侧
视雷达的地形侦察等；
公安领域：
的“平坦”背景图像来研究。结果图像是一个良好的、典型
的系统噪声指示器。
从图像本身出发：从相对恒定灰度值的一小部分估计噪声pdf
的参数。
用子图像计算的高斯、瑞利、均匀噪声直方图
2.噪声模型__周期噪声
一旦 pdf 模型确定了，估计模型参数(均值μ、方差σ2）或
(a,b)。考虑由 S 定义的一个子图像，利用图象带中的数据，
N(u,v) 得到原始图像的估计，这种情况，仅仅属于例外而不是普遍规
律
当仅有加性噪声存在时，可以选择空间滤波方法。在此特殊情况下，
图像增强和复原几乎是不可区别的。
3.只存在噪声退化时的空间滤波复原
均值滤波器 Mean Filters
顺序统计滤波器 Order-statistics Filters
频率域滤波复原（削减周期噪声）
线性位置不变的退化
逆滤波
维纳滤波（最小均方误差滤波）
约束最小二乘方滤波
几何均值滤波
几何变换
主要内容
图象退化/复原过程的模型
噪声模型
空间域滤波复原（唯一退化是噪声）
频率域滤波复原（削减周期噪声）
第五章图像增强课件
数字图像的直方图
其中
5.3.1 直方图基本概念
原始图像
直方图
5.3.1 直方图基本概念
不同图像内容具有相同直方图的实例。
由灰度直方图的定义可知，数字图像的灰度直方图具有以下几个特性：
（1）直方图的位置缺失性。
灰度直方图仅仅反映了数字图像中各灰度级出现频数的分布，但对那些
具有同一灰度值的像素在图像中的空间位置一无所知，即灰度直方图具有位
（1）空间域法。
是指在空间域中，直接对图像进行各种线性或非线性运算，对图像的
像素灰度值作增强处理。
（2）频域法。
是在图像的变换域中，把图像看成一种二维信号，对其进行基于二维
傅立叶变换的信号增强。
二、图像增强分类
点运算
空域法
模板处理
点运算是作用于单个像素的空间域处理方法，包括图像灰度变换、直
方图修正、伪彩色增强等技术；
当邻域为单个像素，即1×1时，输出仅仅依赖 f在(x,y) 处的像素灰度
值，此时的处理方式通常称为点处理。
5.2.2 线性灰度变换
线性变换的表达式
5.2.2 线性灰度变换
[0-32]范围
[0-128]范围
[0-64]范围
[0-256]范围
5.2.2 线性灰度变换
灰度拉伸的范围越小，像素间的灰度值越相近，图像的表现力越差。
（1）在 0 ≤ ≤ 1
区间内， T[r] 为单值单调递增函数；
（2）对于 0 ≤ ≤ 1 ，对 应有0≤s=T[r]≤1 。
变换函数的求解：
5.3.2 直方图均衡化
对于数字图像，其灰度 k 出现的概率可近似表示：
5.3.2 直方图均衡化
利用直方图均衡进行图像增强的过程可分成以下几个步骤：
其中
5.3.1 直方图基本概念
原始图像
直方图
5.3.1 直方图基本概念
不同图像内容具有相同直方图的实例。
由灰度直方图的定义可知，数字图像的灰度直方图具有以下几个特性：
（1）直方图的位置缺失性。
灰度直方图仅仅反映了数字图像中各灰度级出现频数的分布，但对那些
具有同一灰度值的像素在图像中的空间位置一无所知，即灰度直方图具有位
（1）空间域法。
是指在空间域中，直接对图像进行各种线性或非线性运算，对图像的
像素灰度值作增强处理。
（2）频域法。
是在图像的变换域中，把图像看成一种二维信号，对其进行基于二维
傅立叶变换的信号增强。
二、图像增强分类
点运算
空域法
模板处理
点运算是作用于单个像素的空间域处理方法，包括图像灰度变换、直
方图修正、伪彩色增强等技术；
当邻域为单个像素，即1×1时，输出仅仅依赖 f在(x,y) 处的像素灰度
值，此时的处理方式通常称为点处理。
5.2.2 线性灰度变换
线性变换的表达式
5.2.2 线性灰度变换
[0-32]范围
[0-128]范围
[0-64]范围
[0-256]范围
5.2.2 线性灰度变换
灰度拉伸的范围越小，像素间的灰度值越相近，图像的表现力越差。
（1）在 0 ≤ ≤ 1
区间内， T[r] 为单值单调递增函数；
（2）对于 0 ≤ ≤ 1 ，对 应有0≤s=T[r]≤1 。
变换函数的求解：
5.3.2 直方图均衡化
对于数字图像，其灰度 k 出现的概率可近似表示：
5.3.2 直方图均衡化
利用直方图均衡进行图像增强的过程可分成以下几个步骤：
第五章 图象增强
在实际应用中，直方图常常是直接统计得到的， 没有经过归一化处理。
直方图的用途
• 1）数字化参数
– 一般一幅数字图像应该利用全部或几乎全部可能的灰 度级； – 对直方图做快速检查。
• 2 ）边界阈值选择
– 使用轮廓线确定简单物体的边界的方法，称为阈值化；
– 对物体与背景有较强对比的景物的分割特别有用；
假设pr（r）是原始图象灰度分布的概率密度函数， pz（z）是希望得到的图象的概率密度函数。如何建立 pr（r）与pz（z）之间的联系是直方图规定化处理的关 键。 首先对原始图象进行直方图均衡化处理，即：
s T (r ) pr ( w)dw
0 r
现假定已经得到了所希望的图象，并且它的概率密度 函数是pz（z）。对这幅图象也作均衡化处理，即：
仅当<r时发生，所以可求得随机变量的分布函数为：
F (s) P( s) P( r ) Pr ( x)dx
r
对上式两边求导，即得随机变量的分布密度函数为： d dr Ps ( s) Pr (r ) [T 1 ( s)] [ Pr (r ) ]r T 1 ( s ) ds ds 上式说明，通过变换函数T（r）可以控制图象灰 度级的概率密度函数，从而修改图象的灰度层次。这 就是直方图修改技术的基础。
例：
例：
Байду номын сангаас
例：
利用直方图修正技术增强图象简便有效。 直方图均衡化处理可大大改善图象灰度的动态 范围；利用直方图规定化方法能得到更加符合 需要的结果；通过对比度转换函数的正确设计 可以方便灵活地改善图象。因此，直方图修正 技术在数字图象处理中得到了广泛应用。
§5.2 图象平滑化处理
数字图像处理方法第五章图像复原和重建
大气
图像
流的
运动
扰动
造成
效应 的模 数字图像处理方法第五章图像复原和重
建
糊
背景知识
几何畸变
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
背景知识
运动模糊
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
背景知识
图像复原是试图利用退化过 程的先验知识去除已退化的 图像的退化因素，尽可能恢 复图像本来面目的技术。
g ex ,y fe(m ,n )h e(x m ,y n )ex ,y
m 0 n 0
向量矩阵形式为
gHfn
其中，H为MN×MN的矩阵。
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
主要内容
背景知识 图像退化/复原过程的模型 代数恢复 频域恢复 几何校正
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
图像退化/复原过程的模型
图像复原的关键在于建立图像退化模型, 反映图像退化原因 通常将成像系统作为线性位移不变系统，点扩散函数用h （x，y）表示，获取退化图像为g（x，y），建立系统退
化模型如下：
退化函数 H
复原滤波
F(u) f(x)ej2uxdx
退化
复原
λ为常数系数（拉格朗日系数），γ为1/ λ 指定不同Q，得到不同复原图像
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
约束最小二乘复原
能量约束 Q=I
I表示单位矩阵
解得最佳复原解为
fˆ(H'HI)1H'g
物理意义为在约束条件下复原图像能量 | | fˆ | |2 最小
数字图像处理方法第五章图像复原和重 建
约束最小二乘复原
《数字图像处理》-教学大纲
《数字图像处理》课程教学大纲Digital image processing一、教学目标及教学要求数字图像处理课程是智能科学与技术、数字媒体技术等专业的专业必修课。
主要目标及要求是通过该课程的学习，使学生初步掌握数字图像处理的基本概念、基本原理、基本技术和基本处理方法，了解数字图像的获取、存储、传输、显示等方面的方法、技术及应用，为学习相关的数字媒体、视频媒体和机器视觉等课程，以及今后从事数字媒体、视频媒体、图像处理和计算机视觉等领域的技术研究与系统开发打下坚实的理论与技术基础。
二、本课程的重点和难点（一）课程教学重点教学重点内容包括：图像的表示，空间分辨率和灰度级分辨率，图像直方图和直方图均衡，基于空间平滑滤波的图像增强方法，基于空间锐化滤波的图像增强方法，图像的傅里叶频谱及其特性分析，图像编码模型、霍夫曼编码和变换编码，图像的边缘特征及其检测方法，彩色模型，二值形态学中的有腐蚀运算和膨胀运算。
（二）课程教学难点教学难点包括：直方图均衡，二维离散傅里叶变换的若干重要性质、图像的傅里叶频谱及其特性分析，变换编码，小波变换的概念、嵌入式零树小波编码，图像的纹理特征及其描述和提取方法，Matlab图像处理算法编程。
三、主要实践性教学环节及要求本课程的实验及实践性环节要求使用Matlab软件平台，编写程序实现相关的数字图像处理算法及功能，并进行实验验证。
课程实验与实践共10学时，分别为：实验一：图像基本运算实验（2学时）。
实验二：图像平滑滤波去噪实验（2学时）。
实验三：图像中值滤波去噪实验（2学时）。
实验四：图像边缘检测实验（2学时）。
相关图像处理算法的课堂演示验证（2学时）。
要求每个学生在总结实验准备、实验过程和收获体会的基础上，写出实验报告。
四、采用的教学手段和方法利用多媒体课件梳理课程内容和讲授思路，合理运用启发式教学方式激发学生的思考力，采用讨论式教学方式增强教学过程的互动效果，理论教授与应用实例编程实践相结合，提高学生的分析和解决问题的能力。
频率域图像增强的开题报告
[11]张娜，王绪本，杨斯涵等,基于HSV空间的简牍 图像增强算法研究[J].计算机应用研究，2007， 24(6):204-207. [12]付祖芸，信息论—基础理论与应用[M].北京:电 子工业出版社，2001. [13]胡广书.数字信号处理—理论、算法与实现[M]. 北京:清华大学出版社，1997. [14]王爱玲，叶明生，邓秋香.MATLAB R2007 图像 处理技术与应用[M].北京:电子工业出版社,2008. [15]Math Works,MATLAB7.4,2007.
自己编程实现了FFT及反FFT算法，运用 Matlab软件对算法进行仿真，在程序中实现 了几种相应的滤波器。 图像相应部分的增强设计相应的滤波器，观 察产生的效果，确定其可行性。
频域滤波技术有坚实的数学和统计理论背景， 是图像增强技术的坚实基层[11]，因此频率域 图像增强在图像增强领域中得到了广泛的实 际应用。本课题可方便地在计算机上运用 Matlab进行仿真,所以完全可行[12]。 通过测试 的方案最终交由指导老师修改、完善，完成 最后的终稿。
变换中的高频部分，所以低通滤波能够平滑 图像、去除噪声[8]。图像灰度发生聚变的部 分与频谱的高频分量对应，所以采用高频滤 波器衰减或抑制低频分量，能够对图像进行 锐化处理[9]。
通过搜索相关的资料，确定课题研究对象涉 及的相关领域。对Fourier变换（FT）和图 像的频率域处理技术有所了解，理解图像增 强这个最基本的图像处理任务[10]。 了解每个领域的知识点，并设计研究方案。
频率域图像增强技术是数字图像处理的基本内容之 一，主要是为了突出图像中需要的信息，削弱或消 除不需要的信息，增大图像中不同物体特征之间的 差别，可以改善人眼对原始图像的视觉效果，以便 于进一步处理或分析[7]。
5.图像的频域增强及傅里叶变换
5. 图像的频域增强及傅里叶变换傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。
因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法，比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。
印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用：1.图像增强与图像去噪绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘；2.图像分割之边缘检测提取图像高频分量3.图像特征提取：形状特征：傅里叶描述子纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性4.图像压缩可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换；傅立叶变换傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。
连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。
离散情况下，傅里叶变换一定存在。
冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。
棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。
傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。
当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。
同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
傅立叶变换有很多优良的性质。
比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）;时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变；频移性：函数在时域中乘以，可以使整个频谱搬移w。
这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）；卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。
（图像处理里面这个是个重点）信号在频率域的表现在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。
数字图像处理（频域增强）
数字图像处理（频域增强）数字图像处理图像频域增强⽅法的研究姓名：班级:学号：⽬录⼀．频域增强的原理⼆．频域增强的定义及步骤三．⾼通滤波四． MATLAB程序实现五．程序代码六．⼩结⼀．频域图像的原理在进⾏图像处理的过程中，获取原始图像后，⾸先需要对图像进⾏预处理，因为在获取图像的过程中，往往会发⽣图像失真，使所得图像与原图像有某种程度上的差别。
在许多情况下，⼈们难以确切了解引起图像降质的具体物理过程及其数学模型，但却能估计出使图像降质的⼀些可能原因，针对这些原因采取简单易⾏的⽅法，改善图像质量。
图像增强⼀般不能增加原图像信息，只能针对⼀些成像条件，把弱信号突出出来，使⼀些信息更容易分辨。
图像增强的⽅法分为频域法和空域法，空域法主要是对图像中的各像素点进⾏操作；⽽频域法是在图像的某个变换域内，修改变换后的系数，例如傅⽴叶变换、DCT 变换等的系数，对图像进⾏操作，然后再进⾏反变换得到处理后的图像。
MATLAB矩阵实验室（Matrix Laboratory）的简称，具有⽅便的数据可视化功能，可⽤于科学计算和⼯程绘图。
它不仅在⼀般数据可视化软件都具有的功能⽅⾯更加完善，⽽且对于⼀些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、⾊度处理以及四维数据的表现等），MATLAB同样表现了出⾊的处理能⼒。
它具有功能丰富的⼯具箱，不但能够进⾏信号处理、语⾳处理、数值运算，⽽且能够完成各种图像处理功能。
本⽂利⽤MATLAB⼯具来研究图像频域增强技术。
图像增强是为了获得更好质量的图像，通过各种⽅法对图像进⾏处理，例如图像边缘检测、分割以及特征提取等技术。
图像增强的⽅法有频域处理法与空域处理法，本⽂主要研究了频域处理⽅法中的滤波技术。
从低通滤波、⾼通滤波、同态滤波三个⽅⾯⽐较了图像增强的效果。
⽂章⾸先分析了它们的原理，然后通过MATLAB软件分别⽤这三种⽅法对图像进⾏处理，处理后使图像的对⽐度得到了明显的改善，增强了图像的视觉效果。
第5章频率域图像增强(第二版)
可见，该矩阵的值仅与N有关，与f(x,y)无关。
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 2、可分离性
式(5.3)和式(5.4)的二维离散傅里叶变换对可写成 如下的分离形式：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
以式(5.9)：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
为例，可先沿y轴方向进行一维的(行)变换而求得： 1 N 1 j 2vy F ( x, v) f ( x, y) exp[ ] (5.11) N N y 0 然后再对F(x,v)沿x方向进行一维的(列)变换而得到最
F (u, v) F (u mM, v nN)
(m,n=0,±1, ±2,…） (5.17)
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 5、共轭对称性
设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共 轭对称性：
F (u, v) F (u,v)
| F (u, v) || F (u,v) |
(5.1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( )] MN u 0 v0 M N
(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1) (5.2)
5.1.1 二维离散傅里叶变换的定义及意义 1、二维离散傅里叶变换的定义
在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并 考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶 变换对定义为：
《数字图像处理》研究生课程
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 2、可分离性
式(5.3)和式(5.4)的二维离散傅里叶变换对可写成 如下的分离形式：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
以式(5.9)：
1 N 1 j 2xu N 1 j 2yv F (u, v) exp[ ]( f ( x, y) exp[ ]) N x 0 N N y 0
为例，可先沿y轴方向进行一维的(行)变换而求得： 1 N 1 j 2vy F ( x, v) f ( x, y) exp[ ] (5.11) N N y 0 然后再对F(x,v)沿x方向进行一维的(列)变换而得到最
F (u, v) F (u mM, v nN)
(m,n=0,±1, ±2,…） (5.17)
5.1.2 二维离散傅里叶变换的若干重要性质 5、共轭对称性
设f(x,y)为实函数，则其傅里叶变换F(u,v)具有共 轭对称性：
F (u, v) F (u,v)
| F (u, v) || F (u,v) |
(5.1)
1 M 1 N 1 ux vy f ( x, y) F (u, v) exp[j 2 ( )] MN u 0 v0 M N
(x=0,1,…,M-1；y=0,1,…,N-1) (5.2)
5.1.1 二维离散傅里叶变换的定义及意义 1、二维离散傅里叶变换的定义
在图像处理中，有时为了讨论上的方便，取M=N，并 考虑到正变换与反变换的对称性，就将二维离散傅里叶 变换对定义为：
《数字图像处理》研究生课程
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f (x)
F u e j 2ux / M
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
从欧拉公式 e j cos j sin
M 1
1 F (u ) M
1 M
1 M
x0
x 0
f x e j ( 2ux ) / M
M 1
f x cos(2ux) / M j sin(2ux) / M
一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在
空间域进行
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义
F(u)
为
f ( x)e j 2uxdx
其中， j
1
给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f ( x)
F (u)e j 2uxdu
傅里叶变换
如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是 对称的，即
F u, v F u,v
傅里叶变换的频率谱是对称的
F u, v F u,v
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换及其反变换
傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
二维傅里叶变换的性质
当u0=M/2且v0=N/2,
e j 2 u0x / M v0 y / N e j ( x y) 1x y
带入（1）和（2），得到
f x, y1x y Fu M / 2, v N / 2 f x M / 2, y N / 2 Fu, v1uv
半周期的傅里叶频谱 全周期的傅里叶频谱
一幅二维图像的傅里叶频谱
中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6.
分离性
1 j 2ux / M 1 j 2vy / N F u , v e f x , y e N y 0 M x 0 1 M 1 j 2ux / M e F x, v M x 0
f r , 0 F , 0
fБайду номын сангаасx,y)旋转角度 0 ，F(u,v)也将转过相同 的角度 F(u,v)旋转角度 0 ，f(x,y)也将转过相同 的角度
傅里叶变换
5.
周期性和共轭对称性
F u , v F u M , v F u , v N F u M , v N f x, y f x M , y f x, y N f x M , y N
M 1 N 1 x 0 y 0
1 f x, y MN
f x, y
傅里叶变换
7.
平均值 所以
f x, y F 0,0
上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在 原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度 级
傅里叶变换
8.
卷积理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散 卷积 1 M 1 N 1 f x, y hx, y f m, nhx m, y n
F u , v F u , v
F u , v F u , v
其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭。
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个 复数叫做互为共轭复数.
周期性和共轭对称性举例
对于一维变换F(u)，周期性是指F(u)的周期长 度为M，对称性是指频谱关于原点对称
F(u)的离散表示
F u F u u
u 0,1,2,..., M 1
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为 1 M 1 N 1 f x , y e j 2 ux / M vy / N F (u , v )
相角或相位谱为
u arctan I u
Ru
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
功率谱为
Pu Fu Ru2 I u2
2
f(x)的离散表示
f x f x 0 x x
x 0,1,2,..., M 1
M 1 x0
f x cos 2ux / M j sin 2ux / M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
F u F u e j u
幅度或频率谱为
F u Ru2 I u
1 2 2
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换及其反变换
傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一
些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间 域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变 换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计 算傅里叶变换。
M 1
N 1
傅里叶变换
6.
分离性——二维傅里叶变换的全过程
先通过沿输入图像的每一行计算一维变换
再沿中间结果的每一列计算一维变换 可以改变上述顺序，即先列后行
上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
F u, v F u, v e j u ,v
幅度或频率谱为
F u, v Ru, v I u, v
2
1 2 2
R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部
(1) (2)
公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的频域中心移动到新的位置
公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的空域中心移动到新的位置
公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换 的幅值
傅里叶变换
1.
傅里叶变换对的平移性质（续）
傅里叶变换
3.
尺度变换（缩放）
给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列 2个公式成立
af x, y aF u , v 1 f ax , by F u / a, v / b ab
傅里叶变换
4.
旋转性
引入极坐标 x r cos, y r sin, u cos, v sin 将f(x,y)和F(u,v)转换为 f r, 和 F,。将它 们带入傅里叶变换对得到
如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f 中相应点的位置上达到最大
相关性匹配举例
图像f(x,y) 模板h(x,y)
延拓图像f(x,y)
延拓图像h(x,y)
相关函数图像
通过相关图像最大 值的水平灰度剖面图
傅里叶变换
傅里叶变换
用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心
u=0,1,2,…,M-1,
v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换
F(0,0)表示
1 F 0,0 MN
M 1 N 1 x0 y 0
f x , y
这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级
傅里叶变换
7.
平均值
由二维傅里叶变换的定义 1 M 1 N 1 j 2 ux / M vy / N F u , v f x , y e MN x 0 y 0
1 所以 F 0,0 MN
而
M 1 N 1 x 0 y 0
f x, y
傅里叶变换
二维连续傅里叶变换及反变换
二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定 义为
F(u, v)
f ( x, y)e j 2 uxvydxdy
给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到 f(x,y)
f ( x, y)
F (u, v)e j 2 uxvydudv
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换
单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅 里叶变换F(u)定义为
F (u )
1 M
f x e
x 0
M 1 u 0
M 1
j 2ux / M
u=0,1,2,…,M-1
给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
MN
x0 y0
u=0,1,2,…,M-1,
M 1 N 1 u0 v0
v=0,1,2,…,N-1
给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
f ( x, y )
F u , v e
j 2 ux / M vy / N
x=0,1,2,…,M-1,
y=0,1,2,…,N-1
F u e j 2ux / M
x=0,1,2,…,M-1
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换及反变换
从欧拉公式 e j cos j sin
M 1
1 F (u ) M
1 M
1 M
x0
x 0
f x e j ( 2ux ) / M
M 1
f x cos(2ux) / M j sin(2ux) / M
一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在
空间域进行
傅里叶变换
一维连续傅里叶变换及反变换
单变量连续函数f(x)的傅里叶变换F(u)定义
F(u)
为
f ( x)e j 2uxdx
其中， j
1
给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
f ( x)
F (u)e j 2uxdu
傅里叶变换
如果f(x,y)是实函数，它的傅里叶变换是 对称的，即
F u, v F u,v
傅里叶变换的频率谱是对称的
F u, v F u,v
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换及其反变换
傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
二维傅里叶变换的性质
当u0=M/2且v0=N/2,
e j 2 u0x / M v0 y / N e j ( x y) 1x y
带入（1）和（2），得到
f x, y1x y Fu M / 2, v N / 2 f x M / 2, y N / 2 Fu, v1uv
半周期的傅里叶频谱 全周期的傅里叶频谱
一幅二维图像的傅里叶频谱
中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6.
分离性
1 j 2ux / M 1 j 2vy / N F u , v e f x , y e N y 0 M x 0 1 M 1 j 2ux / M e F x, v M x 0
f r , 0 F , 0
fБайду номын сангаасx,y)旋转角度 0 ，F(u,v)也将转过相同 的角度 F(u,v)旋转角度 0 ，f(x,y)也将转过相同 的角度
傅里叶变换
5.
周期性和共轭对称性
F u , v F u M , v F u , v N F u M , v N f x, y f x M , y f x, y N f x M , y N
M 1 N 1 x 0 y 0
1 f x, y MN
f x, y
傅里叶变换
7.
平均值 所以
f x, y F 0,0
上式说明：如果f(x,y)是一幅图像，在 原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度 级
傅里叶变换
8.
卷积理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散 卷积 1 M 1 N 1 f x, y hx, y f m, nhx m, y n
F u , v F u , v
F u , v F u , v
其中，F*(u,v)为F(u,v)的复共轭。
复习：当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个 复数叫做互为共轭复数.
周期性和共轭对称性举例
对于一维变换F(u)，周期性是指F(u)的周期长 度为M，对称性是指频谱关于原点对称
F(u)的离散表示
F u F u u
u 0,1,2,..., M 1
傅里叶变换
二维离散傅里叶变换及反变换
图像尺寸为M×N的函数f(x,y)的DFT为 1 M 1 N 1 f x , y e j 2 ux / M vy / N F (u , v )
相角或相位谱为
u arctan I u
Ru
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
功率谱为
Pu Fu Ru2 I u2
2
f(x)的离散表示
f x f x 0 x x
x 0,1,2,..., M 1
M 1 x0
f x cos 2ux / M j sin 2ux / M
傅里叶变换
傅里叶变换的极坐标表示
F u F u e j u
幅度或频率谱为
F u Ru2 I u
1 2 2
R(u)和I(u)分别是F(u)的实部和虚部
傅里叶变换
傅里叶变换
傅里叶变换及其反变换
傅里叶变换的性质
快速傅里叶变换（FFT）
傅里叶变换
为什么要在频率域研究图像增强
可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。一
些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非 常普通 滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的 某些性质
可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间 域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变 换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计 算傅里叶变换。
M 1
N 1
傅里叶变换
6.
分离性——二维傅里叶变换的全过程
先通过沿输入图像的每一行计算一维变换
再沿中间结果的每一列计算一维变换 可以改变上述顺序，即先列后行
上述相似的过程也可以计算二维傅里叶反变换
注：u和v是频率变量，x和y是空间或图像变量
傅里叶变换
二维DFT的极坐标表示
F u, v F u, v e j u ,v
幅度或频率谱为
F u, v Ru, v I u, v
2
1 2 2
R(u,v)和I(u,v)分别是F(u,v)的实部和虚部
(1) (2)
公式（1）表明将f(x,y)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的频域中心移动到新的位置
公式（2）表明将F(u,v)与一个指数项相乘就相当于 把其变换后的空域中心移动到新的位置
公式（2）表明对f(x,y)的平移不影响其傅里叶变换 的幅值
傅里叶变换
1.
傅里叶变换对的平移性质（续）
傅里叶变换
3.
尺度变换（缩放）
给定2个标量a和b，可以证明对傅里叶变换下列 2个公式成立
af x, y aF u , v 1 f ax , by F u / a, v / b ab
傅里叶变换
4.
旋转性
引入极坐标 x r cos, y r sin, u cos, v sin 将f(x,y)和F(u,v)转换为 f r, 和 F,。将它 们带入傅里叶变换对得到
如果匹配，两个函数的相关值会在h找到f 中相应点的位置上达到最大
相关性匹配举例
图像f(x,y) 模板h(x,y)
延拓图像f(x,y)
延拓图像h(x,y)
相关函数图像
通过相关图像最大 值的水平灰度剖面图
傅里叶变换
傅里叶变换
用(-1)x+y乘以f(x,y),将F(u,v)原点变换到频 率坐标下的(M/2，N/2)，它是M×N区域的中心
u=0,1,2,…,M-1,
v=0,1,2,…,N-1
傅里叶变换
F(0,0)表示
1 F 0,0 MN
M 1 N 1 x0 y 0
f x , y
这说明：假设f(x,y)是一幅图像，在原点的傅 里叶变换等于图像的平均灰度级
傅里叶变换
7.
平均值
由二维傅里叶变换的定义 1 M 1 N 1 j 2 ux / M vy / N F u , v f x , y e MN x 0 y 0
1 所以 F 0,0 MN
而
M 1 N 1 x 0 y 0
f x, y
傅里叶变换
二维连续傅里叶变换及反变换
二维连续函数f(x,y)的傅里叶变换F(u,v)定 义为
F(u, v)
f ( x, y)e j 2 uxvydxdy
给定F(u,v),通过傅里叶反变换可以得到 f(x,y)
f ( x, y)
F (u, v)e j 2 uxvydudv
傅里叶变换
一维离散傅里叶变换(DFT)及反变换
单变量离散函数f(x)(x=0,1,2,..,M-1)的傅 里叶变换F(u)定义为
F (u )
1 M
f x e
x 0
M 1 u 0
M 1
j 2ux / M
u=0,1,2,…,M-1
给定F(u),通过傅里叶反变换可以得到f(x)
MN
x0 y0
u=0,1,2,…,M-1,
M 1 N 1 u0 v0
v=0,1,2,…,N-1
给出F(u,v),可通过反DFT得到f(x,y),
f ( x, y )
F u , v e
j 2 ux / M vy / N
x=0,1,2,…,M-1,
y=0,1,2,…,N-1